Vista previa del material en texto
Problemas de Transferencia de Calor Problemas de Transferencia de Calor Carlos Corrochano Sánchez · José Antonio Fernández Benítez Javier Muñoz Antón · Adriana Ortiz Gómez D XTRA EDITORIAL Consulte la página www.dextraeditorial.com Diseño de cubierta: ©TheIdeas · www.ideasjc.net © Carlos Corrochano Sánchez, José Antonio Fernández Benítez, Javier Muñoz Antón, Adriana Ortiz Gómez © Sección de Publicaciones de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. Universidad Politécnica de Madrid © Dextra Editorial S.L. C/Arroyo de Fontarrón, 271, 28010 Madrid Teléfono: 91 773 37 10 Reservados todos los derechos. Está prohibido, bajo las sanciones penales y el resarcimiento civil previstos en las leyes, reproducir, registrar o trasmitir esta publicación, íntegra o parcialmente por cualquier sistema de recuperación y por cualquier medio, sea mecánico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o por cualquier otro, sin la autorización expresa por escrito de Dextra Editorial. S.L. ISBN: 978‐84‐16277‐24‐7 Depósito legal: M‐31218‐2014 Impreso en España. Printed in Spain Hoy y siempre, en todos los planes de estudios de cualquier rama de la ingeniería, en las uni- versidades de todo el mundo, existe un hueco de mayor o menor tamaño para la Transmisión o Trans erencia de alor ontar con una uena i liogra a puede y de e ayudar al uturo ingeniero en la asimilación de los conceptos y en la aplicación pr c ca de los mismos unque la i liogra a es amplia y de calidad en nuestra materia, no queremos de ar pasar la ocasión para aportar nuestro grano de arena. En esta ocasión, presentando este libro de problemas resueltos cuyas soluciones se han pensado y escrito en aras de una me or com- prensión por parte del lector clasi cado seg n la tem ca de la asignatura y homogenei ado en su formato para una más fácil lectura. o quisi ramos que el libro sirviese exclusivamente para responder a la cues ón prima- ria que suscita cada uno de los enunciados: el “cómo se hace”. Más bien el lector debería responderse a cues ones prác cas de suma importancia en su presente y futuro profesional: de qu orden de magnitud estamos hablando , cómo podría op mi arse el sistema que se propone en cadae ercicio , qu factor o variable in uye más en el resultado nal , cuál es el lengua e que se emplea en el área de la ingeniería t rmica e busca que desarrolle el lector su ingenio: vea una barra de combus ble nuclear dónde aparece un cilindro con generación interna de calor; o un radiador de calefacción donde pro- ponemos una placa plana ver cal. prenda los niveles de temperatura en que nos movemos. sí, cuando lo que tenga delante sea una pantalla de ordenador podrá detectar, u li ando su sen do com n y su experiencia universitaria, si el resultado que se propone es lógico y plausible. a experiencia nos dice que no basta con ver cómo se resuelve un e ercicio; la capacita- ción exige intentar hacerlo desde el principio, y posteriormente obtener conclusiones que sirvan para encarar otros problemas de índole similar. hablando de co-autores, no sería usto de ar de citar y agradecer su colaboración a profesores que han par cipado, en mayor o menor medida, en la proposición, adaptación y resolución de algunos de los e ercicios que aquí se recogen. or orden alfab co nuestros compañeros y ex-compañeros lberto bánades, os uis Elviro, ablo eón, os María Mar ne - al y uis ebollo, cuyo talento en la enseñan a de la Transferencia de alor en nuestra Escuela, la T cnica uperior de ngenieros ndustriales de la niversidad olit cnica de Madrid, no nos pasa desapercibido. Índice 1. Conducción en régimen permanente PROBLEMA 1. Pared con capas irregulares sin fuente............................................................................................ 9 PROBLEMA 2. Placa plana multicapa: optimización de la capa aislante............................................................... 12 PROBLEMA 3. Placa plana multicapa con sumidero de calor ............................................................................... 14 PROBLEMA 4. Placa plana multicapa con fuente de calor .................................................................................... 16 PROBLEMA 5. Pared cilíndrica multicapa con fuente ........................................................................................... 19 PROBLEMA 6. Pared cilíndrica multicapa con fuente: ecuación diferencial ......................................................... 23 PROBLEMA 7. Pared cilíndrica multicapa: tubería aislada y sin aislar .................................................................. 26 PROBLEMA 8. Esfera con fuente interna de calor y convección exterior ............................................................. 28 PROBLEMA 9. Placa con fuente de calor no constante......................................................................................... 30 PROBLEMA 10. Placa plana multicapa con dos fuentes de calor.......................................................................... 32 PROBLEMA 11. Pared cilíndrica con dos fuentes de calor .................................................................................... 34 PROBLEMA 12. Aleta tipo aguja con extremo caliente ......................................................................................... 36 PROBLEMA 13. Aleta tipo aguja con extremo frío ................................................................................................ 38 PROBLEMA 14. Aletas rectas en un de canal de refrigeración de un circuito electrónico.................................... 40 PROBLEMA 15. Dos aletas tipo aguja de distinto material unidas en serie .......................................................... 43 PROBLEMA 16. Conjunto de aletas tipo aguja ...................................................................................................... 46 PROBLEMA 17. Cilindro con fuente aleteado con aletas anulares ....................................................................... 50 PROBLEMA 18. Condensación sobre tubo aleteado con aletas anulares ............................................................. 53 PROBLEMA 19. Cilindro aleteado con aletas anulares.......................................................................................... 55 PROBLEMA 20. Métodos numéricos: régimen permanente bidimensional ......................................................... 59 PROBLEMA 21. Métodos numéricos: régimen permanente bidimensional - forjado .......................................... 62 PROBLEMA 22. Métodos numéricos: régimen permanente bidimensional - mallado cilíndrico.......................... 66 PROBLEMA 23. Métodos numéricos: régimen permanente bidimensional - aleta .............................................. 68 PROBLEMA 24. Métodos numéricos: régimen permanente bidimensional - aleta triangular ............................. 71 2. Conducción en régimen transitorio PROBLEMA 25. Régimen transitorio: pared plana (Heisler).................................................................................. 75 PROBLEMA 26. Régimen transitorio: pared plana (Heisler).................................................................................. 77 PROBLEMA 27. Cilindro con fuente de calor + régimen transitorio (Heisler) ....................................................... 79 PROBLEMA 28. Régimen transitorio: cilindro (método de la capacitancia).......................................................... 82 PROBLEMA 29. Régimen transitorio: cilindro (Heisler)......................................................................................... 84 PROBLEMA 30. Régimen transitorio en tres dimensiones (cubo)......................................................................... 87 PROBLEMA 31. Régimen transitorio en cilindro (Heisler e iteración) .................................................................. 89 3. Convección sin cambio de fase PROBLEMA 32. Convección forzada interior de tubería....................................................................................... 97 PROBLEMA 33. Convección forzada: chimenea vertical de humos ...................................................................... 99 PROBLEMA 34. Convección forzada: flujo normal a cilindro (transistor) ........................................................... 102 PROBLEMA 35. Convección forzada: haz de tubos (batería de agua caliente) ................................................... 104 PROBLEMA 36. Convección forzada: haz de barras ............................................................................................ 106 PROBLEMA 37. Convección forzada: tubo aleteado con convección forzada por el interior ............................. 109 PROBLEMA 38. Convección forzada: cilindro multicapa..................................................................................... 113 PROBLEMA 39. Convección libre: cilindro horizontal ......................................................................................... 116 PROBLEMA 40. Convección libre: placa horizontal............................................................................................. 119 PROBLEMA 41. Convección forzada y libre en tubería ....................................................................................... 122 PROBLEMA 42. Placa horizontal con condiciones de convección forzada y libre ............................................... 125 PROBLEMA 43. Convección forzada y libre placa inclinada. ............................................................................... 