165937492-Ejercicios-Resueltos-Analisis-Real

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EJERCICIOS RESUELTOS 
 
 
 
ANALISIS REAL 
 
 
 
 
Carmen María Gonzales 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS CAPITULO 1 
Sección 1.1 
 Ejercicio Nº 1 
Sea S= 𝟏 −
(−𝟏)𝒏
𝒏
/𝒏 𝜺 𝑵 . Determinar sup S e Inf S. 
 
Desarrollo. 
Para determinar el Sup S e Inf S Probaremos cuando n es par y cuando n 
es impar, para esto se hará una tabla de valores. 
 
1.- n es par 2.- n es impar 
 
1 −
(−1)𝑛
𝑛
 1 −
(−1)𝑛
𝑛
 
 
 
n par Sn n impar Sn 
2 1 3 4/3 
4 3/4 5 6/5 
6 5/6 7 8/7 
8 7/8 9 10/9 
10 9/10 11 12/11 
. . . . 
. . . . 
. . . . 
. . . . 
+∞ +∞ 
 
Viendo la relación de la tabla anterior se puede determinar que el Sup S= 2 y el Inf S=1/2 
 
 
 
 
 
 Ejercicio Nº 2 
Demostrar que el conjunto S = 𝒙 ∈ 𝑹 / 𝒙 ≥ 𝟎 tiene cotas inferiores pero no 
superiores. 
El conjunto S= 𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≥ 0 tiene cotas inferiores y el conjunto de las cotas inferiores 
es C= 𝑘 ∈ 𝑅/ 𝑘 ≤ 0 
 
 -∞ 0 +∞ 
No está acotada superiormente por tanto no existe un 𝜇 ∈ 𝑅/ 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜇 ∀𝑥 ∈ 𝑆 
 
 Ejercicio Nº 3 
Sea𝑺 ⊆ 𝑹 𝒚 𝑺*= Sup de S suponiendo que 𝑺∗es y que 𝝁 ∉ S demostrar que el supremo 
del conjunto S ∪ 𝝁 es el mayor de los dos números 𝑺 ∗y 𝝁. 
Si 𝑆 ∗∈ 𝑆 ………………………………. Por hipótesis 
Y 𝑆 ∗ = Sup S ………………………….. Por hipótesis 
Sea 𝜇 ∉ 𝑆 → 𝜇 > 𝑆 ^ 𝑆∗ ∈ 𝑆 → 𝜇 > 𝑆∗ 
Entonces 0⊆ 𝑆∗ < 𝜇 
De esta forma demostramos que S ∪ 𝜇 tiene un Sup el cual sería Sup S ∪ 𝜇 =𝜇 ya que 
𝜇 > 𝑆∗ 
 
 
 
 
 Ejercicio Nº 4 
Sea 𝑺 ⊆ 𝑹 𝒚 𝝁 ∈ 𝑺 es cota superior de S. 
Demostrar que 𝜇 = 𝑆𝑢𝑝𝑆 
 
 0 𝑆∗𝜇 
Supongamos que 𝜇 ∈ 𝑆, como hipótesis 𝜇 es la cota superior de S, implica que 
𝜇 > 𝑘 ∀𝑘 ∈ 𝑆, lo cual contradice la hipótesis ya que 𝜇 es la cota superiorde S. 
Por tanto: Si 𝜇 ∈ 𝑆 → 𝜇 = 𝑆𝑢𝑝 𝑆 
 
 
 
 
 
 Ejercicio Nº 5 
Sea 𝑺 ⊆ 𝑹, 𝑺 ≠ ∅ Demostrar que 𝝁 ∈ 𝑺 es la cota superior de 
S ↔ 𝒕 ∈ 𝑹, 𝒕 > 𝜇 → 𝑡 ∉ 𝑆 
i) Si 𝜇 es cota superior de S……………………………….por hipótesis 
Si 𝜇 es cota superior de S→ 𝑡 ∈ 𝑅, 𝑡 > 𝜇 ^ 𝑡 ∉ 𝑆 ….por definición 
Supongamos que 𝑡 ∈ 𝑆………………………………….por hipótesis𝜇 es 
cota superior. 
 Implica que 𝑡 ⊆ 𝜇 y esto contradice la hipótesis que 𝑡 > 𝜇 
ii) 𝑡 ∈ 𝑅, 𝑡 > 𝜇 → 𝑡 ∉ 𝑆 → 𝜇 es la cota superior de S 
 
 0 𝜇𝑡 
 
 
 Ejercicio Nº 9 
Sea 𝑺 ⊆ 𝑹 acotado, S0 ≤ 𝑺 , S0≠ ∅. 
Demostrar que: inf S ≤ inf S0≤ Sup S0≤ Sup S 
S0 
 
 
 0 
 
 
 S 
El conjunto S tiene cotas inferiores y superiores tales que: 
 C= 𝐾 ∈ 𝑅/ 𝐾 ≤ 0 𝑦 𝑇 = 𝑚 ∈ 𝑅/𝑚 ≥ 0 
El conjunto S0∈ 𝑆 por lo tanto el conjunto de las cotas inferiores seria 
N= 𝑦 ∈ 𝑅 /𝑦 ≤ 0 ^ 𝑦 ≥ inf 𝑆 
 
El conjunto de las cotas superiores seria 
L= 𝑎 ∈ 𝑅 / 𝑎 ≥ 0 ^ 𝑎 ≤ 0 𝑆𝑢𝑝 𝑆 
Si 𝑦 = inf 𝑆0 ^ 𝑎 = 𝑆𝑢𝑝 𝑆0 → 𝑦 ≥ inf ^ 𝑎 ≤ 𝑆𝑢𝑝 𝑆 
→ inf 𝑆0 ≥ inf 𝑆 ^ 𝑆𝑢𝑝 𝑆0 ≤ 𝑆𝑢𝑝 𝑆 
→ inf 𝑆 ≤ inf 𝑆0 ^𝑆𝑢𝑝 𝑆0 ≤ 𝑆𝑢𝑝 ≤ 𝑆𝑢𝑝𝑆 
→ inf 𝑆 ≤ inf 𝑆0 ≤ 𝑆𝑢𝑝 𝑆0 ≤ 𝑆𝑢𝑝 𝑆 
 
 
 
 Ejercicio Nº 10 
Sea 𝑺 ⊆ 𝑹, 𝑺 ≠ ∅, S es acotado. Para un dado 𝝁 ∈ 𝑹 considérese el conjunto 𝝁𝑺 =
 𝝁𝑺 / 𝑺 ∈ 𝑺 
a) Demostrar que si 𝑎 > 0 → inf 𝑎𝑆 = 𝑎 inf 𝑆, 𝑆𝑢𝑝 𝑎𝑆 = 𝑎 𝑆𝑢𝑝 𝑆 
=/ 𝑎 > 0 → inf 𝑎𝑠 = 𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑆 
Por el teorema 2, el infimo del conjunto a S existe probando que es 𝑎 inf 𝑆 
Llamamos 𝜇 = inf 𝑆 
𝜇 ≤ 𝑆, ∀ 𝑆 ∈ 𝑆………………………………………definición, teorema 2 
𝑎𝜇 ≤ 𝑎𝑆……………………………………………….por 𝑎, 𝑎 > 0 
𝑎𝜇 es cota inferior del conjunto 𝑎𝑆 
Por tanto: 𝑎𝜇 ≤ inf 𝑎 𝑆 
 
Probemos ahora que 𝑎𝜇 es la mayor de las cotas de 𝑎𝑆, si V es cualquier cota inferior del 
conjunto 𝑎 𝑆 → 𝑉 ≤ 𝑎𝑆
𝑉
𝑎
= 𝑆, 
𝑉
𝑎
≤ inf 𝑆 … … …… … . . … .. …………………………….sustitución 
Puesto que inf S es la mayor de las cotas inferiores de S 
𝑉
𝑎
≤ inf 𝑆 
𝑉
𝑎
≤ 𝜇 𝑉 ≤ 𝑎𝜇 despejando 𝑎 > 0, 𝑎𝜇 es la cota mayor de las cotas inferiores del 
conjunto 𝑎𝑆 𝑖𝑛𝑓 = 𝑎𝑆 = 𝑎𝜇 = 𝑎 inf 𝑆. 
 
