ANÁLISIS DE UN EJE POR MEDIO DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

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ANÁLISIS DE UN EJE POR MEDIO DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
Eidi Maria Ortiz Pinto, Miguel ángel Gómez Rodelo, Juan Fernando Mass Ortega
RESUMEN
En este informe se aplica el procedimiento de matriz de rigidez de elementos finitos en vigas o ejes; en este caso el elemento analizar es un eje escalonado. Debido a la geometría del elemento se dividió en 2 tramos y 3 nodos con el objetivo de calcular los desplazamientos y ángulos de rotación que se presenta en cada tramo. Se hizo un análisis estático de las reacciones y fuerzas reaccionantes en el eje. Los cálculos de la matriz de rigidez del elemento se realizaron en Excel y posteriormente se muestran los resultados obtenidos que se compararon con los resultados obtenidos en software como solidworks y ANSYS
PALABRAS CLAVE: Elementos finitos, matriz de rigidez, eje, nodos, software
Abstrac- In this report, the finite element stiffness matrix procedure is applied to beams or shafts; in this case the parse element is an axis. Due to the geometry of the element, 3 were divided into sections with 2 nodes in order to calculate the displacements and rotation angles that occur in each section. A static analysis of the reactions and reacting forces on the shaft was made. The calculations of the stiffness matrix of the element were made in Excel and later the results obtained are shown, which were compared with the results obtained in software such as solidworks and ANSYS.
INTRODUCCIÓN
El estudio del desplazamiento interno de elementos estructurales y mecánicos es de gran importancia para la rama ingenieril. La metodología de elementos finitos es usada para el análisis de desplazamiento interno, debido a la generalidad y facilidad de introducir dominios de cálculo complejos en dos o tres dimensiones. Este método es de gran utilidad debido a que se adapta fácilmente a problemas de transferencia de calor, mecánica de fluidos, elementos estructurales etc. Dada la dificultad de encontrar una solución analítica de estos problemas en la ingeniería práctica, los elementos finitos se convierten en una alternativa para solucionar dichos problemas. [1] En mecánica de sólidos resulta de gran importancia por su utilidad práctica. [3] Este método es usado por los ingenieros estructuralistas para resolver infinidad de problemas. Sin embargo, es un método que no proporciona una solución exacta a un problema dado, sino que obtiene una solución aproximada [3]. La idea de este método es estudiar el movimiento de un elemento sometido a diferentes cargas, separando este elemento en diferentes partes formando una malla con formas similares conectadas entre sí por nodos, de manera que el desplazamientos en el interior de cada elemento puede expresarse en función de los desplazamientos que sufren los nodos. Algunos autores emplean como funciones de forma sistemas de ecuaciones diferenciales homogéneo relativo al problema, que se quiere resolver, debido a la propiedad de conseguirse soluciones nodalmente exactas. [2]
MARCO TEÓRICO
METÓDO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
El método de los elementos finitos es un procedimiento numérico que permite resolver problemas de la mecánica del continuo entre otros, con una aproximación aceptable para la ingeniería.
En este procedimiento, el medio continuo se divide en un número infinito de subdominios denominados elementos finitos conectados entre sí por nodos cuyo comportamiento responde a las ecuaciones de gobierno y las condiciones de frontera. 
Los elementos más sencillos tienen formas comunes que dependen del dominio en el que se define el problema. Por ejemplo, en un dominio unidimensional los elementos tienen forma de segmentos rectos, en un dominio bidimensional los elementos finitos son triangulares o cuadriláteros y en el dominio tridimensional son tetraedros o hexaedros. [4]
ANÁLISIS DE ELEMENTO FINITO 
La siguiente imagen es bidimensional con una malla irregular con forma de triángulo y cuadrilátero
Figura 1. Malla de elementos finitos sobre una región rectangular que posee una perforación circular central. Fundamentos del Método de Elemento Finito. Primera edición Jaime G. Molina P. Ingeniería Mecánica U. M. S. A.
La malla de elemento finito mostrada en la figura 1| representa el modelo de diferentes elementos. En la imagen se puede analizar las tensiones internas cerca de la perforación circular central. En este caso se analiza el elemento en la vecindad del agujero debido a los efectos de concentración.
DEFORMACIÓN EN UNA DIRECCIÓN 
Un resorte elástico lineal es un dispositivo mecánico capaz de soportar solamente carga axial significando la extensión o compresión más allá de la longitud indeformada, el alargamiento o la contracción. La constante de proporcionalidad entre la deformación y la carga es llamada constante de resorte o coeficiente de rigidez generalmente denotado como k y tiene representación dimensional de fuerza por unidad de longitud.
Figura 4. Fuerza y desplazamiento nodales de elementos. Fundamentos del Método de Elemento Finito. Primera edición Jaime G. Molina P. Ingeniería Mecánica U. M. S. A.
MATRIZ DE RIGIDEZ 
Los métodos de cálculo matricial (CM) de estructuras son un conjunto de métodos que tienen en común organizar toda la información en forma de matrices. En estos métodos, todas las relaciones entre las distintas partes de una estructura dan lugar a sistemas de ecuaciones con un alto número de variables, pero donde no se han realizado suposiciones o simplificaciones en las que se pierda información relevante.
 Esta generalidad, junto a la estructura de la información en matrices, permite que su planteamiento y resolución pueda ser ejecutada de manera automática por medio de programas de ordenador, lo que ha hecho que en la actualidad sean la práctica habitual en la ingeniería [5]
METODOLOGÍA
Para comenzar se debe tener en cuenta que: • Se debe enumerar cada grado de libertad, nodo y elemento. 
• Se colocara un nodo en cada punto donde exista un cambio en el tipo de carga, un apoyo, un cambio de sección transversal o donde exista una carga puntual. 
• Se asignan dos grados de libertad por nodo.
Por tanto;
Contamos con 2 tramos y 3 nodos
	DATOS DE ENTRADA
	Área de sección AB
	0,1 in2
	Área de sección BC
	0,15 in2
	Longitud de sección AB
	10 in
	Longitud de sección BC
	12 in
	Espacio
	0,002 in
	Fuerza
	1000 lbf
	Módulo de elasticidad
	10 Mpsi
ANÁLISIS Y RESULTADOS
CONCLUSIONES
La utilización del desarrollo matemático para la fundamentación de soluciones a problemas complejos y el avance tecnológico computacional han permitido el mejoramiento del análisis sistemático 
REFERENCIAS
[1] Fundamentos del Método de Elemento Finito. Primera edición Jaime G. Molina P. Ingeniería Mecánica U. M. S. A. 
[2] Análisis de pilares con deformación por cortante mediante elementos finitos y acciones repartidas equivalentes. Bases de datos universidad de Córdoba. https://bit.ly/3ffi2M1. 
[3] Introducción al método de los elementos finitos: aplicación a la mecánica de sólidos. https://bit.ly/37fGdpb
[4] Dorian Luis Linero Segrera. (2020). Análisis Estructural mediante el método de los elementos finitos. Sede Bogotá: Universidad Nacional de Colombia.
[5] José Luis Blanco Claraco, Antonio González Herrera, José Manuel García, & Manrique Ocaña. (2012). Análisis Estático De Estructuras Por El Método Matricial.
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