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Matemática - Rojas Lazo
Peres silva
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PROSPERO ROJAS LAZO
,
MATEMATICA
TEORtA DE CONJUNTOS
NUMEROS REALES
FUNCIONES
INTRODUCCION A LA GEOMETRtA ANALtTICA
EDITOIIAL U!f1V1UlUJ.IA•
Primera edicion, octubre del 2012
Cubiena: AVA disefios
Mcuematica, Teoria de Conjuntos, Numerus Reales, Funciones,
lntroducaon. a lo Geometrta Anaiitica.
© Prospero Rojas Lazo
© 2012, Universldad Ricardo Palma
Editorial Universitaria, Av. Benavides 5440,
Lima 33, Peru. Telefax 275 3070 y 708 0000, anexo B009.
E-mail: editorial@urp.edu.pe
Derechos reservadoe
ISBN 978-612-4059-73-5
Hecho el Dep6sito Legal en 1a BibliotecaNacional del Peru N~ 2012·13048
Prohibida 1a reproduccion de este libro por cuelquter medio, total
o parcialmente, sin permiso expreso de los editoree.
Impreso en el Per-u /Printed in Peru
CONTENIDO
PRESENTACION 11
lNTRODUCC10N 15
CAPiTULO I
TEORiA DE CONJU~TOS
Noci6n de conjuntos 17
Elementos de un conjunto 17
Notaci6n 17
Pertenencia y no pertenencia 17
Representaci6n grafica 17
Determinacion de un conjunto 18
Conjuntos especiales 18
Relaci6n entre conjuntos 19
Operacionea con conjuntos 23
Numero de elementos de un conjunto 36
Producto Cartesiano 38
Relaci6n Binaria 41
Ejercicios propueetos 43
CAPiTULO II
SISTEMA DE LOS ,UMEROS REALES
Introducci6n 47
Metoda Axiomatdco 47
Numeroa Realea 47
Relaci6n de igualdad 48
Axiomas de los Nnmeros Realee 48
'I'eoremas Basicoe 49
Ejercicios resueltos 56
Ejercicios propuestos 73
Intervalos 74
Ejercicios propuestos 77
Deeigualdades 78
Ejercicios propuestos 81
Ejercicios reeueltoa 84
7
Ejerdcios prcpueetos
Valor Absolute
Ejer-cicioa resueltos
Ejercicioe propuestos
CAPiTULO III
FUr-:CIONES
Sistema Coordenado Unidimensional (R')
Distancia dirigida y dietencia en R
Sistema Coordenado Bidimensional (R2)
Graflca de una relacion
Funci6n
Funcionee especialea de variable real
Clasee de funciones
Adici6n y multipltcacion de funciones
Composicion de funciones
Fuuci6n Inverea
Eiercicios resueltoe
Ejercicios propuestoe
CAPiTULO IV
INTRODUCCIO,\ A LA GEm1ETRiA AN/\LiTICA
Distancia entre dos puntos
Punta medio de un segmento
Punta de division de un segmento
Pendiente e inclinaci6n de una recta
Paralelismo de rectas
Perpendicularidad de rectas
Discusi6n de graficado de curvas
Ecuacidn de Ia recta en R2
Distancia de un punto a una recta
Ejercicios reeueltos
Ejercicios propueetoe
Circunferencia
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Secciones C6nicas
96
98
102
120
123
123
124
125
125
127
130
132
135
138
141
158
161
162
163
165
167
167
168
174
178
180
190
192
196
203
204
8
Parabola 204
'I'raslacion de ejes 208
Ejercicios resueltos 211
Ejercicios propuestos 220
Elipse 221
Excentricidad y longitud dellado recto de la elipee 225
Ejercicios reeueltoa 228
Ejercicios propueetoa 232
La Hiperbola 234
Excentricidad y longitud dellado recto de la hiperbola 236
Asintotaa de la hiperbola 236
Hiperbola equilatera a rectangular 240
Ejercicios resueltoa 241
Ejercicios propuestos 246
Bibliograffa 249
9
PRESENTACION
"Matematica" es el titulo dellibro del profesor Prospera Rojas
Lazo, que preeentemoe con gran eatiefaccion y que constituye
el quinto volumen que edita el Programa de Estudios
Baeicoe, en apayo a las asignaturas que astan presentes en
BU currfculo. Be dirige a desarrollar temaa fundamentales
de un cursu de Matematica deetinado a eetudiantea que no
requieren, por la naturaleza de sus carreras profesionales,
futures curses avanzados en dicha materia y condicionados;
por ello, plantean una relacion de distancia, escepticismo y
hasta cierto punta de conflicto con la asignatura en mendon.
Dicha situaci6n hace particularmente compleja la ensefianza
de la materia y, por 10 tanto, acentua la importancia del apoyo
que puede prestar al proceso ensenanza-aprendizaje el uso de
un libro como el que tenemos entre mance.
El reto que tienen que auperar estudiantes que no tienen
identificacion ni mucho menos entusiasmo por la asignatura,
obliga a desplegar un gran y paciente esfuerao docente,
que requiere de profeeores de especialea caracterfsticas y
materialee cuidadcsamente seleccionados y preparados. En
ese sent.ido, es importante inculcar en el alumna la necesidad
imprescindible que bene de adiestrarse en el razonamiento
matemafico como parte de eu formacion profesional, para
asi preparar el terrene para su aprendizaje y mejorar
progresivamente su actitud frente al desaffc que le impone
la.materia.
Be dice que la matematica ee la ciencia de la estructura, el
orden y la relacion, base de diversaa ciencias y de la tecnologta:
tarn bien se afirma que se trata de una ciencia que eetudia las
propiedades de entes abstractos y sus relacionee. Beconsidera
que tiene ramae tales como el algebra, el analisis, la aritmetica,
la geometrfa, la teorfa de conjuntos y la estadtstica, entre
11
otras; en consecuencia, su campo de estudio es muy amplio
y, si bien se trata de un curso baeico, como ae he sefialado.
conatituye un reto para los eatudiantee que en eu mayorfa
no tienen una predisposicion favorable para su tratamiento
y estudio.
Si bien no es un inatrumento permanente de trabajo para
estudiantes de carrerae como Derecho, Gastronomia,
'I'uriemo y Hotelei-ia, Lenguae Modernae y otras, ellos tienen
concretaa necesidades reflexivas y cientfficae que requieren
del razonamiento matematico. Cabe enfatizar que los cursos
presentes en un Programa de Estudios Basicoe no forman
parte de una llamada culture general, sino que cumplen
una funcion de integrar al eetudiante con diversas formes
de razonamiento que son muy importantes para integrarse
a la realidad que 10 rodea y sobre los cuales construira su
formacidn profesionaL
Es nuestro deseo que nuestros estudiantes encuentren en
eete texto las herramientas necesariae para incursionar
con exito en el desafiante terreno de las Matematicas y,
guiados per sus profesores, alcancen a dominar las bases de
un razonamiento que los integra a la realidad ffsica, a los
volumenee y proporcionee y a los modeloa te6ricos que los
eustentan; sin dejar de Iado la disciplina, orden y rigor que
requiere esa fundamental dieciplina formativa.
Quiero aprovechar la oportunidad de la preeentacion de eete
libro, para agradecer muy especialmente el apoyo del Dr.
Ivan Rodriguez Chavez, Rector de la Universidad y del Mag.
Miguel Angel Rodriguez Rea, Director del Fondo Editorial,
con quien compartimos e1 entusiaemo por la publicacion de
libros y revistas, y que ha hecho llegar al mundo academico
y el publico en general, la produccion de nueatroe docentee y
de destacados intelectuales peruanos y extranjeroe, ademas
de aprovechar su gran erudicion bibliografica y su pasion
bibliofila, para rescatar del olvido 0 reeditar libros agotados,
que son fundamentalea para la comprensi6n de nuestro
12
complejo y fascinante pais. 'I'embien agradecemoa a AVA
Disefios, por las caratulas de las publicaciones del Programa
de Estudios Basicos.
Finalmente, debemos expresar nuestro reconocimiento al
autor dellibro, Prof. Proepero Rojas Lazo, de larga trayectoria
docente y Coordinador del CUTSO de Matematica, quien ha
permitido que su obra se incorpore a la linea de publicaciones
del Programa.
FERNANDO RosAS Moscoso
Director del Programa de Estudios Baeicos
13
INTRODUCCI6N
La presente publicacion Be he elaborado con el prop6sito de
que los estudiantes que cursan la asignatura de Matematica
en el Programa de Eetudios Basicos de Ia Universidad Ricardo
Palma tengan un material de consults de Matematica.
Indudablemente, no pretendemos presentar novedades, ya
que los temas tratadoe se desarrollan ampliamente en atros
libros, 10 que hacemos, es sencillamente ordenarios topicos
de acuerdo a nuestra experiencia docente a 10 largo de
muchos afios en el dictado de los cursoe de Matematica, de tal
formaque los conceptoe y reglas basicas queden definidos y
mostrados con claridad.
Desarrollamos 4 capttulos: de los cuales, el Capitulo I trata de
una Introduccion a la Tearia de Conjuntos, en el Capitulo II
hacemos la Axiomatica de los Numeroe Reales, en el capitulo
III tratamos las Funciones Reales de Variable Real y en el
capitulo IV hacemos una ligera introducci6n a la Geometrfa
Analitica.
En el desarrollo de los temaa ee ha puesto especial cuidado,
primeramente en tratar la parte teorica en forma clara,
precisa y amena, dciando por un momento la demostracidn
de los teoremas, pero si incidiendo en la aplicaci6n de estes
en la practice. Esta forma de organizar el contenido va
eeguida de una cantidad considerable de ejercicioe resueltos
e igualmente de ejercicios propuestos en cada capitulo,
indicando el conjunto soluci6n de los miemos.
Con este procedimiento, los docentes que tienen a su cargo
el dictado de la asignatura contaran con un instrumento de
ensefianza para ayudar a los estudiantee, y los estudiantes
tendran una gufa que les permitan no solo tener destrezas y
15
habilidades tecnicaa en la soluci6n de ejercicioe, sino tambien
entender can claridad los conceptos teoricoa eeguldos de
ilustracionee graflcas en la mayor parte de los temas. De
eate modo, solo cuando los eatudiantes dispongan de ciertas
competenciae matematicaa seran capaces de resolver
acertadamente los problemas que se dan en situacionee
genericas, que son importantes en la vida diaria del estudiante.
PROSPERO RoJAS LAzo
16
CAPITULO I
,
TEORIA DE CONJUNTOS
I. NOCIOK DE CO"JU~TO
La palabra conjunto se incluye en el lenguaje matematico
como un concepto primitive, no deflnido; sin embargo,
intuitivamente consideramos al conjunto como una coleccion
o clase de objetos.
2. ELEMENTOS DE U" CO"JU"TO
Son los objetos que esten en el conjunto.
3. Nm\CION
Generalmente un conjunto se denota mediante tetras
mayusculas y sus elementos mediante letras minuscules.
4. PERTEKEKCIA Y ,,0 PERTEKEKCL\
• Si un objeto "a" esta en un conjunto A, se dice que ese
objeto 0 elemento pertenece a dicho conjunto.
Se simboltza par: a e A
• Si un objeto "x" no esta en un conjunto A, se dice que ese
objeto 0 elemento no pertenece a dicho conjunto.
Se simboliza par: x e A
5. REPRESENTACIO" aMFleA
• Los conjuntos se representan mediante figuras geometricas
cerradas, que vienen a Bel' los diagramae de Venn-Euler.
• Los elementos se representan mediante puntoe.
Asi, si el conjunto A eeta formado pOl' los elementos 2, 4, 6,
escribimos:
A = {2,4,6} Ysu representacion es:
17
"
.2
2E A 4E A 6E A
.4
.6
.m xoA meA0
6. DETERI\IINACION DE UN CONJUNro
6.1 POi extension. Un conjunto eata determinado par extension si
se Dambra cada uno de sus elementos.
Ejemplos
N ={1.2,3,4,5 •... ,20}
P -I -2,O.3}
S ={O,-2,3}
6.2 POi comprenston, Un conjunto esta determinado par
comprension ei se cia una propieded que caracteriza a todos 108
elementos del conjunto.
Ejemploe
N = {x/x es natural}
S = {XE Z/;r(x + 2) (x + 3) = O}
7. CONJl'NTOS ESPECIALES
7.1 Conjunto [inito, Es el conjunto que tiene un numero
determinedo de elementos.
7.2 Conjunto uacio 0 nulo. Es aquel conjunto que no tdene
elementos. Se denota con la tetra griega ¢.
Simb6licamente: ¢ '= {xi;t' ;I; x} = { }
18
Ejemplos
A={XE IN /3<x<4}
B={XEZ+ /(x+l)(x+3)=O}
7.3 Conjunto unuorio. Es el conjunto que tiene uno y s610 un
elemento.
Ejeruplos
A={xlx=a}=(a}
B={XE INi2<x<4j={3}
7.4 Conjunto referencial 0 universal. Es el conjunto formado por
todos los elementos que eaten en estudio. Se denota por U.
Se representa mediante un rectangulo. 1U
Ejemplos
a) En Geometrta Plana, se conaidera un conjunto universal al
conjunto de puntos del plano.
bl En Sociologta, un conjurito universal sera el conjunto de
todos los seres huruanos.
8. REL'CIO~ES E~TRE CONJlINTOS
8.1 Relocion de Inclusi6n 0 Subconjunto
8.1.1Definici6n. Dado doe conjuntos A y B, se dice que A es
eubconjunto de BoA esta incluido en B, si y s610 ei, todo
elemento de A es tambien elemento de B.
Simbolicomente
AcB ~ \;;fx!xEA ~ XEB
Si A no es subconjunto de B, escribimos: A a: B
19
TEO RIA DE CON/UNTOS
Represensocion grafica
CQj'U A®J
AcB A"B
Ejemplos
e) Si A =={a,e,i}
B={a,e,i,o,u}
AcB B"A
b) Si IN es el conjunto de los numeros naturales y Z es el
conjunto de los enteros, entonces Ill,' c ,Z.
8.1.2 Propiedadee
i) Reflexiva: A c A
ii) 'I'ransitiva: (AcB J\ BcC) ~ AcC
iii) oc: A
Demoetracion. de W: AcA
(p => p)
1) xEA ~ xEA ..
2) AeA (de (1), def. de subconjunto)
Demosirocion de (ii): A c: B J\ B c C ~ A c C
1) AcB J\ Bee ............... (Hip.)
2) XE A => XE B ............ ((1), def inclusi6nJ
3) XE B => JEG ............ ((1), def. inclusion)
4) XE A => XEG ............ (12), (3), hip.)
