2-EDOs-Parte-2-Sem-5-Orden-n-Chavez-b

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EDOs. LINEALES D ORDEN n NO HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES.
Estas ecuaciones diferenciales son de la forma: 
	 ---------------------------(a)
Donde , , , , son constantes reales. es una función en la variable .
Para resolver la ecuación (a) se procede siguiendo los siguientes tres pasos:
1°) Se hace y se resuelve la EDO Lineal homogénea que será la solución general denotada por: .
2°) Se busca una solución particular de la EDO Lineal NO homogénea (a) según la forma que tenga la función ; y el tipo de soluciones de la ecuación característica de EDO homogénea. De aquí se desprenden 4 casos y cada uno tiene 2 partes.
3°) La solución General de la EDO Lineal NO homogénea será denotada por:		
OBSERVACIÓN. Ya se han estudiados las EDO Lineal homogénea de coeficientes constantes y sus souciones.
La solución de una EDO Lineal NO homogénea de coeficientes constantes se reduce a encontrar la solución particular de la ecuación (a).
En seguida se da un cuadro resumen para determinar las soluciones particulares según la forma que pueda tener la función en la EDO Lineal no homogénea (a).
Ver tabla adjunta.
CASO I. Si la función es un polinomio de grado .
Las Soluciones Particulares serán:
1) , si no coincide con ninguna raíz de la ecuación característica.
2) , si coincide con alguna raíz de la ecuación característica y se repite veces.
Siendo es un polinomio de grado completo.
CASO II. Si la función es dada por , =número real y un polinomio de grado .
Las Soluciones Particulares serán:
1) , si no coincide con ninguna raíz de la ecuación característica.
2) , si coincide con alguna raíz de la ecuación característica y se repite veces.
Siendo es un polinomio de grado completo.
CASO III. Si la función es dada por , donde y son polinomios de grados y .
Las Soluciones Particulares serán:
1) , si no coinciden con ninguna raíz de la ecuación característica.
2) , si coincide con alguna raíz de la ecuación característica y se repite veces.
Siendo y polinomios de grado completos; = grado máx
CASO IV. Si la función es dada por , donde y son polinomios de grados y .
Las Soluciones Particulares serán:
1) , si no coinciden con ninguna raíz de la ecuación característica.
2) , si coincide con alguna raíz de la ecuación característica y se repite veces.
Siendo y polinomios de grado completos; = grado máx
EJEMPLO 1. Hallar la solución general de la EDO Lineal no homogénea:
 	------------------------- (a)
Solución
Primero: Se resuelve la EDO Lineal homogénea de (a) que es:	.
La ecuación característica asociada es:	
Cuyas soluciones son: 		 , , .
Aquí no es solución de la Ecuación Característica.
Entonces el sistema fundamental de soluciones es:	 , , 
Simplificando:		 , , 
La solución general de la homogénea es: 	
Segundo: Se busca una solución particular , para ello se ve la forma de y las raíces de la ecuación característica. Entonces cae en CASO I, parte 1.
La solución particular será de la forma: 	 ; es un polinomio de grado 2 completo, donde no se conocen , y .
La y sus derivadas:	 ;	 B			
Reemplazando en la EDO dada:	
 
 		
 
De donde la solución particular es	 .
Tercero: La solución general de la EDO dada (a) es:	 
	.
EJEMPLO 2. Hallar la solución general de la EDO Lineal no homogénea:
 ---------------------------------- (a)
Solución
Primero: Se resuelve la EDO Lineal homogénea de (a) que es: 	
La ecuación característica asociada es:	
Cuyas soluciones son: 		 , de multiplicidad .
Aquí no es solución de la Ecuación Característica.
Entonces el sistema fundamental de soluciones es:	 , .
Y la solución general es: 			
Segundo: Se busca una solución particular , para ello se ve la forma de y las raíces de la ecuación característica. Entonces cae en el CASO II, parte 1
Es decir que la solución particular toma la forma: , es un polinomio de grado 1 completo multiplicado por ; donde no se conocen y .
La y sus derivadas:
	; 	;	
Reemplazando en la EDO dada:	 
 
