FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS UCM _ 1_ GRADO ELECTRONICA DE COMUNICACIONES UCM _ asignatura_ Análisis de circuitos Temario y ejercicios_ _ AC_Tema 1_

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Tema 1: Análisis básico de 
circuitos
Enrique San Andrés
Tema I 2
Leyes del electromagnetismo
• Leyes de Maxwell del electromagnetismo
• Ecuación de continuidad
Tema I 3
Abstracción
• ¿Cómo resolveríamos este problema?
• Algo parecido en F. Gral.
Tema I 4
Abstracción
• Modelo de parámetros concentrados (AC)
Tema I 5
R
VI =
Tema I 6
R
VI =
Introducción
• Condiciones de aplicabilidad del Modelo de 
Parámetros Concentrados (Análisis de 
Circuitos)
1. No hay acumulación de carga en interior de los elementos ni en los 
nodos (puntos de unión)
2. No hay variaciones del flujo magnético en el exterior de los 
elementos
3. Las dimensiones del circuito son mucho menores que la longitud de 
onda
Tema I 7
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑡𝑡
= 0
𝜕𝜕𝜕𝜕𝐵𝐵
𝜕𝜕𝑡𝑡
= 0
Tema I 8
• Elementos básicos de un circuito DC
– Resistencias
– Fuentes ó generadores
• Leyes de Kirchhoff
• Métodos de análisis de circuitos DC
– Simplificación de circuitos
– Método de los Nodos
– Métodos de las Mallas
– Superposición
– Equivalente Thévenin-Norton
• Amplificadores Operacionales ideales
– Circuitos simples con AO en DC
• Simulación de circuitos: Cadence Orcad
Objetivos del tema
Tema I 9
• Corriente: cantidad de carga eléctrica que 
atraviesa una superficie por unidad de tiempo
Intensidad de la corriente eléctrica
Sdt
dqi =
q
S
i
Imagen: J. Lee/NIST
Tema I 10
• Def. de amperio (A) en el sistema internacional
– "The ampere is that constant current which, if maintained in two 
straight parallel conductors of infinite length, of negligible circular 
cross-section, and placed 1 meter apart in vacuum, would produce 
between these conductors a force equal to 2 × 10−7 N per meter of 
length."
9th CGPM (1948)
Intensidad de la corriente eléctrica
Imagen: J. Lee/NIST
Intensidad de la corriente eléctrica
Tema I 11
• Realidad Física: Corrientes volúmicas
• AC: Corrientes filiformes
e-
i
i
Intensidad de la corriente eléctrica
• Criterio de signos 
amperímetro: Corriente 
positiva cuando es 
entrante por el terminal 
positivo
Tema I 12
Intensidad de la corriente eléctrica
• Dependencia con el tiempo
• Relación carga en un intervalo de t - corriente
Tema I 13
continua (DC)
alterna (AC)
periódica
Tema I 14
• Tensión o diferencia de potencial vAB entre 
dos puntos A y B de un circuito es la energía que 
realiza una fuerza externa cuando desplaza una 
carga de 1C desde A hasta B
– Este trabajo lo realizará un generador, que obtendrá la energía 
necesaria de un un campo magnético variable (alternador) o en una 
reacción química (batería). La tensión en abierto entre los terminales 
de un generador se denomina fuerza electromotriz.
– Donde solo hay campo eléctrico, la tensión coincide con la diferencia 
entre los potenciales eléctricos
– Las cargas se mueven si hay diferencias de potencial (v > 0)
Tensión eléctrica
( )
C
JvoltioVv
1
1][ ==
ldEv
A
BAB


∫=
Tema I 15
• Tensión entre terminales de un elemento
Tensión eléctrica
ABv
A
+
B
−
BAAB vv −=
v
+ −
– Notación equivalente
Tensión eléctrica
• Medida de la tensión con voltímetro
Tema I 16
Tema I 17
• DISCIPLINA DE SIGNOS: 
– Para resolver un circuito, en cada elemento elegiremos el sentido de la 
corriente “i”. Entonces la tensión “v” de dicho elemento se elige como 
la diferencia de potencial entre el terminal por el que entra la corriente 
y el terminal por el que sale.
