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Funciones I Dominio y rango La s m ate má tic as so n fác ile s √ ⃗ ̅ Álgebra 16 Christiam Huertas Nivel UNI FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 2 Christiam Huertas 1. Par ordenado 02 2. Producto cartesiano 03 3. Plano cartesiano 05 4. Relación binaria 06 5. Función 11 6. Dominio y rango de una función 12 7. Regla de correspondencia 13 8. Técnicas para hallar el dominio y rango 15 9. Problemas resueltos 28 10. Problemas propuestos 43 11. Claves 47 Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 3 Introducción El concepto de función matemática o simplemente función, es sin duda, el más importante y utilizado en Matemáticas y en las demás ramas de la Ciencia. No fue fácil llegar a el y muchas mentes muy brillantes han dedicado enormes esfuerzos durante siglos para que tuviera una definición consistente y precisa. Desde los tiempos de Galileo, que fue uno de los primeros en usarlo (aunque no en la forma que nosotros lo conocemos actualmente), pasando por el gran Newton y Leibniz, que fue el primero que en 1673 uso la palabra "función" para referirse a la relación de dependencia de dos variables o cantidades, Euler, que le dio su formulación moderna ( ), Cauchy, Dirichlet o Gauss, las mejores mentes de la Historia de la Humanidad le dedicaron su atención y sus desvelos. Conceptos previos Par ordenado Es un ente matemático que consta de dos elementos donde importa el orden en su representación. Notación: ( ) donde: y son números reales. es la primera componente. es la segunda componente. Ejemplo 1. Ejemplos de pares ordenados: ( ) ( ) (√ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( ), … OBS. Los pares ordenados ( ) y ( ) son diferentes (pues, importa el orden). Igualdad de pares ordenados Sean , , y números reales. ( ) ( ) FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 4 Christiam Huertas Ejemplo 2. Si ( ) ( ), entonces y . Si ( ) ( ), entonces y es decir, y Ejemplo 3. Si los pares ordenados ( ) y ( ) son iguales, calcule el valor de . Resolución. Por dato: ( ) ( ) Entonces, se debe cumplir: y Se forma el sistema: { ( ) ( ) ( ) por : ( ) Sumamos ( ) y ( ): Reemplazando en ( ): Por lo tanto, . Ejemplo 4. Calcule el valor de si se sabe que: ( ) ( ) Considere { } . Resolución. Por dato: ( ) ( ) Entonces se debe cumplir: y Agrupamos convenientemente: ⏟ ⏟ y ( ) ( ) y Recuerde que: Si y son números reales tales que , entonces y . En el ejemplo: y y y y Por lo tanto, Producto cartesiano Dados dos conjuntos no vacíos y ; el producto cartesiano de con se denota y define de la siguiente manera: {( ) } Es decir, es un nuevo conjunto cuyos elementos son pares ordenados donde la primera componente es un elemento de y, la segunda componente es un elemento de . Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 5 Ejemplo 5. Dados los conjuntos: { } { } halle y . Resolución. Hallemos : {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Hallemos : {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Notamos que los elementos de son diferentes a los de . Es decir, . Propiedades 1. 2. Si 3. ( ) ( ) ( ) Donde ( ) nos indica el número de elementos diferentes del conjunto . Notación. Es decir, es el producto cartesiano de con . Así, por ejemplo: Ejemplo 6. Dado el conjunto { }, halle ; es decir, . Resolución. Se tiene el conjunto { }, entonces: {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Ejemplo 7. Dado el producto cartesiano {( ) ( ) ( ) ( )} donde es un número entero diferente de . Halle la suma de los elementos de . Resolución. Del producto cartesiano , hallemos los conjuntos y : esta formado por las primeras componentes: { } esta formado por las segundas componentes: { } Como tiene elementos y tiene elementos, entonces debe tener necesariamente elementos. Es decir, hay tres posibilidades: FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 6 Christiam Huertas Primera posibilidad: ( ) Lo reemplazamos en : { } Por lo tanto, la suma de los elementos de es . Observación: Si , no se obtiene un valor entero para . Si entonces . Pero por dato, . Plano cartesiano El conjunto denotado por {( ) } se denomina plano cartesiano , cuya representación geométrica es: donde es el eje de las abscisas. es el eje de las ordenadas. Los ejes e se interceptan perpendicularmente en el punto ( ), llamado origen de coordenadas. Ejemplo 8. Represente geométricamente el par ordenado ( ). Resolución. La representación geométrica de un par ordenado es un punto en el plano cartesiano. Para el par ordenado ( ) hacemos lo siguiente: (primera componente) lo ubicamos sobre el eje . (segunda componente) lo ubicamos sobre el eje . Luego prolongamos, y el punto de intersección es la representación geométrica. Gráficamente: Ejemplo 9. Dados los conjuntos { } y { }. Represente geométricamente . ( ) Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 7 Resolución. Se tienen los conjuntos: { } y { } Primero hallemos : {( ) ( ) ( ) ( )} Para representar geométricamente , ubicamos cada par ordenado en el plano cartesiano: Ejemplo 10. Dado los conjuntos: { } { } Halle gráficamente el producto cartesiano . Resolución. Tenga en cuenta que ambos conjuntos son intervalos: { } [ ] { } [ ] Por definición de producto cartesiano se tiene que: {( ) [ ] [ ]} Este conjunto tiene infinitos pares