 
 
 
 
 
Sección 1.2 
 Ejercicio Nº 2 
Si 𝒚 > 0 probar que existen 𝒏 ∈ 𝑵 tal que 
𝟏
𝟐𝒏
≥ 𝒚 
Por reducción a lo absurdo 
1
2𝑛
≥ 𝑦 
2−𝑛 ≥ 𝑦𝑥 = 𝑏𝑦 
𝑙𝑜𝑔22
𝑛 ≥ 𝑦𝑙𝑜𝑔𝑏𝑏
𝑦 = 𝑥 
−𝑛 ≥ 𝑙𝑜𝑔2 𝑦𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥 
(−1)(𝑛) ≥ 𝑙𝑜𝑔2 𝑦(−1) 
𝑛 ≤ −𝑙𝑜𝑔2 𝑦 
Si y > 0→ −𝑙𝑜𝑔2 𝑦 ∈ 𝑅 pero 𝑛 ∈ 𝑁 lo cual es una contradicción ya que un número 
natural es mayor que cualquier número real negativo. 
 
 Ejercicio Nº3 
Si x es un numero racional diferente de cero y y es un numero irracional. 
Demostrar entonces que x+t, x-y, xy, x/y, y/x son todos irracionales 
 
Sea 𝑥 =
𝑎
𝑏
 ^ 𝑦 = 2 donde 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 
→ 𝑥 + 𝑦 =
𝑎
𝑏
+ 2 =
𝑎 + 𝑏 2
𝑏
 
→ 𝑥 − 𝑦 =
𝑎
𝑏
− 2 =
𝑎 − 𝑏 2
𝑏
 
→ 𝑥𝑦 =
𝑎
𝑏
 2 
→
𝑥
𝑦
=
𝑎/𝑏
 2
=
𝑎
𝑏 2
=
𝑎
𝑏
 (
1
 2
) 
 
→
𝑥
𝑦
=
 2
𝑎
𝑏
=
𝑏 2
𝑎
= 2 
𝑏
𝑎
 
 
 Ejercicio Nº4 
¿Cuál es la suma o el producto de dos números irracionales, un numero irracional? 
Sea 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 2 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁 
 𝑦 = 𝑐 + 𝑑 2 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑁 
 
𝑥 ∙ 𝑦 = (𝑎 + 𝑏 2)(𝑐 + 𝑑 2) 
= (𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 2 + 𝑏𝑐 2 + 2𝑏𝑑) 
= (𝑎𝑐 + 2𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) 2 
𝑎´ + b´ 2 
 
𝑥 + 𝑦 = 𝑎 + 𝑏 2 + 𝑐 + 𝑑 2 
= 𝑎 + 𝑐 + (𝑏 + 𝑑) 2 
𝑎´ + b´ 2 
∴ la suma y el producto de dos números irracionales da un numero irracional. 
 
 
 Ejercicio Nº5 
Un entero n se llama par si n=2m para cierto entero m y se llama impar si n=2m+1 
para cierto entero m 
Demostrar que: 
a) Un entero impar no puede ser a la vez par e impar 
Por contradicción 
Supongamos que un entero puede ser par e impar, implica n=2m para algún 
𝑚 ∈ 𝑍, 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑛 = 2𝑚 + 1, 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 También es impar por lo que se tiene 2𝑚 = 2𝑚 + 1 lo 
que implica que 0=1 ∴es una contradicción. 
 
 
c) La suma y el producto de dos enteros pares es par ¿Qué se puede decir acerca de 
la suma o del producto de dos enteros impares? 
Demostración: la suma de dos enteros pares es par. 
i) Sean 𝑥 𝑦 𝑧 dos enteros pares…………………………………..hipótesis 
x es par → 𝑥 = 2𝑎……………………………………………. 𝑎 ∈ 𝑍 
z es par → 𝑧 = 2𝑏……………………………………………. 𝑏 ∈ 𝑍. 
𝑥 = 2𝑎 ^ 𝑧 = 2𝑏𝑎 → 𝑥 + 𝑦 = 2𝑎 + 2𝑏 = 2(𝑎 + 𝑏) 
∴ 𝑥 + 𝑧 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 ∃(𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑧 
ii) Sean 𝑥 𝑦 𝑧 dos enteros pares…………………………………..hipótesis 
 Sean 𝑥 𝑦 𝑧 dos enteros pares 
x es par → 𝑧 = 20…………………………………………….b ∈ 𝑧 
𝑥 = 2𝑎 ^ 𝑧 = 2𝑏 → 𝑥 ∙ 𝑧 = 2𝑎 ∙ 2𝑏 
= 2(2𝑎𝑏) 
→ 𝑥 ∙ 𝑦 es par ya que∃(2𝑎𝑏) ∈ 𝑍 
Demostrar la suma de dos enteros impares es impar 
Sea x y z dos enteros impares 
x es impar → 𝑥 = 2𝑎 + 1 … … … … … … . 𝑎 ∈ 𝑧 
z es impar → 𝑧 = 2𝑏 + 1 … …… … … … . . 𝑏 ∈ 𝑧 
𝑥 = 2𝑎 + 1 ^ 𝑧 = 2𝑏 + 1 → 𝑥 + 𝑧 = 2𝑎 + 1 + (2𝑏 + 1) 
=2(a+b)+2 
=2(y)+2 y=(a+b) ∈ 𝑧 
∴ 𝑥 + 𝑧 no es un número impar ya que lo forma de un número impar es h=2m+1 
 
Demostrar: el producto de dos enteros impares es impar 
Sea a ^ b dos enteros impares 
a es impar → 𝑎 = 2𝑚 + 1 … …… . . 𝑚 ∈ 𝑧 
𝑏 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 → 𝑏 = 2𝑛 + 1 … … . … 𝑛 ∈ 𝑧 
𝑎 = 2𝑚 + 1 ^ 𝑏 = 2𝑛 + 1 → 𝑎 ∗ 𝑏 = (2𝑚 + 1)(2𝑛 + 1) 
= 4𝑚𝑛 + 2𝑚 + 2𝑛 + 1 
 = 2 2𝑚𝑛 + 𝑚 + 𝑛 + 1 
→ 𝑎 ∗ 𝑏 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 ∃(2𝑚𝑛 + 𝑛 + 𝑚) ∈ 𝑍 
 
d) si 𝑛2es par, también lo es n 
sea n un entero par 
𝑛2 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 → 𝑛2 = 2𝑚 … …… … . 𝑚 ∈ 𝑧 
→ 𝑛2 = 2𝑚 2 … . . … 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 
𝑛2 = 4𝑚2…………algebra 
𝑛2 = 2 𝑚2 … … … … . 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 
Sea 𝑛2un entero par 
𝑛2es par → 𝑛2 = (2𝑚)2 … … … … … …𝑚 ∈ 𝑧 suponer n=2m+1 
 → 𝑛2
2
= (2𝑚)2 n→ 2𝑚 + 1 → 𝑛2 = (2𝑚 + 1)
2
 
 n =2m………………….simp. 𝑛2 = 4𝑚2 + 4𝑚 + 1 
∴ 𝑛 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 ∃ 𝑚 ∈ 𝑍𝑛2 = 2 2𝑚2 + 2𝑚 + 1 
𝑛2 = 2𝑘 + 1 lo cual contradice la hipótesis 
 e) Si𝑎2 = 2𝑏2, donde a y b son enteros, entonces a y b son ambos pares 
Demostración: 
𝑎2 = 2𝑏2 → 𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 
→ 𝑎 = 2𝑚 …… … … … … 𝑚 ∈ 𝑍 
 𝑎 = 2𝑚 ^ 𝑎2 = 2𝑏2 → 𝑎2 = 2𝑏2 
→ (2𝑚)2 = 2𝑏2 
→ 4𝑚2 = 2𝑏2 
→
4𝑚2
2
= 𝑏2 
 → 2𝑚2 = 𝑏2 
→ 𝑏2 = 2𝑚2 
→ 𝑏 = 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 
∴ 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 
 
 f) Todo número racional puede expresarse de la forma 
𝑎
𝑏
 donde a y b son elementos uno 
de los cuales por lo menos es impar. 
Supongamos que a y b son pares 
a=2n y b=2m ∀ 𝑛, 𝑚 ∈ 𝑍 
→
𝑎
𝑏
→
𝑎
𝑏
=
2𝑛
2𝑚
 𝑐𝑜𝑚𝑜 ∃𝑚, 𝑚 = 0, 0 ∈ 𝑧 0 = 2(0) 
2𝑛
2(0)
=
2𝑛
0
→ 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 0 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
𝑎
𝑏
= 𝑏 ≠ 0 
∴ 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟. 
 
