CLASES 3 PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS

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1-1
Capítulo tres
Descripción de los datos: 
medidas de ubicación
OBJETIVOS
Al terminar este capítulo podrá:
UNO
Calcular la media aritmética, mediana, moda, media ponderada y media 
geométrica.
DOS
Explicar las características, utilización, ventajas y desventajas de cada 
medida de ubicación.
TRES
Identificar la posición de la media aritmética, la mediana, y la moda, tanto 
para distribuciones simétricas como asimétricas o sesgadas.
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Media de la población
• Para datos no agrupados, la media de la población 
es la suma de todos los valores en ella dividida 
entre el total de valores en la población:
• donde µ representa la media de la población.
• N es el número total de elementos en la población.
• X representa cualquier valor en particular.
•  indica la operación de sumar.
 = X N/
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EJEMPLO 1
• Parámetro: una característica de una población.
• La familia Kiers posee cuatro carros. Los 
datos son las millas recorridas por cada uno:
56 000, 23 000, 42 000 y 73 000. Encuentre el 
promedio de millas de los cuatro carros.
• Esto es (56 000 + 23 000 + 42 000 + 73 000)/4 
= 48 500
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Media de una muestra
• Para datos no agrupados, la media de una 
muestra es la suma de todos los valores 
divididos entre el número total de los mismos:
• donde X denota la media muestral
• n es el número total de valores en la muestra.
X X n=  /
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EJEMPLO 2
• Dato estadístico: una característica de una 
muestra.
• Una muestra de cinco ejecutivos recibió la 
siguiente cantidad en bonos el año pasado: 
$14 000, $15 000, $17 000, $16 000 y 
$15 000. Encuentre el promedio en bonos para 
los cinco ejecutivos.
• Como estos valores representan la muestra de 5 
ejecutivos, la media de la muestra es 
(14 000 + 15 000 + 17 000 + 16 000 + 
15 000) / 5 = $15 400.
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Propiedades de la media aritmética
• Todo conjunto de datos de nivel de intervalo y de 
nivel de razón tiene un valor medio.
• Al evaluar la media se incluyen todos los valores.
• Un conjunto de valores sólo tiene una media.
• La cantidad de datos a evaluar rara vez afecta la 
media.
• La media es la única medida de ubicación donde la 
suma de las desviaciones de cada valor con respecto 
a la media, siempre es cero.
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EJEMPLO 3
• Considere el conjunto de valores: 3, 8 y 4. 
La media es 5. Para ilustrar la quinta 
propiedad, (3 - 5) + (8 - 5) + (4 - 5) = - 2 + 3 
- 1 = 0. En otras palabras, 
( )X X− = 0
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Media ponderada
• La media ponderada de un conjunto de 
números X1, X2, ..., Xn, con las ponderaciones 
correspondientes w1, w2, ...,wn, se calcula con 
la fórmula:
wXwXw
wwwXwXwXwXw nnn
=
+++++=
/)*(
).../()...(
212211
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EJEMPLO 6
• Durante un periodo de una hora en una tarde 
calurosa de un sábado, el cantinero Chris sirvió 
cincuenta bebidas. Calcule la media ponderada 
de los precios de las bebidas. (Precio ($), 
cantidad vendida): (.50,5), (.75,15), (.90,15), 
(1.10,15).
• La media ponderada es: $(.50 x 5 + .75 x 15 + 
.90 x 15 + 1.10 x 15) / (5 + 15 + 15 + 15) = 
$43.75/50 = $0.875
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Mediana
• Mediana: es el punto medio de los valores 
después de ordenarlos de menor a mayor, o de 
mayor a menor. La misma cantidad de valores 
se encuentra por arriba de la mediana que por 
debajo de ella.
• Nota: para un conjunto con un número par de 
números, la mediana será el promedio 
aritmético de los dos números medios.
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EJEMPLO 4
• Calcule la mediana para los siguientes datos.
• La edad de una muestra de cinco estudiantes es: 
21, 25, 19, 20 y 22.
• Al ordenar los datos de manera ascendente 
quedan: 19, 20, 21, 22, 25. La mediana es 21.
• La altura, en pulgadas, de cuatro jugadores de 
basquetbol es 76, 73, 80 y 75.
• Al ordenar los datos de manera ascendente 
quedan: 73, 75, 76, 80. La mediana es 75.5.
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Propiedades de la mediana
• La mediana es única para cada conjunto de 
datos.
• No se ve afectada por valores muy grandes o 
muy pequeños, y por lo tanto es una medida 
valiosa de tendencia central cuando ocurren.
• Puede obtenerse para datos de nivel de razón, de 
intervalo y ordinal.
• Puede calcularse para una distribución de 
frecuencias con una clase de extremo abierto, si 
la mediana no se encuentra en una de estas 
clases.
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Moda
• La moda es el valor de la observación que 
aparece con más frecuencia.
• EJEMPLO 5: las calificaciones de un 
examen de diez estudantes son: 81, 93, 84, 
75, 68, 87, 81, 75, 81, 87. Como la 
calificación 81 es la que más ocurre, la 
calificación modal es 81.
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Media geométrica
• La media geométrica (MG) de un conjunto de 
n números positivos se define como la raíz n-
ésima del producto de los n valores. Su 
fórmula es:
· La media geométrica se usa para encontrar 
el promedio de porcentajes, razones, 
índices o tasas de crecimiento.
n nXXXXMG ))...()()(( 321=
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EJEMPLO 7
• Las tasas de interés de tres bonos son 5%, 7% 
y 4%.
• La media geométrica es 
= 5.192.
• La media aritmética es (6 + 3 + 2)/3 = 5.333. 
• La MG da una cifra de ganancia más 
conservadora porque no tiene una ponderación 
alta para la tasa de 7%.
3 )4)(5)(7(=MG
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Media geométrica continuación
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• Otra aplicación de la media geométrica es 
determinar el porcentaje promedio del 
incremento en ventas, producción u otros 
negocios o series económicas de un periodo a 
otro. La fórmula para este tipo de problema 
es:
 1periodo) del inicio alvalor periodo)/( del final alvalor ( −= nMG
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EJEMPLO 8
• El número total de mujeres inscritas en 
colegios americanos aumentó de 755 000 en 
1986 a 835 000 en 1995.
• Aquí n = 10, así (n - 1) = 9.
• Es decir, la media geométrica de la tasa de 
crecimiento es 1.27%.
.0127.1000755/0008358 =−=MG
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Media de datos agrupados
• La media de una muestra de datos organizados 
en una distribución de frecuencias se calcula 
mediante la siguiente fórmula:
X
Xf
f
Xf
n
= =



