Matematica_Basica_UTP

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MATEMATICA BASICA I 
1 
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ 
Vicerrectorado de Investigación 
 
 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA I 
 
TINS Básicos 
INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS, 
INGENIERÍA ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA, 
INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES, 
INGENIERÍA AUTOMOTRIZ, INGENIERÍA AERONÁUTICA, 
INGENIERÍA MARÍTIMA, INGENIERÍA TEXTIL, INGENIERÍA NAVAL, 
INGENIERÍA DE SOFTWARE, INGENIERÍA ECONÓMICA, 
INGENIERÍA MECÁNICA 
 
TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP 
 
Lima - Perú 
 
 
MATEMATICA BASICA I 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© MATEMÁTICA BÁSICA I 
Desarrollo y Edición : Vicerrectorado de Investigación 
 
Modificación y Complementación : Dr. José Reategui Canga 
 
Diseño y Diagramación : • Julia Saldaña Balandra 
 • Fiorella Espinoza Villafuerte 
 
Soporte académico : Instituto de Investigación 
 
Producción : Imprenta Grupo IDAT 
 
Tiraje 3 A / 1600 / 2008-II 
Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y 
transformación de esta obra. 
MATEMATICA BASICA I 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“El presente material contiene una compilación de contenidos 
de obras de Matemáticas publicadas lícitamente, 
acompañadas de resúmenes de los temas a cargo del 
profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser 
empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución. 
 
Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes 
de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines 
didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Art. 43 inc. 
A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de 
Autor”. 
 
 
 
 
 
MATEMATICA BASICA I 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMATICA BASICA I 
5 
PRESENTACIÓN 
 
 
La matemática, ciencia de la más alta jerarquía, en el concierto de las 
Ciencias, desde los albores de la civilización humana sigue siendo la 
base del desarrollo científico y tecnológico de nuestro mundo. 
 
La Ingeniería como expresión de la tecnología, se erige sobre la base de 
los diferentes espacios de la creación matemática y del pensamiento de 
la humanidad. 
 
De allí que, en la formación académica de Ingenieros, se debe privilegiar 
el estudio de la matemática, en la convicción de dotar a sus estudiantes 
firme pensamiento abstracto y amplio pensamiento innovador. 
 
En esta proyección se ha desarrollado el presente texto de instrucción, 
dirigido a estudiantes de Ingeniería, de las Carreras de Ingeniería de: 
Sistemas, Industriales, Electrónica, Mecatrónica, Telecomunicaciones, 
Automotriz, Aeronáutica, Marítima, Textil, Naval y de Software; para la 
Asignatura de Matemática Básica I. 
 
El texto en mención plasma la preocupación institucional de innovación 
de la enseñanza-aprendizaje en educación universitaria, que en 
acelerada continuidad promueve la producción de materiales educativos, 
actualizados en concordancia a las exigencias de estos tiempos. 
MATEMATICA BASICA I 
 
6 
 
 
 
Esta segunda edición modificada y complementada por el Dr. José 
Reategui Canga, prolijamente recopilada de diversas fuentes 
bibliográficas de uso frecuente en la enseñanza-aprendizaje de la 
Matemática, está ordenada en función del sillabus de la Asignatura arriba 
mencionada; presenta la siguiente estructura temática: 
 
Conjuntos y Lógica Matemática Básica. Conjuntos numéricos que 
permiten aclarar las nociones de números y su clasificación en naturales, 
enteros, racionales, irracionales hasta completar los reales. 
 
Ecuaciones e Inecuaciones que son básicas para el estudio del 
Álgebra. 
 
Relaciones Binarias que son fundamentales para la comprensión de las 
funciones básicas al estudio de la Geometría Analítica. 
 
Los Lugares Geométricos: rectas y circunferencias conectan a 
nociones algebraicas que permiten entrar en los delicados temas de las 
cónicas: parábolas, elipses e hipérbolas; y de las familias básicas de 
rectas y circunferencias. 
 
MATEMATICA BASICA I 
7 
Se completa el texto con una Introducción a las Coordenadas 
Polares.Todo este material permitirá conectar a problemas varios dentro 
de la carrera. 
 
Finalmente el reconocimiento Institucional al Dr. José Reategui Canga 
por su meritoria dedicación, a la preparación de esta segunda edición. 
Su esfuerzo y dedicación académica será identificada al glosar las 
páginas del texto, en el camino de entendimiento de la matemática 
universitaria. 
 
Lucio Heraclio Huamán Ureta 
VICERRECTORADO DE INVESTIGACIÓN 
 
MATEMATICA BASICA I 
 
8 
 
MATEMATICA BASICA I 
9 
ÍNDICE 
 
 
 
I. Conjuntos y Lógica .............................................................. 15 
II. Breve presentación de los Conjuntos Numéricos ................. 43 
III. Números Reales................................................................... 67 
IV. Recta y Circunferencia ......................................................... 109 
V. Cónicas................................................................................. 141 
VI. Miscelanias de Ejercicios...................................................... 187 
VII. Coordenadas Polares........................................................... 201 
Bibliografía ...................................................................................... 233
MATEMATICA BASICA I 
 
10 
 
 
MATEMATICA BASICA I 
11 
DISTRIBUCIÓN TEMÁTICA 
 
CLASE 
Nº CONTENIDO SEMANA 
1 
Capítulo I. CONJUNTOS Y LÓGICA 
1.1 DEFINICIÓN 
1.2 IGUALDAD 
1.3 SUB-CONJUNTOS 
1.4 CONJUNTO DE LAS PARTES 
1.5 UNIVERSOS 
1.6 FAMILIA – COLECCIÓN – SISTEMA – CLASE 
1.7 OPERACIONES DE CONJUNTOS 
 1.7.1 Unión 
 1.7.2 Intersección 
 1.7.3 Complemento 
 1.7.4 Diagramas 
 1.7.5 Grafos 
1 
2 
1.8 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS 
1.9 LÓGICA 
 1.9.1 Enunciados 
 1.9.2 Proposiciones 
 1.9.3 Conectivos 
 1.9.4 Valor de la verdad 
 1.9.5 Tautología y Contradicción 
 1.9.6 Relaciones del Álgebra Proposicional 
 1.9.7 Funciones Proposicionales 
 1.9.8 Cuantificadores 
EJERCICIOS PROPUESTOS N°01 
 
Capítulo II. BREVE PRESENTACIÓN DE LOS CONJUNTOS 
NUMÉRICOS 
2.1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES: N 
2.2. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS: Z 
2.3 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES: Q 
2.4. EL CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES: Q´ Ó II 
2 
3 
 2.4.1 Irracionales algebraicos 
 2.4.2 Números trascendentales 
2.5. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES: IR 
2.6 RELACIONES 
 2.6.1 Las relaciones se presentan en todas las áreas del 
conocimieno 
 2.6.2 Relaciones binarias 
 2.6.3 Propiedades 
 2.6.4 Relaciones de equivalencia 
 2.6.5 Clases de equivalencias 
 2.6.6 Relaciones de orden 
 2.6.7 Buena ordenación 
 2.6.8 Relaciones funcionales 
 2.6.9 Función 
3 
MATEMATICA BASICA I 
 
12 
 
EJERCICIOS PROPUESTOSN°02 
 
Capítulo III. NÚMEROS REALES 
3.1. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 
 3.1.1 Definición 1 
 3.1.2 Proposición 1 
 3.1.3 Proposición 2 
 3.1.4 Proposición 3 
 3.1.5 Colorario 1 
 3.1.6 Proposición 4 
 3.1.7 Ejercicios 
 3.1.8 Proposición 5 
 3.1.9 Proposición 6 
 3.1.10 Proposición 7 
 3.1.11 Ejercicio 
 3.1.12 Proposición 8 
 3.1.13 Proposición 9 
4 
EJERCICIOS RESUELTOS N°01 
EJERCICIOS PROPUESTOS N°03 
3.2. DESIGUALDADES E INTERVALOS 
3.3. PROPIEDADES GENERALES 
4 
5 
3.4. INTERVALOS EN R 
3.5 OPERACIONES CON INTERVALOS 
 EJERCICIOS RESUELTOS N°02 
3.6. INECUACIONES DE 2° GRADO 
3.6.1 Método de factorización 
3.6.2 Método por complementación de cuadros 
EJERCICIOS RESUELTOS N°03 
EJERCICIOS RESUELTOS N°04 
5 
6 
3.7. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL 
3.7.1 Definición 
3.7.2 Propiedades generales de valor absoluto 
EJERCICIOS RESUELTOS N°05 
3.8. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA 
6 
7 
3.9. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 
3.10. SISTEMA CARTESIANO DEL PLANO 
EJERCICIOS PROPUESTOS N°04 
3.11. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA 
EJERCICIOS PROPUESTOS N°05 
EJERCICIO PROPUESTOS N°06 
EJERCICIOSRESUELTOS Nº06 
7 
8 
3.12. ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA Y 
PENDIENTE DE UNA RECTA 
 EJERCICIOS PROPUESTOS N°07 
8 
9 
Capítulo IV. RECTA Y CIRCUNFERENCIA 
4.1 LA ECUACIÓN DE LA RECTA: DIVERSAS FORMAS 
DE SU ECUACIÓN 
4.2 ECUACIÓN GENERAL DE UNA RECTA 
9 
MATEMATICA BASICA I 
13 
 
CLASE 
Nº 
CONTENIDO SEMANA 
10 EXAMEN PARCIAL 10 
11 
4.3 FAMILIAS DE RECTAS 
4.4 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA 
EJERCICIOS PROPUESTOS N°08 
EJERCICIOS RESUELTOS N°07 
EJERCICIOS PROPUESTOS N°09 
EJERCICIOS PROPUESTOS N°10 
11 
12 
4.5 LA CIRCUNFERENCIA 
 4.5.1 Definición 
 4.5.2 Elementos 
 4.5.3 Ecuaciones de la circunferencia 
 4.5.4 Familias de circunferencias 
EJERCICIOS PROPUESTOS N°11 
12 
13 
Capítulo V. CÓNICAS 
5.1 SECCIÓN CÓNICA O CÓNICA 
5.2 PARÁBOLA 
 5.2.1 Elementos 
 5.2.2 Ecuaciones de una parábola 
 5.2.3 Öbservaciones 
 5.2.4 Ecuaciones general de la parábola 
13 
14 
5.3 LA HIPÉRBOLA 
 5.3.1 Definición 
 5.3.2 Observaciones 
 5.3.3 Ecuaciones de la hipérbola 
 5.3.4 Hipérbolas conjugadas 
 5.3.5 Ecuación general de la hipérbola 
14 
15 
5.4 LA ELIPSE 
 5.4.1 Definición 
 5.4.2 Elementos 
 5.4.3 Ecuaciones de la elipse 
 5.4.4 Observaciones 
 5.4.5 Forma general 
 5.4.6 Casos que se presentan 
 5.4.7 Ejercicios propuestos 
15 
16 y 17 
Capítulo VI. MISCELANEA DE EJERCICIOS 
6.1 LÍNEAS RECTAS. EJERCICIOS RESUELTOS 
6.2 PROBLEMAS PROPUESTOS 
6.3 CIRCUNFERENCIA 
6.4 PROBLEMAS PROPUESTOS 
6.5 PARÁBOLA 
16 y 17 
MATEMATICA BASICA I 
 
14 
 
 
Capítulo VII. COORDENADAS POLARES 
7.1 CONCEPTO 
7.2 REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN COORDENADAS 
POLARES 
7.3 DEFINICIÓN 
7.4 PASAR DE UN SISTEMA DE COORDENADAS A 
OTRO 
7.5. ECUACIÓN DE LA TRAYECTORIA 
18 
7.6 GRAFICAS DE FUNCIONES EN COORDENADAS 
POLARES 
18 
19 EXAMEN FINAL 19 
 
4 
MATEMATICA BASICA I 
15 
I. CONJUNTOS Y LÓGICA 
 
 
1.1 DEFINICIÓN.- Un conjunto se describe como una lista o colección 
de objetos llamados elementos o miembros, siendo números; 
letras; funciones, etc. 
 
De la nominación ya sea de la lista o colección se desprende un 
criterio de pertenencia que permite establecer una relación 
denotada ∈, escribiéndose: 
a∈A si a es elemento o miembro de A o de lo contrario: 
a∉A si a no es miembro de A 
 
Ejemplos: 
A = {a, b, c, d, e}; a∈A, b∈A, etc. 
B = {b1 , b2 , ....... , b12}; b1∈B, b2∈B, etc. 
C = {p es un número primo}; 5∈C, 7∈C, 8∉C, 12∉C, etc. 
 
De ordinario los conjuntos se denotan con letras mayúsculas A, B, 
X, Y, Z, …... y los elementos con minúsculas a, b, x, y, t, u, v, ….. 
 
1.2 IGUALDAD.- Dos conjuntos A y B son iguales: 
A = B 
 Si consisten de los mismos elementos. De lo contrario: 
MATEMATICA BASICA I 
 
16 
 
A ≠ B 
 
1.3 SUB-CONJUNTOS.- A es subconjunto de B o es parte de B, (o 
está contenido) se denota: A ⊆ B ó B ⊇ A si cada elemento de A 
es también elemento de B. De lo contrario A B ó B A. 
 
Podemos observar que: 
i) La relación ⊆ es de “contenido amplio” de modo que todo 
conjunto está en la relación consigo mismo: ∀ A ⊆ A. Esto 
es, una relación reflexiva. 
ii) Cuando B ⊆ A pero B ≠ A se restringe a la relación 
“contenido restringido o propio ⊂: B ⊂ A. Luego A es sub-
conjunto impropio de si mismo. 
iii) (A ⊆ B y B ⊆A) ⇒ A = B propiedad antisimétrica 
iv) (A ⊆ B y B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C propiedad transitiva 
v) Es conveniente introducir el “conjunto vacío ∅ que se 
considera sub-conjunto de cualquier otro: ∀ A: ∅ ⊆ A 
 
1.4 CONJUNTO DE LAS PARTES.- Todas las partes de un conjunto 
A son elementos de un nuevo conjunto P(A) que se llama el 
“conjunto de las partes de A” o conjunto potencia. 
 