 EJERCICIO Nº 6 
Modificar el razonamiento empleado en la demostración del teorema 7 para 
demostrar los siguientes enunciados 
 a) Existe un número real positivo y tal que 𝑦2 = 3 
Si tres números reales cualesquiera 𝑦2, 𝑥, 3/𝑥 > 0 satisface que 
 3≤ 𝑦2 ≤ 3 +
𝑥
𝑛
 ∀𝑛 ∈ 𝑛 ∈ 𝑛𝑘 
Demostración: 
a) z<x 
b) x≤ 𝑧 +
𝑦
𝑛
 
a) z≤ 𝑥 
b) 𝑥 ≤ 𝑧 +
𝑦
𝑛
 
Debemos demostrar que 3=𝑦2 por: 
a) Ya sabemos que 3 ≤ 𝑦2 según la ley de tricotomía para los números 3 < 𝑦2 ó 3=𝑦2 
si 3=𝑦2 hemos llegado a la condición que deseamos. 
Debemos demostrar que la opinión 3<𝑦2 no es factible. 
Supongamos que 3<𝑦2 
3 < 𝑦2 → 𝑦2 − 3 > 0 … … … . . … . . 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑠𝑜 𝑎 
∃𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁∗ / 𝑛(𝑦2 − 3) > 𝑦, 𝑦 > 0, 𝑦 ∈ 𝑅 
→ 𝑦2 − 3 >
𝑦
𝑛
 
→ 𝑦2 > 3 +
𝑦
𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑏 
 
 
 EJERCICIO Nº7 
Demostrar la densidad del conjunto Q en el caso en que x≤ 𝟎 
Si x<0, como x<y x*y<0 
→ 0 > 𝑥 − 𝑦 
→ 𝑦 > 𝑥 
→ 𝑦 − 𝑥 > 0 
Propiedad arquimidiana 
∃𝑛 ∈ 𝑁∗ / 
1
𝑛
< 𝑦 − 𝑥 →
1
𝑦 − 𝑥
< 𝑛 
1 < 𝑛𝑦 − 𝑛𝑥 → 𝑛𝑥 + 1 < 𝑛𝑦 
Colonario al teorema 6, inciso(c) para nx, nx>0 
∃𝑚 ∈ 𝑁∗ / 𝑚 − 1 ≤ 𝑛𝑥 < 𝑚 
 m≤ 𝑛𝑥 + 1 
 m≤ 𝑛𝑥 + 1 < 𝑛𝑦 
∃𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁∗ / 
𝑛𝑥 < 𝑚 < 𝑛𝑦 
→ 𝑥 <
𝑚
𝑛
< 𝑦 
∃𝑟 =
𝑚
𝑛
/ 𝑥 < 𝑟 < 𝑦 , para x,y ∈ 𝑅 
 
 
 
Sección 1.3 
 EJERCCIO Nº1 
Escribir por comprensión los conjuntos dados y representarlos geométricamente en la 
recta real. 
 
a) V0.5(5) 
= 𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 − 5 < 0.5 
 = 𝑥 ∈ 𝑅 / −0.5 < 𝑥 − 5 < 0.5 
 = 𝑥 ∈ 𝑅 / 5 − 0.5 < 𝑥 < 5 + 0.5 
 = 𝑥 ∈ 𝑅 / 4.5 < 𝑥 < 5.5 
 = 4.5, 5.5 
 
 
 
 
 
b) V0.25(-2) 
= 𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 + 2 < 0.25 
 = 𝑥 ∈ 𝑅 / −0.25 < 𝑥 + 2 < 0.25 
 = 𝑥 ∈ 𝑅 / −0.25 − 2 < 0.25 − 2 
= 𝑥 ∈ 𝑅 / −2.25 < −1.75 
 = −2.25, −1.75 
 
 
 
 
c) V2∈ (a) 
= 𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 − 𝑎 < 2 ∈ 
 = 𝑥 ∈ 𝑅 / −2 ∈< 𝑥 − 𝑎 < 2 ∈ 
 = 𝑥 ∈ 𝑅 / −2 ∈ +𝑎 < 𝑥 < 2 ∈ +𝑎 
= −2 ∈ +𝑎, 𝑎 + 2 ∈ 
 
 
 -2∈ +𝑎 x a +2∈ 
 EJERCICIO Nº5 
Sean 𝑨 ⊂ 𝑹 𝒚 𝑩 ⊂ 𝑹 demostrar: 
a) 𝐴 ⊂ 𝐵 → º𝐴 ∘⊂ º𝐵 
𝑃 ∈∘ 𝐴 → ∃𝐼𝑝Ip abierto/ Ip CA……… def punto inferior 
→ 𝐼𝑝 𝐶𝐵 … … … … …… … … … … … …… … … . 𝑝𝑜𝑟 𝑕𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝐴 ⊂ 𝐵 
→ ∃𝐼𝑝 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 / 𝐼𝑝 𝐶𝐵. . . .....................def .punto interior 
→ 𝑃 ∈ º𝐵 …… … … … … … … …… … … … … … def. 𝑑𝑒 º𝐵 
𝑃 ∈ º𝐴 → 𝑃 ∈ º𝐵 
ºA⊂ºB…………………………………………….def de inclusión. 
 
b) ºA=ºA 
i) ººA⊂ºA 
ii) ºA⊂ººA 
Demostración: 
i) ººA⊂ºA 
𝑃 ∈ººA → ∃ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 , 𝐼𝑝 ⊂ºA………………..Punto interior. 
→ 𝑃 ∈ºA ya que Ip ⊂ºA 
→ººA⊂ºA………………………………………………….def de inclusión 
 
ii) ºA⊂ººA 
 𝑃 ∈ºA → ∃ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 , 𝐼𝑝 ⊂ºA………………..Punto interior. 
 → 𝑃 ∈ººA ya que Ip ⊂ººA 
 →ºA⊂ººA……………………………………………….def de inclusión 
 
∴ Por paso i, ii, ººA=ºA 
 
c) 𝐴 ∩ 𝐵 =ºA∩ºB 
 
i) 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ºA∩ºB 
 
𝑃 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 → ∃ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ⊂ ºA∩ºB ……….. Punto inferior 
→ 𝑃 ∈ºA ^ P ∈ºB ya que Ip ⊂ºA ∩ºB 
 
→ 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ºA∩ºB…………………………………….def de inclusión 
 
ii) ºA∩ºB ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵 
P∈ ºA∩ºB → ∃ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵 ……….. Punto inferior 
 
→ 𝑝 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ya que Ip ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵 
→ ºA∩ºB ⊂ º𝐴 ∩ º𝐵 ……………………….por def i,ii 𝐴 ∩ 𝐵 =ºA∩ºB 
 
d) ºA∪ºB ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵 
𝑃 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 → ∃ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ⊂ ºA∪ºB ……….. Punto inferior 
→ 𝐼𝑝 ⊂ºA∪ºB…………………………………………….Hipótesis. 
→ ∃ 𝐼𝑝, 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ⊂ºA∪ºB ………………………..def punto int. 
→ 𝑃 ∈ ºA ∪ ºB…………………………………………..def. unión 
→ºA∪ºB …………...……………………………………..def. unión 
 
𝐴 ∪ 𝐵 ⊂ºA∪ºB…………………………………………def. Inclusión 
 
e) 𝐴 − 𝐴 ⊂ 𝐴´ 
𝐷𝑒𝑓. de 𝐴´ acumulación 
𝑃 ∈ 𝑅, 𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (∀ 𝐼𝑝, 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 − 𝑃 ∩ 𝐴 ≠ ∅) 
 A-B= 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ^ 𝑥 ∉ 𝐵 
Demostración: 
Sea P ∈ 𝐴 − 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐴 ∩ 𝑃 ∉ 𝐴………………def. conjuntos 
→ ∀ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ∈ 𝐴 ≠ 0 ∩ 𝑃 ∉ 𝐴 … … … . . def. 𝑑𝑒 𝐴 ) 
→ ∀ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 → 𝐼𝑝 − 𝑃 ∩ 𝐴 ≠ 0 
 Ya que P ∉A 
→ 𝑃 ∈ 𝐴´………………………………………………….def. de 𝐴´ 
 P ∈ 𝐴 − 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐴´………………………………..S.H. 
 
