Mecánica - Libro III

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9 7 8 6 0 7 2 0 0 0 9 0 2
ISBN 978-607-2-00090-2
*Edit002060*Pub0125659*
Temas de física
Mecánica
Libro 3
SISTEMAS DINÁMICOS
Mecánica
Libro 3
Fermín Alberto Viniegra Heberlein
SISTEMAS DINÁMICOS
FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM
Mécanica. Libro 3
1a edición, 21 de agosto de 2009
Facultad de Ciencias
Circuito exterior s/n
Ciudad Universitaria, C.P. 04510. México , D.F.
cse@fciencias.unam.mx
ISBN obra completa: 978-970-32-4498-0
ISBN libro 3: 978-607-2-00090-2
Diseño de portada: Laura Uribe
Tipografía y figuras: Mauricio Vargas Díaz
Impreso y hecho en México
D.R. © Universidad Nacional Autónoma de México
A la memoria de mi madre
Anna Helene Heberlein Lang
(1910-1967)
PREFACIO
Este es el tercer libro de la serie de mecánica que se publica en la Facultad
de Ciencias. Como en los anteriores, para la escritura de éste, unas mo-
destas notas de clase se convirtieron en compilaciones, para finalmente
constituirse en textos serios y formales. Con la publicación de estos tres
libros se han venido a materializar muchos años de experiencia docente
y constituyen la expresión del deseo de contribuir con mi granito de are-
na al mejoramiento de la enseñanza y a la divulgación de la física en la
unam.
Un día, allá por los años setenta del siglo pasado, recibí un recado que
me envió el profesor Juan de Oyarzabal, que a la sazón era coordinador
de la carrera de física en la Facultad de Ciencias de la unam, pidiéndome
que fuera a verle. En cuanto me presenté con él me explicó el motivo de la
entrevista; me dijo, palabras más, palabras menos, que después haber im-
partido durante tanto tiempo el curso de Física Teórica I (mecánica clási-
ca) se sentía cansado, así que estaba pensando en cambiar y ofrecer otros
cursos en la propia Facultad por lo que deseaba que aquella materia fuese
impartida por mí en adelante.
Yo creo que a lo largo de nuestra vida como estudiantes, ha habido al-
gunas personas que de una u otra forma han influido en nosotros y segu-
ramente lo que hemos llegado a ser tiene su marca. Juan de Oyarzabal
fue uno de esos personajes que influyeron muy intensamente en mi for-
mación, tal vez sin que él mismo se hubiera percatado de ello. Su actitud
de permanente curiosidad por la física, su deseo de saber cada vez más, de
explorar nuevos conocimientos, fueron para mí poderosos estímulos, con-
ductas que quise hacer mías para el futuro y llegar a ser, académicamen-
te, un poco como él. La forma de dar sus clases, de preparar ejemplos
atractivos, ingeniosos, didácticos, es algo que he tratado de emular a lo
largo de mi vida como profesor. No me cabe duda que Don Juan, como
le llamábamos con afecto y admiración, ha sido uno de los profesores que
mayor huella dejaron en mi persona.
vii
Por supuesto, cuando mi profesor me ofreció la estafeta para que yo
continuara ofreciendo el curso que había sido de él, acepté de inmediato y
me dediqué a confeccionar uno que tuviese el sello de Juan de Oyarzabal.
Aquella invitación ha representado para mí un honor que siempre habrá
de estar presente en mí y un compromiso de ofrecer a mis estudiantes,
en la medida de lo posible, un cuerpo completo de conocimientos actua-
lizados y de calidad, en el tema de la mecánica clásica.
Nuevos planes de estudio han sido creados para mejorar la enseñanza de
la física; nuevos nombres se han dado a muchas de las materias que hoy
constituyen el currículo de la licenciatura, pero aquellas que se imparten
bajo el gran tema de la mecánica clásica, como la Mecánica Analítica, si-
guen exhibiendo una estructura general que conserva el formato de las cla-
ses que nos dio aquel personaje a los afortunados que pasamos por su aula.
En este tercer volumen presento los dos temas que a mi entender forman
la corona de la mecánica: la formulación de Hamilton y la mecánica analí-
tica de los fluidos. La primera constituye la más profunda concepción del
fenómeno de la dinámica, basada en las ideas de Sir William Rowan Ha-
milton, en el siglo xix, acerca del espacio de las fases, así como de la dinámi-
ca, entendida como un campo físico que permea a todo ese ámbito. Esta par-
te culmina con la formulación de las series de Lie y la llamada ecuación de
Hamilton-Jacobi, así como las soluciones en series de perturbaciones; tan-
to las dependientes del tiempo, como las independientes del tiempo. Por su
parte, la mecánica analítica de los fluidos, si bien comenzó a exponerse en
el libro 2, se presenta aquí como una estructura teórica completa, mas no
cerrada, dentro de la ideología hamiltoniana. Con el material del tercer
libro de la serie Mecánica, puedo decir que el tour que inició con la formu-
lación de Newton y continuó con la de Lagrange, Euler y d’Alembert, ha
concluido, regresando a su punto de partida, mostrando que este tema
es una formidable tautología, estupendamente hilvanada.
Igual como ocurrió con los primeros volúmenes de esta colección, debo
decir que Mecánica. Libro 3 no hubiera podido materializarse sin el concur-
so de una buena cantidad de personas que directa o indirectamente par-
ticiparon en su creación. En primer lugar debo reconocer a los dos o tres mil
estudiantes que han acudido a escuchar mis clases a lo largo de tantos años
que llevo ofreciendo estos cursos; muchos jóvenes brillantes que en ocasio-
nes, con sus preguntas, me han hecho estudiar buscando las respuestas. Sus
nombres se han borrado de mi memoria, pero aún recuerdo sus rostros y
Prefacio
viii
sus comentarios. Debo reconocer también el fatigante trabajo realizado
por colaboradores que se dedicaron a transcribir mis notas a medios elec-
trónicos, como fueron la señorita Rosa de la Cruz Ramírez Rosas, “Rosy” y
el señor Benito Guadalupe Cruz. Debo agradecer muy sinceramente a la
señora Martha Pöhls Padilla, mi gran amiga de toda la vida, su paciencia y
dedicación en la revisión y corrección del trabajo. Muy especialmente debo
dar las gracias por todo el trabajo de hacer y rehacer los tres volúmenes,
con sus comentarios y críticas a la doctora en ciencias Barbarela Dávila Car-
mona. Asimismo, quiero dejar aquí constancia de mi más profundo agra-
decimiento al doctor Ricardo Vera Graziano, actual director del Instituto de
Investigaciones en Materiales de la unam, cuando en su calidad de Coor-
dinador del Posgrado en Ciencias e Ingeniería de los Materiales aportó
una invaluable ayuda material para la publicación de esta colección. No
puedo dejar de reconocer tampoco el apoyo y la ayuda que recibí de la
dirección de la Facultad de ciencias y, sobre todo, estoy muy agradecido
al Programa de Apoyo a Proyectos para la Innovación y el Mejoramiento de
la Enseñanza, papime, que me ha otorgado el financiamiento para la pu-
blicación de esta obra. Y ya para terminar, quiero expresar el agradeci-
miento que debo a mi más joven amiga, la psicóloga Mercedes Perelló Valls,
quien, siempre entusiasta, me ha dado su apoyo y estímulo desde la Coor-
dinación de Servicios Editoriales de la Facultad de Ciencias.
Ciudad Universitaria, Distrito Federal, otoño de 2009
Fermín Alberto Viniegra Heberlein
Prefacio
ix
CONTENIDO
Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
9. Formalismo de Hamilton . . . . . . . . . . . . . 1
9.2. Las ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . 7
9.3. El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos . . . 26
9.4. Las transformaciones canónicas . . . . . . . . . . 56
9.5. Los corchetes de Poisson y las series de Lie . . . . . . 84
9.6. Problemas del capítulo . . . . . . . . . . . . . . 107
10. La formulación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . 113
10.1. La ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . 113
10.2. Teoría de las perturbaciones dependientes del tiempo . . 127
10.3. Método de las variables separables . . . . . . . . . 137
10.5. La teoría de las perturbaciones independientes del tiempo . 164
10.6. Algunas aplicaciones de la teoría de las perturbaciones inde-
pendientes del tiempo . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
10.6.1. Resolución del problema no perturbado . . . . 179
10.6.2. Resolución del problema perturbado . . . . . 182
10.6.3. Resolución exacta del oscilador perturbado . . . 187
10.7. Problemas del capítulo . . . . . . . . . . . . . . 188
11. El formalismo de Hamilton para los fluidos . . . . . 193
11.1. Las ecuaciones de Hamilton para los fluidos . . . . . 193
11.2. El espacio de las fases de los fluidos perfectos . . . . . 221
11.3. Un simple ejemplo de fluidos, usando la formulación de Ha-
milton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
11.3.1 Flujo de un fluido perfecto que fluye sobre una super-
ficie horizontal lisa, en estado estacionario, debido a una pre-
sión aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
11.4. Problemas del capítulo . . . . . . . . . . . . . . 244
xi
Epílogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Índice analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Contenido
xii
CAPÍTULO 9
FORMALISMO DE HAMILTON
9.1. Introducción
Con la mecánica analítica dejó de ser un problema plantear las ecuaciones
diferenciales del movimiento. Anteriormente, con el esquema de Newton,
aún los problemas relativamente simples de la mecánica ofrecían dificulta-
des, a veces infranqueables, sobre todo al momento de considerar las fuer-
zas de constricción.
Con la estrategia de la mecánica analítica, por el contrario, plantear cual-
quier problema se reduce a contar el número de grados de libertad que tie-
ne, como la diferencia de las coordenadas menos las constricciones. Luego,
simplemente se construye la función de Lagrange como otra diferencia: la
energía cinética total del sistema, menos la energía potencial y a continua-
ción se sustituye esa lagrangiana en las ecuaciones de Lagrange correspon-
dientes. Aquí acaba el proceso; el problema ha quedado planteado.