• La potencia es la cantidad de energía absorbida 
por un elemento del circuito en la unidad de t
• Unidad: vatio 1W=1Vx1A
Potencia eléctrica
iv
dt
dq
dq
dw
dt
dwp ×===
v+ −
i
Tema I 18
• Consecuencia de la disciplina de signos
• El elemento disipa potencia si vi=p>0
• El elemento suministra potencia si vi=p<0
Potencia eléctrica
ABv
A
+
B
−
i
Tema I 19
• ¿Absorbe o inyecta potencia?
Potencia eléctrica
Figura: www.intechopen.com
Tema I 20
• Supongamos que existe una caída de tensión de 15V entre 
los terminales 1 y 2 de un elemento de un circuito, y entra 
una corriente de 5A por el terminal 2.
• Especificar en cada figura valores de v e i. ¿Cuáles cumplen 
la disciplina de signos? Calcular vi en cada caso ¿En cual 
disipa y en cual entrega potencia?
Ejemplo
−
+
v
i
2
1
−
+
v
i
2
1
+
−
v
i
2
1
+
−
v
i
2
1
Tema I 21
Ley de la conservación de la Potencia
• “La suma algebraica de la potencia en un circuito 
eléctrico es nula en cualquier instante de tiempo”
0;0 =+= ∑ ∑∑ absorbidagenerada
elementos
n PPP
Tema I 22
– Puede ser absorbida (>0) o entregada (<0)
• Unidad de energía en SI: julio (J) (1W x 1s)
• ¿Unidades en recibo de la luz?
Energía total en un intervalo de tiempo
( ) ( ) ( )∫∫∫ =⇒=
=⇒=
2
1
2
1
2
1
t
t
t
t
t
t
dttitvWdttpdW
dtpdW
dt
dWp
Tema I 23
• Def: Un elemento es pasivo si no puede 
suministrar una potencia promedio mayor que 
cero
– Promedio desde –∞ a +∞
• Def: un elemento es activo si es capaz de 
suministrar energía promedio mayor que cero a 
un elemento externo .
• Encuesta: ¿Activo o pasivo? 
– Resistencia - Fuente ideal de corriente
– Fuente ideal de tensión - Fuente real de tensión
– Condensador - Pila de 1.5V
Elementos activos y pasivos
Tema I 24
• Es la relación entre la corriente que lo 
atraviesa y la tensión entre sus terminales
Característica i-v de un elemento
Imágenes: wikipedia
V[V] I[A]
-1.0 -0.10
-0.5 -0.05
0.0 0.00
0.5 0.05
1.0 0.10
10
VI =
Tema I 25
• En 1827 el físico alemán Georg S. 
Ohm determinó experimentalmente 
que en algunos “bloques” de 
determinados materiales la tensión 
y la corriente eran proporcionales
• El factor de proporcionalidad R se 
denomina Resistencia
– Unidad: ohmio (Ω) = V / A
• Inverso de R: Conductancia (G)
– Unidad: Siemens (S), ohm-1, mho, 
Ley de Ohm
IRV =
VGI =
Ω
• Para elementos con sección S y longitud l
definida:
• Def. resistividad (ρ): capacidad de un material 
para oponerse al desplazamiento de carga a 
través de él
– Unidades: Ω.m
• Parámetro inverso: conductividad (σ = 1 / ρ)
– Unidades: (Ω.m)-1
Tema I 26
Ley de Ohm
S
lR ρ=
l
S
i
+ -
Tema I 27
Clasificación de los materiales óhmicos
• Elemento de circuito
• Casos límite
– Cortocircuito
– Circuito abierto
Tema I 28
Resistencias
v
+ −
il
S
i
+ -
ABv
A
+
B
−
i
ABv
A
+
B
−
Resistencias reales
Tema I 29
Tema I 30
Múltiplos (letras Griegas)
Prefijo Símbolo Factor de multiplicación
Deca Da 10 101
Hecto h 100 102
Kilo k 1 000 103
Mega M 1 000 000 106
Giga G 1 000 000 000 109
Tera T 1 000 000 000 000 1012
Peta P 1 000 000 000 000 000 1015
Exa E 1 000 000 000 000 000 000 1018
Tema I 31
Submúltiplos (latín)
Prefijo Símbolo Factor de multiplicación
Deci d 1 / 10 10 -1
Centi c 1 / 100 10 -2
Mili m 1 / 1 000 10 -3
Micro µ 1 / 1 000 000 10 -6
Nano n 1 / 1 000 000 000 10 -9
Pico p 1 / 1 000 000 000 000 10 -12
Femto f 1 / 1 000 000 000 000 00 10 -15
atto a 1 / 1 000 000 000 000 000 000 10 -18
Tema I 32
• Potencia en una resistencia
– Una resistencia es un elemento pasivo, siempre absorbe energía.