128 4. Convección con cambio de fase PROBLEMA 44. Ebullición nucleada. Olla express............................................................................................... 133 PROBLEMA 45. Curva de ebullición .................................................................................................................... 135 PROBLEMA 46. Ebullición nucleada y en película sobre filamento metálico ..................................................... 138 PROBLEMA 47. Ebullición: banco de 10 cilindros horizontales (generador de vapor)........................................ 140 PROBLEMA 48. Condensación y convección forzada.......................................................................................... 143 PROBLEMA 49. Ebullición y condensación simultáneas...................................................................................... 145 5. Radiación PROBLEMA 50. Cilindro cerrado por superficies semiesféricas .......................................................................... 149 PROBLEMA 51. Horno cúbico.............................................................................................................................. 152 PROBLEMA 52. Cilindros concéntricos................................................................................................................ 154 PROBLEMA 53. Cilindro finito ............................................................................................................................. 156 PROBLEMA 54. Conducto de sección triangular ................................................................................................. 158 PROBLEMA 55. Cilindro cerrado por superficie recta y superficie semiesférica................................................. 160 PROBLEMA 56. Horno cúbico.............................................................................................................................. 162 PROBLEMA 57. Prisma de base cuadrada ........................................................................................................... 165 PROBLEMA 58. Prisma de base cuadrada ........................................................................................................... 167 PROBLEMA 59. Recinto troncónico..................................................................................................................... 170 PROBLEMA 60. Prisma de base cuadrada ........................................................................................................... 173 PROBLEMA 61. Recinto finito formado por tubos concéntricos......................................................................... 176 PROBLEMA 62. Dos cilindros concéntricos en recinto grande............................................................................ 178 PROBLEMA 63. Cilindro en gran recinto ............................................................................................................. 181 PROBLEMA 64. Placa horizontal apoyada en gran recinto ................................................................................. 183 PROBLEMA 65. Placa vertical suspendida en gran recinto ................................................................................. 185 PROBLEMA 66. Placas ensayo y patrón en gran recinto ..................................................................................... 187 PROBLEMA 67. Panel solar.................................................................................................................................. 190 PROBLEMA 68. Horno con pequeño visor de vidrio ........................................................................................... 192 PROBLEMA 69. Placa: una cara a cielo y la otra a un gran recinto ..................................................................... 195 PROBLEMA 70. Pieza pequeña dentro de horno grande .................................................................................... 196 6. Transmisión de calor combinada PROBLEMA 71. Radiación y conducción: horno y cilindro multicapa ................................................................ 201 PROBLEMA 72. Radiación y convección libre: pared que separa dos recintos ................................................... 203 PROBLEMA 73. Radiación y conducción: esfera en rég. transitorio.................................................................... 205 PROBLEMA 74. Radiación y convección libre: placa horizontal expuesta a suelo y cielo .................................. 208 PROBLEMA 75. Radiación y convección libre: fluido ideal a dos temperaturas ................................................. 211 PROBLEMA 76. Radiación y convección libre :placa con fuente interna en recinto ........................................... 213 PROBLEMA 77. Radiación y conducción: aleta y balance radiativo con bóveda celeste .................................... 216 PROBLEMA 78. Radiación y conducción: panel solar con métodos numéricos .................................................. 219 PROBLEMA 79. Radiación y convección: formación de capa de hielo en lámina de agua.................................. 222 7. Intercambiadores de calor PROBLEMA 80. Cambiador de flujos cruzados (aerorrefrigerante) .................................................................... 229 PROBLEMA 81. Cambiador de placas en contracorriente................................................................................... 231 PROBLEMA 82. Cambiador de carcasa y tubos: distintas configuraciones ......................................................... 234 PROBLEMA 83. Cambiador de placas en contracorriente................................................................................... 236 PROBLEMA 84. Cambiador de placas en una instalación de energía solar térmica............................................ 238 PROBLEMA 85. Tres cambiadores de carcasa y tubos en paralelo ..................................................................... 241 PROBLEMA 86. Cambiador de flujos cruzados (aerotermo) ............................................................................... 246 PROBLEMA 87. Cambiador de carcasa y tubos ................................................................................................... 250 1. CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN PERMANENTE 7 PROBLEMA 1 Se tiene un muro de 21 cm de espesor, tal y como se representa en la figura adjunta, con las dimensiones indicadas. La cara izquierdadel muro se encuentra a una temperatura de 400ºC y la derecha a 100ºC. Considerando conducción de calor unidireccional y resistencia de contacto nula entre los bloques que lo forman, y sabiendo que la temperatura en la intersección DEF es de 295ºC, determinar: 1) El flujo de calor que atraviesa el muro. 2) La temperatura en el punto de contacto entre los bloques B, D y E. 3) La conductividad del material D. 4) La diferencia de temperaturas a lo largo del bloque F. 5) ¿En qué condiciones sería difícil justificar el tratamiento unidimensional del problema? DATOS Conductividades (W/m K): A= 2 B= 8 C= 10 E= 35 F= 2 SOLUCIÓN El análisis de este programa de conducción multicapa se puede realizar mediante el símil eléctrico equivalente, que responde al siguiente esquema: En donde las resistencias térmicas por unidad de área correspondientes de cada uno de los elementos que se indican son: Conducción en Régimen Permanente. 9 2 a a a L 0 01 m K R 0 005 k 2 W , , b b b L 3 0 05 R 0 01875 k 1 3 8 , , 2m K W c c c L 3 0 05 R 0 015 k 1 3 10 , , 2m K W d d d d d L 2 0 1 0 2 R k 1 2 k k , , 2m K W e e e L 2 0 1 R 0 005714 k 1 2 35 , , 2m K W f f f L 0 05 R 0 025 K 2 , , 2m K W El flujo de calor que atraviesa el muro lo hace a través del bloque F, en el que se tiene una diferencia de temperaturas de 195ºC, con lo que: F f T 295 100 q 7800 R 0 025, 2 W m La resistencia total de todo el muro se obtiene a partir del flujo que se transmite a través de todos sus nodos: 2 1 5 1 5 T T T T 400 100 m K q R 0 03846 R q 7800 W , Esta resistencia total se obtiene por la combinación de resistencias en serie y paralelo de la configuración del muro. T 1 2 2 3 3 4 4 5R R R R R En la que cada uno de estos componentes es: 1 2 aR R 0 005, 2m K W 1 2 3 c b c 1 1 1 R 0 005357 R R R , 2m K W 1 3 4 d e 1 1 R R R 4 5 fR R 0 025, 2m K W 10 Problemas de Transferencia de Calor. Del análisis de resistencias en el tramo 1-3 se obtiene la temperatura en el nodo 3, punto de contacto entre los bloques BDE. 1 3 1 3 1 2 2 3 1 3 T q 7800 T q R R 7800 0 010357 80 8 C R , , º Con lo que la temperatura en el nodo 3 es: T3= 400-80,8= 319,2ºC. A partir de la resistencia total se deduce que la resistencia asociada al tramo en el que se encuentra el bloque D ha de ser: 3 4 T 1 2 2 3 4 5R R R R R 0 003104, 2m K W Del análisis de D y E en paralelo se obtiene la resistencia del bloque D 1 3 4 d d d d 1 1 0 2 W R 0 003104 R 0 006797 k 29 42 R 0 005714 k mK ,, , , , · La conductividad del material D es de 29,42 W/m K. En este problema las conductividades de los materiales, especialmente los que se encuentran en paralelo, son comparables, con lo que la distribución de temperaturas a lo largo del muro se prevé que sea bastante constante en la dirección paralela a las paredes de los muros, siendo aplicable un análisis 1-D. En el caso en que las conductividades sean muy diferentes entre los materiales, las resistencias térmicas asociadas a cada uno de los elementos serían muy diferentes, lo que provocaría distorsiones en las distribuciones de temperatura en el muro que harían que esa distribución fuera difícil de aproximar con una función 1-D, y tendría que ser calculada en 2-D, con una red de nodos más compleja o mediante métodos numéricos. Con conductividades de los materiales muy diferentes en las dos direcciones, no se podría realizar un análisis unidimensional sin incurrir en errores locales de consideración. Un ejemplo de este tipo de problemática se puede encontrar en los puentes térmicos en estructuras aisladas. Conducción en Régimen Permanente. 