Resumen de límites

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Resumen Ĺımites
Contents
1 Clase 1 y 2: ĺımites y sus propiedades 1
1.1 Definición formal de ĺımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Algunos teoremas y propiedades de los ĺımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Álgebra de ĺımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Cómo sacar algunos ĺımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 Teorema de sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.6 El teorema del sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.7 Teorema de acotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Clase 3: ĺımites laterales 3
2.1 Definición formal de ĺımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Existencia de un ĺımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Ĺımites fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Clase 4: continuidad 3
3.1 Definición formal de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 Álgebra de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3 Continuidad de la función compuesta f ◦ g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.4 Continuidad lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.5 Teorema del valor intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.5.1 corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 Clase 5 y 6: ĺımites con infinito 5
4.1 Ĺımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2 Álgebra de ĺımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.3 Ĺımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.4 Ĺımites infinitos en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.5 Aśıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.6 La recta real extendida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 Clase 1 y 2: ĺımites y sus propiedades
1.1 Definición formal de ĺımite
Sea f : A ⊆ R → R una función real, x0 ∈ A′ y L ∈ R. Se dice que el ĺımite de f cuando x tiende a x0 es
igual a L si
(∀ε > 0)(∃δ > 0)0 < |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε, (x ∈ A) (1)
lim
x→x0
f(x) = L
1
1.2 Algunos teoremas y propiedades de los ĺımites
1. lim
x→x0
|f(x)| = 0⇔ limx→x0 f(x) = 0
2. lim
x→x0
[f(x)− L] = 0⇔ limx→x0 f(x) = L
3. si |f(x)− L| ≤ g(x) y lim
x→x0
g(x) = 0, entonces lim
x→x0
f(x) = L
4. los ĺımites son únicos (no pueden haber más de un L)
1.3 Álgebra de ĺımites
Sean f : A ⊆ R→ R y g : B ⊆ R→ R dos funciones. Sea x0 ⊂ A′ ∩B′ y sea c ∈ R. Si lim
x→x0
f(x) y lim
x→x0
g(x)
existen, entonces
1. lim
x→x0
(f(x) + g(x)) existe y
lim
x→x0
(f(x) + g(x)) = lim
x→x0
f(x) + lim
x→x0
g(x)
2. lim
x→x0
cf(x) existe y
lim
x→x0
cf(x) = c · lim
x→x0
f(x)
3. lim
x→x0
[f(x) · g(x)] existe y
lim
x→x0
[f(x) · g(x)] = lim
x→x0
f(x) · lim
x→x0
g(x)
4. si lim
x→x0
g(x) 6= 0, entonces lim
x→x0
f(x)
g(x) existe y
lim
x→x0
f(x)
g(x) =
lim
x→x0
f(x)
lim
x→x0
f(x)
1.4 Cómo sacar algunos ĺımites
1. lim
x→x0
x2 = (x0)
2
2. lim
x→x0
√
x =
√
x0
3. lim
x→xx
xn = (x0)
n
4. Si f(x) es un polinomio basta igualar x con x0
5. lim
x→x0
1
xn =
1
(x0)n
, con n ∈ N, n 6= 0
6. lim
x→x0
x
1
n = (x0)
1
n , n ∈ N
7. lim
x→x0
|x| = |x0|
1.5 Teorema de sustitución
(De sustitución). Sean f : A ⊆ R → R y g : B ⊆ R → R dos funciones, x0 ∈ A′ y c ∈ B′. Si lim
x→x0
f(x) = c
(f(x) 6= c, x0 6= x) y lim
y→c
g(y) existe, entonces
lim
x→x0
g(f(x)) = lim
y→c
g(y)
2
1.6 El teorema del sandwich
(Del sandwich). Sean f, g, h : A ⊆ R → R y x0 ∈ A′. Supongamos que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x en
algún intervalo abierto que contenga a x0 excepto posiblemente en x0 mismo. Si lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
h(x) = L,
entonces
lim
x→x0
g(x) = L
1.7 Teorema de acotación
Sean f, g : A ⊆ R→ R y x0 ∈ A′. Si lim
f(x)=0
y g es acotada, entonces lim
x→x0
f(x)g(x) = 0.
2 Clase 3: ĺımites laterales
2.1 Definición formal de ĺımites laterales
Sean f : A ⊆ R → R una función, x0 ∈ A′ y L ∈ R. Se dice que f tiende a L cuando x tiende a x0 por la
izquierda si
(∀ε > 0)(∃δ > 0)x ∈]x0 − δ, x0[⇒ |f(x)− L| < ε, (x ∈ A).
Se dice que f tiende a L cuando x tiende a x0 por la derecha si
(∀ε > 0)(∃δ > 0)x ∈]x0, x0 + δ[⇒ |f(x)− L| < ε, (x ∈ A).