5) Ace .......................... ll41, def. inclusion)
20
RELACIONES ENTRE CON/UNTOS
Demcetracion de (iii): 0 e A
v
2) I2'l eA
B.2 Igualdad de conjuntos
B.2.I Definicion. Dedoa los conjuntosAy B, diremos queAy B son
igualee, ei y solo si. tienen los mismoa elementos.
Simbolicamente: A = B ~ (A e B 1'\ Be A)
Ejemplos
a) Si A={XEZ!x2=I} y B={-l,l},entonces k==B
bJ Si M={xEIN!xesimpar} y
N={xeIN!x2 es impar}
Verificer que M = N
i) MeN
2=(2n+l)2xEM ~ a ea impar ~ x=2n+l ~ x
2 =4n2+4n+l~ x ~ x2 :::2(2n 2 +2n )+ 1
2~ x es impar ~ XEN
ii) NeM
x e N ~ x 2 ee impar (hipoteaie)
Supongamos que x e M :::::> x ea par ~ x = 2n
~ x2 = (2n)2 ~ x2 = 2(2n 2)
21
TEORlA DE CONJUNTOS
q X2 ea par (contradiccion con Ia
Hipotesis)
:. xEM
De i) y ii) M:=N
8.2.2 Propiedodes
1) Reflexive: A=A, VA
2) Simetrica: A:=B ~ B;:=A '<iA, wB
3) Transitive: A:=B A B=C q A:=C , '<iA , v B , vC
Demostraci6n de (2)
1) A = B (hip.)
2) A c B ABc A ((1), def. Igualdad de conjuntosl
3) Be A ,..., A c B (2), conmutatlva de la conjunci6nl
4) B '" A «3), def igualdad de conjuntos)
Demaetrociav de (3)
1) A=B (hip.)
2) A c B ABc A «1), def igualdad de conjuntos)
B = C hi )3) (tup).
4) Bee ACe B «(3), def. igualdad de conjuntoe)
5) A c B «(2), simplificaci6n)
6) Be C «4), simplificacion)
7) A c C «5), (6), transitive de la inclusi6n)
8) C c B ((4), simplificacion)
91 Be A (2), simplificacion)
10) C cA «(8), (9), transitive de Ia inclusion)
11) A = C ((7), (101, def igualdad de conjuntoa).
8.3 Conjunto Potencio 0 Conjunto de Partes
8.3.1 Definicion. Dado un conjunto A, el conjunto potencia de A,
denotado par PCA), es el conjunto cuyos elementos son todos
los eubconjuntos de A.
22
OPER,ACIONES CON CONJUNTOS
Simb6licamente: peA) = {X I X c A}
Por definicion tenemos: X E peA) ~ X c A
Ejemplos
a) Si A={a,e,i},entonces
P(A) ~{{a},{e},{i},{a,e},{a,i},{e,i},A,¢}
b) Si A=¢ entonces P(A)={¢}
Numero de elementos del conjunto potencia.
SiA tiene n elementos, entcncee P(A) tiene 2" elementos.
8.3.2 Propiedades
1) AEPfAJ, '<:fA
2) ¢E PtA)
Demostraci6n de (1): A E P(A)
1) AcA. (p. reflexive de la inclusion)
2) AEPtA) (0), def. de PtA))
Demoetroeion de (2): ¢E peA)
1) ¢cA . tp. de la inclusion)
2) ¢E PIA) . ((1), def de P(A»
9. OPERACIONES CON CO~JU~1'()S
9.1 Union de conjuntoe
9.1.1 Definici6n. Dadoa dos conjuntos A y B, la union de A y B, ea
el conjunto formado por los elementos de A 6 de B, 6 ambos.
Notaci6n: AuB
Simb6licamenfe: AuB={x/ XE A v XE B]
Es decir: XE (AuB) ~ XE A V XE B
23
TEORiA DE CONJUNTOS
EjempIos
a) Si A ={2,4,6,8}
B={6,8,9} ; entonces AuB={2,4,6,8,9}
Graficamente:
u
tJf)
AuB
b) St C={XE IN/x es par l
D={XE IN/x es impar)
CuD={X/XE IN}
Graficamente:
~---------,U
CuD
Generalizando la definicion de Union de Conjuntos:
Consideremoe los conjuntoe A1 ,Az ,... ,A", definimos Ia
union de A1,Az,...,A", como:
•
A1uAz v ..vAn = UA,·
i=1
•
Es decir: XE UAi ~ XE Ai para algun i,
i=l24
OPERACIONES CON CONJUNTOS
9.1.2 Propiedadee
1) Idernpotencia: "i A, A u A = A
2) Conmutatividad: vr A, vr B , Au B = B u A
3) Aeociatividad: ":f A, ":f B , "i C, (A u B) u C = A u (B u C)
4) El elemento neutro para Ia uni6n es el vacio: 'II A se tiene:
AU9=9UA=A
5) AcB ~ AuB=B
Demoetracioa de (1): A u A = A
i) (AuAlcA
1) xE(AuA) (x arbitrariol
2) XE A V xe A (Def de u)
3) xe A (Ley logica: p v p ~ P)
4) (AuA)cA (De (1), (3), def. de inclusion)
ii) Ac(AuA)
1) XE A ex arbitrario)
2) XE A XE A (Ley logica de la adici6n:
p~pvq)
3) xEiAuA) lDef.deu)
4) A ciA u A) me 11), (31 def. de inclusion)
De i) y ii) se bene: (AuA)=A
Demoetrocion. de (2): A u B = B u A
i) (AuB)c(BuA)
1) xe (AuB) (r arbitrario)
2) rEA v xEB (def.deu)
3) .r e B v XE A (Ley conmutativa disyuntiva'
4) xe (BuA) (Def de u)
5) (AuB)c(BuA) (De (1), (4) y def. de inclusion:
2S
TEORIA DE CONJUNTOS
ii) (BuA)cCAuB)
1) x E (B u A) (x arbitrerioi
2) xEB v xEA (Def.deu)
3) x E A v X E B (Ley conrnutativa dieyuntiva)
4) XE (AvB) (Def de v)
5) (BvA)c(AvB) (De (1), (4) Ydef de inclusion)
De i) y ii) se tiene: CAu B) = CBu A)
Demoetracion de (3): (Au m.:«: =AuCBvC)
i) (AuBluCcAuWvC)
1) XE [(AvBJvC] (x arbitrario)
2) XE {AuB! V XE C (Def v)
3) (xEA v xEB) v XEC (Def. de O)
4) r E A v (x E B v X E C1 (Ley asociativa disyuntiva)
5) XE A V XE (BvG) (Def v)
6) xE[Av(BvCJ] (Def.u)
7) (AvBJvCcAvCBvC) \De(1),(6)ydef.deincillili6n)
ii) Av(BvC)c(AvB)uC
1) xE[AvCBvC)] (c arbitrerio)
2) xEA v xE(BvC) (Def de v)
3) xEA v (xEB v XEC) .•• (def.deu)
4) (x E A v X E B) V X E C) (Ley asociativa diayuntive)
5) XE (AvB) V XE C (Def de v)
6) xE[(AvB)vC] (Defde cn
7) Av(BuC)c(AvB)vC .. (De Cl), (6))'def. deinclueion)
Dei)yii)setiene: CAuB)uC=Av(BvC)
26
OPERAC[ONES CON CONJUNTOS
Demostraei6n de (4): A v ¢ = A
i) CAu¢)cA
1) xE(Au¢) tr erbitrario)
2) xEA v XE¢ (Def.v)
3) XE A (Ley 16giea: p v q ~ P)
4) CAu¢)cA (Detll,C3)ydef.deinelusi6n)
iiJ A c(Au¢)
1) XE A . (x arbitrario)
2) XE A V XE t/J . (Ley l6gica: P ~ P v q)
3) XE (Aut/J) . (Def u)
4) A cfAut/J) .. (De (1), (3) y def. de inclusion)
Dei)yii)setiene: Au¢=A
Demostrocion. de (5): A c B ~ fA u B) = B
i) (AuB)cB
1) x E (A u B) ...... .. ...... (x arbitrsrio)
2) XE A V XE B mer u)
3) AcB . (Hip6tesis)
4) XE A . (x arbitrario)
5) XE B . (De (3), (4) y def. inclusion)
6) CAuB)cB . (De (1), (5) y def. inclusion)
ii) Bc(AvB)
1) xEB .. (x erbitrario)
2)XEBvXEA . (Ley logice: P ~ P v q)
3) XE A V XE B . (Ley conmutativa disyuntiva)
27
TEOR/A OE CON/UNTOS
4) xE(AuB) (Def.dev)
5) Be (A u B (De 0), (4) y def. inclusion)
De i) yii) se tiene: A cB ~ (AvB)= B
9.2 Intereeccion de Conjuntoe
9.2.1 Definicion. Dados doe coojuntoe A y B, la interseccion de A y
B, ea el coujunto formado por los elementos de A y de B.
Notacton AnB
Simbclicamente: AnB={x/xEA A XEB}
Esdecir:xe:CAnB) ~ XEA A XEB
Ejemplos
a) Si A={XE IN /2<x:58} Y B={XE IN/5:5x.$9}
entouces: AnB={xE IN/5:5x:58}
Oraficamente
A ~u
.3
.9
IL~4 ._-
AnB
b) Si A={p,{q},r,s}
B={p,{r},s}, entoncee AnB={p,s}
e) Si C={xEz/lxI1 :5 4}
D = {r e Z! Ixi :5 2}, entonees CnD ={ XE Z/Ixl.$ 2}
QPERACIONES CON CON/UNTOS
Graficamente 1-----:--~ IV
DeC ~ (DnC)=D
Generalizando la definicion de Intersecci6n de conjuntos:
Conaideremos los conjuntos Ai ,A.:! ,... ,An , definimos la
intersecci6nde Ai ,A2 , ••. ,A ,como: Ai n A2 n ... n A." = n
,
Ain
i=l
" Es decir: x E nAi ¢:::::::> x E Ai , para todo i.
i=l
9.2.2 Propiedades
1) 1dempotencia: V A, (A n A) = A
2) Conmutatividad: V A, VB, A n B = B n A
3) Aaociatividad: VA, VB, VC, (AnB)nC=An(BnC)
4) EI elemento neutro para la intersecci6n es el conjunto
referencial: VA, AeU ~ AnU=UnA=A
5) AeB ~ AnB=A
Demoetracion: de 0): A n A = A
i)(AnA)eA
1) XE (AnA) (x arbitrario)
2) XE A 1\ XE A (Def de u)
3) x E A (Ley 16gica: p p ¢:::::::> P)1\
4) (A n A) eA (De (1), (3) y def. de inclusion)
29
ii) Ac(A"A)
1) XE A (x arbitrario)
2) xEAI\XEA ......... (p~pAp)
3) xe(AnA) , .. (Def n)
4) A c(A"A) . (De (1), (3) y def. de inclusion)
De nymse tiene: AnA=A
Demostraci6n de (5): A c B ~ An B = A
il (AnB)cA
1) x E (A n Bl ex arbitrario)
2) .:rEA 1\ xeB (Defden)
3) xe A (Ley Iogica: (p 1\ q) ~ p)
4) (AnB)cA (De (1), (3) y def. de inclusion)
ii) AcAnB
1) XE A ..................... (.:r arbitrario)
2) A c B ....... ,..... (hipoteeie)
3) HE (De (II, (2) y def. de inclusion)
4) xeAAxeB ......... IDe (1), (3) y leylogica: ccnjuncion)
5) xe (AnE) (Def. n)
6) Ac(AnB> me 0), (5) y def. de inclusion)
De i}y ii) se tienen: (A nB>=A
9.2.3 Conjuntos Disjuntos
Definicion. Dados los conjuntosAy B, decimce queAy B son
disjuntos, si y s610si, su interseccion ee vacia.
Simb6ficamente: A YB son disjuntos ~ An B = tP
30
QPERACIONES CON CONJUNTOS
9.2.4 Leyes Dietribunuae
1) De la uni6n con respecto a la interaeccion:
(AnB)uC = (A uC)n(B .sc:
2) De la interseccion con respecto a la union:
(A uB)nC = (AnC)u(B -c,
Demostraci6n de (1)
i) (AnB)uCc(AuC)n(BuC)
1) xE(AnB)uC) Ce arbitrariol
2) XE (AnB) v XE G (Def de u)
3) (xEA" xEB) v XEG .. (Def.den)
4) (XE A v XE G) " (XE B V XE G) ... (Distributive de
la disyuncion con reepecto a la conjunci6n)
5) XE(AuG) A XElBuCl (Def de O)
6) xE«AuG)n(BuCl) (Def den)
7) (AnB)uCc(AuGin(BuC) ... (De (1), (6) y def. de
inclusion)
ii) (AuGlnlBuClc(AnB)uC
1) xE\(AuC)n(BuC») tr arbitrario)
2) xElAuG) " :CE(BUG) (Defde r--)
3) (xEA v :CEG) A (XEB v :CEC) (Def'de O)
4) (XE A A XE B) V XE G........ (Distributive de la
disyunci6n con respectc a la conjunci6n)
5) xE(AnB) v XEG (Def.den)
6) xE«AnB)uG) (Def.deu)
7) (A u C) nCB uG) c (A n B) u C ... {De (Il (6) ydef. de inclusion)
De i y ii) se tiene que AnB)uC = (A uC)n(B uC)
31
TEO RiA DE CONJUNTOS
9.3 Diferencia de Conjuntos
Definici6n. Dados dos conjuntos A y B, la diferencia de A y
B, en eee orden, es el conjunto de los elementos de A que no
pertenecen a B.
Notccion: A - B
Simb6licamente: A-B=(x!XEA 1\ x'ifB} Es decir:
xECA-B) ¢::::::::;> xeA 1\ x~B
Ejemplos
a) Si A ={xlx =2n! , n e IN} y B = {xix = (2n+ 1)!, ne IN},
entonces: A-B={x/x=2n!, n e IN, n e I}
Graffcamente:
-
Ad _~u
t" ",?>;:fi B
I ~~~ l
~0?+);;
I
A-B
b)SiA={x!x=2n,neIN} y B={x'/x=22n,nEINJ
21\+1entonces. A-B={xlx=2 .n e IN}
Graflcamente
A-B
32
OPERACIONES CON CONJUNTOS
c) Dadoe M={x/x=2",nE IN} y N={x/,r=2"+1,nEIN,n:2>1}
entonces: M-N={xlx=2n j n e IN}
N-M={xlx=2"'+1,nE IN .u e t}
Graflcamente
,----------"U
o
M-N
9.4 Complemenfo de uti Conjunto
I IU
0
N-M
9.4.1 Definicion. Sea A c U, donde U es el conjunto universal 0
referencial, definimos el conjunto complemento deA, como el
conjunto de elementos que no pertenecen a A.