– Esta energía no desaparece, es disipada en forma de calor: efecto 
Joule
Resistencias
v
+ −
i
0
2
2 >==



=
=
R
vRip
Riv
vip
Tema I 33
• Son elementos activos que generalmente 
suministran energía al circuito al que están 
conectados
• Tipos:
– Fuente de tensión o de corriente
– Fijas o dependientes deltiempo
– Ideales o reales
– Independientes o dependientes de otro parámetro del circuito
Fuentes (generadores)
Tema I 34
• Fuente de tensión independiente ideal
– Su tensión entre terminales es fija
– Su corriente la fija el resto de elementos del circuito 
– Fuente de tensión DC - Fuente de tensión variable con t
Fuentes
( ) ( )tftV =
( ) KtV =
Tema I 35
• Fuente de corriente independiente ideal
– Su corriente entre terminales es fija
– Su tensión la fija el resto de elementos del circuito 
– Fuente de corriente DC - Fuente de corriente variable con t
– En la naturaleza no encontramos fuentes de corriente fácilmente 
Fuentes
( ) ( )tftI '=( ) 'KtI =
Tema I 36
– ¿Es esta combinación posible?
Fuentes independientes
Tema I 37
• Su valor de tensión o corriente depende de la 
tensión o corriente de otro punto del circuito.
• 4 posibilidades:
– Fuente de tensión controlada por tensión (VCVS)
– Fuente de corriente controlada por corriente (CCCS).
– Fuente de tensión controlada por corriente (CCVS).
– Fuente de corriente controlada por tensión (VCCS).
• Símbolos
Fuentes dependientes
Imagen de Brews O’hare, GFDL, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3361872
Tema I 38
• Fuentes dependientes en Capture:
Fuentes dependientes
Tema I 39
• Ejemplo: ¿Cuánto vale la corriente por R2?
Fuentes dependientes
El primer circuito (medio) complejo
Tema I 40
c
Método de resolución de AC I
• Definir las tensiones y corrientes de todos los 
elementos
• Escribir las relaciones I-V de los elementos
-Resistencias
-Fuentes de tensión
-Fuentes de corriente
• Aplicar KCL en todos los nodos
• Aplicar KVL en todos los lazos
• Resolver el sistema 
– N elementos ⇒ 2N incógnitas (necesarias 2N ecuaciones)
Tema I 41
El primer circuito (medio) complejo
Tema I 42
c
Tema I 43
• Conexión serie:
– Dos elementos de dos terminales están en serie si comparten 1 solo 
nodo común al que no hay conectado ningún otro elemento.
– Por tanto la corriente que los atraviesa es la misma.
– Se puede extender a n elementos
Tipos de conexión
i i
Ejemplos de conexión serie
Tema I 44
Tema I 45
• Conexión paralelo:
– Dos elementos de dos terminales están en paralelo si están conectados 
entre el mismo par de nodos al que no hay conectado ningún otro 
elemento.
– Por tanto, la tensión entre sus terminales es la misma.
