cdm_volumenes

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CALCULO DE CENTROS DE MASA 
 
 
Determinar la posición del C.M. de un semicono. 
 
Solución: I.T.I. 01, I.T.T. 01, 04 
 
Sea el semicono de la figura orientado a lo largo del 
eje X, de altura H y radio R. Dado que el plano XY es 
un plano de simetría que divide al semicono en dos 
mitades simétricas, el C.M. se encontrará en dicho 
plano, con lo cual la coordenada z del C.M. será nula: 
 
 
 
Para el cálculo de la coordenada x del C.M. 
dividimos al semicono en rodajas en forma de 
semidiscos de radio r y espesor dx. La abertura del 
cono nos da la relación entre la coordenada x y el 
radio r de los semidiscos: 
 
€ 
R
H =
r
x ⇒ r =
R
H
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ x 
 
El volumen de cada uno de los semidiscos será: 
 
€ 
dV = 12π r
2dx = 12 π
R
H
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
2
x2dx 
 
El volumen total del semicono será: 
 
€ 
V = dV∫ =
1
2π
R
H
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
2
x 2dx
0
H
⌠ 
⌡ 
⎮ =
1
6π R
2H 
 
La coordenada x del C.M. será: 
 
xdV∫ =
1
2
π
R
H
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
x3dx
0
H
⌠
⌡
⎮
⎮ =
1
8
πR2H 2
⇒ xC .M . =
xdV∫
dV∫
=
 
 
Para la coordenada y del C.M. vamos a utilizar los mismos diferenciales de 
volumen del cálculo anterior, a pesar de que todos sus puntos no tengan la misma 
coordenada y. Sabiendo que el C.M. de un semicírculo de radio r se encuentra a 
x 
y 
z 
H 
R 
€ 
zC.M . = 0
 
x 
y 
z 
x 
r 
€ 
3
4 H
 
x 
y 
z 
H 
R 
una distancia 
€ 
4r
3π del diámetro, vamos a tomar esta posición como la 
representativa de cada una de las rodajas utilizadas en el apartado anterior. 
 
€ 
ysemidisco dV∫ =
4r
3π
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
dV⌠ 
⌡ 
⎮ =
4r
3π
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
1
2 π r
2dx
0
H
⌠ 
⌡ 
⎮ =
=
2
3 r
3dx
0
H
⌠ 
⌡ 
⎮ =
2
3
R
H
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
3
x 3dx
0
H
⌠ 
⌡ 
⎮ =
1
6 R
3H
⇒ yC.M . =
ysemidisco dV∫
dV∫
=
 
 
 
 
Calcular el centro de masas de medio paraboloide (y ≥ 0) de revolución alrededor del 
eje X, cuyo radio en la base es R, la altura es H, y su vértice se encuentra en el origen de 
coordenadas. 
 
Solución: I.T.I. 03, 04, I.T.T. 01 
 
Sea el semiparaboloide de la figura 
orientado a lo largo del eje X, de altura H y 
radio R. Dado que el plano XY es un plano 
de simetría que divide al semiparaboloide en 
dos mitades simétricas, el C.M. se 
encontrará en dicho plano, con lo cual la 
coordenada z del C.M. será nula: 
 
 
Para el cálculo de la coordenada x del C.M. 
dividimos al semiparaboloide en rodajas en 
forma de semidiscos de radio r y espesor dx. 
La ecuación del paraboloide nos da la 
relación entre la coordenada x y el radio r de 
los semidiscos: 
 
€ 
x = k r 2
H = k R2
⎫ 
⎬ 
⎪ 
⎭ ⎪ 
⇒ k = HR2 ⇒ r =
R2
H x
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
1
2
 
 
El volumen de cada uno de los semidiscos será: 
 
€ 
dV = 12π r
2dx = 12 π
R2
H x
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ dx 
 
€ 
R
π
 
€ 
zC.M . = 0
 
x 
y 
z 
x 
r 
El volumen total del semiparaboloide será: 
 
€ 
V = dV∫ =
1
2π
R2
H x
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ dx
0
H
⌠ 
⌡ 
⎮ =
1
4 π R
2H 
 
La coordenada x del C.M. será: 
 
€ 
xdV∫ =
1
2
π
R2
H
⎛ 
⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
x 2dx
0
a
⌠ 
⌡ 
⎮ =
1
6
π R2H 2
⇒ xC .M . =
x dV∫
dV∫
=
 
 
Para la coordenada y del C.M. vamos a utilizar los mismos diferenciales de 
volumen del cálculo anterior, a pesar de que todos sus puntos no tengan la misma 
coordenada y. Sabiendo que el C.M. de un semicírculo de radio r se encuentra a 
una distancia 
€ 
4r
3π del diámetro, vamos a tomar esta posición como la 
representativa de cada una de las rodajas utilizadas en el apartado anterior. 
 