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EJEMPLO 9
• Una muestra de diez cines en una gran área 
metropolitana dio el número total de películas 
exhibidas la semana anterior. Calcule la media 
de las películas proyectadas.
X
Xf
f
Xf
n
= =



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EJEMPLO 9 continuación
Películas
exhibidas
frecuencia
f
punto medio
de clase X
(f)(X)
1-2 1 1.5 1.5
3-4 2 3.5 7.0
5-6 3 5.5 16.5
7-8 1 7.5 7.5
9-10 3 9.5 28.5
Total 10 61
61/10 = 6.1 películas
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Mediana de datos agrupados
• La mediana de una muestra de datos organizados 
en una distribución de frecuencias se calcula 
mediante la siguiente fórmula: 
• Mediana = L + [(n/2 - FA)/f] (i)
• donde L es el límite inferior de la clase que 
contiene a la mediana, FA es la frecuencia 
acumulada que precede a la clase de la mediana, f
es la frecuencia de clase de la mediana e i es el 
intervalo de clase de la mediana.
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Cálculo de la clase de la mediana
Para determinar la clase de la mediana de datos 
agrupados:
• Elabore una distribución de frecuencias 
acumulada. 
• Divida el número total de datos entre 2.
• Determine qué clase contiene este valor. Por 
ejemplo, si n=50, 50/2 = 25, después determine 
qué clase contiene el 25° valor (la clase de la 
mediana).
3-22
© 2001 Alfaomega Grupo EditorEJEMPLO 10
• La clase de la mediana es 5 - 6, ya que 
contiene el 5° valor (n/2 = 5)
Películas
exhibidas
Frecuencia Frecuencia
acumulada
1-2 1 1
3-4 2 3
5-6 3 6
7-8 1 7
9-10 3 10
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EJEMPLO 10 continuación
• De la tabla, L = 5, n = 10, f = 3, i = 2, FA = 3.
• Así, mediana = 5 + [((10/2) - 4)/3](2) = 6.33
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Moda de datos agrupados
• La moda de los datos agrupados se aproxima 
por el punto medio de la clase que contiene la 
frecuencia de clase mayor.
• Las modas en el EJEMPLO 10 son 5.5 y 9.5. 
Cuando dos valores ocurren una gran cantidad 
de veces, la distribución se llama bimodal, 
como en el ejemplo 10.
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Distribución simétrica
• sesgo cero moda = mediana = media
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Distribución con asimetría positiva
• sesgo a la derecha: media y mediana se
encuentran a la
derecha de la moda.
• moda < mediana < media
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Distribución con asimetría negativa
• sesgo a la izquierda: media y mediana 
están a la izquierda de la moda.
• media < mediana < moda
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NOTA
• Si se conocen dos promedios de una 
distribución de frecuencias con sesgo 
moderado, el tercero se puede aproximar.
• moda = media - 3(media - mediana)
• media = [3(mediana) - moda]/2
• mediana = [2(media) + moda]/3
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