11 PROBLEMA 2 Una placa de acero (k = 43 W/m K) de 1,25 cm de espesor está expuesta por un lado a vapor a 650ºC con un coeficiente de transmisión calorífica de 570 W/m2K. Se desea aislar la superficie exterior de la placa, de modo que la superficie exterior expuesta del aislamiento no exceda de 38ºC. Para reducir el coste, se aplica a la superficie de acero un costoso aislamiento resistente a las altas temperaturas (k=0,04 W/m K), y después se pone en el exterior un aislamiento más económico (k = 0,09 W/m K). La temperatura máxima admisible para el aislamiento más económico es de 315ºC. El coeficiente de transmisión en la superficie más exterior es de 11,3 W/m2K y el aire ambiente está a 30ºC. Determinar los espesores comerciales más económicos de ambos aislantes, sabiendo que la gama varía de 5cm en 5 cm de espesor, con valores máximos de 30 cm. SOLUCIÓN El flujo de calor máximo para que la temperatura exterior del montaje sea de 38ºC es: e ext aire 2 MAX q W h T T 11 3 38 30 90 4 A m ( ) , ·( ) , Por encima del cuál la temperatura exterior del aislante 2 superará el valor requerido de 38ºC. Haciendo una primera estimación con dicho flujo de calor pueden obtenerse los espesores teóricos necesarios: 2 aire 2 2 2MAX 2 ext T Tq 315 30 90 4 x 0 276m x x1 1A k h 0 09 11 3 int,, , , , vap 2 1 acero 11MAX acero 1 T Tq 650 315 90 4 x 0 148m x xx 1 0 01251A 570 43 0 04h k k int, int , , , , Al mejorar ligeramente el espesor teórico del aislante 1, podría ser posible disminuir el espesor teórico del aislante 2. Comprobando: vapor aire 2 acero 1 2 acero 1 2 ext T Tq 650 30 W 93 68 x 1 0 0125 0 15 0 25 1x x1 1A m 570 43 0 04 0 09 11 3h k k k hint , , , , , , , Al ser un valor superior al máximo, la temperatura exterior del montaje será superior a 38ºC, y por consiguiente no es válida la suposición. 12 Problemas de Transferencia de Calor. El flujo de calor queda: vapor aire 2 acero 1 2 acero 1 2 ext T Tq 650 30 W 86 42 x 1 0 0125 0 15 0 30 1x x1 1A m 570 43 0 04 0 09 11 3h k k k hint , , , , , , , Lógicamente inferior al valor máximo, y que por tanto cumple la condición “temperatura exterior del montaje inferior a 38ºC”. A continuación se comprueba la temperatura interior del aislante económico: 2 2 aire ext 2 xq 1 1 0 30 T T 30 86 42 325 7 C A h k 11 3 0 09int, ,, · , º , , Resultando superior a la temperatura máxima que permite dicho aislamiento. Por tanto los espesores elegidos no son válidos. Es necesario disminuir dicha temperatura, aumentando el espesor del aislante 1. vapor aire 2 acero 1 2 acero 1 2 ext T Tq 650 30 W 91 75 x 1 0 0125 0 20 0 15 1x x1 1A m 570 43 0 04 0 09 11 3h k k k hint , , , , , , , Valor superior al máximo, y por tanto suposición incorrecta. vapor aire 2 acero 1 2 acero 1 2 ext T Tq 650 30 W 84 78 x 1 0 0125 0 20 0 20 1x x1 1A m 570 43 0 04 0 09 11 3h k k k hint , , , , , , , Valor también inferior al máximo y que satisface la condición de la temperatura exterior del montaje. Recalculando la temperatura interior del aislante más económico: 2 2 aire ext 2 xq 1 1 0 20 T T 30 84 78 225 9 C A h k 11 3 0 09int, ,, · , º , , Valor inferior a 315ºC y que por consiguiente resulta adecuado. Así, la solución es: Espesor del aislante 1 (k=0,04) = 20 cm. Espesor del aislante 2 (k=0,09) = 20 cm. Conducción en Régimen Permanente. 13 PROBLEMA 3 El techo del recinto congelador de un frigorífico doméstico está construido con las siguientes capas desde el exterior hasta el interior: Espesor (mm) Conductividad (W/m K) Poliéster. 2,5 0,035 Aislante. 95 0,025 Poliéster. 2,5 0,035 Placa congeladora. -- 30 Chapa. 30 2,5 La placa congeladora está uniformemente distribuida en toda la superficie del techo, comportándose como un sumidero de calor y absorbiendo 3260 W/m3. Determinar, considerando transmisión de calor en régimen permanente: 1) Espesor (mm) de la placa congeladora para mantener una temperatura de 30ºC en la superficie inferior de la chapa. 2) Flujo de calor (W/m2) que atraviesa la capa de aislante. 3) Temperatura de la superficie superior del techo. DATOS he = 10 W/m 2K Te = 30ºC hi = 5 W/m2K Ti = - 20ºCSOLUCIÓN Es un problema de flujo unidireccional en pared multicapa con un sumidero de calor (q* < 0), en su interior. El flujo de calor evacuado del recinto congelador , según la figura adjunta, es: 0 i i 1 2 q W h T T 5 20 30 50 A m Por otro lado, dicho flujo, según la teoría de fuentes, es: 0 f i e f e q R U T T q L U R A 2 * El coeficiente global de transmisión de calor y las resistencias térmicas son calculables en función del espesor de la fuente, que es desconocido: 14 Problemas de Transferencia de Calor. f e 3 3 3 3 2 R f f e 1 1 W U 4 2549 0 0333 L1 30 10 L 2 5 10 95 10 2 5 10 1 m K 5 2 5 30 0 035 0 025 0 035 10 R L 0 0167 L 2 2 30 R 4 0429 , ,, , , , , , , , Igualando ambas expresiones del flujo entrante por la superficie 0: 20 30 3260 L 50 0 0167 L 4 0429 L 0 02 m 20 cm 4 2549 0 0333 L 4 2549 0 0333 L ( ) , , , , , , , Efectuando un balance a la capa fuente: 30L 2 qq W q L 50 3260 20 10 15 2 A A m * ( ) , (lógicamente entrante, o de sentido contrario al expresado en la figura) La temperatura exterior del camión, a partir de la ley de Newton: L L e 4 e 4 e e q q 1 1 h T T T T 30 15 2 28 5 C A A h 10 , · , º Conducción en Régimen Permanente. 15 Lona acolchada Aislante Manta calefactora Lona acolchada Goma Cámara de aire Llanta de acero PROBLEMA 4 Se desea diseñar un calentador de neumáticos ( ) para mantener una temperatura mínima en las “gomas” de un neumático de una moto de gran cilindrada (60 cm de diámetro exterior y 18 cm de ancho). El calentador no es sino una manta calefactora formada por una resistencia eléctrica uniformemente distribuida y una capa aislante envueltas en una lona acolchada (ver figura adjunta). Además, un sensor de temperatura impide que el aislante alcance una temperatura superior a 75ºC. En tal circunstancia, se pide: 1) Estimar la potencia eléctrica que permite mantener el neumático caliente en condiciones invernales (temperatura ambiente 5ºC; coeficiente de película 10 W/m2K). 2) Calcular la temperatura mínima que alcanza la goma del neumático y la temperatura en la superficie exterior del calentador. Nota.- Despréciense los efectos bidimensionales y trátese el conjunto de manta + neumático como una pared plana multicapa. DATOS k (W/m K) espesor (cm) Resistencia térmica (m2K/W) Lona acolchada 0,5 0,5 Aislante 0,03 2 Manta calefactora 8 0,2 Goma 0,3 1.5 Cámara de aire 0,5 Llanta de acero 20 0,5 3) Existen calentadores de neumático comerciales de 500 W, similares al descrito. ¿Puede justificar la diferencia entre la potencia calculada y la del calentador comercial? SOLUCIÓN Nota previa: resulta obvio que el calentador se pone en contacto directo con el neumático, “abrazando” este. También resulta obvio que la moto no está circulando y que el calentamiento se produce con la rueda parada. El problema propuesto es aplicación directa del problema de transferencia de calor en pared plana multicapa con una fuente de calor interna. Debe resolverse en régimen permanente (con convección al aire ambiente en ambas caras) y condición de temperatura máxima en el aislante de 75ºC. La estructura multicapa es la siguiente: 16 Problemas de Transferencia de Calor. conv llanta cámara goma lona fuente aislante lona conv 1/h x/k Rt x/k x/k x/k x/k x/k 1/h Tair Tair q(+)q(-) Rt(-) Rt(+) q* T1 T2 T3 T4 T6T5 T7 T8 Condición de temperatura máxima en el aislante (punto 6, más cercano a la fuente, T6=75ºC): 26 air aislante lona T T q 90 13 W m 1 h x k x k ” , / / ( / ) ( / ) Cálculo de la temperatura en la superficie exterior del calentador (punto 8) 8 air 8 aire q q h T T T T 14 01 C h ” ” · , º Resistencias térmicas: 2 cámara llanta goma lona fuente 2 aislante lonafuente 2 total 1 x x x x m K Rt Rt 0 66 h k k k 2k W x x x 1 m K Rt 0 777 2k k k h W m K Rt Rt Rt 1 437 W , , , Flujo de calor a la derecha de la fuente: air air fuente fuente 3 total total total Rt RtT T W 90 13 q q x 0 q x q 98076 Rt Rt Rt m , ” * · · * · · * Cálculo de la potencia de la fuente: D=0.6 (diámetro); B=0.18 (ancho); xfuente (espesor) k W/m K ) espesor (cm) Resistencia térmica (m2K/W) Convección al ambiente 1/10 Llanta de acero 20 0,5 Cámara de aire 0.5 Goma 0,3 1.5 Lona acolchada 0,5 0,5 Manta calefactora (fuente) 8 0,2 Aislante 0,03 2 Lona acolchada 0,5 0,5 Convección al ambiente 1/10 Conducción en Régimen Permanente. 