Esto es: 
∀ B ⊆ A ↔ B ∈ P(A) 
MATEMATICA BASICA I 
17 
En particular: 
A ⊆ A → A ∈ P(A) 
A es elemento de P(A) 
 
Lo que nos dice que todo conjunto es elemento de alguno otro. 
 
Esta restricción se conoce como el axioma de las partes: “A todo 
conjunto A le corresponde otro conjunto, sea P(A) cuyos 
elementos son todas las partes de A” 
 
La inoperabilidad de esto da lugar a las “Clases”. 
 
Ejemplos 
1. Si A={a,b}: 
 { } { }
{ }
P(A) a , b
a, b
⎧∅
⎪
= ⎨
⎪
⎩
 
Hay 22 = 4 sub-conjuntos de A que forman P(A). 
 
2. B={α, β, γ} : 
 
{α}, {β}, {γ}
P(B) =
{α,β}, {α, γ}, {β, γ}
{α,β, γ} = A
∅⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
 
Hay 23 = 8 sub-conjuntos de B que forman P(B). 
MATEMATICA BASICA I 
 
18 
 
 
1.5 UNIVERSOS. Para las aplicaciones los conjuntos concernientes a 
un estudio o proceso son mirados como sub conjuntos de uno 
mayor U ó X que contiene a todos los del estudio, al que se le 
llama el “Universo del discurso” o simplemente un universo. 
 
Ejemplo: 
Cuando se trabaja con números y conjuntos naturales, el universo 
apropiado es N. Cuando entran los enteros positivos y negativos 
tomamos a Z (todos los números enteros). Para procesos 
discretos se suele tomar como universo a Q (los racionales) y a 
veces a R (los reales). 
 
Es decir, para un mismo sistema se puede considerar más de un 
universo. Veremos como en cada universo se puede hablar de un 
álgebra de conjuntos con propiedades de interés. 
 
1.6 FAMILIA – COLECCIÓN – SISTEMA – CLASE. Cuando los 
miembros de un conjunto S son a su vez conjuntos se suele usar 
el término de familia, de sistema, colección o aún clase. 
 
Ejemplo: 
La familia de topologías separadas, la colección de 
circunferencias de centro <h, k>; el sistema de intervalos semi-
cerrados. 
MATEMATICA BASICA I 
19 
Aunque la “clase”, se reserva para una extensión de los conjuntos, 
sin embargo se puede usar para determinar algunas colecciones. 
Así, se puede decir: la clase de los espacios Rn, la clase de los 
conjuntos finitos, etc. 
 
1.7 OPERACIONES DE CONJUNTOS. Se tienen 3 operaciones 
básicas: 
 Unión con símbolo ∪ 
 Intersección ∩ 
 Complemento C 
 
1.7.1 Unión: A ∪ B es el conjunto formado por los elementos 
que pertenecen a A ó a B 
 
Ejemplo: 
A = los números impares 
B = los pares 
A ∪ B = {impares o pares} = {todos los números enteros} 
 
1.7.2 Intersección: A ∩ B es el conjunto formado por los 
elementos que pertenecen a A y a B al mismo tiempo. 
 
En el ejemplo anterior de impares y pares A ∩ B = ∅ se 
dice en este caso que los conjuntos son disjuntos. 
 
MATEMATICA BASICA I 
 
20 
 
Las operaciones de unión e intersección pueden 
extenderse a familias de conjuntos. 
 
Si {Ai}i∈J es una familia finita o infinita se define: 
 iJi
A
∈
∪ = conjunto de elementos que pertenecen a uno por lo 
menos de los Ai 
 iJi
A
∈
∩ = conjunto de los elementos que pertenecen a todos los Ai 
 
Ejemplo: 
Sea Bi = intervalo abierto ( )i1i1 2, − i ≥ 2 
Aquí J = los enteros ≥ 2 
 
Se tiene: 
iJi
B
∈
∪ =(0, 2) intervalo abierto 
( )2321iJi ,B =∩∈ intervalo abierto 
 
1.7.3 Complemento. Supongamos que el conjunto A está dentro 
de un universo X. Se define el complemento: 
 
CA=A’=X–A los elementos de X que no pertenecen a A 
Ejemplo: 
Tomemos como universo X: los habitantes de una región y 
por A los analfabetos. Su complemento es: A’=X-A está 
formado por los que saben leer. 
MATEMATICA BASICA I 
21 
Ejercicios para Resolver 
1. Sea A el conjunto de los árabes, C el de los chinos. 
Determinar un universo X en el cual esten sumegidos 
A y B. ¿Cuál serían A’, C’, A∪C y A∩C? 
2. Sea L el conjunto de leones, T los tigres y A las 
águilas. Dar un universo X que no contenga los peces 
ni las aves de corral. ¿Cuál es L’, T’∪A’? 
 
3. Dar dos universos diferentes donde se pueda incluir a 
los enteros Z. 
 
 
1.7.4 Diagramas. Para tener un esquema visual Venn ideó 
diagramas: los conjuntos A, B, …..., del discurso dentro de 
un rectángulo grande que represente un universo: 
 
X X
X
A B A B
A AB B
A´
A
 
 
MATEMATICA BASICA I 
 
22 
 
1.7.5 Grafos: Cuando se trata de los sub –conjuntos o partes de un 
conjunto A, el universo puede ser el conjunto potencia P(A)=B, el 
cual conlas operaciones ∪, ∩ y complemento forman una Algebra 
de Boole, con representación de grafo de Hasse. (Ver ejemplos). 
 
 Si el número de elementos de A es pequeño, su Algebra de 
Boole P(A) puede representarse por un grafo de Hasse 
simple. (Ver ejemplos). 
 
Ejemplos: 
2. A={1} tiene un solo elemento: 
B’=P(A)=P{1} tiene 2 elementos: ∅ y A={1}. 
Su Hasse es el par 0 que representa a ∅ y 1: 
1
0
| B’ es el soporte básico de la lógica bivalente 
 
 
2. A={a, b} tiene 2 elementos 
B2=P{a, b}={∅, {a}, {b}, A={a, b}} tiene 4=22 
elementos... Los átomos son 2: a y b que cubren a 
∅=0. Su Hasse es: 
 
a y b son elementos complementarios. 
 
A 1
a b
MATEMATICA BASICA I 
23 
B2 es isomorfo a B2 el cuadrado de B’: 
 
(1, 1)
(0, 1) (1, 0)
(0, 0) 
 
3. A={α, β, γ} ejemplo 1.4.2 
B3=P(α, β, γ)={∅, α, β, γ, {α, β}, {α, γ}, {β, γ}, {α, β, γ}=A} 
Los átomos son los subconjuntos de 1 elemento 
{α, β, γ}=A. El número de elementos de B3 es 
2|A|=23= 8. El grafo de Hasse: 
 
{α, γ}{β, γ}
{γ}
{α}{β}
0
{α,β}
1 Α={α, β, γ}
 
 
Son complementarios los elementos diametralmente 
opuestos como {α} con {β, γ}, etc. 
 
B3 es isomorfo al producto B3. 
 
MATEMATICA BASICA I 
 
24 
 
1.8 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS. La igualdad =; las operaciones ∪, 
∩ y el complemento hacen de todo universo X un “álgebra” que 
satisface las leyes o propiedades: 
 
 Dual 
1) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 
 Asociatividad 
 
2) A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A 
 Commutatividad 
 
3) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 
 Distributividad 
 
4) A∪∅=A A∩X=A 
 Unidades: ∅ y X (el universo usado). 
 
5) ∅’=X X’=∅ 
 Complemento de unidades (Recíprocas) 
 
6) A∪X=X A∩∅=∅ 
 Acción de recíprocas 
 
7) A∪A’=X A∩A’=∅ 
 Complementos. Acción doble y rígida. 
 
 
MATEMATICA BASICA I 
25 
8) A∪A=A A∩A=A 
 Ídem potencia 
 
9) A∪
JiiJi
B
∈∈
∩=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ∩ (A∪Bi) y A∩
JiiJi
B
∈∈
∪=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ∪ (A∩Bi) 
 Distributividad generalizada de la propiedad 3 
 
10) jLjjLj
'A'A
∈∈
∩=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∪ jLjjLj
'A'A
∈∈
∪=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∩ 
 Leyes de Morgan.- Para 2 conjuntos dan: 
 (A1∪A2)’=A’1∩A’2 (A1∩A2)’=A’1∪A’2 
 
1.8.1 Dualidad. Toda expresión tiene su dual que se obtiene 
intercambiando las operaciones∪, ∩ y el universo X con ∅ 
y viceversa. 
 
Esto aparece a derecha en la Leyes de 1.8. 
 
Ejercicios para Resolver 
Si A ⊆ B : Probar por diagramas 
1. A∩B=A 
2. A∪B=B 
3. B’⊆A’ 
4. A∩B’=∅ 
5. A’∩B’=B’; A’∪B’=A’ 
 
 
MATEMATICA BASICA I 
 
26 
 
1.9 LÓGICA 
Los conjuntos emplean la lógica clásica o bivalente cuyo soporte o 
rango es el par: 
 L2 = {0, 1} 
 
Donde 1 representa la verdad o validez y 0 la falsedad o 
contradicción. 
 
La matemática exige un razonamiento válido deductivo o inductivo 
de absoluta claridad de modo a comprender y aplicar 
debidamente las definiciones, proposiciones y teoremas libres de 
complicaciones y ambigüedades. 
 
En esta sección vamos a revisar elementos básicos de la Lógica 
simbólica y el Calculo Proposicional. 
 
1.9.1 Enunciados 
Son fraces que sirve para comunicarnos. 
Ejemplos: 
1. ¿Dónde estuviste? 
2. Siéntate a ver la televisión. 
3. Los niños son traviesos. 
4. 51 es un número primo. 
Las 2 primeras no son verdaderas ni falsas: i es una 
pregunta y ii es una indicación. Las 2 últimas pueden ser 
verdaderas o falsas; frases de este tipo se conoce como: 
 
MATEMATICA BASICA I 
27 
1.9.2 Proposiciones 
Una proposición es toda frase sobre la cual podemos 
afirmar que es verdadera o falsa. Las representaremos con 
letras minúsculas p1, p2, …., q1 …, r, s, t, … 
 
Ejemplos: 
p1. Los alumnos de la U.T.P son estudiosos. 
p2. Los números primos terminan en 2 como: 12, 32, … 
q1. Rosa es bella. 
r. Está garuando. 
s. 2 1.5= 
 
Cada una es una proposición pues podemos afirmar su 
verdad o falsedad. 
 
Negación de proposiciones. La negación de la 
proposición p es ∼p que se lee no p (Se denota también por 
7p). 
 
Ejemplos: 
q : Rosa es bella. 
∼q : Rosa no es bella. 
s : =2 1.5 
∼s : 2 no es 1.5 o simplemente ≠2 1.5 . 
 
MATEMATICA BASICA I 
 
28 
 
Ejercicios para Resolver 
1. Dar 10 enunciados. 
2. ¿Cuáles son proposiciones? Representar con letras. 
3. Negar las que son proposiciones. ¿Cuál es la negación 
de ∼q? 
 
Proposiciones Compuestas.- Las proposiciones se enlazan 
o relacionan unas con otras para generar las llamadas 
proposiciones compuestas mediante los elementos de 
enlace llamados conectivos. 
 
1.9.3 Conectivos 
Para relacionar 2 o más proposiciones se emplean los 
llamandos enlaces conectivos entre los cuales están: 
 
1. Conjunción con símbolo ∧ y que enlaza proposiciones 
con la letra “y”. Por ejemplo: 
 p : Juan estudia música. 
1. q : Juan es menor de edad. 
 p ∧ q: Juan estudia música y es menor de 
edad. 
 
 r : Está nevando. 
2. s : Hace mucho frío. 
 r ∧ s: Está nevando y hace mucho frío. 
 
MATEMATICA BASICA I 
29 
2. Disyunción con símbolo ∨, enlaza proposicones con la 
letra “o”. 
 
 Ejemplos: 
 t : Compro diez cuadernos. 
1. u : Compro un pantalón. 
 v : Voy al concierto. 
 t∨u∨v: Compro diez cuadernos o compro un 
pantalón o voy al concierto. 
 
 p1 : tomas té 
2. p2 : tomas café 
 p1∨p2 : tomas té o tomas café 
 
3. Implicación o condicional con símbolo →; enlaza 2 
proposiciones p y q con las palabras: si p… entonces 
q. 
 
Ejemplos: 
 p : =4 2.5 
1. q : 7 + 3 = 11 
 p → q: Si =4 2.5 entonces 7 + 3 = 11 
 
 r : Mañana va llover. 
2. s : No iremos al campo. 
 r → s: Si mañana va llover entonces no 
iremos al campo. 
MATEMATICA BASICA I 
 
30 
 
 
4. Biconcional o doble implicación o equivalencia con 
símbolo ↔; enlaza las proposiciones p y q con las 
palabras: p si y sólo q; lo cual se puede expresar 
también por la frase: “si p entonces q y si q entonces 
p”, esto es: 
p ↔ q = (p → q) ∧ (q → p) 
Ejemplos: 
p: m > n 
q: n < m 
p ↔ q = m > n ↔ n < m : m > n si y sólo si n < m. 
 
