UCM _Universidad Complutense de Madrid_ _ Fisica _ asignatura_ Mecánica Clásica _ Problemas_

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Curso 2021-22 Mecánica Clásica Grupos A y D
Tema 1
1. Hallar las componentes del momento angular en coordenadas esféricas y ciĺındricas.
2. Una part́ıcula se mueve de forma que su momento angular L es nulo para todo t. Probar que o bien la part́ıcula
está en reposo o bien su trayectoria es una recta que pasa por el origen
3*. Sea s la longitud de arco a lo largo de la trayectoria r(s) seguida por una part́ıcula. El vector unitario normal n
a lo largo de dicha curva se define mediante la relación dtds = κn, donde t ≡
dr
ds es el vector unitario tangente a la
curva y κ ≡
∣∣dt
ds
∣∣ ≥ 0. La función κ(s) es por definición la curvatura de la curva en el punto r(s), y 1/κ(s) ≡ R(s)
es su radio de curvatura. i) Probar que |t| = 1 y t ·n = 0 en todo punto de la curva. ii) Demostrar que v = ds/dt
y expresar las componente tangencial y normal de la aceleración r̈ en función de v, v̇ y R.
4. Una part́ıcula se mueve con velocidad de módulo constante v sobre la curva plana (cardioide) r = k(1 + cosϕ).
Calcular ϕ̇, ar y |a| en función de ϕ, v y k.
5. Indicar cuáles de los siguientes campos de fuerzas son conservativos y, en su caso, calcular la enerǵıa potencial
correspondiente (a, b y c son constantes): a) F = (ayz + bx+ cz) e1 + (axz + bz) e2 + (axy + by) e3,
b) F = −ze−xe1 + log z e2 + (e−x + y/z) e3, c) F = ar/r2.
6. Una part́ıcula está sometida a una fuerza F(t, r, ṙ) dependiente de la velocidad que verifica la condición∫
C
F · dr = 0 para toda trayectoria C. a) Dar un ejemplo f́ısico de una fuerza de este tipo. b) ¿Es F necesa-
riamente conservativa? c) ¿Se conserva la enerǵıa de la part́ıcula?
7. Un monopolo magnético es un (hipotético) campo magnético de la forma B = br/r3, donde b es una cons-
tante proporcional a la supuesta carga magnética. a) Escribir las ecuaciones de Newton para el movimien-
to de una part́ıcula de carga q y masa m en presencia del monopolo y de un campo central con potencial
V (r) = −k/r. b) Comprobar que el momento angular L no se conserva. c) Hallar un vector conservado estu-
diando cómo vaŕıa el par N con el tiempo.
8*. Una part́ıcula de carga q y masa m se mueve en el seno del campo magnético B = br/r3 creado por un
(hipotético) monopolo magnético. a) Probar que el módulo de la velocidad de la part́ıcula es constante. b) De lo
anterior y la relación F · r = 0 deducir la ecuación del movimiento de la coordenada r y hallar su solución general
suponiendo que ṙ(0) = 0. c) Determinar el movimiento de las coordenadas θ y ϕ utilizando la conservación del
vector J = L− qber. d) Describir la trayectoria seguida por la part́ıcula. [Ayuda para el apartado c): escoger los
ejes de forma que J = Jez.]
9. Una part́ıcula de masa m que se lanza verticalmente hacia arriba con velocidad inicial v0 está sometida a un
campo gravitatorio constante dirigido hacia abajo y a una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la
velocidad. Calcular la velocidad que tiene la part́ıcula al volver a su punto de partida.
10*. Se lanza una part́ıcula de masa m desde el punto más alto de de una esfera maciza de radio R con velocidad
v0 sometida a la gravedad terrestre. Calcular el ángulo θmax formado por la vertical y el punto en que la part́ıcula
abandona la superficie de la esfera en función de v0. ¿Cuál es el máximo valor que puede tomar θmax? [Ayuda: la
componente radial de la fuerza de reacción de la superficie no puede ser negativa.]
11. Una part́ıcula de masa m se mueve en una dimensión sometida a la fuerza F (x) = k(x2 − a2), con k, a
constantes positivas. Si x(0) = −a y ẋ(0) = v0, describir cualitativamente el movimiento de la part́ıcula en función
de su velocidad inicial v0.
12. Una part́ıcula de masa m se mueve en una dimensión sometida a una fuerza F (x) = −kx + kx3/a2, donde
k y a son constantes positivas. Calcular la enerǵıa potencial correspondiente con la elección V (0) = 0 y discutir
cualitativamente el movimiento de la part́ıcula. ¿Qué ocurre si E = ka2/4?
13. Una part́ıcula de masa unidad se mueve en una dimensión sometida al potencial V (x) = sin2 x (en unidades
apropiadas). Si la part́ıcula se halla inicialmente en el origen con velocidad
√
2, describir cualitativamente el
movimiento para t > 0 y hallar su ley horaria.