𝐴 − 𝐴 ⊂ 𝐴´……………………………………………Def. de inclusión 
i) A⊂B→ 𝐴 ⊂ 𝐵…………..……………………P∈ 𝐴 → ∃𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ∩ 𝐴 ≠ ∅ 
P ∈ 𝐼𝑝 ^ 𝑃 ∈ 𝐴………….……………………def. Intersección. 
P∈ 𝐼𝑝^ 𝑥 ∈ 𝐵…………………….................Hipótesis 
P∈ 𝐼𝑝 ∩ B ……………………………………Intersección 
𝑃 ∈ 𝐵 ………………………………………….def. Puntos adherentes 
𝐴 ⊂ 𝐵…………………………………………..def. Inclusión. 
 
j) 𝐴 = 𝐴 
𝐴 ⊂ 𝐴 
i) 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃ 𝐺𝑥, 𝐺𝑥 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 
Gx ∩ 𝐴 ≠ 0 
→ 𝑥 ∈ 𝐴 ya que 𝐺𝑥 ∩ 𝐴 ≠ ∅ 
 → 𝐴 = 𝐴 ……………………………..def. de inclusión 
ii) 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃ 𝐺𝑥, 𝐺𝑥 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 
→ 𝐺𝑥 ∩ 𝐴 ≠ ∅ 
→ 𝑥 ∈ 𝐴 ya que 𝐺𝑥 ∩ 𝐴 ≠ ∅ 
→ 𝐴 ⊂ 𝐴 ……………………………..def. de inclusión 
∴ 𝑝𝑜𝑟 𝑖, 𝑒 𝑖𝑖 𝐴 = 𝐴 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EJERCICIO Nº7 
 
Si A= 
1
𝑛
/𝑛 𝜀 𝑁∗ Entonces Determinar Fr A y Ext A. 
Desarrollo 
1.- A= 
1
𝑛
 .............................................................................................Por 
Hipótesis 
2.- A= 1,1/2, 1/3, … ......................................................................... 
Sustitución de valores en n 
 3.- Fr A= A........................................................................................... 
Definición de Punto Frontera y paso 2 
4.- Ext A= ] − ∞, 0 𝑈 ··· 𝑈 1/3,1/2 𝑈 1 +
∞[....................................Definicion de Punto exterior y paso 2 y 3 
 
 
 
 
SECCIÓN 1.4 
 EJERCICIO 1 
Desarrollo 
a) Compruebe que (𝑮𝒏 )n𝝐𝑵
∗ es una cubierta de A=]0,1[, donde 𝑮𝒏 = 
𝟏
𝒏+𝟐
,
𝟏
𝒏
 . 
 
1.- Sea (𝐺𝑛 )n𝜖𝑁
∗..........................................................................................Hipótesis 
2.- 𝐺𝑛 = 
1
𝑛+2
,
1
𝑛
 ..................................................................Dato 
3.- 𝐺𝑛 = 
1
3
, 1 , 
1
4
,
1
2
 , 
1
5
,
1
3
 , … , 
1
𝑛+2
,
1
𝑛
 …......................... Sustitución de Valores 
4.- ∴ 𝐴 = 0,1 = 𝑈𝑛
∞ = 𝐺𝑛............................................. Definición de Cubierta paso 1 y 3 
 
b)Use a) para comprobar que A no es compacto 
1.- Sea 𝐺∗ = 𝑎1, 𝑏1 , 𝑎2, 𝑏2 , … , 𝑎𝑚 , 𝑏𝑚 ..............................Por parte a, dato 
2.- si ∈= 𝑚𝑖𝑛⁡(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑚 )......................................................Por pasó 1 
3.- ∈> 0...................................................................................... Por paso 2 
4.- 𝑎1, 𝑏1 , 𝑎2, 𝑏2 𝑈 … 𝑈 𝑎𝑚 , 𝑏𝑚 ⊂] ∈ ,1[................................Unión de paso 1 y 2 
5.- 0, ∈𝑦 ∈ ,1 Son disjuntos...................................................Definición de Unión 
(conjuntos disjuntos) 
6.- 𝐺∗ no es un recubrimiento de A.............................................Definición de recubrimiento 
paso 4 y 5 
7.- ∴ 𝐴 no es compacto.............................................................. .Definición de compacto y 
paso 6 
c) ¿De qué otra manera se justifica que A no es compacto? 
c) Del hecho de que A no es cerrado y por el Teorema de Heine Borel. 
 
 
 
 EJERCICIO 2 
 
Si 𝐴1, … , 𝐴𝑛 Son compactos de R, demostrar que 
 𝐴𝑖
𝑛
𝑖=1
 
es un compacto de R. 
 
Dar un ejemplo que ilustre que la unión infinita no siempre es un compacto. 
 
Desarrollo 
1.- Sea 𝐴𝑖 = 𝐴1, 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 compactos de R…… … … … … … …… … … … … … … ….Dato 
2.- 𝐴𝑖 es Cerrado y Acotado ∀𝑖= 1,2, … , 𝑛...........................................................Por 
definición de Compacto y paso 1 
3.- ∃ ∈𝑖/ 𝐴𝑖 ⊂ 𝑉∈𝑖 (0)............................................................................................Definicion 
de Compacto 
4.- Sea ∈= 𝑚𝑎𝑥 ∈𝑖/𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ........................................................................Por paso 3 
5.- 𝐴𝑖 ⊂ 𝑉∈(0)
𝑛
𝑖=1 ...............................................................................................Definición 
de conjunto acotado 
6.- 𝐴𝑖
𝑛
𝑖=1 es acotado........................................................................................... Por ser 
Acotado y paso 5 
7.- 𝐴𝑖
𝑛
𝑖=1 es compacto.........................................................................................Teorema de 
Heine Borel 
 
 Ejemplo 
 
Sea 𝐴𝑛= 𝑛, 𝑛 + 1 , 𝑛 ∈ 𝑁
∗ entonces 𝐴𝑖
𝑛
𝑖=1 = 1, +∞ 
 
 1, +∞ No es acotado y por lo tanto no es compacto (Según el teorema de Heine 
Borel). 
 
 EJERCICIO 3 
 
Justificar si el conjunto A es o no compacto, si 
 
A= [0,1]U{2}. 
 
Desarrollo 
 
1.- A= [0,1]U{2} ........................................................................................Hipótesis 
2.- R-A= ] −∞,0 [ U ]1,2[U]2,+∞[.............................Definición de punto exterior y paso 1 
3.- R-A es abierto...........................................................................Por definición y paso 2 
4.- A es Cerrado.............................................................................. por paso 1 
5.- A esta acotado por 𝑉𝜀(0)........................................................... Definición de Vecindario 
6.- A es Compacto......................................................................... Teorema de Heine Borel 
 
 
 EJERCICIO 4 
 
La familia de intervalos 𝐺𝑛 = 
1
𝑛
,
2
𝑛
 es una cubierta de 0,1 . Demostrar sin hacer uso del 
teorema de Heine-Borel que ninguna subfamilia finita de 𝐺𝑛 recubre el intervalo 0,1 . 
 
Desarrollo 
1.- Sea (𝐺𝑛 )n𝜖𝑁
∗. .....................................................................................................Dato 
2.- 𝐺𝑛 = 
1
𝑛
,
2
𝑛
 ........................................................................................................Hipótesis 
3.- 𝐺= 1,2 , 
1
2
, 1 , 
1
3
,
2
3
 , … , 
1
𝑛
,
2
𝑛
 , … .............................................................Sustitucion 
de valores en paso 2 
4.- si 𝐺∗ = 
1
𝑛
,
2
𝑛
 , 
1
𝑛2
,
2
𝑛2
 , … , 
1
𝑛𝑘
,
1
𝑛𝑘
 .............................................................Definicion de 
𝐺∗ y paso 3 
5.- 𝐺∗es una subcoleccion finita de G.................................................................Por paso 4 
6.- ∃/p=max 𝑛1, 𝑛2 , … , 𝑛𝑘 .............................................................................. Definición de 
Existencia 
7.- 
1
𝑝
∉ 
1
𝑛𝑖
,
2
𝑛𝑖
 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘..................................................................... por paso 3,4 y 
6 
8.- 
1
𝑝
∈ 0,1 ....................................................................................................... Definición 
Cubierta de un conjunto 
9.- ∴ ∃ subcoleccion finita de G que no recubre a 0,1 ...................................L.Q.Q.D 
 De modo que tampoco es compacto. 
 EJERCICIO Nº6 
 Dado el conjunto de intervalos abiertos G={]-(2-
𝟏
𝒏
),(2-
𝟏
𝒏
)[\n€N
*
} 
Dado que G={]-(2-
1
𝑛
),(2-
1
𝑛
) entoces 
G1=]-(2-
1
1 
), (2-
1
1 
) [ = ]-1,1 [ 
G2 =]-(2-
1
2 
), (2-
1
2 
) [ = ]-
3
2 
,
3
2 
 [ 
G3 =]-(2-
1
3 
), (2-
1
3 
) [ = ]-
5
3 
,
5
3 
 [ 
 
K = ]-2,2 [ 
 EJERCICIO Nº9 
Demostrar que una familia arbitraria de conjuntos compactos en R es compacta 
sea AC R se dice que A es compacta si es cerrado y acotado 
 