 EJERCICIOS PARA RESOLVER 
1. Dadas las proposiciones: 
 p : Estamos en primavera 
 q : Las uvas son dulces 
 r : Pedro es deportista 
 s : Berta es hermosa 
 
 Relacionar con oraciones las siguientes 
composiciones: 
1. p ∨ q 
2. p ∧ q 
3. q ∧ r 
4. p ∨ s 
5. p → r 
6. p ↔ q 
7. ∼p → s 
8. r → ∼q 
9. p ∧ (q ∨ r) 
10. q ∨ (r ∧ s) 
11. q ∨ ∼r 
12. ∼r ↔ ∼s 
MATEMATICA BASICA I 
31 
 
2. Indicar 7 ejemplos de proposiciones simples y 
compuestas 
3. Negar las proposiciones anteriores. 
4. Se da las proposiciones: 
p: El mundo es amplio 
q: Las frutas son agradables 
r: La demostración es interesante 
s: Fany es bella 
t: 32 + 42 < (3 + 4)2 
 
 Representar con oraciones las proposiciones: 
a) p∧r ; q ∨ s ; t → r 
b) ∼q ∧ r ; p ∨ ∼s ; ∼r → ∼t 
c) r → (q ∨ s) ; p ∨ (∼s) ∨ t 
d) r ↔ t ; (s ∧ t) → r 
 
1.9.4 Valor de la verdad 
Para evaluar el valor de verdad de una proposición 
compuesta, es decir, de un enlace de proposiciones 
simples s, q, v, … por medio de los conectivos, se emplea 
la tabla de verdad con 3 o más columnas, tomando las 
primeras columnas para poner los valores de verdad V y F, 
ó, 1 ó 0. lo que diremos “verdadero y falso” de las 
proposiciones simples, y las demás columnas para los 
valores resultantes de las proposiciones compuestas, como 
sigue: 
 
MATEMATICA BASICA I 
 
32 
 
 p q p∧q 
1. Conjunción 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
F 
F 
F 
p∧q es verdadero sólo 
en el caso en que las 2 p 
y q son verdadero. 
 
 
 p q p∨q 
2. Disyunción 
1 
1 
0 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
1 
1 
0 
p∨q es verdadero o 
valido en todos los casos 
de validez de p ó q salvo 
cuando los 2 son falsos 
en cuyo caso p∨q es 
falso. 
 
 
 p q p→q 
3. Implicación 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
V 
p→q es verdaderoen 
todos los casos a 
excepción de aquel en 
que p es valido y q falso. 
 
 p q p↔q 
4. Bicondicional 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
F 
F 
V 
p↔q es verdadero en los 
2 casos en que ambos p 
y q son iguales validos o 
ambos falsos. En los 2 
casos desiguales el 
bicondicional es falso. 
 
 
 
MATEMATICA BASICA I 
33 
EJERCICIOS 
1. Construir la tabla de verdad de las proposiciones 
compuestas: 
 
a) p ↔ (q ∨ s) ; (r ∧ t) → s 
b) (p ∧ s) → (r ∨ t) ; (r → t) ∨ ∼q 
c) (∼q → s) ∧ (∼s → q) ; (p ∧ r) → (p ∨ r) 
 
2. Dar las tablas de verdad de las proposiciones: 
 
 1. p → (q ∨ r) 
 2. q ∧ r → ∼p 
 3. (p ∨ ∼q) ∧ (∼p ∧ r) 
 4. r ∧ s → r ∨ s 
 5. (p ∧ s) ∨ (q ∧ r) ∨ ∼p 
 6. (r ∨ s) ∧ (p ∨ ∼q ∨ s) 
 7. (p ∧ s) ↔ ∼ (∼p ∨ ∼s) 
 8. (r ∧ q ∧ s) → (r ∨ q ∨ s) 
 9. (q ∧ s) ↔ (p ∨ r) 
 10. (q ∧ ∼s) ↔ (∼q ∨ s) 
 
1.9.5 Tautología y Contradicción 
1. Una proposición compuesta es tautológica o es una 
tautología si en su tabla de verdad para todas las 
combinaciones V ó F de sus proposiciones simples, 
resulta ella siempre válida. 
MATEMATICA BASICA I 
 
34 
 
Ejemplos: 
 p q p∨q p→(p∨q) 
1. p→(p∨q) 1 
1 
0 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
1 
1 
0 
1 
1 
1 
1 
 
2. El silogismo: (p→q) ∧ (q→r) → (p →r) también es 
tautológica 
 
3. El modus ponens: (p→q) ∧ p → q 
y el modus tolens o principio de inferencia 
negativa: (p→q) ∧ ∼q → ∼p son tautologías. 
 
Los 3: el silogismo, el modus ponens y el modus 
tolens son básicas en las pruebas matemáticas. 
 
2. Una “contradiccón” es lo opuesto a una tautología 
esto es: siempre falsa para todas las combinaciones 
de las proposiciones simples. 
 
Ejemplo: 
 p ∼p p ↔ ∼p 
P ↔ ∼p 
1 
0 
0 
1 
0 
0 
 
∼[p→(p∨q)] ; etc., son contradicciones. 
MATEMATICA BASICA I 
35 
1.9.6 Relaciones del Álgebra Proposicional. 
 
Ejercicios para Resolver 
1. Por medio de las tablas de verdad verificar las 
siguientes relaciones: (muestre las tautologías): 
1.1. Idempotencia : 
p p p
r r r
⎧
⎨
⎩
∨ ↔
∧ ↔
 
1.2. Involución : ∼(∼p) ↔ p 
1.3. Asociatividad : 
(p q) r p (q r)
(p q) r p (q r)
⎧⎪
⎨
⎪⎩
∨ ∨ ↔ ∨ ∨
∧ ∧ ↔ ∧ ∧
 
1.4. Conmutatividad : 
p q q p
p q q p
⎧
⎨
⎩
∧ ↔ ∧
∨ ↔ ∨
 
1.5. Distributividad : 
(p q) r (p r) (q r)
(p q) r (p r) (q r)
⎧⎪
⎨
⎪⎩
∧ ∨ ↔ ∨ ∧ ∨
∨ ∧ ↔ ∧ ∨ ∧
 
1.6. Identidad : 
p F F ; p F p
q V V ; q V q
⎧⎪
⎨
⎪⎩
∧ → ∨ ↔
∧ → ∧ ↔
 
1.7. Complemento : 
p p V ; p p F
( q) q ; F V
⎧⎪
⎨
⎪⎩
∨ ↔ ∧ ↔
↔ ↔
∼ ∼
∼ ∼ ∼
 
 
2. Dar ejemplos verbales de las 7 relaciones. 
3. Verificar las 2 Leyes de Morgan: 
a) (r s) r s
(r s) r s
∧ ↔ ∨⎧
⎨ ∨ ↔ ∧⎩
∼ ∼ ∼
∼ ∼ ∼
 
b) ∼(p → q) ↔ p ∧ ∼q 
4. Verificar también que: 
i) (p → q) ↔ (q∼ → ∼q) 
ii) (∼p → q) ↔ (q → p) 
 
MATEMATICA BASICA I 
 
36 
 
5. Dar ejemplos verbales de 1, 2, 3, 4 
6. Construir 5 ejemplos de tautologías y 5 ejemplos de 
contradicciones. 
Si T es una tautología y C una contradicción, que da: 
a) T ∨ C 
b) T ∧ C 
c) T → C 
d) C → T 
e) (T ∨ C) → ∼C 
f) ∼C → ∼T 
 
1.9.7 Funciones Proposicionales 
 Las proposiciones en general expresan alguna 
característica o cualidad. 
 Ejemplos 
1. Pedro es deportista 
2. María es bella 
3. 41 es un número primo 
 
 El primero da la característica o cualidad deportista; la 
segunda la belleza; la tercera la característica de ser 
divisible sólo por la unidad y por si mismo. 
 
MATEMATICA BASICA I 
37 
 La característica o cualidad genera una función de un 
dominio de sujetos en el conjunto {V, F} que se representa 
por una mayúscula como función de una variable como la 
x, r, s, t, …. en la forma P(x), Q(r), …. Por ejemplo: el ser 
deportista: P(x): x es deportista, R(t): t es primo, etc., en 
P(x) el dominio son los seres humanos: x: juan es 
deportista; x=Berta es deportista, etc. En R(t) el dominio 
son los números enteros t=25, es primo; t=37, es primo, …. 
etc. 
 
1.9.8 Cuantificadores 
 Hay 2 símbolos que permiten transformar las funciones 
proposicionales en proposiciones, es decir: suceptibles de 
ser verdaderas o falsas. 
 
I. Operador Universal: ∀ que expresa: “para todo” y que 
debe traducirse según las características de la función. 
Por ejemplo: 
 P(x): (ser hombre mortal) 
 ∀x.P(x): todos los hombres son mortales 
 Q(y): (mujer hermosa) 
 ∀y.Q(y): todas las mujeres son hermosas 
 R(t): (ser número entero primo) 
 ∀t.R(t): todos los números son primos 
 
MATEMATICA BASICA I 
 
38 
 
II. Operador Existencial: ∃ que expresa: “existe uno o 
algunos” y que debe traducirse según la característica 
de la función. Así, en los ejemplos anteriores: 
 ∃x.P(x): existen hombres mortales 
 ∃y.Q(x): existen, o algunas mejeres son hermosas 
 ∃t.R(t): existen o hay enteros que son primos 
 
Negación de Cuantificadores 
I. La negación del cuantificador universal es: existencial 
con la función proposicional negada: 
 
∼[∀x.P(x)] ↔ ∃x: ∼P(x) …(α) 
 
 Si P(x) es: ser hombre mortal, la negación (α) dice: 
 Es falso que todos los hombres sean mortales equivale 
a: existe un hombre que no es mortal. 
 Si R(t) es ser número entero primo la negación de: 
∀t.R(t) es: 
∼[∀t.R(t)] ↔ ∃t: ∼R(t) 
 “Es falso que todo entero sea primo”, equivale a “existe 
uno o varios enteros que no son primos”. 
 
II. La negación del cuantificador existencial es: universal 
con la función proposicional negada: 
 
MATEMATICA BASICA I 
39 
∼[∃x. P(x)] ↔ ∀x: ∼P(x) 
 En los ejemplos anteriores: “es falso que existan 
hombres mortales” equivale a “todo hombre no es 
mortal”. 
En: ∼∃t. R(t) ↔ ∀t: ∼R(t) 
 Es falso que exista un número entero primo” equivale 
a: “todo entero no es primo”. 
 
Ejercicios 
1. Dada las proposiciones: 
p: El día está cálido 
q: El profesor viene hoy 
r: La luna está llena 
s: 9 3= − 
t: 32 + 52 = (3 + 5)2 
formar proposiciones compuestas con los conectivos: 
∧, ∨ y →. 
2. Formar 5 funciones proposicionales y 
cuantificarlas. 
3. Negar las proposiciones cuantificadas anteriores. 
 
Para concluir la lógica proposicional veamos la 
importancia del: 
 
MATEMATICA BASICA I 
 
40 
 
Razonamiento Deductivo.- Es un razonamiento muy 
importante en la Matemática con el cual se establecen 
numerosos teoremas, llamados tasmbién 
Proposiciones. 
 
Estos se enuncian mediante una “implicación” cuyo 
antecedente es la hipótesis y el consecuente es la 
tesis. 
 
Por ejemplo la proposición: “si la raíz cuadrada de un 
número natural n, no es un entero, entonces no es un 
racional o fracción, si no un irracional”. 
 
Aquí la hipótesis o antecedente es: “si la raíz cuadrada 
del natural n, no es entero”. La tesis, implicación o 
conclusión es: “la raíz cuadrada es irracional y no 
racional”. 
 
A lo largo del TINS se tendrá diversos razonamientos. 
Completemos los conjuntos y pasemos en el capítulo II 
a los conjuntos numéricos. 
 
Los conjuntos emplean la lógica clásica o bivalente 
cuyo soporte o rango es el par: 
L2={0, 1} 
MATEMATICA BASICA I 
41 
Donde 1 representa la verdad o validez y 0 la falsedad 
o contradicción. 
 
Las relaciones 7 de 1.8: 
 
A ∪ A’ = X ; A ∩ A’ = ∅ 
Expresan que un punto pertenece a un conjunto o a su 
complemento pero no a ambos. 
 
En esta lógica es valido el “tercio excluido”, así como el 
principio de contradicción: 
p ∨ 7 p ≡ 1 y p ∧ 7 p ≡ 0 …… 7 p= no p 
 
El primero expresa que una proposición o es 
verdadera o es falsa pero no hay una tercera 
posibilidad. El segundo completa al anterior 
expresando que la proposición no puede ser verdadera 
y falsa a la vez. 
 
Igualmente son válidos: 
(p → q) ∧ (q → r) . → . (p → r) 
ó silogismo y el caso que genera algunas pruebas por 
absurdo 
(⎤ p → p) → p 
Se sugiere hacer el análisis de tablas y valuaciones. 
MATEMATICA BASICA I 
 
42 
 
EJERCICIOS PARA RESOLVER 
1. Si un conjunto finito tiene k-elementos ¿Cuántos tiene su conjunto 
potencia? 
2. Si A={α, β, γ}, cómoes el gráfico o grafo de P(A) 
 
3. ¿Y si G={a, b, c, d} , cómo es el grafo de P(G) 
 
4. Por medio de un gráfico cómo el que se muestra: 
 
 A 
 B 
 
 
 
 
 Verificar la Ley de Morgan: (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ donde A’, B’ son los 
complementos. 
5. Verificar las leyes de distributividad 3) de 1.8 
 
6. Si 2 conjuntos son infinitos: ¿son ambos isomorfos? Es decir: 
¿Tienen el mismo número de elementos? 
 
7. Probar que el silogismo es siempre válido en la lógica de los 
conjuntos.- Igualmente probar el “modus ponens”: p∧(p → q).→.q 
 
8. Por tablas verificar si la equivalencia: (p→q) ↔ ( ⎤q → ⎤p) es válida. 
(A ∩ B) 
MATEMATICA BASICA I 
43 
II. BREVE PRESENTACIÓN DE LOS CONJUNTOS 
NUMÉRICOS 
 
2.1 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES: N 
 Se ha convenido en llamar números naturales a cada elemento 
del siguiente conjunto: 
N = {0, 1, 2, 3, …, n ….} 
 
2.1.1. Observaciones: 
o En N existen dos subconjuntos notables: el conjunto de 
los números pares y el conjunto de los números 
impares. 
 Pares = {2,4,6,8,…} Impares = {1,3,5,7,9,….} 
o Si n ∈ N ⇒ 2n: representa un número par 
 2n – 1: representa um número impar 
o En N se definen las operaciones de adición y 
multiplicación, donde si x, y ∈ N → (x + y) ∈ N ∧ (x . 
y) ∈ N (Ley de Clausura) 
o La sustracción no siempre es posible en N. La 
sustracción no está totalmente definida en N ¿∃x∈N tal 
que 7+ x = 3? ¡No! Pues x = –4 ∉N por esta razón se 
amplian los naturales en un nuevo conjunto de 
números, el cual será definido seguidamente. 
 