- , A
Notacian: CA=A =A = Cu
Simbolicamente: CA = U - A ={XE U/x~ AJ, es decir:
xECA ~ x~A
Graficamente
~u
9.4.2 Propiedades
1) C(G4.)=A, \I A clnvclucion)
33
2) il C(AVBI=CAnCB}
Leyes De Morgan
ii) C(AnB)=CAuCB
3) A-B=AnCB
4) AvA'=U
5) AnA'=¢
6} U' = ¢
7) (/ = U
Demoetrocicn: de (1): ClCAJ = A
i) CeCA) c A
1) XE C(CA) (x arbitrarto)
2) Xi' CA , (Def de complemental
3) XE A (Daf de complemento)
4) C(CA) c A " (De (1), (3) y def de inclusion)
ii) A c CreAl
1) XE A (x arbitrario )
2) x ~ CA .. (Def. de complemento)
3) XE CeCA) (Def de complemento)
4) A c C(CA) .. (Def (L), (3)ydef. de inclusion)
De i;r ii) se tiene: CeCA) = A
Demostraci6n de (2): C(A u B) = CA roeB
i) CCAuB)c CA n eB
1) x E C(A u Bl (x arbitrario)
2) x e (A u B) (Def de complemental
3i XE A A XE B (Negacicn def. de u)
34
QPERAClONES CON CONJUNTOS
4) XE CA A XE CB . (Def. complemento)
5) XE [CAnCB)] . (Def de n)
6) C(AuB) c: CA n CB . (De (1), (5) y def. de inclueicn)
ii) CAnCBcC(AuB)
1) XE (CA n CB) ec arbitrarlo)
2)XE CA 1\ XE CB (Def de n)
3) r~ A 1\ Xii': B (DeC. de complemento)
4) X~ (A uB) " (Negacion def u)
5) x E C\A u B) (Def de complemental
6) CAnCBcC\AuB) (De 1l),iSJydef. de inclusion!
De i) Y it) ae tiene: C\AuB)= CA n CB
9.5 Diferencia Simetrica de Coniuntoe
Definicion. Dadoa los conjuntos Ay B, definimoe la diferencia
simetrica de A y B, denotada por A ~ B, como:
A ~ B=(A-BJv<B-AJ=(AvBJ-(AnBJ
Graflcamente: -------"U
A"B
35
TEO RiA DE CON/UNTOS
.o. r\('MERO DE ELE:\1E\TOS DE eN CO\'JU\'TO
101 Definici6n. Si A es un conjunto finite, entonces el numero
de elementos del conjunto A, 10 denotamos asf n(A), #(A),
cardlAI
10.2 Propiedades
1) Si A y B son conjuntos
finites A n B "* r/J , entonces
n(A uBi = n(A)+n(B)-n(A nB)
if?2l
U
Lill
2) Si A y B son conjuntos finites, entonces
n(A u B) = n(A - B) + n(B - A) + n{A n B)
3) Si A=¢ entonces n(A)=O.
4) Si A y B son conjuntos finites y I!
00
B IU
disjuntoa An B = r/J, entonces
n(A u B) = n(A) + nCB)
5) Si A, Bye son conjuntos finitos, entoncee.
n(A u B uC) = n(A) + n(B)+ n(C) - n(A n Bl- n(A nC)
- n(BnC)+n(A nBne)
ACE§YIU
Ejemplos
1) En una biblioteca habian 25 personas, de las cuales. 8
leyeron la revista A, 15 la reviete B y 6 leyeron ambes
revistae. i.Cuantas no leyeron ninguna revista?
Resolucion
I IV n(U)=25 Luego
A~B n(AI = 8 n(U -(AuB))
2 9 n(BI =15 25-17=86
n(AnB)=6
n(AuB)=17
n(U)-n(AuB)=?
Respuesta 8 personas.
2) En una encuesta realizada a 600 alumnos se encontro 10
siguiente:
El numero de alumnosque llevan simultaneamente las asignaturas
de Matematicas I (Ml), Biologia I (Bl) YLenguaje (L), es:
1/5 de los que Bevan solamente MI.
1/2 de los que Bevan solamente BI.
1/2 de los que llevan solamente MI y Lenguaje.
1/3 de los que llevan solamente Lenguaje.
1/3 de los que Bevan solamente MI y BI.
1/3 de los que no estudian ninguno de los tres cursos.
Igual al numero de alumnos que llevan solamenteBI y Lenguaje.
Hallar:
a) EI numero de alumnos que Bevan las 3 asignaturas.
b) EI numero de alumnos que no llevan ninguna de las tres
asignaturas.
c) EI numero de alumnos que Bevan solamente Matematdca I.
Reeolucion
&r
'", ,
'" L
V n(Uj = 600 alumnos
1) MiuBIuL=l7xBI
2) MiuBIuL=n(U)-3x
3) 17x=600-3x
20x= 600
'" x=30
37
TEORiA DE CONJ LJNTOS
Respuesta. al 30 alumnos.
b) 90 alumnos.
c) 150 alumnos.
I I . PRODUCTO CARTESIA."O
11.1 Par Ordenado
Definicion, Es uri conjunto que tiene dos elementos, a y b, con
una propiedad adicional de orden.
Notccion (a, b) es el par ordenado euyo primer elemento es
a y cuyo segundo elemento ea b.
Obeervamoe que {a,b} '" {c.c}. en tanto que
(a,b) ~ (b,a) .
11.2 Igualdad de Pares Ordenodoe
Dos pares ordenados (a,b) y (c,d) son iguales. si y solo ai,
a=c y b=d.
Ejemploe
a) (3,8) = (3,2 3 )
b) i.Paraquevlllordem, (5,m-3)=(5,1)?
Reaolucion
(S,m-3)=(S,ll ~ 5=51\ m-3=1
Luegu: m- =4
11.3 Producto Cartesiana
11.3.1Definici6n. Dados doe conjuntosAy B, el producto cartesiano
de A y B, es el conjunto de todoe los pares ordenados, tales
que, [a primera coordenada perteneee aAy la segunda a B.
Notaci6n. A x B
Simb6licamente. A x B = {(a, b)/a E A 1\ bE B}, es decir:
(a.,b)E (A x B) ¢:::=;> u s A I'. bE B
PRODUcrO CARTESIANO
Ejemplo
a) SiA=b:EZ/lxj"";1} yB={XEZ/2~x"";4}
Entonces:
A xB = (I-1,21,1-1,3),1-1,41,10,2),10, 31,10,4) ,11,21,11,31,11, 4)}
B x A = (12,-1),12,0),12,11,13, -1) ,13,0) ,13,1) ,I4,-1) ,14,01,14,1)}
Observamos que: A x B"#- B x A
Graficas
B
5
4 0
3 0
2 0
-2 -1 01
AxB
2 A
A
4
3
2
., 0
I'
I IBxA
2 J 41 5 B
b) Dado A={a,b}. HallarAxA
A x A ={(a,a),{a,b),(b,b),(b,a,)}
A
b
, D
o
• 0
A.A
a b A
39
TEORiA DE CONJUNTOS
11.3.2Propiedades
1) (AuB) x C =(A x C)u(H x C)
2) (AnB)xC=(AxC)n(BxC)
3) Si Ay B son finites, entonces n.tA x Bl
Demostraci6n. de (1):
i) (AuB) x C c(AxC)u(BxC)
1) (x,y)e «AuB)xC) .........
2) .r e (AuBl /\ J'E C
3) (rEA v x e B) '" YEC .
4) (TE A", ye C) v (XE B 1\ J'E CJ
5) (;r,y)E (AxC) v (;r,y)E (BxCl ...
6) (x,y)e (AxC)u(BxC)) .
7) (AuB)xCcIAxC)u(BxC) .
ii) (AxC)u(BxCI c (A u BlxC
1) (;J.••vie «(AxC)u(BxC» .
21 (X,Y)E (AxC) v (X,y)E (BxC) ..
3) (xeA"'yEC) v (xeB,....yeCJ ..
4) (xeA v XEB),... ye C
5) xe(AuB.I,... yeC .
6) (X,Y)E (AuBixC) .
= ntA) . ntHl
((X,y) arbitrano)
(Def de producto
cartesiano)
(DeE. de u)
(distributive de la
conjuncion con
respecto a la
disyuncion)
(Def de producto
cartesiano)
rDef de u)
(de (1), (6) y def.
inclusion)
((x,y) arbitrano)
(Def de u}
(Def de producto
cartesiano)
(Dietributdvai
(Def de u,i
lDef. de producto
carteaiano)
RELACION BINARIA
7) (AxC)u(BxC)c(AuB)xC .... (De (1), (6) y def.
inclusi6n)
12. REL\C10N B1Ni\Rli\
12.1 Definicion. R es una relaci6n binarla entre los elementos de
los conjuntos A y B, si y s610, es subconiunto de A xB .
SimbOlicamente: R es una relaci6n binaria entre A y B
¢:::::::;> RcAxB
Si (a,b)E R entoncee se escribe o.Rb ,
12.2 Dominic de una Relacion.
Dada una relaci6n R entre los elementos de A y B, deflnimos
el Dominio de la relacion, denotado por DR, como el conjunto
de los primeros elementos de los pares ordenadoe de R.
Esdecir: DR={aEA/3bEB can (a,b)ER}
12.3 Rango de una Relaci6n
Dada una relaci6n R entre los elementos de A y B, definimos
el Rango de la relacion, denotado par RR, como el conjunto
de los segundoe elementos de los pares ordenados de R.
Es decir: RR ={bE B/3aE A con (a,b)E R}
Ejemplos
a) Si A={O,1,2} sedefine (a,b)ER ¢::::::::;> b>a-1
Entonces: R = {(O,O), (0,1) ,(0, 2) ,(1,1) ,(1, 2), (2, 2)}
Se ha definido una relacion enA: DR ={O,1,2}; RR ={O,1,2}.
b) Larelaci6n R=((a,b)/a+b=6, ab e IN} es el formado
por los pares ordenados de numeros naturales, tales que,
sumadoe sus componentes dan seis.
41
o sea: R ~{(O,6),(6,OJ,(1,5J,(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)}
DR ~{O,1,2,3,4,5,6}, RR ~{O,1,2,3,4,5,6}
c) Si A={1,2,4} y .h':={(x,y)EAxA/y-x=r}
Entonces: R={O,2),l2,4)}
DR ~{1,2} , RR ~{2,4)
12.4 Relocicnes Importantes
12.4.1Relacion Reflexico. Sea R una relacion definida en A, es
decir R c:A x A, R ee reflexiva, si todo elemento de A eeta
relaclonado consigo miemo.
Es decir: Res reflexiva 'r/ x E A, (X,X)E R¢;::::::::I
12.4.2Relaci6n Simetricc. Sea R una relation definida en A. es
decir R c AxA, R es simemca, si x eete relacionada con y,
entonces y esca relacionedo con x.
Be dectr: Res slmetrica ~ 'rt(x,.v)ER, (x,y)ER:::) (y,x)eR
12.4.3Relaci6n Traneiuoa. Sea R un subconjunto de AxA, R ea
transitiva, si x esta relacionado cony, e .II eeta relacionado con
Z, entonces x esta relacionado con z.
Es decir: Res transitiva ~ (X,y)E R 1\ (Y,Z)E R :::) {ljlE R
12.4.4Relad6n de Equivalencia. La relacion R c A 2 es de
equiualencia en A, si y solo si, es reflexive, eimetrice y
transitive.
Ejemplos
a) Sean A 0::: {1,2,3} Ylerelacion R 0::: {(1,1),(2,3),(2,2),(3,2J,(3,3)}
R es una relecion reflexive. simetrica y transitive, per io
tanto, R es de equivalencia.
b) Sean A 0:::{1,2,3} Yla relacion R ={(1,1),i2,3),(3,2),(1,3)}
42
EjERCICIOS PROPUESTOS
R no es reflexive, puea Ze A A (Z,21i!: R
R no es simetrica, pues <1,3Je R A (3,l)i!: R
R no es transitiva, pues (Z,3}E R A (3,2)e R y (2,2)~ R
c) La "igualdad" para cualquier elementos en todo conjunto,
es una relacion de equivalencia.
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Determinar los eiguientes conjuntoa por extension:
A =(XE lRlx(x +4)(x -.)2) =OJ
B={XE INlx2 -x--l=O}
C ={xix = 2k 2 , ke Z,-5:5 k:5 Z}
D={yE lNi1~3y-7<8}
E={XEZ/Z.r+3 =4}
OZ. Determiner por comprension los siguientes conjuntoe:
A = [O.3.6.9,12,15j
B={2,2'.0 .27.... j
C = {O,2,6,12.20,30}
D_{111111}
- '2'5'10'17'26
E ={3.-9,27.-81 .... j
F ={1,7 .17 ,31,49 ,... }
43
TEORiA »s CONJUNTOS
03, Si A = {{a},{a,b} ,{b}} ,iCuale!3delassiguientesproposiciones
son verdaderas?,'J (a}cA iv) {a,b}cA
"J {bJE A vi {{a),{b}) ={a,b]
" "'J ({b}}cA vi) ¢cA
'"
04. Hallar el conjuntc potencia de los siguientes conjuntos:
A={XEIN/S<x<6}
B={x/x*x}
C={¢,{¢},{{¢}))
05. Siendo:A= {x E Z/O <x:5:5} B= {y E Z/4:5:y < ll}
C={xEZ/;r2-9=0} D = {2, 3, 4)
U"" {x E Z/-5 <x s; IS}
Heller: a) AuB , AnB ,A-B , B'
b) BuC , BnC , B-C , C-B
c) (AuDJ, C<A-B)uC
06, Demostrar. aJ Ac¢l =:> A=¢I
bJ A-B=A-IAnB)
oj A -(B -Cl = (A-B)u(AnC)
dJ AcB ¢:::::::;> AnB=iP
eJ A=(AnB)u(AnBJ
44
07. Demostrar: a) AnB=¢ ~ n(AuB)=n(A)+n(B)
b) AcB ~ n(AuB)=n(B)
c) AcB ~ n(AnB)=n(A)
08. En una Facultad de la Universidad Ricardo Palma hay 58
[ugadores, de los cuales 38juegan futbol, 15juegan basquetbol,
20 juegan v6ley y 3 juegan tree deportee. oCuantos juegan en
2 de los tree deportee?
