Introdução à Teoria das Probabilidades

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INTRODUCCIÓN A LA TEORIA DE LAS PROBABILIDADES 
 
Fenómenos aleatorios: son experimentos que antes de su realización tiene varios resultados posibles, 
pero una vez realizado se da uno de ellos. 
 
Ejemplos: el examen, el partido de futbol, el viaje, etc. 
 
Fenómenos determinísticos: son fenómenos que se repiten pero siempre de la misma forma. 
 
Ejemplos: Primavera, el día, la noche,etc. 
 
Espacio muestral: es el conjunto que contiene a todos los resultados posibles del fenómeno aleatorio. 
 
Lanzando una moneda 
 
E= cara, cruz 
 
Lanzando un dado 
 
E= 1, 2, 3, 4, 5, 6 
 
Sucesos: Es un conjunto del espacio muestral. Se denota por S 
 
El menor de los sucesos es Ø. 
El mayor de los sucesos es S. 
 
Por ejemplo: en la tirada de dos dados que la suma sea 3. 
 
Los sucesos posibles son: S= {dos en el dado1 y uno en el dado2; uno en el dado1 y dos en el 
dado2}. 
 
La característica del suceso es que ocurre o no ocurre. 
 
Un suceso ocurre cuando el resultado está contenido en el espacio muestral. 
 
Por ejemplo: los resultados de un partido de futbol son: 
 
E= {ganar, empatar, perder}. y el suceso fue que el equipo empato, entonces el resultado del partido 
está contenido en el espacio muestral. 
El suceso vacío no ocurre, nunca puede ocurrir es un suceso imposible porque Ø no tiene elementos. 
 
Teoría fundamental de la probabilidad o teoría de probabilidad de LAPLACE. 
 
P(S)= Número de casos favorables a S P (no ocurra un suceso)= 1 – P(S) 
 Número de casos posibles 
 
P (AUB)=P(A) + P (B). 
 
 
 
 
 
Ejemplos: 
 
1) Se lanza una moneda. La probabilidad de que caiga cara es…. 
P(cara) = ½ = 0,50 —> 50% 
P(cruz) = ½ = 0,50 —> 50% 
 
2) Se lanza un dado. La probabilidad de que caiga 3 ó 5 es….. 
P(3) + P(5) = 1/6 + 5/6 = 1/3 —> 0,3333 = 33,33% 
 
3) La probabilidad de que no sea el 7 de una baraja española es….. 
P(no sea 7) = 36/40 = 0,9 —> 90% 
 
4) La probabilidad de que se extraiga un cinco de oro o una sota de una baraja de 40 cartas es….. 
P(oro) + P(sota) = 1/40 + 1/40 = 0,025 + 0,025 = 0,05 —> 5% 
 
5) Una caja contiene 9 caramelos, 14 chicles y 6 chupetines. ¿Cuál es la probabilidad de que se 
extraiga un caramelo, que no se extraiga un chupetín? 
29 total de casos posibles. 
23 posibles posibilidades que no sean chupetines. 
 
P(caramelo) = 9/29 = 0,3103 —> 31,03% 
P(no sea chupetines) = 23/29 = 0,7931 —> 79,31% 
 
 
6) Al lanzar dos dados. ¿Cuál es la probabilidad que la suma sea 9? ¿Qué la suma sea 11? 
P(9) = 0/36 = 0 
P(11) = 0/36 = 0 
 
 
7) Una urna contiene 7 bolas amarillas, 9 rojas, 5 blancas y 3 negras. Se extrae una bolilla al 
azar, determine la probabilidad de que la bola extraída: 
 
a) Sea negra. 
P(negra) = 3/24 = 0,2916 —> 29,16% 
Recuerda que los 
naipes tienen 4 palos 
diferentes en cada 
número. 
Los palos son oro, 
copa, espada y basto. 
 
b) Sea blanca o amarilla. 
P(blanca) + P(amarilla) = 5/24 + 7/24 = 12/24 = 0,5 —> 50% 
 
c) No sea roja. 
24-9 = 15 
P(no sea roja) = 9/15 = 0,6 —> 60% 
 
 
8) Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad de las 
mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al 
azar sea un hombre o tenga los ojos castaños. 
P(hombre ojo castanho) = 10/30 + 5/15 = 0,3333 + 0,3333 = 0,6666 —> 66,66% 
 
 
 
 
Ejercicios 
 
 
1) Al lanzar dos dados. Cuál es la probabilidad de que: 
Casos possibles 6x6 = 36. 
 
a) Sea 7. 
P(7) = 0/36 = 0 
 
b) Sea 10. 
P(10) = 0/36 = 0 
 
c) La suma sea impar. 
P(impar) = 18/36 = 0,50 —> 50% 
 
 
2) De una baraja española de 40 cartas. Cuál es la probabilidad de que: 
 
a) Sea cinco. 
P(sea 5) 4/40 = 0,1 —> 10% 
 
b) Que no sea 3. 
P(no sea 3) = 36/40 = 0,9 —> 90% 
 
c) Que sea figuras. 
P(sea figuras) = 12/40 = 0,3 —> 30% 
 
d) Sea un 7 de oro o caballos. 
P(7 de oro) + P(caballos) = 1/40 + 4/40 = 5/40 = 0,125 —> 12,50% 
 
 
3) De una urna que contiene 6 bolas rojas, 9 azules, 11 amarillas y 5 blancas. 
 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola salga amarilla? 
P(amarilla) = 11/31 = 0,3548 —> 35,48% 
 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola salga roja? 
P(roja) = 6/31 = 0,1935 —> 19,35% 
 
 
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola salga azul o blanca? 
P(azul) + P(blanca) = 9/31 + 5/31 = 14/31 = 0,4516 —> 45,16% 
 
d) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola salga una que no sea roja? 
31-6 = 25 
P(no sea roja) = 25/31 = 0,8064 —> 80,64 
 
 
4) En una urna que contiene 5 pelotitas rojas, 7 blancas, 3 negras y 5 amarillas. ¿Cuál es la 
probabilidad de extraer al azar: 
 
a) una blanca o negra. 
P(blanca) + P(negra) = 7/20 + 3/20 = 10/20 = 0,5 —> 50% 
 
b) no sea negra. 
20-3 = 17 
P(no sea negra) = 17/20 = 0,85 —> 85% 
 
 
5) De una canasta que contiene 9 naranjas, 21 limones y 7 pomelos, se extrae al azar una fruta, 
determine la probabilidad de que la fruta escogida sea: 
 
a) pomelo o limón. 
P(pomelo) + P(limón) = 7/37 + 21/37 = 28/37 = 0,7567 —> 75,67% 
 
b) que no sea naranjas. 
37-9 = 28 
P(no sea naranjas) = 28/37 = 0,7567 —> 75,67% 
 
 
6) De un mazo de cartas españolas, se extrae una carta al azar. Calcule la probabilidad de que la 
carta extraída: 
 
a) Sea el dos de copa. 
P(2 de copa) = 1/40 = 0,025 —> 2,5% 
 
b) Que no sea siete. 
40-4= 36 
P(no sea 7) = 36/40 = 0,9 —> 90% 
 
c) Sea rey de copa o sotas. 
P(rey de copa) + P(sotas) = 1/40 + 4/40 = 0,125 —> 12,50% 
 
d) Sea el cuatro de espada o dos de oro o caballos. 
P(4 de espada) + P(2 de oro) + P(caballos) = 1/40 + 1/40 + 4/40 = 6/40 = 0,15 —> 15% 
 
 
7) De una baraja de 50 naipes se extrae al azar una carta. Determine la probabilidad de que la 
carta extraída: 
 
a) Sea un cinco. 
P(5) = 1/50 = 0,02 —> 2% 
 
b) No sea el uno. 
50-1 = 49 
P(no sea 1) = 49/50 = 0,98 —> 98% 
 
c) Sea figuras de oro. 
P(F.O.) = 4/50 = 0,08 —> 8% 
 
d) Sea un siete de copa. 
P(7 de copa) = 1/50 = 0,02 —> 2% 
 
 
8) Al lanzar dos dados, determine la probabilidad de que: 
 
a) La suma sea 9. 
P(9) = 0/36 = 0 
 
b) La suma sea 10. 
P(10) = 0/36 = 0 
 
c) La suma no sea 7. 
36-6 = 30 
P(no sea 7) = 30/36 = 0,8333 —> 83,33% 
 
 
9) Un bolillero contiene 20 bolillas numeradas del 1 al 20. Si se extrae una bolilla. Determina la 
probabilidad de que la bolilla sea: 
 
a- Un múltiplo de 4. 
b- Un divisor de 10. 
c- Que contenga el número 2. 
d- Que sea el 15. 
 
P= 5/20 x 4/20 x 2/20 x 1/20 = 0,00025 
—> 0,025%