14*. Una part́ıcula de masa m = 2 y enerǵıa E = 0 parte del origen en t = 0 moviéndose hacia la derecha
sometida al potencial unidimensional V (x) = −(1−x2)(1−k2x2) (en unidades apropiadas), donde k ∈ [0, 1] es un
parámetro. i) Probar que si k ∈ [0, 1) el movimiento es periódico, y hallar su amplitud y peŕıodo. ¿Qué ocurre si
k = 1? ii) La solución x(t) de la ecuación del movimiento del apartado anterior recibe el nombre de seno eĺıptico
de Jacobi, y se suele denotar por sn(t; k). La cuarta parte de su peŕıodo (para 0 ≤ k < 1) se denomina integral
eĺıptica completa de primera especie y se denota por K(k). Expresar sn(t; 0) y sn(t; 1) en términos de funciones
elementales, y calcular K(0). ¿Cuánto vale K(1)? iii) Expresar la solución de la ecuación del movimiento con
E = 0 y x(0) = 1/k (siendo 0 ≤ k < 1) en términos de sn. ¿Cuánto tarda la part́ıcula en alcanzar el infinito?
15*. Probar que la solución de la ecuación del péndulo simple θ̈+(g/l) sin θ = 0 con las condiciones iniciales θ(0) =
θ0 ∈ (0, π), θ̇(0) = 0 es sin(θ/2) = k sn
(
K(k) −
√
g/l t; k
)
, donde k = sin(θ0/2), y su peŕıodo es 4K(k)
√
l/g .
[Ayuda: efectuar el cambio de variable sin(θ/2) = kx en la ecuación de la enerǵıa.]
16. Una part́ıcula de masa m sometida al potencial unidimensional V (x) = kx2(3a − 2x) (con k, a > 0) se halla
inicialmente en el punto x = a/2 con velocidad v0. Determinar para qué valores de v0 el movimiento es no acotado,
y si en tal caso es finito o infinito el tiempo empleado por la part́ıcula en alcanzar el infinito.
17. Una part́ıcula de masa m obligada a moverse sobre una curva en un plano vertical describe un movimiento
armónico simple de peŕıodo T = 2π
√
l/g (donde l es una constante con dimensiones de longitud) independiente
de la amplitud. Hallar las ecuaciones paramétricas de la curva en cuestión.
18. Hallar la dependencia en la amplitud y la enerǵıa del peŕıodo de las oscilaciones alrededor de x = 0 de una
part́ıcula de masa m que se mueve sometida al potencial V (x) = k|x|n, con k > 0 y n ∈ N.
19. Una part́ıcula de masa m se mueve en el plano sometida al potencial V (x, y) = k(x2 + 4y2)/2, con k > 0.
Sabiendo que r(0) = (a, 0) y v(0) = (0, v0), con a > 0 y v0 > 0, determinar el movimiento de la part́ıcula y dibujar
aproximadamente su órbita.
20. Un electrón de masa m y carga −e < 0 se mueve en un campo eléctrico uniforme E = Ee2 y un campo
magnético también uniforme B = Be3. En el instante inicial r(0) = 0 y v(0) = v0e1. Sabiendo que E > 0,
B > 0 y v0 > 0, calcular la trayectoria del electrón y dibujarla aproximadamente en los siguientes casos: a) v0 =
E/(2B); b) v0 = E/B; c) v0 = 2E/B; d) v0 = 4E/B.
21. Una part́ıcula de masa m y carga q se mueve en un plano sometida a un campo eléctrico rotatorio de amplitud
constante E(t) = E0(cosωt, sinωt) (con E0 > 0). Si la part́ıcula se encuentra inicialmente en reposo en el origen,
determinar su movimiento y dibujar aproximadamente su trayectoria.
22. La fuerza entre dos part́ıculas está dada por
F12 = k
[
r2 − r1 − λr(ṙ2 − ṙ1)
]
,
donde k y λ son constantes positivas y r = |r2 − r1|. Calcular el par interno del sistema y explicar por qué no se
anula. ¿Es conservativo el sistema formado por las dos part́ıculas?
23. El campo electromagnético creado por una part́ıcula de carga q que se mueve a lo largo de una trayectoria
x(t) está dado por
E(t, r) =
q
4πε0
r− x(t)
|r− x(t)|3
, B(t, r) =
µ0q
4π
ẋ(t)×
(
r− x(t)
)
|r− x(t)|3
(se supone que |ẋ| � c y |r − x||ẍ| � c|ẋ|). Estudiar si la fuerza electromagnética entre dos part́ıculas cargadas
en movimiento verifica (en esta aproximación) la tercera ley de Newton.
24. Demostrar que el momento angular de un sistema de dos cuerpos se puede escribiren la forma
L = MR× Ṙ + µr× ṙ ,
donde M = m1 +m2, µ = m1m2/(m1 +m2), r = r1− r2 y R = (m1r1 +m2r2)/ es el vector de posición del centro
de masas del sistema.