09. En una encuesta realizada se observe que:
El 72% son Matematicos, 52 % Fisicos, 37% Quimicos, 32%
Ftsico-Matematicos, 12% Fisico-Quimicos, 22% Matematicoe
Quimicos, 2% Ftsico-Matematicoe-Qufmicos. i.Que porcentaje
de los encuestados tienen otras carreras?
10. Siendo: E=fxE IN/x ee divieor de Iz}
F={y/y=1+x2 ,XE IN, X 0::,; 3}
G={xEZ/x+1=6}
Hallar y graficar: a) Ex F c) ExE
b) ExG d) GxF
11. Si Z es el conjunto universal, tabule el dominio y range, y
grafique las siguientes relaciones:
R1 ={(x,y)/y-2x=41
II, =[(x,y)(x2 +.Y2 =4)
R ={(x,y)/y=x2}
a
R4 ={(x,y)!x=3,y<0}
Rs ={(x,y)!-lo::,;xo::,;4,y=0}
R,; ={(x,y) l x e .y)
4S
TEORiA DE CONJUNTOS
12. Dado los conjuntcs A={l,2}. B={2,4} y las relaciones
sfguientes de A en B:
RI ={(x,y)!y =2:r}
R 2 ={(x,y)/x<,YJ
lis =(Il,4l,!2,21,C2,4)}
Haller: a) A x R1
bl PCA x B)
2
C) R2-P(A)
d) WI nRa)u(~)
13. Dado A ={l,2,3,4} y las relaciones siguientes:
llr ={(a,bl!a=bj
lis ={(a,bl!axb=8j
Ra={(a,b)!u>b}
«Cuales son reflexivas, simetncaa y transitivas?
14. Dado B c-o{:rEINi!:5x:55}
a) Hallar R deflnida por "a +b as un numero par",
determiner si es una relacion de equivaiencia.
b) R={Cl,31,(2,41,C3,51,(1,1l,(2,21,C4,2),(3,l))" iE, una
relaci6n de equivalencie? «Per que?
46
CAPITULO II
SISTEMA DE LOS
NUMEROS REALES
I . lI\TRODUCCI0N
Las necesidades reales htcieron que los sistemas de numeros
fueran ampliandose, del sistema de los numeroe naturales
(IN) al sistema de los numeros enteroa (Z); de este, al sistema
de los numeros radonales (Q), de Q al sistema de los numeros
reales (IR), y de m al sistema de los numeros cornplejoeff.).
POl' ahora nos ocnparemos del sistema IR.
Una forma de ejemplificar estas suceaivas extensiones es senalar
como se fueron resolviendo las ecuaciones. Asi:
• Sean a, b E IN, x +a ::0 b no eiempre bene soluci6n en IN ,
perc si en Z.
• Sean a, b E Z, a:;l!: 0, ak = b no aiempre tiene aolucion en
Z, pero ei en Q.
La ecuaci6n x 2 = 3 no tiene solucion en Q pero si en IR .
2 METODa AXIOMATICO
Consiste en elegir terminoe primitives que pueden ser'
conjuntos, leyes algebraicas 0 relaciones. Ademae, se indica
un conjunto de propiedades basicas, axiomas 0 postulados
que cumplen los terminos primitives; el reeto de elementos
se definen en base a los terminoa Iniciales, y los teoremas se
deducen de los axiomas ueando reglas logicas.
3, :\Lr;".fEROS RF.:\I,F.S
El sistema de los numeros reales es un conjunto m., con
doe operaclones: Adici6n y Multiplicacion, y una relacion de
orden «J, esto es:
{lR,+,',<}
47
4. REL\CJON DE IGL'ALDAD
4.1 Definicion. Sl a y b son doe simbolos diferentee que
representen a un mismo elemento de lR, decimos que a es
igual a b, y se denota por a = b .
4.2 Propiedodes de la igualdad
1) Reflexive: '1 a E 1R, a = a
2) Simet.rica: 'Va,b E lR, a = b =' b = a
3) 'I'ranaitiva: '1a,b,cE lR, a eb 1\ b=c :=;. a=c
o , ;\,XIOrvLA,S DE lR
5.1 Axiomu.s de Adicion
At: Clansura: '1a,bEIR, a+bElR
Az: Conmutatividad: '1a,bElR, a-vb ebw a
Asociatividad: '1 ali.ce IR, (a+b)+c =a+(b+c)A3:
A4 : Existencia y unldad del elemento neutro aditivo.
3! Elemento "0" E IRla+O=a . v c e lR
Extstencia y untoidad del elemento inverse aditivo.A5:
Para cada aE JR, 3! elemento l-alE IR/a+(-a)=O
5.2 Axiomas de Multiplicaci6n
M1 : Clansura. '1 ab E m, a' b EO m
M:o: Conrnutatividad: '1 a,b E m, a . b = b· a
M~: Asociatividad: '1 ab.c E m, (a' b) . c := a-tb-c)
M 4: Existencia y unicidad del elemento neutro
multiplicative.
'1 a Em, 3! elemento "I" E IR/ a' 1 = a
M.5 : Existencia y unicidad del elemento inverso
multiplicative.
48
Para eada a E ill, a oF- O,::l! elemento c' E mla-ul = 1
5.3 Dietributioidad.
v ab.c E ill, a· (b+c)=a -b v a : c
5.4 Axiomas de Orden
0 1 : Tricotomia: Va,bE JR, una y solamente una, de las
siguientes relaciones se cumple: a < b, a = b , b < a
O2; Transitividad: Va,b,cEJR, a cb " b c c ~ a c c
Orden-Adicion: Va,b,CE JR, a-cb ~ a+c<b+c
°
0 3:
4 : Orden·Multiplicaci6n:'i/a,b,cEIR,a<byO<c .:::::} oc-cbc
5.5 Axioma del Supremo
Todo conjunto no vaeio de numeros reales,' aeotado
superior-mente. tiene un supremo en m.
6. TEORE"V\S BAslCOS
'Icon-rna I
'oj a E ill, a . 0 = 0= O' a
Demoetracion
a . 0 = a . 0 + 0 " . A,
= a· 0 +[a+(-aJ] .. A,
=[a·O+a] + (-a) .. A,
= [a . 0 +a . 1] + (-a) . M,
= a . (0 + 1) + (-c) .. Distributividad
= a . 1 + (-a) . A.,
= a + (-a) . M,
49
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
=0..................................... A5
a·Oc=O·a .. Conmutatividad
reo-erne 2
v ae JR, -a = (-1)a
Demostraci6n
El inverso aditivo es unico, luego. si mostrarnos que:
a +(-1)a = 0, (-1)0 eetara comportandose como inverse de
a.
Veamos:
c s-t-L)c = 1· a + (-l)a
»o : 1 + a (-0
~a[l+C-l)]
=0·0
=0 .
a +(-l1a=O
'teorcrna 3
. M4,
. M 2
. Distributdvidad
. A5
'Ieorema I
wab e m, a(-b) =(-a)b =-(abl
Demoetrocion
a(-b)=a[(-l)bJ
= [aC-l)]b
= [(-l)a]b
=(-a)b
a(-b)--=a[(-1)bJ
=Ial-lljb
= [t-llalb
T2
M:1
M'l
. T2
- . T2
. M3
. M2
50
,
TEOREMAS BASICOS
= (-lJ(ab) M 3
= -Cab) T.2
El teorema este demostrado par la transitividad de la
ignalded.
reorerna 4
":jOE m, -(-a)=a
Demostraci6n
EI inverse aditivo de a es unico, luego:
a + (-0) = (-a)+ a = 0, a ee el inverso aditivo de -a, esto es,
-(-o)=a.
Tcorema 5
Va,bEIR, (-a)(-b)=ab
Demostracion.
Justifique cada paso:
(-a)(-b) = [(-1Ia](-bl
= (-l)[Ol--b)] .
=(-l)(-ab) .
= -c-ab) .
~~ab ........................................
Definicion: 'if a,b E IR, llemamoe diferencia de a y b,
a-b=a+(-6)
Definicion: 'rj a ,b E lR, b oF 0 , llamamoe cociente de a y b,
Q.-ab-1,
S1
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
Definicion: 'if a E IR ,n entero positive,
si n == 0 entoncee an == 1
ai n ~ 1 entonces a" == a . a a, 11 veces.
Definicion: a) 'if a,x Em, si n es un entero positive
imper, 3! XE m, tal que x" =0. Esto es:
1:n n,a,' =."Ja=x talquexn=a.
b) Si n es un entero positive par, y a < 0 ,
XE m, tal que, a" -c a ,
Ejercicios
Demoetrar; usando axiomas Y/o teoremas de numeros reales:
1) -{)=o
2) a-l6-c) == (a,-b) +c
3) a + b == a + c ~ 6 == c
4) a' 6 = 0 ~ a = 0 v 6 = 0
5) ab:F- 0 ~ (a6)-1 = c-' 6-1
6) a » 0 ~ (a-I t l = a
7) a » 0. a . b = a . c ~ 6 = c
81 Si 6 ~ 0 y d ~ 0 entonces ~+-J-= ad~bc
9) (a+6) (c+d) = ac + ad +bc -I- bd
. t a (_(Ie10) 51b :F- 0 y d "#- 0 en oncea b . 'J ~ bd
Teorerna 6
Bi a,,6,xEm, a .... O,entonces ax+b=O ~ x==-a-1b
Demoetracion
i) ax+b=O (hip.)
(ox+b)+(-b)=O+(-b) .. A,
52
TEOREMAS BASICOS
ax+[b+(-b)]=-b A,
ax+O =-b . A5
ax =-b . A4
a-lax = a-1(_b) . M 5
Ix = _a-1b . M5, T.3
x = _a-1b . M,
ii) Juetifique cada paso.
x = _a-lb
ax = a(-a-lb)
ax = l-aa-1b) .
ax=(-·l)b ..................
ax =-b
ax+b=-b+b
ax-vb =0
Teorema 7
v c e m, a;'"O, (a-lrl =a (Ejercicio 6)
Demostraci6n
Sabemos que el invereo multiplicative es unico.
Esto es: a' a-1= 1, 1:fa;to 0
a-l'a=1
Aquf a hace las vecea del Inverse multiplicative de c'.10 que
eigniflca (a-1)-1 =a.
53
SISTEMA oe LOS NUMEROS REALES
Teorema 8
V'a,bE JR, 0,#0, b 0;<:0 , }b =(~)(t)
Demoetracion
Justifique cada paso.
Ia.b = 1(abr1 .................
=l(a-1)(b-1)
= Ua-1)(b-1 )
=(a-1)(b-1)
=(~)(!;) .
Teorerna 9
ab=O ¢:::::::;> 0=0 v b=O
Demoslraci6n
i) ab=O :::) a=O v b=O (Ejercicio 4)
ii) 0,=0 v 6=0 =i' ab=O (Teorema 1)
Este teorema fundaments. l.a relacion de ecuacionee
cnadraticas par factoriaacicn.
Teorema 10
a 2 a =6 ~ a=b v o=-b
54
,
TEOREMAS BASICOS
Demostracion
a 2 =b 2 =- 0.2 _b'l =0
¢==::::;> (a+b)(a-bl=O
~ a+b=O V as b =0
¢::==;> a =: -b v a·= b
Ejemploe
a) Resolver: x 2 - 3x - 28 = 0
Resolucion
(x-7)(x+4)=O ~ x-7=O v x+4=O
x=7 :r =:--4
c.s. -I -4,7}
b) Resolver: x
2
-6x+1=0
Resoluci6n
2-6x+l+8=8 x
2-6x+9=B x
(x-3)'=8 = x-3=j8 vx-3=-j8
x=3+j8 x=3-j8
c.s. =: {3 --.J8,3 +..J8}
55
SISn:MA DE LOS NUMEROS REALES
EJERCICIOS RESUELTOS
01. Resolver:
3 4.1'-5 2r+-4~:2--+- =
r+-2 ~:+-1 ~.2 ...3x->-2
Resolucion
3(~: ... 1)+lX +2)(4~-5)
(~: +- 2)(% +- 1)
3(x + 1)+ (x +2)( 4.1' - 5) =
2x+-4:1:~
r~ +- 3% + 2
,
2x +4x
3x+3+4x2 -5x+8x -10 =2x+4x2
4x2 +6x-7 =2x+4x2
4x= 7
cs=UJ
02. Resolver:
6(x + ll-3 =(1-x)(l+x)
Reaolucion
6x+6-3=1-x2
x2 +6.1'+2=0
Completando cuadradoa
2+6x=-2 x
2+6x+32 =_2+32x
(x+3;2=7
x=-3+,fi v x=-3-,fi
c.e. = {-3 -,fi ,-3 +,fi}
56
"
03. Resolver:
EJERCICIOS RESUELTOS
3.r~ 1O.f ...4 2
.1.,2 2" :I
Resolucion
3x2 + lOx + 4 = 2(x2 + 2x - 2.1
3x2 + lOx + 4 - 2x2 - 4x + 4 = 0
x 2 +6x+8 =0
(x+4)(x+2)=O
x=-4 v x=-2
c.s.={-4,-2}
04. Resolver:
4;r;2_ a:r+5 2 ,
" -2.rT13
Resolucion
4x2 _ 3x + 5 = 2(.1: 2 - 2x + 13)
4%2_3%+5-2x2+4%-26=0
;,h· 2+x-21=O
%2+1.,_21 =0
2' 2
Completendo cuadrados:
2.. 2
x2+~x+(±) =2l+(i)
tx+-t)2 = 116:
57
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
x+.l=ll V x+t=_.11. , ,
x=3 v x= _Ia
_ { 7 'C.S. - -2,3 J
05. Resolver: x2-5x+6=0
Resolucicn
(x-3)(x-2)=0
x-3=0 v x-2=0
c.s.={2,3}
2x+l+"'-4 =306. Resolver:
;f .r+1
Resclucion
(2:r+l)lf+1l+J:(J:-4j =3
;r(" + 1)
3f~-X+l=3
,(.[+1)
2-.f+l=3
3L
2x +.r
3x2-x+l=3(xZ+x)
3xZ - x +1 'co 3xZ + 3x
C8~{t}
07. Resolver:
x-y+3z~8
2x+4y-z=0
13x+y-2z=-2
58
Resoluci6n
Usando determinantes.
M""l 2
~
, , l ...
-1
4: "-1
'r"
D(M)=(-8+3+6)-(36-1+4)=1-39=-38
:r 1 -'2 "
8 3-1
A=I 0 4 -11 D(Al '" (-64 -2 +0)-(-24 -8 +0) '" -66+32 = -34
-2 1 -2
1 8 3
B=12 o -1\ DtB) = (0-24-12)-(0+ 2 -32) =-36 +30::-6
3 -2 -2
1 -1 8
C=12 4 01 D(C) = (-8+0 +16)- (96 -n +4) = 8-100 =-92
3 1 -2
-34 _11
;r= -38 -19
-6 _...l.