€ 
ysemidisco dV∫ =
4r
3π
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
dV⌠ 
⌡ 
⎮ =
4r
3π
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
1
2 π r
2dx
0
H
⌠ 
⌡ 
⎮ =
=
2
3 r
3dx
0
H
⌠ 
⌡ 
⎮ =
2
3
R2
H x
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
3
2
dx
0
H
⌠ 
⌡ 
⎮ 
⎮ 
=
4
15 R
3H
⇒ yC .M . =
ysemidisco dV∫
dV∫
=
 
 
 
 
Determinar la posición del C.M. de una semiesfera. 
 
Solución: I.T.I. 01, 04, I.T.T. 01, 04 
 
Sea la semiesfera de la figura orientada con su eje de 
revolución a lo largo del eje Z, y de radio R. Dado que el eje Z 
es un eje de simetría de la semiesfera, el C.M. se encontrará en 
dicho eje, con lo cual las coordenadas x e y del C.M. serán 
nulas: 
 
 
y 
z 
x 
R 
€ 
xC .M . = 0 yC .M . = 0
 
€ 
2
3H
 
€ 
16R
15π
 
 
Para el cálculo de la coordenada z del C.M. vamos a dividir la 
semiesfera en rodajas circulares de radio r y espesor dz. La 
ecuación de la circunferencia nos dará la relación entre r y z: 
 
€ 
r2 + z2 = R2 ⇒ r = R2 − z2 
 
El volumen de la semiesfera es: 
 
€ 
V = dV∫ = π r 2dz∫ = π R2 − z2( ) dz
0
R
∫ =
2
3π R
3 
 
La coordenada z del C.M. será: 
 
€ 
z dV∫ = π R2 − z2( )z dz
0
R
∫ =
π
4
R4
⇒ zC.M . =
z dV∫
dV∫
=
 
 
 
 
 
 
Determinar el centro de masas del cuerpo de la figura. 
 
 
 
 
Solución: I.T.I. 02, I.T.T. 99, 02 
 
Dado que el plano XY es un plano de simetría que divide a la figura en dos mitades 
simétricas, el C.M. se encontrará en dicho plano, con lo cual la coordenada z del 
C.M. será nula: 
 
 
 
Para el cálculo de la coordenada x del C.M. 
dividimos al semicono en rodajas en forma de 
semidiscos de radio r y espesor dx. La relación 
entre la coordenada x y el radio r de los 
semidiscos vendrá dada por la ecuación de la 
parábola: 
 
€ 
r = Cx 2
a = Ch2
⎫ 
⎬ 
⎪ 
⎭ ⎪ 
⇒ r = ah2
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ x
2 
 
z 
z R 
r 
€ 
3
8 R
 
€ 
zC.M . = 0
 
x 
y 
z 
x 
x 
y 
z 
h 
a 
parábola 
El volumen de cada uno de los semidiscos será: 
 
€ 
dV = 12π r
2dx = 12 π
a
h2
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
2
x 4dx 
 
El volumen total de la figura será: 
 
€ 
V = dV∫ =
1
2π
a
h2
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
2
x4dx
0
h
⌠ 
⌡ 
⎮ =
π
2
a
h2
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
2 h5
5 
 
La coordenada x del C.M. será: 
 
€ 
xdV∫ =
1
2
π
a
h2
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
2
x 5dx
0
a
⌠ 
⌡ 
⎮ =
π
2
a
h2
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
2 h6
6
⇒ xC .M . =
x dV∫
dV∫
=
 
 
Para la coordenada y del C.M. vamos a utilizar los mismos diferenciales de 
volumen del cálculo anterior, a pesar de que todos sus puntos no tengan la misma 
coordenada y. Sabiendo que el C.M. de un semicírculo de radio r se encuentra a 
una distancia 
€ 
4r
3π del diámetro, vamos a tomar esta posición como la 
representativa de cada una de las rodajas utilizadas en el apartado anterior. 
 
€ 
ysemidisco dV∫ =
4r
3π
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
dV⌠ 
⌡ 
⎮ =
4r
3π
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
1
2 π r
2dx
0
H
⌠ 
⌡ 
⎮ =
=
2
3 r
3dx
0
H
⌠ 
⌡ 
⎮ =
2
3
a
h2
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
3
x6dx
0
H
⌠ 
⌡ 
⎮ =
2
3
a
h2
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
3 h7
7
⇒ yC.M . =
ysemidisco dV∫
dV∫
=
 
 
 
€ 
5
6 h
 
€ 
20a
21π
 
 
 
 
 
Calcular la posición del centro de masas del cuerpo de la figura. 
 
 
 
 
Solución: I.T.I. 03, I.T.T. 03 
 
Si llamamos Z al eje de revolución del cuerpo su centro de masas, que va a estar 
situado por simetría en dicho eje, sólo tendrá componente z. Si descomponemos el 
cuerpo en dos piezas, un cono y un cilindro, cada pieza vendrá representada por la 
posición de su centro de masas y el problema es equivalente al cálculo del c.m. de 
un sistema de dos partículas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
€ 
V1 = π R2h z1 =
h
2
V2 =
1
3
πR2h z2 =
5h
4
⎫ 
⎬ 
⎪ ⎪ 
⎭ 
⎪ 
⎪ 
⇒ zc.m. =
V1z1 + V2z2
V1 + V2
= 
 
 
h 
h 
R 
x y 
z 
= + 
€ 
11h
16