Notamos lim
x→x−0
f(x) = L y lim
x→x+0
f(x) = L respectivamente.
Observación: Siguen siendo válidas las propiedades de álgebra de ĺımites mostradas en la sección 1.3
2.2 Existencia de un ĺımite
Para que un limite exista, los ĺımites laterales tienen que ser iguales. De ocurrir lo contrario, se dice que el
limite no existe.
2.3 Ĺımites fundamentales
1. lim
θ→0
sin θ
θ = 1
2. lim
x→0
1−cos x
x = 0
3. lim
x→∞
(1− 1x )
x = e
4. lim
x→0
ln 1+xx = 1
3 Clase 4: continuidad
3.1 Definición formal de continuidad
Sean f : A ⊆ R→ R una función, x0 ∈ A ∩A′. Se dice que:
1. f es continua en x0 si
lim
x→x0
f(x) existe y lim
x→x0
f(x) = f(x0).
2. f es discontinua en x0 si f no es continua en x0.
3. f es continua sobre A si lo es en cada punto de A.
3
3.2 Álgebra de funciones continuas
Sean f y g dos funciones continuas en x0 y λ ∈ R, entonces también son continuas en x0:
• λf, λ ∈ R.
• f + g.
• f · g.
• fg si g(x0) 6= 0.
Si f y g son continuas sobre A ⊆ R y λ ∈ R, se tiene que:
• λf es continua sobre A, λ ∈ R.
• f + g es continua sobre A.
• f · g es continua sobre A.
• fg es continua sobre A− {x : g(x) = 0}.
3.3 Continuidad de la función compuesta f ◦ g
Sean f : I ⊆ R → R y g : J ⊆ R → R funciones definidas sobre los intervalos abiertos I y J de R tales que
f(I) ⊂ J . Si f es continua en x0, y g es continua en f(x0), entonces la función compuesta f ◦ g es continua
en x0.
Observación: Si f : I ⊆ R→ R y g : J ⊆ R→ R son funciones continuas sobre los intervalos abiertos I y
J , entonces g ◦ f es continua sobre I.
3.4 Continuidad lateral
Sea f : A ⊂ R→ R una función, sea x0 ∈ A′. Se dice que:
1. f es continua por la derecha si
lim
x→x+0
f(x) existe y lim
x→x+0
f(x) = f(x0).
2. f es continua por la izquierda si
lim
x→x−0
f(x) existe y lim
x→x−0
f(x) = f(x0).
En resumen podemos decir:
f es continua en x0 ⇐⇒ lim
x→x0
f(x) = f(x0)⇐⇒ lim
x→x+0
f(x) = lim
x→x−0
f(x) = f(x0).
3.5 Teorema del valor intermedio
Sea f una función continua tal que f(a) y f(b) tienen signos opuestos. Entonces, existe c ∈]a.b[ tal que
f(c) = 0
3.5.1 corolario
Sea f : [a.b] → R una función continua. Sea p un numero cualquiera entre f(a) y f(b)- Entonces, existe
c ∈]a, b[ tal que f(x) = p
4
4 Clase 5 y 6: ĺımites con infinito
4.1 Ĺımites infinitos
Sean f : A ⊆ R→ R una función, x0 ∈ A′:
1. Se dice que f tiende a +∞ cuando x tiende a x0 si
(∀M > 0)(∃δ > 0)0 < |x− x0| < δ ⇒ f(x) > M, (x ∈ A).
En notación: lim
x→x0
f(x) = +∞.
2. Se dice que f tiende a −∞ cuando x tiende a x0 si
(∀M < 0)(∃δ > 0)0 < |x− x0| < δ ⇒ f(x) < M, (x ∈ A).
En notación: lim
x→x0
f(x) = −∞.
4.2 Álgebra de ĺımites infinitos
Sea L ∈ R
1.
 limx→x0 f(x) = +∞lim
x→x0
g(x) = L
⇒ lim
x→x0
(f(x) + g(x)) = +∞
2.
 limx→x0 f(x) = −∞lim
x→x0
g(x) = L
⇒ lim
x→x0
(f(x) + g(x)) = −∞
3.
 limx→x0 f(x) = +∞lim
x→x0
g(x) = +∞
⇒
 limx→x0(f(x) + g(x)) = +∞lim
x→x0
(f(x) · g(x)) = +∞
4.
 limx→x0 f(x) = −∞,lim
x→x0
g(x) = −∞,
⇒
 limx→x0(f(x) + g(x)) = −∞.lim
x→x0
(f(x) · g(x)) = +∞.
5.
 limx→x0f(x) = +∞,lim
x→x0
g(x) = L,L > 0,
⇒ lim
x→x0
(f(x) · g(x)) = +∞
6.
 limx→x0 f(x) = −∞,lim
x→x0
g(x) = L,L > 0,
⇒ lim
x→x0
(f(x) · g(x)) = −∞
7.
 limx→x0 f(x) = +∞, ylim
x→x0
g(x) = L,L < 0,
⇒ lim
x→x0
(f(x) · g(x)) = −∞
8.
 limx→x0 f(x) = −∞,lim
x→x0
g(x) = L,L < 0 ó L = −∞
⇒ lim
x→x0
(f(x) · g(x)) = +∞
9.
 limx→x0 f(x) = ±∞, ylim
x→x0
g(x) = L
⇒
 limx→x0
g(x)
f(x) = 0. En particular
lim
x→x0
1
f(x) = 0
5
10.
{
lim
x→x0
f(x) = 0, y
f(x) > 0, para x cerca de x0
⇒ lim
x→x0
1
f(x) = +∞
11.
{
lim
x→x0
f(x) = 0, y
f(x) < 0, para x cerca de x0
⇒ lim
x→x0
1
f(x) = −∞
12. lim
x→x0
f(x) = +∞ =⇒ lim
x→x0
√
f(x) = +∞.
13. Si f es creciente y no acotada superiormente para x cerca de x0, entonces lim
x→x0
f(x) = +∞
14. Si f es creciente y no acotada inferiormente para x cerca de x0, entonces lim
x→x0
f(x) = −∞
Las propiedades mostradas recién también son válidas para ĺımites laterales, es decir cuando x → x−0 y
x→ x+0 .
4.3 Ĺımites en el infinito
Sea f : A ⊆ R→ R una función y L ∈ R.
1. f → L cuando x→ +∞ si
(∀ε)(∃M > 0)x > M ⇒ |f(x)− L| < ε, (x ∈ A).
Notación: lim
x→+∞
f(x) = L.
2. f → L cuando x→ −∞ si
(∀ε)(∃M < 0)x < M ⇒ |f(x)− L| < ε, (x ∈ A).
Notación: lim
x→−∞
f(x) = L.
También son válidos los teoremas anteriores que hacen referencia al ĺıımite de la suma (diferencia), del
producto, de una constante por una función y del rećıproco de una función (basta seguir el álgebra en
R̄ = R ∪ {−∞,+∞}).
4.4 Ĺımites infinitos en el infinito
Sea f : A ⊆ R→ R (verificar si A puede ser igual a R) Diremos que:
1. lim
x→+∞
f(x) = +∞⇐⇒
(∀M > 0)(∃k > 0)x > k ⇒ f(x) > M, (x ∈ A).
2. lim
x→+∞
f(x) = −∞⇐⇒
(∀M < 0)(∃k > 0)x > k ⇒ f(x) < M, (x ∈ A).
3. lim
x→−∞
f(x) = +∞⇐⇒
(∀M > 0)(∃k < 0)x < k ⇒ f(x) > M, (x ∈ A).
4. lim
x→−∞
f(x) = −∞⇐⇒
(∀M < 0)(∃k < 0)x < k ⇒ f(x) < M, (x ∈ A).
Observación: Siguen siendo válidos los teoremas anteriores tal como se hace mención en una observación
anterior.
6
4.5 Aśıntotas
Sean f : A ⊆ R→ R,L ∈ R y a ∈ A′. Se dice que
1. La recta de ecuación x = a es una aśıntota vertical de la gráfica de f si se cumple una de las cuatro
condiciones siguientes:
• lim
x→a+
f(x) = +∞
• lim
x→a−
f(x) = +∞
• lim
x→a+
f(x) = −∞
• lim
x→a−
f(x) = −∞
2. La recta de ecuación y = L es una aśıntota horizontal de la gráfica de f si se cumple una de las dos
condiciones siguientes:
• lim
x→+∞
f(x) = L
• lim
x→−∞
f(x) = L
3. La recta de ecuación y = mx+ b es una aśıntota oblicua de la gráfica de f si:
• lim
x→+∞
[f(x)− (mx+ b)] = 0
• lim
x→−∞
[f(x)− (mx+ b)] = 0
Para el último caso con m 6= 0, se tiene:
m = lim
x→+∞
f(x)
x o m = limx→−∞
f(x)
x según corresponda y
b = lim
x→+∞
[f(x)−mx] o b = lim
x→−∞
[f(x)−mx]
Se dice que las funciones f y g son asintóticamente iguales si
lim
x→+∞
[f(x)− g(x)] = 0 o lim
x→−∞
[f(x)− g(x)] = 0
Notemos que el único tipo de aśıntotas que requiere de ĺımites laterales son las aśıntotas verticales.
4.6 La recta real extendida
Es el conjunto R = R ∪ {−∞,∞}, con el siguiente orden.
(∀x ∈ R)−∞ < x < +∞
Debemos saber que la suma de +∞ con −∞ no está definida.
7