Método de Sustitución

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Método de Sustitución.
Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x + y = 1 x - y = 3
En este método de resolución, nuestro objetivo es despejar una variable de una de las ecuaciones y sustituirla en la otra. Así que, para empezar, vamos a fijar qué variable queremos despejar.
En principio, y como consejo, debemos despejar aquella que tenga como coeficiente 1, ya que de lo contrario tendríamos una fracción al despejarla y los cálculos serían más tediosos.
Así que vamos a comenzar por despejar, de la primera ecuación, la variable "y". Así, por tanto, tendremos que:
y=1-x
y, sustituyendo en la segunda ecuación, tenemos que x-(1-x) =3, haciendo cálculos,
x-1+x=3, agrupando términos en el lado izquierdo de la igualdad tenemos que,
-1+2·x=3, agrupando términos a un lado y a otro de la igualdad 2·x=3+1, luego
2·x=4, y de aquí que x=2.
Una vez obtenido el valor de una de las variables, lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales y obtenemos el valor de la otra variable.
Así, si x=2 y sustituyendo en la primera ecuación, tenemos que 2 + y = 1, despejando y=1-2=-1
Por tanto, la solución al sistema es x=2 e y=-1, o lo que es lo mismo (2,1).[1]
Ejercicio 1
Vamos a resolver por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones:
Para saber en todo momento a qué ecuación del sistema nos referimos, a la ecuación de arriba le llamaremos primera ecuación y a la de abajo segunda ecuación:
1- Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones, teniendo en cuenta las reglas de la transposición de términos.
La más fácil para despejar es la «y» en la primera ecuación, ya que no tiene ningún número delante y además tiene un signo más delante, por lo que tan sólo pasando el 5x al otro lado ya tenemos la y despejada:
Este es de momento nuestro valor de y, que decimos que está en función de x, porque x está contenida en su resultado. Además, la destacamos encerrándola en un recuadro rojo, porque más tarde tendremos que volver a esta ecuación.
2- En la ecuación que no hemos utilizado, sustituimos la misma incógnita despejada en el paso anterior, por el valor que hemos obtenido.
Es decir, en la segunda ecuación, donde aparece y, lo sustituimos por su valor en función de x:
Nos queda una ecuación que solamente depende de una incógnita.
3 – Despejamos la incógnita que nos queda.
Ahora tenemos una ecuación que depende sólo de x. Si necesitas ayuda con las ecuaciones de primer grado, dentro de mis cursos, puedes encontrar el Curso de Ecuaciones de Primer Grado, donde explico muy detalladamente cómo resolver ecuaciones de primer grado, con ejercicios resueltos y propuestos para practicar.
Resolvemos la ecuación que nos ha quedado.
En primer lugar, eliminamos el paréntesis cambiando de signo a los términos que estaban dentro:
Dejamos en el primer miembro los términos con x y pasamos al segundo miembro los términos que no llevan x:
Operamos en ambos miembros:
Despejamos la x, pasando el 8 dividiendo al segundo miembro:
Operamos en el segundo miembro y obtenemos el valor numérico de x:
4 – El valor numérico obtenido se sustituye en la ecuación donde despejamos una incógnita en función de otra (paso 1). En nuestro caso, donde despejamos y en función de x:
Sustituimos la x por su valor:
5 – Y operamos para obtener el valor numérico de la incógnita que nos queda:
Por tanto, la solución de este sistema es x=2, y=-2.
Ejercicio 2
De la primera ecuación:
Vamos a despejar la x, ya que tiene signo positivo y resulta más sencillo despejarla.
Primer pasamos 2y sumando al segundo miembro:
Y después pasamos el 3 dividiendo:
Por lo que ya tenemos la x despejada.
Ahora, en la segunda ecuación:
Sustituimos la x por el valor que acabamos de calcular:
Y empezamos a operar. En primer lugar, multiplicamos el -2 por el numerador de la fracción (mucho cuidado con los signos):
Ahora reducimos a denominador común el primer miembro (el segundo miembro no es necesario porque tenemos un cero):
Eliminamos el denominador y nos queda:
Pasamos el 10 al segundo miembro y operamos en el primer miembro:
Y despejamos la «y»:
Este valor de «y», los sustituimos en la expresión donde despejamos la x:
Nos queda:
Y operando obtenemos también el valor de x:
Por tanto, la solución del sistema es:
Ejercicio 3
	[1]
	“▷ Método de Sustitución. Ejercicios resueltos paso a paso”, Ekuatio.com, 03-jun-2016. [En línea]. Disponible en: https://ekuatio.com/apuntes-de-matematicas/algebra/metodo-de-sustitucion-sistemas-ecuaciones/. [Consultado: 18-nov-2021].