 
 =
Desarrollando y simplificando se obtiene:	 	 
De donde se tienen los valores de , .
Es decir la solución particular será:	 .
Tercero: Finalmente la solución general de la EDO no homogénea dada (a) es:	
	
EJEMPLO 3. Hallar la solución general de la EDO Lineal no homogénea:
			---------------------------------- (a)
Solución
Primero: Se resuelve la EDO Lineal homogénea de (a) que es 	.
La ecuación característica asociada es:	 
Cuyas soluciones son 			;	; .
Aquí es solución de la Ecuación Característica.
El sistema fundamental de soluciones es	 ; ; 
La solución general de la homogénea es 	.
Segundo: Se busca una solución particular , para ello se ve la forma de y las raíces de la ecuación característica. Entonces cae en el CASO I – parte 2.
Es decir que la solución particular toma la forma: ; o , es un polinomio de grado 1 completo multiplicado por (debido a que es solución de la Ecuación Característica)
La y sus derivadas:
;	; 		; 	
Reemplazando en la EDO dada:	
 	 	 
Es decir la solución particular será	.
Tercero: Finalmente la solución general de la EDO no homogénea dada (a) es:	
	
EJEMPLO 4. Hallar la solución general de la EDO Lineal no homogénea:
	---------------------------------- (a)
Solución
Primero: Se resuelve la EDO Lineal homogénea de (a) es 	.
La ecuación característica asociada es		 
Cuyas soluciones son 				,	.
Aquí no es solución de la Ecuación Característica.
El sistema fundamental de soluciones es	; 
La solución general de la homogénea es	.
Segundo: Se busca una solución particular , para ello se ve la forma de y las raíces de la ecuación característica. Entonces es CASO II – parte 1.
Es decir que la solución particular toma la forma ; es polinomio de grado 0 completo multiplicado por .
La y sus derivadas:		;		; 	; 	
Reemplazando en la EDO dada:	 
 	 	 
Es decir la solución particular será:	.
Tercero: Finalmente la solución general de la EDO no homogénea dada (a) es:	
	
EJEMPLO 5. Hallar la solución general de la EDO Lineal no homogénea:
			---------------------------------- (a)
Solución 
Primero: Se resuelve la EDO Lineal homogénea de (a) es 	.
La ecuación característica asociada es:	 
Cuyas soluciones son 				,	.
Aquí es solución de la Ecuación Característica.
El sistema fundamental de soluciones es	 ; 
La solución general de la homogénea es 	.
Segundo: Se busca una solución particular para ello se ve la forma de y las raíces de la ecuación característica. Entonces es CASO II – parte 2.
Es decir que la solución particular toma la forma ; es un polinomio de grado 1 completo por y multiplicado por .
La y sus derivadas:		;		;
 	
Reemplazando en la EDO dada:	
 = 
 	 	 
Es decir la solución particular será	 .
Tercero: Finalmente la solución general de la EDO no homogénea dada (a) es:	
 	
EJEMPLO 6. Hallar la solución general de la EDO Lineal no homogénea:
			---------------------------------- (a)
Solución.
Primero: Se resuelve la EDO Lineal homogénea de (a) es 	.
La ecuación característica asociada es:	 
Cuyas soluciones son 				,	
Aquí es solución de la Ecuación Característica.
El sistema fundamental de soluciones es	; 
La solución general de la homogénea es 	.
Segundo: Se busca una solución particular , para ello se ve la forma de y las raíces de la ecuación característica. Entonces combina CASO I – parte 1 con CASO III – parte 2.
Es decir que la solución particular toma la forma	
La y sus derivadas:
;
	
; 	
Reemplazando en la EDO dada:	
+ = 
 = 
Igualando ambos lados y resolviendo, se halla el valor de las constantes:
 	 
Es decir la solución particular será	 .
Tercero: Finalmente la solución general de la EDO no homogénea dada (a) es:	
	