17 Volfuente = xfuente D B = 6.79 10 .4 m3 qfuente = q* Volfuente = 66,55 W Cálculo de la temperatura de la goma (el valor mínimo se dará en el punto 3, más alejado de la fuente): air air fuente 2 total total air 3 3 llanta cámara RtT T W q q x 106 Rt Rt m T T q T 68 64 C 1 h x k Rt -” * · · ” , º / ( / ) Como el flujo de calor “sin fuente” es nulo (a ambos lados hay aire ambiente), los flujos de calor a derecha e izquierda dependen inversamente de las resistencias térmicas a izquierda y derecha: q”(+) Rt(+) = q”(-) Rt(-) Ello lleva, finalmente, a que la temperatura a ambos lados de la fuente sea idéntica (en el problema, 75ºC). Observaciones (pregunta 3) Se necesitan sólo 66 W para mantener calientes las gomas (régimen permanente), pero para llevarlas a la temperatura requerida (“hasta que salte el termostato”) desde la temperatura ambiente en un tiempo razonablemente corto (régimen transitorio) se necesita una potencia mayor. De ahí los 500 W de potencia nominal. El tratamiento del problema como placa plana no introduce un error importante. El efecto bidimensional queda atenuado porque la goma es un mal conductor (k=0,3) Comentarios ¿Cómo funciona un calentador de neumáticos? Con la moto parada, se cubre el neumático con el calentador. Obviamente el calentador tiene una longitud suficiente ( D) y un ancho suficiente (B). Se enchufa la resistencia eléctrica y comienza el calentamiento del conjunto. Un termostato ubicado cerca de la fuente (en nuestro caso entre la fuente y el aislante) desconecta la fuente externa cuando se llega a un determinado valor, en este caso 75ºC. El tiempo necesario para alcanzar la temperatura máxima dependerá de la potencia nominal de la fuente. Al cabo del rato, el neumático perderá calor y el termostato volverá a conectar la fuente hasta nuevamente alcanzar la temperatura máxima, regulando así de forma indefinida. Este funcionamiento garantiza que la temperatura mínima de la goma sea de 68,64ºC (según los cálculos). Durante el periodo de conexión/desconexión del termostato cualquier fuente de potencia superior a 66 W (según los cálculos) hubiera sido suficiente para mantener caliente el neumático. Información técnica de calentadores comerciales Material interno Algodón interno sobre la cara calefactora. Aislamiento Poliéster cosido en la parte posterior Elemento calefactor Aislamiento doble de caucho silicónico Colores Negro, azul o rojo. Tensión 110 ó 230 voltios. Potencia: 500 W 18 Problemas de Transferencia de Calor. PROBLEMA 5 Para determinar el comportamiento térmico de un material plástico, a emplear como aislamiento eléctrico, se enfunda un cable de 3 mm de diámetro y 5 m de longitud, con una conductividad térmica de 200 W/m K, con una envuelta de dicho material plástico, de 2 mm de espesor, con una conductividad térmica de 0,15 W/m K. A continuación, en un laboratorio experimental se somete al cable enfundado a una diferencia de potencial eléctrico de 1,303 V de corriente continua, midiéndose una intensidad de 61,4 A en régimen permanente, lo que propicia su calentamiento, por efecto Joule, y la disipación térmica al entorno por convección y radiación. Sabiendo que el coeficiente combinado de convección-radiación en torno al cable eléctrico enfundado tiene un valor de 8 W/m2K, y que el aire y las paredes del laboratorio se encuentrana una temperatura estable de 30ºC, se pide lo siguiente: 1) Calcular la temperatura en la interfase entre el cable y el plástico, despreciando la resistencia de contacto entre ambos materiales. 2) Calcular el perfil de temperaturas en el cable y en el aislante, en régimen permanente, sabiendo que toda la potencia disipada se genera, de forma homogénea, en la corteza radial exterior del cable, con un espesor de 0,2 mm. 3) Determinar el efecto térmico que provocaría aumentar en 2 mm el espesor del aislante. SOLUCIÓN 1) La transmisión de calor entre la parte exterior del cable y el medio que rodea al aislante de plástico se puede representar mediante el siguiente esquema eléctrico: en el que TSC es la temperatura en la superficie del cable, TSP la temperatura en la superficie del plástico y Ta la temperatura ambiente. Las resistencias de conducción en el plástico y de convección- radiación combinada se representan por Rk y Rc. Esas resistencias globales son: sp sc k p D 0 035 D K0 015 R 0 1798 2 k L 2 0 15 5 W ,ln ln , , , c sp 1 1 K R 1 137 D 2 8 0 0035 5 W 2 h L 2 , , Con lo que la resistencia total es: t c hR R R 1 317, K/W De esa forma se puede obtener la diferencia de temperaturas que se establece entre el aire que rodea al cable y la interfase entre el cable y aislante de la forma: Conducción en Régimen Permanente. 19 sc a tT T T q R 80 1 317 105 36, , K con lo que para una disipación de 80 W, que es lo que se tiene con una caída de tensión de 1,303 V con una intensidad de corriente de 61,4 A, se obtiene que la temperatura en la interfase del cable es: sc aT T 105 36 135 36, , ºC La temperatura en la superficie exterior del aislante se puede calcular teniendo en cuenta sólo la resistencia de convección: sp a cT T q R 30 80 1 137 120 96, , ºC 2) Los perfiles de temperatura en el cable y aislante pueden obtenerse de la resolución de la ecuación del calor con las condiciones en cada uno de los tramos del cable aislado. Tramo 1: Aislante (0,0015 < r < 0,0035) Caso de transmisión de calor en un cilindro sin fuente de calor: 1 d dT r 0 r dr dr con condiciones de contorno: T2 = 135,6ºC para r2 = 0,0015 m T1 = 120,96ºC para r1 = 0,0035 m Cuya solución es: 2 2 1 2 1 2 r r r 0 0015 T r T T T 135 6 14 64 r r 0 0035 0 0015 ln ln , ( ) , , ln ln , , rT r 135 6 17 27 0 0015( ) , , ln , Tramo 2: Cable en donde se genera la potencia (0,0013 < r < 0,0015) Caso de transmisión de calor por conducción en un cilindro con fuente de calor 1 d dT q r r dr dr K * Con las condiciones de contorno: T2 = 135,6ºC para r2 = 0,0015 m 3 r 0 0013 dT q r 0 0013 0 0 dr '' , , para r3=0,0013 Cuya solución es: 20 Problemas de Transferencia de Calor. 2 2 2 2 3 2 q q rT r T r r r r4 k 2 k * * ( ) ln Con la generación de potencia por unidad de volumen como: 6 32 2 2 2 2 3 V I 1 303 61 4 W q 9 095 10 mr r L 0 0015 0 0013 5 * , , , · , , Con lo que el perfil de la temperatura queda: 2 2 rT r 135 6 11368 0 0015 r 0 0038 0 0015( ) , , , ln , Que sustituyendo para el caso del extremo de la zona de conducción resulta: T2 = 135,6ºC para r3 = 0,0013 m Tramo 3: Cilindro interior del cable en donde no hay generación de calor (0 < r < 0,0013) Caso de transmisión de calor por conducción en un cilindro sin fuente de calor: 1 d dT r 0 r dr dr con condiciones de contorno adiabáticas en el centro del cilindro y en la superficie exterior del cilindro, al no haber conducción neta de calor en esos puntos: r 0 dT q r 0 0 0 dr '' para r = 0 r 0 dT q r 0 0013 0 0 dr '' , para r = 0,0013 Esta condición de contorno indica que la temperatura es constante: T r K 135 6( ) , ºC El perfil de temperaturas en función del diámetro del radio del cable y aislante se muestra en la figura: Conducción en Régimen Permanente. 21 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 120 122 124 126 128 130 132 134 136 138 140 AislanteConductor La distribución de temperatura tiene una forma aproximadamente parabólica en la zona de generación de potencia (conductor), aunque debido a la alta conductividad del cable y su pequeño espesor el salto térmico es inapreciable en la gráfica. 3) Al aumentar el espesor del aislante en 2 mm, hasta 4 mm, resulta un radio final de 0,0055 m, con lo que la resistencia térmica total de la transmisión de calor entre la superficie interior del aislante y la atmósfera que rodea al cable es: t c h K R R R 0 9991 W , Lo que ha ocurrido es que al aumentar el área de disipación, la resistencia total disminuye. El salto de temperatura en el aislante resulta: sc a tT T T q R 80 0 9991 79 92 C, , º Con lo que la temperatura en la parte interior del aislante es de 109,9ºC, sensiblemente menor que en el caso del ensayo con 2 mm de aislante, lo que lleva a que todas las temperaturas sean inferiores. 22 Problemas de Transferencia de Calor. PROBLEMA 6 Una nave de grandes dimensiones es atravesada por una tubería por la que circula un fluido que se congela a 250ºC (sal fundida). Con objeto de que la sal fundida no congele en ningún punto de la tubería, se instala una funda con una fuente de calor homogénea alrededor de la tubería. Este sistema sirve para mantener la superficie exterior de la tubería a una temperatura de T2 = 300ºC en toda su longitud, cuando la sal fundida accede a la tubería a 300ºC y la temperatura de la nave es de T = 300ºC. 1) Relacione en una expresión matemática la potencia característica q de la funda con las pérdidas térmicas convectivas y radiativas, haciendo uso de los datos del problema que considere oportunos y de T3 2) Partiendo de la ecuación general de la transmisión de calor determine la ecuación del perfil de temperaturas en la funda atendiendo a los siguientes pasos: a) Determine la ecuación en sí, sin sustituir los datos del enunciado por valores numéricos b) Determine las condiciones de contorno a aplicar c) Aplique las condiciones de contorno a la ecuación, obteniendo la expresión buscada 3) Explique razonadamente la forma en que varía el perfil de temperaturas del sistema con el radio. 4) Determine el valor de la fuente de calor en la funda ( q [W/m3]) para obtener una temperatura de 300ºC en la cara exterior de la tubería, despreciando el calor que se pierde por radiación al exterior en el cálculo 5) Indique que mejoras plantearía al diseño para el caso de que la q disponible fuera inferior a la calculada en el apartado anterior SOLUCIÓN 1) Balance de energía. Se identifica el flujo energético saliente a través de convección y radiación, y el flujo entrante como el que se genera en la zona de la funda. in out g stE E E E No hay aporte térmico entrante como tal, ni tampoco variación en la energía almacenada al deducirse del enunciado que se trata de régimen permanente, por lo que el balance se reduce a: out gE E 0 La generación se realiza en el volumen ocupado por la funda, por lo que este sumando se puede escribir como: 2 2 g 3 2E L r r q· · · De los datos del enunciado se deduce que el sistema intercambia calor con el exterior mediante convección y radiación: Conducción en Régimen Permanente. 