Y=-3S-19
-92 _ 46
Z=_38-19
'I a08. Resolver; v x -5x-4 =x-1
Resolucion
x3-5x_4=(x_1)3
X3 -5x-4 =X3 _3x2 +3x-1
3x2 -8x-3 = 0
2 x tx- 1 = 0
59
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
Completendo cuadradoe:
,'->x+(.)' =l+(a)'
3 6. 6
(x-!)'=lQ'2
tl 36
x_.a:=lQ V x_.a:=_lll
6 6 6 6
,s.={ -p)
09. Determine el valor de k para que la ecuacion tenga raices
iguales.
lk -1)x2- 5x +3k -7 =0 0
Resolucion
D=ob2-4ac:=O
u=ok-l b=-5 c=o3k-7
D = (_5)' - 4(k -D(3k -7) = 0
12k2-40k+3=oO
k,2 _ 1~ k +(1~ t =0 -i+ (1~)2
(k _10)' = Jll
6 36
k := 10+ v''9l k=olO--J9i-,- v --6
60
E/ERCICIOS RESUELTOS
10. La suma de los cuadrados de dos numeros es 20 y su producto
es 8. Hallar los numeros.
Resoluci6n
X
2 +y 2 = 20 , (1)
[ xy =8 . . (2)
• De (2): y =~
• Reemplazando en (1):
a
x2+(~) =20
2 + 6i=20
x ,
X'+64=20-,
•
x 4 -20x2 +64 =0
(x 2 )2 -20x2 +64 =0
2Haciendo u = x :
2-20u+64=0 u
(u-10)2 =36
u-10=±6
u=10+6 v u=10-6
u=16 v u=4
Luego: x2 =16 v xl! =4
x=4 x=-4 v x=2 x=-2
61
SISTEMA DE LOS NUMEROS REAlES
x=:4 )'==2
x ==-4 y =:-2 c.,. ~{(-4,-2).r4,2)}
11. Resolver:
_,_ == ----.L.. - 3
i -_ 4 ,T-4
Resolucf6n
4 .r-3(x-~)
..:-4 - r 4
4==x-3x+I2
2x ==8
x ~c 4
Comprobacion para x == 4 :
---3_ ==.!== indeterminado
of-4 0
c.s. = (J
12. Resolver: IO(x + 2) -19 =(1 +5x)(1-5x)
Resolucion
lOx + 20-19 == 1- 25x2
IOx+l=I-25-l2
25-l 2+10x=O
x(25x+l0)==O
x==O v 25x+l0=O
c'+i·O}
62
EJERCICIOS RESUELTOS
13. Resolver:
.a =---.lL
% X + 2
Resoluci6n
8(x+2) = llx
8x+16=llx
3x=16
c,~{'3'}
14. Resolver:
5:f _~=..L+l
721421
Resoluci6n
1O~:-56 21%+42
-1-'- = 14(21)
10%-56 x+2
-1-'-=~
10x-56=x+2
9x=58
c.e ~(5n
15. Resolver: 2(x -1) - 5 = 0- x)O + x)
Resoluci6n
2x-2-5=1-x2
2x +2x-8=O
(x+4)(x-2)=O
x=~4 Y x=2
c.s. = {-4,2}
63
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
16. Resolver
2,,-9 3,,,+4
-,- -8
Resolucion
8(2x 0-9) = 9(3x + 4)
16:x:-72=27x+36
-11:x:=108
x=-l!!§.
11
0nC.S == {_11
17. Resolver
T-3+,,-1=2
r~2 ,T+4
Reeolucion
ex - 3)(x + 4) + (" -1)(,,+ 2) = 2
(x+2)(;r+4)
(x -3)(x + 4) +(x -1)(x +- 2) = 2(x + 2)(x + 4)
2x2 +2x-14 = 2x2 +12x +- 16
2x-14=12x+16
x=-3
c.s. ={ -3}
18. Resolver
3 :2x -x -4x+4 =0
64
EJERCICIOS RESUELTOS
Resolucion
1 -1 -4 +41 2 ±4 ±2 ±1
2 2 -4
1 1 -2 0
(x-2)(x 2 +x-2) =0
(x- 2)(x+ Z)(x -1) = 0
x = Z v .or; = -2 v x = 1
c.s ={ -2,1,Z}
19. Resolver: .•/) -.'1;4 _ 5x3 + 5x2 +4x-4 = 0
Resoluci6n
1 -1 -5 5 ±1
1 0 -5 o 4 ±2
4~
1 0 -5 0 4 0 ±3
(x-1)(x4-5x2+4)=O
1 a -5~42 ±1
2 4 -2 -4 ±2
1 2 --1 -2 0 ±3
(x -lHx-2)(x:.J +2x2 -x-2) = a
1 2 -1 -21-1 ±1
-1 -1 2 ±2
1 1 -2 0
(x -l)\.x - 2)(x +1)(x2 + X - 2) = 0
lx -l)\...f - 2)(x + 1)(x + 2)(x -1) = 0
65
SISTEMA DE LOS NUMrlWS REALE:s
x=l V x=2 v x=-l V x=-2 V x=l
c.s. = {-2,-1,1,2}
20. Resolver
2x' +~2X2 -8 = 20
Resoluci6n
·..hx2 -8 =20-2x2
2 2 42x -8=400-BOx +4x
4x4 _82x2 +408=0
4(x2 J2_82x2+408=0
4u 2 -82u+408=O
n 2 _8;u+102=0
2 2
u' -"'u+("'\ =-102+(")4 8 I 8
a(u-a;) =1~6
(u-~)' =(t:J'
U_82 -=_14
8 8
v u=82_14
8 8
U =.P~
8
U_ 82=14 v
8 8
u=82+14
8 8
u= 9; v
n=12 v U= 34
4
Como x=x2 :
66
E/ERCICIOS RESUELTOS
x2 = 34x 2 =12 Y
4
x = ±2-J3 Y X=+.J34- 2
c.s. -l ±2-J3,±~}
21. Resolver:
a I 2 x -3x--vx -3x+5 =1
Resoluci6n
I z 2
vx -3x+5 =X -3x-1
X2 -3x +5 = (X2 - 3x _1)2
x2 -3x+5 = x4 _6x3 +7x2 +6x+1
4-6x3+6x2+9x-4=O x
Ruffini:
1 -6 +6 +9 -41 4
-1 +7 -13 +4
1 -7 +13 -4 01 4
+4 -12 +4
1 -3 +1 0
(x+1)(x-4)(x 2 -3x+l)=O
3+)5 3-)5
X=-2-' X=-,
X=3+)5 X=3-)5x=-l x=4 z -,
67
CS ={-l 3-15 l+J5 4}. . '2':2'
22. Resolver
3 4 .. -5 2-<+4%2
~-.-2 +-,-.-[- = -,;,C.C''''".~2
Resoluclon
3(.l:+1)+(4.. -5jx(.l:+2) _ 2.<+4%2
(%+~j(.c+l) - (%+2)(;<+1)
3x +3+4x2 +3x -10 == 2x +4x2
6x-7=2x
,.S.=("\4 ,
23. Resolver:
2
(~+2) +~-1O =0
Resoluci6n
POI' cambia de variable.
(~+2)2 +(~+2)-12=0
•
y:=1+2
• ;<
.y2 +y-12=O•
(y+4)(v-3)=0
y=-4 ; y=3
68
http:C.C''''".~2
• •
EjERCICIOS RESUElTOS
• Si: y =--4
.1+2=-4 ~ .1=-6.
-1
X=S
• Si: y=3
l+2=3 ~ l=l
" :X
x=l
csol--t,I)
Otro procedimiento: -.L+..i+4+ 1-10=0 ,,2 ,:r ;<
:I\+~-6=0
1+5x-6x2 =0
6x2 -5x-1=0
cs+P)
24. Calcular el valor de k de modo que Ia ecuecion tenga raices
iguales en IR .
(k + 4)x2 - (2k + 2Jx + (k -1) = 0
Resclucion
7i=r2 ~ [-(2k+2J]2_4(k+4l(x-1)=0
4k2 +8k+4 - 4(k 2 +3k -4) =0
4k2 +8k+ 4_4k2 -12k+ 16 = 0
-4k+20=0
k=5
69
SISTEMA DE LOS NUMI':ROS REALI':S
c.s. ={5}
25. Resolver
Z-4x+3=0x
Resolucion
(x-3Hx-l)=O
:r-3=O y x-1=0
x =1 v x=3
c.s. ={1,3}
26. Resolver
:r-L x+l 2x~-:r - +--=---
.r2_3:r_4x+l :r-4
Resolucion
2:r2_:rx-I .r+l
-.-,-, +-,-_-, =7(,":_0"1(".".0"
Minimo comun multiple del denominador: (x -4)(.t + 1)
(x-1)lx-4)+(x+1)2 =2x2-x
2-5x+4+x2+2x+1=2x2~ x - .t
q. -3x+5=-x
~ 2x=5
e,=m
27. Si Ia euma de las refces de 18ecuacion es 4. Haller el producto
de estes rakes.
(m+2)x 2+4=16x
70
I
r
EIERCICIOS PROPUESTOS
Resolucicn
(m+2)x2 -16x+4 = a
:r;2_~X+_4_00
m+2 m+Z
Sean T, S las rakes, entonces:
-16
r+s =--
m+2r+s=---.1L=4m+2
16=4m+8
4m=8
m=2
r.B= -' =~-
m+2 2+2
r.s e I
28. Resolver
(5 - ax) - (-4x + 6) ~ (Bx + 11) - (ax - 61
Resoluci6n
(5 - ax) - (-4x + 6) ~ (Bx + 11) - (3x - 6)
5-3x+4x-6) =8x + 111-3.1:+6
-1+x=5x+ 17
x-5x=17+1
-4x = 18
X=_18=_l!
• 2
"+!}
71
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
29. Resolver
12x 2-17x-l05=O
Resolucion
(4x-15)(3x+7)=O
4x-15=O v 3x+7=0
X=15 v x=_l
4 3
c.s·={-t,~}
30. Resolver
Jx2 -11 = 2x-7
Resolucion
x2 -11=4x2 -28x+49
3x2-28x+60=0
(x-6)(3x-10)=0
x=6 v x-.1Q- 3
c.s.={\O,6}
31. Resolver
~ _---.lL
i' r+ 2
Resoluci6n
8(x+2)=l1x
8x+16=l1x
3x=16
x= 16
3
C'={'f}
72
INTERVALOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
,
01. Demuestre aplicando axiomas y/o teoremas de los Numeros
Reales:
a) -0=0
b) -a-b=-(a+b)
c) Bi a+b=a,+c entoncee b=c
d) a,-(b-c)=(a-b)+c
3e) a _ b3 =(a-b)(a2+ab+b 2 )
0 a+a=2a
g) (x+y)(x-yJ=.r2 _y2
02. Resuelva las siguientes ecuacionee lineales.
a) 5x-11=3x+17
b) x-(2x+1)=8-(3x+3)
c) 3x-4l6-x)=15-6x
d) 2\3x+ 3)- 4i5x-3) = x(x-3l- x(x+5)
e) (3x+ 2)2 - 2x- (3x -12) =9(x~ - 4)- 3x- 4
0 14- (5x -1)(2x +3) = 17 - (lOx+1)(x- 61
g) ~x+7 = h+3
3 a
h) 3%-4 f>~-19 __ 2.<+1
-3---1-'- --,
2%-7 -5 3-,,-2
i) -,-- --,
c.s.={14}
c.s.={3}
e.s. ={3}
c.8.={3}
cs=H'l
c·'·={-i,)
c.8.={3}
c.s.=ill
C.8. ={37' l
73
i) ~:-2 x+JJ x+- c.s. == { 5 }
5---,--4=0 79
k) !<4x-3)",2[x-(4x-3)] CB=W
1) 2X_(2x_~X8-1)=~(:t;Z)_-t C.s·=L~}
m) 2__'_= 3x-1 c.s.={8}
)+5 x+S
n) 4 __' __ 3x-12 C.S. == (/!
x-3-~
03. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadraticas.
2+4x-5=Oa) x c.s.={-5,1}
b) x 2 +6x+7=0 C.B.=[-3-,)2, -3+'/2)
3x 2-11x+6=0c) CS. ={ t,3}
d) _5_+_9__ 2=0 CB ={ -f,3}
x+2 2x+3
e) x(x-3)=2(x+7) c.s. == {-2,7}
2.r2-12x+4=OD c.s.={3-..n ,3+..nl
g) x(x-1)=7 c.s.={ 1-;29, 1+f9}
7. INTERVALOS
Definicion: El intervale abierto determinado per dos numeroe
reales a y b, claude a < b , es el conjunto de todos los nurneroe
x para los que, a < x < b y se denota: (a,b). Esto es:
(a,b)={XE JRla<:r<b}
~-
a b "~
74
[NTERVALOS
Definicion. EI intervale cerrado determinado por dos numeros
reales a y b, donde a < b , ea el conjunto de todoe los numeros
x, para los que, c s x:S: b y ae denota: [a,b]. Esto es:
[a,b]={XElR /a:s:x:S:b}
b +"
Definicion
Interveloe eemiabiertos:
(a,bl=[J::E lR/a<J::'.5.b}
b ~"
[a,b)={XE IR/a:S:x<b}
-~
b ~"
Definici6n
Otros intervalos:
(a,-t<>o]={XE lR/x>a}
" ~
[a,+c>o)={XE IR/x;?:.a} . .
" ~
(-c>o,a) ={XE lR / x< a}
" ~
(--QO,a]={J::E lR/J:: 'S: a}
~"
Ejemplas
01. Hall." (l3,?] n (3,S]} v [3,6)
c.a. = (3,5l v [3,6) = [3,6)
75
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
02. Demostrar que XE [2,4J => (2x+3)E [7,11]
XE [2,4] => 2::;; x'::;; 4 tdef Int. Cerrado)
4::;;2x.::;;8 04
7.::;;2x+3::;;11 03
(2x + 3) E [7,l1J (def into Cerrado)
76
DESIGUALDADES
EJERCICIOS PROPCESTOS
,
01. Hallar «2,4) vl3,5»-(1,7)
02. Demostrar que: a) XE (2,4) ~ 2'/-3 E (A,t)
b) (2x-6IE (-4,4) => XE (1,5)
c) (x-xo)E[-a,a] ~ xE[xo-a,xo+o]
03. (-L2)u(3,5) lEs un intervale?