Ahora, para llegar finalmente a las soluciones, es necesario integrar las
ecuaciones diferenciales que se plantearon. En esta cuestión muy poco
puede hacer el formalismo de la mecánica analítica. De hecho, descontan-
do el análisis de las variables ignorables, que es fundamental para descubrir
leyes de conservación y con ellas aligerar la carga de las integraciones;
quitando esta ayuda, nada más puede hacer la teoría de Lagrange para
ayudar a la integración. El problema es ahora de talento y de suerte, pues,
en efecto, grandes cantidades de talento se requieren para realizar esos
procesos de inducción que son las integraciones. Se requieren cambios
de variables además de álgebra en cantidades industriales para culminar con
éxito el proceso. Y también suerte, porque de pronto ocurre que una inte-
gral en apariencia amistosa, se torna una verdadera pesadilla y jamás será
posible concluirla. Los matemáticos han avanzado enormidades en el aná-
lisis y han puesto en manos de físicos e ingenieros sus famosos teoremas
1
de existencia y unicidad de soluciones, pero la verdad es que estas herramien-
tas se tienen dentro de gavetas, guardadas, con un vidrio que las protege del
polvo y que lleva un letrero de “rómpase en caso de emergencia”. Solamente
en esas circunstancias se acude a los libros de análisis y, después de mu-
cho pensar, el pobre científico hace una fuerte aspiración, guarda el resue-
llo y se sumerge desesperado, en los océanos de símbolos extraños y concep-
tos fríos y secos que vienen en tales libros. Muchas veces, después de horas
de concentración y de disciplina espartana, llega finalmente al teorema, al
método que parecía el salvador y se lleva la desagradabilísima sorpresa de
que para el problema particular que tiene y por el cual hizo esa agobiante
incursión en el desierto de las matemáticas puras y abstractas, no se tiene si-
quiera una leve luz que alumbre la salida.
En el otro extremo de las cosas, la mecánica clásica de Newton es un
esquema, una estrategia para atacar los problemas de esa parte de la física
que trata del movimiento de los cuerpos materiales. Su importancia ha sido
suficientemente ponderada a lo largo de este libro y no parece ser necesa-
rio abundar más sobre el titánico paso adelante en el conocimiento de la
naturaleza que representó su estructuración y establecimiento. Pero tam-
bién es necesario aclarar, por el bien de la verdad, que la mecánica clásica
de Newton muy poco sirve para la comprensión del fenómeno de la dinámi-
ca. Newton propone que un cuerpo masivo como el Sol, por el solo hecho
de ser una enorme masa, actúa a distancia sobre otros cuerpos: planetas,
asteroides y cometas. Esta es la interacción gravitacional. Posteriormente y
siguiendo la misma línea de pensamiento, Coulomb propone una “explica-
ción” muy parecida a ésta, para el caso de cargas eléctricas que se ponen,
una en presencia de otras. Pero la esencia de las interacciones; esto es, la
explicación acerca de cómo ocurre la propagación del campo gravitacional
al través del espacio y del tiempo, no pudo ser establecida en forma clara
sino hasta mucho tiempo después; hasta cerca de doscientos años más
tarde, cuando se pudo contar con una teoría de los campos físicos; teoría
como la que se expuso en el capítulo 6 del libro 2 de esta serie.
En este sentido se puede decir que la mecánica clásica de Newton, con
todas sus excepcionales virtudes, no estuvo completa desde su estableci-
miento. Así, no permite comprender el fenómeno de la dinámica: la esen-
cia de las fuerzas, su modo de propagación y la forma como provoca en los
cuerpos materiales los cambios de estados de movimiento. Es incapaz de
describir toda una clase de fuerzas: las fuerzas de constricción. Hace, en ge-
Formalismo de Hamilton
2
neral, muy complicado el planteamiento de los problemas y representa un
severo obstáculo para su resolución al no proponer métodos de integración
de las ecuaciones diferenciales de movimiento. Como una teoría inicial,
como una herramienta con la cual el ser humano pudo por primera vez
abordar sistemáticamente un conjunto de problemas y entender en forma
práctica cómo es el Universo, ha mostrado ser formidable, pero al mismo
tiempo ha exhibido una gran cantidad de debilidades y limitaciones.
Lagrange, con su mecánica analítica, dio un primer paso en ambos senti-
dos: en primer lugar, como ya se mencionó, permitió plantear los proble-
mas de la dinámica en forma expedita y clara. También empezó a vislumbrar
que las fuerzas deben tener ciertos mecanismos íntimos de interacción; por
ejemplo, cuando comienza a asociar las simetrías del movimiento con leyes
de conservación. Pero es necesario recalcar que Lagrange tampoco consi-
guió hacer más fácil la integración de las ecuaciones diferenciales de movi-
miento, ni dar más luz sobre la esencia de la dinámica. En este sentido, la
mecánica analítica de Lagrange no fue sino un paso más —muy necesario
por cierto— en la larga jornada de la búsqueda del conocimiento.
De hecho, la aventura no ha terminado aún. Las fuerzas de la naturaleza
han podido ser clasificadas y, según se sabe hoy en día, no hay más de cua-
tro, o tal vez cinco tipos esencialmente distintos de interacciones en todo el
Universo, comenzando con la más débil de todas; la interacción gravitacio-
nal; esa que requiere de cuerpos gigantescos para apenas manifestarse,
siguiendo con la llamada interacción electro débil, que es la que se observa en
el fenómeno de la desintegración beta, cuando el núcleo de algún átomo emi-
te electrones (partículas beta) y neutrinos y se transmuta en otro elemento
de la tabla periódica con un peso atómico mayor. En ese orden, le sigue la
interacción electromagnética, que ocurre por el intercambio de fotones, y lue-
go vienen las interacciones fuertes, que son las que ocurren en los núcleos ató-
micos; son fuerzas de gran intensidad pero de muy corto alcance que son
las responsables de mantener los núcleos delos átomos compactos e imper-
meables al paso de otros cuerpos, oponiéndose a las fuerzas de repulsión
electrostática entre los nucleones. Recientemente se ha sugerido que puede
existir un quinto tipo de interacción que es la llamada bosónica. Esta,
de comprobarse su existencia, permitiría explicar aquellos vínculos que, se
sospecha, ocurren entre ciertas partículas nucleares con espín entero.
Lo cierto es que hasta la fecha aún quedan muchas dudas; muchas pre-
guntas por contestar acerca de las interacciones. ¿Cómo es que, por ejemplo,
Introducción
3
un quantum; una madeja de ondas, adquiere esa cualidad que se llama
“masa” y de qué manera ésta de pronto atrae a otras madejas ondulatorias
que andan por ahí cerca? ¿De qué está hecha, en su más prístina esencia,
eso que se llama carga eléctrica?
Con los modernos, cuanto gigantescos aceleradores de partículas sub-
atómicas; esos toroides magnéticos que se encuentran en las entrañas de
la Tierra, abarcando un área de cientos de kilómetros cuadrados. Tan gran-
des que ocupan parcialmente el subsuelo de dos países: Francia y Suiza, y
en cuyos interiores se aceleran protones a tan altas energías, que sus efec-
tos relativistas, como el aumento de su masa inercial alcanzan valores
enormes; de decenas de kilogramos, cuando en reposo no llegan a 10�27.
Con esos aceleradores se espera provocar colisiones frontales de esas par-
tículas que, literalmente, las desintegren y solamente queden los más
básicos componentes de la materia. Así, buscando en las entrañas de los
protones, después de despanzurrarlos, se espera encontrar aquello que,
cuando forma parte de una de esas partículas subatómicas, le imprime la
característica de tener masa, o carga eléctrica o espín y que al no estar
presente, da como resultado un corpúsculo sin masa, como el fotón, o sin
carga eléctrica, como el neutrino, o sin espín.
Pacientemente, un viejito excéntrico y un tanto misántropo de apellido
Higgs, que hace unos veinte años propuso sus ideas sobre los parámetros
esenciales de la materia; espera al cartero y atisba en su computadora dia-
riamente, allá en las lejanas tierras de Albión, para ver si recibe desde Fran-
cia el deseado mensaje, informándole que su bosón; el mentado bosón de
Higgs; la más escurridiza de todas las partículas, la causante de las propie-
dades básicas de las interacciones entre los cuerpos, al fin fue descubierta
como resultado de una de esas colisiones monumentales.
Inquietos, a unos mil kilómetros de distancia de Dublín, un grupo de
burócratas esperan también esa noticia, para iniciar el proceso que habrá
de culminar con la ceremonia donde el Rey Gustavo de Suecia le dé a
Higgs y a sus colaboradores el Premio Nobel de Física, antes de que el po-
bre viejo pase a mejor vida.
De todos modos, bien sea que se descubra el dichoso bosón de Higgs, o
no, su existencia es, para la mecánica, de muy dudosa importancia. En todo
caso, quienes van a saltar de júbilo cuando se descubra, serán los físicos
nucleares o subnucleares y los militares. Los primeros, porque con ese
hallazgo quizá puedan, ahora sí, proponer un esquema unificador de las
Formalismo de Hamilton
4
interacciones que lleve a colocar las piezas que faltan en el rompecabezas de
la formación del Universo, de la genealogía de las partículas y de la explica-
ción elemental del concepto de energía. ¡Casi nada falta! A los militares,
les ha de dar un gustazo el saber que ya podrán fabricarse nuevas armas,
muchísimo más potentes que las anteriores, que dejen a las bombas de
hidrógeno obsoletas y sea posible matar más eficientemente y a menor
costo a más seres humanos. Imagínese si no va a ser atractivo cargar en la
cabeza de un misil intercontinental, teledirigido, decenas de pequeñas y
livianas ojivas con bombas de bosones de Higgs que conviertan en pomada
otras tantas ciudades atiborradas de millones de indeseables musulmanes,
o comunistas o negros, o tercermundistas.
En todo caso, las interacciones elementales, como es el caso de las fuer-
tes, que ocurren en los núcleos de los átomos, o las electro débiles, que
son responsables por la transmutación de algunos elementos, o bien las
bosónicas —si es que en verdad existen en la naturaleza—, no se observan
a escalas de milímetros o mayores; o bien, no son importantes para alterar
el estado de movimiento de cuerpos materiales macroscópicos. Su alcance
es tan pequeño que no se hacen notables a distancias mayores de unos cuan-
tos centésimos o tal vez milésimos de milímetro. Las otras, como la inter-
acción gravitacional, o la electromagnética, sí son del interés de la mecánica
clásica, porque son fuerzas perceptibles a escalas mucho mayores; incluso
a distancias galácticas; de modo que éstas si hay que tomarlas en cuenta
para describir a las causas de los cambios en los estados de movimiento de
los cuerpos. Sin embargo, no es preciso conocer su esencia última. Así, si
en verdad la interacción entre un electrón y un protón ocurre por la inter-
mediación de un bosón de Higgs, o no, es algo que a la mecánica clásica la
tiene sin cuidado.
Lo que, en cambio, podría interesar a esta teoría, es una explicación
(profunda y convincente), acerca de cómo un cuerpo que posee masa, es
capaz de hacer sensible su presencia a muchos kilómetros de distancia,
modificando de modo muy preciso el movimiento de otros, aún cuando
entre él y los demás cuerpos sólo haya vacío de por medio. Sería muy im-
portante para la dinámica tener un modelo con el cual se comprendiera
ese transporte de información que ocurre al darse un cuerpo generador
de interacciones y otro receptor de ellas. Bueno, ese modelo, si bien rudi-
mentario, es el que se conoce como la teoría clásica de campos; ese tema
que fue desarrollado en el capítulo 6 del Libro 2.
Introducción
5
El 4 de agosto de 1805, nació en Irlanda quien habría de asestar a la
mecánica clásica un empujón colosal que la proyectaría a las alturas. Su
nombre fue William Rowand Hamilton. Ese nombre ya ha sido menciona-
do a lo largo de este trabajo en relación con un postulado básico de la física;
el principio de Hamilton, con el cual ha sido posible sintetizar las ecuacio-
nes de movimiento de los cuerpos materiales macroscópicos, así como las
ecuaciones diferenciales que describen las conductas de los campos físi-
cos al propagar sus efectos por el espacio. Entonces, cuando se tuvo que
invocar al principio de Hamilton, se vio su profundidad y se pudo apreciar
el genio de quien lo postuló.
Pero sería impropio e injusto saber de Hamilton únicamente por su
principio. No es que se quiera minimizar su alcance, ni mucho menos. Por
el contrario, es indispensable en este punto del desarrollo del tema traerlo
a cuento y mencionar todas sus aportaciones a la mecánica. Más bien
resulta aquí oportuno mencionarlo como el genio del siglo xix; el que
penetró más que cualquiera de sus predecesores y que ninguno de los que le
siguieron en esa centuria, en los secretos de las interacciones.
Y quizá la mejor forma de ponderar la genialidad de Hamilton sea re-
visando su trabajo desde un punto de vista crítico. Y tal vez la más sencilla
de abordarlo sea regresando un poco, hasta el capítulo 6, cuando se trató el
asunto de las variables ignorables de la lagrangiana. Como se recordará,
en aquel momento del desarrollo de la mecánica analítica se investigó lo
que ocurre cuando algunas variables; es decir, las coordenadas generaliza-
das de un sistema de N partículas, sujeto a l constricciones holonómicas, no
aparece explícitamente en la función de Lagrange. Se vio entonces que,
asociada a cada coordenada ignorable, aparece una ley de conservación: la
del momento canónicamente conjugado de esa coordenada. En ese momen-
to, cuando se encontró por primera vez una relación directa entre una si-
metría del sistema mecánico al moverse por el espacio y una ley de conser-
vación, en forma casi simultanea se le ocurrió a una gran cantidad de noveles
físicos de la época que si el parámetro tiempo se consideraba una coorde-
nada generalizada más y estavariable, por razones de una simetría temporal
del sistema, resulta ser “ignorable”, en el mismo sentido que lo es una coorde-
nada generalizada; esto es, que no aparece explícitamente en la lagrangiana,
entonces, asociada a ella, debería igualmente aparecer una ley de conser-
vación: la ley de conservación del momento canónicamente conjugado al
tiempo. Y resultó que, en efecto, si el tiempo es ignorable (esto es que el mo-
Formalismo de Hamilton
6
vimiento ocurre en forma estacionaria o permanente), entonces existe; se
da, mejor sea expresado, una ley de conservación. Pero eso que es el momen-
to canónicamente conjugado al tiempo, resultó ser una función bastante
peculiar; la llamada función de Hamilton o hamiltoniana del sistema. Esta
función fue definida en (6.78) y algunas de sus propiedades se estudiaron
entonces. Pero ahora es momento apropiado para terminar con esta ya
larga introducción y comenzar con una nueva sección del libro, justo en el
punto que aquí se ha alcanzado: la hamiltoniana.
9.2. Las ecuaciones de Hamilton
Recordando lo que se vio en el capítulo 6, la hamiltoniana es una función
del estado dinámico que se define, a partir de la lagrangiana L(q,q�,t) como
(9.1)
donde las p´s representan a los momentos canónicos conjugados de las
coordenadas generalizadas q, definidos como
(9.2)
es decir, como las derivadas de la función de Lagrange con respecto a las ve-
locidades generalizadas q� k.
En la fórmula (9.1) se ha adoptado la convención de índices repetidos
para denotar una sumatoria. En este caso la suma “corre” desde el valor uno,
hasta 3N�l, que es el número de grados de libertad que tiene un sistema
de N partículas que se mueven en el espacio de 3D, sujetas a l constriccio-
nes holonómicas.
Si se calcula la diferencial de la hamiltoniana (9.1), se tiene que:*
(9.3)
Las ecuaciones de Hamilton
7
* Aquí, nuevamente, se acepta la convención de Einstein sobre índices repetidos que
se ha utilizado en los libros anteriores.
Pero, por definición de los momentos generalizados, se puede notar
que en (9.3) el primero y el cuarto término del desarrollo se cancelan, así que
lo que sobrevive es lo siguiente:
(9.4)
En (9.4) la función hamiltoniana muestra que no depende de las veloci-
dades generalizadas. Lo que queda en esta fórmula muestra que esta función
depende de las coordenadas generalizadas, de los momentos generalizados
(como también se conoce a los momentos canónicamente conjugados) y del
tiempo; esto es:
(9.5)
ya que al desarrollar su diferencial han aparecido sumas de productos de
ciertos coeficientes, multiplicados por las diferenciales de q´s, de p´s y del
tiempo únicamente. Para que esta dependencia quede absolutamente cla-
ra, se puede desarrollar la diferencial de (9.5), en este caso:
(9.6)
Ahora, identificando término a término de (9.4) y (9.6), se obtiene que:
(9.7)
(9.8)
(9.9)
Las anteriores, son las condiciones diferenciales que debe satisfacer la
función de Hamilton para que 1) sea en verdad función de q´s, p´s y t y,
2) que provenga de la lagrangiana, de acuerdo con la fórmula (9.1).
Formalismo de Hamilton
8
Las ecuaciones de Hamilton
9
Más aún, si la función de Lagrange L(q,q�,t) satisface las ecuaciones dife-
renciales
(9.10)
correspondientes a un sistema de N partículas, sujeto a l constricciones holo-
nómicas y además está sujeto a la acción de fuerzas generalizadas no con-
servadoras Qk, entonces, despejando de (9.10) la derivada de la lagrangiana
con respecto a las coordenadas generalizadas y sustituyendo en (9.7), se
obtiene junto con (9.8) un juego de expresiones muy interesantes:
(9.11 a)
(9.11 b)
Estas son 6N�2l ecuaciones diferenciales ordinarias, acopladas, de pri-
mer orden en las coordenadas generalizadas y en los momentos generaliza-
dos. Dada la hamiltoniana, se calculan sus derivadas con respecto a las coor-
denadas generalizadas y los momentos canónicos conjugados de ellas y cada
una de estas primeras derivadas se igualan a las correspondientes derivadas
de momentos y coordenadas, tal como se indica en (9.11); así se plantean
estas ecuaciones diferenciales ordinarias. Integrándolas lo que se consigue
son las expresiones para las coordenadas y los momentos, como funciones
del tiempo:
(9.12 a)
(9.12 b)
Un ejemplo muy sencillo; casi trivial puede ayudar a comprender las
afirmaciones anteriores. Considérese el caso de un cuerpo con masa m, que
cae desde una cierta altura h debido a la acción de la gravedad. Si se des-
precia la fuerza de fricción del aire, se puede plantear el problema así: su fun-
ción lagrangiana se construye de inmediato para un grado de libertad:
(9.13)
Por lo tanto, el (único) momento canónico conjugado a la coordenada
x es:
(9.14)
Entonces, siguiendo la definición (9.1), se construye la función de Ha-
milton como sigue:
(9.15)
Ahora, calculando las derivadas de la hamiltoniana con respecto a la coor-
denada x y con respecto al momento p, tal como se indica en las fórmulas
(9.11 a) y (9.11 b), para el caso en que la fuerza generalizada no conserva-
dora Qk es igual a cero, se plantean las ecuaciones diferenciales ordinarias
siguientes:
(9.16 a)
(9.16 b)
Si se integra la primera de estas ecuaciones diferenciales; la (9.16 a), se
consigue inmediatamente que:
Así que imponiendo la condición inicial de que en el instante t0 igual a
cero, el momento p0 tenía el valor cero, se tiene una solución:
(9.17)
Formalismo de Hamilton
10
Se puede sustituir ahora el resultado (9.17) en la ecuación diferencial
(9.16 b) y en tales circunstancias se puede integrar
dando como resultado el siguiente:
(9.18)
que, como se recordará, es, en efecto, la expresión matemática que describe
la caída de un cuerpo que parte del reposo a una altura h, actuado por la gra-
vedad terrestre.
Con este sencillo ejemplo se ha mostrado como el sistema de ecuaciones
diferenciales acopladas, de primer orden, como (9.11), permite hallar las
ecuaciones de movimiento de los cuerpos materiales, urgidos por fuerzas,
en el espacio de configuración del sistema.
A las expresiones (9.11) se les conoce como las ecuaciones de Hamilton y
con el ejemplo anterior ha quedado claro que se trata de un sistema de ecua-
ciones diferenciales de movimiento de los cuerpos. Es otra alternativa di-
ferente a las ecuaciones diferenciales de Lagrange.
Como se aprecia, por su estructura, las ecuaciones diferenciales de Hamil-
ton son de primer orden, así que se puede decir que se trata de la linealiza-
ción de las ecuaciones de Lagrange que, como se recordará, son de segundo
orden. Por la misma razón, el número de ecuaciones diferenciales se ha du-
plicado, pues en tanto que para Lagrange hay 3N�l, en el caso de Hamilton
hay 6N�2l ecuaciones diferenciales.
Podría generarse la idea, a partir de las consideraciones anteriores, que las
ecuaciones diferenciales de Hamilton son más sencillas, desde el punto de
vista de su resolución. Como se recordará, existen por allí teoremas de la ma-
temática que aseguran que toda ecuación diferencial ordinaria de primer
orden es integrable, así que, tratándose, como se ve, de un sistema de ecua-
ciones diferenciales de primer orden, que son ordinarias, se podrá inferir que,
en efecto, la formulación de Hamilton ofrece como ventaja sobre la de New-
ton o la de Lagrange, que es más sencilla para su manipulación y resolu-
ción. Esto no es verdad en general. Por el contrario, para la mayoría de los
problemas de la mecánica que se abordan, la integración de las ecuaciones
Las ecuaciones de Hamilton
11
diferenciales de Hamilton es algo que dista mucho de ser fácil. Esto se debe
a que el sistema de ecuaciones diferenciales casi siempre exhibe un gran
acoplamiento; es decir, no es posible resolver una ecuación diferencial de
Hamilton por separado de las demás, porque las variables están, en efecto,
muy estrechamente acopladas entre sí, de manera que la única forma de
resolver el problema, es tratar de integrar al sistema de ecuaciones diferen-
ciales completo; todas a la vez. Esto complica su resolución.Sin embargo,
como se verá más adelante, la formulación de Hamilton es fundamental
para comprender profundamente el fenómeno de la dinámica.
Igualmente se podría llegar a la idea de que para abordar el esquema de
Hamilton de la mecánica se debe pasar forzosamente por las ecuaciones
de Lagrange. Al menos esta fue la estrategia que se utilizó aquí para hacer-
lo. Nuevamente aquí hay un error de apreciación. Es posible llegar a las ecua-
ciones diferenciales de movimiento “a la Hamilton”, a partir del principio
de acción extremal en forma por demás directa. Lo único que es preciso ha-
cer es postular a la acción como la función siguiente:
(9.19)
Claramente, (9.19) es lo mismo que la funcional que se propuso en el
capítulo 6, en (6.14), para el caso en que no hay fuerzas disipadoras actuan-
do sobre el sistema de partículas. Esto se ve de inmediato si se despeja de
(9.1) a la función de Lagrange.
Ahora, imponiendo el principio de acción extremal de Hamilton
sobre la funcional (9.19); esto es, afirmando que en el espacio de con-
figuración, la trayectoria que ha de dibujar el sistema de N particulas,
sujeto a l constricciones, es aquella que corresponde a un valor de la
acción que es un extremo; i.e.: un máximo o un mínimo, se obtiene, si-
guiendo los mismos pasos lógicos que en la formulación lagrangiana, lo
siguiente:
Esto implica que la integral en (9.19), calculada para las variaciones de
las coordenadas y de los momentos, es como sigue:
Formalismo de Hamilton
12
(9.20)
con regla de suma sobre índices repetidos.
Si se integra por partes el primer término de la izquierda en (9.20), se
obtiene, en forma sencilla y directa el resultado que a continuación se ex-
hibe:
(9.21)
Pero si se recuerda bien la argumentación que se dio en el capítulo 6
para obtener las ecuaciones diferenciales de Lagrange, se puede aplicar
también aquí para simplificar la integración en (9.21). En efecto, cabe
recordar que este proceso se ha llevado en el espacio de configuración del
sistema. En él se han establecido dos puntos por los que ciertamente debe
pasar el sistema, tal como se exhibe en la figura 6.2.1. Uno es el punto P, al
que llega el sistema en el instante t1 y el otro es el punto Q, al que llega en
el instante posterior t2.
Sin conocer a priori la trayectoria por la que realmente tendrá que
pasar el sistema, se puede afirmar, sin embargo, que cualquiera sea ésta,
tendrá forzosamente que pasar por esos dos puntos, en los instantes seña-
lados.
Las variaciones que sufre una trayectoria dada a priori son hasta cierto
punto arbitrarias excepto en esos dos puntos; todos los senderos que se tra-
cen deberán pasar por P(t1) y Q(t2). Por lo tanto, la variación de las coorde-
nadas, evaluadas en esos dos instantes, es idénticamente igual a cero.
Este hecho permite apreciar que en (9.21), el término dentro del parén-
tesis rectangular de la derecha en nulo. Por lo tanto el resultado es que:
(9.22)
Si ahora se incorpora este hallazgo en la integral (9.20) y se factoriza, se
obtiene lo siguiente:
Las ecuaciones de Hamilton
13
(9.23)
Pero el segundo paréntesis de la izquierda es nulo debido a la definición
que se hizo de la hamiltoniana, como una transformación de la lagran-
giana, tal como se propuso en (9.1). Esto responde a una propiedad gene-
ral de las funciones continuas de diversas variables y es conveniente detener-
se un poco en este punto para aclarar esto, pues no solamente aquí se ha de
presentar este problema; a lo largo de este capítulo habrá que lidiar con
tales cuestiones.
Supóngase, para tal efecto, que se tiene una función de dos variables, que
sea derivable f (x,y). Se puede construir a partir de ésta, una nueva función
llamada la transformada de Legendre de la siguiente forma:
(9.24)
Formalismo de Hamilton
14
Q (t2)
P (t1)
Figura 9.2.1. En el espacio de configuración de 3N�l dimensiones, el sistema
sigue alguna trayectoria que pasa por el punto p(t1) y por el punto Q(t2) necesa-
riamente.
es decir, la nueva función g se construye como el producto de la derivada
de la función original f con respecto a alguna de sus variables, multiplicada
por esa misma variable, menos la función. A esa derivada se le puede iden-
tificar como una de las pendientes de la función. Para distinguirla, sea
(9.25)
y se le llamará en adelante, genéricamente, el momento conjugado de x, de tal
manera que el producto que aparece en (9.24) es el del momento conjuga-
do, por su variable. A este producto se le conoce como el kernel de la trans-
formación de Legendre y, como se verá, juega un papel esencial en esa regla
de transformación. Así pues, para el ejemplo que aquí se maneja, el kernel
de la transformación es
Si se calcula la diferencial de (9.24) se obtiene lo siguiente:
de acuerdo a la definición (9.25). Pero desarrollando la diferencial de la fun-
ción f que aparece al extremo de la derecha de la expresión anterior, se
tiene que:
(9.26)
debido a la definición (9.25).
Así, por virtud de su estructura, se observa que la nueva función g; la
que se ha definido en (9.24), ya no depende de la variable x. En cambio, tal
como se ve de (9.26) aparece ahora una dependencia en el momento con-
jugado. Así, la transformación de Legendre (9.24) no nada más ha permi-
tido definir una nueva función, sino que ésta tiene una dependencia de una
nueva variable:
(9.27)
Las ecuaciones de Hamilton
15
de tal forma que, si se extrae la diferencial de (9.27), se obtiene que
(9.28)
donde, comparando término a término (9.26) con (9.28), se demuestra que:
(9.29 a)
(9.29 b)
Estas son las ecuaciones diferenciales que debe satisfacer g para que esta
función sea, en verdad, la transformada de Legendre de la función f (x,y)
original.
La idea se puede extender a funciones derivables con cualquier número
de variables. Por ejemplo, una función
de n variables, puede dar lugar a una nueva función; la transformada de Le-
gendre de ésta, definida como:
(9.30)
con
(9.31)
En esta transformación de Legendre, el kernel (núcleo o hueso en ale-
mán), es la sumatoria
Formalismo de Hamilton
16
y de su mera inspección se ve que la nueva función g dependerá de los i mo-
mentos conjugados (9.31); esto es:
(9.32)
así como del resto de las variables x; aquellas que por no aparecer en el
kernel, no sufrieron la transformación. Así, la nueva función depende de mo-
mentos canónicos y de variables originales, tal como se muestra en (9.32).
Esta nueva función, satisface, además, las condiciones diferenciales:
(9.33 a)
(9.33 b)
Por supuesto, y ya para concluir este tema y cerrar el paréntesis sobre
transformaciones de Legendre, kerneles y momentos canónicos, cabe ha-
cer el comentario de que la transformación de la variables por momentos
puede ser total. En tales circunstancias, el kernel debe incluir la suma de pro-
ductos de todas las variables, por sus correspondientes momentos conju-
gados. En este caso, para una función de n variables, como la que se con-
sideró anteriormente, se tiene que:
y las condiciones diferenciales que debe satisfacer esta función para, en ver-
dad, ser la transformada de Legendre de la original, son las siguientes:
(9.34)
Regresando al formalismo de Hamilton, es posible ver ahora desde la
perspectiva que se presentó con las transformaciones anteriores, que la fun-
ción de Hamilton, tal como se ha definido, es, ni más, ni menos, que la
transformada de Legendre de la lagrangiana. Es una transformada parcial
Las ecuaciones de Hamilton
17
que solamente involucra a las velocidades generalizadas, como se puede ver
de su kernel:
Cada una de las velocidades generalizadas es canjeada por su momento
canónico conjugado, de manera que la hamiltoniana depende de las coor-
denadas generalizadas, pero ya no de las velocidades, pues éstas han dado
paso a los momentos:
Además, siendo la hamiltoniana una transformada de Legendre de la
lagrangiana, debe satisfacer las condiciones diferenciales
(9.35 a)
(9.35 b)
Y es aquí donde aparece el ingrediente que se necesitaba para continuar
adelante conel proceso de variación de la acción que condujo hasta la expre-
sión (9.23). Ahora puede verse con toda claridad que en el segundo parénte-
sis de la izquierda de esa expresión, las cantidades que allí aparecen descritas
se cancelan una a una, debido a la condición diferencial que debe satisfacer la
hamiltoniana. De acuerdo con (9.35 b), en efecto, los coeficientes de las varia-
ciones de los momentos canónicos conjugados son todos nulos. Por lo tanto,
lo que resta por considerar para hacer válido el principio de Hamilton es que:
(9.36)
Pero ahora, invocando a la independencia lineal de las variaciones de las
coordenadas generalizadas, así como a la arbitrariedad que tiene la elección
Formalismo de Hamilton
18
de los instantes t1 y t2 asociados a los puntos por los que ciertamente debe pa-
sar el sistema en su evolución en el espacio de configuración de 3N�l di-
mensiones, se ve que los coeficientes de éstas deben ser así mismo nulos;
esto es:
(9.37)
Así, el principio de Hamilton conduce a las ecuaciones de Hamilton
(9.37). Éstas son la mitad del sistema total de ecuaciones diferenciales de
movimiento; la otra mitad está dada a priori por la definición misma de la
hamiltoniana en (9.35 b).
Para el genio de Hamilton no pasó desapercibida esa curiosa disposi-
ción de coeficientes y las variaciones en la expresión (9.23) y su resolución
final en dos juegos de ecuaciones diferenciales de movimiento (9.35 b) y
(9.37). A Hamilton le dio la impresión desde el principio que las coorde-
nadas y los momentos generalizados estaban apareciendo en posiciones y
con características muy paralelas, unos y otros. De hecho, si las coordenadas
generalizadas y los momentos canónicos conjugados se tomaran como un
solo juego de variables linealmente independientes, entonces, invocando
precisamente a la independencia lineal del conjunto completo de ellas, se
sintetizan inmediatamente, a partir de (9.23) los dos juegos de ecuaciones
diferenciales (9.35 b) y (9.37). Pero esto significa, de ser correcta, la sospe-
cha de Hamilton, que hay un espacio de una dimensión mayor que el de
configuración, donde pueden representarse los movimientos de un sistema
de partículas.
Armado de valor, Hamilton propuso el espacio de las fases de un sistema
de N partículas puntuales, sujetas a l constricciones holonómicas como un
espacio métrico con 6N�2l dimensiones. En ese espacio, un punto se
ubica mediante 3N�l valores de otras tantas coordenadas generalizadas
q1,q2,…,q3N�l y 3N�l valores de los momentos canónicos p1,p2,…,p3N�l de
ese sistema. Una línea, entendida como la sucesión de puntos de ese espa-
cio de fases, representa la evolución del conjunto de partículas, si se parame-
triza con el tiempo como el parámetro de orden. Esa línea va dando,
punto a punto, la información sobre las coordenadas y los momentos
generalizados del conjunto, instante a instante. Esas coordenadas y esos
momentos generalizados son, precisamente, las soluciones del sistema de
Las ecuaciones de Hamilton
19
ecuaciones diferenciales de movimiento, de Hamilton, (9.35 b) y (9.37),
calculados para cada valor del tiempo t.
En el espacio de las fases, o espacio fásico, como también se le conoce, la
trayectoria que sigue el sistema, al que en adelante se le denominará sistema
dinámico, es pues, la solución de las ecuaciones de Hamilton.
Siendo ecuaciones diferenciales de primer orden, para que quede el pro-
blema totalmente resuelto, hay que imponer condiciones iniciales, como
bien se sabe y también, como es del dominio público éstas deben referirse
a un solo punto del espacio fásico, por el que ciertamente debe pasar este sis-
tema en un instante predeterminado. Aquí es importante percatarse de
las diferencias que comienzan a aparecer al considerar el espacio de las fa-
ses, con respecto al espacio de configuración de la mecánica analítica de
Lagrange. En este espacio se postulan solamente 3N�l dimensiones; es un
espacio homogéneo y para resolver un problema de la dinámica se precisa
un par de puntos P(t1) y Q(t2), determinado previamente, como condicio-
nes iniciales. En el de las fases, son el doble de dimensiones que en el de
configuración; es un espacio métrico (como se verá más adelante) y sola-
mente es necesario imponer como condición inicial un punto por el que
el sistema dinámico habrá de pasar en un instante t0, previamente estable-
cido. Ese único punto del espacio fásico provee la información completa
que es necesaria para situar al sistema en cierta colocación inicial y conocer
su momento inicial; por lo tanto es equivalente a la designación de los dos
puntos del espacio de configuración de la mecánica analítica de Lagrange.
Dado ese único punto inicial del espacio de las fases, la evolución del siste-
ma dinámico queda totalmente determinada.
Un sistema así, se dirá en adelante que es causal; esto es, que a partir de
un instante inicial t0, se puede conocer su evolución en cualquier tiempo
posterior (o anterior) t. Por lo tanto, si se va a establecer la funcional de
acción para el sistema en el espacio de las fases, ésta debe considerarse
como una integral semi-definida; esto es, con una de sus cotas cerrada y la
otra abierta. Esta funcional, para el caso en que no existan fuerzas no-con-
servadoras debe ser postulada como sigue:
(9.38)
Formalismo de Hamilton
20
Es decir, como una función de las coordenadas generalizadas y de los
parámetros de curva (los mismos que se usaron en la formulación de La-
grage). Además, ahora, debido a su estructura, la acción ya no es más un
número para cada curva tomada a priori en el espacio de fases, como era
el caso de la mecánica de Lagrange. Por su naturaleza, la acción definida en
(9.38) es una función que depende del tiempo. De hecho, su dependencia
temporal puede ser explícita e implícita, a través de las coordenadas gene-
ralizadas del sistema.
El problema de extender la mecánica desde el espacio de configuración
hasta un nuevo espacio: el de fases, con el doble de dimensiones, no es sen-
cillo. Excepto por unos cuantos autores que se han preocupado por hacer
el estudio de la transición con todo el cuidado que se requiere, todos los
demás la han hecho así nomás; al “ahí se va”; con la brutalidad caracte-
rística de muchos; muchísimos físicos del azadón y la pala. El propio H.
Goldstein, en su clásico libro de la mecánica, o los dos inseparables L. D.
Las ecuaciones de Hamilton
21
{pi}
{qi}
R (t0)
Figura 9.2.2. El espacio de las fases se construye con las coordenadas �q1…� y los
momentos �p1…�. La trayectoria que sigue un sistema dinámico se conoce a partir
de un solo punto R(t0).
Landau y E. Lifshitz, incurren en la misma falta de cuidado y pulcritud al
hacer la descripción de este escalamiento al espacio físico.
Hay que irse con mucho cuidado para dar pasos seguros en este espino-
so, cuanto interesante proceso intelectual. Sólo así podrá llegarse a la meta
en forma precisa y clara.
Para comenzar, es necesario recalcar que la acción (9.38) es una función.
En efecto, debido a que ahora la integral que la define ya no está acotada
por sus extremos, sino que es semi-definida, entonces es preciso percatar-
se que, en efecto, esta entidad física llamada la acción, es una función de las
coordenadas generalizadas, del tiempo y de los parámetros de las curvas.
Esto se puede demostrar fácilmente si se toma la diferencial de (9.38).
Haciéndolo se obtiene lo siguiente:
(9.39)
Esta forma diferencial sugiere de inmediato que la acción A; es una fun-
ción de tal conjunto de variables, con las condiciones diferenciales que a con-
tinuación se escriben:
(9.40)
(9.41)
Así, la acción A, constituye en efecto, una familia de funciones de las
coordenadas y del tiempo; una por cada conjunto de valores de los pará-
metros que identifican a las curvas:
(9.42)
Supóngase ahora que se opera sobre la acción (9.38) una variación con
respecto a los parámetros que identifican a las curvas en el espacio de 6N�2l
dimensiones de las fases, donde q´s y p´s constituyen un conjunto, una
colección de variableslinealmente independientes. Como resultado de
esta variación se obtiene lo siguiente (una vez realizada la integración por
partes del primer término):
Formalismo de Hamilton
22
(9.43)
Pero, por definición y de acuerdo con (9.42), la variación de la acción
debe entenderse de la siguiente manera:
(9.44)
con la regla de suma sobre los índices repetidos.
Entonces, sustituyendo el resultado (9.44) en (9.43) y recordando la
condición diferencial (9.40), se obtiene que:
(9.45)
siendo �* A la llamada “variación sustancial” de la acción, definida como:
es decir, como la derivada de la acción con respecto a los parámetros de
curva, por las variaciones de estos parámetros.
¡Ahora sí! Invocando a la independencia lineal de las 6N�2l variables
(3N�l �q´s y 3N�l �p´s) en el espacio de las fases del sistema dinámico
que se estudia, se demuestra de inmediato, de acuerdo con (9.40) y (9.45),
que para el caso de ausencia de fuerzas no-conservadoras, las ecuaciones son
las siguientes:
(9.46 a)
(9.46 b)
Las ecuaciones de Hamilton
23
Estas son, en efecto, las ecuaciones diferenciales de movimiento de Ha-
milton, para un sistema de N partículas puntuales, masivas, que se mueven
en el espacio, actuadas por fuerzas conservadoras y sobre las cuales operan
l constricciones holonómicas.
Las condiciones diferenciales (9.40) y (9.41), por su parte, juegan un
papel de primera importancia en la mecánica. De hecho, estas dos expre-
siones constituyen toda una formulación de este tema, como se verá más
adelante. Sin embargo, por razones didácticas, en este momento no se hará
mayor comentario acerca de ellas.
Y antes de abandonar este asunto de establecer las ecuaciones diferencia-
les de movimiento de Hamilton en el espacio de las fases, para tocar otros
temas importantes, vale la pena hacer un último comentario sobre el pro-
ceso de variación que acaba de utilizarse para obtener todas aquellas.
Si se desea conciliar los métodos que se han empleado para alcanzar las
ecuaciones diferenciales de Hamilton y de Lagrange, es posible proceder
como sigue:
Debe quedar bien claro para el estudioso del tema de la mecánica que
postular un espacio de las fases y una familia de funciones de acción, como
la que se estableció en (9.38), es una estructuración muy fuerte y muy am-
plia en la mecánica, en el sentido que no se necesita un postulado más para
lograrlo. Así, un espacio fásico y una función de acción como la (9.38) es
lo único que se requiere para llegar a las ecuaciones de Hamilton.
Por su parte, el espacio de configuración de la mecánica analítica de
Lagrange, aparece ahora como un subespacio del espacio de las fases.
Para hallar las ecuaciones de Lagrange, viendo las cosas en retrospectiva, se
requiere postular una funcional de acción, como se hizo en el capítulo 6, en
(6.14), definida en dos instantes (dos puntos del espacio de configuración) y
un principio de extremalización de la acción: el de Hamilton. Este princi-
pio fue instrumentado mediante la introducción de una parametrización del
espacio de configuración. Con esta técnica se pudieron calcular las variacio-
nes. En particular, haciendo la variación de la acción igual a cero se consiguió
el juego de ecuaciones diferenciales de movimiento de Lagrange (6.27).
Pero ahora, si las ecuaciones diferenciales de movimiento (9.46) son vá-
lidas (cosa que siempre ocurre en los casos de ausencia de fuerzas no-conser-
vadoras) y adicionalmente se impone el postulado de acción extremal.
Formalismo de Hamilton
24
para cada plano como el que se muestra en la figura 9.2.3, entonces, es im-
portante percatarse que, de acuerdo con (9.43), se debe satisfacer que
En otras palabras, para cada hiperplano �p� � constante, las variaciones
de las coordenadas generalizadas deben ser normales. Este resultado im-
plica dos cosas de gran valor en la teoría: la primera es que el subespacio de
las coordenadas es normal al subespacio de los momentos (y por lo tanto
son topológicamente separables) en el espacio de las fases del sistema, y en
segundo lugar, que solamente hace falta un juego de 3N�l parámetros
geométricos para implementar el principio variacional de la acción; los
mismos parámetros que sirvieron para hallar las ecuaciones de Lagrange.
En la figura 9.2.3 se muestra cómo una trayectoria en el espacio de las fa-
ses se ve variada. En cada plano p � constante y para cada instante, se va-
rían las coordenadas generalizadas de acuerdo con el juego ��1, �2,…, �3N�l�
de parámetros geométricos del espacio de configuración. Este juego es lo
único que se necesita para llevar a cabo el proceso. Por lo tanto, la función
Las ecuaciones de Hamilton
25
{pi}
q1
0 q3N�l
Figura 9.2.3. Se dibuja esquemáticamente una trayectoria y su variación en el
espacio fásico. Las trayectorias atraviesan planos p � constante.
de acción (9.38) depende implícitamente de esta misma colección de pa-
rámetros geométricos; i.e.:
(9.47)
Estos resultados se explotarán ampliamente en adelante; por ejemplo,
cuando se desarrolle el más conspicuo formalismo de la mecánica, conoci-
do como la Teoría de Hamilton-Jacobi.
9.3. El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
De aquí en adelante, salvo que se especifique lo contrario, se invocará siem-
pre al problema de hallar las soluciones para el movimiento de un sistema
de N partículas puntuales, masivas, que están sujetas a fuerzas aplicadas,
conservadoras, así como a l constricciones holonómicas. En otras palabras,
se soslayará la presencia de fuerzas no-conservadoras y de constricciones
anholonómicas. Así, las ecuaciones diferenciales de movimiento de Hamil-
ton exhiben la estructura mostrada en (9.46). También, en todo lo que
sigue, se considerará como natural para representar al sistema dinámico, el
espacio de las fases, de 6N�2l valores; 3N�l de las coordenadas generali-
zadas y 3N�l de los momentos. En un instante dado, esa colección da idea
del estado dinámico del sistema. Por supuesto, una línea se construye en el
espacio de las fases como una sucesión continua de puntos, así que esta per-
mite representar la trayectoria que sigue el sistema en su evolución a lo lar-
go del tiempo.
En este espacio, las propiedades de simetría de un sistema dinámico tie-
nen una simple interpretación geométrica. Así, si se da el caso de que en la
hamiltoniana no aparecen ciertas coordenadas generalizadas; esto es, que hay
grados de libertad que son ignorables (en el mismo sentido de la palabra
que se usó para designar coordenadas generalizadas ausentes en la formu-
lación de Lagrange), entonces se ve inmediato de (9.46) que hay leyes de
conservación asociadas a ellas.
En efecto, supóngase que alguna coordenada generalizada qi (donde
i es un índice que representa alguno de los valores entre 1,2,…, hasta
3N�l ) no aparece explícitamente en la función de Hamilton. Se dice en-
tonces que esta coordenada es ignorable. Además, al derivar la hamiltonia-
Formalismo de Hamilton
26
na con respecto a qi, se obtiene cero como resultado, entonces, de acuerdo
con (9.46 a) se tiene para este caso que
(9.48)
lo cual significa obviamente que el momento canónico conjugado a esa va-
riable permanece constante a lo largo del movimiento del sistema; esto es,
que
(9.49)
Igual como ocurre en el formalismo de Lagrange, en el de Hamilton
aparece ese vínculo entre simetrías del sistema y leyes de conservación:
por cada coordenada generalizada ignorable, un momento generalizado;
el momento canónico conjugado de ella se conserva. Solo que en el for-
malismo de Hamilton este resultado es inmediato, como se aprecia de
(9.48).
Geométricamente se puede dar interpretación a una coordenada igno-
rable, como la presencia de un plano (el plano pi � const.) a lo largo del cual
ocurre el movimiento. En otras palabras, aunque el espacio de fases del
sistema sigue siendo de 6N�2l dimensiones, el movimiento ocurre en un
subespacio de 6N�2l�1 dimensiones, del espacio original. Una dimensión
de menos por cada coordenada ignorable.
Pero he aquí que lo mismo ocurre con losmomentos generalizados; esto
es, que si uno de ellos no aparece explícitamente en la función hamiltonia-
na, entonces, igualmente, su coordenada generalizada conjugada se con-
serva. En efecto, si por ejemplo, el momento pi es ignorable, entonces la de-
rivada de la hamiltoniana con respecto a él es nula y, de acuerdo con
(9.46 b), se tiene que:
(9.50)
de tal forma que ahora la qi es constante. El sistema se encuentra constre-
ñido a moverse en una dimensión de menos del subespacio de las coor-
denadas generalizadas.
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
27
Lo más interesante de estos resultados es que con el formalismo de Hamil-
ton las coordenadas generalizadas y sus momentos conjugados parecen
jugar papeles enteramente semejantes. Es, para decirlo en forma coloquial,
como si entre las coordenadas y los momentos apareciera una especie de
democracia, que permite darles roles equivalentes en el movimiento del sis-
tema. Si una de esas variables es ignorable; bien sea una coordenada o un
momento, su canónico conjugado de inmediato exhibe su conservación.
Así, el juego de la mecánica hamiltoniana se puede conducir en forma uni-
ficada. Si a coordenadas y momentos se les designa genéricamente por la letra
x; esto es; se hace la nueva identificación de estas variables del siguiente modo:
(9.51)
de tal suerte que se elimina la distinción entre coordenadas y sus momentos,
entonces la hamiltoniana es, simplemente, una función de las x´s y las ecua-
ciones de Hamilton se pueden escribir en forma unificada como:
(9.52)
siendo A y B índices que adquieren valores dentro del conjunto extendido,
desde 1 hasta 6N�2l y con la regla de suma sobre índices repetidos. En (9.52)
se ha escrito un tensor métrico fundamental con la siguiente estructura:
Formalismo de Hamilton
28
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
29
(9.53)
esto es, como una matriz de (6N�2l ) � (6N�2l ) cuyos elementos se
hallan dispuestos, tal y como se muestra en (9.53), como arreglos de cua-
tro bloques de (3N�l ) � (3N�l ) donde 0 es la matriz de ceros y 1 es
la matriz unidad:
Por ejemplo, si se trata del movimiento de un cuerpo material con un
solo grado de libertad, entonces sus ecuaciones de Hamilton, escritas con
la notación y con la fórmula (9.52) son las siguientes:
(9.54)
Para describir en forma aún más simple el sistema de ecuaciones diferen-
ciales (9.54) se puede, sencillamente, hacer la identificación siguiente:
(9.55 a)
(9.55 b)
en cuyo caso las ecuaciones de Hamilton adquieren la forma:
Formalismo de Hamilton
30
(9.56 a)
(9.56 b)
Esta es, para un movimiento en una dimensión, la expresión de sus
ecuaciones diferenciales de movimiento. Esta es la forma que identifica a los
sistemas dinámicos.
Aún más específicamente, si el movimiento de un sistema dinámico no
depende explícitamente del tiempo, se dice que el sistema es autónomo. En
este caso las ecuaciones son las siguientes:
(9.57 a)
(9.57 b)
o bien, si �1 no es una función nula:
(9.58)
y de esta forma ya no aparece el tiempo. Esta ecuación diferencial da la fa-
milia de las tangentes a la curva que representa el movimiento del sistema
dinámico en cada punto del espacio de las fases. Si para algún par de valo-
res x1 y x2 específico, la relación (9.58) fuera indeterminada, se dice que esas
coordenadas del espacio fásico corresponden a un punto crítico.
Pero regresando a las ecuaciones diferenciales (9.57), si las funciones �1
y �2 que aparecen a la derecha (las componentes del gradiente de la fun-
ción de Hamilton) son funciones suaves de sus argumentos, entonces ad-
miten un desarrollo en series de potencias del tipo siguiente:
(9.59 a)
(9.59 b)
siendo a01,a11,… etc., coeficientes constantes y las funciones �1 y �2 son a su
vez susceptibles de desarrollarse ulteriormente como series de potencias de
las variables, alrededor de algún punto dado del espacio de las fases.
En primer lugar, cabe la observación de que las ecuaciones diferenciales
(9.59) pueden volverse homogéneas; esto es, eliminar de ellas las constan-
tes a01 y a02 mediante una transformación simple de las variables. Por lo
tanto, para su tratamiento no se le resta generalidad desde un principio se
consideran homogéneas. Así, expresadas vectorialmente, adquieren la for-
ma que a continuación se muestra:
(9.60)
donde a debe entenderse como una matriz y �� como un vector. Aún más,
para asegurar que la ecuación diferencial es bien comportada, se supondrá
que el determinante de la matriz a es distinto de cero.
Se dice que el sistema dinámico es lineal cuando las funciones �� son nu-
las o despreciables. Esto ocurre en aquellos casos en los que el desarrollo en
series de potencias convergen a cero. Si este es el caso, entonces la expresión
(9.60) adquiere una forma aún más simple:
(9.61)
Y como ya se habrá intuido, esta ecuación diferencial vectorial puede in-
tegrarse de inmediato. La solución es la siguiente:
(9.62)
siendo t0 un instante de referencia. La solución debe entenderse como
una serie (la exponencial) que tiene estructura de matriz; esto es que puede
arreglarse en renglones y columnas y esta matriz opera sobre el vector co-
lumna x�0, que es el punto del espacio fásico por el cual pasa el sistema en el
instante de referencia t0.
Sea ahora b una matriz de 2 � 2 no singular con la cual se realiza una
transformación lineal de las variables del sistema:
(9.63)
con la idea de que los elementos de esta matriz sean constantes, de tal
manera que la derivada temporal de (9.63) dé cómo resultado lo si-
guiente:
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
31
Formalismo de Hamilton
32
(9.64)
Por lo tanto, de (9.64) y (9.61) se puede demostrar de inmediato que:
(9.65)
en donde c es una nueva matriz formada con las anteriores como:
(9.66)
La fórmula (9.66) muestra lo que se conoce como una transformación
de semejanza o de similitud de una matriz. Hasta este momento nada se ha
mencionado acerca de la matriz b con la cual se ha hecho esta transforma-
ción, excepto que se trata de una matriz con elementos constantes. Es posi-
ble, pues, en este punto del desarrollo imponer sobre ella una propiedad
razonable, a saber, que como resultado de la transformación de similitud
(9.66), la nueva matriz c tenga una estructura bien definida. Por ejemplo,
que exhiba la estructura de alguna de las formas de Jordan que a continua-
ción se mencionan:
1. Primera forma de Jordan: la matriz c es diagonal y sus elementos son
reales y distintos entre sí; esto es, la matriz no presenta degeneración:
(9.67)
El tipo particular de movimiento a que da lugar esta primera forma
de Jordan va a depender de los signos de los coeficientes en la diago-
nal principal de la matriz (9.67).
2. Segunda forma de Jordan: este caso corresponde a dos coeficientes con va-
lores iguales (aquí se dice que hay una degeneración, o bien, que la matriz
es degenerada). Este caso admite a su vez dos posibilidades:
a. Forma irreducible:
(9.68)
b. Forma reducible:
(9.69)
3. Tercera forma de Jordan: este caso es cuando las raíces; esto es, los elemen-
tos diagonales de la matriz son complejos y uno de ellos es el conjugado
complejo del otro:
(9.70)
En seguida se estudiará el tipo particular de movimiento al que condu-
ce cada una de las anteriores formas de Jordan. Así, para comenzar con el
caso que se consideró primero; esto es, la primera forma de Jordan, en (9.67),
sustituyéndola en (9.65) se obtiene de inmediato que:
(9.71 a)
(9.71 b)
Estas ecuaciones diferenciales pueden ser integradas de inmediato, dan-
do como resultado las siguientes soluciones:
(9.72 a)
(9.72 b)
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
33
A su vez, estas soluciones conducen a dos posibles resultados de interés
en la mecánica: el primero es aquel que corresponde a dos raíces reales,
distintas y que tienen el mismo signo. En este caso se tiene un retrato del
movimiento del cuerpo como el que se exhibe en la figura 9.3.1. En esta
figura se ha considerado que �2 	 �1 	 0.Las líneas confluyen hacia el
origen del sistema. Este punto se dice que es un nodo y como las líneas
tienden hacia el origen, entonces el nodo es estable.
Por otra parte, si los eigenvalores �1 y �2, como también se les conoce, son
positivos; esto es, que por ejemplo, �2 
 �1 
 0, el retrato que se obtiene
es cualitativamente igual al de la figura 9.3.1., excepto por que las líneas no
confluyen hacia el origen, sino que siguen una misma dirección, como se
aprecia en la figura 9.3.2. Dado que ahora las líneas del retrato no conflu-
yen, sino que simplemente pasan por el origen, entonces el nodo en este
punto es inestable.
Si ahora se supone que los eigenvalores son reales, pero con signos opues-
tos; por ejemplo, que �2 	 0, pero �1 
 0, entonces se obtiene un retrato
muy diferente a los anteriores. En este caso se consigue lo que se llama una
Formalismo de Hamilton
34
y2
0
y1
Figura 9.3.1. Retrato del movimiento de un cuerpo para el caso de la primera
forma de Jordan con �1 � �2, reales y negativas: �2 	 �1 	 0.
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
35
silla de montar y el origen es una singularidad inestable. En la figura 9.3.3
se muestra gráficamente un retrato del sistema para este caso.
La segunda forma de Jordan también tiene información interesante so-
bre el movimiento. Así, considerando la segunda forma para el caso irredu-
cible que se propuso en (9.68) y sustituyendo esta expresión en la ecuación
diferencial (9.65), se obtiene ahora lo siguiente:
(9.73 a)
(9.73 b)
Nuevamente, este sistema de ecuaciones diferenciales es muy fácil des-
de el punto de vista de su resolución:
(9.74 a)
(9.74 b)
y2
0
y1
Figura 9.3.2. Retrato del movimiento de un cuerpo para el caso de la primera
forma de Jordan con �1 � �2, reales y positivos: �2 
 �1 
 0.
donde, al igual que en las soluciones (9.72), y10 y y20 son constantes de inte-
gración, evaluadas para t � 0. Si ahora se toma la relación de (9.74 a) a
(9.74 b); es decir:
(9.75)
y siempre que la constante y10 sea no nula, lo que se obtiene de (9.75) es una
familia de rectas concéntricas; es decir, que convergen en el origen del sis-
tema de coordenadas, tal como se muestra en la figura 9.3.4.
Pasando ahora a la forma irreducible de Jordan (9.69) y nuevamente, sus-
tituyéndola en las ecuaciones (9.65) se obtiene ahora el siguiente sistema:
(9.76 a)
(9.76 b)
Estas ecuaciones diferenciales pueden ser resueltas sin demasiado tra-
bajo. Integrando la segunda de ellas; es decir, la (9.76 b), se consigue lo
siguiente:
Formalismo de Hamilton
36
y2
0
y1
Figura 9.3.3. Retrato del movimiento de un cuerpo para el caso de la primera
forma de Jordan con �2 	 0 y �1 
 0.
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
37
(9.77)
sustituyendo ahora esta solución en la ecuación (9.76 a), se obtiene rápida-
mente el resultado que a continuación se escribe:
(9.78)
Si � es negativo, la gráfica de las trayectorias es como la que se muestra
en la figura 9.3.5, donde se observa que las líneas confluyen al origen. En es-
tas circunstancias se dice que el nodo está en el origen y constituye una sin-
gularidad estable.
En el caso en que � sea positivo, entonces las líneas del retrato fluyen en
una sola dirección; de izquierda a derecha. Por este motivo, la singularidad
en el origen es inestable.
La tercera forma de Jordan; que se muestra en la expresión (9.70) reser-
va, al igual que las anteriores, resultados interesantes. Si los eigenvalores son
complejos y uno es el conjugado del otro, entonces se puede proponer que
(9.79 a)
y2
0
y1
Figura 9.3.4. Retrato del movimiento de un cuerpo para el caso de la segunda
forma de Jordan (irreducible), con � 	 0. El nodo es estable.
Formalismo de Hamilton
38
siendo i el número imaginario, tal que su cuadrado es igual a menos uno y
� y � son números reales. Por lo tanto,
(9.79 b)
Al sustituir la matriz (9.70) en la ecuación diferencial (9.65), y toman-
do en cuenta (9.79), se obtiene ahora:
(9.80 a)
(9.80 b)
Para volver más simple su manipulación matemática, a continuación se
hace la transformación de las variables:
(9.81)
(9.82)
y2
0
y1
Figura 9.3.5. Retrato del movimiento de un cuerpo para el caso de la segunda
forma de Jordan (reducible), con � 	 0. El nodo es estable.
Derivando la transformación (9.81) con respecto al tiempo y luego sus-
tituyendo (9.80) en el resultado, se demuestra fácilmente que las ecuacio-
nes diferenciales para las nuevas variables son las siguientes:
(9.83 a)
(9.83 b)
Un nuevo cambio de variable en necesario para llegar a una ecuación
diferencial que permita su integración inmediata. En efecto, haciendo
ahora:
(9.84)
y sustituyendo en (9.84) las expresiones (9.83), se consigue finalmente:
(9.85)
cuya integración es inmediata:
(9.86)
Ahora, recorriendo el camino a la inversa, se puede traducir la solución
(9.86) a las variables intermedias definidas en (9.84) y luego, éstas a las ori-
ginales, de acuerdo con (9.81). Al hacerlo, se obtienen las soluciones para
las ecuaciones diferenciales (9.80) originales:
(9.87 a)
(9.87 b)
Suponiendo que, por ejemplo, el parámetro � es negativo, en tanto que
� es positivo, se obtienen las ecuaciones paramétricas de una espiral logarít-
mica, como las que se muestran en la figura 9.3.6; por otra parte, si se su-
pone que � es igual a cero, en tanto que � es positivo, se obtiene como re-
sultado, la familia de círculos centrados en el origen que se muestra en la
figura 9.3.7.
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
39
Formalismo de Hamilton
40
y2
0 y1
Figura 9.3.6. Retrato del movimiento de un cuerpo para el caso de la tercera
forma de Jordan con � 	 0 y � 
 0.
y2
0 y1
Figura 9.3.7. Retrato del movimiento de un cuerpo para el caso de la tercera
forma de Jordan con � � 0 y � 
 0.
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
41
El oscilador armónico muy bien puede ser ejemplo de un cuerpo con un
movimiento asociado a la tercera forma de Jordan. Si se recuerda un poco,
la función hamiltoniana para este mecanismo se escribe de la siguiente
manera:
(9.88)
siendo, como ya es costumbre, m la masa y k la constante del resorte que
mueve al cuerpo y E la energía total. Se trata, en efecto, de un movimien-
to que se representa en el espacio de las fases de dos dimensiones como
una familia de elipses, como se muestra en la figura 9.3.8, centradas en
el origen y descritas por la fórmula
(9.89)
parametrizadas por la energía total E y donde se ha hecho la redefinición de
las variables como
Figura 9.3.8. Retrato del movimiento del oscilador armónico simple.
y2
0 y1
Observando las ecuaciones de Hamilton para este sistema, de acuerdo
con (9.48) y (9.50) se obtiene que:
(9.90 a)
(9.90 b)
En forma matricial estas ecuaciones presentan el siguiente aspecto:
(9.91)
es decir, una forma semejante a la que se describió en (9.61). Así que diago-
nalizando la matriz que aparece en (9.91), se tiene ahora lo siguiente:
(9.92)
o sea que la ecuación característica es la siguiente:
(9.93)
Sus eigenvalores son las raíces de esta ecuación. Como se ve, se trata de
dos imaginarios puros:
(9.94)
con
(9.95)
siendo �0 la frecuencia angular del oscilador. Entonces, el oscilador armóni-
co, entendido como un sistema dinámico, está descrito mediante un siste-
Formalismo de Hamilton
42
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
43
ma de ecuaciones diferenciales del mismo tipo que se muestra en (9.65), con
una matriz diagonal, que presenta la estructura de la tercera forma de Jor-
dan con
(9.96)
El hecho de que el retrato del sistema sea un conjunto de elipses y no una
familia de círculos carece de importancia, ya que se trata de figuras que
topológicamente son iguales. Las transformaciones de similaridad, como
las que se propusieron en (9.66) no alteran la topología de los retratos; si
acaso, afectan las escalas. Por ello, elipses pueden transformarse en círculos
y viceversa, sin que la esencia física del problema cambie.
Otro ejemplo que vale lapena explorar para mejor entender los resul-
tados anteriores, es el caso de un péndulo simple que oscila con pequeñas
amplitudes y que se encuentra en un medio resistivo como el aire, sujeto,
adicionalmente, a una fuerza disipadora que es proporcional a la velocidad
tangencial con la cual se mueve la lenteja (véase la figura 9.3.9.). La lagrangia-
na para este sistema solamente toma en cuenta a la fuerza conservadora: su
peso. La fuerza disipadora entra a escena como un término inhomogéneo
en la única ecuación de Lagrange, tal como se vio anteriormente. Así, la
lagrangiana de este sistema es
(9.97)
y la ecuación de Lagrange correspondiente tiene el siguiente aspecto:
(9.98)
donde k es una constante que da información sobre la intensidad de la
fuerza de fricción.
El momento canónico a la coordenada generalizada es, por definición, el
siguiente:
(9.99)
Así que la hamiltoniana correspondiente, entendida como la transfor-
mada de Legendre de la lagrangiana (9.97) es:
(9.100)
Por su parte, las ecuaciones de Hamilton que hay que utilizar ahora, son
las (9.11), con un término que identifique a la fuerza no conservadora:
(9.101 a)
(9.101 b)
Para poder continuar con el análisis del movimiento, se puede hacer
ahora la redefinición de las variables
Formalismo de Hamilton
44
y
0
bl2
l
x
m
mg
Figura 9.3.9. Un péndulo, de longitud l y masa m, se mueve bajo la acción de
la gravedad y en un medio disipador.
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
45
(9.102 a)
(9.102 b)
en cuyo caso, las ecuaciones diferenciales (9.101) se pueden escribir en
forma matricial, para amplitudes pequeñas como:
(9.103)
Y siguiendo con la misma estrategia, es necesario llevar a la matriz en
(9.103) a su forma diagonal. Para ello se establece su determinante carac-
terístico:
(9.104)
con el cual se obtiene la correspondiente ecuación característica:
(9.105)
siendo
(9.106)
la frecuencia angular fundamental del péndulo y el coeficiente de resisten-
cia del aire, respectivamente. La ecuación (9.105) se resuelve y con ello se
obtienen los eigenvalores o valores propios de la matriz:
(9.107 a)
Formalismo de Hamilton
46
(9.107 b)
Si se supone que la constante c definida en (9.106) es real y positiva, en-
tonces ambos eigenvalores resultan negativos. Esto significa, como se vio,
que en el origen, el sistema posee un punto; esto es, un nodo estable.
Además, si ocurre que
(9.108)
o sea que la parte disipadora es de menor intensidad que la interacción gravi-
tacional que le da su frecuencia angular fundamental al péndulo, entonces
se observa de (9.107) que estos valores propios son complejos; esto es, con
una parte real y otra imaginaria y que uno de ellos es el complejo conjuga-
do del otro. De acuerdo con lo que se ha estudiado y en particular, con los
resultados hallados en (9.87), se tiene que el movimiento en el espacio de
las fases aparece como espiral logarítmica; tal como se ve en la figura 9.3.6.
El retrato se convierte en una familia de círculos o elipses cuando c se vuel-
ve igual a cero.
Un último ejemplo que se estudiará aquí en relación con el tema de
los sistemas dinámicos, es el caso de los sistemas conservadores. Así pues,
considérese un sistema dinámico simple, en una dimensión, que no depen-
de del tiempo; esto es, que es autónomo y que su ecuación de movimiento
está dada a la Newton por
(9.109)
siendo f (x) una fuerza aplicada por unidad de masa, dada por una función
continua. La primera integral de movimiento se obtiene de (9.109) supo-
niendo que existe un escalar llamado el potencial u(x), tal que
(9.110)
Si esta propiedad se cumple, entonces se obtiene de (9.109) más o me-
nos inmediatamente que
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
47
(9.111)
o bien, rescribiendo esto mismo con la perspectiva de Hamilton:
(9.112)
donde nuevamente x1 es la coordenada y x2 el momento canónico conju-
gado. La expresión (9.112) se encuentra ya descrita en el espacio de las
fases de dos dimensiones. Y dado que x1 es simplemente la distancia del
cuerpo al origen, entonces u(x1) es una función simétrica; o sea que da el mis-
mo efecto para x1 positivo o negativo. El retrato de este sistema es una fa-
milia de curvas, cada una para un valor de e (la energía total específica), que
aparecen como curvas de nivel en el plano de las fases.
Para investigar un poco más sobre este asunto, supóngase que el poten-
cial puede ser desarrollado en una serie convergente de potencias de la va-
riable, como
(9.113)
siendo a0,a1,…, etc., constantes, con a0 tal que
(9.114)
Esta es la primera curva de nivel; la primera trayectoria del retrato de este
sistema en el espacio de las fases.
Supóngase que la serie de potencias (9.113) converge rápidamente, de tal
suerte que es posible cortarla y despreciar los términos más adelante del cua-
drático sin afectar de manera sustancial el resultado. En tal caso, el poten-
cial es
(9.115)
Si se dibuja una gráfica de este potencial en un diagrama de u(x1) versus
x1, como el que se muestra en la figura 9.3.10, se obtiene una parábola
cuyos brazos ascienden en la dirección de la ordenada para valores positi-
vos de a0,a1 y a2. Los valores de la energía total específica que se muestran
en esa misma figura son como niveles horizontales que cortan a la curva en
puntos (los llamados puntos de retorno). Entre dos intersecciones, dentro
de la parábola, se establecen los límites físicos del movimiento. Así por
ejemplo, para el caso del nivel e2 que se muestra en la figura 9.3.10, el mo-
vimiento del cuerpo está acotado entre los valores [a,b] de la variable x1. El
cuerpo se mueve, de acuerdo con esta figura, entre dos círculos apsidales;
uno de radio menor a y otro de radio mayor b, alrededor del centro de la
fuerza.
Pero si ahora se pasa al espacio de las fases x1 vs x2, como el que se
muestra en la figura 9.3.11, se observa que el retrato del sistema es una fa-
milia de elipses, centradas en (x0,0), siendo
(9.116)
y con semiejes mayor y menor dados por
(9.117)
respectivamente.
Formalismo de Hamilton
48
0
a x 0 b
x1
e2
e1
e0
u (x1)
Figura 9.3.10. Gráfica de u(x1) vs x1 para el caso cuadrático del potencial. Se
trata de una parábola y los niveles de la energía específica son rectas horizontales
que la cortan.
Comparando los resultados (9.116) y (9.117) y observando la figura
9.3.11, se puede ver de inmediato que el semieje mayor de una de las elip-
ses coincide con la abscisa al centro de la misma para cierto valor de la ener-
gía total específica; esto es: 
en este caso, en efecto:
Como se ve, se tiene ahora nueva información de esta figura: el movi-
miento no nada más está acotado a lo largo de la coordenada generalizada
x1, sino que también lo está a lo largo del momento canónico conjugado x2.
Se trata de una familia de trayectorias, en las cuales el sistema regresa una y
otra vez al punto de partida. A estas trayectorias cerradas en el espacio de las
fases se les llama genéricamente movimientos de libración. Una libración es
pues, aquel movimiento que en el espacio de las fases da como resultado
trayectorias cerradas.
El espacio de las fases y los sistemas hamiltonianos
49
0
x 0
x1
e2
e1
e0
x 2
Figura 9.3.11. Retrato del movimiento del sistema cuadrático.
Formalismo de Hamilton
50
Dentro de este mismo tema, no puede ser olvidado el viejo problema de
Kepler; esto es, un cuerpo masivo, con masa m, que se mueve sobre un
plano, debido a la fuerza central conservadora dada por la célebre expresión
newtoniana
(9.118)
siendo 
 el parámetro gravitacional, mismo que ya fue introducido en el
capítulo 2 del Libro 1. Para el caso del Sistema Solar
r es la distancia desde el centro del Sol, supuesto a su vez en el origen del
sistema de coordenadas y el punto material que se estudia. En (9.118), r̂
representa, como es costumbre, al vector unitario radial; esto es
0
x
m
y
M
z
Figura 9.3.12. Un cuerpo de masa m es atraído gravitacionalmente por otro de
masa M que se encuentra fijo en el origen de un sistema