23 4 4 out cv rd 3 3 3 3E q q 2 r L h T T 2 r L T T· · · · · · · · · · · Por tanto, la ecuación que se pide es (con las simplificaciones obvias): 2 2 4 4 3 2 3 3 3 3r r q 2 r h T T 2 r T T· · · · · · · · 2) Ecuación general de la transmisión de calor en coordenadas cilíndricas para conducción unidimensional con fuentes y régimen permanente: 1 d dT k r q 0 r dr dr · · · 2.a) Integrando la ecuación de forma genérica aparecen dos constantes de integración, por lo que serán necesarias dos condiciones de contorno (C1 y C2): 2 1 2 qr T r C r C 4 k · ·ln · 2.b) Las condiciones de contorno asociadas a este problema en concreto pueden ser varias, pero se observan dos a la vista del boceto del perfil de temperaturas:En r2 la temperatura debe ser 2T 300 C En r2 se alcanza un máximo, la pendiente se hace nula por lo que 2r dT 0 dr 2.c) Sustituyendo en las expresiones: 2 2 2 2 2 2 2 qrq r T r r r T 4 k 2 k r · ·ln · · 3) Justificación perfil de temperaturas: Por simetría desde r=0 m hasta r2 la temperatura será constante e igual a 300ºC. Desde r2 hasta r3 está la generación de calor, por lo que la variación no será lineal de uno a otro, será una curva como la encontrada en el apartado anterior, descendiente según se aumenta el radio. De r3 a mayores radios aparece el aire ambiente, convección, por lo que se producirá un descenso acusado de temperatura desde r3 en una distancia corta (capa límite térmica), para terminar en 20ºC, temperatura ambiente. En la figura se puede apreciar el perfil en cuestión, representándose en varias figuras por la diferente escala de la variación de temperatura en cada medio. 24 Problemas de Transferencia de Calor. 4) Para encontrar el valor de q se tienen las expresiones del perfil de temperaturas en la capa de la funda y en la expresión resultado del apartado primero. Ambas se pueden relacionar si se aplica la ecuación del perfil de temperaturas a r3: 2 2 2 32 3 3 2 2 2 rq rq T r r T 4 k 2 k r · ·ln · · Y se introduce en la ecuación solución del apartado eliminando el término radiativo como indica el enunciado: 2 2 3 2 3 3r r q 2 r h T T· · · · 2 2 2 2 2 32 3 2 3 3 2 2 2 rqrq r r q 2 r h r r T T 4 k 2 k r ·· · · · ·ln · · Resulta una ecuación con una incógnita, despejando: 62 32 2 2 2 23 2 3 3 2 2 3 2 T T W q 2 85 10 mr r r1 1 r r r 2 r h 2 k 2 r , · ·ln · · · 5) Disponer un aislante alrededor de la funda sería una medida adecuada (entre otras) si el q fuera inferior al considerado inicialmente. Conducción en Régimen Permanente. 25 PROBLEMA 7 Una tubería de cobre de 50 m de longitud está expuesta al ambiente exterior en la cubierta de un edificio, soportada de tal manera que la totalidad de la tubería se encuentra rodeada de aire ambiente a 0ºC. Por el interior de la misma circula un fluido que entra en la tubería a 90ºC y sale a 88ºC, a una velocidad de 1 m/s. Determinar: 1) Perdidas térmicas (W) de la tubería al entorno. Se decide aislar la tubería con una coquilla de 40 mm de espesor, para minimizar las pérdidas. Asumiendo que se mantienen constantes tanto el coeficiente de película interior como el coeficiente combinado de convección-radiación por el exterior, determinar: 2) Temperatura de salida del fluido, manteniendo constante la temperatura de entrada. 3) Pérdidas térmicas (W)la tubería aislada al entorno. DATOS - Tubería: k= 400 W/m K, De = 28 mm, Di=26 mm - Aislamiento: k = 0,04 W/m K - Fluido: cp = 4179 J/kg K, =1000 kg/m3 - Coeficiente de película por el interior de la tubería: hi = 2300 W/m2K SOLUCIÓN 1) Tubería sin aislar. El caudal másico de agua circulante es: 2 2 iD 0 026 kgm C v S v 1 1000 0 531 4 4 s ,· · · · · · · · · , Dicho caudal másico se enfría desde 90 hasta 88ºC: P E S1q mc T T 0 531 4179 90 88 4437 5W, · · , 2) Tubería aislada. Igualando la pérdida energética del agua a la pérdida energética de la tubería aislada: b2 amb 2 P E S2 3 22 1 i 1 12 23 e 3 2 L T T q mc T T r rr r1 1 hr k k h r · · ·( ) ln( / )ln( / ) siendo Tb2 la temperatura media de masa del fluido que circula por la tubería aislada: E S2 b2 T T T 2 Por consiguiente, 26 Problemas de Transferencia de Calor. E S2 amb P E S2 3 22 1 i 1 12 23 e 3 T T 2 L T 2mc T T r rr r1 1 hr k k h r · · ·( ) ln( / )ln( / ) (*) En la ecuación anterior, son desconocidos TS2 y he. Puesto que se mantiene constante el coeficiente combinado he, se obtendrá su valor a partir de la información de la tubería sin aislar. E S1 amb 2 1 i 1 12 e 3 T T 2 L T 2q r r1 1 hr k h r · · ·( ) ln( / ) Despejando he: E S1 amb 2 1 e ei 1 12 e 3 e 2 e T T 90 88 2 L T 2 50 0 27960 1752 2q 4437 5 r r 1 28 26 1 71 4281 1 0 0336 2300 0 013 400 h 0 014 hhr k h r 71 428 W 0 0336 6 3 h 11 4 h m K · · ·( ) · · ·( ) ,, ln( / ) ln( / ) ,, · , , ,, , , Con el valor de he, entrando en la ec. (*) S2 S2 S2 S2 S2 90 T 2 50 0 20 531 4179 90 T 1 14 13 54 14 1 2300 0 013 400 0 04 11 4 0 054 4500 199714 414500 50 T 35 406199714 41 2218 63 T T 89 66 C 5035 406 2218 63 35 406 · · ·( ) , · · ln( / ) ln( / ) · , , , · , , ., , · , º , , , Por último, las nuevas pérdidas son: 2 P E S2q mc T T 0 531 4179 90 89 66 759 5W, · ·( , ) , Conducción en Régimen Permanente. 27 PROBLEMA 8 Se tiene un material generador de calor de origen nuclear (k = 40 W/m K) almacenado en una esfera de acero (k = 15 W/m K) de 0,5 m de radio interior y 10 cm de espesor. Se asume que la generación de calor es constante y de valor 2 105 W/m3. La superficie exterior de la esfera se expone a una corriente de agua a 25ºC, presentándose un coeficiente h= 1000 W/m2K. Se pide: 1) Temperaturas superficiales del acero 2) Temperatura en el centro de la esfera. SOLUCIÓN 1) Efectuando un balance de energía: 5 3 SE F SE F 2 4 2 10 0 5q V 3q V h A T T T T 25 48 1 C h A 1000 4 0 6 * * · · , · · , º * , El calor se transmite por conducción a través de pared esférica simple. Así pues: SI SE i e 4 k T T q 1 1 r r ( ) 3 i 4 q q V q r 104720 W 3 * * · i e SI SE 1 1 1 1q 104720 r r 0 5 0 6 T T 48 1 233 3 C 4 k 4 15 · , , , , º 2) Para averiguar la temperatura en el centro de la esfera debe obtenerse la distribución de temperaturas en el seno de la misma. A partir de la ecuación general en esféricas: 2 2d dTk r q r 0 dr dr * Resolviendo la ecuación y particularizando en r= 0 se obtendrá la temperatura deseada: 3 2 2 1 1 1 w22 C CdT q r dT q r q r r C T C dr 3k dr 3k 6k rr * * * Aplicando condiciones de contorno: 2 i Si i 1 2 Si T r T 233 3 q r C 0 C T 6kT 0 finita *( ) , ; ( ) Así pues la ecuación queda: 28 Problemas de Transferencia de Calor. 2 2 22 i i Si SI q r q r rq r T T T 6k 6k 6k * ** ( ) Y particularizando para r=0: 2 5 2 i SI q r 2 10 0 5 T 0 T 233 3 441 6 C 6k 6 40 * ( ) · · ,( ) , , º · Conducción en Régimen Permanente. 29 PROBLEMA 9 Determinar en régimen permanente la posición y magnitud de la temperatura máxima existente en una placa infinita de 0,05 m de espesor, que tiene una conductividad térmica de 1 W/mºC y una emisividad térmica nula, en cuyo interior existe una fuente térmica que varía linealmente entre un valor nulo en la superficie izquierda y un valor de 2 105 W/m³ en la superficie derecha, sabiendo que ambas superficies están refrigeradas por un mismo fluido a 100ºC que proporciona un coeficiente de convección de valor 100 W/m2K. SOLUCIÓN Se trata de un problema de conducción con una fuente no uniforme. La ecuación general de la conducción es: 2 P2 T T k q c tx · * · · En régimen permanente: 2 2 d T k q 0 dx · * La ecuación de la fuente es: L x q x q x 0 L L * *( ) · , Sustituyendo: 2 2 L L2 2 qd T x d T k q 0 x L kLdx dx * *· · · Integrando: 2 3L L 1 1 2 q qdT x C T x C x C dx 2 kL 6 kL * * · · Aplicando las condiciones de contorno: En x=0 : convección f 0f 0 1 f 0 1 x 0 h T TdT k h T T k C h T T C dx k · · · · · La condición de contorno anterior expresa una de las constantes de integración en función de la temperatura (desconocida) en x=0. Por consiguiente no determina el problema. En x=L : convección 2LL F 1 L F x L qdT k h T T k L C h T T dx 2 kL * · · · · · 30 Problemas de Transferencia de Calor. Otra condición de contorno que, en primera instancia, no sirve para determinar el valor de C2, estando en función de TL, también desconocido. El valor de C2 puede relacionarse con T0 si se emplea otra condición de contorno: 0 2 0En x=0, T=T C T Que tampoco determina el problema al no conocerse el valor de T0. Sustituyendo en la ecuación integrada: 3L 0 F 0 q h T x x T T x T6k L k * ( ) · · (*) Será necesario efectuar un balance energético para eliminar la dependencia de la temperatura superficial T0. L 0 L F F 0 L L F F 0 L L F F 0 L L L q q q V h A T T h A T T q A h T T h T T q 2 2 L T T T T q (**) 2h * * * * · · · · · · · En la ecuación anterior, se puede eliminar la dependencia de TL, particularizando para x=L en la ecuación (*): 2L L 0 F 0 q h T L T T L T 6 k k * · · · Expresión que introducida en (**) resulta: 2L 0 F 0 F F 0 L q h L L T T L T T T T q 6 k k 2h * *· · · Obsérvese que en la expresión anterior, la única incógnita es T0. Sustituyendo los datos del enunciado : 5 2 5 0 0 0 0 2 10 0 05 0 05 100 T 100 0 05 T 100 100 T 2 10 T 119 05 C 6 2 100 · ,· , · · , · , · Entrando en (*): 5 3T x 6 6 10 x 1905 x 119 05ˆ( ) , · · · , Posición y magnitud de la temperatura máxima: 6 2dT 0 1905 2 10 x x 0 031 m dx · · , 2 2 T x 0 031m 158 2 C d T 0 máximo dx ( , ) , Conducción en Régimen Permanente. 31 PROBLEMA 10 Se desea mantener una placa de cierto material a una temperatura mínima de 60ºC, cuando está inmersa de manera continua en una corriente de aire a 20ºC. Para ello se adosan a la placa original dos placas adicionales, que generan calor de forma uniforme, exactamente iguales. El conjunto queda conformado geométricamente como se indica en la figura adjunta. Se pide: 1) Determinar la potencia mínima (W/m3) necesaria de cada una de las fuentes. 2) Determinar la temperatura superficial en la cara libre de las fuentes. 