ordenados que al ser representados en el planos cartesiano se for ma l a siguiente región: Relación binaria Dados dos conjuntos no vacíos y . Una relación binaria de en es un subconjunto de . Es decir, es una relación de en si: Ejemplo 11. Tomando el producto cartesiano visto en el ejemplo : {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} se obtienen algunas relaciones de en : {( )} {( ) ( )} {( ) ( ) ( )} {( ) ( ) ( ) ( )} FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 8 Christiam Huertas OBS. Si es un conjunto de elementos y un conjunto de elementos, el conjuntotiene elementos. Existen, por lo tanto, subconjuntos de , o sea, posibles relaciones entre los elementos de ambos conjuntos. Notación. La relación de en se denota como: → o → Se lee: relación de en . Es usual designar al conjunto como conjunto de partida y a , como conjunto de llegada. Ejemplo 12. Dados los conjuntos { } y { } Halle la relación definida por {( ) } Resolución. Primero hallemos el producto cartesiano de y : {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Por definición de la relación , un elemento ( ) de pertenece a si la primera componente es menor que la segunda componente. De los pares ordenados que pertenecen a , busquemos los que cumplen con tal condición. Luego, {( ) ( )} Ejemplo 13. Dados los conjuntos { } y { } Halle la relación definida por {( ) } Resolución. Primero hallemos el producto cartesiano de y : {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Por definición de la relación , un elemento ( ) de pertenece a si la suma de sus componentes da como resultado un número par. De los pares ordenados que pertenecen a , busquemos los que cumplen con tal condición. Luego, {( ) ( ) ( ) ( )} Dominio y rango de una relación Sea una relación de en tal que {( ) } Luego, Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 9 Dominio de . Es el conjunto formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados ( ) de , se denota por ( ). Es decir: ( ) { ( ) } Rango de . Es el conjunto formado por todas las segundas componentes de los pares ordenados ( ) de , se denota por ( ). Es decir: ( ) { ( ) } Ejemplo 14. Tomando la relación del ejemplo 13: {( ) ( ) ( ) ( )} se tiene, ( ) { } ( ) { } Ejemplo 15. Dados los conjuntos { } y { } calcule la suma de los elementos del rango de la relación definida por: ( ) ( ) ( ) Resolución. Primero hallemos el producto cartesiano de y : {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Los pares ordenados ( ) de que cumplen las condiciones ( ) ( ) son los siguientes: ( ) ( ) ( ) Luego, {( ) ( ) ( )} Además: ( ) { } ( ) { } Por lo tanto, la sum a de los elementos del rango es: Propiedades de las relaciones binarias Las relaciones binarias pueden cumplir las siguientes propiedades (no tienen por qué cumplir todas, pueden cumplir solo algunas e incluso ninguna). Dado el conjunto , y una relación sobre el conjunto . 1 Reflexiva La relación es reflexiva si: ( ) Es decir, todo elemento del conjunto está relacionado consigo mismo. FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 10 Christiam Huertas Ejemplo 16. Dado el conjunto { } y la relación {( ) ( ) ( )}. es reflexiva, pues: ( ) Ejemplo 17. Dado el conjunto { }. La relación {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} es reflexiva en . 2 Simétrica La relación es simétrica si: ( ) ( ) Es decir, dados dos elementos cualesquiera del conjunto se cumple que si el primer elemento está relacionado con el segundo, entonces se cumple también la relación al contrario, es decir, el segundo está relacionado con el primero. Ejemplo 18. Dado el conjunto { } y la relación {( ) ( ) ( )}. es simétrica, pues: ( ) ( ) Ejemplo 19. Dado el conjunto { }. La relación {( ) ( ) ( ) ( ) ( )} es simétrica en . 3 Antisimétrica La relación es antisimétrica si: ( ) ( ) Es decir, dados dos elementos del conjunto, si el primer elemento está relacionado con el segundo, y el segundo está relacionado con el primero. entonces, los dos elementos son iguales. Ejemplo 20. Dado el conjunto { }. {( ) ( )} es antisimétrica en . {( )} es antisimétrica en . Ejemplo 21. La relación {( ) | } es antisimétrica en , puesto que | | implica . Nota: La notación | significa divide a . 4 Transitiva La relación es transitiva si: ( ) ( ) ( ) Es decir, dados tres elementos del conjunto, si el primer elemento está relacionado con el segundo, y el segundo relacionado con el tercero, entonces el primero también está relacionado con el tercero. Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 11 Ejemplo 22. Las relaciones de orden (menor que, mayor que, menor o igual que y mayor o igual que) son transitivas. Ejemplo 23. En el conjunto de los números naturales , la relación: “divide a” es una relación de transitividad. Tipos de relaciones Las relaciones binarias definidas en un conjunto pueden cumplir o no las propiedades anteriores. Las relaciones más usuales en matemática son: a) Relaciones de equivalencia. b) Relaciones de orden. c) Relaciones funcionales o aplicaciones. A Relaciones de equivalencia Una relación binaria en un conjunto es de equivalencia si satisface las tres propiedades: es reflexiva es simétrica transitiva O sea, una relación binaria (simbolizada ) en un conjunto es una relación de equivalencia si y solo si posee las siguientes propiedades: : : : ( ) Ejemplo 24. Las