– Se puede extender a n elementos
Tipos de conexión
−+ ABv
Ejemplos de conexión paralelo
Tema I 46
Tema I 47
Tipos de conexión
Tema I 48
• Dos circuitos son equivalentes si tienen las 
mismas características I-V para un par de 
terminales determinado
• Ejemplo
Circuitos equivalentes
Transformación triángulo a estrella (∆→Y)
Tema I 49
( )
23 13
3
13 12 23
R RR
R R R
=
+ +( )
12 13
1
13 12 23
R RR
R R R
=
+ + ( )
23 12
2
13 12 23
R RR
R R R
=
+ +
Transformación estrella a triángulo (Y→∆)
Tema I 50
1 2 2 3 3 1
23
1
R R R R R R R
R
+ +
=1 2 2 3 3 1 13
2
R R R R R R R
R
+ +
=
1 2 2 3 3 1
12
3
R R R R R R R
R
+ +
=
Ejemplo estrella-triángulo
Tema I 51
Tema I 52
• Si por varias resistencias pasa la misma corriente, 
la tensión se reparte proporcionalmente a su valor
Divisor de tensión
1 2
1 2
1 2 1 2
;nn
eq
R R Rv V v V v V
R R R R R
= ⇒ = =
+ +
Tema I 53
• Ej: Determinar R2 para que su caída de tensión sea ¼ de la 
alimentación (R1=9kΩ). Calcular corriente cuando VS=12V.
Divisor de tensión
Tema I 54
• Análogo con la corriente: divisor de corriente
– En la conexión paralelo de conductancias la corriente se reparte de 
forma proporcional a la magnitud relativa de cada una de ellas 
El divisor de corriente
SSS
eq
n
n iGG
Gii
GG
Gii
G
Gi
21
2
2
21
1
1 ; +
=
+
=⇒=
Tema I 55
• Obtener corrientes de R1 y R2
Ejemplo
Tema I 56
• Fuente de tensión independiente real
– Fuentes de tensión reales de 12V
Fuentes reales
Tema I 57
– Ej: VS=12V, Rint = 0.050 Ω
int
int
12 0.050out S out out
out S
out
V V R I i
V VI
R
= + = +
−
=
Fuentes reales
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
-1.00
-0.75
-0.50
-0.25
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
 
 
Io
ut
 (m
A)
Vout
Tema I 58
– Ej: VS=12V, Rint = 0.050 Ω
int
int
12 0.050out S out out
out S
out
V V R I i
V VI
R
= + = +
−
=
Fuentes reales
0 2 4 6 8 10 12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
 
 
Io
ut
 (A
)
Vout
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
 
 
Io
ut
Vout
Tema I 59
– Ej: VS=12V, Rint = 0.050 Ω / 0.5 Ω int
int
out S out
out S
out
V V R I
V VI
R
= +
−
=
Fuentes reales
int
OC
SC
VR
I
= −
;
0
;0
0 OCSIout
out
L
Soutout
VVVVR
VVI
out
≡=→∞=
−
=
=⇒=
=
SCVout
out
L
OC
outout
II
I
R
R
VIV
out
≡→=
−
=
−
=⇒=
=0
int
00
00
Tema I 60
• Fuente de corriente independiente real
Fuentes reales
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
 
 
Io
ut
Vout
Tema I 61
– Corriente de salida
• Ej: 240A, 0.050 ohm 
0outout S L SC S
out
VI I R I I
I
= − ⇒ = − = ⇒ = −
int
int
int
0out out S
out
L OC S
out
OC
SC
I V R I
VR V R I
I
VR
I
= ⇒ =
= − = ∞⇒ =
⇒ =
−
Fuentes reales
int int int
int
int
( )out S out S out
out S
out
V I I R I R I R
V I RI
R
= + = +
−
=
Tema I 62
• Resumiendo: curvas I-V
– Equivalentes si…
intR
VVI Soutout
−
=
'
int
'
int
R
RIVI Soutout
−
=
Fuentes reales
Simplificación de fuentes
Tema I 63
Tema I 64
• Tensión de nodo: valor de la tensión en un 
nodo de un circuito referido a un nodo de 
referencia (nodo de tierra).
• Una vez conocidas las tensiones de nodo, es 
directo conocer las caídas de tensión en los 
elementos del circuito
Método de análisis por nodos
vA vB
BAAB vvv −=
• Método que minimiza el número de ecuaciones
– Menos nodos que elementos
– Supone conocida la tensión de un nodo: referencia o tierra
• Procedimiento
– Elegir un nodo de referencia 
– Poner nombre a las tensiones de los N-1 nodos restantes
– Aplicar la KCL a los N-1 nodos (todos menos el de referencia)
– Utilizar la I-V de cada elemento para escribir las corrientes de rama en 
función de las tensiones de nodo.
– Calcular las N-1 tensiones de nodo resolviendo las N-1 ecuaciones 
obtenidas.
– Obtener las corrientes mediante las relaciones I-V.
Tema I 65
Método de análisis por nodos
Tema I 66
Método de análisis por nodos
Tema I 67
Método de análisis por nodos
• Si hay fuentes de tensión
– Caso 1) la fuente está entre el nodo de referencia y otro nodo 
cualquiera
• Se fija la tensión de ese nodo a la tensión de la fuente (deja de ser 
una incógnita)
– Caso 2) la fuente está entre dos nodos, ninguno de referencia
• Se plantea la KCL pero en el supernodo que la incluye.
Tema I 68
Método de análisis por nodos
Tema I 69
Método de análisis por nodos
Fuentes dependientes
Tema I 70
( )
( )


−=
−=
I
Im
ixfb
vGxfa
β)
)
Tema I 71
• Recordatorio: 
– Lazo: camino cerrado, que empieza y termina en el mismo nodo sin 
pasar más de una vez por los nodos intermedios
– Malla: es un lazo que no encierra a otro en su interior
• Corriente de malla
– Hasta ahora hemos trabajado con corrientes de rama (corrientes que 
fluyen entre dos nodos)
– Las corrientes de malla son corrientes ficticias que recorren cada malla 
(el sentido de giro es arbitrario, habitualmente horario)
Método de análisis por mallas
iA iCiD
iB
i1 i2
Tema I 72
• Ejemplo: calcular corrientes por cada elemento
Método de análisis por mallas
10mA 5mA
-3mA
Tema I 73
• Las variables del circuito son las corrientes de 
malla (en lugar de corrientes de rama)
• Procedimiento: circuito N mallas sin fuentes de 
corriente:
– Asignar nombre y sentido a las corrientes demalla (i1, i2, i3, …, iN)
– Aplicar KVL a cada una de las mallas.
– Utilizar la relación I-V de cada elemento para escribir las tensiones de 
cada elemento en función de las corrientes de malla
– Calcular las N corrientes de malla resolviendo las N ecuaciones 
obtenidas.
– Calcular las corrientes de cada elemento a partir de las corrientes de 
malla.
– Calcular las tensiones de cada elemento a partir de las relaciones I-V.
Método de análisis por mallas
Tema I 74
• Ejemplo
Método de análisis por mallas
Tema I 75
• Análisis por mallas con fuentes de corriente
– Caso 1: Si la fuente de corriente está en una rama que pertenece a 
una única malla, se fija la corriente de dicha malla a la corriente de la 
fuente.
• La corriente de dicha malla deja de ser una incógnita.
– Caso 2: Si la fuente de corriente está en una rama que pertenece a 
dos mallas
• Se plantea la KVL en una “supermalla” (el lazo que engloba las dos 
mallas en cuestión, pero que no pasa por la fuente de corriente).
• Se añade una ecuación que relaciona la corriente de la fuente con 
las corrientes de las dos mallas.
Método de análisis por mallas
Tema I 76
• Ejemplo caso 2
Método de análisis por mallas
Tema I 77
1. Simplificar
2. Simplificar
3. Si no hay otra, nodos o mallas
1. Generalmente nodos
• Parámetros que ayudan a decidir:
– Naturaleza del circuito
• Menos nodos que mallas ⇒ análisis por nodos
• Menos mallas que nodos ⇒ análisis por mallas
– Información requerida
• Si se buscan tensiones ⇒ análisis por nodos
• Si se buscan las corrientes ⇒ análisis por mallas
• NUNCA fuerza bruta
¿Método de resolución?
Tema I 78
• Calcular R (resolver por nodos y por mallas)
A
0.5mA
¿Resolver por Nodos o mallas?
Tema I 79
• Calcular R (resolver por nodos y por mallas)
A
0.5mA
¿Resolver por Nodos o mallas?
Linealidad y superposición
• Método muy potente para simplificar en AC 
basado en la linealidad
Tema I 80
• Homogeneidad
Tema I 81
Linealidad y superposición
• Superposición
Tema I 82
Linealidad y superposición
• Circuito lineal alimentado por dos generadores de 
tensión de valor V1 y V2
Tema I 83
Linealidad y superposición
Tema I 84
• Otro ejemplo
Principio de superposición
• ¿Seguro?
Tema I 85
Principio de superposición
Equivalente Thévenin
Tema I 86
Equivalente Thévenin
Tema I 87
Tema I 88
Equivalente Thévenin
– Ej: Encontrar equivalente Thévenin
Equivalente Norton
Tema I 89
Tema I 90
El amplificador operacional
Figuras: texas instruments
Amplificador operacional
• Abstracción del AO
Tema I 91
Amplificador operacional
• Salida frente a entrada
Tema I 92
https://youtu.be/V0z_f7qxLcY?t=1651 (a partir de 27:29)
Amplificador operacional
• Ejemplo: amplificador no inversor
Tema I 93
Amplificador operacional
• ¿Por qué ahora es estable?
Tema I 94
https://youtu.be/V0z_f7qxLcY?t=2501 (a partir de 41:40)
https://youtu.be/V0z_f7qxLcY?t=2501
Amplificador operacional
• Realimentación negativa (negative feedback)
Tema I 95
Amplificador operacional
• Simplificación del análisis con AO
– Con condiciones
Tema I 96
Amplificador operacional
• Sumador con AO
Tema I 97
Amplificador operacional
• Seguidor de tensión
Tema I 98
=+=
1
21
R
R
v
v
i
o
Amplificador operacional
• Conexión en cascada
Tema I 99
Tema I 100
• Elementos básicos de un circuito DC
– Resistencias
– Fuentes ó generadores
• Leyes de Kirchhoff
• Métodos de análisis de circuitos DC
– Simplificación de circuitos
– Método de los Nodos
– Métodos de las Mallas
– Superposición
– Equivalente Thévenin-Norton
• Amplificadores Operacionales ideales
– Circuitos simples con AO en DC
• Simulación de circuitos: Cadence Orcad
Objetivos del tema
	Tema 1: Análisis básico de circuitos
	Número de diapositiva 2
	Leyes del electromagnetismo
	Abstracción
	Abstracción
	Número de diapositiva 6
	Introducción
	Objetivos del tema
	Intensidad de la corriente eléctrica
	Intensidad de la corriente eléctrica
	Intensidad de la corriente eléctrica
	Intensidad de la corriente eléctrica
	Intensidad de la corriente eléctrica
	Tensión eléctrica
	Tensión eléctrica
	Tensión eléctrica
	Potencia eléctrica
	Potencia eléctrica
	Potencia eléctrica
	Ejemplo
	Ley de la conservación de la Potencia	
	Energía total en un intervalo de tiempo
	Elementos activos y pasivos
	Característica i-v de un elemento	
	Ley de Ohm
	Ley de Ohm
	Clasificación de los materiales óhmicos
	Resistencias
	Resistencias reales
	Múltiplos (letras Griegas)
	Submúltiplos (latín)
	Resistencias
	Fuentes (generadores)
	Fuentes
	Fuentes
	Fuentes independientes
	Fuentes dependientes
	Fuentes dependientes
	Fuentes dependientes
	El primer circuito (medio) complejo
	Método de resolución de AC I
	El primer circuito (medio) complejo
	Tipos de conexión
	Ejemplos de conexión serie
	Tipos de conexión
	Ejemplos de conexión paralelo
	Tipos de conexión
	Circuitos equivalentes
	Transformación triángulo a estrella (Y)
	Transformación estrella a triángulo (Y)
	Ejemplo estrella-triángulo
	Divisor de tensión
	Divisor de tensión
	El divisor de corriente
	Ejemplo
	Fuentes reales
	Fuentes reales
	Fuentes reales
	Fuentes reales
	Fuentes reales
	Fuentes reales
	Fuentes reales
	Simplificación de fuentes
	Método de análisis por nodos
	Método de análisis por nodos
	Método de análisis por nodos
	Método de análisis por nodos
	Método de análisis por nodos
	Método de análisis por nodos
	Fuentes dependientes
	Método de análisis por mallas
	Método de análisis por mallas
	Método de análisis por mallas
	Método de análisis por mallas
	Método de análisis por mallas
	Método de análisis por mallas
	¿Método de resolución?
	¿Resolver por Nodos o mallas?
	¿Resolver por Nodos o mallas?
	Linealidad y superposición
	Linealidad y superposición
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