3) Razonar la variación de los resultados anteriores si se dobla el espesor de la placa original DATOS kMATERIAL = 1,4 W/m K kFUENTES = 0,03 W/m K SOLUCIÓN En régimen permanente, el material no puede recibir calor, pues aumentaría su temperatura. Por consiguiente, en la interfase fuente-material el flujo de calor es nulo. Y la temperatura de todo el material es la mínima requerida, 60ºC. A partir de la ecuación general de la conducción de calor, para una de las capas fuente: 2 2 2 F 1 1 22 2 F F F d T d T q dT q q x k q 0 x C T C x C k dx k k 2dx dx * * *· * Condiciones de contorno: 1 0 2 0 dT En x=0 0 C 0 dx En x=0 T=T =60ºC C T Y la ecuación queda: 2 0 F q x T T k 2 * Así, se puede poner la temperatura superficial libre de la placa fuente en función de la temperatura superficial interior de la fuente: 2 F L 0 F Lq T T k 2 * Efectuando un balance energético a una de las fuentes: 32 Problemas de Transferencia de Calor. 2 2 F F F L f 0 F F 0 F F F 2 0 FF F 0 F 2 2 3 F F F F L Lq q q V h A T T h A T T q L h T T h k 2 k 2 h T T 15 60 20h L W q L h T T q 114286 2k h L 15 0 003 m 0 003L 2 0 032k * ** · · · · * ·* * · · ,, · , Y la temperatura superficial resulta: 2 2 F L 0 F Lq 114286 0 003 T T 60 42 9 C k 2 0 03 2 * · , , º , · Conducción en Régimen Permanente. 33 PROBLEMA 11 Una varilla de combustible nuclear convencional está formada por dos cilindros concéntricos. El radio del cilindro interior es de 0,2 cm, y el del exterior es de 0,4 cm. Ambos cilindros están compuestos por combustible nuclear UO2, con una conductividad del material nuclear generador de potencia de k = 5 W/m K. La varilla de combustible está refrigerada por su parte exterior por agua, a una temperatura media de 300ºC, y con un coeficiente de película de h = 6000 W/m2K. El cilindro interior tiene una fuente de calor q1* = 1600 W/cm 3. El cilindro exterior tiene otra fuente de calor, de valor q2* = 300 W/cm 3. La longitud de la varilla es órdenes de magnitud mayor que el radio. Determinar, en régimen permanente: 1) La temperatura máxima del conjunto. 2) En el caso de que en el cilindro interior se apague la fuente (q1* = 0), manteniéndose constante el resto de datos del problema, representar sin hacer cálculos como es la distribución de temperatura en ambos cilindros, explicando el resultado. 3) En el caso de que en el cilindro exterior se apague la fuente (q2* = 0), manteniéndose constante el resto de datos del problema, representar sin hacer cálculos como es la distribución de temperatura en ambos cilindros, explicando el resultado. SOLUCIÓN 1) El eje de la varilla debe ser obligatoriamente un máximo de temperaturas, ya que al ser el cilindro interior de generación interna positiva no pude haber transmisión de calor hacia el mismo desde puntos situados más al exterior. Para determinar esa temperatura es necesario obtener adecuadamente las condiciones de contorno del problema. En primer lugar se busca la temperatura de la superficie exterior del conjunto, T2. q’1(W/m) = q*1 r1 2 = 201,06 W/cm q’2(W/m) = q*2 (r2 2-r1 2) = 113,10 W/cm q’TOTAL (W/m) = q’1 + q’2 = 314,16 W/cm Por conservación de la energía todo el calor así generado pasa por convección al fluido circundante: TOTAL 2 2 agua 2q 2 r T T T 508 33 C’ · · · , Conocido T2 y q’1 se puede determinar el valor de la temperatura de la cara interna de la pared cilíndrica en que la tasa de generación es q*2 2 2 2 121 2 1 1 2 1 2 2 1 1 r1 1 2 rT T q 2 k r q 1 T 1048 76 C r r r r ' * , ln ln 34 Problemas de Transferencia de Calor. Conocido T1 se puede obtener la temperatura máxima pedida , sustituyendo en la expresión de la distribución de temperaturas para cilindros macizos con generación de calor uniforme: 2 1 2 0 1 q r T T 1368 76 C 4k * · , 2) Si se anula el termino de generación de calor del cilindro macizo interior (q1*=0), en régimen permanente ni sale ni entra energía en dicho cilindro. Por tanto, el perfil de temperaturas debe ser plano (temperatura constante), con derivada nula en el eje. Sin embargo en la pared cilíndrica donde permanece la generación de calor, la temperatura disminuirá en el sentido que toma el calor para escapar del sistema, por lo que será decreciente según aumenta el radio. Tal y como se ilustra en la figura adjunta. 3) Si se anula la fuente de la pared cilíndrica exterior, el perfil de temperaturas presentará una variación en el cilindro macizo interior composición de una aportación con el radio al cuadrado más otra aportación con el logaritmo neperiano del radio, tal y como dicta el perfil de temperaturas que se obtiene para un cilindro macizo. En el cilindro exterior se tratará de un decremento de temperatura asociado a la variación que experimenta la función logaritmo neperiano del radio desde el radio interior de la pared cilíndrica hasta el radio exterior de la misma. Conducción en Régimen Permanente. 35 PROBLEMA 12 El destornillador de la figura está formado por una barra metálica (k = 50 W/m K), de 5 mm de diámetro y 15 cm de longitud, tal que 11 cm quedan libres y 4 cm están empotrados en una empuñadura de plástico duro que tiene una conductividad térmica despreciable. En un taller mecánico con 20 C de temperatura ambiente, en donde existe un coeficiente de convección de valor 10 W/m2K, un operario que está ajustando un motor emplea este destornillador para apretar un tornillo que se encuentra a 200 C. En régimen permanente, y despreciando todo efecto radiativo, se pide: 1) Calcular la posición y magnitud de las temperaturas máxima y mínima en toda la barra 2) Dibujar con 4 puntos representativos la distribución de temperaturas en toda la barra 3) Calcular el calor total transferido por la barra al entorno SOLUCIÓN 1) Puesto que el calor se transmite en el sentido de las temperaturas decrecientes, la máxima temperatura de la barra se da en el extremo libre del destornillador, que está en contacto con el tornillo del motor. Dicha temperatura es de 200ºC. La mínima temperatura se da en la porción de la barra contenida dentro de la empuñadura, que es la zona más alejada de la fuente de calor. Puesto que la empuñadura se asume con conductividad nula, no puede transmitirse calor a su través. Así, toda la barra empotrada será isoterma, correspondiéndole la temperatura mínima. Entiéndaseque esta asunción de conductividad nula es en realidad imposible, y que por consiguiente, en la realidad, sí se transmitiría calor hacia la empuñadura, desde la parte final de la barra metálica. La barra se comporta como una aleta tipo aguja de longitud igual a la zona expuesta al fluido y adiabática en su extremo La distribución de temperaturas se rige por la expresión: 36 Problemas de Transferencia de Calor. F F 0 F 0 0 F Ch m L x Ch m L xT x T T x T T T T T Ch mL Ch mL Con -12 Ch 12,65 0,11 xh C h D 4h m 12,65 m T x 20 (200 20) Dk A k D Ch 12,65 0,11 k 4 Las temperaturas máxima y mínima son: MAX MIN Ch 12,65 0,11 T T(x 0) 20 180 200 2,135 Ch 12,65 0,11 0,11 T T(x L) 20 180 104,3 C 2,135 º 2) Además de los dos puntos anteriores, pueden ser representativos el punto central de la barra expuesta al fluido y el final de la barra: L E L Ch 12,65 0,11 0,055 T x L 2 20 180 125,6 C 2,135 T T(x 0,15) q k A 0 T(x 0,15) T 104,3 C x º º 200 104,3104,3 125,6 0 50 100 150 200 250 0 0,025 0,05 0,075 0,1 0,125 0,15 3) El calor total transmitido por una aguja adiabática es: 0q km A Th mL 1,97 W Conducción en Régimen Permanente. 37 PROBLEMA 13 El destornillador de la figura está formado por una barra metálica (k = 50 W/m C), de 5 mm de diámetro y 15 cm de longitud, tal que 11 cm quedan libres y 4 cm están empotrados en una empuñadura de plástico duro que tiene una conductividad térmica despreciable. En un taller mecánico con 20 C de temperatura ambiente, en donde existe un coeficiente de convección de valor 10 W/m2K, un operario que está ajustando un congelador emplea este destornillador para apretar un tornillo que se encuentra a 30 C bajo cero (- 30 C). En régimen permanente, y despreciando todo efecto radiativo, se pide: 1) Calcular la posición y magnitud de las temperaturas máxima y mínima en toda la barra 2) Dibujar con 4 puntos representativos la distribución de temperaturas en toda la barra 3) Calcular el módulo, la dirección y el sentido del calor total intercambiado entre la barra y su entorno Nota: sólo se acepta la solución analítica exacta del problema, no siendo válida la solución aproximada calculable mediante métodos numéricos. SOLUCIÓN 1) Puesto que el calor se transmite en el sentido de las temperaturas decrecientes, la mínima temperatura de la barra se da en el extremo del destornillador, que está en contacto con el tornillo del congelador. Dicha temperatura es de -30ºC. La máxima temperatura se da en la porción de la barra contenida dentro de la empuñadura, que es la zona más alejada del sumidero de calor. Puesto que la empuñadura se asume con conductividad nula, no puede transmitirse calor a su través. Así, toda la barra empotrada será isoterma, correspondiéndole la temperatura máxima. Entiéndase que esta asunción de conductividad nula es en realidad imposible, y que por consiguiente, en la realidad, sí se transmitiría calor desde la empuñadura hacia la parte final de la barra metálica. La barra se comporta así como una aleta tipo aguja de longitud igual a la zona expuesta al fluido y adiabática en su extremo. La distribución de temperaturas se rige por la expresión: F F 0 F 0 0 F Ch m L x Ch m L xT x T T x T T T T T Ch mL Ch mL 38 Problemas de Transferencia de Calor. Con -12 Ch 12,65 0,11 xh C h D 4h m 12,65 m T x 20 ( 30 20) Dk A k D Ch 12,65 0,11 k 4 Las temperaturas máxima y mínima son: MAX MIN Ch 12,65 0,11 0,11 T T(x L) 20 50 3,4 C 2,135 Ch 12,65 0,11 T T(x 0) 20 50 30 C 2,135 º º 2) Además de los dos puntos anteriores, pueden ser representativos el punto central de la barra expuesta al fluido y el final de la barra: L E L Ch 12,65 0,11 0,055 T x L 2 20 50 9,3 C 2,135 T(x 0,15) T q k A 0 T(x 0,15) T 3,4 C x º º -30 -3,4-3,4-9,3 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 0 0,025 0,05 0,075 0,1 0,125 0,15 3) El calor total transmitido por una aguja adiabática en su extremo es: 0q km A Th mL 0,55 W El calor es entrante a la barra desde el aire exterior. Conducción en Régimen Permanente. 