siguientes relaciones son de equivalencia: { } y la relación : “idéntico a” { } y la relación : “tiene igual área que” { } y la relación : “tiene igual área que” B Relaciones de orden Una relación binaria en un conjunto , es una relación de orden (parcial) si satisface las tres propiedades: es reflexiva es antisimétrica es transitiva Una relación binaria en un conjunto , es una relación de orden total si es una relación de orden parcial y además satisface que: : En este caso diremos que el conjunto esta totalmente ordenado. FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 12 Christiam Huertas Ejemplo 25. En , la relación definida por: es una relación de orden. Ejemplo 26. El conjunto de los números naturales , con la relación de orden , es un conjunto totalmente ordenado. C Relaciones funcionales o aplicaciones Una relación entre elementos de un conjunto y elementos de un conjunto es una función o aplicación de en si y solo si, verifica las siguientes condiciones: 1° Condición de existencia: Para todo elemento , le corresponde un único elemento , llamado imagen. 2° Condición de unicidad: Si ( ) y ( ) , entonces . Ejemplo 27. ¿Cuál de las siguientes relaciones es una función? a) {( ) ( ) ( )} b) {( ) ( ) ( ) ( )} c) {( ) ( ) ( ) ( )} Resolución. Representamos cada relación mediante un diagrama sagital: a) {( ) ( ) ( )} Vemos que cumple la definición, luego es una función. b) {( ) ( ) ( ) ( )} Vemos que cumple la definición,luego es una función. c) {( ) ( ) ( ) ( )} No es una función, pues tiene dos imágenes. Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 13 Ejemplo 28. Si el conjunto {( ) ( ) ( ) ( )} es una función, calcule el valor de . Resolución. Aplicamos la condición de unicidad. Como: ( ) y ( ) entonces las segundas componentes deben ser iguales. Es decir: ( )( ) Reemplazamos estos valores para verificar si es o no una función: Si : {( ) ( ) ( )} es una función. Si : {( ) ( ) ( )} no es función, pues el elemento tiene dos imágenes diferentes. Por lo tanto, el valor de es . Gráficamente: Notación: → Se lee: “función de en ” Dominio y rango de una función Sea una función de en . Luego, Dominio de la función Es el conjunto formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados ( ) de , se denota por ( ). Es decir: ( ) { ( ) } Rango de la función Es el conjunto formado por todas las segundas componentes de los pares ordenados ( ) de , se denota por ( ). Es decir: ( ) { ( ) } También se puede denotar así: ( ) ( ) Ejemplo 29. Tomamos la función del ejemplo 27: {( ) ( ) ( )} Entonces: ( ) { } ( ) { } FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 14 Christiam Huertas Ejemplo 30. Tomamos la función del ejemplo 27: {( ) ( ) ( ) ( )} Entonces: ( ) { } ( ) { } Regla de correspondencia Sea una función, entonces ( ) ( ) La expresión ( ) indica que esta asociado con una . Se lee: “ es igual a de ” A ( ) se le conoce como la regla de correspondencia de la función , y nos permite calcular la imagen de cualquier elemento del dominio de . Ejemplo 31. Dada la función {( ) ( ) ( ) ( )} Se sabe que: Como ( ) , entonces ( ) Como ( ) , entonces ( ) Como ( ) , entonces ( ) Como ( ) , entonces ( ) Damos forma: ( ) ( ) ( ) ( ) Es decir, ( ) Es la regla de correspondencia de la función . OBS. Tomando la función del ejemplo anterior {( ) ( ) ( ) ( )} Notamos que: toma los siguientes valores : { }, que es el dominio de la función . toma los siguientes valores : { }, que es el rango de la función . Es decir, cuando se tiene una función mediante su regla de correspondencia ( ), para hallar su dominio y rango procedemos de la siguiente manera: ( ) son los valores que toma la variable que hacen que la función exista. ( ) son los valores que toma la variable a partir de los valores de . Es decir, el valor de la variable depende del valor de la variable . Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 15 Esto quiere decir, que el rango se calcula a partir del dominio de la función. Ejemplo 32. Halle el dominio y rango de la función ( ) √ Resolución. Recuerde que primero se debe hallar el dominio y luego el rango (a partir del dominio). i) Dominio de La función ( ) √ esta bien definida, siempre y cuando la raíz de índice par exista en los reales. Es decir: [ ⟩ Luego, ( ) [ ⟩ ii) Rango de Se tiene la función: √ El rango lo hallamos a partir del dominio. Como (Con este dato, formamos la función) Restamos : Tomamos √ : √ Sumamos : √ ⏟ [ ⟩ Luego, ( ) [ ⟩ Tenga en cuenta que: Toda función queda bien definida si se conocen su dominio y su regla de correspondencia. OBS. No es lo mismo y ( ), pues es la función misma, mientras que ( ) es la regla de correspondencia de la función . Luego, {( ( )) ( )} Función real de variable real Diremos que la función es una función real de variable real, si y son subconjuntos de los reales. Es decir: y . Ejemplo 33. Dada la función [ ⟩ tal que ( ) √ , es una función real de variable real. En efecto: ( ) [ ⟩ FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 16 Christiam Huertas Técnicas para hallar el dominio y rango de una función 1 Dominio Para funciones que involucren fracciones Tenga en cuenta que: Ejemplo 34. Halle el dominio de la función ( ) Resolución. La función esta bien definido en si Es decir, puede tomar cualquier número real, menos el número . Por lo tanto, ( ) { } Ejemplo 35. Halle el dominio de la función ( ) Resolución. La función está bien definido en si Factorizamos la expresión cuadrática: ( )( ) Es decir, puede tomar cualquier número real, menos el y el . Por lo tanto, ( ) { } Ejemplo 36. Halle el dominio de la función ( ) | | Resolución. La función está bien definido en si | | | | Es equivalente a colocar: (| | ) Resolvemos la ecuación con valor absoluto: ( ) ( ) Es decir, puede tomar cualquier número real, menos el y el . Por lo tanto, ( ) { } Nota. Para más información sobre ecuaciones con valor abso luto, revise el folleto N° 15: Valor absoluto. Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 17 Ejemplo 37. Halle el dominio de la función ( ) ⟦ ⟧ Resolución. La función está bien definido en si ⟦ ⟧ ⟦ ⟧ Es equivalente a colocar: (⟦ ⟧ ) Resolvemos la ecuación con máximo entero: ( ) Sumamos : ( ) Es decir, puede tomar cualquier número real, menos el intervalo [ ⟩. Por lo tanto, ( ) [ ⟩ Nota. Para más información sobre ecuaciones con máximo entero, revise e l folleto N° 21: Máximo entero. Para funciones que involucren raíces Tenga en cuenta que: √ √ Es decir, cuando el índice es par el radicando debe ser no negativo; cuando el índice es impar el radicando puede ser cualquier número real. Ejemplo 38. Halle el dominio de la función ( ) √ Resolución. La función esta bien definido en si Recuerde que: √ √ √ √ ⟨ ] [ ⟩ Por lo tanto, ( ) ⟨ ] [ ⟩ Ejemplo 39. Halle el dominio de la función ( ) √ √ Resolución. La función esta bien definido en si Lo representamos en la recta real: Es decir, [ ]. FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 18 Christiam Huertas Por lo tanto, ( ) [ ] Ejemplo 40. Halle el dominio de la función ( ) √ √ Resolución. Para el radicando de la raíz de índice impar no hay ninguna restricción. Elradicando de la raíz de índice par debe ser mayor o igual a cero. Es decir, Pero como la raíz está dividiendo, entonces no puede ser cero. Es decir, 〈 〉 Por lo tanto, ( ) 〈 〉 Para funciones paramétricas Tenga en cuenta que: En la función ( ) tal que {( ( ) ( ) ) } Los valores de la primera componente forman el dominio. Los valores de la segunda componente forman el rango. Ejemplo 41. Sea una función tal qué {( ) 〈 〉} Halle su dominio. Resolución. Por dato: ( ) entonces, los valores que toma la primera componente forman al dominio de . Por dato: 〈 〉 Es decir, Restamos : Es decir, ( ) 〈 〉 Por lo tanto, ( ) 〈 〉 Ejemplo 42. Sea una función tal qué {( ) 〈 〉} Halle su dominio. Resolución. Por dato: ( ) entonces, los valores que toma la primera componente forman al dominio de . Primero completamos el cuadrado: ( ) Por dato: Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 19 〈 〉 Es decir, Restamos : Elevamos al cuadrado: ( ) Restamos : ( ) ⏟ Primera componente Es decir, [( ) ] [ ⟩ Por lo tanto, ( ) [ ⟩ 2 Rango Para funciones con dominio explícito Tenga en cuenta que: En estos casos el dominio siempre aparece como dato, y a partir de este dato hallamos el rango. Ejemplo 43. Dada la función lineal ( ) tal que [ ⟩, halle su rango. Resolución. En una función lineal, se forma la variable a partir del dominio. Se tiene la función: Por dato: [ ⟩ Es decir, Multiplicamos por : Restamos : ⏟ Es decir, [ ⟩ Por lo tanto, ( ) [ ⟩ Ejemplo 44. Dada la función cuadrática ( ) tal que [ ⟩, halle su rango. Resolución. En una función cuadrática, primero se completa el cuadrado y luego se forma la variable a partir del dominio. Se tiene la función: Completamos el cuadrado: ( ) Por dato: [ ⟩ Es decir, Sumamos : Elevamos al cuadrado: FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 20 Christiam Huertas ( ) Sumamos : ( ) ⏟ Es decir, [ ⟩ Por lo tanto, ( ) [ ⟩ Ejemplo 45. Dada la función racional ( ) tal que ⟨ ], halle su rango. Resolución. En una función racional, si solo hay variable en el denominador, se forma la variable de forma directa. Si hay variable tanto en el numerador como en el denominador, entonces buscamos un equivalente de forma que solo haya variable en el denominador. Se tiene la función: (Vemos que solo hay variable en el denominador) Por dato: ⟨ ] Es decir, (A partir del dominio, se forma la variable y) Multiplicamos por : Sumamos : Invertimos: Multiplicamos por : ⏟ Es decir, [ ⟩ Por lo tanto, ( ) [ ⟩ Ejemplo 46. Dada la función racional ( ) tal que 〈 〉, halle su rango. Resolución. Se tiene la función: Primero buscamos un equivalente de manera que solo haya variable en el denominador: Por dato: 〈 〉 Es decir, (A partir del dominio, se forma la variable y) Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 21 Restamos : Invertimos: Multiplicamos por : Sumamos : ⏟ Es decir, 〈 〉 Por lo tanto, ( ) 〈 〉 Para funciones con dominio implícito Tenga en cuenta que: En estos casos el dominio no se especifica, por ende, lo tenemos que hallar previamente para luego hallar el rango. Ejemplo 47. Halle el rango de la función ( ) Resolución. Primero hallamos el dominio. Como no hay restricción para la variable , entonces ( ) Como ya se ha indicado líneas arriba, en una función cuadrática, primero se completa el cuadrado y luego se forma la variable a partir del dominio. Se tiene la función ( ) Recuerde que: Si , entonces En nuestro caso: Luego, ( ) Sumamos : ( ) ⏟ [ ⟩ Por lo tanto, ( ) [ ⟩ Ejemplo 48. Halle el rango de la función ( ) Resolución. Primero hallamos el dominio. Como no hay restricción para la