[0,2] es compacta 
 
(2,4] no es compacta 
 Sea Ui compacto^ Vj compacto cerrados y acotados → Ui Ώ Vj es compacto en R 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS CAPITULO II 
Sucesiones de números reales 
 EJERCICIO Nº 1 
Encontrar los diez primeros términos de la sucesión dada por el criterio indicado. 
a) (𝑺𝒎) = 
𝟐𝒎
𝟓𝒎−𝟑
 
 
𝑠1 = 
2 1 
5 1 − 3
 =
2
2
= 1 
 
𝑠2 = 
2 2 
5 2 − 3
 =
4
7
 
 
𝑠3 = 
2 3 
5 3 − 3
 =
6
12
=
1
2
 
 
𝑠4 = 
2 4 
5 4 − 3
 =
8
17
 
 
𝑠5 = 
2 5 
5 5 − 3
 =
10
22
=
1
11
 
 
𝑠6 = 
2 6 
5 6 − 3
 =
12
27
=
4
9
 
 
𝑠7 = 
2 7 
5 7 − 3
 =
14
32
=
7
16
 
 
𝑠8 = 
2 8 
5 8 − 3
 =
16
37
 
 
𝑠9 = 
2 9 
5 9 − 3
 =
18
43
=
3
7
 
 
𝑠10 = 
2 10 
5 10 − 3
 =
20
47
 
b) 𝑺𝒎 = 𝟏 + −𝟏 𝒎 
 
𝑠1 = 1 + −1 
1 = 1 − 1 = 0𝑠6 = 1 −1 
6 = 1 + 1 = 2 
 
𝑠2 = 1 + −1 
2 = 1 + 1 = 2𝑠7 = 1 −1 
7 = 1 − 1 = 0 
 
𝑠3 = 1 + −1 
3 = 1 − 1 = 0𝑠8 = 1 −1 
8 = 1 + 1 = 2 
 
𝑠4 = 1 + −1 
4 = 1 + 1 = 2𝑠9 = 1 −1 
9 = 1 − 1 = 0 
 
𝑠5 = 1 + −1 
5 = 1 − 1 = 0𝑠10 = 1 −1 
10 = 1 + 1 = 2 
c) 𝑺𝒎 = 𝒎 𝐬𝐢𝐧𝝅 𝒎 
𝑠1 = 1 sin 𝜋(1) = 0.055𝑠6 = 6 + sin 𝜋(6) = 1.9385 
 
𝑠2 = 2 sin 𝜋(2) = 0.219𝑠7 = 7 + sin 𝜋(7) = 2.16212 
 
𝑠3 = 3 sin 𝜋(3) = 0.493𝑠8 = 8 + sin 𝜋(8) = 3.3997 
 
𝑠4 = 4 sin 𝜋(4) = 0.219𝑠9 = 9 + sin 𝜋(9) = 4.2632 
 
𝑠5 = 5 sin 𝜋(5) = 1.3537𝑠10 = 10 + sin 𝜋(10) = 5.2125 
 
 
 
d) 𝑺𝒎 = 
𝟐𝒎+𝟏
𝒆𝒎
 
 
𝑆1 = 
21 + 1
𝑒1
 =
3
𝑒
𝑆6 = 
26 + 1
𝑒6
 =
65
𝑒6
 
 
𝑆2 = 
22 + 1
𝑒2
 =
5
𝑒2
𝑆7 = 
27 + 1
𝑒7
 =
129
𝑒7
 
 
 
𝑆3 = 
23 + 1
𝑒3
 =
9
𝑒3
𝑆8 = 
28 + 1
𝑒8
 =
257
𝑒8
 
 
𝑆4 = 
24 + 1
𝑒4
 =
17
𝑒4
𝑆9 = 
29 + 1
𝑒9
 =
513
𝑒9
 
 
𝑆4 = 
24 + 1
𝑒4
 =
17
𝑒4
𝑆9 = 
29 + 1
𝑒9
 =
513
𝑒9
 
 
𝑆5 = 
25 + 1
𝑒5
 =
33
𝑒5
𝑆10 = 
210 + 1
𝑒10
 =
1025
𝑒10
 
 
 
e) 𝑺𝟏 = 𝟏; 𝑺𝟐 = 𝟐; 𝑺𝒎 + 𝟐 =
𝑺𝒎+𝟏+𝑺𝒎
𝑺𝒎+𝟏−𝒔𝒎
 
 
𝑚 = 1, 𝑆1 + 2 = 𝑆3 =
𝑆1 + 1 + 𝑆1
𝑆1 + 1 − 𝑠1
=
2 + 1
2 − 1
=
3
1
= 3 
 
𝑚 = 2, 𝑆2 + 2 = 𝑆4 =
𝑆2 + 1 + 𝑆2
𝑆2 + 1 − 𝑠2
=
3 + 2
3 − 2
=
5
1
= 5 
 
𝑚 = 3, 𝑆3 + 2 = 𝑆4 =
𝑆3 + 1 + 𝑆3
𝑆3 + 1 − 𝑠3
=
5 + 3
5 − 3
=
8
2
= 4 
 
𝑚 = 4, 𝑆4 + 2 = 𝑆6 =
𝑆4 + 1 + 𝑆4
𝑆4 + 1 − 𝑠4
=
4 + 5
4 − 5
=
9
−1
= −9 
 
𝑚 = 5, 𝑆5 + 2 = 𝑆7 =
𝑆5 + 1 + 𝑆5
𝑆5 + 1 − 𝑠5
=
−9 + 4
−9 − 4
=
−5
−13
=
5
13
 
 
𝑚 = 6, 𝑆6 + 2 = 𝑆8 =
𝑆6 + 1 + 𝑆6
𝑆6 + 1 − 𝑠6
=
5
13
+ (−4)
5
132
(−9)
=
−56
61
 
 
𝑚 = 7, 𝑆7 + 2 = 𝑆9 =
𝑆7 + 1 + 𝑆7
𝑆7 + 1 − 𝑠7
=
−56
61
+ (
5
13
)
−
56
61
−
5
13
=
423
1033
 
𝑚 = 8, 𝑆8 + 2 = 𝑆8 =
𝑆8 + 1 + 𝑆8
𝑆8 + 1 − 𝑠8
=
423
1033
+ (−
56
61
)
423
1033
− (−
56
61
)
= −0.38 
f) (𝑺𝒎) = ((𝟏 + 
𝟏
𝒎
)𝒎 
m=1→((1 +
1
1
)1 = 2 
m=2→((1 +
1
2
)2 = (
3
2
)²= 9
4
 
m=3→((1 +
1
3
)3 = (
4
3
)³= 
64
27
 
 m=4→((1 +
1
4
)4 =(
5
4
)4 = 625
256
 
 m=5→((1 +
1
5
)5 =(
6
5
)4 = 7776
3125
 
g) (𝑺𝒎) =(1 - 
𝟐
𝒎𝟐
) 
m =1→(1 - 
2
12
) = -1 
 m =2→(1 - 
2
22
 )= 1-
1
2
 = 
1
2
 
m =3→(1 - 
2
32
 )= 1-
2
9
 = 
7
9
 
 m =4→(1 - 
2
42
 )= 1-
2
16
 = 
14
16
 =
7
 8
 
 m =5→(1- 
2
52
 )= 1-
2
25
 = 
23
25
 
 
h) ((𝑺𝒎) = 
𝒏−𝟏
𝒏+𝟏
 ------------- No tiene solución 
 
 
i)𝑺𝟏 =1 ; 𝑺𝒎+𝟏 = 3𝑺𝒎 + 1 
m = 1→ 𝑆2 = 3𝑆1 + 1 
 = 3(1) + 1 
 = 4 
m = 2→ 𝑆3 = 3𝑆2 + 1 
 = 3(4) + 1 
 = 13 
 
 m =3 → 𝑆4= 3𝑆3 + 1 
 = 3(13) + 1 
 = 40 
 
m =4 → 𝑆5= 3𝑆4 + 1 
 = 3(40) + 1 
 = 121 
 
 m =5 → 𝑆6= 3𝑆5 + 1 
 = 3(121) + 1 
 = 364 
 
 
 
j) 𝑺𝟏 =1 ; 𝑺𝟏 = 𝟐; 𝑺𝒎+𝟐 = 
𝑺𝒎+𝟏+𝑺𝒎
𝑺𝒎+𝟏− 𝑺𝒎
 
 m= 1 → 𝑆3=
1+1+1
1+1−1
 = 3 
m= 2 → 𝑆4=
2+1+2
2+1−2
 = 5 
 m= 3 → 𝑆5=
3+1+3
3+1−3
 = 7 
 m = 4 → 𝑆6=
5+1+5
5+1−5
 = 11 
 m = 5 → 𝑆7=
7+1+7
7+1−7
 = 15 
k)𝑺𝟏 =3 ; 𝑺𝟐 = 𝟓; 𝑺𝒎+𝟐 = 𝑺𝒎+𝑺𝒎+𝟏 
 m =1 → 𝑆3= 7 
 m =2 → 𝑆4= 5 + 6 =13 
 m =3 → 𝑆9= 7 + 8 =15 
 m =4 → 𝑆13= 23 
 m =5 → 𝑆7= 40 
 