39 PROBLEMA 14 Los canales de refrigeración que se encuentran en intercambiadores de calor compactos pueden estar configurados de acuerdo con el esquema de la figura que se adjunta. En el caso de aplicarse a circuitos electrónicos, las superficies 1 (superior) y 2 (inferior) están adosadas a elementos electrónicos que requieren refrigeración, la cual se consigue impulsando aire por el interior de los canales que se han formado entre ellos. Para una configuración de canal con una distancia entre superficies de 60 mm, una anchura de canal de 4 mm, con 1 mm de espesor de aluminio en la unión entre superficies, una profundidad de canal de 80 mm y una número total de canales de 40. Si las temperaturas en las superficies 1 y 2 son 35 y 30ºC respectivamente, y el aire impulsado tiene una temperatura media de 20ºC, induciendo un coeficiente de convección en las superficies de los canales de 60 W/ m2K. Determinar: 1) El calor disipado a través de los canales. 2) Si el salto térmico máximo que se pretende en el aire es de 10ºC, determinar el caudal de aire impulsado a través del conjunto de canales. SOLUCIÓN La estructura básica de canal, es la que se muestra en la figura: Esta estructura es una superficie extendida en el que las temperaturas de sus extremos son fijas y conocidas; equivalente a una aleta en la que se tiene la condición de contorno de temperatura conocida en su extremo. La solución del campo de temperaturas que corresponde a esa aleta se puede encontrar en cualquier libro de texto de transmisión de calor: L bmx m L xT x T mL sinh sinh ( ) sinh A partir de la cual se puede obtener el valor del flujo de calor en cada punto de la superficie extendida: 40 Problemas de Transferencia de Calor. L b c c mx m L xd q x kA kA m dx mL cosh cosh sinh El calor total transferido a través de las separaciones entre canales se obtiene a partir del balance energético en la aleta equivalente, sustrayendo al calor que sale de la base (superficie 1), el que se obtiene en el extremo (superficie 2). a 1 2q q q Este sería el calor únicamente transferido a través de la separación entre los canales. Hay que sumarle el calor transferido a través de las superficies que cierran esos canales de refrigeración. s1 1 1 1q A h T T a b h T T s2 2 2 2q A h T T a b h T T Siendo a, y b el ancho y la profundidad del canal, 4 y 80 mm respectivamente. Con lo que el calor total disipado a través de los canales es: T a s1 s2q N q q q El caudal de aire impulsado se obtiene a partir del calor total evacuado y el salto térmico que se produce. T a p a q m C T El cálculo de la aleta requiere determinar sus parámetros característicos, que se obtienen de su geometría y de las propiedades del aluminio, que es el material que la forma. De tal forma que: b 1T T 35 20 15 ºC L 2T T 30 20 10 ºC cA e b 1 80 80 m 2 c c h P h 2 b 60 2 0 08 m 26 93 k A k A 237 0 00008 , , , m Siendo k, la conductividad del Aluminio, del orden de 237 W/m2K (tablas). Con estos valores se obtiene: L b 1 c m L q q 0 kA m mL cosh sinh 10 15 26 93 0 06 237 0 000080 26 93 4 423 W 26 93 0 06 cosh , , , , , sinh , , Conducción en Régimen Permanente. 41 L b 2 c mL q q L kA m mL cosh sinh 10 26 93 0 06 15 237 0 00008 26 93 1 6 26 93 0 06 cosh , , , , , sinh , , W Lo que indica que en la superficie “1” se disipan 4,423 W, y en la superficie “2”, 1,6 W. En cuanto a la disipación térmica por el resto de las superficies de canal: s1 1q a b h T T 0 004 0 08 60 15 0 288, , , W s2 2q a b h T T 0 004 0 08 60 10 0 192, , , W Con lo que el calor total evacuado queda: T a s1 s2q N q q q 40 4 423 1 6 0 288 0 192 260 1, , , , , W Y el caudal de aire impulsado para extraer ese calor (tomando el cp del aire a presión atmosférica de tablas): T a p a q 260 1 kg m 00259 C T 1007 10 s , , 42 Problemas de Transferencia de Calor. PROBLEMA 15 En un laboratorio se tiene una placa de acero que se mantiene a una temperatura constante de 1000 C. Sobre ella, se ha instalado perpendicularmente una barra de aluminio, de 1,25 cm de diámetro y 30 cm de longitud, que se comporta como una aleta recta de sección transversal constante. Para incrementar el efecto de disipación térmica de esta aleta se le ha unido coaxialmente en su extremo una barra de hierro forjado, de igual diámetro y longitud, pudiéndose considerar despreciable la transmisión de calor del extremo libre al entorno. Sabiendo que el aire del laboratorio se encuentra a 0 C, y suponiendo que existe un único coeficiente combinado de convección-radiación, aplicable a las dos barras, de valor 9 W/m2K, se pide calcular, en régimen permanente, lo siguiente: 1) Temperatura en la unión entre las dos barras 2) Temperatura en el extremo libre de la barra de hierro forjado 3) Calor (W) extraído de la placa de acero 4) Calor (W) disipado al entorno por la barra de aluminio 5) Calor (W) disipado al entorno por la barra de hierro forjado Complementariamente a lo anterior, razonar cualitativamente, sin realizar cálculos, los resultados que se obtendrían para las preguntas previas en caso de invertir la posición relativa de las dos barras, uniendo a la superficie de acero la barra de hierro forjado y a ésta, la de aluminio. NOTA: Suponer despreciable la resistencia térmica de contacto entre la barra de aluminio y la superficie metálica, así como entre la barra de aluminio y la barra de hierro forjado. DATOS DE LOS MATERIALES Acero Aluminio Hierro forjado Densidad (kg/m3) 7 833 2 707 7 849 Calor específico (kJ/kg K) 0,47 0,89 0,46 Conductividad (W/m K) 54 228 57 Formulario para el cálculo del flujo térmico en aletas rectas Aleta en el caso general: mLshHmLch mLchHmLsh kmAq oo Aleta con condición adiabática en su extremo libre: mLthkmAq oo Aleta con temperatura conocida en su extremo libre: mLsh mLch/1 kmAq mLsh /mLch kmAq oL oL oL oo Aleta infinita: okmAq Conducción en Régimen Permanente. 43 SOLUCIÓN 1) El calor que disipa por su extremo la barra de aluminio es el calor total que disipa la barra de hierro. En el punto de unión de ambas barras la temperatura es única, TU. La barra de aluminio se comporta por tanto como una aleta con temperatura en el extremo fija TU. La barra de hierro se comporta como una aleta con temperatura en la base TU y cesión de calor despreciable en su extremo. Los parámetros característicos de cada una de las aletas resultan: -1 AL 2 -1 FE m 3,554 mh P h D 4h m Dk S kD m 7,108 mk 4 AL FEL L L 0,3 m f f T T T T 0 Cº Para determinar la temperatura en la unión, se iguala el calor disipado por el extremo de la aleta de aluminio al calor que disipa la aleta de hierro: o U ALAL FE L AL L FE FE U FE AL AL L 0 AL U FE FE FE AL L AL T T Ch m L q q k m A k m A T Th m L Sh m L k m T Sh m L T 445,1ºC k m Th m L k m Cth m L 2) La aleta de hierro tiene una distribución de temperatura correspondiente a aleta recta o aguja expuesta a convección, despreciando la transmisión de calor en el extremo. Como se desea averiguar la temperatura en el extremo, se particulariza dicha distribución para x= L: Uf E E b f b U FE Ch L x TT T TT 1 T 104,1 C T T T Ch mL T Ch mL Ch m L 3) El calor extraído de la placa de acero será el que atraviesa la base de la aleta de aluminio: 44 Problemas de Transferencia de Calor. 0 AL UAL 0 AL AL AL T Ch m L T q k m A 91,6 W Sh m L 4) El calor disipado por la aleta de aluminio es el calor total que se disipa desde la placa menos el calor que disipa la aleta de hierro: AL FE AL AL 0 0 0 FE FE U FEq q q q k m A T Th m L 91 6 21 52 70 08 W, , , 5) El calor disipado por la aleta de hierro , empleado para el cálculo del apartado anterior, corresponde al flujo saliente por conducción de la aleta de aluminio: FE 0q 21,52 W 6) Razonamiento cualitativo del caso inverso Al situar invertidas las aletas, con la de hierro soldada a la placa de acero, la evacuación del calor se dificulta, puesto que el hierro tiene menor conductividad que el aluminio. Por ello, habrá una mayor diferencia de temperaturas entre la base de la placa y la unión. Esto es, la temperatura en la unión será menor. La temperatura media en la aleta de hierro será por consiguiente menor que en la situación original, y el calor disipado también. Lo mismo puede decirse de la aleta final, en este caso de aluminio: la temperatura en su base (virtual) será menor, por lo que el calor disipado también. A pesar de que aumente la efectividad de la aleta, pues la conductividad sería mayor, este efecto no compensará nunca la bajada de temperatura media del conjunto. Por consiguiente, el perfil de temperatura es más bajo en toda la longitud del dispositivo, y el calor entregado por cada una de las aletas y por el conjunto es menor. Si un aleta se instala para disipar calor, cuanto más se facilite la evacuación del calor a través de la misma, mejor. Y facilitar la evacuación está directamente relacionado con aumentar la conductividad térmica, ya que, aunque el calor se cede en definitiva por convección, debe llegar a la superficie exterior de las aletas por conducción. Conducción en Régimen Permanente. 