variable , entonces ( ) Se tiene la función: Completamos el cuadrado: ( ) FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 22 Christiam Huertas ( ) (( ) ) ( ) Como Entonces ( ) Multiplicamos por : ( ) Sumamos : ( ) ⏟ ⟨ ] Por lo tanto, ( ) ⟨ ] Ejemplo 49. Halle el rango de la función ( ) (| | ) Resolución. Primero hallamos el dominio. Como no hay restricción para la variable , entonces ( ) Hallamos el rango: Se tiene la función: (| | ) Recuerde que: | | | | (| | ) | | | | Completamos el cuadrado: (| | ) Recuerde que: Si , entonces | | En nuestro caso: Luego, | | Restamos : | | Elevamos al cuadrado: (| | ) Sumamos : (| | ) ⏟ [ ⟩ Por lo tanto, ( ) [ ⟩ Ejemplo 50. Halle el rango de la función ( ) Resolución. Primero hallamos el dominio. Como no hay restricción para la variable , entonces ( ) Hallamos el rango: Se tiene la función: Completamos el cuadrado: Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 23 ( ) Como Entonces Sumamos : Elevamos al cuadrado: ( ) Sumamos : ( ) ⏟ [ ⟩ Por lo tanto, ( ) [ ⟩ Ejemplo 51. Determine el rango de la función ( ) √ √ Resolución. Primero hallamos el dominio. La función está bien definido en si: Es decir, Luego, ( ) [ ] Hallamos el rango: Se tiene la función: √ √ (Note que ) Elevamos al cuadrado: (√ √ ) Desarrollamos: √ √ √( )( ) √ Se sabe que: [ ] Es decir, Elevamos al cuadrado: Multiplicamos por : Sumamos : Tomamos √ : √ Multiplicamos por : √ Sumamos : √ ⏟ Tomamos √ : √ √ √ √ | | ⏟ √ (pues ) Es decir, √ √ Por lo tanto, FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 24 Christiam Huertas ( ) [√ √ ] Para funciones crecientes o decrecientes Tenga en cuenta que: Si es una función creciente con dominio [ ], entonces su rango es: ( ) [ ( ) ( )] Si es una función decreciente con dominio [ ], entonces su rango es: ( ) [ ( ) ( )] Ejemplo 52. Halle el rango de la función () ⟨ ] Resolución. La función es creciente, pues su derivada es positiva ⟨ ]. En efecto: Hallemos la derivada de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Notamos que si toma valores en el intervalo ⟨ ], entonces ( ) . Como la función ( ) es creciente en ⟨ ], entonces: ( ) ⟨ ( ) ( )] ( ) ⟨ ] Ejemplo 53. Dada la función ⟨ ] tal que ( ) Calcule el rango de . Resolución. La función es decreciente, pues su derivada es negativa ⟨ ]. En efecto: Hallemos la derivada de ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Notamos que si toma valores en el intervalo ⟨ ], entonces ( ) . Como la función ( ) es decreciente en ⟨ ], entonces: ( ) [ ( ) ( )⟩ ( ) [ ⟩ Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 25 Para funciones racionales (usando el discriminante de una cuadrática) Tenga en cuenta que: El discriminante de la ecuación cuadrática Se denota y define como: Ejemplo 54. Halle el rango de la función ( ) Resolución. Se tiene la función cuyo dominio es todo los reales: El proceso es el siguiente: El denominador lo pasamos a multiplicar: ( ) Formamos la ecuación cuadrática ( ) ( ) Analizamos el valor del discriminante Como ; es decir, la ecuación cuadrática tiene raíces reales, entonces su discriminante debe ser mayor o igual a cero: ( ) ( )( ) ( )( ) Cancelamos : ( )( ) Resolvemos la inecuación √ √ Por lo tanto, ( ) [ √ √ ] Ejemplo 55. Halle el rango de la función ( ) Resolución. Se tiene la función cuyo dominio es todo los reales: El proceso es el siguiente: El denominador lo pasamos a multiplicar: ( ) Formamos la ecuación cuadrática ( ) Analizamos el valor del discriminante Como ; es decir, la ecuación cuadrática tiene raíces reales, entonces su discriminante debe ser mayor o igual a cero: FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 26 Christiam Huertas ( ) ( ) ( ) Resolvemos la inecuación Al aplicar el criterio de los puntos críticos se obtiene: Por lo tanto, ( ) [ ] Para funciones varios (usando la desigualdad de las medias) Tenga en cuenta que: Si , entonces √ Si , entonces √ Si , entonces √ En general: Si , entonces: √ Ejemplo 56. Sea 〈 〉 una función tal que ( ) Halle su rango. Resolución. Por dato, ( ) 〈 〉 Es decir, Luego, √ √ ⏟ Por lo tanto, ( ) [ ⟩ Propiedad: En general: √ Nota. Para más información sobre desigualdades, revise el folleto N° 10: Teoría de desigualdades. Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 27 Ejemplo 57. Halle el rango de la función ( ) √ Resolución. Primero hallamos el dominio. La función está bien definida en si: Es decir, ( ) 〈 〉 Hallemos el rango. Se tiene la función: √ Damos forma convenientemente: √ √ Desdoblamos: √ √ √ √ √ Aplicando la propiedad anterior: √ √ ⏟ √ [ ⟩ Por lo tanto, ( ) [ ⟩ Ejemplo 58. Sea 〈 〉 una función tal que ( ) Halle su rango. Resolución. Por dato, ( ) 〈 〉 Es decir, Hallemos el rango. Se tiene la función Acomodamos convenientemente: Como , aplicamos la desigualdad de las medias de la siguiente manera: √ √ ⏟ [ ⟩ Por lo tanto, ( ) [ ⟩ FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 28 Christiam Huertas Ejemplo 59. Halle el rango de la función ( ) Resolución. Primero hallamos el dominio. Como no hay ninguna restricción para la variable , entonces ( ) Hallemos el rango. Se tiene la función: Damos forma convenientemente: ( ) ( ) ( ) ( ) Pasamos a dividir el numerador al denominador: ( ) ( ) Desdoblamos: ( ) ( ) ( ) Partimos de la siguiente propiedad para formar la variable : ( ) Sumamos : ( ) Invertimos: ( ) Es decir, Por lo tanto, ( ) ⟨ ] Ejemplo 60. Halle el rango de la función ( ) Resolución. Por dato, el dominio de la función es ( ) 〈 〉 Hallemos el rango: Se tiene la función: Damos forma convenientemente: ( ) ( ) Sigamos dando forma: ( ) ( ) Desdoblamos: ( ) ( ) Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 29 ( ) Como Entonces Podemos aplicar la propiedad vista líneas arriba: ( ) √ Restamos : ( ) ⏟ √ √ [ √ ⟩ Por lo tanto, ( ) [ √ ⟩ A continuación se muestra la gráfica de la función : Problemas resueltos Problema 1. Si los pares ordenados ( ) y ( ) son iguales, halle el mayor valor de . A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Resolución Por dato: ( ) ( ) Se debe cumplir: ( ) ( )( ) ⏟ entonces entonces entonces Por lo tanto, el mayor valor de es . Rpta: D Problema 2. Dados los conjuntos { } y { } donde { } . Si , determine el mayor valor de . A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 7 √ FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 30 Christiam Huertas Resolución Como entonces Luego, { } { } Se tienen dos casos: 1er caso: Entonces 2do caso: Entonces Por lo tanto, el mayor valor de es . Rpta: C Problema 3. Dada la función {( ) ( ) ( √ ) ( )} Calcule el menor valor de . A)19 B) 13 C) 0 D) 14 E) 20 Resolución Nótese que: √ Luego, en la función: {( ) ( ) ( ) ( )} Recuerde que en una función, si hay dos pares ordenados con la misma primera componente, entonces sus segundas componente deben ser iguales. En nuestro caso: y y ( ) Luego, el menor va lor de se obtiene cuando: y Por lo tanto, ( ) Rpta: B Problema 4. Dada la función {( ) } Halle ( ) ( ). A) { } B) { } C) { } D) { } E) { } Resolución Por dato: Entonces El dominio lo forma los valores de la primera componente: Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 31 Es decir, ( ) { } El rango lo forma los valores de la segunda componente: Es decir, ( ) { } Por lo tanto, ( ) ( ) { } { } { } Rpta: D Problema 5. Dadas las funciones {( ) ( ) ( ) ( )} {( ) ( ) ( ) ( )} Determine el valor de . ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) A) B) C) D) E) Resolución A partir de las funciones, calculamos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Lo reemplazamos en : ( ) ( ) Por lo tanto, . Rpta: B Problema 6. Dada la función irracional ( ) √ √ halle su dominio. A) [ ] B) [ ] C) ⟨ ] [ ⟩ D) [ ] E) [ ] Resolución La función esta bien definida en si Es decir, Por lo tanto, ( ) [ ] Rpta: E FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 32 Christiam Huertas Problemas de examen de admisión UNAC Problema 7. Si es una función real de variab le real tal que ( ) , entonces, para ( ) ( ) A) B) C) D) E) UNAC 2004 – I Resolución Se tiene la función: ( ) Para hallar ( ), reemplazamos Es decir, ( ) ( ) ( ) ( ) Para hallar ( ), reemplazamos : Es decir, ( ) ( ) Nos piden calcular: ( ) ( ) Cancelamos : Por lo tanto, ( ) ( ) Rpta: C Problema 8. Si es una función definida en el conjunto de todos los enteros por ( ) { ( ( )) entonces ( ) es A) 16 B) 13 C) 11 D) 15 E) 17 UNAC 2011 – II Resolución Se tiene la función: ( ) { ( ( )) dada mediante dos reglas de correspondencia: ( ) cuando ( ) ( ( )) cuando Nos piden calcular ( ): ( ) ( ( )) ( ) ( ( ( ))) ( ) ( ( ( ( )))) Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 33 ( ) ( ( ( ( ( ))))) ( ) ( ( ( ( ( ( )))))) ( ) ( ( ( ( ( ))))) ( ) ( ( ( ( )))) ( ) ( ( ( ))) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Por lo tanto, ( ) Rpta: E Problema 9. Sea una función definida en el conjunto de los números reales que verifica la propiedad ( ) ( ) ( ) ( ) El valor de ( ) ( ) es A) B) C) D) E) UNAC 2012 – II Resolución Se tiene la función que verifica la relacion: ( ) ( ) ( ) Hacemos : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cancelamos ( ) : ( ) Cambiamos por : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⏟ ( ) ( ) Es decir, ( ) ( ) Nos piden calcular: ( ) ( ) Rpta: D Problema 10. Si , definida por ( ) satisface ( ( ( )) ) . Determine . A) 28 B) 30 C) 54 D) 55 E) 27 UNAC 2007 – I Resolución Se tiene la función lineal ( ) Hallemos ( ( )): ( ( )) ( ) ( ) FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 34 Christiam Huertas Hallemos ( ( ( )) ) : ( ( ( )) ) ( ) ( ) Por dato: ( ( ( )) ) ⏟ ( ) Por igualdad de polinomios: Por lo tanto, Rpta: C Problema 11. Sea una función definida para todo por { ( ) ( ) ( ) ( ) entonces, halle el valor de ( ). A) B) C) 1 D) 2 E) UNAC 2004 – I Resolución Se tiene la función que verifica la relación: ( ) ( ) ( ) Reemplazamos : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cancelamos ( ) : ( ) Reemplazamos : ( ) ( ) ( ) ( )⏟ ( ) ( )⏟ ( )( ) ( ) Rpta: A Problemas de examen de admisión UNI Problema 12. ( ) definida para los que cumplen la siguiente relación: √ √ . Halle el intervalo donde varía ( ). A) ⟨ ] B) [ ⟩ C) [ ] D) [ ] E) [ ⟩ UNI 2001 – II Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 35 Resolución Se tiene la función: ( ) definida para los cumplen la siguiente relación: √ √ Es decir, el dominio de la función es el conjunto solución de la inecuación irracional. i. Hallamos el CVA: Es decir, ⟨ ] [ ⟩ ii. Se tiene la inecuación: √ √ Elevamos al cuadrado: Es decir, 〈 〉 iii. ( ) (⟨ ] [ ⟩) 〈 〉 ⟨ ] [ ⟩ Es decir, ( ) ⟨ ] [ ⟩ Analizando la función: ( ) vemos que es: Par Pues, ( ) ( ) ( ) Entonces es suficiente analizar la función en el intervalo [ ⟩. Creciente