 
 EJERCICIO Nº3 
De las sucesiones del punto anterior señale cuales de ellas corresponden a 
sucesiones de números racionales. 
R= a), f) y g) 
 
 
 EJERCICIO Nº3 
Determine cuáles de las siguientes sucesiones son nulas. 
a) 
𝟏
𝒏𝟐
 =lim𝑥→∞
1
𝑛2
= 𝐥im𝑥→∞
1
𝑛2
𝑛2 
𝑛2
=lim𝑥→∞
0
1
= 𝑁𝑢𝑙𝑜 
 
b) 
𝑛2
𝑛3+2
 = lim𝑥→∞
𝑛2
𝑛3+2
= lim𝒙→∞
𝒏𝟐
𝒏𝟑
 
𝒏𝟑
𝒏𝟑
 +𝟐
𝒏𝟑 
= lim𝑥→∞
𝟎
𝟏+𝟎
= 0 → 𝑁𝑢𝑙𝑜 
 
 
c) 
1+𝑛
𝑛2
 = 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞
𝟏+𝒏
𝒏𝟐
= 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞
𝟏
𝒏𝟐
+
𝒏
𝒏𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟐
=lim𝑥→∞
0
1
= 𝑁𝑢𝑙𝑜 
 
d) 
1
𝑛2+1
 
lim𝑛→∞(
1
𝑛2+1
) = lim𝑛→∞(
𝑛
𝑛2
𝑛2
𝑛2 
+
1
𝑛2
 ) 
 
 = 
lim 𝑛→∞
1
𝑛
lim
𝑛→∞
1− lim
𝑛→∞
1
𝑛2
 
 = 
0
1−0
 
Es nula 
 
 
 
 EJERCICIO N 4 
Comparar que 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞
𝒏+𝟏
𝟐𝒏
=
𝟏
𝟐
 
 
 𝑆𝑛 − 𝑆 < 𝜀 → 
𝑛+1
2𝑛
−
1
2
 < 𝜀 Sea 𝜀 = 0.01 
 
→ 
𝑛 + 1 − 𝑛
2𝑛
 < 𝜀
1
2 0.01 
< 𝑛 
 
→ 
1
2𝑛
 < 𝑛 50<n 
 →
1
2𝜀
< 𝑛 
Los términos se encuentran en el entorno del centro 𝑦2 y radio 𝜀, excepto los primeros 
cincuenta. 
 
 
 
 
 
 EJERCICIO 5 
Demostrar que las siguientes sucesiones de números racionales son convergentes. 
a) 
2𝑛+1
3𝑛
 =lim𝑥→∞
2𝑛+1
3𝑛
= lim𝑥→∞
𝟐𝒏
𝒏
+𝟏
𝟑
𝒏
= lim𝑥→∞
2+0
3
=
2
3
= 0.6 
 
3𝑛 + 1
3𝑛
 =
1
3
< 𝜀 → 
2𝑛 + 1 − 2𝑛
3𝑛
 < 𝜀 →
1
3𝑛
< 𝜀 →
1
3𝜀
> 𝑛 
Sea 𝜀 = 0.01 
1
3 0.01 
< 𝑛 
 =33<n 
 
b) 
2𝑛2−1
2𝑛2+1
 =lim𝑥→∞
2𝑛2−1
2𝑛2+1
= lim𝑥→∞
𝟐𝒏𝟐
𝒏𝟐
−
𝟏
𝒏𝟐
𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟐
+
𝟏
𝒏𝟐
= lim𝑥→∞
2−0
2+0
= 1 
 
 
2𝑛2 − 1
2𝑛2 + 1
− 1 < 𝜀 → 
2𝑛2 − 1 − 2𝑛2 − 1
2𝑛2 + 1
 < 𝜀 
 
 
−2
2𝑛+1
 < 𝜀 = 
2
3𝜀2+1
< 𝑛 
 
 EJERCICIO 8 
Demostrar que (𝑺𝒏) no es convergente sí: 
a) (𝑆𝑚 ) = 2
𝑚 
Supongamos que 2𝑚 → 𝐿 𝑦 𝜀 = 0.01 tenemos que 
 2𝑚 − 𝐿 < 𝜀 
−0.01 < 2𝑚 − 𝐿 < 0.01 
−0.01 + 𝐿 < 2𝑚 < 0.01 + 𝐿; Para m=LL>0 obtenemos 
2𝐿 < 0.01 + 𝐿 
𝐿 log2) < log⁡(0.01 + 𝐿 
𝐿 log2) − log⁡(0.01 + 𝐿) < 0, ; No existe número natural que contenga la 
desigualdad 
 
 
b) (𝑆𝑚 ) = −1 
𝑚𝑚2 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑚 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑠𝑚 = −𝑚
2 
𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 −𝑚2 → 𝐿 𝑦 𝜀 = 0.01 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 
 −𝑚2 − 𝐿 < 𝜀 
−0.01 < −𝑚2 − 𝐿 < 0.01 
−0.01+L<−𝑚2 < 0.01 + 𝐿 
0.01 − 𝐿 − 𝑚2 > −0.01 − 𝐿 para m=L L> 0.06 tenemos 
0 > 𝐿2 +L 0.01……………………...…..no existe numero natural que verifique la 
 Desigualdad 
0.2 para m por (𝑆𝑚 ) = m
2
 Supongamos que (𝑚2) − 𝐿 
 𝑚2 − 𝐿 < 𝜀 → 0.01 < 𝑚2 − 𝐿 < 0.01−→ −0.01 + 𝐿 < 𝑚2 
𝐿0.01 + 𝐿 
Para m=L L>0 
𝐿2 < 0.01 + 𝐿 
𝐿2 − 𝐿 − 0.01 < 0; no existen números reales que verifican la desigualdad 
∴ 𝑝𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑠𝑜 𝑏. 1 𝑆𝑚 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 
 EJERCICIO 9 
 Si 𝑠𝑚 = 𝑚 + 1 – 𝑚∀ 𝑚𝜖 𝑁
∗ Demostrar que entonces convergen las 
sucesiones: 
b) ( 𝑚𝑠𝑚 ) 
Solución: 
lim𝑚→ 𝑆𝑚 = 0 
lim→∞ 𝑚𝑠𝑚 = lim𝑚→∞ 𝑚( 𝑚 + 1 – 𝑚) 
 = lim𝑚→∞ 𝑚 𝑚 + 1 lim𝑚→∞ 𝑚 
 = lim𝑚→∞ 
𝑚
𝑚
 
𝑚
𝑚
+
1
𝑚
− lim𝑚→∞
𝑚
𝑚
 
 = lim𝑚→∞ 1 − lim𝑚→∞ 
𝑚
𝑚
+
1
𝑚
 - lim𝑚→∞ 1 
 = 1 – 0-1 
lim→∞ 𝑚𝑠𝑚 = 0 
 
 
 EJERCICIO 12 
Demostrar que la sucesión dada converge al límite indicado 
 𝟏 +
𝟐
𝒎
 
𝟐
 → 𝟏 
lim
𝑚→∞
 1 +
2
𝑚
 
2
= lim
𝑚→∞
 
𝑚 + 2
𝑚
 
2
 
lim
𝑚→∞
 
𝑚
𝑚
+
2
𝑚
𝑚
𝑚
 
2
= lim
𝑚→∞
 
1 +
2
𝑚
1
 
2
 
 
lim
𝑚→∞
 
1 + ∞
1
 
2
= lim
𝑚→∞
1 = 1 
 
 
 
 EJERCICIO 27 
Estudiar si 𝜶 = 
𝟏
𝒏𝟐+𝟏
 𝒚 𝜷 = 
𝟐𝒏
𝒏+𝟐
− 𝟐 dan lugar a números iguales 
 
∝= 
𝟏
𝒏𝟐 + 𝟏
 ; 𝜷 = 
𝟐𝒏
𝒏 + 𝟐
− 𝟐 
 
 𝑆𝑚 𝑅 𝐸𝑛 = 0 
 
1
𝑛2 + 1
 − 
2𝑛
𝑛 + 2
− 2 = 0 
 
 
1
𝑛2 + 1
 − 
2𝑛 − 2𝑛 − 4
𝑛 + 2
 = 
1
𝑛2 + 1
 − 
−4
𝑛 + 2
 = 0 
= 
1
𝑛2 + 1
+
4
𝑛 + 2
 = 0 −→
𝑛 + 2 + 4𝑛2 + 4
 𝑛2 + 1 𝑛 + 2 
 
−→
4𝑛2 + 𝑛 + 6
 𝑛2 + 1 𝑛 + 2 
 → lim
𝑛→∞
4𝑛2 + 𝑛 + 6
𝑛3 + 2𝑛2 + 𝑛 + 2
 
→ lim𝑛→∞
4𝑛2
𝑛3
+
𝑛
𝑛3
+
6
𝑛3
𝑛3
𝑛3
+
2𝑛2
𝑛3
+
𝑛
𝑛3
+
2
𝑛3
=
0
1
= 0 
 
∴ ∝= 𝛽 𝑑𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑎 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠. 
 
 
 
 
 EJERCICIO 22 
Demostrar que la sucesión 
𝒏+𝟏
𝒏
 𝐞𝐬 𝐮𝐧𝐚 𝐬𝐮𝐜𝐞𝐢ón de cauchy 
𝑆 ∈ 𝑃, 𝑞 ≥ 𝑚0 
 𝑆𝑝, 𝑆𝑞 < 𝜀 
 
𝑝 + 1
𝑝
− 
𝑞 + 1
𝑞
 < 𝜀 
 
𝑝𝑞 + 𝑞 − 𝑝𝑞 − 𝑝
𝑝 ∗ 𝑞
 < 𝜀 
 
𝑞 − 𝑝
𝑝 ∗ 𝑞
 < 𝜀 
 
1
𝑝
−
1
𝑞
 < 𝜀 por hipótesis 
𝑝 > 𝑚0, 𝑞 > 𝑚0 
1
𝑝
<
1
𝑚0
; 
1
𝑞
<
1
𝑚0
 
 
1
𝑝
−
1
𝑞
 <
1
𝑚0
+
1
𝑚0
 
 
 
1
𝑝
−
1
𝑞
 <
2
𝑚0
< 𝜀 
 
 
 
∴ 𝑚0 = 
2
𝜀
 
 
 
 
EJERCICIOS CAPITULO 3 
 EJERCICI Nº 1 
Sean V= 𝑿𝟏, 𝑿𝟐 , V= 𝒀𝟏, 𝒀𝟐 ∈ 𝑹
𝟐 
a) Verificar si la sig. Expresión es un producto interno en 𝑹𝟐 
 
 𝑈, 𝑉 = 𝑋, 𝑌, −2𝑋1𝑌2 − 2𝑋2𝑌1 + 5𝑋2𝑌2 
 𝑈, 𝑉 = 𝑋1, 𝑌1 − 2𝑌2 + 𝑋2, −2𝑦1 + 5𝑌2 
 𝑋1 + 𝑋2, 𝑌1 − 2𝑌2 + −2𝑌1 + 5𝑌2 
 𝑋1 + 𝑋2, 𝑌2 − 2𝑌1 + −2𝑌2 + 5𝑌2 
 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑈, 𝑉 = 4 = 𝑋1, 𝑋2 , 𝑉 = 𝑌1, 𝑌2 
 
b) ¿Para qué valores de K es el siguiente un producto interno 𝑹𝟐 
 𝑈, 𝑉 = 𝑋1𝑌1 − 3𝑌1𝑌2 − 3𝑋2𝑌1 + 𝐾𝑋2𝑌2 
 𝑋1, 𝑌1−𝑌2 + 𝑋2, −3𝑌1 + 𝐾𝑌2 
 𝑋1 + 𝑋2, 𝑌1 − 3𝑌2 + −3𝑌1 + 𝐾𝑌2 
 𝑋1 + 𝑋2, 𝑌13𝑌1 + −3𝑌2 + 𝐾𝑌2 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑌2 = −3𝑌2 + 𝐾𝑌2 
𝑌2 + 3𝑌2 = 𝐾𝑌2 
4𝑌2 = 𝐾𝑌2 
 4 = 𝐾 
Por tanto por K=4 es un producto interno en 𝑹𝟐 
 EJERCICIO 2 
Sean X,Y ∈ 𝑹𝒏 Demostrar que 
b) 𝑿 + 𝒀 𝟐+) 𝑿 − 𝒀 𝟐 = 𝟐 𝑿 𝟐 + 𝟐 𝒀 𝟐 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒑𝒓𝒆𝒕𝒆 𝒆𝒏 𝑹𝟐 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐. 
 𝒙 + 𝒚, 𝒙 + 𝒚 + 𝒙 − 𝒚, 𝒙 − 𝒚 
 𝑥, 𝑦 + 2 𝑥, 𝑦 + 𝑦, 𝑦 + 𝑥, 𝑥 − 2 𝑥, 𝑦 + 𝑦, 𝑦 
 𝑥 2 + 2 𝑥 𝑦 + 𝑦 2 + 𝑥 2 − 2 𝑥 𝑦 + 𝑦 2 
 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 
2 𝑥 + 2 𝑦 2 
 
c) ||x + y||2 - ||x + y||2 = 4 <x, y> 
 ( 𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦 2 )2 − ( (𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 𝑦))2 
 = 𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦 - 𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 𝑦 
 = 𝑥, 𝑥 + 𝑦 > + < 𝑦, 𝑥 + 𝑦 - [ 𝑥, 𝑥 − 𝑦 > + < −𝑦, 𝑥 − 𝑦 ] 
 = 𝑥, 𝑥 + 𝑥, 𝑦 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑦 - [ 𝑥, 𝑥 - 𝑥, 𝑦 - 𝑦, 𝑥 ] 
 = x 
2
 + 2 𝑧, 𝑦 + y 
2
 - x 
2
+ 2 𝑥, 𝑦 - y 
2
 
 =4 𝑥, 𝑦 
||x + y||2 - ||x + y||2 = 4 𝑥, 𝑦 
 
EJERCICIOS 3.3-3.4 
 
 EJERCICIO Nº1 
 
Sean A, B ⊂ 𝑹𝒏 demostrar que 
a) A⊂B→ 𝑨° ⊂ 𝑩° 
i) AC𝑅𝑛 , Sea X un punto inferior de A si ∃𝜀, 𝜀 > 0 
 Tal que 𝐴𝜀 𝐴 ⊂ 𝐴 
 Entonces 𝐴° ⊂ 𝐴 
𝑖𝑖 )𝐵𝐶𝑅𝑛 Sea un punto inferior de B si ∃𝜀, 𝜀 > 0 
 Tal que 𝐵𝜀 𝐵 ⊂ 𝐴 
 Entonces 𝐵° ⊂ 𝐴 
 Si A ⊂ B → X que es puntoinferior de A también lo es de 
→ 𝐴𝜀 𝐴 ⊂ 𝐵𝜀 𝐵 
→ 𝐴°𝐶𝐵° 
 Por lo tanto A ⊂ B→ 𝐴° ⊂ 𝐵° 
 
i) A ⊂ B → 𝑨 𝑪 𝑩 
 
A ⊂ 𝑅𝑛 , X e 𝑅𝑛 Se llama punto adherente de A si VG, G, 
Abierto tal que X ∈ G → G ∩ A ≠ 0 → X ∈ 𝐴 
Si A ⊂ B → X también punto adherente de B y 
∀𝐺 ; G abierto tal que X ∈ G 
→ G ∩ B ≠ 0 
→ 𝑋 ∈ 𝐵 
 Como 𝑋 ∈ 𝐴 𝑦 𝑋 ∈ 𝐵 
Entonces 𝐴 ⊂ 𝐵 por lo tanto A⊂ B → 𝐴 ⊂ 𝐵 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS 3.5-3.15 
 EJERCICIO Nº 1 
Demuestre haciendo uso de la definición del limite 
a) 𝐥𝐢𝐦 𝒙,𝒚 =→(𝟎,𝟎)
𝒙𝟒+𝒚𝟒
𝒙𝟐+𝒚𝟐
= 𝟎 
 
∀𝜀 > 0 ∃𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 ∈ 𝜇, 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2 
 𝑥 − 0 2 + 𝑦 + 0 2 < 𝛿 → 𝑓 𝑥, 𝑦 − 0 < 𝜀 
Debemos probar que ∃𝛿 > 0 tal que 
 𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿 → 𝑥 < 𝛿 𝑦 𝑦 < 𝛿 
 