45 PROBLEMA 16 Dos fuentes térmicas homogéneas de 1 m de espesor se utilizan para calentar un determinado caudal de aire. Para ello, se emplea el esquema de la figura. Las dos fuentes están conectadas por un conjunto de aletas rectas de sección circular, de 1 m de longitud. La disposición de las aletas sobre las superficies es cuadrada, con una distancia entre centros de aletas de 2 cm. Las temperaturas de las paredes de las fuentes en contacto con el aire son, para la fuente q1 *, T1 = 220 C y para la fuente q2 *, T2 = 120 C. La temperatura media del aire a su paso por el conjunto es de Tf = 20 C. En el régimen permanente, y despreciando la transmisión de calor por radiación, se pide determinar: 1) Partiendo de la ecuación general de la transmisión de calor en aletas y haciendo las simplificaciones necesarias, obtener la ecuación analítica que define la distribución de temperatura en la aleta en función de la variable ‘x’, con las condiciones de contorno del problema. Se debe llegar a la solución: L 0sh m x sh m L xx sh m L ( ) ( ( ))( ) ( ) Sabiendo que: x x x x e e sh x 2 e e ch x 2 ( ) ( ) 2) Determinar la localización del mínimo de dicha distribución, dibujar a mano alzada la distribución de temperaturas y comentar qué está ocurriendo físicamente en la aleta (media cara como máximo) Determinar asimismo la cantidad de calor en ambos extremos de la aleta (q0 y qL) y justificar el sentido del flujo de calor en dichos extremos. ¿Cuál es el flujo de calor por conducción en el punto de mínima temperatura? 3) Determinar qué longitud de la aleta hace de disipador de calor de cada una de las superficies. Determinar la efectividad de la aleta correspondiente a cada superficie, y la efectividad de ambas superficies totales aleteadas. Determinar asimismo el flujo de calor total (W/m2) que sale de ambas superficies hacia el aire. 4) Determinar el valor de las fuentes (las superficies exteriores de ambas fuentes son paredes adiabáticas, excepto la superficie que está en contacto con el aire, como muestra la figura). 46 Problemas de Transferencia de Calor. 5) Suponiendo un volumen de ambas fuentes de 10 m3, determinar la temperatura de entrada y salida del aire en el conjunto, sabiendo que la temperatura media del aire a su paso por el conjunto es de 20 C y su caudal de 1 kg/s. DATOS Coeficiente de película: h = 10 W/m2K Radio de la aleta: r = 5 mm. Conductividad de la aletas: k = 160 W/m K Calor específico del aire: cp = 1000 J/kg K SOLUCIÓN 1) De la ecuación general de las aletas:0TT Ak Ph dx Td PerímetroP dx dS ; 0 dx dA 0TT dx dS Ak h dx dT dx dA A 1 dx Td f2 2f2 2 mx 2 mx 12 2f eCeCx:Solución0m dx d Ak Ph m TT :variable de Cambio Aplicando las condiciones de contorno: mLmL L mL o mLmL o 2o1 mLmL L mL o 2mL 2 mL 1LL 21oo ee eee CC ee e C eCeCLx CC0x Por tanto: mLsh xLmsh mxsh mLsh2 mxsh2 mxsh2 ee ee ee ee e ee eee x oLoL mLmL xLmxLm o mxmx L mLmL mx L mL o mx L mL o mLmL o 2) El mínimo de la distribución estará en: xLmch mxch0 mLsh xLmchm mxchm 0 dx xd oL oL m 57,0xx15ch 200 x5ch 100 C 100 C 200 m 1L m 5 005,0 160 005,0 2 10 kA hP m L o 1- 2 Conducción en Régimen Permanente. 47 El flujo de calor en ambos extremos de la aleta: W 11,6 mLsh xLmchm mxchm kA dx d kAq W 48,12 mLsh xLmchm mxchm kA dx d kAq Lx oL Lx L 0x oL 0x o El flujo de calor en el punto de mínima temperatura será nulo pues: 0 dx d 57,0x 3) Se trata de dos aletas con extremo adiabático de longitudes: m 43,0L m 57,0L 2 1 La superficie de aletas y la superficie total son: 22 2T 22 22a 22 1T 22 11a 22 aT a m 10383,1S ; m 10351,1rL2S :2 m 10823,1S ; m 10791,1rL2S :1 m 43,0r02,0SS m 57,0rL2S La eficacia de cada una de ellas es: 45,0 43,0 5 43,0 5th Lm Lmth 35,0 57,0 5 57,0 5th Lm Lmth Lm Lmth 2 2 2 1 1 1 c c La efectividad total de la estructura aleteada: 463,01 S S 1 361,01 S S 1 1 S S 1 2 2T 2a 2 1 1T 1a 1 T a Por tanto, el flujo de calor total de ambas será: 48 Problemas de Transferencia de Calor. 2L1 2 2o1 1 m W 634100 10 463,0h A q m W 722200 10 361,0h A q h A q 4) El valor de las fuentes en cada caso será: 3 2 2* 2 3 1 1* 1 ** m W 634 L A/q q m W 722 L A/q q L A/q qLq A q 5) C92,25T C08,14T C85,11 1000 1 10 463722 Cm Vqq TVqVqTCm s e p * 2 * 1 2 * 21 * 1p Conducción en Régimen Permanente. 49 PROBLEMA 17 Se tiene un cilindro macizo de acero inoxidable de longitud infinita, con un diámetro exterior de 5 cm, en el que se genera una potencia térmica homogénea y constante en el tiempo de valor 90 W/m, disponiendo de aletas anulares del mismo material de 7 cm de diámetro exterior, 1 mm de espesor y una separación entre aletas de 1 cm. Sabiendo que el cilindro está ubicado en el interior de un laboratorio cuyo aire y paredes se encuentran de a una temperatura constante de 25ºC, contra la que presenta un coeficiente combinado de convección-radiación de valor 10 W/m2K, se pide determinar, en régimen permanente, lo siguiente: 1) Ecuación T1 (r) de la distribución de temperaturas (ºC) en el interior del cilindro, en función del radio (m). 2) Incremento térmico que sufriría el eje del cilindro en caso de eliminar las aletas, manteniéndose el resto de las condiciones. Dato: Conductividad del acero, k = 14 W/m ºC SOLUCIÓN La ecuación general de la conducción para geometría cilíndrica, unidireccional c y con generación de calor, es: 1 d dT q r r dr dr k * La ecuación general que resulta de la integración de la ecuación diferencial es de la forma: 2 2 1 2 1 22 E q q r T r r K r K K r K 4 k 4 k r * ' ln ln En donde las constantes de integración se obtienen de la aplicación de las condiciones de contorno, y en donde la densidad de potencia volumétrica se ha expresado en función de la potencia lineal, que es uno de los datos del problema. Las condiciones de contorno que hay que aplicar en este caso son las de flujo de calor nulo en el centro del cilindro por simetría y la condición de contorno de convección en la superficie exterior, teniendo en cuenta la presencia de una superficie aleteada. Estas condiciones son: r 0 r 0 r 0 dT dT q k 0 0 dr dr '' E EA q L h T r T A ' · Esta segunda condición de contorno indica que el calor que se genera en el interior del cilindro se evacúa por la superficie total de la estructura aleteada con una eficiencia determinada por las características de las aletas. La descripción de la condición de contorno se realiza por unidad de longitud, y da lugar a que la temperatura en la superficie tenga la forma: 50 Problemas de Transferencia de Calor. E EA q L T r T h A ' Aplicando las condiciones de contorno se tiene que: 1 r 0 dT 0 K 0 dr E 2 EA EA q L q qL T r T K T h A 4 k h A ' ' ' Con lo que la expresión de la distribución de la temperatura en el interior del tubo queda de la forma: 2 2 EAE q r qL T r T 1 4 k h Ar ' ' En el caso de no tener aletas, la distribución de temperaturas queda ( =1; AEA=AT=2 rEL): 2 2 EE q r q T r T 1 4 k h 2 rr ' ' La diferencia de temperatura en el eje entre las dos configuraciones con aletas y sin aletas sería E EA q 1 L T r 0 h 2 r A ' Solo resta realizar la sustitución de valores y el cálculo de la eficiencia del conjunto de aletas para obtener los resultados numéricos. La eficiencia de una aleta anular de forma rectangular se obtiene a partir de los siguientes parámetros: b e r 5 2 0 714 r 7 2 / , / 11 22 e 2 h 2 10 r 0 035 1 32 k w 14 0 001 , , , De donde se obtiene una eficiencia de aleta (fórmula o gráfica) de =0,947 La eficiencia del conjunto de aletas es de la forma: A EA A 1 1 A Conducción en Régimen Permanente. 51 Las áreas de las aletas y el total son 0,376 y 0,531 m2/m respectivamente, dando lugar a una eficiencia del conjunto de aletas de 0,96. Con estos datos, la diferencia de temperaturas en el eje entre el caso sin aletas y con aletas es de: E EA q 1 L 90 1 1 T r 0 39 7 C h 2 r A 10 2 0 025 0 96 0 531 ' , º , , , 52 Problemas de Transferencia de Calor. PROBLEMA 18 Por el interior de una tubería circula un caudal de vapor saturado a TSAT = 100 C en régimen permanente. Por el exterior de la tubería hay aire a una temperatura de Te=20 C. Para incrementar la cantidad de condensado obtenido por cada metro de tubería, se disponen unas aletas anulares del mismo material en la parte exterior de la misma. Determinar: 1) Calor por metro lineal disipado por la tubería sin aletas. 2) Calor por metro lineal disipado por la tubería con aletas. 3) Cantidad de condensado obtenido por metro lineal de tubería en ambos casos (sin aletas y con aletas). 4) Calcular la temperatura de la superficie exterior del tubo en ambos casos. Razonar la diferencia de los resultados. DATOS - Considérese que no hay subenfriamiento en el líquido condensado - Radio exterior de la tubería: re = 1.5 cm - Radio interior de la tubería: ri = 1.2 cm - Conductividad térmica del tubo: kt = 20 W/m K - Radio exterior de la aleta: ra = 5 cm - Espesor de la aleta: w = 1,7 mm - Distancia entre centros de aletas = 1 cm - Conductividad térmica de la aleta: ka = 30 W/m K - Coeficiente de película por el interior de la tubería: hi = 1000 W/m2K - Coeficiente de película por el exterior de la tubería: he = 5 W/m2K - Calor latente de cambio de estado del agua: hfg = 2257 kJ/kg SOLUCIÓN 1) El calor disipado por metro lineal de tubo sin aletas será: W/m 43,37 0,015 5 1 20 2,1/5,1ln 012,0 1000 1 201002 rh 1 k r/rln rh 1 TT2 L q 'q ee ie ii ei sin sin 2) La efectividad de una aleta simple es: 88,0 7,0w wk rh2 35,0 r r Gráfica 2 a a e Dado que la separación entre centros de aletas es de 1cm, en 1 metro de tubo (L = 1 m), el número de aletas es: aletas 100 m 01,0 m 1 N Es necesario determinar la eficiencia global de la estructura aleteada: Conducción en Régimen Permanente. 53 89,0 m 51,1SSS m 0782,0,00170 1001 15,0 2wNLr2S m 43,1015,005,0 100 2rrN2S 1 S S 1 f 2 EaT 2 eE 2222 e 2 aa T a f Con lo que el calor disipado por metro lineal de tubo con aletas resulta: W/m 9,485 Sh L2 k r/rln rh 1 TT2 L q 'q Tfe 12 ii ei con con 3) La cantidad de condensado por metro lineal de tubería será: