Jesús Mosterín - Lógica de Primer Orden

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JESÚS MOSTERÍN
LOGICA
DE
PRIMER
ORDEN
A R IE L
Jesús Mosterín
LÓGICA DE PRIMER ORDEN
Desde finales del siglo xix, y después de un letar­
go de 2.000 años, la lógica se ha desarrollado a un 
ritmo acelerado, convirtiéndose en upa de las cien­
cias formales más sólidas y bien establecidas. Ac­
tualmente, algunos conocimientos básicós de ló­
gica resultan imprescindibles al filósofo y al mate­
mático, e incluso al lingüista, al programador y al 
interesado por la teoría de la información o la ci­
bernética.
Las ramas de la filosofía contemporánea que han 
logrado un progreso indudable y un rico acopio 
de resultados y aclaramientos fecundos — tales co­
mo la filosofía de la ciencia y la filosofía del len­
guaje— se basan en la aplicación de técnicas y 
conceptos lógicos al análisis de sus problemas. In­
cluso en campos tan aparentemente alejados como 
la ética se empieza a hacer uso de la lógica como 
potente instrumento de dilucidación y sistematiza­
ción. Y no pocos filósofos actuales piensan que la 
filosofía entera no es otra cosa sino la actividad 
del análisis lógico.
El progreso de la lógica llevó a principios de si­
glo al descubrimiento de las paradojas de la teoría 
de conjuntos y, con ello, a la más grave “crisis de 
fundamentos” de la matemática moderna. Pero pre­
cisamente con ayuda de la lógica se encontraron 
también las diversas soluciones a la crisis: teorías 
axiomáticas de conjuntos, teoría de tipos, matemá­
tica intuicionista, etc. Las relaciones entre lógica 
y matemática son estrechas y sus fronteras arbi­
trarias. Respecto a los conceptos fundamentales de 
la teoría de conjuntos nadie sabría afirmar si son 
lógicos o matemáticos. Y en la metamatemática lo­
gramos obtener resultados inequívocamente mate­
máticos por procedimientos lógicos y resultados tí­
picamente lógicos por procedimientos matemáticos. 
En cierto modo, se puede decir que la matemática 
se reduce a la lógica, pues la actividad matemá­
tica consiste en deducir consecuencias (teoremas) 
a partir de axiomas dados. En otro sentido se pue­
de decir que la lógica se reduce a la matemática, 
de la que constituye la parte más general.
La asimilación de las nociones y técnicas lógicas 
elementales facilita grandemente la labor del lin­
güista, del programador, del cibernético, etc. Re­
cuérdese la importancia de la lógica en el desa­
r r o l l o de la leería general de la computabilidad o 
de las máquinas do Turing. Recuérdese también que
l a s C O I ! K M des lingüísticas más recientes — gramá-
1 i r a g O l l i M aliva y 1 ransformaeional de Chomsky,
K . U / . ele. halan de obtener para los lenguajes
■ m i l l í a l e ; . ,con | ui i los de reglas o algoritmos recur-
' . 1 V‘ i ) d e g , i M i e r a e i o n similares a los empleados para
d rl i i in lo-, fm malí.-.mos lóg ieos. I n c lu s o e n l a p s i - 
lo l. ijpi i, 111 p e d a g o g í a v la j u r i s p r u d e n c i a e n c u e n t r a 
I a o 'U din I < i l o g a n ap i lene iones.
w.áq-,1 / in v /m ' in )
COLECCION «CONVIVÍUM» - 11
LÓGICA DE PRIMER ORDEN
COLECCION CONYIVIUM
1. Historia del espíritu griego
2. Metafísica
3. Literatura latina
4. Introducción a la 
latín
por Wilhelm Nestle
por Emerich Coreth
por Jean Bayet 
sintaxis estructural del
por Lisardo Rubio
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
ABC de la grafología
por J. Crépieux-Jamin
Literatura griega. Contenido, problemas y 
métodos
por José Alsina
Tragedia y política en Esquilo
por Carlos Miralles
La investigación científica
por Mario Bunge
Historia de la filosofía
por Frederick Copleston
Introducción a la lógica 
y al análisis formal
por Manuel Sacristán
Lógica de primer orden
por Jesús Mosterín
Los orígenes de la civilización anglosajona
por Micaela Misiego
Teoría axiomática de conjuntos
por Jesús Mosterín
Hipócrates y la nosología hipocrática
por Eulalia Vintró
Salustio. Política e historiografía
por José-Ignacio Ciruelo
Cálculo de las normas
por Miguel Sánchez-Mazas
JESÚS MOSTERlN
L Ó G I C A
DE P R I M E R ORDEN
EDITORIAL ARIEL 
BARCELONA - CA R A C A S - MÉXICO
1. * edición: 1970
2. a edición: septiembre de 1976
© 1970 y 1976: Jesús Mosterín, Barcelona
Depósito legal: B. 3 5 7 5 9 - 1976 
ISBN: 84 344 3939 5
Impreso en España
1976. — ■ I. G. Seix y Barra! Unos., S. A.
Av. J. Antonio, 134, Esplugues de Llobregat (Barcelona)
PROLOGO A LA PRIMERA EDICIÓN
Numerosas ciencias, desde la matemática hasta la meteorología, pasando 
por la química, utilizan símbolos. Así también lo hace la lógica, desde que 
ésta se constituye en ciencia en 1879, con la publicación del Begriffsschrift 
de Frege. El simbolismo usado por Frege tenía el inconveniente de ser bas­
tante complicado — las variables, por ejemplo, tenían distinta forma., según 
que estuviesen libres o ligadas — y, además, era bidimensional. Estos incon­
venientes fueron eliminados por Peano, que en 1894, en su Notation de logi- 
que mathématique, introdujo el primer simbolismo lógico simple y unidimen­
sional. El simbolismo de Peano, convenientemente ampliado, fue adoptado 
por Russell y Whvtehead en sus Principia Mathematica, de 1910-13. Sin em­
bargo, pronto se vio que este simbolismo no era muy elegante, pues sus sig­
nos no reflejaban algunas importantes relaciones entre las operaciones por 
ellos designadas, tales como la dualidad entre conyunción y disyunción, la 
equivalencia del hicondícional con dos condicionales de direcciones opues­
tas, la relación entre conyunción y cuantificación universal o entre disyun­
ción y cuantificación existencial, etc. Por esta razón, el simbolismo de Peano 
ha ido siendo abandonado (aunque algunos autores, como Quine, aún lo con­
servan) en favor de simbolismos más adecuados (en el sentido indicado) y 
elegantes.
Desgraciadamente, todavía no se ha. llegado a una uniformidad en los 
signos lógicos empleados. En este libro adoptaremos el simbolismo que nos 
parece más intuitivo y que más claramente refleja las relaciones arriba indi­
cadas. Actualmente, este simbolismo es de uso universal en Alemania y la 
parte oeste de los Estados Unidos (California, etc.).
La definición de la sustitución plantea serias dificultades. La primera 
versión completamente explícita de un sistema lógico de primer orden, la 
de Hilbert y Ackermann de 1928, resultó inconsistente por una mala defini­
ción de la sustitución. Tarski ha'mostrado en 1951 cóm.o la sustitución puede 
ser evitada. Sin embargo, el disponer de la sustitución en todo su alcance y 
potencia simplifica enormemente las deducciones y la metateoría.
Al contrario de lo que frecuentemente pasa en la bibliografía lógica, en 
las páginas 42-43 de este libro se presenta una definición recursiva exacta
6 PRÓLOGO
de la sustitución para todos los casos, incluidas las fórmulas cu-antificadas 
y las descripciones.
En la mayoría de los libros de texto de lógica se introducen formalismos 
de primer orden sin identidad ni functores y, en cualquier caso, sin descrip­
ciones. Para estos formalismos pobres se definen los conceptos y se presenta 
un cálculo deductivo. Pero esto es de poca utilidad, pues cualquier teoría 
matemática o cualquier argumentación filosófica, a poco complicada que 
sea, necesita para su formalización de la identidad, los functores y las des­
cripciones. La teoría de conjuntos, por ejemplo, hace uso de las descripcio­
nes a cada paso. Esto suele arreglarse mencionando estos temas en un apén­
dice al final.
Una de las peculiaridades de este libro es que aquí, desde un principio, 
se introducen los formalismos de primer orden en toda su potencia, incluyen­
do la identidad, los functores y las descripciones. Esta presentación exige un 
mayor esfuerzo inicial por parte del lector o alumno, pero representa una 
gran economía de esfuerzos al final, pues no hay que volver una y otra vez 
sobre lo mismo, complicándolo cada vez un poco más.
Una de las tareas más importantes de la lógica consiste sin duda alguna 
en el desarrollo de algoritmos generales que nospermitan “mecanizar” o 
normalizar determinados procesos intelectuales. Especialmente importantes 
son los algoritmos o cálculos deductivos, que nos permiten mostrar la co­
rrección de las argumentaciones válidas, desarrollar las teorías axiomáticas, 
precisar el concepto de prueba o demostración, etc.
El primer cálculo deductivo fue presentado por Frege en su citado tra­
bajo de 1879. Los cálculos lógicos posteriores a 1879 y anteriores a 1934 
estaban formulados — igual que el de Frege — como sistemas axiomáticos. 
Había, por un lado, una serie de “axiomas lógicos” y, por otro, una serie de 
reglas de inferencia. La aplicación de estos cálculos resultaba engorrosa y 
artificial, y se parecía poco al proceso del razonamiento no formalizado, que 
parte de las premisas, y, paso a paso, llega a la conclusión. En 1934 Gentzen 
presentó los dos primeros cálculos lógicos sin axiomas y con sólo reglas de 
inferencia, cuya aplicación resulta más familiar y natural que la de los viejos 
cálculos, por lo que los llamó cálculos “de deducción natúral”. A partir de 
entonces se han presentado diversas variantes y simplificaciones de la idea 
de Gentzen.
Aqui presentamos el cálculo deductivo expuesto por Kalish y Montague 
en 1964. Aunque un poco complicado a primera vista, resulta luego sorpren­
dentemente fácil de manejar y de aplicar. Además, tiene la ventaja de seguir 
muy de cerca el proceso normal de la prueba matemática. El lector que 
conozca otros cálculos observará que le resulta más fácil obtener deduccio­
nes en este cálculo que en los otros. En este sentido, es el cálculo más “na­
tural” que conozco. Ni que decir tiene que todos los cálculos clásicos de 
primer orden son equivalentes, es decir, que con ellos pueden deducirse las
PROLOGO 7
mismas sentencias. Por eso, a la hora de elegir un cálculo entre otros, no 
cabe más que invocar motivos pragmáticos o estéticos — en este caso, más 
bien pragmáticos que estéticos, pues hay cálculos mucho más elegantes, aun­
que también mucho más difíciles de manejar y aplicar.
En este libro se presenta la semántica de los formalismos de primer orden 
de un modo riguroso, comenzando por el concepto de interpretación de un 
formalismo y siguiendo por la dilucidación de los conceptos de satisfacibi- 
lidad, consecuencia, etc., llevada a cabo en el sentido de Tarski.
La semántica aquí presentada es la semántica clásica, no la intuicionista. 
(Esto no implica juicio alguno de valor.) La semántica clásica está perfec­
tamente fijada. El único punto problemático es el de la interpretación de las 
descripciones, donde hemos adoptado una solución tipo Frege-Carnap-Mon- 
tague, asignando una designación arbitraria, pero única en cada interpreta­
ción, a todas las descripciones impropias. La solución resulta artificiosa y 
poco intuitiva, pero es la más cómoda a la hora de formalizar y manejar el 
cálculo. El mismo Quine, que siempre había preconizado una solución tipo 
Russell, a la hora de hacer teoría, en su Set theory and its logic, adopta una 
solución del mismo tipo que la aquí adoptada, para no complicarse exagera­
damente al vida.
En la parte de semántica se ofrece la prueba detallada y entera del fun­
damental teorema de la completud semántica de nuestro cálculo deductivo. 
Este resultado fue obtenido por primera vez por Gódel, en 1930. En 1949 
Henkin ofreció una prueba distinta y más simple del mismo resultado. En 
1957, Kalish y Montague realizaron la prueba de la completud semántica 
referida al cálculo aquí presentado — más rico que el tomado como base 
por Gódel y Henkin. La prueba que nosotros ofrecemos representa una no­
table modificación y simplificación de la de Kalish y Montague, aprovechan­
do ideas de Hasenjaeger y Hermas.
Sólo a los lógicos puros — que son muy pocos — interesa la lógica por 
sí misma. La mayoría de las personas — filósofos, matemáticos, etc. — que 
se interesan por la lógica se interesan sobre todo por sus aplicaciones. Saber 
aplicar la lógica, dominar la lógica como arte, consiste sobre todo en saber 
probar que una sentencia dada es o no es una consecuencia de un conjunto 
dado de sentencias, es decir, en saber hacer deducciones y pruebas de inde­
pendencia. Y esto, más que una teoría, es una praxis, que sólo se aprende 
practicándola. La experiencia muestra que los estudiantes encuentran difi­
cultades a la hora de buscar ocasiones de practicar, ejercicio resueltos. Por 
eso en este libro se ofrece una cantidad considerable de ejercicios de deduc­
ción y de prueba de independencia, que espero resulten útiles al lector.
Este libro es de texto en el sentido estricto o estrecho de la palabra. Ha 
surgido de las clases de lógica que el autor ha dado en la Universidad de 
Barcelona en los últimos cuatro años y está destinado a servir de texto a cur­
sos de lógica de nivel universitario.
8 PROLOGO
Para acabar, desearía expresar aquí mi agradecimiento a Hans Hermas, 
de quien he sido discípulo durante tres años, en Münster, y a los estudiantes 
de lógica de la Universidad de Barcelona de los cuatro últimos cursos, cuyo 
sentido de la crítica y del humor ha constituido para mí un constante ali­
ciente y una continua satisfacción.
Barcelona, junio de 1970.
J esús M osterín
PRÓLOGO A LA SEGUNDA EDICIÓN
Los manuales de lógica aparecidos en nuestro país en los seis años 
transcurridos desde la primera edición de esta obra han adoptado el sistema 
de signos lógicos aquí propuesto, lo cual no puede por menos de contribuir 
a la deseable uniformización de la terminología científica.
En esta segunda edición se han corregido erratas y descuidos de la 
primera y se han añadido algunos ejemplos. Pero el carácter y articulación 
de la obra permanecen inalterados: la lógica de primer orden con functores, 
identidad y descripciones se presenta de una vez y desde el principio de un 
modo escueto y preciso, con la mayoría de las pruebas plenamente desarro­
lladas y con abundantes ejemplos y ejercicios que faciliten la asimilación de 
¡as técnicas formales por parte del estudiante.
Agradezco sus observaciones a cuantos lectores me las han hecho llegar, 
y en especial a Calixto Badesa.
J esús M osterín
Barcelona, junio de 1976.
Í N D I C E
Prólogo a la primera edición .............................................. 5
Prólogo a la segunda e d ic ió n ..................................................................... 8
INTRODUCCIÓN
1. N om b res................................................................................................... 13
2. Functores.................................................................................................... 14
3. S e n t e n c i a s ......................................... .................................................. 15
4. P r e d i c a d o s ............................................................................................ 16
5. C o n e c t o r e s ............................................................................................ 17
6. Variables................................................................................................... 19
7. Términos y fórmulas ............................................................................. 19
8. C u an tificad ores.................................................................................... 21
9. Descripciones........................................................................................... 22
10. P a r é n t e s i s ........................................................................................... 24
11. F o r m a liz a c ió n .................................................................................... 25
12. Form alism os............................................................................................ 27
13. Lenguaje y metaleriguaje..................................................................... 27
P a rte prim era
SINTAXIS: GRAMÁTICA DE LOS FORMALISMOS
1.1. Signos comunes a todos los formalismos......................................31
1.2. Signos peculiares de un formalismo . . . . . . . 32
1.3. Filas de s i g n o s .................................................................................... 34
1.4. Términos y fórmulas..................................................... 35
1.5. Inducción se m ió tica ............................................................................. 37
1.6. Estancia libre y ligada de una variable ....................................... 39
1.7. Sustitución de una variable por un té r m in o ................................. 41
1.8. Convenciones notacionales . . . . . . . . . 43
P a rte segunda
SINTAXIS: UN CÁLCULO DEDUCTIVO
11.1. Reglas primitivas de in fe re n c ia ...................................................... 49
11.2. D educciones.................................................................................................. 51
11.3. Reglas derivadas de in f e r e n c ia ...................................................... 54
11.4. Ejercicios de d e d u cció n ..................................................................... 57
11.5. Teoremas sintácticos sobre la deducibilidad............................... 88
11.6. Cuasieliminación de descriptores...................................................... 93
11.7. Consistencia y contradicción............................................................. 97
11.8. Consistencia máxima y ejem plificación................................................100
P a rte tercera 
SEMÁNTICA
111.1. Interpretaciones . 107
111.2. Denotación y satisfacción.............................................................................. 109
111.3. Interpretación y su stitución ...................................................................... 111
111.4. Satisfacibilidad, validez y co n secu en cia ................................................115
111.5. In d e p e n d e n c ia ..............................................................................................117
111.6. Ejercicios de prueba de in d ep en d en cia................................................119
111.7. Corrección semántica......................................................................................127
111.8. Consistencia y sa tisfa cib ilid a d ............................................................... 129
111.9. Completud s e m á n t ic a .............................................................................. 136
Bibliografía . 139
IN T R O D U C C IÓ N
La cadena sonora que sale de nuestras bocas al hablar puede ser seg­
mentada de diversas maneras. De la mayoría de los segmentos no tendría 
sentido preguntar por el objeto o individuo al que se refieren o designan. 
No designan objeto alguno. A los segmentos de la cadena sonora que se 
refieren a algún objeto o individuo les llamamos designadores.
Si en vez de analizar la cadena sonora analizamos textos escritos, nos 
encontraremos en una situación parecida. Podremos segmentar los textos 
(o sucesiones finitas de signos gráficos del alfabeto de que se trate, ampliado 
para abarcar los signos de puntuación y el espacio de separación) de 
muchas maneras. Algunos segmentos de texto designarán quizás algo o a 
alguien, y les llamaremos designadores. La mayoría no designan nada, no 
se refieren a nada.
Hay muchos tipos de designadores. Uno de los más sencillos está cons­
tituido por los nombres.
Todos conocemos ejemplos de nombres. Por ejemplo, “1”, “2”, “3 ”, “4 ”, 
“5”, “6” ... son nombres de números. “París”, “Roma”, “Barcelona”, “Reus”, 
“Sao Paulo”, “Yokohama”... son nombres de ciudades. “Pablo Picasso”, “An­
dró Gide”, “José María de Porcioles”, etc., son nombres de personas. 
“Marte”, “Tierra”, “Venus” ... son nombres de planetas. “R EN FE”, 
“UNESCO”, “ONU”, “NATO” ... son nombres de empresas u organiza­
ciones.
Los nombres son —limitando ahora nuestra atención al lenguaje escri­
to— sucesiones de signos gráficos que designan algo — un número, una 
ciudad, una persona, un planeta, una empresa...— . En esto se comportan 
como el resto de los designadores, de los que se diferencian por ser gene­
ralmente más cortos, más sencillos, más unívocos, más independientes del 
contexto.
Si digo: “yo he comido machacamoya”, “yo” actúa como designador, 
es un designador que se refiere a mí. Pero su referencia variará con el 
contexto, con la persona que pronuncie esa sentencia. Podría decir lo 
mismo, diciendo “Jesús Mosterín ha comido machacamoya”, utilizando el
1. Nombres
14 INTRODUCCION
nombre “Jesús Mosterín”, cuya referencia permanecerá invariable, utilice 
la sentencia quien la utilice. En este caso, pues, aunque el nombre era más 
largo que el otro designador — el pronombre “yo" — , resultaba más unívoco, 
más independiente del contexto.
Vamos a ir introduciendo un simbolismo sencillo para formalizar las 
expresiones lingüísticas que nos interesen. Así, en vez de los nombres del 
lenguaje ordinario, nosotros utilizaremos las primeras letras minúsculas del 
alfabeto latino: a, b, c, e, k, si es necesario con subíndices de diferenciación
(íifl, di, d%, ..., etc.).
Consideremos el texto: “Charles de Gaulle vive en París, que es la 
capital de Francia”. Podemos simbolizar a “de Gaulle” por a, “París” 
por b, y “Francia” por e, con lo que obtenemos: “a vive en b, que es la 
capital de e”.
2. Functores
Los norfibres son designadores simples, en el sentido de que ninguna 
parte propia de ellos es a su vez un designador. Pero no todos los designa­
dores son así. Con frecuencia nos encontramos con designadores compuestos, 
designadores que pueden segmentarse en varias partes, algunas de las cuales 
son a su vez designadores.
“El río que atraviesa la capital de Francia” es un designador, una 
expresión lingüística que se refiere a un objeto o individuo: el río Sena. 
“Sena” es su nombre, pero no la única expresión que lo designa. “La capital 
de Francia” es, una parte propia del designador citado y, a su vez, un 
designador, e incluso un designador compuesto también, pues una de sus 
partes, “Francia”, es ella misma un designador; un designador simple en 
este caso, es decir, un nombre.
Hay algunas expresiones lingüísticas que, seguidas de un número deter­
minado de designadores, forman a su vez un designador. Estas expresiones 
se llaman functores.
Un functor que, seguido de un designador de cierto tipo, forma un de­
signador, se llama functor monádico o monario. Así, hablando de personas, 
“la madre d e ...” es un functor monádico. Junto con los designadores perso­
nales “Pablo VI” o “Juan Ramón Jiménez” forma los designadores “la 
madre de Pablo VI” o “la madre de Juan Ramón Jiménez”. Hablando de 
números naturales, “...2” o “el siguiente d e ...” son functores monádicos. 
Junto con los designadores “3” o “4” forman los designadores “32” y “el 
siguiente de 3”, o “42” y “el siguiente de 4”.
Un functor que necesita de dos designadores de un cierto tipo para 
formar un nuevo designador se llama functor diádico o binario. Así, hablan­
do de números naturales, “el máximo común divisor de... y...”, “el mínimo 
común múltiplo de... y...” son functores diádicos.
SENTENCIAS 15
Junto con los dos designadores 7 y 5 forman los designadores “el m.c.d. de 
7 y 5”, “el m.c.m. de 7 y 5”, “7 + 5”, “7 ■ 5”.
Un functor que necesita de tres designadores para formar un nuevo 
designador se llama functor triádico o temario. En general, un functor 
que necesita de n (donde n es un número natural cualquiera) designadores 
para formar un nuevo designador se llama un functor n-ádico o n-ario.
Obsérvese que los nombres señalan simplemente su objeto de referencia 
sin indicar nada acerca de él, mientras que los designadores compuestos 
(de un functor y otros designadores) señalan su objeto de referencia indi­
cando alguna relación en que ese objeto está con los otros objetos designa­
dos por los designadores componentes. Así, el nombre “9 ” no indica nada 
del objeto al que se refiere, mientras que su designador compuesto “32” 
indica que es el cuadrado de 3. Lo mismo puededecirse de “París” y “la 
capital de Francia”, etc.
En nuestra simbolización, en vez de los functores del lenguaje ordinario, 
utilizaremos las siguientes letras minúsculas del alfabeto latino: f, g, 7i, si 
es necesario con subíndices de diferenciación (/0, fi, /2,---) etc.). Cuando lo 
creamos oportuno, indicaremos el número ádico o ario de un functor (es 
decir, el número de designadores que necesita para formar un nuevo desig­
nador) colocándolo en la parte superior derecha de la letra con que lo 
simbolicemos. Así, si “/ ” es un functor triádico y queremos indicarlo, escri­
biremos “f3”.
Consideremos el texto: “El padre de Juan Sebastián Bach también era 
músico”. Podemos simbolizar al nombre “Juan Sebastián Bach” por o, y al 
functor “padre d e ...” por /, con lo que obtenemos, escribiendo delante el 
functor: “fa también era músico”.
3. Sentencias
Un designador se refiere a algo. “El Sena”, lo mismo que “El río que 
atraviesa la capital de Francia”, se refiere al río Sena. Pero ¿qué sentido 
tendría preguntar si “el Sena” es verdadero o falso? Ninguno, evidente­
mente. De muchos de los segmentos en que podemos dividir la cadena 
sonora que sale de nuestras bocas o los textos escritos que salen de nuestra 
mano no podemos decir que sean verdaderos o falsos. Sólo de algunos. 
A éstos les llamamos sentencias. Una sentencia es una expresión lingüística 
de la que podemos decir que es verdadera o falsa, aunque no sepamos si es 
lo uno o lo otro.
Así, por ejemplo, “París es la capital de Francia”, “5 + 5 = 12” y 
“Tengo unas ganas enormes de cantar” son sentencias. La verdad o false­
dad de las sentencias depende con frecuencia del contexto. “Ayer fui al 
cine” puede ser verdadera o falsa, según la persona que la diga y el día 
en que la diga. Nosotros nos interesaremos por sentencias que sean lo más
2 . — L Ó G I C A D E P R I M E R O R D E N
1 6 INTRODUCCION
independientes posible del contexto, tales como muchas sentencias cientí­
ficas o notariales. Al decir “Ayer fui al cine” digo lo mismo que al decir 
“el día 8 de enero de 1969 jesús Mosterín fue al cine”, pero esta segunda 
sentencia es mucho más independiente del contexto que la primera.
Hemos visto que podemos establecer una correspondencia entre desig- 
n adores del lenguaje y objetos del mundo. Algunos filósofos han buscado 
una correspondencia parecida para las sentencias, y han creído encontrarla 
en los hechos. Así como un nombre designa un objeto, una sentencia pre­
tendería describir un hecho. De una sentencia diríamos que es verdadera, 
si realmente describe un hecho; y que es falsa, en el caso contrario.
4. Relatores
Habíamos visto que hay expresiones lingüísticas que, junto con un núme­
ro determinado de designadores, forman un nuevo designador. Las había­
mos llamado functores. Del mismo modo podemos observar que hay expre­
siones lingüísticas que, junto con un número determinado de designadores, 
forman una sentencia. Las llamaremos relatores.
Un relator que, seguido de un designador de un cierto tipo, forma una 
sentencia se llama un relator monádico o monario. Así, hablando de perso­
nas, “... es bueno”, “... está enfermo”, ronca terriblemente”, vive 
en una casa de campo en las afueras de Amsterdam” son relatores moiuí- 
dicos. Junto con designadores tales como “Juan Peláez”, “el rey de Thai­
landia”, “el padre de Juan Peláez” y “el alcalde de Amsterdam”, forman 
sentencias tales como “Juan Peláez es bueno”, “el rey de Thailandia . está 
enfermo”, “el padre de Juan Peláez ronca terriblemente” y “el alcalde de 
Amsterdam vive en una casa de campo en las afueras de Amsterdam”.
Un relator que necesita dos designadores para formar una sentencia se 
llama un relator diádico o binario. Así, hablando de personas “ ... ama 
a . . .”, y es mucho más alto que . . . ” son relatores diádicos. Junto con 
designadores tales como “Juan Peláez”, “la hija mayor del alcalde de Ams­
terdam”, “Julio Quebrantahuesos” y “el rey del Nepal”, forman sentencias 
tales como “Juan Peláez ama a la hija mayor del alcalde de Amsterdam” y 
“Julio Quebrantahuesos es mucho más alto que el rey del Nepal”.
Un relator que necesita tres designadores para formar una sentencia se 
llama un relator triádico o ternario. Así, hablando de ciudades, " ... está 
situada entre ... y . . .” es un relator triádico. Junto con designadores tales 
como “Zaragoza”, “Madrid” y “Barcelona” forma sentencias tales como 
“Zaragoza está situada entre Madrid y Barcelona”.
En general, un relator que necesita n designadores para formar una 
sentencia se llama un relator n-ádico o « ario.
En nuestro simbolismo, emplearemos las letras mayúsculas del alfabeto 
latino H, P, Q, R, S para representar los relatores del lenguaje ordinario.
CONECTORES 17
Sí es necesario, emplearemos subíndices de diferenciación : Po, Pi, P2, 
Cuando lo creamos oportuno, indicaremos el número ádico o ario de un 
relator (es decir, el número de designadores que necesita para formar una 
sentencia) colocándolo en la parte superior derecha de la letra con la que 
lo simbolicemos. Así, si R es un relator diádico y queremos indicarlo, 
escribiremos R*.
Consideremos el texto: “Juan ama a su madre, pero no aguanta a 
doña Leovigilda”. Podemos simbolizar el nombre “Juan” por a, el nom­
bre “doña Leovigilda” por h, el functor “la madre de . . . ” por /, el relator 
ama a .. .” por P y el relator " ... aguanta a . . . ” por Q. Escribiendo el 
relator delante de los designadores con los que forma una sentencia, obte­
nemos :
Paja, pero no Qab.
■5. Comedores
Hay ciertas expresiones de las que no se puede decir que sean desig­
nadores o sentencias, pero que desempeñan un importante papel en la 
formación de sentencias compuestas a .partir de otras más simples. Éste es 
el caso, por ejemplo, de algunas de las partículas que los gramáticos llaman 
conjunciones: “y”, “o”, “no”, “pero”, “si ... entonces . . .”, etc.
Estas partículas sirven, entre otras cosas, para determinar el valor de 
verdad (es decir, si es verdadera o falsa) de la sentencia compuesta en 
función de los valores de verdad de las sentencias simples que la componen. 
Así, una sentencia como “Juan duerme y Pedro estudia” será verdadera 
en el caso y sólo en el caso de que tanto la sentencia “Juan duerme” como 
la sentencia “Pedro estudia” lo sean.
En nuestro simbolismo, utilizaremos el signo “~i” para representar la 
partícula “no” y otras de función parecida” tales como “ni”, “no es el 
caso que”, etc. Así, representaremos la sentencia “no Qab” por i Qab”.
Para representar la partícula “y”, así como otras de función parecida, 
como “también”, “pero”, “igualmente”, “tanto ... como”, etc., utilizaremos 
el signo “a ”. A sí representaremos “Paja, pero no Qab” por “Pafa a —i Qab”.
Al decir “de función parecida” en éste y en los otros párrafos, no hav 
que suponer ninguna concesión a la vaguedad. Puesto que los conectores 
sirven especialmente para determinar los valores de verdad de las senten­
cias compuestas, no nos interesan de ellos las connotaciones de otro orden 
que pudieran tener. Aunque “pero”, por ejemplo, se usa cuando hay una 
cierta oposición entre las dos sentencias que une, su contribución al valor 
de verdad de la sentencia compuesta resultante es la misma que la de “y” . 
Así: “Juan no viene hoy pero vendrá mañana” es verdadera en el caso 
y solamente en el caso en que lo sea “Juan no viene hoy y vendrá 
mañana”. La diferencia entre ambas sentencias es retórica,- no lógica.
18 INTRODUCCION
Consideraciones semejantes pueden hacerse para las restantes partículas. 
La partícula “o” se utiliza al menos en dos sentidos, uno exclusivo (que 
excluye la verdad simultánea de las dos sentencias que conecta), como en 
“a estas horas ya le habrán aprobado o le habrán suspendido”, y otro no 
exclusivo (que no excluye la verdad simultánea de las dos sentencias que 
conecta), como “aprobarán los alumnos que hayan escrito un buen trabajo 
en casa o hayan hecho un buen examen”, “se requiere saber francés o 
inglés”, “todossus amigos son aficionados al cine o a la música”, etc. Repre­
sentaremos la partícula “o”, en su uso no exclusivo, mediante el signo “v ”. 
Así en vez de “Qab o no Qab”, escribiremos “Qab v —> Qab”.
Para representar la expresión “si ..., entonces . . . ” u otras parecidas 
utilizaremos el signo Si A y B son dos sentencias, en vez de cual­
quiera de estas sentencias:
si A, entonces B 
si A, B
suponiendo que A, B 
B, si A
B, a condición de que A 
A es una condición suficiente de B 
B es una condición necesaria de A
escribiremos: “A —» B ”. Lo que queremos decir es que, siempre que A sea 
cierto, también lo será B.
Para representar la expresión " ... si y sólo si . . . ” u otras parecidas utili­
zaremos el signo Si A y B son dos sentencias, en vez de
A si y sólo si B
A es una condición necesaria y suficiente de B 
si A, B, y si B, A,
escribiremos: “A < ^ B ”. Lo que queremos decir es que A y B tienen el 
mismo valor de verdad, que las dos son ciertas o las dos son falsas.
A estos signos:
“ l, A, V,
y a las expresiones lingüísticas por ellos representadas, les llamaremos 
conectares, porque sirven para conectar unas sentencias con otras (excepto 
““ ó ), formando sentencias más complicadas a partir de otras más simples.
Lo fundamental de los conectares es que determinan unívocamente el 
valor de verdad de la sentencia compuesta, por ellos conectada, en función 
de los valores de verdad de las sentencias componentes. Esto no ocurre
VARIABLES. TERMINOS Y FORMULAS 19
siempre así con las expresiones del lenguaje ordinario. Pero nosotros sólo 
usaremos los nuevos signos aquí introducidos cuando esto ocúrra.
“ i A será verdadero, si A es falso. En los demás casos, falso.
A a B será verdadero, si tanto A como B son verdaderos. En 
los demás casos, falso.
A v B será falso, si tanto A como B son falsos. En los demás 
casos, verdadero.
A —» B será falso, si A es verdadero y B falso. En los demás 
casos, verdadero.
A * > B será verdadero, tanto si A y B son los dos verdaderos, 
como si A y B son los dos falsos. En los demás casos, 
falso.
6. Variables
Los matemáticos utilizan con frecuencia variables, sobre todo cuando 
quieren decir algo bastante general, como que la ecuación
x + y = y + x
siempre resulta satisfecha, cualesquiera que sean los números reales que 
pongamos en vez de las variables.
En el lenguaje ordinario, los pronombres juegan con frecuencia el papel 
de variables. “Él ha sido el asesino”. ¿Él? ¿Quién? Es como decir: “x ha 
sido el asesino”. “Lo he visto con mis propios ojos”. ¿Lo? ¿Qué? Es como 
decir: “He visto x con mis propios ojos”.
En realidad, a la hora de analizar textos del lenguaje ordinario y simbo­
lizarlos adecuadamente, nos daremos cuenta de que las variables constituyen 
un valioso recurso de simbolización. Como variables utilizaremos las últimas 
letras minúsculas del alfabeto latino: u, v, w, x, y, z. Si es necesario usare­
mos subíndices de diferenciación: x0, xu x2, X?.. ... 7
7. Términos y fórmulas
Si en una sentencia sustituimos un designador por una variable (o va­
rios desígnadores por otras tantas variables), el resultado es lo que llamamos 
una fórmula abierta.
Así, sustituyendo el designador “Juan” por la variable “x” en la senten­
cia “Juan ama a su prima”, obtenemos la fórmula abierta “x ama a su 
prima”. Del mismo modo, sustituyendo el designador “la madre de Luis” 
por “y” en la sentencia “la madre de Luis se pasa el día cosiendo”, obte­
nemos la fórmula abierta “y se pasa el día cosiendo”. Sustituyendo el
20 INTRODUCCIÓN
designador “5 ” por “x” y el designador “7” por “y” éii la sentencia 
“5 7 > 10”, obtenemos la fórmula abierta “x-j- y ~ > 1 0 ”.
Obsérvese que, mientras las sentencias son verdaderas o falsas, las fórmu­
las abiertas no son ni lo uno ni lo otro. “5 7 >• 10” es cierto, pero
“x -f- y > 10” no es ni cierto ni falso.
Si en un designador sustituimos un designador por una variable (o varios 
designadores por varias variables), el resultado es lo que llamamos un 
término abierto.
Así, sustituyendo el designador “Luis” por la variable “x” en el desig­
nador “la madre de Luis”, obtenemos el ténnino abierto “la madre de x”. 
De igual modo, sustituyendo “el último rey de Francia” por “z” en el desig­
nador “la cabeza del último rey de Francia”, obtenemos el término abierto 
“la cabeza de z”. Y sustituyendo el designador “8 ” por “x” y el designador 
“9” por “y” en “(8 -f- 9)2”, obtenemos el término abierto “(x -f- y)2”.
Obsérvese aquí también que, mientras los designadores designan o se 
refieren a un individuo u objeto determinado, los términos abiertos no se 
refieren a individuo u objeto alguno. Así, por ejemplo, “(8 -f- 9)2” designa 
al número 289, pero “(x - f - y)2” no designa número alguno.
De ahora en adelante, llamaremos fórmulas tanto a las fórmulas abier­
tas como a las sentencias. Y llamaremos términos tanto a los términos abier­
tos como a los designadores.
Según la terminología que hemos adoptado, “El padre de Enrique es 
amigo del alcalde de Reus” es una fórmula y, en especial, una sentencia. 
“x es amigo de y” es una fórmula y, en especial, una fórmula abierta. 
“Madrid es la capital de España” es una fórmula y, en especial, una senten­
cia (en este caso, verdadera). “5 -j- x = 10” es una fórmula y, en especial, 
una fórmula abierta (ni verdadera ni falsa). “La capital de Francia” es un 
término y, en especial, un designador (que designa París). “El padre de Fe­
lipe II de España” es un término y, en especial, un designador (que designa 
a Carlos I de España). “5 -j- 6 ” es un término y, en especial, un designador 
(que designa al número 11). “La capital de x”, “el padre de z” y “5 -f- y” 
son términos y, en especial, son términos abiertos, que no designan objeto 
alguno.
El siguiente cuadro resume lo dicho:
abierto
término <
[ designador (designa un objeto o individuo)
fórmula
CUANTIFICADORES 2 1
8. Cuantificadores
A veces nos encontramos con expresiones lingüísticas que nos sirven 
para decir algo de todos los objetos de una clase determinada. Por ejemplo, 
la expresión “todos los” en “todos los chinos aman a Mao”, o la expresión 
“cada” en “cada uno tiene sus gustos”, o la expresión “el” en “el hombre 
es un mamífero”. Otras expresiones nos sirven para decir algo de algunos 
objetos de una clase determinada, para afirmar que en esa clase hay al 
menos un objeto que cumple lo que se dice. Por ejemplo, la expresión 
“unos” en “unos tipos sospechosos me seguían”, o la expresión “algunos” 
en “algunos chinos aman a Liu Chao-chi”, o la expresión “hay” en “hay 
personas que pesan más de 120 kg”. A todas estas expresiones las llama­
remos cuantificadores. A las primeras (“todo”, “cada”, “el” ...), cuantifica­
dores universales, alas segundas (“algún”, “unos”, “hay”, ...), cuantificado­
res particulares.
Al cuantificador universal lo representaremos por “A ”, al particular 
por “V ”. Después del cuantificador escribiremos siempre una variable, a 
la que llamaremos variable cuantificada:
Ax, Ay, Vz, \/w ...
A partir de fórmulas abiertas podemos construir fórmulas cuantificadas, 
anteponiendo cuantificadores, seguidos cada uno de una variable. Si digo 
“todos mis amigos son gentes de fiar” quiero decir que, de cualquier x, 
se puede afirmar la fórmula abierta:
si x es amigo mío, entonces x es de fiar
es decir,
x es amigo rnío —> x es de fiar.
Para simbolizar enteramente la sentencia “todos mis amigos son gente 
de fiar”, he de añadir el cuantificador universal:
Ax (x es amigo mío —» x es de fiar).
O, simbolizando los relatores “... es amigo mío” y “... es de fiar” por “P” 
v “Q”, respectivamente:
Ax (Px -» Qx).
Obsérvese que, desde el punto de vista gráfico, el cuantificador univer­
sal, A, es como un conyuntor más grande, mientras que el cuantificador 
particular, V, parece un disyuntor de gran tamaño. También a nivel intui­
tivo existe una semejanza funcional entre estos dos pares ds signos. En 
efecto, si tomamos una clase finita como ámbito de referencia, entonces 
la cuantificaciónuniversal equivale a una conyunción repetida, mientras 
que la cuantificación particular es como una disyunción iterada.
0 9 INTRODUCCIÓN
Así, por ejemplo, si en un club sólo hay tres socios: Juan, Pedro y Enri­
que, decir “todos los socios spn honrados” equivale a decir “Juan es honrado 
y Pedro es honrado y Enrique es honrado”; y decir “algún socio es un 
ladrón” equivale a decir “Juan es un ladrón o Pedro es un ladrón o Enrique 
es un ladrón”. Simbolizando “Juan” por a, “Pedro” por b y “Enrique” 
por c, el relator " ... es honrado” por H y “ ...e s un ladrón” por L, y convi­
niendo que nuestras variables se refieren a socios del club, tenemos que
Ax Hx equivale a Ha a H '> a He 
Vx Lx equivale a La v Lb v Le
Claro está que esto sólo ocurre, como ya hemos indicado, en el caso de 
que hablemos de una clase finita, como la de los miembros de un club. En 
el caso de clases infinitas, como la de los números naturales, la cuantifica- 
ción es insustituible. Si queremos decir que todos los números naturales 
poseen una determinada propiedad P, podemos escribir:
A xPx
Pero si quisiéramos escribirlo como conyunción repetida 
P1 a P2 a P3 a P4 a P5 a P6 a P7 a . . . 
no podríamos, pues no acabaríamos nunca de escribir esa conyunción.
9. Descripciones
A veces nos referimos a un individuo indicando una característica que 
sólo él posee, caracterizándolo, describiéndolo unívocamente. La expresión 
lingüística que empleamos para ello es un designador, pues designa un 
individuo. Pero es un designador un tanto peculiar.
Consideremos la fórmula abierta
x mató a Robert Kennedy
Supongamos que Robert Kennedy fue asesinado por una sola persona. 
En ese caso, la fórmula abierta que acabamos de escribir caracteriza o des­
cribe unívocamente a un individuo: al asesino de Robert Kennedy, al que 
mató a Robert Kennedy, al x tal que x mató a Robert Kennedy.
Para simbolizar las caracterizaciones o descripciones unívocas de un 
individuo, introducimos el signo “i” (la iota griega), al que llamaremos el 
descriptor. El descriptor, como los cuantificadores, siempre va seguido de 
una variable.
El designador “el que mató a Robert Kennedy” será simbolizado así: 
tx x mató a Robert Kennedy
DESCRIPCIONES 23
o, más completamente, simbolizando el relator “...m ató a .. .” por M, y el 
nombre “Robert Kennedy”por k:
ix Mxk
Si simbolizamos el relator monódico " .. . es habitante de Barcelona” 
por H y el relator diádico “... es más anciano que . . .” por M, podemos 
simbolizar el designador “el más anciano habitante de Barcelona” por:
ix (Hx a ~iV i/ (Hy a Myx))
que, en lectura detallada, dice:
el x tal que: x es habitante de Barcelona y no hay ningún habi­
tante de Barcelona que sea más anciano que él.
Hagamos que nuestras variables se refieran a números naturales, sim­
bolicemos el relator diádico " ... es divisor de . . .” por “ ” y el predicado 
diádico " ... es menor o igual que . . .” por “<T\ Podemos simbolizar el 
designador “el máximo común divisor de n y m” por:
ix (x|n a x|nt a A y (¡/¡n a y m — < * ) ) 
que en lectura detallada, dice:
el x tal que: x es divisor de n y de m, y cualquier otro número 
que es divisor de n y de m es menor o igual que él.
“El menor número natural” se simbolizaría: 
tx Ay x < ¡y
“El mayor número natural” sería 
ix A y y <1 x
Ahora bien, mientras todos sabemos que el 0 es el menor número natu­
ral, el mayor no existe. La expresión “el mayor número natural” no describe 
unívocamente objeto alguno, no caracteriza a objeto alguno, aunque por su 
forma sea una caracterización. En el mismo caso están expresiones tales
como “el actual rey de Francia”, “el hijo menor de Fulano” (donde 
Fulano no tiene hijos), etc.
Ante estas caracterizaciones engañosas o descripciones impropias cabe 
tomar dos caminos por lo menos. Uno consiste en excluirlas del lenguaje, 
no admitirlas como términos (es el camino de Hilbert). Otro consiste en 
atribuirles una designación arbitraria, la misma para todas ellas. Cada 
descripción propia designaría su objeto unívocamente descrito, mientras 
que todas las descripciones impropias designarían un mismo objeto, arbi­
trariamente elegido por el hablante. Este camino resulta un tanto sofisticado
24 INTRODUCCIÓN
v artificioso, pero tiene muy ciaras ventajas técnicas a la hora de forma­
lizar, Es el camino seguido por Frege y Camap y el que seguiremos noso­
tros aquí.
10. Paréntesis
Las mismas palabras, colocadas en el mismo orden, pueden dar lugar a 
sentencias distintas, según las pausas que hagamos al pronunciarlas o los 
signos de puntuación que empleemos al escribirlas. Si, refiriéndonos a nues­
tro amigo John, decimos: “John habla en francés, o John habla en inglés y 
Pedro no le entiende”, damos a entender que Pedro no entiende el inglés, 
pero posiblemente sí el francés. Al decir: “John habla en francés o John 
habla en inglés, y Pedro no le entiende”, queremos más bien indicar que 
Pedro no entiende ni el francés ni el inglés, que son los idiomas que habla 
nuestro amigo, por lo que en cualquier caso no le entiende.
Tratemos de formalizar estas dos sentencias, usando “H ” para “... habla 
francés”, “N ” para " ... habla inglés”, “E ” para “... entiende a . . .”, “a” para 
nuestro amigo “John” y “b ” para “Pedro”.
Las dos sentencias arriba citadas podrían formalizarse de momento así:
Ha v Na a ~i Eba
Ahora bien, una de esas sentencias podría ser falsa y la otra verdadera. 
No pueden ser formalizadas de la misma manera. Al pronunciarlas, marcá­
bamos la diferencia mediante las pausas; al escribirlas, mediante las comas; 
al formalizarlas, marcaremos la diferencia mediante la distinta colocación 
de los paréntesis.
Ha v (Na a —i Eba)
(Ha v Na) a ~ i Eba
serán la correcta formalización de la primera y la segunda sentencia, res­
pectivamente.
Los paréntesis son al lenguaje formalizado lo que las pausas al lenguaje 
hablado y los signos de puntuación al lenguaje escrito normal.
Los paréntesis se emplean mucho en la matemática. No es lo mismo
8 - ( - 7 - 5 que (8 -|~ 7) ■ 5
8 - ( - 7 - 5 es 43, mientras que (8 -(-7)-5 es 75.
Tampoco es lo mismo 5 -|- 7"x -|- y que (5 -(- 7)2(x -|~ y).
También en el lenguaje formal de la lógica los paréntesis están a la 
orden del día. Los paréntesis nos sirven para indicar hasta dónde llega el 
efecto de un cuantificador o de un descriptor. Supongamos que núes-
FOBMALIZ ACION 25
tras variables se refieren a personas, “S” representa a " ... es sueco” y “E ” a
es europeo”.
“Si todos los hombres son suecos, x será un europeo” es una fórmula 
abierta y se formaliza así:
AxSx —> Ex
“Todos los suecos son europeos” es una sentencia y se formaliza asi: 
Ax(Sx —» Ex)
La diferencia se indica, pues, únicamente por la colocación de los pa­
réntesis.
Si nuestras variables se refieren a números naturales (0, 1, 2, 3, ..., etc.) 
y M representa a " ... es menor que . . .”, formalizaremos la descripción “el 
número natural menor que el 1” (que designa al 0) por
ixMxl.
Para formalizar la descripción “el número natural menor que el 2 y 
mayor que el 0” (que designa al 1) hemos de hacer uso de los paréntesis:
ix (Mx2 a MOx).
Si no lo hiciésemos, esto es, si escribiésemos llanamente: 
tx Mx2 a MOx,
no sólo no conseguiríamos decir lo mismo, sino que, por añadidura, no 
diríamos nada. En efecto: la fila de signos anterior a “a ” es un término, 
mientras que la posterior es una fórmula, y sucede que los conectores han 
sido introducidos para unir precisamente dos fórmulas. (Por otra parte 
‘\xMx2” no designa objeto alguno: no hay solamente un número natural 
menor que 2.)
11. Formalización
Formalizar las expresiones del lenguaje ordinario significa simbolizarlas 
de acuerdo con las normas hasta ahora expuestas. Para formalizar unas 
expresiones hay que empezar por analizarlas, es decir, por ver si son 
sentencias, designadores, etc., y cuáles son sus componentes. A continua­
ción hay que indagar cuáles son los nombres, functores y relatores distintos 
que en ellas aparecen, asignandouna letra distinta correspondiente a cada 
uno de ellos. Finalmente, y por medio de ios siglos lógicos (conectores, 
cuantificadores y descriptor), las variables y los paréntesis, hay que tradu­
cir simbólicamente la estructura de las expresiones de que partimos.
26 INTRODUCCIÓN
Pongamos varios ejemplos numéricos. Supongamos que nuestras varia­
bles se refieren a números naturales y simbolicemos los relatores monádi- 
cos " ... es par” y es impar” por “P” y “Q” respectivamente, el relator 
diádico " ... es menor que . . .” por “< ” y el functor monádico “el siguiente 
de . . . ” por
“Hay por lo menos un número par menor que tres” lo simbolizare­
mos por
\/x(Px A X < 3)
“Hay a lo sumo un número par menor que tres” por
A xy(Px APy A X < 3 A t j < 3 - > x = y)
“Hay exactamente un número par menor que tres”, que equivale a las 
dos sentencias anteriores, juntas, puede simbolizarse uniendo sus simboliza­
ciones respectivas:
\/x(Px a x < 3) a A xy(Px a P(/a x < 3 a ( / < 3 - > i = y) 
o, más brevemente,
\/x(Px a x < 3 a Ay(Py a y < 3 -> x = y))
“El número siguiente de cualquier número par es impar” se conver­
tirá en
Ax(Px -> Qfx)
“El número siguiente de cuatro es cinco” será 
f4 = . 5
La silogística aristotélica, que es la teoría lógica más antigua, sólo se 
ocupa de sentencias de 4 tipos muy determinados: del tipo a: “todos los A 
son B”; del tipo i: “algún A es B ”; del tipo e: “ningún A es B” y del tipo o: 
“algún A no es B”, donde A y B son relatores monádicos. Nosotros sim­
bolizaríamos estas sentencias así:
tipo a: Ax(Ax-+Bx) 
tipo i: Vx(Ax a Bx) 
tipo e : Ax(Ax -> Bx) 
tipo o: Vx(Ax a Bx)
Así, por ejemplo, si nuestras variables se refieren a hombres, y las letras 
G, E y M representan los relatores monádicos “... es griego”, " ... es 
europeo” y " ... es mortal”, respectivamente, podemos simbolizar
“todos los griegos son mortales” como
Ax(Gx -» Mx)
FORMALISMOS. LENGUAJE Y METALENGUAJE 27
“ningún griego es mortal” como 
Ax(Gx —i Mi)
“algunos europeos son griegos” como 
\/x(Ex a Gx)
y
“algunos europeos no son griegos” como 
\/x(Ex a - i Gx).
12. Formalismos
Podemos llegar a determinadas fórmulas o términos simbólicos como 
resultado de un proceso de formalización de textos del lenguaje ordinario, 
movidos, por ejemplo, por el deseo de aclarar o controlar una determinada 
argumentación.
Pero también podemos interesarnos por las posibilidades que hay de 
construir términos y fórmulas a partir de determinados signos, con inde­
pendencia del lenguaje ordinario. Podemos definir propiedades de fórmulas 
y relaciones entre fórmulas. Podemos, en una palabra, interesarnos por los 
formalismos.
Un formalismo no es sino eso: un conjunto de signos y de determinadas 
combinaciones de esos signos. Aquí vamos a considerar un tipo peculiar de 
formalismos: los de primer orden.
Todos los formalismos de primer orden tienen ciertos signos comunes: 
los conectores, los cuantificadores, el descriptor, el relator diádico de igual­
dad, “= ”, y las variables. Pero unos formalismos se diferencian de otros en 
los distintos nombres, functores y relatores que poseen.
Un formalismo es, en principio, un mero juego de signos y de combina­
ciones de signos, desprovisto de toda significación. Sin embargo, podemos 
interpretar un formalismo, cuando así nos interesa, atribuyendo significados 
a sus signos. Un formalismo así interpretado se convierte en un lenguaje 
formal. Claro que un mismo formalismo es susceptible de ser interpretado 
de muy diversas maneras, dando lugar a diferentes lenguajes formales.
En la sintaxis estudiaremos los formalismos con independencia de toda 
interpretación. El estudio de las interpretaciones será objeto de la se­
mántica.
13. Lenguaje y metalenguaje
Cuando un grupo de españoles vamos a clase de latín, el profesor nos 
habla en español acerca del latín. Utiliza la lengua española para hablar­
nos de la lengua latina. En ese sentido decimos que el español está siendo
2 8 INTRODUCCIÓN
usado como metalenguaje para el estudio adecuado del latín, que es el 
lenguaje-objeto.
Los formalismos son susceptibles de ser interpretados y, por tanto, de 
convertirse en lenguajes: lenguajes formales. Pero su estudio ha de reali­
zarse desde otro lenguaje que, respecto a ellos, es un metalenguaje. En este 
libro estudiaremos los formalismos —o lenguaje-objeto— utilizando como 
metalenguaje el castellano, o, mejor dicho, el castellano enriquecido con 
determinadas expresiones matemáticas y determinados signos ad hoc que 
iremos introduciendo.
Hasta aquí hemos introducido una serie de conceptos de un modo intui­
tivo e insatisfactorio. Con ello espero haber conseguido lo que pretendía: 
que una serie de palabrotas técnicas empiecen a “sonarle” al lector. Tan 
pronto como pase al primer capítulo, es de esperar que el lector olvide lo 
leído en la introducción y se quede con las definiciones más precisas que 
de aquí en adelante encontrará.
PARTE PRIMERA
SINTAXIS:
GRAMATICA DE LOS FORMALISMOS
1.1. Signos comunes a todos los formalismos
El alfabeto de cada formalismo está constituido por dos clases de 
signos: los signos comunes a todos los formalismos y los signos peculia­
res de él.
Los signos comunes a todos los formalismos son las variables, los signos 
lógicos y el igualador.
Las variables constituyen un conjunto infinito recursivamente nume­
rable de signos distintos. Es decir, hay tantas variables como números natu­
rales. A cada variable corresponde un número natural distinto, al que lla­
mamos su índice. Así podemos hablar de la primera variable (o variable 
de índice 1), de la segunda variable (o variable de índice 2), ... de la n-ésima 
variable (o variable de índice n), etc. Inversamente, a cada número natural 
corresponde una variable: la que tiene ese número como índice. Variables 
distintas tienen índices distintos y una sola variable tiene un solo índice.
Las variables pueden tener cualquier forma gráfica compatible con las 
anteriores exigencias. Por ejemplo, podrían tener la forma de cruces segui­
das de palotes (el número de palotes indicaría el índice) o de círculos con 
un número en su interior (donde el número en el interior de cada círculo 
indicaría el índice), etc.
La forma concreta que tengan las variables nos resulta indiferente, pues 
nosotros no las usaremos, sino únicamente las mencionaremos. Para refe­
rirnos indistintamente a variables, introducimos como metavariables las
primera variable ¢( 
segunda ” ¢(
tercera *
cuarta *
©
©
3 . — - L O G I C A DE P R I M E R O R D E N
32 SINTAXIS: GRAMÁTICA DE LOS FORMALISMOS
últimas letras minúsculas del abecedario latino (provistas, cuando sea nece­
sario, de subíndices de diferenciación): u, v, w, x, y, z, un, uu ti2, th„
ü2, V3,
Los signos lógicos son 8: 5 conectares, 2 cuantificadores y 1 descriptor. 
Constituyen, pues, un conjunto finito, disjunto con el de las variables. Es 
decir, no hay signos comunes, cada signo lógico es distinto de los demás 
y de cada una de las variables.
Como estos signos son pocos, podemos darles nombres. A cada uno 
de los 5 conectares le llamaremos respectivamente: negador, conyuntor, 
disyuntor, condicionador y bicondicionador. A los cuantificadores les lla­
maremos universal o generalizador y existencial o particularizador, respec­
tivamente. Al descriptor le seguiremos llamando así.
Los signos lógicos pueden tener cualquier forma gráfica compatible con 
las anteriores exigencias. Por ejemplo, el negador podría tener la forma 
de una pirámide roja o de una locomotora o de una golondrina.
La forma concreta que tengan los signos lógicos nos resulta indiferente, 
pues nosotros no los usaremos, sino únicamente los mencionaremos. Así nos 
ahorramos el tener que estar escribiendo constantemente los signos entre 
comillas. Para referimos distintamente a los signos lógicos, introducimos 
como metanombres los siguientes signos:
“ 1 como nombre para el negador \
A como nombre para el conyuntor j
V como nombre para el disyuntor , conectores—> como nombre para el condicionador \
como nombre para el bicondicionador
A como nombre para el generalizador \ piiQriHíípílílnrpQ
V como nombre para el particularizador j LLtuiilJilLuvtUl vo
t como nombre para el descriptor
El igualador, finalmente, puede tener cualquier forma gráfica, con tal 
de que sea diferente de la de los demás signos.
Tampoco usaremos el igualador, sino que únicamente lo mencionaremos. 
Para rei 'rirno.s distintamente al igualador introducimos como metanombre 
el signo
El igualador es lo que llamaremos en 2. un relator diádico. Pero lo intro­
ducimos aquí, porque es el único relator común a todos los formalismos 
aquí considerados.
1.2. Signos peculiares de un formalismo
Los alfabetos de cada formalismo se parecen en sus signos comunes, que 
acabamos de ver, y que son los mismos para todos ellos. Y se diferencian 
por sus signos peculiares, distintos en cada uno.
SIGNOS PECULIARES DE UN FORMALISMO 33
Los signos peculiares son las constantes individuales, los funetores y los 
relatores. El número de ellos es variable, según los formalismos. Puede 
haber desde ninguno hasta una cantidad infinita numerable.
fin formalismo determinado puede no tener ninguna constante indivi­
dual, o tener una, o dos, o tres, ..., etc., hasta un número infinito numerable 
de ellas.
Para cada número natural n (n > 1), un formalismo determinado puede 
no tener ningún functor n-ádieo, o tener un funetor n-ádico, o tener dos,
0 tres, ..., etc., hasta un número infinito numerable de ellos.
Igualmente, para cada número natural n (n > 1), un formalismo deter­
minado puede no tener ningún relator n-ádico, o tener uno, dos, tres, etc., 
relatores n-ádicos y hasta llegar a tener un número infinito numerable de 
ellos. (De todos modos, para n = 2, es seguro que cada formalismo tiene 
al menos un relator diádico: el igualador).
Si un formalismo determinado tiene constantes individuales, éstas han 
de poseer un índice o estar numeradas. Ha de poder hablarse de la pri­
mera constante individual, de la segunda, etc. Y lo mismo puede decirse de 
los funetores o relatores n-ádicos, caso de que los haya. También entonces 
ha de poder hablarse del primero, segundo, tercero, etc., funetor o relator 
n-ádico. Pero mientras que las constantes individuales de un formalismo 
vienen caracterizadas sólo por un número: su índice, los funetores y rela­
tores vienen caracterizados por dos: su número ádico y su índice.
Todos estos conjuntos de signos peculiares (de constantes individuales, 
de funetores n-ádicos, y de relatores n-ádicos para cada número n) han de 
ser disjuntos entre sí y con el conjunto de los signos lógicos y las variables. 
Es decir, todos los signos han de ser distintos entre sí.
Los signos peculiares de un formalismo pueden tener cualquier forma 
gráfica compatible con las anteriores exigencias. Sin embargo, tampoco aquí 
necesitamos preocuparnos por ella.
La forma concreta que tengan los signos peculiares nos resulta indife­
rente, pues no vamos a usarlos, sino únicamente a mencionarlos. Para re-
1 crirnos indistintamente a constantes individuales de un formalismo, intro­
ducimos como metavariables las primeras letras minúsculas del alfabeto 
latino (provistas, cuando sea necesario, de subíndices de diferenciación): 
a, b, c, ..., a0, au a-2, ..., b0, bu b2, ..., c„, cu c2, ...
Para referirnos indistintamente a funetores n-ádicos de un formalismo, 
introducimos como metavariables las letras f y h cubiertas de un sobre­
índice n (y provistas, cuando sea necesario, de un subíndice de diferen­
ciación): /", hn, f" f ’y ..., /i“, hnv /i;;, ...
Para referirnos indistintamente a relatores n-ádicos de un formalismo, in­
troducimos como metavariables las letras mayúsculas P, Q, R, S, cubiertas 
de un sobreíndice n (y provistas, cuando sea necesario, de un subíndice de di­
ferenciación): Pn,Q n ñ«, S”, ..., P“, P", P” ..., Qj. ()«, ()«, ... (Recuérdese
34 SINTAXIS: GRAMÁTICA DE LOS FORMALISMOS
que para referirnos distintamente al especial relator diádico que es el 
igualador usamos el signo
Cuando el número ádico de un functor o relator esté claro por el 
contexto, dejaremos de lado el sobreíndice n.
Al conjunto de los signos comunes a todos los formalismos más los pecu­
liares de un formalismo determinado le llamamos el alfabeto de ese forma­
lismo.
1.3. Filas de signos
3.1. Cada formalismo tiene su alfabeto. Al resultado de escribir signos 
de ese alfabeto unos a continuación de otros (y con tantas repeticiones como 
se quiera) le llamamos una fila de signos de ese formalismo.
Así, pues, una fila de signos es una sucesión finita y no vacía de signos, 
con posibles repeticiones.
3.2. También podemos definir las filas de signos desde un punto de 
vista combinatorio. Dado un formalismo ü?, para cada número natural n 
podemos llamar Z™ al conjunto de las variaciones con repetición de n ele­
mentos del alfabeto de ü?. Entonces podemos definir al conjunto de las filas 
de signos de Jz?, Z.z, del siguiente modo:
= u z”
n ~ 1
3.3. Para referirnos indistintamente a filas de signos de un formalismo 
introducimos la metavariable “£” (provista de subíndices de diferenciación, 
cuando sea necesario): £, £0, £i, £2, ...
3.4. La longitud de una fila de signos es el número de signos de que 
consta. Abreviando “la longitud de la fila de signos £” por “long (£)” y 
haciendo uso de la terminología de 3.2 podemos también establecer:
long (£) = n si y sólo si £ e Ẑ ,
3.5. La yuxtaposición o concatenación de dos filas de signos £1 y £2 es 
la fila de signos que resulta de escribir la segunda inmediatamente a conti­
nuación de la primera: £1 £2. Siempre ocurre:
long (£x £2) = long (£: ) -f- long (£2).
3.6. Decimos que las filas de signos £1 y £2 son idénticas cuando son la 
misma fila de signos, es decir, cuando £1 y £2 tienen igual longitud y en 
cada lugar correspondiente aparece el mismo signo. Introducimos en el 
metalenguaje el signo “= ” para indicar la identidad de filas de signos. 
Mediante “ £1 = £2” indicaremos que las filas de signos £1 y £2 son idénticas.
TÉRMINOS Y FÓRMULAS 35
1.4. Términos y fórmulas
4.1. De entre las filas de signos de un formalismo hay algunas que 
merecen nuestra especial atención. Se trata de las expresiones del formalis­
mo, es decir, los términos y las fórmulas.
He aquí una definición constructiva simultánea de los términos y las 
fórmulas de un formalismo cualquiera 88.
1. ° Cualquier variable es un término de 88.
2. ° Cualquier constante individual de Jz? es un término de 88.
3. ° Si ¡b, ..., í» son términos de 88 y fn es un functor de Jz?, entonces
fn ¡¡!, ..., Zn es un término de 58.
4. " Si ¡h, ...y'C.n son términos de 88 y Pn es un relator de 88, entonces
i, es una fórmula de iz?. (En especial, si £i y ¡fe son tér­
minos de 88, = ¡¡i ¡fe es una fórmula de 8 8 )
5. " Si £ es una fórmula de 88, entonces —i ’í, es una fórmula de 88.
6. ° Si ¡fe y ¡fe son fórmulas de ü?, entonces a ¡fe ¡fe, v ¡fe ¡fe, -> £i £2 y
¡fe ¡fe son fórmulas de 88.
7. ° Si C es una fórmula de 88, entonces (para cualquier variable x) Ax £
y V i í son fórmulas de 88.
8. ° Si £ es una fórmula de 88, entonces (para cualquier variable x)
tx £ es un término de 88.
Términos y fórmulas de 88 son todas y solas las filas de signos de 88 que 
como tales quedan caracterizadas por estas 8 reglas.
Las expresiones de 88 son las filas de signos que son términos de 88 o 
fórmulas de 88.
4.2. Para referimos indistintamente a expresiones de un formalismo in­
troducimos como metavariable la letra griega “8 ” (provista, cuando sea 
preciso, de subíndices de diferenciación): -8, 8 0, -Si, -S2, ...
Para referirnos indistintamente a términos de un formalismo introduci­
mos como metavariable la letra latina “t”, (provista, cuando sea necesario, 
de subíndices de diferenciación): t, fe, fe, f2, ...
Para referimos indistintamente a fórmulas de un formalismo introduci­
mos como metavariables las letras minúsculas griegas “a”, “/3”, “y”, “8”,
(provistas, cuando sea preciso,de subíndices de diferenciación): a, /3, 
T, 3, <f, “o, «1, «2, «3, •••, /3o, /3i, /32, ...
Para referirnos indistintamente a conjuntos de fórmulas introducimos 
como metavariables las letras mayúsculas griegas ‘T ” y “A” (provistas, 
cuando sea necesario, de subíndices de diferenciación): F, A, Fo, Fj,
r 2, ..., A0, Ai, a2, ...
36 SINTAXIS: DRAMÁTICA DE LOS FORMALISMOS
4.3. Según se desprende de la definición 4.1, todo término comienza por 
una variable, una constante individual, un functor o un descriptor.
Un término se llama variable, constante individual, término functorial 
o descripción, según que su primer signo sea una variable, una constante 
individual, un functor o un descriptor, respectivamente.
Las variables y las constantes individuales son términos simples (constan 
de un solo signo). Los términos functoriales y las descripciones son términos 
compuestos (constan de varios signos).
Respecto a cada término, es decidible si se trata de una variable, una 
constante individual, un término functorial o una descripción. Basta con 
ver si el primer signo del término es uña variable, una constante individual, 
un functor o un descriptor.
4.4. Según se desprende de la definición 4.1, toda fórmula comienza 
por un relator o por un signo lógico distinto del descriptor. Una fórmula se 
llama predicativa, negación, conyunción, disyunción, condicional, bicon- 
dicional, generalización o particularización, según que su primer signo sea 
un relator, el negador, el conyuntor, el disyuntor, el condicionador, el bieon- 
dicionador, el generalizador o el particularizado!', respectivamente.
Respecto a cada fórmula fes decidible si se trata de una fórmula predi­
cativa, negación, conyunción, disyunción, condicional, bicondicional, genera­
lización o particularización. Basta con ver si el primer signo de la fórmula 
es un relator, un negador, un conyuntor, un disyuntor, un condicionador, un 
bicondicionador, un generalizador o un particularizador.
El igualador es un relator diádico. Por tanto, una fórmula que empiece 
por el igualador será una fórmula predicativa. Una fórmula predicativa 
cuvo primer signo es el igualador se llama una ecuación.
4.5. ¿Cuántos términos hay en un formalismo? Siempre hav un número 
infinito numerable de términos.
En efecto, por lo menos hay un número infinito numerable, pues todas 
las variables son términos y hay un número infinito numerable de variables. 
A lo sumo hay un número infinito numerable de términos, pues todos los 
términos son filas de signos y sólo hay un número infinito numerable de 
filas de signos, ya que éstas son variaciones con repetición de elementos del 
alfabeto, éste es infinito numerable y sólo hay un número infinito numera­
ble de variaciones con repetición de elementos de un conjunto infinito 
numerable. Por tanto, hay un número infinito numerable de términos.
¿Cuántas fórmulas hay en un formalismo? Siempre hay un número infi­
nito numerable de fórmulas.
Esto se puede probar con consideraciones parecidas a las del caso 
anterior.
INDUCCIÓN SEMIÓTICA 37
1.5. Inducción semiótica
5.1. El conjunto de los números naturales es infinito numerable. Si qui­
siéramos probar algo para todos los números naturales (por ejemplo, que 
todos ellos tienen una propiedad ¡P), no tendría sentido que tratásemos de 
probarlo para cada número por separado, uno después de' otro, pues no 
acabaríamos nunca. ¿Qué haríamos? Procederíamos inductiva o recursiva­
mente, presentando una prueba por inducción o recursión, es decir, proban­
do lo que queríamos probar para 0 y, suponiendo que ya lo hubiésemos 
probado para un número cualquiera n, probándolo para n 1. Este tipo 
de pruebas se basan en el principio de la inducción aritmética:
. i (1) 0 tiene la propiedad ¡P 
j :>1 ( (2) si n tiene ¿P, entonces n -f- 1 también tiene ¿P 
\ entonces: todo número natural n tiene la propiedad ¡P
El mismo problema se nos plantea con las expresiones de un forma­
lismo. También ellas constituyen un conjunto infinito numerable. También 
aquí nos resultaría imposible probar algo para todas las expresiones de un 
formalismo (por ejemplo, que todos los términos tienen la propiedad ¿P, 
y todas las fórmulas tienen la propiedad £P2) procediendo a probarlo por 
separado de cada una de ellas. ¿Qué podemos hacer? Lo mismo que en la 
aritmética: proceder por inducción, probarlo por una prueba inductiva o 
recursivá. Y así como las pruebas aritméticas por inducción se basaban en el 
principio de inducción aritmética, así también las pruebas por inducción 
de las que hablamos se basan en un principio o teorema de inducción 
semiótica.
5.2. En lo que sigue entiéndase “constante individual”, “término”, 
“fórmula”, “P”, etc., como “constante individual del formalismo ¿z?”, 
“término del formalismo “fórmula del formalismo JS?”, “functor f dei 
formalismo Ü?”, “relator P del formalismo *£’\ etc.
5.3. Teorema de la inducción semiótica:
si
/
entonces
(1) toda variable x tiene la propiedad ¿Px
(2) toda constante individual tiene la propiedad £P\
(3) si tu ..., f„ tienen ¿P¡, también jnti, ..., í,. tiene £Pi
(4) si ti, ..., t„ tienen ¿Ply entonces P” tu ..., í„ tiene ¡P2
(5) si a tiene £P->, también —i a tiene tP-i
(6) si a y p tienen tam bién a <x ¡ i , v a /3, —»■ a ¡3,
a /3 tienen Sfi-¿
(7) si x tiene y a tiene Ax a, V x <x tienen
(8) si a tiene £P2, ix a tiene tPi
(a) todo término tiene
(b ) toda fórmula tiene
38 SINTAXIS: GRAMÁTICA DE LOS FORMALISMOS
5.4. Demostración del teorema de la inducción semiótica. En esta de­
mostración damos por sentada la validez del principio de inducción arit­
mética, que aquí utilizaremos en la siguiente versión:
Si algo vale para cualquier número natural m suponiendo que valga 
para todos los números menores que m, entonces eso vale para todos los 
números naturales.
A continuación procedemos a demostrar 5.3 por inducción aritmética 
sobre la longitud de las expresiones.
Toda expresión, como fila de signos que es, tiene una longitud deter­
minada. Probaremos que para cualquier número natural m el teorema vale 
para toda expresión de longitud m, suponiendo que ya valga para las de 
longitud menor. Con ello quedará probado que el teorema vale para todas 
las expresiones.
9 \ y AL sean propiedades que reúnen las condiciones (1), (2), ..., (8) 
requeridas por el teorema.
■8 sea una expresión cualquiera de longitud m.
El teorema esté ya probado para todas las expresiones de longitud menor 
que m (supuesto inductivo).
Tesis: ó tiene la propiedad 9 \ (si $ es un término) o la propiedad AL 
(si ó es una fórmula).
La tesis puede ser demostrada examinando los casos posibles.
ó = x. Entonces, ó tiene 9 \ , por (1).
ó = a. Entonces, ó tiene 9 i , por (2).
•$ = /” f'i,..., f„. Entonces, fi, tienen 9 i (por el supuesto inductivo, 
ya que long (t¡) < long (fntu ..., tn) para l < Z i 9 n). Luego ó tiene 9 i , 
por (3).
■^=Pntu . . . ,f„. Entonces, tx, . . . , f2 tienen 9 \ (por el supuesto inductivo, 
ya que long (t¡) < long (Pntu . . . , tn) para l < t < n ) . Luego ó tiene 9->, 
por (4).
■S = —i a. Entonces, a tiene 9 2 (por el supuesto inductivo, ya que long 
(a) < long (“ i a)). Luego ó tiene AL, por (5).
•S = a a /3. Entonces, a tiene 9 2 y P tiene 9 2 (por el supuesto inductivo, 
ya que long (a ) < long (a a /3) y long (/3) < long (a a /3)). Luego ó tiene 9-2, 
por (6).
Del mismo modo se muestra que si -S = v a /3, í s - > a p, o -S = a /3, 
entonces ó tiene 9%.
ó = Ax a. Entonces, a tiene AL (por el supuesto inductivo, ya que 
kmg (a) < long (Axa)) y x tiene AL (pues long (x) < (Ax «)). Luego ó tie­
ne 9-2, por (7).
Del mismo modo se muestra que si •&==Vxa, -8 tiene 9 2-
ó — tx a. Entonces, a tiene 9 - , (por el supuesto inductivo, ya que long 
(a) < long (ix a)) y x tiene A L (pues long (x) < long ( t x a)). Luego ■& tie­
ne 9 \ , por (8).
ESTANCIA LIBRE Y LIGADA DE UNA VARIABLE 39
5.5. En la aritmética, la inducción no sólo se utiliza para probar teore­
mas acerca de todos los números naturales,sino también para definir pro­
piedades, relaciones o funciones de números naturales. También aquí utili­
zaremos definiciones recursivas o por inducción semiótica para introducir 
nuevos conceptos aplicables a términos y fórmulas.
5.6. Si queremos definir un concepto para todos los términos y un 
concepto ^ 2 para todas las fórmulas, basta con ofrecer una definición por 
inducción semiótica, es decir, basta con:
1. ° Definir 9?i para cualquier variable x.
2. ° Definir r-£i para cualquier constante individual a.
3. ° Definir ‘g ’j para fnt 1, ..., tn, suponiendo que ya está definido para
4. ° Definir para P"ti, ..., tn, suponiendo que *̂ '1 ya está definido para
ti, tn.
5. ° Definir c€ 2 para —1 a, suponiendo que Ao va está definido para a.
6. ° Definir ^ 2 para a a /3, v a /3, -> a /3, <-» a /3, suponiendo que ya
está definido para a y para /3:
7. ° Definir ^ 2 para Axa, Vxa, suponiendo que ^ 2 ya está definido
para a.
8. ° Definir A , para tx a, suponiendo que ré'2 ya está definido para a.
1.6. Estancia libre y ligada de una variable
6.1. Los cuantificadores y el descriptor siempre van seguidos de una 
variable. De esta variable se dice que queda ligada por ellos. Así, si en una 
expresión aparece la variable x detrás de un cuantificador o de un descrip­
tor, decimos que x está ligada en esa expresión.
Los cuantificadores y el descriptor son, pues, signos ligadores. También 
en el lenguaje matemático normal nos encontramos con frecuencia con 
signos ligadores y variables ligadas. Así, en la expresión
el signo X es un ligador que liga la variable n. En la expresión
a
40 SINTAXIS: GRAMÁTICA DE LOS FORMALISMOS
el signo J ... d ... es un ligador que liga la variable x. En la expresión
y 1 m <«}
el signo j... | ...j es un ligador que liga la variable 3.
Si en una expresión aparece una variable que no está ligada, decimos 
que está libre. También puede ocurrir que esté tanto libre como ligada en 
ella. A eontinuación pasamos a definir inductivamente la estancia libre o 
ligada de una variable en un término o una fórmula.
6.2. Definición de la estancia libre de una variable en una expresión. 
x está libre en 3 syss x = z
a nunca
” ” f h , . . . , tn syss x está libre en algún t¡
( l < i < n )
syss x está libre en algún t¡
(1 < i < n)
(en especial, ” ” = t\t-± syss x está libre en A o en t>)
—i a syss x está libre en a
a a /3 syss x está libre en a o én ¡3
v a d syss
—> oe /3 syss
<-»■ a /3 syss
A z a syss x está libre en a y i ^ z
Vz a syss
t Z a syss
6.3. Definición de la estancia ligada de una variable en una expresión.
x está ligada en 3 nunca 
a nunca
syss x está ligada en algún tt 
(1 < i < n)
Pntu , syss x está ligada en algún t¡
(1 < i '< n)
(en especial, ” ” = t¡t-> syss x está ligada en t1 o en t2)
i a syss x está ligada en a
a a /3 syss x está ligada en « o en /3
a ¡3 syss
v a ¡3 svssj
—> <x /3 syss
A 3 a syss x está ligada en a o x = z
Vz a syss
tz a syss
SUSTITUCIÓN DE UNA VARIABLE POR UN TERMINO 41
6.4. Observaciones sobre la estancia libre o ligada de una variable en 
una expresión -3:
x está en ■S si y sólo si x está libre en 3 o x está ligada en í o i está 
libre y ligada en 3.
x no está en 3 si y sólo si x no está libre en i y r no está ligada en ó.
Para cualquier variable x y cualquier expresión 3 se presenta uno de 
estos cuatro casos: (1) x no está en 3 ; (2) x está libre, pero no ligada, en ó; 
(3) x está ligada, pero no libre, en 3 ; (4) x está libre y ligada en 3.
Para cualquier variable x y cualquier expresión 3, es decidible en cuál 
de esos cuatro casos x y 3 se encuentran.
6.5. Definición de designadores y sentencias.
Un designador del formalismo Jz? es un término de Jz? en el cual ninguna 
variable está libre. En especial, los términos sin variables son designadores.
Una sentencia del formalismo Jz? es una fórmula de Jz? en la cual nin­
guna variable está libre. En especial, las fórmulas sin variables son sen­
tencias.
Un término abierto de Jz? es un término de Jz? que no es un designador 
de , es decir, un término de Jz? en el cual alguna variable está libre.
Una fórmula abierta de Jz? es una fórmula de iz? que no es una sentencia 
de Jz?, es decir, una fórmula de Jz? en la cual alguna variable está libre.
6.6. Así, pues, obtenemos la siguiente clasificación de las filas de signos 
de un lenguaje formal:
 ̂ no expresiva
fila de signos \
f expresión
| término 
l fórmula
j término abierto 
( designador
| fórmula abierta 
I sentencia
1.7. Sustitución de una variable por un término
7.1. La sustitución es una operación que a cada tríada formada por 
una variable, un término y una expresión aplica unívocamente otra expre­
sión, de la que decimos que es el resultado de sustituir la variable por el 
término en la primera expresión.
Utilizaremos el signo 5 para indicar la sustitución. En vez de 5 (x, t, 3) 
escribiremos 5* 3.
X
7.2. En la mayoría de los casos, 5 ' -3 se obtiene a partir de 3 por el 
sencillo procedimiento de borrar x en 3 y escribir en su lugar el término t. 
Así, por ejemplo:
5 / » —1 Ruu = ~ 1 Rfafa 
S^‘Rxa ’.tjPxy = u/PixRxay
42 s i n t a x i s : g r a m á t ic a d e l o s f o r m a l is m o s
Sin embargo, hay casos en que esto no ocurre así, a fin de que la 
sustitución no varíe la estancia libre o ligada de las variables que ocupan 
determiandos lugares. Supongamos, por ejemplo, que queremos sustituir 
x por fy en Ay(Px v Qy). Si nos limitásemos a borrar x y escribir en su 
lugar fy, obtendríamos: Ay(Pfy v Qy). Pero entonces la primera variable 
estaría ahora ligada, mientras que antes estaba libre. Esto es algo que 
queremos evitar. Para ello, antes de borrar x y escribir en su lugar fy, 
cambiamos la variable cuantificada. En vez, de Ai¡(Px v Qy) escribimos 
Az(Px v Qz). Entonces borramos x y escribimos en su lugar fy, obteniendo: 
Az(Pfy v Qz). Ahora la primera variable sigue estando libre y la segunda 
ligada, exactamente como en la fórmula de que habíamos partido. Es pre­
cisamente a esta preocupación a lo que se debe la relativa complejidad de 
la definición de la sustitución en los casos de expresiones que empiezan por 
ligadores.
7.3. Definición de la aplicación 5 :
S ' z - f ‘ - S l X~ Z
■" j z, si X # z
5 ‘ a = a
X
i, ..., tn = fn 5 ‘ fi, ..., 5(. t„ 
..., t„ = P » 5 ‘ tx, ..., 5* tn 
(en especial, 5* = t11., = = 5* t1 5* t.)
5* x = —i S* a
X X
5 ' a y . 3 a 5(, y 5( 3 
íi' v i 3 = v 5 ' y 5 ' 3
x ' ./• ,r ^
5 ( —» y (3 —» 5* y 5* ¡3
5 ‘ <-> y B = <-> 5 ‘ y 5* 8
X ^ X X ~
5* Az y =
X
Az a 
Az 5* a
X
Av 5 f 5" a-V 2
si x no está libre en Az y 
sj í x está libre en Az a 
j z no está libre en t 
/ x está libre en Az a 
I z está libre en t
si / v no está en Az a ni en t (y es la va- 
I riable de mínimo índice que satis-
l face esta condición).
CONVENCIONES NOTACIONALES 43
5 ' Vz a =
X
5 ' tz a =
X
Vz a , si
Vz 5* a , si
X
Vv 5* 5" a , si
tz a , si
iz 5* a , si
X
tu 5* 5* a , si
x no está libre en V za 
x está libre en V z«
z no está libre en t
x está libre en Vz a
z está libre en t
v no está en Vz a ni en t (y es la va­
riable de mínimo índice que satis­
face esta condición).
x no está libre en tz a 
x está libre en iz a 
z no está libre en t 
x está libre en tz a 
z está libre en t
v no está en tz. a ni en t (y es la va­
riable de mínimo índice que satis­
face esta condición).
7.4. Observaciones sobre la sustitución:
Para cada expresión •S1, cada variable x y cada término t hay siempre 
una expresión S-¿, unívocamente determinada, tal que 5*. $ 1 = ó 2
(1) : Para cualquier x y cualquier -3: 5® 3 = 3.
(2) : Si x no está libre en 3, entonces 5 * $ = $.
(3) : Si x está libre en 3, entonces t está en 5 ) ó, y cada variable que
esté libre en t está libre en 5 ' ó.
X
(4) : Si z no está en ó, entonces 5^5^3 = 3.
(5) : Si x no está libre en t, entonces x no está libre en 5 * 3 .
(6) ; Z está libre en 5® ó si y sólo si x está libre en 3 o z está libre en ó.
(7) : z está libre en 5 ) ó si y sólo si al menos