𝑥4 + 𝑦4
𝑥2 + 𝑦2
 =
𝑥4 + 𝑦4
𝑥2 + 𝑦2
≤
𝑥4 + 2𝑥2𝑦2 + 𝑦4
𝑥2 + 𝑦2
 
 𝑥2 + 𝑦2 2
 𝑥2 + 𝑦2 
= 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 < 𝛿2 + 𝛿2 = 2𝛿2 = 𝜀 
Entonces 𝛿2=
𝜀
2
→ 𝛿 = 
𝜀
2
 
 
 
b) 𝐥𝐢𝐦 𝒙,𝒚 →(𝟎,𝟎) 𝒙𝒔𝒆𝒏
𝟏
𝒚
+ 𝒚𝒔𝒆𝒏
𝟏
𝒙
 = 𝟎 
 (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 < 𝛿 
 (𝑥)2 + (𝑦)2 < 𝛿 → 𝑥𝑠𝑒𝑛
1
𝑦
+ 𝑦𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
 < 𝜀 
 𝑥 < 𝛿, 𝑦 < 𝛿 
 𝑥 + 𝑦 < 𝜀 
Entonces 𝛿 = 𝜀 
 
 
c) 𝐥𝐢𝐦 𝒙,𝒚 →(𝟎,𝟎)
𝒙−𝟐
𝒙𝒚−𝟐𝒚
= 𝟏 
 (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2< 𝛿 𝑓 𝑥, 𝑦 − 1 <𝜀 
 (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2<𝛿 𝑥 − 2 < 𝛿 𝑦 − 1 < 𝛿 
 𝑓 𝑥, 𝑦 − 1 = 
(𝑥 − 2)
𝑦(𝑥 − 2)
− 1 = 
1
𝑦
− 1 = 
1 − 𝑦
𝑦
 <
𝛿
 𝑦 
 
𝛿 ≤ 
1
2
→ 𝑦 − 1 < 𝛿 <
1
2
 𝑦 − 1 < 1 2 
1- 𝑦 ≤ 𝑦 − 1 < 1 2 
1 − 1 2 < 𝑦 

1
2 < 𝑦 
 
2 >
1
 𝑦 
 
 
- 𝑓 𝑥, 𝑦 − 1 <
𝛿
 𝑦 
< 𝑧𝛿 
 
z↑ 𝛿 = 𝜀 → 𝛿 = 𝜀 𝑧 
 
 
 
d)𝐥𝐢𝐦 𝒙,𝒚 →(𝟎,𝟎) (𝒙 − 𝟏)
𝟐 + (𝒚 + 𝟐)𝟐 = 𝟎 
 
*∀ 𝜀 > 0 , ∃𝛿 > 0 tal que (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 < 𝛿 
= 𝑥 − 1 < 𝛿 𝑦 𝑥 + 2 < 𝛿 
= [(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2] < 𝜀 
-(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 = 𝑥 − 1 2 + 𝑦 + 2 2 < 𝛿2 + 𝛿2 
 = 2𝛿2 = 𝜀 
 = 𝛿2 = 𝜖 2 
 = 𝛿 = 𝜀 2 
 
 
 EJERCICIO N2 
Determinar si existen: 
a) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙𝒚−𝒙+𝒚
𝒙+𝒚
 
 
La función está definida en 𝑀 = 𝑅2 − { 0,0 } 
Haciendo 𝑀1 = { 𝑥, 0 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 0, 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑗𝑒 x} 
 𝑀2 = { 0, 𝑦 𝑦 ∈ 𝑅, 𝑦 ≠ 0, 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑗𝑒 y} 
 
𝑀, 𝐶 𝑀 ^ 𝑀2 𝐶 𝑀 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐹 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑀, 𝑦 
𝐹 𝑥, 0 =
𝑥(0) − 𝑥 + (0)
𝑥 + 0
=
−𝑥
𝑥
= −1 
 
Como 𝑭 𝒙, 𝟎 ≠ 𝑭(𝒚, 𝟎) No existe el límite 
 
 
b) lim(𝑥 ,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦2
𝑥2+𝑦4
 
 
F está definida en 𝑀 = 𝑅2 − { 0,0 } 
Si 𝑀1 = {(𝑥, 0) 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 0} 
𝑀2 = {(0, 𝑦) 𝑦 ∈ 𝑅, 𝑦 ≠ 0} 
 
Como 𝑀1𝑀2 𝐶 𝑀, 𝐹 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑀, 𝑦 𝑀2 
𝐹 𝑥, 0 =
𝑥(0)2
𝑥2 + (0)4
=
0
𝑥2
= 0 
 
𝐹 0, 𝑦 =
(0)(𝑦)2
(0)2 + (𝑦)4
=
0
𝑦2
= 0 
Como 𝐹 𝑥, 0 = 𝐹(0, 𝑦) el límite existe y es igual a 0 
 
 
c) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙𝟐+𝒚
𝒙𝟐+𝒚𝟐
 
 
Si 𝑀1 = {(𝑥, 0) 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≠ 0} 
𝑀1 = {(0, 𝑦) 𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≠ 0 } 
 
Como 𝑀1y 𝑀2 ⊂ 𝑀, F está definida en 𝑀1 y 𝑀2 
f 𝑥, 0 = 
𝑥2+(0)
𝑥2+(0)2
 =
𝑥2
𝑥2
= 1 
 
f 0, 𝑦 =
(𝑜)2+𝑦
(0)2+𝑦2
=
𝑦
𝑦2
=
1
𝑦
= ∞ 
 
Como f 𝑥, 𝑜 ≠ f 𝑜, 𝑦 límite no existe 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) lim(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝑥4+𝑦4
𝑥2+𝑦2
 =0 
𝑆𝑛= 
1
𝑛
, 0 𝑉𝑛 = 0,
1
𝑛
 
f 𝑆𝑛 =
1
𝑛4 
1
𝑛2 
 = 
𝑛2
𝑛4
=
1
𝑛2
→ 0 
f 𝑉𝑛 = 
1
𝑛4 
1
𝑛2 
= 𝑛2 𝑛4 = 1 𝑛2 → 0 
Como f (𝑆𝑛), y f (𝑉𝑛) Convergen al mismo limite entonces el límite existe y es igual a 0 
 
 EJERCICIO Nº 3 
Identificar las superficies siguientes. 
 
a) 𝑋2 + 4𝑌2 − 16𝑍2 = 0 
𝑋2 + 4𝑌2 = 16𝑍2 
𝑋2
16
+
4𝑌2
16
= 𝑍2 
𝑋2
16
+
𝑦4
4
= 𝑍2Cono Cuadrático 
 
b) 𝑥2 + 4𝑦2 + 16𝑧2 = 12 
 
𝑥2
12
+
4𝑦2
12
+
16𝑧2
12
= 1 
 
𝑥2
12
+
𝑦2
3
+
4𝑧2
3
= 1 
𝑥2
12
+
𝑦2
3
+
𝑧2
3
4 
= 1 ELIPSOIDE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 5𝑋2 + 2𝑌2 − 6𝑍210 = 0 
5𝑋2 + 2𝑌2 − 6𝑍2 = 10 
5𝑥2
10
+
2𝑦2
10
−
6𝑧2
10
= 1 
𝑥2
2
+
𝑦2
5
−
𝑧2
5
3 
= 1 Hiperboloide de 
una hoja 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g)𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2 − 4 = 0 
𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2 = 4 
𝑋2
4
+
𝑌2
4
+
𝑍2
4
= 1 Hiperboloide de una hoja 
 
 
h)5𝑋2 + 2𝑌2 − 6𝑍2 + 10 = 0Hiperboloide de 2 hojas 
5𝑋2 + 2𝑌2 − 6𝑍2 = −10 
5𝑋2
10
+
2𝑌2
10
−
6𝑍2
10
= −1 
𝑋2
2
+
𝑌2
5
−
𝑍2
5
3 
= −1 
 
 
i)𝑥2 + 2𝑦2 − 4𝑧 = 0Paraboloide hiperbólico 
𝑥2 + 2𝑦2 = 4𝑧 
𝑥2 +
𝑦2
1
2 
= 4𝑧 
 
 
 
 
j)2𝑥2 − 3𝑦2 − 6 = 1Cilindro hiperbólico 
2𝑥2 − 3𝑦2 = 7 
2𝑥2
7
−
3𝑦2
7
= 1 
𝑥2
7
2 
−
𝑦2
7
3 
= 1