EJEMPLO 7. Hallar la solución general de la EDO Lineal no homogénea:
	---------------------------------- (a)
Solución.
Primero: Se resuelve la EDO Lineal homogénea de (a) es 	.
La ecuación característica asociada es:	
Cuyas soluciones son 				,	
El sistema fundamental de soluciones es	;	
La solución general de la homogénea es 	.
Segundo: Se busca una solución particular , para ello se ve la formade y las raíces de la ecuación característica. Entonces combina CASO II – parte 1 con CASO IV – parte 1.
Es decir que la solución particular toma la forma	
La y sus derivadas:
;
	
; 	
Reemplazando en la EDO dada:	
 ++
 = 
 = 
Igualando ambos lados y resolviendo, se halla el valor de las constantes:
 	 	 
Es decir la solución particular será	 .
Tercero: Finalmente la solución general de la EDO dada (a) es:	
	
	
EJEMPLO 8. Hallar la solución general de la EDO Lineal no homogénea:
 
Solución. Arreglado la EDO dada:		
	 	---------------------------------- (a)
Primero: Se resuelve la EDO Lineal homogénea de (a) es 	.
La ecuación característica asociada es:	
Cuyas soluciones son 				,	
Aquí es solución de la Ecuación Característica.
El sistema fundamental de soluciones es	;	
La solución general de la homogénea es 	.
Segundo: Se busca una solución particular para ello se ve la forma de y las raíces de la ecuación característica.
Entonces combina CASO I – parte 2; CASO II – parte 1 y CASO III – parte 1.
Es decir que la solución particular toma la forma
	
	
La y sus derivadas:
,
,
.
Reemplazando en la EDO dada:	 
+ = 
 
= 
Igualando ambos lados y resolviendo, se halla el valor de las constantes:
;	;	; 		;		;	
Es decir la solución particular será
	 
Tercero: Finalmente la solución general de la EDO no homogénea dada (a) es:	
	
EJERCICIOS (11ª PRACTICA).
1. Resolver las siguientes EDO lineales no homogéneas:
a) 				b) 
c) 				d) 
2. Resolver las siguientes EDO lineales no homogéneas:
a) 				b) 
c) 
MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS. (PARA EL CASO DE EDOs NO HOMOGÉNEAS)
OBSERVACIÓN. Esta estrategia es válida para EDOs lineales no homogéneas de orden y coeficientes constantes. Sin pérdida de generalidad, la teoría se desarrolla para una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden tres y coeficientes constantes de la forma:
Donde , , son constante y es una función solo de o constante.
Supongamos que la solución general de la EDO no homogénea es dada por:
 
La solución particular será dada por: 			----------- (a)
Siendo , , funciones incógnitas desconocidas que se obtendrán de resolver el siguiente sistema:		------------------- (b)
Se resuelve el sistema anterior dado para hallar las incógnitas: , , 
Luego integrando se hallará las funciones: , , 
En resumen, el proceso es:
Primero, se resuelve la EDO homogénea, para hallar la solución general: 
Segundo, se buscar la solución particular usando variación de parámetros:	
Tercero, se halla la solución general de la no homogénea:		
EJEMPLO 1. Resolver usando el método de variación de parámetros: 
Solución.
Primero, se resuelve la homogénea: 
Ecuación característica: 
Resolviendo: 	 
El sistema fundamental de soluciones es: 
La solución general de la homogénea es:	
Segundo, buscar la solución particular:	
Se construye el sistema para hallar , :		
Usando la regla de Cramer:	= 
 = = 
 = 
i) Entonces = 	 	 
Integrando:			 
ii) Entonces 	 	 
Integrando:				 
La solución particular será:	
Finalmente, se halla la solución general de la EDO no homogénea:			
 
EJEMPLO 2. Resolver usando el método de variación de parámetros: 
Solución.
Primero, se resuelve la homogénea: 
Ecuación característica: 
Resolviendo: 	, es solución de multiplicidad 
El sistema fundamental de soluciones es: 
La solución general de la homogénea es:	
Segundo, buscar la solución particular:	
Se construye el sistema para , :		
Usando la regla de Cramer:	= .
 = 
 = 
i) Entonces = 		 		 
Integrando: 		 
ii) Entonces 		 		 
Integrando:		 
La solución particular será:	
Finalmente la solución de la EDO no homogénea es:		
 