MATEMATICA BASICA I 
 
44 
 
2.2 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS: Z 
 Z = {…., –3, –2, –1, 0, 1, 2,3, ….} 
 
2.2.1. Observaciones: 
o En Z se tienen los siguientes subconjuntos notables 
 Enteros positivos Z+ = {1,2,3,….} = N+ 
 Enteros negativos Z- = {–1,–2,-3,….} = –N+ 
 Enteros no negativos ,...}3,2,1,0{Z 0 =
+ 
 Enteros no positivos ,.....}3,2,1,0{Z
0
−−−=− 
 ∴ Z = Z-∪ {0} ∪ Z+ 
o En Z siempre es posible restar, veamos una manera 
práctica de interpolar la adicción y/o sustracción de 
números enteros 
 Números positivos → ganancia 
 Números negativos → pérdida 
 Ejemplos: 
 1. ?pierdoogano¿negociodelluego13
1gano3pierde
⇒+− 
 2132pierdo
2
−=+−⇒
−
 
 2. -9 -3 = -12 
 
o En Z no siempre se puede dividir, i.e. la división no 
está totalmente definida en Z 
 ¿∃x∈Z tal que 3. x = 1? 
¡No! Pues Zx ∉=
3
1 
MATEMATICA BASICA I 
45 
Por esta razón se amplian los enteros en el siguiente 
conjunto de números. 
 
2.3 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES: Q 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ ≠∧∈= 0bZb,a/
b
aQ ó 
{ }aQ . a,b Z b 0b= ∀ ∈ ∧ ≠ 
 
Todo y número que puede escribirse en forma de fracción se llama 
número racional. 
 
EJEMPLOS 
1. ; ; , ; ;−= − = =8 3 1 1 24 3 0 5
2 1 2 3 5
 son racionales 
2. 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ −−−= ...,
n
m,2,
4
5,
2
1,
3
1,...,
2
1,1,
n
m...,Q 
 
3. 0,666 , 0,75 , 0,78888 , -3.452 , -36 , +100, …∈Q 
 
Propiedad 1: Los números racionales abarcan a los N y a los Z, 
pues nn N
1
∀ ∈ = y aa Z
1
∀ ∈ = 
 
Propiedad 2: Si el número dado es decimal periódico, su 
transformación a fracción es por el siguiente cociente: 
 
MATEMATICA BASICA I 
 
46 
 
 Sea: N=a1 ,, am • b1 ,, bn c1 ,, cjci ,, cj ,, … 
 
donde c1 ..cj es elperíodo decimal, a1, … am están a la izquierda del 
punto decimal y b1, …, bn están a la derecha del punto. Entonces el 
siguiente cociente da el número N: 
n1 m 1 1 j 1 m 1
nj
a ..a b ..b c ..c a ..a b ..b
q..q 0..0
−
 
 
Para simplificar la prueba supondremos m=n=1, j=2: 
1 2 1 2
24
N a • bc c c c ...= 
 
Multipliquemos N por 
4 2
1000 10⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
: 
a•bc1c2c1c2…c1c2…X(1000-10) 
= abc1c2•c1c2...c1c2...-ab•c1c2…c1c2… 
= abc1c2-ab 
 
Despejando N tendremos: 
abc c abN −=
−
1 2
1000 10
 
es decir: N=a•bc1c2…c1c2…= 1 2
j n
abc c ab
990
− que da la prueba. 
Para cualquier otrol N la prueba es semejante. 
MATEMATICA BASICA I 
47 
Ejemplos 
1. 
999
abcabco, = donde abc abc= es el entero o producto por 
 1000 (3 ceros) 
2. 
999
eeabcabce, −= donde eabc eabc= 
3. 0,abcbc…= abc a0,abcbc
990
−
= aquí J=2, n=1, m=0 
4. m,abcbc.. = mabc mam,abcbc
990
−
= análoga a la prueba 
5. 
3
2
9
66,0...666,0 === … m=n=0, j=1 
6. 1,222…= 12 1 11
9 9
−
= … m=1, n=0, j=1 
7. 
99
364
99
3367...6767,3 =−= 
8. 
30
13
90
39
90
443...4333,0 ==−= 
9. 
99
364
99
3367...6767,3 =−= 
10. 0,34747…= 347 3 344
990 990
−
= 
11. 4,32121…= 4321 43 4278
990 990
−
= 
 Para m=1, j=2, n=2 
12. 1,234545… = 12345 123 12222
9900 9900
−
= 
 Para m=1, j=2, n=3 
MATEMATICA BASICA I 
 
48 
 
13. 3,1235454…= 312354 3123 309231
99000 99000
−
= 
 
¿Todos los números pueden escribirse en forma de fracción? ¡No! 
Pues no existe x∈Q/x2 = 2 por tal motivo se crea el siguiente 
conjunto de números. 
 
2.4. CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES: Q´ Ó II 
 Se da el nombre de número irracional a todo número que no es 
racional. 
i.e. I = {x / x ≠ 
n
m , m, n ∈ Ζ; n ≠ 0} 
Veamos por que, por ejemplo 2 no es un racional m
n
 
Supongamos que lo fuera: 2 = m
n
, donde m
n
 ha sido reducido y 
no tienen factores comunes. 
 
Tendremos elevando al cuadrado: 
2
2
2
2
m2 m 2n
n
= ⇒ = 
lo que nos dice que m2 y por lo tanto m es par o múltiplo de 2. 
 
Sea m=2r, r un entero. Reemplazando: 
2 2 2 2 2m 4r 2n n 2r= = ⇒ = 
lo que muestra que n es también par. 
 
MATEMATICA BASICA I 
49 
Luego m y n siendo pares tienen un factor común, el 2, contrario a 
la hipótesis. 
 
Por consiguiente 2 no puede ser racional. 
 
De modo semejante se puede probar que todo radical: 3 , 5 , 
..., 3 32, 3, ..., de un número que no es una potencia, no es 
racional. 
Ejemplos: 
1. 2 = 1,4142… 
2. 3 = 1,73 205… 
3. 5 = 2,23 606… 
4. 21 + 
5. 32 − 
6. 
3
2
,
2
1
,32 + 
 
Propiedad 3. Un número irracional se caracteriza por tener parte 
decimal no periódica, con infinitas cifras decimales. ¿Por qué? 
 
En efecto: si el número tuviera parte decimal periódica, por 
propiedad 2 de 2.3 podría expresarse como el cociente de 2 
enteros, esto sería un racional. 
 
MATEMATICA BASICA I 
 
50 
 
IN ⊂ Z ⊂ IR 
II ⊂ IR 
Los números irracionales son de dos tipos: 
 
2.4.1 Irracionales algebraicos. Son raíces de polinomios de 
coeficientes enteros. 
 * ,...32,7,2 3 − 
 
2.4.2 Números trascendentales. No son raíces de ningún 
polinomio de coeficientes enteros. 
 * 
...718281,2
...14159,3
=
=π
e
 
 π = 3,141592… infinito no periódicas. -π=-3.141592... 
 e = 2,7182 81 82… infinito no periódicas. –e=-2.71828... 
 2 = 1,4142 1356… infinito no periódicas. - 2 =-1.4142135 
 
2.5. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES: IR 
 Es el conjunto delos números racionales y el de los irracionales. 
Las propiedades y/o relaciones se desarrollan en el Capítulo III. 
 IR : Q ∪ I , IR = IR+ ∪ {0} ∪ IR– 
 IR+ : Reales positivos. 
 IR– : Reales negativos. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
MATEMATICA BASICA I 
51 
1) IN ⊂ Z ⊂ Q 
2) Q ∪ I = IR 
3) Q ∩ I = ∅ 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
Transformar a Radicales Simples 
1. 8410 + 
A=10 ; B=84 
Solución: 
Cómo se sabe: A2 – B es un cuadrado perfecto = C2, entonces: 
22
CACABA −±+=± 
 
En nuestro caso: C2 = 102 – 84 = 16 cuadrado perfecto 
C = ± 4 asumiendo C = 4 
37
2
410
2
4108410 +=−++=+ 
2. −13 160 
Solución: 
Como en el caso anterior: C2 = 132 – 160 = 9 cuadrado perfecto 
C = ± 3 asumiendo C = 3 
13 3 13 313 160 8 5 2 2 5
2 2
+ −
− = + = + = + 
 
MATEMATICA BASICA I 
 
52 
 
3. Si 80945214 −−+=n ; hallar le menor valor de x cuando: 
 x2 – nx + n +1 = 0 
Solución: 
Como: 535945214 +=+=+ 
 25
2
19
2
1918081809 2 −=−−+⇒=−=⇒− c 
∴ 52553 =+−+ = n ⇒ x2 – 5n + 6 = (x-3) (x-2)=0 que da x=3 
y x = 2 
Luego el menor valor de x es 2. 
 
4. Si 33 5252 −++=x . Hallar elvalor numérico de 5186 3 ++ xx 
Solución: 
Como: ( ) ( )baabbaba +++=+ 3333 
Entonces: 
3
333 5252 ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −++=x 
( ) ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −++−+−++= 333 5252135252x 
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −++−= 333 525234x 
⇒ 55252185252346 3333 +⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ++++⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +++− 
 29552521852521824 3333 =+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ++++⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +++− 
 
 
 
MATEMATICA BASICA I 
53 
5. Si a > 0; a ∈ R ⇒ 21 ≥+
a
a 
Solución: Cómo a > 0 ⇒ 010 ≥⇒>
a
a 
a
a
⎛ ⎞
⇒ − ≥⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
1
0 
⇒ 21021 ≥+⇒≥−+
a
a
a
a l.q.q.d. 
 
6. Si a, b > 0 ⇒ ( ) 411 ≥+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + ba
ba
 
Solución: Como a, b > 0 ⇒ a – b ≥ 0 ⇔ a ≥ b 
⇒ ( ) 020 222 ≥+−⇒≥− bababa 
⇒ abba 222 ≥+ ⇒ 2
22
≥+
ab
b
ab
a 
⇒ 4112 ≥+++⇒≥+
a
b
b
a
a
b
b
a 
Lo que implica: 
44 ≥+++⇒≥+++
a
ba
b
ba
a
a
a
b
b
b
b
a 
( ) 411 ≥+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +⇒ ba
ab
 l.q.q.d. 
 
7. Si x ∈ 
7
1;
11
1
32
14,2 ∈
+
⇒
x
 
Solución: Como x ∈ 424,2 <<⇒ x 
4 < 2x < 8 ⇒ 7 < 2x + 3 < 11 implica: 
MATEMATICA BASICA I 
 
54 
 
7
1
32
1
11
1
<
+
<
x
 
∴ 
7
1,
11
1
32
1
∈
+x
 
 
8. Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyas vértices son (-3, -1) 
(0, 3) (3, 4) (4, -1) 
 Solución: 
 Graficando los vértices 
 El perímetro del cuadrilátero es: 
________________
DACDBCABP +++= 
 Donde: ( ) ( ) 53103 22
____
=−−+−−=AB 
 ( ) ( ) 104330 22
____
=−+−=BC 
 ( ) ( ) 261443 22
____
=++−=CD 
 ( ) ( ) 71143 22
____
=+−+−−=DA 
 
 
 
 
 
 
 
B = (0, 3) C = (3, 4) 
A = (-3, -1) D = (4, -1 ) 
MATEMATICA BASICA I 
55 
 
 Entonces: P = 25,20261012 ≅++ und. 
9. El punto medio del segmento entre P1 (x1; y1) y P2(x2, y2) es: 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++
2
;
2
2121 yyxx 
 
 
 
 
 
 
 
1) Se pide hallar las coordenadas (x, y) del punto P en términos de 
las coordenadas de P1; P2. 
 
 Para ello traemos desde los puntos P1; P2 segmentos paralelos al 
eje y y corten al eje x en los puntos A, B, C. 
2) Por la geometría plana elemental; se sabe que la ruta paralela al 
eje y que pasa por el punto P biseca el segmento AC en el punto 
B; esto es; B es punto medio del segmento AC. 
 
 Si B es punto medio del segmento AC entonces se cumple que: 
 x – x1 = x2 – x ⇒ d (A a B) = d (B a C) luego: 
 x = 
2
21 xx + 
 de manera similar por los puntos P1;P; P2 trazamos segmentos 
paralelos al eje x, obteniéndose y2 – y = y – y1 
P2(x2; y2) 
P1(x1; y1) P(x; y) 
A(x1; 0) B(x; 0) C(x2; 0) 
x 
y 
MATEMATICA BASICA I 
 
56 
 
 
2
21 yyy += 
 Luego la fórmula del punto medio es x x y y,+ +⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 2 1 2
2 2
 
 
10. Hallar los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son 
los puntos (-2, 3) (6, -3) 
 Solución: 
Se pide hallar las coordenadas 
de P; Q que dividen al segmento 
 
Cómo: 
______
21PP en tres segmentos de igual 
longitud. 
r
PP
PP
==
2
1
_____
2
_____
1 
 
 Entonces: p1 p2p
x rx
x
1 r
+
=
+
 , p1 p2p
y ry
y
1 r
+
=
+
 
 ⇒ p
12 6 22x 1 31
2
− +
= =
+
; 
( )
p
13 3
2y 111
2
+ −
= =
+
 
 ⇒ ( )23p ,1= 
 
Cálculo del Q 
P1 P2 
(-2, 3) P Q (6, -3) 
P1 P2 
(-2, 3) P (6, -3) 
1 2 
MATEMATICA BASICA I 
57 
1 6 1 3 103Q ; ; 1
2 2 3
⎛ ⎞+⎜ ⎟− ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
EJERCICIOS PARA RESOLVER 
 [1] Probar las siguientes desigualdades: 
1) a2 + b2 +c2 ≥ ab + ac + bc; ∀a,b,c∈R 
2) ∀a,b∈R+⇒ a b ab
2
+
≥ 
3) Si a2+b2=1; c2+d2 = 1 entonces 1 ≥ ac+bd; ∀a,b,c,d ∈ R 
4) Si a+b+c=1, donde a,b,c > 0 ⇒ (1-a)(1–b)(1–c) ≥ 8abc 
5) a4 + b4 + c4 + d2 ≥ 4abcd; ∀a,b,c,d ∈ R 
6) Si a > 0; a∈R ⇒ a+ 1a ≥ 2 
7) Si a,b,c ∈R+ ⇒ + + ≥ + +bc ac ab a b c
a b c
 
8) Si a > 0, b > 0 tal que a + b = 1 ⇒ ab ≤ ¼ 
9) Si a, b, c ∈R ⇒ a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2 (a + b+ c) 
10) Si a, b > 0 /a ≥ b ⇒ 
2
2
a 3b b 3
b a a
+ ≥ + 
11) Si a, b, c > 0 ⇒ ( )1 1 1 a b c 9
a b c
⎛ ⎞+ + + + ≥⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
12) si a > 0 ; a ≠ 1; a ∈R ⇒ 3 23 2
1 1a a
a a
+ > + 
13) ( ) ( )( )2 2 2 2 2a by a b y ; a,b, ,y R+ ≤ + + ∀ ∈x x x 
14) (a + b + c+ d)2 ≤ 4(a2 + b2 + c2 + d2) ; ∀ a, b, c, d ∈ R 
15) (a x + by + cz)2 = (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2) 
16) Si x – 5 ∈ 2,2 x 3,7− → ∈ 
MATEMATICA BASICA I 
 
58 
 
17) Si x ∈ 2
1 1 11,3 ,
x 3x 1 19 5
→ ∈
+ +
 
 
[2] Resolver las siguientes inecuaciones 
1) 3(3x – 17) + 5 (5 – 3x) ≥ 3(3x – 11) – 2(4x – 3) 
2) 13 (2x – 3) – 7 (3x – 5) < 3 (2x – 11) + 13x 
3) 3x 2 3x 7 3x 5 7 x
5 2 2 3
− + − −
− < − 
4) ( ) ( )3x 7 8 43 x 7 2x
4 3 7
−
< − < − 
5) 9x 5 3x 1 5x 4
4 2 3
− − +
≥ − 
6) 7x 2 5x 6 9x 34
2 3 5
− − +
+ < 
7) 2x 1 3x 2 2x 1 2>
5 6 2 3
− − +
+ + 
8) 2 2
x 3x 5 ;a>b>0
a b a b a b
+ <
− + −
 
9) x x
a b a b
− <
− +
2
10
x x
a b a b
− <
− +
2
10 ; a > b > 0 
10) x x x+ −+ >5 5
12 6 3
x
>
3
 
 
MATEMATICA BASICA I 
59 
2.6. RELACIONES 
2.6.1 Las relaciones se presentan en todas la áreas del 
conocimiento. Por ejmplo: San Isídro es mas grande que 
San Borja; Pedro es menor que Pablo; “…es congruente 
con…” etc. 
 En matemática nos interesan las relaciones entre 2 
conjuntos. 
 
2.6.2 Relación Binaria 
 Dados 2 conjuntos no vacios A y B, una realción binarias 
de A y B es dado por todo conjunto R del producto A x B. 
 Al conjunto A se le denomina: Dominio o primera 
proyección y al B el rango o segunda proyección. 
 Si invertimos: B x A se obtiene la relación inversa R-1 entre 
B y A. 
 Cuando el conjunto B = A es una relación en el conjunto A. 
 
2.6.3 Propiedades 
 Una relación R en un conjunto A puede tener las siguientes 
propiedades: 
1) Reflexiva : ∀x ∈ A ⇒ <x,x> ∈ R 
2) No reflexiva : ∃ x ∈ A ⇒ <x,x> ∉ R 
3) Simétrica : ∀<a,b> ∈ R ⇒ <b,a> ∈ R 
4) No simétrica : ∃<a,b> ∈ R ⇒ <b,a> ∈∉ R 
5) Asimétrica : ∀<a,b> ∈ R ⇒ <b,a> ∉ R 
6) Anti simétrica : ∀[<a,b> ∧ <b,a> ∈ R] ⇒ a = b 
MATEMATICA BASICA I 
 
60 
 
7) Transitiva : ∀[<a,b> ∈ R ∧ <b,c> ∈ R] ⇒ <a,c> ∈ R 
8) No trasitiva : ∃[<a,b> ∈ R ∧ <b,c> ∈ R] ⇒ <a,c> ∉ R 
9) Intransitiva : ∀[<a,b> ∈ R ∧ <b,c> ∈ R] ⇒ <a,c> ∉ R 
 
Las relaciones en un conjunto A pueden cumplir algunas 
propiedades. Las más importantes relaciones son: 
 
2.6.4 Relaciones de equivalencia 
 Son las reflexivas, simétricas y transitivas.- Si R 
denotamos simplemente por ∼, debe cumplir: 
 E1 ∀ a ∈ A ⇒ a ∼ a .............................reflexiva 
 E2 ∀ a, b ∈ A : si a ∼ b ⇒ b ∼ a......... simétrica 
 E3 a ∼ b ∧ b ∼ c ⇒ a ∼ c ................... transitiva 
 
Ejemplos: 
1. A = conjunto de las circunferencias en el plano c, si 
tienen igual radio. Es una relación de equivalencia. 
(se trata de las circunferencias. Ver Capítulo IV) 
 
2. Relaciones de congruencias módulo m en los 
enteros Z. Por ejemplo m = 5 
 a, b ∈ Z son cogruentes a ∼ b mod 5 si: 
 a – b es multiplo de 5. Así: 
 1 ∼ 6 mod 5; 2 ∼ 7, 3 ∼ 8 ∼ 13, 4 ∼ 9 ∼ 14 ∼ 19,… etc 
 
 
MATEMATICA BASICA I 
61 
3. Rectas en el plano de igual pendiente: 
 y – x = 0 ∼ 2y – 2x – 3 = 0; y – 1 = 0 ∼ y + π = 0 ∼ etc. 
x… (se tratar las rectas y propiedades. Ver Capítulo 
IV). 
 
2.6.5 Clases de Equivalencias 
 Toda relación de equivalencia en un conjunto A, lo separa 
en sub-conjuntos A1, A2,… formado por los conjuntos 
equivalentes. Es lo que denominamos una partición de A. 
 Por ejemplo, en Z los enteros congruentes modulo m, sea 
m=5 forma m=5 clases de equivalencia: 
 Z0={….., -10, -5, 0, 5, 10, 15, …..} 
 Z1={….., -9, -4, 1, 6, 11, …..} 
 Z2={….., -8, -9, 2, 7, 12, …..} 
 Z3={….., -7, -2, 3, 8, 13, …..} 
 Z4={….., -6, -1, 4, 9, 14, …..} 
 
2.6.6 Relaciones de Orden 
 Son las que cumplen la reflexividad, la antisimetría y la 
transitividad. 
 Si la relación la denotamos por <, debe cumplir: 
 θ1: ∀a∈A ⇒ a<a 
 θ2: ∀a,b∈A: a<b∧b<a ⇒ a=b 
 θ3: a<b ∧ b<c ⇒ a<c 
MATEMATICA BASICA I 
 
62 
 
Ejemplos: 
1. En los números enteros o reales el orden se denota 
por ≤ y se define: 
 
 a ≤ b si ∃c∈R+ (si existe un real positivo o cero c) tal 
que a+c=b 
2. En una circunferencia 
centrada en el origen 
delplano cartesiano, un 
punto θ≤γ, si partiendo 
del punto horizontal a 
en sentido contrario al 
reloj θ está antes que γ. 
 
2.6.7 Buena Ordenación 
 Una relación de orden ρ en un conjunto A se dice que da 
una buena ordenación, o que A, queda bien ordenado, si 
cada subconjunto Ai no vacío posee primer elemento, es 
decir: 
∃a∈A ⇒ ∀x∈A (aρx) 
Ejemplos: 
1. El conjunto N de números naturales con el orden ≤ es 
bien ordenado. Todo subconjunto de N posee primer 
elemento. 
2. El conjunto R de los reales con el orden ≤ no es bien 
ordenado. Los subconjuntos 0<x<3; los enteros 
MATEMATICA BASICA I 
63 
múltiplos de 5, 7, etc.; los irracionales positivos y 
numerosos otros más no poseen primer elemento. 
 
EJERCICIOS PARA RESOLVER 
1. ¿Los pares y los impares determinan una relación de 
equivalencia en los números enteros Z? 
2. ¿Los triángulos de igual área dan una relación de 
equivalencia en el conjunto de triangulos de un 
plano? 
3. Y otras figuras? 
4. Dar 3 relaciones de equivalencia diferentes a los ya 
visto. 
5. La relación de las letras del alfabeto es de orden?, 
¿de buen orden? 
6. ¿En un salón en elque no hay niños con el mismo 
apellido la lista que se confecciona es de orden? 
7. Dar relaciones de orden en conjuntos finitos e 
infinitos. 
 
2.6.8 Relaciones Funcionales 
 Una relación F entre 2 conjuntos A y B se dice ser funcional 
si para cada elemento a∈A hay a lo más un elemento b∈B 
tal que F(a,b). 
 Por ejemplo si A es el conjunto de los niños de un país y B 
el de los hombres mayores, la relación “ser padre P”: 
 a∈A ∧ b∈B ⇒ b es padre de a, ó P(a,b), es una relación 
funcional. 
MATEMATICA BASICA I 
 
64 
 
 El sub conjunto A1 ⊆ A de los elementos de A que están 
relacionados constituye el dominio de la relación y el B1 ⊆ B 
que están relacionados forma el co-dominio o rango de la 
relación. 
 Cuando B=A la relación F se dice ser funcional en A. 
 
 Ejemplos: 
1. El “ser madre” es también funcional. 
2. La relación “ser duplo de p” en los números enteros Z 
es funcional: 
∀p∈Z: F(p)=2p 
 El dominio es todo Z y el rango es el conjunto de los 
elementos pares. 
3. El cuadrado de p es también una relación funcional 
en Z. 
 
2.6.9 Función 
Se denomina así a toda relación funcional de un conjunto A 
en el conjunto B. 
Por ejemplo el ser padre es función. Las relaciones 
F(p)=2p, G(p)=p2 son funciones en Z. 
En los capítulos siguientes veremos otros ejemplos de 
interés. 
MATEMATICA BASICA I 
65 
EJERCICIOS PARA RESOLVER 
1. Dar 2 relaciones de orden en el conjunto N de los 
naturales. 
2. ¿Qué propiedades tienen la relación de vecindad? 
3. ¿La relación ∀x∈R→ x , valor absoluto, es funcional? 
4. Hermana, hermana de padre y madre ¿que clase de 
relaciones son? 
5. ¿Cuál es el dominio y rango de las relaciones 
3x , x ; senθ; cosθ? 
6. La relación ≤ en los enteros Z es de buen orden? 
MATEMATICA BASICA I 
 
66 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMATICA BASICA I 
67 
III. NÚMEROS REALES 
 
 
Hemos visto en 2.5 que el conjunto R de los números reales está 
formado por la unión de los racionales o fraccionarios y de los 
irracionales. Los naturales y enteros quedan incluídos por estarlo dentro 
de los racionales. 
 
Las operaciones de adición y multiplicación e inversas y la relación de 
orden < se extienden a todo R formando el Algebra de los Reales. 
 
En este capítulo vamos a introducir los reales y propiedades desde un 
punto de vista formal. 
 
3.1 EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 
3.1.1. Definición 1: El sistema de los números reales es un 
conjunto R, provisto de dos operaciones: adición y multiplicación, 
y una relación de orden, denotada por “<” que se lee “menor que” 
que satisface los siguientes relaciones o leyes. 
 
De la adición: 
A1) ∀a, b ∈ R ; a + b ∈ R (clausura) 
A2) ∀a, b ∈ R ; a + b = b + a (ley conmutativa) 
A3) ∀a, b, c ∈ R ; (a + b) + c = a+ (b + c) (ley asociativa) 
A4) Existe um único elemento al que denotamos por “0” tal que: 
a+0=0+a=a; ∀a∈R (existencia y unidad del elemento 
neutro aditivo) 
MATEMATICA BASICA I 
 
68 
 
A5) Existe un único elemento al que denotamos por “-a” tal 
que a+(-a)=(-a)+a=0; ∀a∈R (existencia y unicidade del 
elemento inverso aditivo) 
 
De la multiplicación: 
M1) ∀a, b∈R ; a.b∈R (clausura) 
M2) ∀a, b∈R ; ab = ba (ley conmutativa) 
M3) ∀a,b,c∈R : (ab)c = a(bc) (ley asociativa) 
M4) Existe um único elemento al que denotamos por “1” diferente 
de “0” tal que: a.1 = 1.a = a; ∀a∈R (existencia y unicidad del 
elemento neutro multiplicativo) 
M5) Existe um único elemento al que denotamos por a-1 tal que: 
∀a∈R; a ≠ 0; a.a-1 = a-1.a = 1 (existencia y unicidad del 
elemento inverso multiplicativo) 
 
D) ∀a,b,c∈R ; a (b + c) = ab + ac (ley distributiva) 
 En R, existe definida la relación menor “<” entre dos 
números reales, que cumple los siguientes axiomas: 
 
La relación < se aclara y aplica al ordenar los puntos y conjuntos 
de una recta en 3.2. 
O1) Si a<b y b<c → a<c ; ∀a, b, c ∈ R (ley transitiva) 
O2) Si a<b → a+c < b+c ; ∀a, b, c ∈ R (ley de monotonía) 
O3) Dados a, b ∈ R una y solamente una de las siguientes 
relaciones se verifica a<b, a=b, b<a (ley de tricotomia) 
O4) Si a<b y 0<c → ac < bc (ley de monotonía de la 
multiplicación en la relación menor) 
MATEMATICA BASICA I 
69 
3.1.2. Proposición 1: ∀a ∈ R , a.0 = 0 
 
Prueba: 
a × 0 = a × 0 + 0 (A4) 
 = a × 0 + [a + (-a)] (A5) 
 = [a × 0 + a] + (-a) (A3) 
 = (a × 0 + a × 1) + (-a) (M4) 
 = a (0 + 1) + (-a) (D) 
 = a . 1 + (-a) (A4) 
 = a + (-a) (M4) 
a × 0 = 0 (A5) 
 
3.1.3. Proposición 2: ∀a ∈ R , a + a = 2a 
 Demostración 
a + a = a . 1 + a . 1 (M4) 
 = a (1 + 1) (D) 
 = a . 2 (A1) 
 = 2a (M2) 
 
3.1.4. Proposición 3: ∀a ∈ R , –a = (–1) a 
 
Prueba: 
Si demostramos que a+(–1)a = 0, el teorema quedará probado, 
puesto que (–a) y (–1)a resultan ambos el inverso aditivo de a, 
que como sabemos es único (A5). 
i.e. a + (–1) a = 1.a + (-1) a (M4) 
 = (1+(–1)) a (D) 
MATEMATICA BASICA I 
 
70 
 
 = 0.a (A5) 
 = 0 (Prop. 1) 
 Luego: -a = (–1) a (A5) 
 
3.1.5. Corolario 1: ∀a, b ∈ R , a (-b) = – (ab) = (–a) b 
En efecto: 
 a (–b) = a ((–1) b) (Prop. 3) 
 = a (b (–1)) (M2) 
 = (ab) (–1) (M3) 
 = (–1) (ab) (M2) 
 = – (ab) 
 
3.1.6. Proposición 4: 
(Sustracción) ∀a, b ∈ R , a-b = a + (-b) 
(Multiplicación) ∀a, b ∈ R; (-a)(-b)=ab 
 (División) ∀a, b ∈ R , b ≠ 0 ; 1a ab
b
−= 
 
3.1.7. Proposición 5: ∀a, b ∈ R ; a ≠ 0 ; b ≠ 0 ; (ab)-1 = a-1 b-1 
 
Prueba: 
Si probamos que (ab) (a-1 b-1) = 1, la tesis queda demostrada 
puesto que (ab)-1 y (a-1 b-1) resultan ambos el inverso 
multiplicativo de (ab), que como sabemos debe ser único por (M4) 
MATEMATICA BASICA I 
71 
(ab) (a-1 b-1) = (ab) (b-1 a-1) (M2) 
 = a [b (b-1 a-1)] (M3) 
 = a [((bb-1) a-1] (M3) 
 = a (1.a-1) (M5) 
 = a . a-1 (M4) 
 = 1 (M5) 
Por lo tanto (ab)-1 = a-1b-1 (M5) 
 
3.1.8. Proposición 6: 
1) ∀a, b, c, d ∈ R ; b, d ≠ 0 se tiene a c ad bc
b d bd
+
+ = 
2) a c ac.
b d bd
= 
3) 
a
adb
c bc
d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ =
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
En efecto: 
1) a c
b d
+ = ab-1 + cd-1 (definición cociente) 
 = (ab-1) (dd-1) + (cd-1) (bb-1) (M1) 
 = (ab-1) (d-1d) + (cd-1) (b-1b) (M2) 
 = a (b-1 d-1) d + c (d-1 b-1) b (M3) 
 = (ad) (bd)-1 + (cb) (bd)-1 (M2) 
 = (ad + bc) (bd)-1 (D) 
 = ad bc
bd
+ (definición cociente) 
MATEMATICA BASICA I 
 
72 
 
2) a c.
b d
 = (ab-1) (cd-1) (definición cociente) 
 = a (b-1c) d-1 (M3) 
 = a (cb-1) d-1 (M2) 
 = (ac) (b-1 d-1) (M3) 
 = (ac) (bd)-1 (Prop. 6) 
 = ac
bd
 (definición cociente) 
 
 
3.1.9. Proposición 7: Si ∀a, b, c ∈ R ; a + c = b + c → a = b 
 
Se tiene: 
1) a + c = b + c (hipótesis) 
2) (a + c) + (-c) = (b + c) + (-c) (1) 
3) a + [c + (-c)] = b + [c + (-c)] (A3)4) a + 0 = b + 0 (A5) 
5) a = b (A4) 
 
3.1.10. Proposición 8: ∀a, b, x ∈ R ; b ≠ 0 
x . b = a <-> x = a.b-1 
 
Implicación directa: 
(=>) 1. x . b = a (hipótesis) 
 2. (x.b)b-1 = ab-1 
 3. x (bb-1) = ab-1 (M3) 
 4. x.1 = a.b-1 (M5) 
 5. x = a.b-1 (M4) 
 
MATEMATICA BASICA I 
73 
Implicación inversa: 
(<=) 1. x = ab-1 (hipótesis) 
 2. x b = (ab-1) b (⇒) 
 3. x b = a(b-1b) (M3) 
 4. x b = a.1 (M5) 
 5. x b = a (M4) 
 
Por tanto x b = a <-> x = ab-1 
 
3.1.11. Proposición 9: 
1) ∀a, b ∈ R ; ab = 0 <-> a = 0 ∨ b = 0 
2) ∀a, b ∈ R ; a2 = b2 <-> a = b ∨ a = -b 
 
Se tiene: 
1) (=>) 
1. ab = 0 (hipótesis) 
2. Supongamos que b ≠ 0 (hipótesis auxiliar) 
3. Existe b–1 (M5) 
4. (ab)b–1 = 0b–1 (3, Prop. 1) 
5. a (bb–1) = 0 (M3) 
6. a.1 = 0 (5, M5) 
7. a = 0 (M4) 
8. Supongamos que a ≠ 0 (hipótesis auxiliar) 
9. Existe a–1 (M5) 
10. (ab)a–1 = 0a–1 (3, Prop. 8) 
11. a (ba–1) = 0 (M3, Prop. 1) 
12. a (a–1) b = 0 (M2) 
MATEMATICA BASICA I 
 
74 
 
13. (a.a–1) b = 0 (M3) 
14. 1.b = 0 (I3, M5) 
15. b = 0 (I4, M4) 
 
(<=) 
1. a = 0 ∨ b = 0 (hipótesis) 
2. ab = 0 (1, Proposición 1) 
 
2) a2 = b2 <-> a2 – b2 = 0 
<-> (a+b) (a-b) = 0 
<-> a-b = 0 ∨ a+b = 0 
<-> a = b ∨ a=-b 
 
Ejecicio: 
1. Probar: ∀a ∈ R ; a ≠ 0 ⇒ (a-1)-1 = a 
2. ∀a, b, c ∈ R se tiene que si a=b entonces ac=bc 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
Resolver las siguientes ecuaciones: 
1. x 2 + 4 x - 21 = 0 
Solución: x 2 + 4 x - 21 = (x +7) (x –3) = 0 <–> 
 x + 7 = 0 ∨ x –3 = 0 
 x = –7 ∨ x = 3 
2. 4 x 2 + 12x + 1 = 0 
Solución: 4 x 2 + 12x = –1 
 x 2 + 3 x = – 1
4
 
 x 2 + 3 x + 9
4
= 1 9
4 4
− + 
Por propos. 9 
MATEMATICA BASICA I 
75 
 
23
2
⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠
x = 2 = ( )22 
 x ó3 32 2
2 2
< − > + = + = −x 
 ó -3 32 2
2 2
< − > = − + = −x x 
 
EJERCICIOS PARA RESOLVER 
1. Demostrar las siguientes propiedades de números reales: 
a) –a–b = –(a + b) 
b) Si a ≠ 0 ; ac = ab → c = b 
c) Si a = b y a, b ≠ 0 → 1 1
a b
= 
d) (a – b)c = ac – bc 
e) –(a – b) = –a + b 
f) Si b ≠ 0 , a c a bc
b
= ↔ = 
2. Resolver las siguientes ecuaciones: 
a) 13x – 7 = 5x + 3 
b) 3x + 7 = 11x + 3 
c) (x + 2)2 + (x – 4)2 = (x – 3)2 + (x – 7)2 
d) (2x + 1) (3x – 4) + x + 3 = (x – 3) (6x + 5) – 3x + 7 
e) x2 – 4x – 21 = 0 
f) 3x2 – 11x+ 6 = 0 
g) 5x2 + 3x + 2 = 0 
h) 9x2 + 54x + 9 = 0 
 
 
MATEMATICA BASICA I 
 
76 
 
ALGEBRA DE LOS REALES 
A continuación trataremos algunos problemas más básicos de los reales 
R desde un punto de vista algebraico: 
 
3.2. DESIGUALDADES E INTERVALOS 
La correspondencia entre los números reales y los puntos de una 
recta permite observar otra propiedad fundamental del conjunto de 
los números reales referentes a la existencia de un ordenamiento 
en este conjunto. 
Este concepto de “orden” se introduce en el sistema de los 
números reales mediante la definición siguiente: 
3.2.1 Definición 1: Si a y b son números reales, diremos que “a” 
es menor que “b” si y sólo si b-a es un número positivo. 
Simbólicamente: 
a < b ↔ b – a ∈ R+ 
donde: R+ = {x∈R/ x>0} 
 
Equivalencias de las relaciones ≤ y <, ≥ y >. 
1) a < b ↔ b > a 
2) a ≤ b ↔ a < b ∨ a = b 
3) a ≥ b ↔ b ≤ a 
4) - a es negativo si a > 0 
 a es positivo si -a < 0 
 
3.2.2 Definición 2: Una proposición de la forma a<b, a>b, a≤b, 
a≥b; es una desigualdad. 
 
MATEMATICA BASICA I 
77 
3.3. PROPIEDADES GENERALES DE DESIGUALDADES 
3.3.1. Si a < b y c < d entonces a + c < b + d 
3.3.2. Si a < b entonces –a > –b 
3.3.3. Si a<b y c<0 entonces ac>bc 
3.3.4. Si a ≠ 0 entonces a2 > 0 
3.3.5. Si 0 ≤ a < b y 0 ≤ c < d entonces ac<bd 
3.3.6. para todo número .a, b∈R 
1) ab > 0 ↔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0) 
2) ab < 0 ↔ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0) 
3.3.7. a–1 tiene el mismo signo que a 
3.3.8. Si a y b tienen el mismo signo y a<b entonces a-1>b-1 
En efecto: 
 Si a < b → a.a–1 < b.a–1 (O4) 
 a.a-1b–1 < ba–1b–1 (O4) 
 (aa–1)b–1 < (bb–1)a–1 (M3) 
 
 1.b–1 < 1.a–1 (M5) 
 b-1 < a–1 (M4) 
 ∴ a-1 > b–1 
 
3.3.9. Proposición 10: Si a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 entonces a2 > b2 ↔ a > b 
3.3.10 Proposición 11:Si a2 > b ; b ≥ 0 ↔ a > b ó a <– b 
 
Prueba: 
1) Si a ≥ 0 entonces a2 > b = ( )2b ↔ a > b 
2) Si a < 0 → –a > 0 
MATEMATICA BASICA I 
 
78 
 
 
Hemos demostrado que si a<0 entonces: 
a2>b↔a<– b 
Por (1°) y (2°) queda probado: 
Si b ≥ 0 entonces a2 > b ↔ a > b ó a <– b 
 
3.3.11 Si b > 0 entonces a2 < b ↔ – b < a < b 
 
3.4. INTERVALOS EN R 
Sean a, b ∈ R; a < b , definimos: 
3.4.1 Intervalo abierto de extremos a y b; y se denota <a, b> al 
conjunto de número reales: <a, b> = {x ∈ R / a < x < b} 
 
 
3.4.2. Intervalo cerrado de extremos a y b, y se denota [a,b] al 
conjunto: [a,b]={x∈R / a ≤ x ≤ b} 
 
a b 
 
3.4.3. Intervalo semiabierto de extremos a y b y se denotan: <a,b] 
ó [a,b> a los conjuntos: 
 
<a,b]={x∈R / a < x ≤ b} 
[a,b>={x∈R / a ≤ x < b} 
a b
MATEMATICA BASICA I 
79 
Ejemplos: 
1. <a, +∞> = {x∈R / x > a} 
 
 
 
2. [a, +∞>={x∈R / x ≥ a} 
a 
 
3. <–∞, +∞>=R 
 
3.5 OPERACIONES CON INTERVALOS. Se tiene las siguientes: 
3.5.1 <a, b] ∩ [b, c> = {b} 
3.5.2 <a, b] ∩ <b, c> = ∅ 
3.5.3 <a, b] ∪ <b, c> = <a, c> 
3.5.4 <-∞, a> ∪ <a, +∞> = R – {a} 
3.5.5 Si a<c<b<d entonces: 
<a, b] – <c, d] = <a,c] 
<a, b] ∩ <c, d> = <c, b] 
<a, b] ∪ <c, d> = <a, d> 
<c, d>–<a, b] = <b, d> 
3.5.6 <-∞, b> ∩ [a, +∞> = [a, b> ; a<b 
MATEMATICA BASICA I 
 
80 
 
Ejercicios Resueltos 
Resolver las inecuaciones: 
1) 7x – 10 < 4 
(7x – 10) + 10 < 4 + 10 
7x < 14 
x < 2 
Solución: = <-∞, 2> 
 
2) (x + 1)2 + (x+4)2 ≤ (x+3)2 + (x+5)2 
(x2+2x+1) + (x2+8x+16) ≤ x2+6x+9+x2+10x+25 
2x2 + 10x + 17 ≤ 2x2 + 16x + 34 
10x + 17 ≤ 16x + 34 
-17 ≤ 6x 
–17
6
≤ x 
x ≥ –17
6
 
conjunto solución x∈ 17 ,
6
⎡− +∞⎢⎣
 
 
3) Resolver: 
7 – 4x ≤ 3x + 5 < 9x + 11 
Primero resolveremos 7 – 4x ≤ 3x + 5 
↔ –4x – 3x ≤ 5 – 7 
↔ –7x ≤ –2 
↔ 7x ≥ 2 
↔ x 2
7
≥ 
MATEMATICA BASICA I 
81 
Solución: 1
2s ,
7
⎡= +∞⎢⎣
 
 
Ahora resolveremos 3x + 5 < 9x + 11 
↔ 3x – 9x < 11 – 5 
↔ –6x < 6 
↔ 6x > –6 
↔ x > –1 
 
Solución 2s 1,= − +∞ 
Solución general: s = s1∩s2 =
2 ,
7
⎡ +∞⎢⎣
 
 
3.6. INECUACIONES DE 2° GRADO 
3.6.1. Método de Factorización. Consideramos los 2 casos 
siguientes: 
Proposición 12. Dados a, b ∈ R 
1. ab > 0 ↔ “a > 0 ∧ b > 0” ó “a < 0 ∧ b < 0” 
2. a.b < 0 ↔ “a > 0 ∧ b < 0” ó “a < 0 ∧ b > 0” 
 
Ejemplo: 
Resolver: 
1. 4x2 – 11x – 12 > 0 
Factorizando (4x + 3) (x – 4) > 0 
↔ (4x + 3 > 0 ∧ x – 4 > 0) ó (4x + 3 < 0 ∧ x – 4 < 0) 
↔ (x > – 3
4
 ∧ x > 4) ó (x < – 3
4
 ∧ x < 4) 
MATEMATICA BASICA I 
 
82 
 
↔ x > 4 ó x < – 3
4
 
 
 
3.6.2 Método por Completación de Cuadrados 
Recordemos los siguientes 2 casos: 
Dado a, b ∈ R; b > 0 
I. a2 < b ↔ < ∧ > −ia b a b 
II. a2 > b ↔ > ∨ < −óa b a b 
 
Ejemplos: 
Resolver: 
1. 4x2 + 12x – 3 > 0 
→ x2 + 3x – ¾ > 0 
→ x2 + 3x > ¾ 
→ x2 + 3x + 9/4 > ¾ + 9/4 
→ (x + 3/2)2 > 3 
 → 3 33 3
2 2
+ > + < −x o x 
 → 3 33 3
2 2
+ > + < −x o x 
 
2. 4x2 – 16x + 13 < 0 
→ x2 – 4x + 13/4 < 0 
→ x2 – 4x < – 13/4 
→ x2 – 4x + 4 < 4 – 13/4 
MATEMATICA BASICA I 
83 
→ (x - 2)2 < ¾ 
3
( 2)
2 3 3
2 2
2 2
3
( 2)
2
⎫
→ − < ⎪
⎪⎪ − < ∧ − > −⎬
⎪
⎪→ − > −
⎪⎭
x
y x x
x
 
 
3. Resolver 4x2 – 4x + 7 ≥ 0 
→ x2 – x + 7/4 ≥ 0 
→ x2 – x ≥ –7/4 
→ x2 – x + ¼ ≥ –7/4 + ¼ 
→ (x – ½)2 ≥ – 3/2 
Conjunto Solución: R 
Pues ∀x∈R: 
21 3
0
2 2
x⎛ ⎞− ≥ ≥ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
 : (todo cuadrado ≥0) 
 
3.7. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL 
3.7.1. Definición: El valor absoluto de un número real “a” se 
define como aquel número real no negativo que se denota 
por: 
|a| 
donde: |a|=a si a≥0 
 |a|=-a si a<0 
 
Ejemplos 
1. Si a = –6 → | a | = – a i.e. | – 6 |= –(–6) = 6 
2. Si a = 9 → | a | = a i.e. | 9 | = 9 
3. Si a = 0 → | 0 | = 0 
MATEMATICA BASICA I 
 
84 
 
3.7.2. Propiedades generales de valor absoluto 
1. | a | ≥ 0 ; ∀ a ∈ R 
 | a | = 0 ↔ a = 0 
2. | a |2 = a2 ; ∀ a ∈ R 
3. | a | = | –a | ; ∀ a ∈ R 
4. | a – b | = | b – a | ; ∀ a, b ∈ R 
5. | a b | = | a | | b | ; ∀ a, b ∈ R 
6. | a | = | b | ↔ a = b ∨ a = –b 
7. | a | = b ↔ b ≥ 0 ∧ ( a = b ∨ a = –b ) 
8. a ≤ | a | ; ∀ a ∈ R 
9. | a | < b ↔ b > 0 ∧ (–b < a < b ) 
10. | a | ≤ b ↔ b ≥ 0 ∧ (–b ≤ a ≤ b ) 
11. | a | > b ↔ a > b ∨ a < -b 
12. | a | ≥ b ↔ a ≥ b ∨ a ≤ –b 
13. | a + b | ≤ | a | + | b | ; ∀ a, b ∈ R 
14. || a | – | b || ≤ | a – b | ; ∀ a, b ∈ R 
15. || a || = | a |; ∀ a∈ R 
 
Prueba de 13 y 14: 
| a + b | 2 = ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
= a2 + b2 + 2ab 
≤ | a |2 + | b |2 + 2| a b | = | a |2 + 2 | a | | b | + | b |2 = (| 
a | + | b |)2 
| a + b |2 ≤ ( | a | + | b | )2 
| a + b | ≤ | a | + | b | 
 
 
MATEMATICA BASICA I 
85 
| a | = | b + (a – b) | ≤ | b | + |a – b| → | a | – | b | ≤ |a – b| (I) 
| b | = | a + (b – a) | ≤ | a | + | a – b | → | b | – | a | ≤ |(a – b)| 
 – (| a | – | b |) ≤ | a – b | (II) 
De (I) y (II) 
| a | – | b | ≤ | a – b | ∧ –(| a | – | b |) ≤ | a – b | → ≤ │a – b│} 
 
Ejemplos: 
1. | 3x + 4 | = | 7x – 3 | 
↔ 3x + 4 = 7x – 3 ó 3x + 4 = –(7x – 3) 
↔ –4x = –7 ó 10x = –1 
↔ x = 7
4
 ó x = 1
10
− 
 1 7,
10 4
⎧ ⎫−⎨ ⎬
⎩ ⎭
 
 
2. | 10x + 7 | = 17 
↔ 10x + 7 = 17 ó 10x + 7 = -17 
↔ 10x = 10 ó 10x = -24 
↔ x = 1 ó x = 12
5
− 
 12,1
5
⎧ ⎫−⎨ ⎬
⎩ ⎭
 
 
3. | 5 – 3x | < 7 
↔ –7 < 5 – 3x < 7 
↔ –12 < – 3x < 7 
↔ 12 > 3x > –7 
MATEMATICA BASICA I 
 
86 
 
↔ –7 < 3x < 12 
↔ – 7
3
< x < 4 
x ∈ 7 ,4
3
− 
4. | 7x + 3 | > 17 
↔ 7x + 3 > 17 ó 7x + 3 < –17 
↔ 7x > 14 ó 7x < –20 
↔ x > 2 ó x < – 20
7
 
5. | x2 – 16 | > 9 
↔ x2 – 16 > 9 ó x2 –16 < -9 
↔ x2 > 25 ó x2 < 7 
↔ (x > 5 ó x < –5) o ( )7 7− < <x 
 
EJERCICIOS PARA RESOLVER 
1. Resolver las siguientes inecuaciones: (2do Grupo) 
1) 2x2 – 6x + 3 < 0 
2) 4x2 – 4x – 3 < 0 
3) –4x2 – 8 < – 12x 
4) x2 – 2x – 2 > 0 
5) 3x2 – 10x + 3 < 0 
6) x(3x + 2) < (x + 2)2 
7) 5x2 – 14x + 9 > 0 
8) 1 – 2x – 3x2 ≥ 0 
9) 3x2 – 5x – 2 ≥ 0 
MATEMATICA BASICA I 
87 
2. Resolver las siguientes inecuaciones: (3er grupo) 
1) x4 – 4x3 – x2 + 4x – 6 < 0 
2) 2 x3 + 3 x2 – 11 x –6 ≥ 0 
3) x 3 – 3 x2 – 13x + 5 > 0 
4) x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 > 0 
5) x 5 + 3x4 – 5x3 – 15x2 – 4x + 12 > 0 
6) x4 – 3x2 – 6x – 2 < 0 
7) ( )( )
( )
3x 1 x 1
0
2x 1 (x 8)
− +
≥
+ −
 
8) 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
23 2
2 7
3 x x 1 1 5 x
0
6x 3 3x 5
− − −
>
+ −
 
9) 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
7 8 103 2
4 2
x 8 x x 1 x 1
0
x 3 x 25 7
− + + −
≥
+ −
 
10) 
( )( ) ( )72
4 2 8
x 2x 1 x 3 x 9
0
x 2x −
− + + −
>
−
 
11) x4 – 2x2 + 8x – 3 > 0 
12) (x – 7) (x + 3) (x + 5) (x + 1) ≥ 1680 
 
3. Resolver las siguientes inecuaciones: (4to grupo) 
1) 
( )( )
22x 3x 3 1
x 2 2x 3 2
− +
> −
− +
 
2) x 4 x 2
x 5 x 3
+ −
<
− +
 
3) 7 1 2
x 4 x 2
+ < −
− +
 
4) 2
7 6 2
x 1 x 1
− >
− −
 
MATEMATICA BASICA I 
 
88 
 
5) 
2
2
x 2x 3 3
x 4x 3
− +
> −
− +
 
6) 2
7 6 5
x 1 x 1
− <
− −
 
7) 7 30 7
x 7 x 2 x 1
+ <
+ + +
 
8) 10 5 5
x 7 x 2
+ <
+ +
 
9) 1 1 x
x 2 x 2
+ ≥
− +
 
10) 6x2 + 23x4 + 3x3 – 41x2 – 9x + 18 > 0 
 
4. Resolver las siguientes inecuaciones: (5to grupo) 
1) 5 1
2x 1 x 2
≥
− −
 
2) 2x 1 2 x 1 3 0− + − − < 
3) 
x 1
0
7x 1
−
≥
+
 
4) 3x 1 7
x 3
+
<
−
 
5) 7x 4 2
x 5
+
>
−
 
6) 3x 1 5
7x 1
−
≤
+
 
7) |2x2 + 5x – 2| < |2x2 + 6x – 1| 
8) |3x2 – 1| < |7x2 – 3| 
9) 
2x 1 x 12 0
x 2 x 1
− −
− >
+ +
 
MATEMATICA BASICA I 
89 
10) 
2
2
x 3x 4 1
x 3x 2
+ −
≤
− +
 
11) |2x3 – 3| ≤ |4x + 1| 
 
5. Resolver la siguiente inecuación: (6to Grupo) 
1) Dados los conjuntos A = {4x + 7 > – 17} 
 B = {4x2 – 13 |x| + 9 ≥ 0}, hallar CA ∩ B ; A ∩ CB. 
2) Si D={3x2-(x+9)>0} ; E={x2+4x-2<0}; hallar D∩E; D∪E; 
D’∪E’ y D’∩E’ 
 
6. Resolver las inecuaciones, expresando su conjunto solución en 
forma de intervalo. (7mo Grupo) 
a) 2x 5 1
x 4
−
≤
−
 R. [1,3] 
b) 1 2x 3 3x 6≤ − ≤ − R. 3, + ∞ 
c) 
2x 2x 3 5
x 3 x 3
+ −
<
+ +
 R. 3,2− 
d) x 1 1
x 2
+
>
−
 R. { }1, 2
2
+∞ − 
e) 
2x 2x 2 2
x 1
+ +
<
−
 R. ∅ 
f) 
2x 3x 11 x
x 2
+ +
<
−
 R. ∅ 
g) 3 1
4x 1 x 1
≤
+ +
 R. { } (4 1 2,
7
⎛ ⎞
−∞ − − − − ∪ +∞⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
MATEMATICA BASICA I 
 
90 
 
7. Hallar el mayor valor de la expresión dada en el intervalo indicado. 
(8vo Grupo) 
1) 
4 1 1
E si 0,1
+ − −
= ∈
x x
x
x
 R. 5 
2) 
7 2 3 2
E si 0,3
+ − +
= ∈
x x
x
x
 R. 4 
3) 
3 3 8 5 24
E si 5, 4
2
− − +
= ∈ − −
x x
x
x
 
4) Hallar el menor valor de m que satisface: 
i) 2x 1 1 m
x 2 2
+
− ≤
−
 donde [ ]x 4,7∈ . 
ii) 3 2x m
x 1
−
≤
−
 donde 2 1 1,
x 6 2
⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦
 R. i) 4 ii) 21
11
 
5) Para los siguientes conjuntos hallar A ∩ B 
a) x 2 2x 3A x R /
x 2 4x 1
− −⎧ ⎫= ∈ <⎨ ⎬+ −⎩ ⎭
 
 x 2 x 3B x R /
x 4 x 6
− +⎧ ⎫= ∈ ≤⎨ ⎬+ −⎩ ⎭
 R. ]2,0− 
b) 
2
2
3 1A R /
1
⎧ ⎫+ −
= ∈ ≤⎨ ⎬−⎩ ⎭
x x xx
x x
 
 2 5B R / 1
4
⎧ ⎫−
= ∈ ≤⎨ ⎬−⎩ ⎭
xx
x
 R. ]1,3 
 
c) { }A R/ 5 2 3 y 2 2= ∈ + > − − > +x x x x x 
 4B R /
1 X
⎧ ⎫= ∈ ≤⎨ ⎬−⎩ ⎭
xx
x
 R. 2, 0,1
3
−∞ − ∩ = φ 
MATEMATICA BASICA I 
91 
d) 
2 6 7 2A R /
1 1
⎧ ⎫− +⎪ ⎪= ∈ ≥⎨ ⎬− −⎪ ⎪⎩ ⎭
x xx
x x
 
 2 3B R /
4 6
⎧ ⎫− +
= ∈ ≤⎨ ⎬+ −⎩ ⎭
x xx
x x
 R ] { }, 3 6− ∞ ∪ ∩ + ∞ . 
e) 
3 3
2 2
2 4A R /
1 2
⎧ ⎫− −⎪ ⎪= ∈ <⎨ ⎬+ +⎪ ⎪⎩ ⎭
x xx
x x
 
 
4 22 8B R / 0
2
⎧ ⎫⎛ ⎞− −⎪ ⎪= ∈ ≤⎨ ⎬⎜ ⎟−⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
x xx x
x
 
 
 
3.8. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA 
Postulado de Cantor – Dedekind: 
“Los puntos de una recta orientada son coordenados o está en 
correspondencia binómica con los reales”. 
 
 
Esta correspondencia permite aplicar los métodos del Análisis a la 
Geometría creando asi una relación entre estas ramas 
matemáticas que se conoce como: Análisis y Geometría o con 
mayor propiedad Geométrica Analítica. 
 
Correspondencia que permitirá, por ejmplo: usar con ventaja: 
métodos algebraicos para resolver probelmas geométricos, e 
inversamente usar representaciones geométricas de ecuaciones y 
relaciones funcionales. 
 
MATEMATICA BASICA I 
 
92 
 
Los sistemas de coordenadas fueron introducidos por el filósofo-
matemático francés René Descartes en 1637. Por ello es que 
también se llama la Geometría Analítica como la Geometría 
Cartesiana. 
 
Para introducir esta rama matemática a un problema geométrico, 
un buen plan es primero, trazar un sistema apropiado de 
coordenadas. 
 
A continuación trataremos algunos problemas básicos 
geométricos con ayuda de la Geometría Analítica. 
 
3.9. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 
3.9.1 Proposición 12. La distancia d entre 2 puntos P1(x1 , y1) y 
P2(x2 , y2) está dado por la fórmula: 
( ) ( )2 22 1 2 1d y y x x= − + − 
 
En efecto: 
En el triángulo recto P1 Q P2, 
El teorema de Pitágoras 
asegura que: 
( ) ( )2 22 2 1 2 1d y y x x= − + − 
x2-x1 
MATEMATICA BASICA I 
93 
Sacando la raíz cuadrada positiva: 
( ) ( )2 22 1 2 1d y y x x= − + − 
 
3.10 SISTEMA CARTESIANO DEL PLANO 
Hemos estado viendo problemas sobre rectas. Para analizar 
diversas relaciones sobre el plano debemos introducir un sistema 
apropiado. 
 
El sistema cartesiano plano es la intersección de 2 rectas 
orientadas perpendiculares de conformidad a la figura: 
 
Cada punto del plano tiene 2 
coordenadas: una sobre el eje 
horizontal X, la abcisa, y otra sobre 
el vertical Y, la ordenada. Pasemos a 
ver diversos casos: 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS N°04 
1. Verificar que los puntos A(3,8) , B(–11,3) y C(–8, –2) son los 
vértices de un triángulo isósceles. 
2. Verificar que los puntos A(7,5) , B(2,3) y C(6,–7) son los vértices 
de un triángulo rectángulo. 
3. Determinar un punto que equidiste de los puntos A(1,7), B(8,6) y 
C(7,–1). 
4. Verificarque los puntos A(2,4) , B(8,6) y D(4,8) son los vértices de 
un paralelogramo. 
y 
MATEMATICA BASICA I 
 
94 
 
3.11. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA 
3.11.1 Proposición 13. Si P1(x1 , y1) y P2(x2, y2) son los extremos 
de un segmento ; las coordenadas (x,y) de un punto P que 
divide a este segmento en la razón dada. 
 
2
1
PP
PPr = son 1r;
r1
ryyy,
r1
rx 2121 −≠
+
+
=
+
+
=
xx 
 
Prueba: 
- Por los puntos P1, P2 , P tracemos perpendiculares a los 
ejes coordenados. 
- Por Geometría Elemental, las tres paralelas P1 A1, PA y 
P2 A2 interceptan segmentos proporcionales sobre las dos 
transversales P1P2 y A1A2. Por lo tanto: 
 
 )(
AA
AA
PP
PPr
2
1
2
1 α== 
 
Las coordenadas de los pies de la 
perpendicular al eje X son A1(x1,0), 
A(x,0) y A2(x2,0). 
Luego: xxxx −=−= 2211 AA;AA 
En: 
( ) 1r;
r1
r
xr 21
2
1 −≠
+
+
=→
−
−
=α
xx
xx
xx 
P
MATEMATICA BASICA I 
95 
De manera similar, podemos comprobar 
 1r;
r1
ryyy 21 −≠
+
+
= 
 
3.11.2 Observaciones: 
1. Si r > 0, el punto P es interno al segmento dirigido . 
2. Si r < 0, el punto P es externo al segmento dirigido 
(pero siempre en la recta que contiene al segmento). 
a) Estará más cerca al punto P1 si | r | < 1. 
b) Estará más cerca al punto P2 si | r | > 1. 
3. En el caso particular en que r = 1, tenemos el siguiente 
corolario: 
Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido 
cuyos puntos extremos son: (x1 , y1) y (x2 , y2) esta dado 
por: 
1 2 1 2y y, y .
2 2
+ +
= =
x xx 
 
EJERCICIOS PARA RESOLVER 
1. El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremo los 
puntos A(2,-1) y B(-1,2), y los lados iguales miden 17 unidades. 
Hallar el vértice opuesto al lado desigual. 
2. Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo sabiendo 
que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son 
(-2,1), (5,2) y (2, -3). 
3. Dos vértices de un triángulo equilátero son los puntos A(1,0) y 
B(–1, 32 ). Hallar las coordenadas del tercer vértice C(x,y). 
MATEMATICA BASICA I 
 
96 
 
4. Hallar las coordenadas de un punto P(x,y) que divida al segmento 
P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en la razón 
2
1
PP
PPr = . 
donde: 
a) P1(4,–3) , P2(1,4) , r = 2 
b) P1(5,3) , P2(-3,–3) , r = 1/3 
c) P1(0,3) , P2(7,4) , r = –2/7 
d) P1(–5,2) , P2(1,4) , r = -5/3 
e) P1(–2,1) , P2(3,-4) , r = –8/3 
 
3.11.3 Área de Polígonos de lados rectos. Los vértices de un 
triángulo orientados en sentido antihorario son (x1,y1), 
(x2,y2) y (x3,y3). Entonces el área del triángulo cuyos 
vértices son dados es: 
 
 
 
 
 
 
 
y
A y
y
Δ =
x
x
x
1 1
2 2
3 3
1
2
; la mitad del valor del arrego. 
 
El valor dado de arreglo se obtienen adjuntado x, y, luego hay 3 
flechas hacia abajo positivas y las 3 flechas hacia arriba 
MATEMATICA BASICA I 
97 
(punteadas) negativas. Se hace las operaciones y al final se toma 
la mitad del valor absoluto: 
 
 = ( ) ( )x y x y x y x y x y x y+ + − + +1 2 2 3 3 1 1 3 3 2 2 1 
 
Ejemplo: 
Los vértives de un triángulo son <-3,0>, <-8,-7> y<-8,0> 
¿Cuál es su área? 
El valor del área es: 
 
1
2
 ( ) ( )= + + − + +1 21 0 0 0 56 0
2
 
 .= − =1 21 56 17 5
2
 
Sólo se ponen las flechas a la derecha. 
 
Nota.- En esta forma, la fórmula se puede generalizar para hallar 
el área de cualquier polígono. Se puede comenzar de cualquier 
vértice y en cualquier sentido teniendo cuidado de no saltarnos. 
 
Para 4 lados o cuadriláteros: 
 
1 1
2 2
3 3
4 4
x y
x y1A
x y2
x y
= 
MATEMATICA BASICA I 
 
98 
 
Ejemplos: 
1. Determinar el área: 
 
 
 Del triángulo DCE: 
A = 1
2
 = [ ]+ + − + + =( ) u21 3 30 9 6 9 15 6
2
 (3 obticuas) 
 
 Del rectángulo ABCD: 
A = 1
2
 = ( )⎡ ⎤+ + + − + + + =⎣ ⎦ u2
1
1 15 15 1 3 3 5 5 8
2
 (4 obticuas) 
 
 Del pentágono ABCED 
A = 1
2
 = ( )⎡ ⎤+ + + + − + + + + =⎣ ⎦ u2
1
1 15 30 9 1 3 6 9 5 5 14
2
 
(5 obticuas) 
MATEMATICA BASICA I 
99 
2. Área de la figura ABCDE que debe dar aproximadamente 1
4
 de 
circulo de radio1: aprox. π
4
. 
 
 
Área de polígono = Ap inscrito en el 1
4
 de círculo. 
 
Ap = 1
2
 = ⎡ ⎤+ + − = =⎢ ⎥⎣ ⎦
1 1 3 1 1 6 3
2 2 4 2 4 8 4
 
 = .3 0 75
4
 
 π = .0 785
4
 área 1
4
 de círculo 
 de radio 1 
 
EJERCICIOS PARA RESOLVER 
1. Hallar el área de los polígonos cuyas coordenadas de los vértices son: 
a) (2,5) , (7,1) , (3,-4) y (-2,3) R. 39.5u2 
b) (0,4) , (1,-6) , (-2,-3) y (-4,2) R. 25.5u2 
c) (1,5) , (-2,4) , (-3,-1) , (2,-3) y (5,1) R. 40u2 
d) (1,1), (7,1), (7,3), (7,6) y (1,3) R. 21u2 
e) (-4,2), (-6,-2), (-2,-8), (5,-9), (10,-2) y (5,6) R. 153u2 
1
3
2
1
2
0
0
0 0
0
1
2
3
2
1
0
MATEMATICA BASICA I 
 
100 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
1. Hallar las coordenadas del baricentro de un triángulo cuyos 
vértices son A(x1 , y1), B(x2 , y2), C(x3, y3) 
 
Solución 
Las medianas de un triángulo se cortan en un punto P(x,y) 
llamado baricentro, situado de los vértices a 2/3 de la distancia de 
cada uno de ellos al punto medio del lado opuesto. 
Consideramos la mediana APD, siendo D el punto medio de BC. 
Las coordenadas de D son 2 3 2 3x x y y,
2 2
+ + 
Como AP 2
AD 3
= 
resulta AP 2r 2
PD 1
= = = 
2 3
1
1 2 3
2
2
1 2 3
+⎡ ⎤+ ⎢ ⎥ + +⎣ ⎦= =
+
x xx
x x xx 
2 3
1
1 2 3
y yy 2
y y y2y
1 2 3
+⎡ ⎤+ ⎢ ⎥ + +⎣ ⎦= =
+
, 
 
luego las coordenadas del baricentro son 
1 2 3 1 2 3y y yP ,
3 3
+ + + +⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
x x x 
 
D P 
A(x1,y1) 
MATEMATICA BASICA I 
101 
2. Hallar las coordenadas del baricentro de los triángulos cuyos 
vértices son: 
a) (5,7) , (1 ,–3) y (–5,1) 
b) (2,–1) , (6,7) y (–4,–3) 
c) (3,6) , (–5,2) y (7,–6) 
d) (7,4) , (3,–6) y (–5,2) 
e) (-3,1) , (2,4) y (6,–2) 
 
3. Demostrar que los 3 puntos siguientes son colineales: 
A(–3,–2) , B(5,2) y C(9,4) 
Debe de verificar que el área de los 3 puntos es 0. 
 
3.12. ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA Y PENDIENTE DE 
UNA RECTA 
3.12.1 Definición. Si L es una recta que pasa por el punto 
P0(x0,y0), entonces el ángulo θ formado por la recta L y el 
eje x positivo en sentido antihorario se llama ángulo de 
inclinación de L. Variación de θ es °≤θ≤ 1800 . 
 Llamaremos pendiente de una recta L a la tangente de su 
ángulo de inclinación y denotaremos por mL = tan θ . 
3.12.2 Observaciones: 
Si 90 0θ < ⇒ >Lº m 
Si 90 0θ > ⇒ <Lº m 
Si 90= ⇒ → ∞Lº mθ 
MATEMATICA BASICA I 
 
102 
 
Proposición 14. La pendiente de una recta L que pasa por los 
puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) está dado por 
−
= ≠
−
2 1
L 2 1
2 1
y ym ; x x
x x
. 
La prueba de deja como ejercicio. 
 
3.12.3 Rectas paralelas; perpendiculares: 
1. Dos rectas L1 y L2 no verticales son 
paralelas si y sólo si m1 = m2. 
 
En efecto: 
 Si L1 // L2 1 2 1 2α α α α→ = → =tan tan 
 i – e = m1 = m2. 
 
2. Dos rectas son perpendiculares . 1 2m ,m 1↔ = − 
Esto es, si los ángulos de inclinación son x y θ, se 
tiene: 
 90θ α= +º 
- ( )90θ α= +tan tan º 
- 1−= − =tan cot
tan
θ α
α
 
tanα tanθ = –1 
esto es: m1 . m2 = –1 
MATEMATICA BASICA I 
103 
 
3.12.4 Ángulo entre 2 rectas 
Supongamos que tenemos 2 rectas 
L1 y L2 que se cortan y queremos la 
medida del ángulo que forman. 
Sean las pertinentes según figura: 
m1 = tan β 
m2 = tanθ 
tg tgtg
1 tg tg
θ − β
θ = α + β → α = θ − β → α =
+ θ β
 
2 1
2 1
2 1
m mi e tg ; m m 1
1 m m
−
− α = ≠ −
+
. (Suponemos que las 
rectas no son perpendiculares, este es πα ≠
2
) 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
1) El área de un triángulo es 8 und2 y los vértices son los puntos A(1, -2), 
B(2, 3) y el tener vértice C esta en la recta 2x + y – 2 = 0. 
Determinar las coordenadas del vértice C. 
Solución: Cómo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
B(2, 3)