04. (4,4) i.E.s un intervale?
05. Dados los siguientes conjuntos:
A={XE lR/l:O:;;3x-2$15}
B={XE Hllx2-5x+6>Ol
C={XEHllx2<16}
U ={xlx E ill}
Halle
a) AnG c.s.=[1,4)
b) BnC c.s. = (-4,2) v(3,4)
c) euB c.s. =[2,3J
CAnB
d ) U c.s. = (-00,1) u[2,3] u( ¥,oo )
e) C~UB c.s. =¢
f) (A -ClnB c.s.=[4,y]
06. Demueetre que
a) Si IE (-4,4) entonces (7x-1h: (-29,27)
77
b) Si XE (-4,-2) entoncee s/r-SE (-1,--:+)
c) Si (4x-2)E [-5,3] entonces XE[-i-,iJ
d) Si (X-xo)E(-a,a] entonces xE[:ro-a,xo +a]
8. DESIGU/\LDADES
Definicion: 'ia,bE IR, a vb ~ b « a
Definicion: Un nnmero real a es positive ¢:::::::;> a> 0 y
negative ~ a < 0
Teorema 11
a cb A c c d ~ awc-cb v d.
Demostraci6n
1) a < b ~ a + c c b +c , (orden-adicicnl
2) c c d ~ c vb c d vb Iorden-adicion)
3) Luego: a + c < b+ d.................. (Transitividad)
Teorema 12
a-cb ~ -a>-b
Demcetracion
1) o cb ~ a+(-a)+(-bJ<b+(-a)+(-b) ...... Os
2) [a+(-a)]+(-b) <[b+(-b)]+(-a) As
O+(-b) < O+(-a) A,
-b<-a A4
-a > -b (Notacion)
78
r
DESIGUALDADES
'reorema 13
a cb y c c O ~ ac i- bc
Demostraci6n
1) c <0 ~ -c >0 Teorema 12
2) a(-c)<b{-c) Hip. y 04
3) -ac < -be . 'I'eorema 3
4) ceo be Teorema 12
Notocion: Zo ={xeZ!x2:0} enteroe no negativos.
IRoo::{XE .ll?!x:?:O} reales no negativos.
m+ ={XE IRlx>O}
IR- ={XE .llUx<O}
Teorema 14
2Si a » 0 entonces a '> 0
Demoetrocion
1) c o O ~ (J,·a>a·D=O. °4,T.l
a2 >0
2) c c O ~ (J,·a>O........................... T.13
2a ;> 0
Teorema 15
O:S:a<b y D:S:c<d ~ ac cbd.
Demoetracion
1) b>O y c cb => bc<bd..................... 04
79
"
'"
•'"
•" "<•~ 0 •
-e
.c
• " •
v
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V
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.cC
'"
C
c "
"
a
'"
'"
,
DESIGUALDADES
EJERCICIOS PROPUESTOS
Demostrar que
01. Si a y b tienen el mismo signa, entoncee ab > 0 .
Si a y b tienen diferentes signee, entonces ab c o.
02. a-I tiene el mismo signa que a.
03. Si a y b tienen el mismo signa y a < b entonces a-I> b-1
04. Si 0;;:>:0 Y b~O entonces 0 2 ~b2 ¢:::=> a eb
Tecrema 16
b:<:.O ~ 0 2 »b ¢:::::::;> a>,[b va<-Jb
Demostracion
0>0 ~ a 2 >b =(,JE)'l ~ a>Jb (ejerdcio4)
0<0 ~ -0>0 ::::} (_0)2 =a2 >b=CJb)2
~ -a>.Jb . (ejercicio 4)
=> a -c -.Jb (T.12)
Teorema 17
b>O ~ a2 <b ¢:::=> -Jb<a<.Jb (demostrar)
Ejemplos
Resolver:
a) 2x+3<7x-5
SrSTEMA DE LOS NUMEROS REALES
2x-7x<-5-3
-5:c < -8
5:c >8 (T.13)
:c>.§.
5.
Solucion: {xElR/:c>~}
a
b) (x+t) >-3 !T.141
Solucion: IR
c) (:c_ 1)2<_3
. 3
Soluci6n: ¢
2-4:c+3>Od) x
Resoluclcn
2_4x+22 >_3+22x
(X-2)2>1 ¢::::::;) :c-2>Ji v x-2<-Ji ... (T.16)
x>3 v x<l
C.S.={xEIR/:c<l v x o S}
2x2+x-6<Oe)
Resolucion
x2+~-3<O
x2+tx+(:if <3+(%)2
82
0
" " • • 0 "'" 0" "
" •" '"
~
V
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I
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~
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V
V" ~,
~
V
""
V" '1 ~ Il; W ~
"
• "
u
EJERCICIOS RESUELTOS
01. Resolver
5(2x + 1)-4(3x -4) s 1
Resolucion
lOx+5-12x+16:<=;:}
-2x:5 -20
x~lO
C.S. = [10,""')
02. Resolver
xCl:+ 3):s;'2(xz +1)
Resoluclon
x 2+3x:52x2+2
-x2+3x-ZSO
x2-3x+220
(x-2)(x-l)~O
Raices del polinomio:
c.s. ~ (-~;1] uI2;-)
xo=l
.
; x=2
+
1 2
+ ..-
03. Resolver
3"'-2<:2
Hi
84
r EjERCICIOS RESUELTOS
Resoluci6n
~-2<O
.. 1
(3 ...-2)-2(:1:+1) <0
• +1
3%22.1'2<0
.. I
,.,,-4 <0
..,,+ 1
(x-4)(x+l)<O
Rakes de polinomlo:
c.s.=(-1,4)
x=~l
+
x=4
·1 4
+
....
04. Resolver
r 2-1Ox+21;:>:0
Resoluci6n
(x-7)(x-3):::=O
Rakes del polinomio:
c.s. = (-00,3] u[7 ,00)
x=3 , %=7
+- 3 7 +
05. Resolver
x 2-3x+2>O
Resolucton
(x-l)(x-2»O
85
Ratces del polinomio: .r e L , x""2
+ + .
1 2 ~
c.s, = (-00,1) u (2,00)
06. Resolver
~-1 < 0
,-5
Resoluci6n
(x -l)(x - 5) < 0
Rakes del polinomio: x e I , x=5
+
1 5
+ -~
c.s.~(1,5)
07. Resolver
x 2-5x+6>0
Resoluci6n
(x-3)(x-21>0
Rakes del polinomio: x",,2 x""3
+
2 3
+ .
~
c.s. ~ (-_,2) u(3,-)
06. Resolver
x-I < 4
2-.0:
66
EJERCICIOS RESUELTOS
Resoluci6n
;1;-1> -4
x-2
.-1
x_2+4~0
(x-l)+4(x-2) ~O
• 2
5x-9 >0
",-2 -
(5;r-9)(x~2)~0
Raices del polinomio:
C.5.=(-_,! ]U[2,-)
x=~
5
+
x=2
•, 2
+
~
09. Resolver
'l2_ 4--, < 2
1-.
Reeolucion
x2 -4
-, >-2
• -1
a
;\-4+ 2 > 0
• -1
2 4+2(;1;2-1»0•
x2 1
3(x2-2»0
",2 -1
SrSTEMA DE LOS NUMEROS REAlES
Rakes del polinomio: x=-/2 ,
+
-V2.
c.s = (--,--/2) u (- 1,1) u (-/2,-)
x=--/2
-i
+
, x=l x=-l,
V2
+
,
10. Resolver
'_<1
• -1
Resolucion
-'__ 1.s;0
< - 1
1-(.1O-ll ~O
• -1
2-r < 0
..:-1 -
",-2 >0
;-:T
(x-l)(x-2)~O
Refces del polinomio:
C.6. = (--,1) u[2,-)x=l
+
x=2
1 2
,
+-0
11, Resolver
;1;+2
,.,,-12 >5
88
EJERCICIOS RESUELTOS
Resoluci6n
%+2_ 5 > 0 ",-12
%+2-5(",-12) >0
;r -12
-4;r+62 > 0
;r 12
4;r-62 <0
;r-12
(4:t 62)(x -12) < 0
Rafces del polinomio: x= 31 2
+
x =12
12 31
2
+ -
c.s.=(12,3l)
12. Resolver
3x2 - 7x + 4 < 0
Resoluci6n
2 7 '0x -'3x+3<
x2-tx+(t)2 <-t+(t)2
(X-i)2 < 3~
fl 7 t:-'./36 <.1:-6<'./'36
1<x<~
cs.~(q)
89
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
13. Resolver
2+",,>.1
7 +r 2
Resoluci6n
;~+2_1;?:O
% +7 2
2(%+2)-(.1+7:'>0
2(%+ 7)
%-3 > 0
2.-:+14 -
(x-3)(2x+14);?:O
Refces del polinomio:
c.a. ~ (-_,-7) u [3,-)
x=3 , x=-7
+
-7 3
+ -
14. Resolver
0< (x 3)(x + 2)
Resolucion
Rakes del polinomio:
e.s. ~ (_,-2) u(3,-)
x=-2 , x=3
15. Resolver
(x 2 _ 2x2 _ x + 2H3x - 2 - 2x2 ) ::> 0
90
r
EJERCIC10S RESUELTOS
Resoluci6n
8 2(xx - 2x2 - X+ 2 =0 x - 2)- (x- 2) = (x - 2)(x2 -0
(x - 2)(x -l)(x +1)(-1)(2x2 - 3x + 2) .> a
(x - 2)(x -1)(x +1)(-0 .> a
(x- 2)(x-1j(x+ 1) < 0
c.s. = (-,-II v (1.2)
16. Resolver
2-8x+15<0x
Resoluci6n
Factorizando:
2-8x+15<O x
(x-3)(x-5)<O
Raices del polinomio: x=3 • x=5
+ - +
3 5 -
c.s. = (3,5)
Resoluci6n
Completando cuadrados:
;r2 -Bx < -15
;r2-8x+16<-15+16
(x-4)2<1
91
0 A
,, "~
~
~
" ,
+"
;;';=2
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I
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H
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H
-
"
0: •
"
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0: • "
rr
rr
rr
"
0
-
ro
N
~
~
c
EJERCICIOS RESUELTOS
Ratces del polinomio:
c.s. = (-I,-i) u (7,00)
X=_l
"3 x=-l x=7
19. Resolver
x 2-5x+6>0
Resoluci6n
(x-3)(x-2»0
Raices del polinomio:
c.s. ~ (-_,2) u (3,-)
x=2 x=3
20. Resolver
x2-5x+6<0
Resolucion
a (5)' (5)'x -5x+ '2 <-6+"2
(X_!)2 < t
_ fl <x- Q< fl
1./4 2 1./4
~_l<x<'§'+l
2 2 2 2
2<x<3
c.s. ~ (2,3)
93
SISTEMA DE LOS NUMERDS RRALES
21. Resolver
(x_l)2 <0
Reeolucion No tiene aolucion Hi.
22. Resolver
2
(x-~) >0
Resolucion
c.s.=m-f!l
23. Resolver
7(4x -3) -3(8x -7) ~ 1
Reeolucion
28x-21-24x+2151
4x~1
x< .1-,
c.s.=( -,il
24. Resolver
x(x+5)~2(x2+3)
94
0" 0" •• "'"
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u
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.n
~
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Resolver las siguientes ecuacionea por factorizaci6n
2+4x-5=0aj x
bJ (x -15)(x +15) = 400
2-(a+b)x+ab=0c) x
d)
::1'-2_ 3=4(::1'+3),..,-3 x-2
e) 0.5(x3 +x2)(x _1)3 = x(x2 -1)(x ~ 1)2
02. Resolver las eiguientes ecuaciones completando cuadrados
2-4x+4=0a) x
5x2+3x+2=0
b)
c) (.:r -15)(x + 15) = 400
d) _l, x
2 + 921" _ 2 = 0
.:r2+2a:r=b2_a2e)
03. Resolver las desigualdadee
3 1- x
a) 3.:r-5<"4 x + 3
b) 1-4x-x2 <0
c) 3x2 -7x+6~ 0
.:r4 + x2_5<0
d)
,
e) (S.:r+lJ- >-2
04. Encontrer el mfnimo numero M con la propiedad de que para
todo XE m.
a) 2x-x2<M
b) 16x-x2-sM
96
EJERCICIOS PROPUESTOS
05. Resuelva las eiguientes inecuaciones lineales
a) -3x+l<2x+5
b) 3x-5?':7x+12
c) 7(4x-3)-3(8x-7) > 1
d) 1+7x>2(43+x)
e) x(x -4) s; x(x -7) + 12
0 3x(x - 5)-13> 3x2 - 2x
g) x2_(x+6f:!~48
h) (x+9)(x-9)<x2
i) (2x_3)2 >(2x+5l(2x-1)
j) (x +1)3 s x(x2 + 3x)
k) lx+4)(x-4)-(x+5)(x+1»2x-7
1) t(x-5)-2x?':~l:-1
c'+H
c.s.=(-«J,-llJ
cs_ / 1 "", ).. - \4"'
C.S. = (17,<><»
c.s. = (~,4)
c.s. = (~,-1)
c.s. = [-7,<><»
c.s.> m
c.s. = (-00'-/0)
c,=(-~,tJ
c,+~,-t)
c.s.=( -"""I\J
06. Resuelva las siguientes inecuacionee cuadraticas
a) x2-5x+6<0
b) x2-2x-1>0
c) 3x2 -7x+6 >0
d) 3x2-7x+4<O
e) -x2+4x+5<O
C.S. = (2,3)
C, r
e.s.> (-:>0,1- v2{u(1 +v2,"')
C.8.= m
c,=(q)
c.s. = I-M,-l) U 15.M)
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
2f) 3x -2x-8.2=O c.s.> ( -», -t]u[2,t",)
i 31,'5"1 (J- '5 "
g) (xt3)2- 3x>8 c.s.=\-oo,--/lJ --' .1
2 2 ' "
-4x2+4x+3>O _ ( j 3 \ h) C.S.- -2'2.1
i) -4x2-8<-12x c.s. = (-_,1) u (2.-)
j) 2+4x:50 c.s.0::[-4,OJx
kl txt5)x:52(x2+2) c.s. 0:: (-«>,L]V [4,«> J
1) 2(x+2)2_3.5.2=2x c.e. 0:: IR
07. Resuelva las siguientes inecuaciones
a) %z_j' >0 c.s. = (-3,-1) v (3,""')
H
b) %z-9<O c.s. = (~,-3) u (1,3)
,,,-1
) (_oo,!) u (2,3)5 < j C.S. 0:: c 2%-1 %-2
°1'18d) ----.!'----3.2=2--3- c,s,,?u')24] (5 B~,i24],,,-5 ~:-1 . , 2
e) .1< 3 c.s. = (--,0) u ( t,-)
> , .
11(2-x) <0f) (3;; c.s. = ( -3,t ] u[2,.)
x+3
9 VALOR ABSOLUTO
Definicion. Si ae IR, llamamos valor absolute de a, denotado
por [c], a:
si c e 0
[c] = J a
I-a si a < 0
98
VALOR AaSOLUTO
9.2 Propiedades
1) [c] ~ I-al . , 'I a e IR
2) -u s]c] 1\ lalsa; 'VaE m
3) [cl e G 1\ 10,1 =0 ¢::::::::? a=O
4) lahl ~ lallbl ; 'I a,bE IR
5) la+bl-s; lal + Ibl ; 'V ab e IR .. , (Desigualdad triangular)
Demoslraci6n de 3
[c] ~ 0 1\ 10,1 = 0 ~ 0=0
i) c z G => lal=a>O (defvalor absoluto)
=> [c] > 0 (por sustituci6n)
a<O; -a>O => lal=-a>O (def valor abeclutol
[c] > 0 (par sustitucion)
ii) Si a*,O entonces: c o G ~ [cl e c o O
c c D ~ la)=-a>O
Luego: 0*0:::) 10I*,O,loquesignificaquelal=O :::) a=O
Demostrocion de 4
lahl ~ lallbl
Caso I); Si a> 0 y b, 0 => [c] ~ a y Ibl ~ b ; lallbl ~ ab (0)
Ademas, ab z 0 => lahl = ab (p>
Luego: labl = lallbl ... de (a) y (P) par transitividad.
99
SISTEMA DE LOS NUMEROS RRALES
Oaeo S): Si c z O y b<O
lobi = 1-(ab)1 (prop.)
= la(-b)1 = lall-bl = lallbl (case 1)
Oaso S): Si c c O y b~O (similar al caso anterior)
Oaso a): Si c c O y b c O
labl ='(-a)(-b)1 = I-all-bl = lallbl
Demoetracion de 5
la+bl < 101 +Ibl
la+bl2 = ICa+b)2[ (ejercicio By9)
=(a+b)2
=a2 +2ab+b2
2:5 a +21abl + b2 (prop. 2)
= 101' +21allbl +Ibl 2
= (101 +IblJ'
Luego: ja+bl 2 < 1101 +Ibll2
la+bl <101 +Ibl
TEORE~'1A: [c] = 0 ~ a=O
TEOREMA: [c] = b ~ b"20 1\ (a=b Y a=-b)
100
VALOR ASSOLUTO
TEOREMA: [c] = Ibl = a e b V a=-b
TEORE~t-\: lal < b = b>O 1\ (-b c a cb)
TEOREJo.1A lal > b b>O 1\ (a vb V a c -b)=
(a2<b2)TEOREMA: [c] < Ibl = = (a-b)(a+b)<O
Ejemplos
a) 13x+ll+x=7
Resoluci6n
13x+ll =7-x ~ 7-x;:':0 1\ [-(3x+lJ=7-x V 3x+1=7-xJ
x$.7 1\ (-2x=8 V 4x=6)
x=-4 x=~2
c.s {-4,%)
b) 15,-31 < 7
Resolucion
15x-3]<7 ¢:::::::> -7<5x-3<7
-4<5x<10
-t<x<2
c.s. {xER/-t<x<2}=(-%,z)
101
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
EJERCICIOS RESUELTOS
01. Resolver
Ix2 +Sxl- 2x < 10
Resoluci6n
Ix2 +5xl < 2x+10
(x2+5x<2X+1O 2+Sx>-2x-10)2x+10>0 A 1\ x
(x2+3x-10<0 2+7x+l0>0)x>-5 1\ A x
x>-S 1\ l(x+S)(x-2)<0 1\ (x+5)(x+2»0)
(-5,-) n{ (-5,2) n( (--,-5) v(-2,-) J}
(-5,_)n(-2,2)
c.s. = (-2,2)
02) Resolver
Ix2 -x-21 > -2x+10
Resoluci6n
2-x-2>-2x+10 2-x-2<-(-2x+l0)x v x
2+x-12>0 2-3x+8<0x v x
2
(x+4)(x-3»0 v (x-~) <_~3
(-_,-4) v(3,-) v¢
c.a. = (--,-4) v(3,-)
EJERCICIOS RESUELTOS
03. Resolver
Ix2 - 41> - 2%+ 4
Reeolucion
x2-4>-2x+4 v x2-4<-(-2x+4}
2-4>-2x+4 2-4<2x-4x v x
2+2x-8>0 2-2x<0
x v x
(x+4)(x-2»0 v x(x-2)<0
(--,-4) u(2,-» u (0,2)
c.s. = (-_,_4) u(0,2) u(2,-)
04. Resolver
Ix 2 + 5xl-2x<10
Reeolucicn
Ix2 +5xl < 2x+1O
2x+10;:>:0 1\ -(2x+10)<x2+5x<2x+10
2+5x>-2x-10 2+5x<2x+10x;:>:-5 1\ x 1\ x
2+7x+10>0 2+3x-10<0x 1\ x
x;:>:-5 1\ (x+5)(x+2»0 A (x+5)(x-2)<0
[-5,-) (-.(--,-5) u(-2,-) n(-5,2)
c.s. = (-2,2)
103SISTEMA ns; LOS NUMEROS REALES
05. Resolver
Ix-21 s 2x
Reeolucion
2x~0 A
r zO A
-2xS:x-2S:2x
-2xS:x-2 A x-2s:2x
x:?O 1\ x>2. A x:?-2- 3
x:?i
c'=[H
06, Resolver
1x2 +81 < x+20
Resolucion
(-x-20<x2+B<x+20)x+20>0 A
x>-20 A (-x-28<x2<x+12)
(x2>_x_28 2<x+12)x>-20 A A x
2+x>-28 2-x<12 x 1\ x
(x+1)
2
>_ill (x-1) 2 <491\
2 4 2 4
(-20,-)" (lR,,(-3,4))
(-20,->" (-3,4)
c.s.=(-3,4)
104
EJERCICIOS RESUELTOS
07. Resolver
IX2_41~-2x+4
Resolucidn
-2x+4.::?:0 /\ 2x-4~x2 -4~-2x+4
2-4.::?:2x-4
2x~4 /\ x " x2-4~-2x+4
2-2x.::?:0 2+2x-850x~2 /\ x /\ x
x(x-2).::?:0 /\ (x+4)(x-2)~0
+ + + - +
o 2 -4 2
(-~,2] n [(-~,OJ u [2,-» n [-4,2]]
'_,,=(-4,0] u (2)
08. Resolver
Ix2-x-21 < -2x+l0
Resclucicn
[-(x2-x-2J<-2r+10-2x+lO>O " " r.2-x-2<-2x+10)
2x < 10 x2 -x-2 > 2x-10 x2 +x-12<0
2-3x+8>0 (x+4)(x-3)<0x <5 x
(--,5) x2-3x>-8 (--4,3)
2 2
x
2
- 3x +(! ) >-8+(!)
(X_!)2 >-2l
XE ill
105
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
(-~,5) "[IR,, (-4,3)]
C.8. ~ (-4,3)
09. Resolver
Ix2-2xl-x:<=O
Reeolucion
Ix2 -2xl ~x
-(x2-2x)~x v
x2-2x~-x v
x2-x~O v
x(x-l)~O v
[0,1] u «-~,OJ u
c.s. = (~,1]u[3,~)
10. Resolver
12x+ll ~ 2+x
Resoluci6n
-(2x+l)~2+x v
2x+l~-2-x
106
x2_2x~x
x2-2x~x
x2-3x~O
x(x-3)~O
[3,~»
2x+l~2+x
x e l
E/ERCICIOS RESUELTOS
3x'::;;-3
x'::;;-l v z e I
c.,.=(-~,-IJ u [1,->
11. Resolver
lx-51 < ~1
Resoluci6n
_1l<x-5<11
4 4
.R<x<.ll
4 4
c.s·=(t,3l)
12. Resolver
12x+81 >10
Resoluci6n
12x+81210 =
=
2x+8 ~ 10
x~l
v
v
2x+8'::;;-10
x '::;;-9
c.,.=(-~,-9J u [1,->
13. Resolver
1>+31<3
~' -5
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
Resolucion
3$3
-3$%+5,
%+ 3 1\ x+3 < 3-3$%_5 1-5
%+3+ 3 :?: O 1\ x+3_ 3 $ 0 , -5 ,.,,-5
4,.,,-12~O 1\ -2%+18_ 3$0 , -5 ~
(4x-12)(x-5)~0 1\ (2x-18)(x-5)~O
(-~,3] u(5,-» n(--,5) u [9,-»
0.'.=(--,3) u [9,-)
14. Resolver
13x-11 + x=2
Resolucion
13.-11 = 2-.
2- . >0
{ ;X-l=2-x v 3x-I=-(2-x)
J• <2
1:=£ v x=-t
J '--'I2c'S·=l~·
108
EJERCICIOS RESUELTOS
15. Resolver
17x+51 = x2_1
Resolucicn
J,2_1>0
17x:5=x2-1
Jx 2 >1
17x:5=x2 -1
Jx 2 >1
1x2~-7X-6=O
v
v
v
7x+5=-(x2 - l}
7x+5=1-x2
x 2+7x+4=O
j
x>/ i v x<-Ji
7+.fi3 7-m
X=-2-'X=-2 1'\
-7 +133 -7 -,j33
x= 2 ,x= 2
«(-ao,-l]u[l,ao») n {7+.fi3 7-173 -7+133 -7-.J33j
2 ' 2 ' 2 ' 2
c.s.=J 7+-.1';3 -7-mj
l 2 ' 2
16. Resolver
Ix+1113x-21=6-x
109
Resoluci6n
labl = lall bl
I(x +1)(3x - 2)1 = 6- X
13x2 +x-21 = 6-x
16 - X >0
a13x; +.r-2 =6-x v 3x +x-2=-(6-x)
1x5 6
l3::2+ 2X - S = v 3x2+4=OO
IX56
1(3:-4)(X+2)>:::O V 3x2 =-4
x=t ,.r=-2
,,={-q)
17. Resolver
Ixl+ Ix-11 = 1
Resolucion
la+bl s; lal + Ibl (desigualdad triangular)
/H(x-1ll 51xl + Ix-11 = 1
12x-1151
12x-1!s:1 ~ -1s:2x-ls:l
110
<
0 I
V
"
'I'
+
"I
"
v
"
~
>
"
"
I
+
"'" + "
"~
+
"
-s,
<
0
A
~
+
"
>
-e
A
"
-
" V
I
~
V
I
" ~
"
;::;
V
I
V
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2:
0
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n n n
~
0 ~
"•"
"•l: ~•'"
~
"~
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~ "•'"
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" ~ + ~ + "
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I " '""
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Q
~
~
•0: [
[
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0
A
~
+
"
8
~-)- co I 8 I-" '""
o
j
oi
~
~
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
20. Resolver
Ix(1-.1') 1 < 0·05
Resolution
Ix - x2) 1< 0 . 05
2 I 5 ,<,.2 .. < 5Ix -x < 100 -100 . - ... 100=
2 5 2 5
~ r -X>-100 1\ r -X<1DO
( I)' 20 , (x_l)2 <_3IL= X-2" >100 z lOll
I 5+v'20 ~-~20) '5- -130 < 5+V'30)= "-10- v «-10- , -10- «-101
~(~..jTci S-J20;1 (5+,,120 5+J30)
c.s. IQ' 10 U 10 • 10
21. Resolver
2
Ix +4x+31 > .1'+3
Resoluci6n
Ix2+4x+31>x+3.;:::::::;. 2+4x+3>x+3 2+4.1:+3<-(1+3)x v x
Z+3x>0 2+4x+3<--x-3.;:::::::;. x v x
2+3x>0 2+5x+6<0.;:::::::;. x v x
.;:::::::;. x(x+31:>0 v {x+3)(x+2)<0
+ + + - ,
.a o ~ -3 -2 ~
112
EJERCICIOS RESUELTOS
= «-_,_3)u(0,_)1u(_3,_2)
c.s. = (-_,_3) u(-3,-2) u (0,-)
22. Resolver
Ix2-2xlx;:::0
Resoluci6n
2-2:r;::::r 2-2x:S;-xIx 2 - 2x ) ;::: x ~ x v x
2-3x.;:::O 2-x:S;O~ x v :r
¢:::::::} x(x-3);:::O v xC:r-l):S;O
+ + + +
3 _
1 +~o o
= «--,OJu[3,-»u[0,1]
= (-_,0] u[O,1] u[3,-)
c.s. = (--,IJ u [3,-)
23. Resolver
x2 -13x+21+ x,;:::O
Resoluci6n
x2 -13x+21+x;:::O
-13x+21;::: _x2_x
13x+21:s; x2 +x
113
(x2+x;::O) -(x2+x).:53x+2.:5x2+x1\
x(x+l);::O 1\ 3x+2.:<:-x2-x 1\ 3x+2-::;x2+x
2+4x+2;::O 2-2x-2;::Ox 1\ x
• +- .
-i o -
(--,-1Ju[0,-) (X+2)2;::2 1\ (x-l)2.:<:3
((--,-1J u [0,-» ~ ((--, -2 -./2Ju [-2 +./2,-I)~( (~,I-./2J u [1+./2,-1)
-2 -V2 ~ 1 -2 t V2 o -
.
-2 -V2 l-Y3 0 1+V3
.-
C.8.=(--,-2-,J2) u [1+,)3,-1
24. Resolver
1+'21<4
Resoluci6n
1,'21 < 4 =
=
-4<-'-<4,1:-2
-'->-4 A,1:-2 -'-<4,-2
114
=
=
=
=
=
=
~::2+4>O A -'--4<0 ~: -2
~:+4(r-2) >0
A
.1:-4(~:-2) < 0
;r-2 x-2
.1:+4>:-8 0 ~:-4~:+8
• 2 > A % 2 < 0
5%-8>0
A
-3%+8 < a
;<;-2 .r - 2
5r-8 >0
A ~-8 >0
,- 2 % 2
( (-,~) v(2,-) ) n ( (--,2) v(H )
cs=(--,~)v( k)
25. Expresar en notaci6n de valor absoluto:
-2";x+l:O:::5
Resolucion
-2-1:O::;x+l-1~5-1
-6$2;1":0:::8
-7$2x-l:s;7
12x-11<7
26. Resolver
7+lx+~1=22
Resoluci6n
7+lx+tl=22 =:> Ix+tl=15
115
SISTEMA OE LOS NUMEROS REALES
x+1=15
5
x=15- 1
5
X = 7l
V
V
V
x+ 1=-15 5
x=-15- 1 s
-78
X=-5
c.a. ={ 72 _78)
5' 5"
27. Resolver
Ix-ll'12x-ll
Resolucton
Ix-ll'12x-ll
12x-ll s /x-ll
I, 212x-l <Ix-II
(2x _1)2 s (x _1)2
4x2 -4x+1~ x 2-2x+1
3x2 -2x~0
Completendo cuedrados: x 2 _1,+.1<13 9 - 9
2
(x_I ) c L3 - 3
_.1<.(_1<1
3 .'I-a
O<x<.£- -a
C5=[O,tJ
116
28. Resolver
13x-ll + x=2
Resoluci6n
13x-ll = 2-x
2-x >0
{ 3:-1=2-X v 3x-1=x-2
2 >X
{ 4:=3 v 2x =-1
x~2 A x=i v x=-t
x=1!. x=_.l
4 2
c.e.={_l '}
2 ' 4
29. Resolver
15x-31<7
Resoluci6n
-7<5x-3<7
-4<5x<10
-!< x < 2
o
c,=(-t,2)
117
" I <" ~ +
t
" ~
+
>
0 A
~
-8 ~
<
H
H
I
,
"'~
" H
~ •ID 0:
0 A
T , ,
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0
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;; I
"" 0; + ""
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'" I .. I-" oi "
" ID .e 0 m ID 0: " H + ;=< + " ee
" '0."-§ m 01!
I
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h
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'0
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~
~
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0
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'"
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'"
0
0
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I
-
~
e
-
~
-
I
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I
!
~
~
"
I
'
e
i
.-
-I'
~
~
'"'
oj" "
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
EJERCICIOS PROPl;ESTOS
Resolver
01. Ix+31 ~ 7 02. 15x-21-x-B~0
03 14x-21 c 6 04·14+xl>2
06.lx2-41>4-2x05.3+x:o;12x+ll
Demostrar que:
07. Ix-31 c 1 =::> 6<x+4<8 OB. la') ~ lal'
2 2
09. lal = a 10. 113,-71-21,6 = 1,-31 <2
11. l(ix+3)-21<4 ~ Ix+21 <8
12. Resuelva las siguientee ecuaciones can valor absolute
a) Ix+31~12x+11 c,~{-P}
Ix2-41=-2x+4b) c.s.={-4,0,2}
c) 16x--71~13+2xl c.s. = {t,~}
co, _{_1l11}d) 19x1 - 11 ~ x .~.- 11)' 8
c-,.~{I,lner IH51~6
2-"
13. Resuelva las siguientee inecuaciones can valor absoluto
Ix2+5xl-2x<1Ofl c.s.=(-2.2)
Jx2+81<x+20
g) c.s. =(-3,4)
120
EJERCICIOS PROPUESTOS
h) 13+2xl < 114 -.»] cs =(-7,t)
cs=(--,t)
i) 1.+31 -c 1.-81
jl 14·1> 17 -6.1 C.B. -l {Q ,t]
e.g.;o: (0,00)I'llk) x+~
3 2:1::;4 cs =(__l]u[_l_). . '2. 6'1) 11-+
14. Demuestre que:
a) 1.-31 <1 => 6<x+4<8
.1< __i.. <1
bll·- 41<1 => 3 1-2.
cll·-11<2 => 0::; 12x-31<5
l<_I_<1
d) 1.-31 <1 => 8-;>;+4-6
121
CAPITULO III
FUNCIONES
I. SISTEMA COORDE"ADO Ut-:IDlMENSION.'L (IR ')
Sabre una recta dada, escogemos un origen, una unidad de
Iongitud y una direccion poeitiva, podemoe eetableceruna
correspondencia uno a uno entre los numeroe reales y los
puntas de una recta. Asi tencmoe una escala numerics para
los numeros reales.
En la recta X'O X de la siguiente figura, tenemoe una escala
numerica para los nurneros reales.
_1
0.5 fl"
-00 • +'"
x· ·3 -a ·1 o a 3 x
A eeta recta se llama Sistema Unidimensional de Ccordenadas
Si x E JR que corresponde ,aun punto P sobre X' 0 X , se llama
coordenada de P, y al punto P se llama graflca de x E IR ,
P(;x) se llama "punto P de coordenada x" 0 simplemente
"punto x".
2. DISTN,CIA DlRIGlDA Y DlSTANCIA E" IR
La distancia dirigida desde e1 punto PI (Xl) hasta e1 punto
Pz(x2) , en un sistema de coordeuadas unidimensionaies, se
denota:
PIPZ=Xz -Xl
123
FUNCIONES
La distancia entre PI(xl) Y P2(X2) se denota IP1P21 y se
define
IP1P2 1 = Ix2 - xII = longitud del segrnento Pt P:2
P1P2 puede ser positiva 0 negative pero IPt P2 1 es aiempre poeitiva.
Ejemplo
Si: PI(5) Y P2(-51 P1P:/ =-5-5=-10
P2 Pl =5-(-5)=10
IP, P,I =1-101 =10
-,
~,. ,[;iTEMA COORDENADO BIDIME~SIDNAL IlR 2)
Sabre un plano construimos dos sistemas de coordenadas
unidimensionales X'OX y Y'OY, de tal manera que, sus
ongenee coincidan y las rectas sean perpendicularee. Las
rectas est construidas forman un sistema bidimensional de
coordenadas rectengulares.
X' 0 X se llama eje X oeje de las abscieae.
}" 0 Y se llama eje Y 6 eje de las ordenadas.
• El eje horizontal (eje X) tiene la direccion positive a la derecha
del origen; el eje vertical (eje Y) tiene la direccion positive arriba
del ongen.
• Sea P un punta cualquiera del plano, deede P trazumos
perpendiculares a los ejes X'OX e y'OY , que se intersectan en los
puntos A y B, cuyas coordenadae respectivamente son .(1 e Yl'
• Asi, a cada par (Xl ,YI) le hacemos corresponder un punta P del
plano.
El punto P tiene coordenadas Xl e Yl ; a Xl le llamamos abscisa,
a YI [e llamamos ordenada.
124
Inversamente, a cada punto P Ie corresponde un unico par de
numeros reales.
• Los ejes coordenados dividen al plano en 4 cuadrantes: I, II, III,
IV
II
y
mO.yjJh "l-'p'X!'-'-I)
x' o Acr"Oi X
III IV
y
4. GR\FICA DF: U.\A REL:\CIC):\,
La graficn de una relacion R en IR 2, es un eubconjunto C de
puntos de un plano coordenado con la propiedad:
P(X,Y)E C ~ (X,Y)E R
Si una relacion R es especificada por una ecuecion Eir,y)=O, es
decir, supongamos que R={IX,y)E IR 2 IE(x,Y)=Oj, donde
."'" = f(Xj, a x se llama variable independiente, a Y variable
dependiente.
En eate caso la grafica de E(x,Y) = 0 E'S la graflca de la
relacion R.
FU:\,CIO:\"
5.1 Definicion. Sean A y B dos conjuntos. llemaremos funci6n
de A en B, a todo subconjunto f del conjunto A x B, con una
regla de correspondencia, tal que, a un elemento del conjunto
Ale hace corresponder un unico elemento del conjunto B.
125
FUNCJONES
Esto es, ai fa.,b)E { y (a,d)E {eutonces b=d
Una funcion { es un conjunto de pares ordenadoe de
elementos, tales que, ninguno de dOB pares distintos ttenen el
mismo primer elemento.
5.2 Notacicn, {es una funcion de A en B, si y s610 si, f: A ------i B.
Si (ob)e t , diremos que b ea imagen de a por f, y
denotaremoa: b = icos,
5.3 Domiruo de una. Funcion
Es el conjunto de los prtrneroe elementos de los pares
ordenados. Se denota: D{
Df={aEA/(a,b)Efj
5.4 Rango de una. Funcicn.
Es el conjunto de los segundos elementos de los pares
ordenados.
Se denota: R{
R{={bEBlb={(a),paraalgUn aEA}
Ejemplos
a) A={1,2,3} , B={c,d,e,m}
(= {(l,c),(2,e),(3,m)} es una funcion deA en B.
", /', ,A B
1 -,
d
2 ,
3 m
b) g = {(l,c),(2,m),l3,dl,n,el) no ea funci6n de A en B.
126
FUNClONES ESPECIALES DE VARIABLE REAL
5.5 Funcionee Reales de Variable Real
{es una funcion real de variable real si D{ ~ m y R{ ~ m.
5.6 Reetriccion: de una Funeion
Sea {: A....:;B y A*'cA y g:A-'....:;B
Si para los a E A*' se tiene ((a) = g(a), se dice que g es la
restriccion de {al subconjunto A'" , y se denote r;.
Ejernplo
Sea {can Df = m,cuya regla de correspondencia es ((x) = xl
g con Dg = m0, cuya regia de correspondencta es g(x) = x 2.
g es Ia reetrtccion de { a IR ~ , denotado rJR 0.
5.7 Extension de una Funcion:
Si {es una funcion de A en B sera una restriccion de alguna
funci6n g de A * en B donde A c A", entoncee g es una
extension de [,
b.S Grafica de una Funcion
Sires una funcion real de variable real, entonces la graflca de
res eI conjunto de pares ordenadoe de {considerados como un
conjunto de puntos de lR 2.
Si res una funcion, la recta paralela al eje }~ debe intersectar
a Ia graflca de ren un solo punto.
G Fl:NCIONES ESP"CIALES OE VARL\BL" REAL
r
6.1 Funcion ldentidad
Notaci6n: I
., ~5'
DI~IR ,
/
~Su regla de correepondencia es I (z ) =.x
Su grafica es Ia recta I ={(x,x) / XE IR}
127
FUNCIONES
6,2 Funci6n Constante
D(=IR
R(= IR
Su regia de correspondencia ea:
f(x)=c, 'v" XE Df
y
x
La graflca es una recta horizontal.
f = {(x,c) / XE IR, c conetante}
YI6.3 Funci6n Lineal
f(x) »c.x-vb a.b e m ,0,:;<:0
Df= IR
x
R(= IR /
o
6.4 Funci6n Valor Absoluto
,"',
y
D(=IR
R(=[O,~> 45";;~ x
Su regla de correspondencia es:
x si X ~ O
((x) = Ixl =
-x S1 X<Ol
f = {(:r.lxj)/.tE m)
128
FUNCIONES ESPECIALES DE VARIABLE REAL
6.5 Funci6n Raiz Cuadrado, y
2J ~-
(={tx,..,G)/xell?t}
Df=[O.~)
o 4-~k1 · X
Rf = IO.~)
6.6 Funcion Maximo Entero
y
f={(x.!jx~)/x ElR} a
Df=IR l"'~',
Rf=Z c 1 0 a ., x
Su regla de correspondencia ea:
f(x=!lx~, es el maximo entero
no mayor que x,
f(x)=llxll=k ~ k s x<+l; k e Z
~-r:
6.7 Funci6n Polinomial
Df=IR
Su regIa de correspondencia es:
2 "f(x)=aO+alx+a2x +... +a"x
i = 1,2, ... ,n.
,conaIEll?
6.8 Funcion Racional
f1 Y (2 son funciones polinomiales
f(x)= j~~:~ , (2tx);tO
129
FUNCIONES
7. CLASES DE FL'NCIONES
7.1 Funcion Inyectioa
Definicion. Se dice que una A ~7\
funcion { es inyectiva, si I ,
, , Xl;l:. X2 entoncea {(Xl);I:. (CXz) , 2
!
\
'i/ xl ,XZ E D f . 3
,A elementos dtferentes del d
dominic Ie corresponden '
imageries diferentes.
{es una funoion inyectiva
Ueando el contrapositivo logtco tenemos:
((XI)={eX2) ~ ,xI =x2
Ejemplos
a) Si {es una funcion con D{ = IR, {(x) = 2x-1
{es inyectiva, puesto que, ((Xl) = (Ixz)
2Xl -1 = 2x2-1
Xl == X2 ,.
(exl=2x-l
l pa-aEloaEjeX
-1·· -,
-r ) x
L " {(x)es un punto
.'. {es inyectiva.
130
(LASES DE FUNCIDNES
b) Si g es una funci6n con Dg = lR, glX) = x2
g no es inyectiva, puesto que, glXl) = g(X2)
, ,
·1:1 = x2
Xl=X2 Y xl=-X2
y
g(x)=;r2
gt'j) g(X2) L
01 " x
L n g(x) son dos puntas
:. g no ee inyectiva.
7.2 Funci6n Survectiua 0 Sobreyectwa
Definicion. f ee una funci6n suryectiva de A en B si Rf:: B .
Ejemplos
raJ
A -r::>»: B
1 a
2
:/f/ \b
5' / c7 "_
'-~
b) f=(('.i+x)lxeHl}
Df=Hl
131
{(x) =t+x 6 Yl '= f+ x : ::3 irE JR, r =Yl -t (r E IR)
Tal que f(Yl-t)=t+(YI-f)=,Yl
7.3 Funcion Biyer::tiva
Defcnicien, Se dice que f es una funci6n biyectiva, si y s610ai,
f es inyectiva y suryectiva.
Ejemplce
a) f
.4 ..-------... B
,
i
f es Inyectiva
2~~b
f es Suryectiva 3
:. f ea biyectiva. c4
f={(X,X2)!XEJR}bl es biyectiva
c) f={(x,e~)/XEJR} es biyectiva
8. ADICIOl\ Y MULTIPLlCi\CION DE FU;\CIOi\'ES
Si f y g son funciones realee con DJ y Dg respectivamente,
entoncee f + g y t :g son Iuncionee con dominio DJ n Dg
y regiae de correspondencia:
({+g) (x) = (l.x! + g(x)
if· g) (X) = ((x)· g(x)
132
teorema
El conjunto F de funciones realea de variable real, con las
operaciones antes definidas de adicirin y multiplicacicn, tiene
las siguientes propiedades:
1) 'If, g E F f + g E F
2) 'If, g E F t :g E F
.3) Vf,geF f+g~g+f
4) Vf,g"F te -e :!
5) vt.s. h e F if+g) +h ~f+ Ig +h)
61 Vf,g,hEF if'g)'h~f'(g'hJ
'7) ::3 un unico $ E F I f + ~ = f
8) ::3ununicolEFlf-l=f
9JVf,g,hEF f'(g+h)~f'g+f'h
Demoetrociorc
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