 
EJEMPLO 3. Resolver usando el método de variación de parámetros: 
Solución. Ejercicio.
EJEMPLO 4. Resolver usando el método de variación de parámetros: 
Solución. Ejercicio.
PRÁCTICA 13°. 
1. Resolver las EDOs siguientes:
a) 				b) , 
c) 
2. Resolver las EDOs siguientes:
a) 		b) 
c) 
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE EULER. 
Son ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma:
La Homogénea:	
O también		
La No homogénea:	
O también		
Donde con , son constantes.
RESOLUCIÓN DE UNA EDO DE EULER. Para resolverla se la transforma en una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden de coeficientes constantes.
Se usa el cambio de variable:	 	y	 
Usando este cambio de variable, se deben sustituir: ; ; ; … en términos de la variable : ; ; ; …
i) = = 	 
ii) = = = = = = 
	 = 
iii) Del mismo modo:	 
Y así para los demas ; ; …
OBSERVACIÓN 1. También son Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Euler las de la forma:
Para resolverla se hace el cambio de variable: y 
De aquí: 
 = 
 = 
Y así sucesivamente para los demás órdenes.
OBSERVACIÓN 2. Las EDOs no homogéneas de Euler son de la forma:
 
 
Para resolverlas se procede con el cambio de variable correspondiente para convertirla en una EDO no homogénea lineal de orden de coeficientes constantes.
EJEMPLO 1. Resolver	
Solución. 
Es una Ecuación Diferencial Ordinaria de Euler. Se resuelve haciendo el cambio de variable 
De donde	 ;	 
De aquí:	 ; 	
Reemplazando en la EDO dada	 
 =0	 
 , (Está en términos de ) que ya es una EDO lineal de orden de coeficientes constantes.
Ecuación Característica	
Cuyas soluciones son		 ;	
El S. F. S. es	 ; 	
La solución general de la homogénea es	 
Volviendo a la variable original con el cambio de variable ; 	
 
 
EJEMPLO 2. Resolver	
Solución.
Se le escribe en la forma de EDO de Euler	
Se resuelve haciendo el cambio de variable 
De donde	 ;	 
De aquí	 ; 	 ;		 = 
Reemplazando en la EDO dada	 
 = 0
 
 , (Está en términos de ) que ya es una EDO lineal de orden 
La Ecuación Característica		 
Cuyas soluciones son		 ;	 ;	
El S. F. S. es		 ; 	
La solución general de la homogénea es	 
Volviendo a la variable original con el cambio de variable ; 
	
 
 
EJEMPLO 3. Resolver	
Solución. Ejercicio.
EJEMPLO 4. Resolver	
Solución.
Se observa que es una EDO de Euler no homogénea.
Primero. Se resuelve la EDO homogénea de Euler	 
Se resuelve haciendo el cambio de variable 
De donde	 ;	 
De aquí:	 ;	 	
Reemplazando en la EDO dada	 
 =0	 
 , (Está en términos de ), que ya es una EDO lineal de orden de coeficientes constantes.
Ecuación Característica	
Cuyas soluciones son		 ;		 no es solución
El S. F. S. es	 ; 	
La solución general de la homogénea es	 
Volviendo a la variable original con el cambio de variable ; 
	
Segundo. Resolviendo la no homogénea.
Para ello se observa la y las raíces de la ecuación característica. Es el CASO I – parte 1 y CASO II – parte 1.
		 
La solución particular tomará la forma	
La y sus derivadas:
	 	 
Reemplazando en la ecuación dada (en términos de )	
 = 
 = 
 ; 	 ;	 	 ; 	 	 
La solución particular será	
Volviendo a la variable original con el cambio de variable ; 
	
Finalmente, la solución general de la no homogénea de Euler, será:	 	
 
PRÁCTICA 14°. 
1. Resolver las EDOs de Euler, siguientes:
a) 			b) 
c) 	d) 
e) 			f) 
g) 
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES CONSTANTES.
Son ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma:
MÉTODO 1. 
MÉTODO 2.