Pues, ( ) ( ) [ ⟩ Luego, el rango de la función está dada por: ( ) [ ( ) ( )⟩ [ ⟩ Rpta: E Problema 13. La función polinomial ( ) , con , y tal que ( ) , tiene 2 raí ces positivas iguales, entonces un valor de es A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 UNI 2001 – II Resolución Se tiene la función polinomial: ( ) Por dato: FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 36 Christiam Huertas ( ) Como , entonces Reemplazamos en ( ): ( ) Vemos que una de sus raíces es . Luego lo factorizamos por el método de los divisores binómicos:Es decir, ( ) ( )⏟ ( ( ) )⏟ genera raíz debe generar dos raíces negativa positivas iguales ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ⏟ se descarta, pues genera raíces nulas Por lo tanto, Rpta: B Problema 14. ( ) | | [( ) | |] es A) [ ] B) 〈 〉 C) 〈 〉 D) 〈 〉 E) 〈 〉 UNI 2002 – II Resolución Se tiene la función ( ) | | [( ) | |] Vemos que su dominio es todos los reales menos cero. Es decir ( ) { } Si : ( ) [( ) ] ( ) [ ] ( ) Hallemos su rango: Como Elevamos al cuadrado: Sumamos : ⏟ ( ) Luego, ( ) 〈 〉 Si : ( ) [( ) ] ( ) [ ] ( ) [ ] Completamos el cuadrado: Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 37 ( ) [ ⏟ ] ( ) ( ) ( ) Hallemos su rango: Como Restamos : Elevamos al cuadrado: ( ) Multiplicamos por : ( ) Sumamos : ( ) ⏟ ( ) Luego, ( ) 〈 〉 Por lo tanto, ( ) ( ) ( ) 〈 〉 〈 〉 [ ] Rpta: A Problema 15. La población de venados de una región está dada por la función ( ) , donde es el tiempo en años. Entonces, el intervalo de tiempo, donde ocurre la población máxima de venados es A) [ ] B) [ ] C) [ ] D) [ ] E) [ ] UNI 2003 – I Resolución Se tiene la función: ( ) que representa la población de venados en el año . Para determinar el mayor valor de la función vamos a completar el cuadrado: ( ) ( ) [ ] ( ) [ ( ) ⏟ ( ) ] ( ) [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) Para que la función ( ) tome su máximo valor, se debe cumplir: ( ) Es decir, √ Vemos que, [ ] Rpta: D FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 38 Christiam Huertas Problema 16. Se desea fabricar una caja de base cuadrada y sin tapa, con una hoja cuadrada de plata pura de lado , cortando cuadrados de lado en cada esquina y doblando los lados. El rango en que debe estar para que, numéricamente, el volumen sea mayor que el área total de la caja es ) 〈 ( )〉 ) 〈 〉 ) 〈 〉 ) 〈 ( )〉 ) 〈 ( ) 〉 UNI 2003 – II Resolución Según el enunciado se tiene: Al quitar las esquinas y doblar los lados se obtiene la siguiente caja: Por dato: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cancelamos ( ) por ser positivo: ( ) ( ) ( ) ( ) Dividimos entre ( ) : ( ) Por lo tanto, 〈 ( ) 〉 Rpta: E Problema 17. Sea la función 〈 〉 , tal que ( ) es el número de primos menores o iguales a . Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 39 ( ) (√ ) ( ) ( ( ( )) ) ( ( )) es igual a ) ) ) ) ) UNI 2003 – II Resolución Recuerde que: Los primeros números primos son: Por dato se tiene: ( ) ( ) (√ ) ( ) ( ( ( )) ) Hallemos: (√ ) , pues no existe número primo menor o igual a √ . ( ) , pues existen números primos menores o iguales a . ( ( ( )) ) ( ( )) ( ) Reemplazamos en ( ): ( ) ( ) ( ) ( ) Nos piden calcular: ( ( )) ( ) Rpta: B Problema 18. Determine el conjunto de valores del número real tal que la función ( ) ( ) este definida en [ ]. A) ⟨ ⟩ B) 〈 〉 C) [ ⟩ D) 〈 〉 E) [ ⟩ UNI 2004 – I Resolución Se tiene la función: ( ) Para que ( ) este definida en [ ], se debe cumplir: ⏟ [ ] ( ) Analicemos para y para ⟨ ]. Si , se cumple la condición ( ). Si ⟨ ] despejamos de la relación: ( ) ( ) (( ) ) (( ) ) ( ) Como FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 40 Christiam Huertas Restamos : Elevamos al cuadrado: ( ) Restamos : ( ) Invertimos: ( ) Multiplicamos por : ( ) Pero, se sabe: ( ) Es decir, no puede ser mayor o igual a . Entonces: Por lo tanto, 〈 〉 Rpta: D Problema 19. Asuma que la función , dada por ( ) [ [ [ ] ] ] está bien definida (los puntos suspensivos indican un proceso infinito). Entonces también podemos escribir A) ( ) B) ( ) √ C) ( ) √ D) ( ) √ E) ( ) √ UNI 2004 – II Resolución Se tiene la función: ( ) √ √ √ ( ) Como la función está bien definida entonces, ( ) y se puede expresar como: ( ) √ ( ) Elevamos al cuadrado: ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) Sumamos : ( ( )) ( ) ⏟ ( ( ) ) ( ) √ ( ) √ Como ( ) , entonces ( ) √ Rpta: E Problema 20. Halle el rango de la función { } ( ) A) 〈 〉 B) [ ] C) 〈 〉 D) [ ] E) { } Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 41 UNI 2007 – II Resolución Recuerde que: Se tiene la función: ( ) cuyo dominio es: { } i. Si , entonces ⏟ ( ) Es decir, ( ) [ ⟩ ii. Si , entonces ⏟ ( ) Es decir, ( ) ⟨ ] De i. y ii. se obtiene: ( ) ⟨ ] [ ⟩ 〈 〉 Rpta: A Problema 21. ( ) ⟨ ] de | |. ) ⟨ ] ) [ ⟩ ) [ ⟩ ) [ ⟩ ) ⟨ ] UNI 2008 – I Resolución Se tiene la función: ( ) cuyo dominio es ( ) ⟨ ] Factorizamos el numerador de : Es decir, ( )( ) Lo reemplazamos en la función: ( ) ( )( ) Cancelamos ( ) : ( ) ( ) ( ) FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 42 Christiam Huertas Nos piden al rangode la función: | ( )| | | Como Multiplicamos por : Restamos : Tomamos valor absoluto: | |⏟ | ( )| Por lo tanto, (| |) [ ⟩ Rpta: D Problema 22. La función polinomial ( ) [( )( )] [( )( )] ( ) tiene raíces ( ). Entonces es igual a A) B) C) D) E) UNI 2008 – I Resolución Para encontrar las raíces igualamos a cero la función. Es decir, ( ) [( )( )] [( )( )] ( ) Recuerde que: Sean y números reales. Si En el problema: ( )( ) ( )( ) Es decir, De aquí se obtiene sistemas de ecuaciones: 1. { ( ) 2. { 3. { 4. { ( ) Luego, {( ) ( )} Por lo tanto, el número de raíces de la función polinomial es . Rpta: C Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 43 Problema 23. Sea una función tal que ( √ ) ( √ ) entonces ( ) ( ) es igual a A) [ ⟩ B) [ ⟩ C) 〈 〉 D) [ ⟩ E) 〈 〉 UNI 2009 – II Resolución Se tiene la función: ( √ ) ( √ ) cuyo dominio es el intervalo [ ⟩. La función se puede expresar de la siguiente manera: ( √ ) ( √ ) ((√ ) ) ((√ ) ) ((√ ) ) ((√ ) ) Realizamos el siguiente cambio: √ Luego, la función se expresa como: ( ) (( ) ) Además, como Tomamos raíz cuadrada: √ Restamos : √ ⏟ Elevamos al cuadrado: Restamos : ⏟ variable de f Luego, el dominio de la función es ( ) [ ⟩ También, como Restamos : Elevamos al cuadrado: ( ) Restamos : ( ) Multiplicamos por : (( ) )⏟ Es decir, ( ) [ ⟩ Por lo tanto, ( ) ( ) [ ⟩ [ ⟩ [ ⟩ Rpta: A FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 44 Christiam Huertas Problemas propuestos Problema 1. Dados los intervalos 〈 〉 y 〈 〉 Si es el número de elementos de componentes enteros del conjunto , halle el valor de . A) 4 B) 6 C) 9 D) 10 E) 12 Problema 2. Dado el conjunto { }, se define la relación tal que {( ) } Determine el cardinal de . A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10 Problema 3. Dada la relación tal que {( ) } Determine el rango de . A) { } B) { } C) { } D) { } E) { } Problema 4. Dados los conjuntos { } y { } Se define la relación tal que ( ) Halla la suma de los elementos de su rango. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 Problema 5. Si el conjunto representa una función, halle el valor de ( ). {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} A) B) C) D) E) Problema 6. Dada la función {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Halle el valor de . A) B) C) D) E) Problema 7. Dada la función ( ) { Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 45 Calcule el valor de si se sabe que ( ) ( ) ( ) ( ) A) B) C) D) E) Problema 8. Dada la función tal que ( ) { Calcule el valor de ( ( )) ( ( )) si se sabe que ( ) ( ) A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 8 Problema 9. Dada la función ( ) ( )( )( )( ) donde . Podemos afirmar que: ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) √ Problema 10. Si el dominio de la función ( ) √ √ es el intervalo [ ], halle el valor de . A) B) C) D) E) Problema 11. Halle el dominio de la siguiente función. ( ) √ | | A) [ ⟩ B) 〈 〉 C) 〈 〉 { } D) [ ⟩ E) 〈 〉 { } Problema 12. Dada la función ⟨ ] tal que ( ) Halle el mayor valor de . A) 2 B) 3 C) D) 0 E) 5 Problema 13. Halle el máximo valor de la función ( ) FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 46 Christiam Huertas A) 1 B) 4 C) 5 D) 10 E) 21 Problema 14. Halle el mínimo valor de la función ( ) √ . A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) √ Problema 15. Halle el rango de la siguiente función. ( ) A) 〈 〉 B) 〈 〉 C) ⟨ ] D) 〈 〉 E) ⟨ ] Problema 16. Sea una función tal que ( ) √ | | Calcule el valor de si se sabe que el dominio tiene la forma ( ) [ ] { } A) 2 B) 6 C) 0 D) 4 E) Problema 17. Halle el rango de la función {( ) ⟨ ] { }} A) [ ] B) [ ] C) ⟨ ] D) ⟨ ] { } E) [ ] Problema 18. Dada la función ( ) tal que ( ) ⟨ ]. Calcule la suma de los elementos enteros del dominio. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 0 Problema 19. Halle el rango de la siguiente función. ( ) { 〈 〉 [ ⟩ A) [ ⟩ B) [ ⟩ C) ⟨ ⟩ D) 〈 〉 E) [ ⟩ Problema 20. Dada la función {( √ ) } halle su rango. A) ⟨ √ ] B) ⟨ ] C) [ ⟩ D) [ ⟩ E) ⟨ ] Álgebra FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Christiam Huertas 47 Problema 21. Si la función definida por ( ) tiene como rango al intervalo [ ⟩, halle los valores de . A) 〈 〉 B) 〈 〉 C) 〈 〉 D) 〈 〉 E) [ ⟩ Problema 22. Si el dominio de la función ( ) √ | | | | es ( ) [ ] { }, halle el valor de . A) 0 B) 4 C) D) 5 E) 1 Problema 23. Dada la función [ ] tal ( ) que ( ) 〈 〉 { } A) 3/2B) 2/3 C) 3 D) 2 E) 1/3 Problema 24. Dada la función ( ) √| | Si ( ) ⟨ ] [ ⟩, halle el valor de . A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Problema 25. Dada la función ( ) ( ) Determine el valor de para que la función sea independiente de . A) B) C) D) E) Problema 26. Halle el rango de la función ( ) √| | | | Si ⟨ ] ⟨ ]. A) [ ⟩ B) 〈 〉 C) 〈 〉 D) [ ⟩ E) 〈 〉 Problema 27. Halle el complemento del rango de la siguiente función. ( ) | | | | FUNCIONES I: DOMINIO Y RANGO Álgebra 48 Christiam Huertas A) 〈 〉 B) 〈 〉 C) [ ] D) 〈 〉 E) 〈 〉 Problema 28. Sea una función cuya regla funcional es ( ) ⟦ ⟧ | | encuentre el conjunto de las pre imágenes de cero. A) { } B) { } C) { } D) { } E) { } Problema 29. Halle el rango de la función ( ) √ ⟦ | | ( ) ⟧ si se sabe que [ ⟩. A) [ ⟩ B) { } C) [ ⟩ D) [ ⟩ E) [ ⟩ Problema 30. Dada la función ( ) √ ( ) √⟦ ⟧ | | Halle su dominio. A) { } B) { } C) { } D) { } E) Claves 01 D 11 C 21 E 02 C 12 A 22 A 03 B 13 A 23 A 04 B 14 C 24 D 05 E 15 E 25 B 06 B 16 A 26 A 07 D 17 D 27 B 08 E 18 B 28 D 09 A 19 B 29 A 10 B 20 B 30 B www.facebook.com/algebrapre √ ⃗ ̅ Otras publicaciones algebrapre 2019-03-29T15:01:14+0000 Preflight Ticket Signature
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