1-EDOs-Parte-1-Sem-3-Orden-1-Chavez

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EDOs. REDUCIBLES A EXACTAS. FACTOR DE INTEGRACIÓN
Sea la EDO de la forma: y supongamos que no es Exacta, pero que puede transformase en una EDO exacta eligiendo una función de tal manera que la nueva EDO: que se obtiene de multiplicar la EDO dada por la función sea Exacta.
A la función se le llama Factor integrante o Factor de Integración. Para elegir el factor de integración existen diversos casos; estudiaremos dos de ellos, los más usados.
CASO I. Si el factor de integración es una función sólo de , es decir , entonces toma la forma: , siendo , que al multiplicar a la EDO dada: la convierte en exacta.
EJEMPLO. Resolver la EDO 
Solución.
Primeramente:				--------------------------- (A)
De aquí, identificand0:		 ,		
Comprobando si es exacta:	 ;	 	no es exacta.
Entonces se busca un factor de integración de la forma:	 
Donde = = = 	 
Luego, en factor de integración será:
 = = = = 	 
Multiplicando la EDO (A) por el factor de integración para convertirla en exacta.
	
	que debe ser exacta	------------------------------------ (a)
De aquí, identificando:		 ,	
Comprobando si es exacta:	, si lo es
Como es exacta, existe la función de dos variables	 tal que:
,			------------------------------------------- (b1)
,			-------------------------------------------- (b2)
Además 				--------------------------------------------- (c)
Se inicia la solución desde (b1): 
 			
Integrando:	
Se tiene:		 ------------- (d)
Derivando respecto a la otra variable, :	
Comparando con (b2):	 
 	 		 
Integrando 		 	---------------------------(e)
Reemplazando (c) y (e) en (d):	
Finalmente la solución general es:	
CASO II.- Si el factor de integración es una función sólo de ,es decir , entonces toma la forma: , siendo , que al multiplicar a la EDO dada: la convierte en exacta.
EJEMPLO.- Resolver la EDO 
Solución.
reescribiendo:				--------------------- (A)
De aquí, identificando:		 ,	
Comprobando si es exacta:	 ;	 ; 	no es exacta.
Entonces se busca un factor de integración de la forma:	 
Donde = = 		
Luego, en factor de integración será:
 = = = = 	 
Multiplicando la EDO (A) por el factor de integración para convertirla en exacta.
 		---------------------------------------------- (a)
De aquí, identificando:		,	
Comprobando si es exacta:	,	si lo es
Como es exacta, existe la función de dos variables	 tal que:
,				------------------------------------------- (b1)
,			------------------------------------------- (b2)
Además 				------------------------------------------- (c)
Iniciamos la solución desde (b1): 	 	
Integrando:	
Se tiene:				--------------------------------- (d)
Derivando respecto a la otra variable, :	
Comparando con (b2):	 	
 		 		 
Integrando 		 		--------------(e)
Reemplazando (c) y (e) en (d):	
Finalmente la solución general es:	
SOLUCIÓN DE EDOs EXACTAS POR COMBINACIONES INTEGRABLES.
OBSERVACIÓN. Son EDOs exactas que pueden resolverse por algunas diferenciales exactas conocidas, las cuales se denominan combinaciones integrables. Para esto se deben tener en cuenta algunas combinaciones integrables conocidas.
Algunas diferenciales exactas son las siguientes:
a) 				b) 
c) 			d) 
e) 				f) 
g) 			h) 
i) 			j) 
j) 				k) 
l) 			m) 
EJEMPLOS. Resolver las EDOs siguientes usando combinaciones integrables:
a) 
Solución.
Se busca identificar la EDO dada con alguna combinación integrable.
 			
 	agregando un 
 	 
 		arreglando para tener la combinación integrable
 		de aquí integrando:
 	 
 	 
Por lo tanto, la solución general será:		
b) 
Solución.
Se busca identificar la EDO dada con alguna combinación integrable.
 	
 			arreglando para tener la combinación integrable
 		de aquí, integrando
 	 	 
Por lo tanto, la solución general será:		 
c) 
Solución.
Se busca identificar la EDO dada con alguna combinación integrable.
 		
 		arreglando para tener la combinación integrable
 		de aquí, integrando
 		 	 
Por lo tanto, la solución será:		
d) , con 
Solución.
Se busca identificar la EDO dada con alguna combinación integrable.
 	
 		arreglando para tener la combinación integrable
 		de aquí, integrando
Se tiene la solución general:	
Usando la condición ; 	
Por lo tanto, la solución particular será:		
e) 
Solución.
Se busca identificar la EDO dada con alguna combinación integrable.
		 
 		arreglando para tener la combinación integrable
 		de aquí, integrando
 		 
 			 
Por lo tanto, la solución general será:		
f) 
Solución.
Se busca identificar la EDO dada con alguna combinación integrable.
 			 		 
 	arreglando para tener la combinación integrable
 		de aquí, integrando
 
 		 
Por lo tanto, la solución general será:	
g) 
Solución.
Se busca identificar la EDO dada con alguna combinación integrable.
 	 	
 		arreglando para tener la combinación integrable
 	de aquí, integrando
 ,
 		 		 
Por lo tanto, la solución general será:	
h) 
Solución.
Se busca identificar la EDO dada con alguna combinación integrable.
		 
 	
 			arreglando para tener la combinación integrable
 		de aquí, integrando
 		 
Por lo tanto, la solución general será:		
i) 
Solución.
Se busca identificar la EDO dada con alguna combinación integrable.
 			 
 	 
 	
 	arreglando para tener la combinación integrable
 		de aquí, integrando
 
 		 
 	 
Por lo tanto, la solución general será:		
EJERCICIOS (6° PRÁCTICA – B)
1. Determinar los valores de y para que la EDO sea exacta:
a) 			b) =0
2. Resolver las EDOs reducibles a exactas:
a) 		b) 
c) 
3. Resolver las EDOs reducibles a exactas:
a) 				b) 
c) 		d) 
e) 		f) 
EDOs. LINEALES DE ORDEN 1.
Se llama EDO Lineal de primer orden a la que es lineal respecto a la función incógnita y su derivada. Esta tiene la forma: 				--------------(a)
Donde y son funciones continuas de “”, además .
OBSERVACIONES:
i) Si , la EDO lineal (a) toma la forma:	 	--------------(b)
La cual es llamada EDO Lineal Homogénea y es una EDO de variables separables cuya solución es: 
EJERCICIO. Probar que la solución de la EDO 	 es la función 
ii) Si , la EDO Lineal (a) no es exacta (pero, es reducible a exacta) y es llamada EDO Lineal no Homogénea. La solución general de esta EDO es dada por:
 
 	 
iii) Puede ocurrir que la EDO sea Lineal con respecto a la variable “”, y no con respecto a la variable “”, entonces “” depende de “”, . Esta EDO lineal toma la forma: 	
	
La solución general en este caso es dada por: 	
EJEMPLO. Resolver 
Solución.
Es lineal respecto a la variable .
Comparando con 
Se deduce que:	 ; 
Reemplazando en la solución general:		
 
 
 
 
 		o	
EJEMPLO. Resolver 
Invirtiendo las fracciones:	
 
Es lineal respecto a la variable .
Comparando con:		 ; 
Reemplazando en la solución general:		
 
 , 
Usando un cambio de variable en la integral. Si 	 
 	 
 
Volviendo a la variable original:	
 		o 	
EJEMPLO. Resolver las EDOs, dando la solución particular que corresponde a la condición dada:
a) , con 
b) ; cuando 
c) 
EJERCICIOS (7° PRÁCTICA)
1. Resolver las EDOs:
a) 			b) 
c) , con 				d) 
2. Hallar la solución particular de las EDOs con las condiciones dadas:
a) , con , 	b) , con 
c) , “” es una función acotada cuando .
d) , con 
EDOs. DE BERNOULLI (SON EDOs REDUCIBLES A LINEALES)
DEFINICIÓN. Una EDO de Bernoulli es una EDO no lineal de la forma: 
donde . Los , valores para los cuales la EDO de Bernoulli puede transformarse en lineal.
SOLUCIÓN DE UNA EDO DE BERNOULLI.
Dada la EDO de Bernoulli: 		------------------------(a)
Se transforma en una lineal usando el cambio de variable: 	--------------(b)
De donde:		,			------------------------(c)
Derivando (c) con respecto a : 		------------------------(d)
Reemplazando (c) y (d) en (a):	
Que reduciendo se obtiene: 	 , la cual es una EDO lineal.
EJEMPLOS. Resolver:	 			
Solución.
Se deduce que la EDO es de Bernoulli			------------------ (a)
De aquí ; 
Para resolver se usa el cambio de variables , de donde 
 	 	o	 	------------------------------------- (b)
Derivando respecto a :			 	-------- (c)
Reemplazando (b) y (c) en (a):	 = 
Multiplicando por :	 = 
· 
De aquí, identificando:		 , 	
La solución general será:Volviendo a las variables originales, la solución será:		
EJEMPLOS. Resolver:	 
Solución.
Invirtiendo fracciones	 		 
 
Se observa que a anterior es una EDO de Bernoulli.
De aquí se tiene:		 ;	
El cambio de variable será:	; 	 	 
 		 	o	
Usando la fórmula de cambio de variable de Bernoulli y Lineal de orden 1, adaptándole a este caso:	
 
 
De aquí:	 ; 	
La solución será:		
 
 
 
 
 
 
Volviendo a las variables originales:	
EJERCICIOS (8° PRÁCTICA)
1. Resolver las EDOs:
a) 				b) 
c) 		d) 
2. Hallar la solución particular de las EDOs con las condiciones dadas:
a) , con 		
b) , con 
	 
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