UAX _ Grado en Ingeniería Aeroespacial _ Examenes y ejercicios_teoria mecánica_ _ catenarias

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TEORÍA DE HILOS FLEXIBLES: CATENARIAS--------------------------------------------------------------- 
TEORÍA DE HILOS FLEXIBLES. APLICACIÓN A LAS CATENARIAS 
 
1. INTRODUCCION 
 
La flexibilidad de los hilos hace que su estudio difiera en cierto modo de los sistemas discretos 
considerados hasta ahora en el curso de Mecánica. Uno de los objetivos principales del 
estudio de los hilos será determinar la configuración que adoptan, a priori desconocida. 
Sin embargo, resulta apropiado su estudio en el ámbito de la mecánica de sistemas rígidos ya 
que comparten una propiedad esencial: las fuerzas internas (las que no permiten la extensión 
del cable) no desarrollan ningún trabajo. En este aspecto crucial se diferencian de los sistemas 
deformables y estructurales, en los que se produce una energía de deformación interna bajo 
carga. 
 
Las características que definen los hilos flexibles e inextensibles y se admiten como hipótesis 
de partida son las siguientes: 
1. Sección despreciable. Se considera que el hilo posee una dimensión predominante, mucho 
mayor que los otros dos, por lo que puede ser idealizado según una línea, sin sección 
transversal. Tan sólo será necesario considerar esta sección a efecto de calcular su peso 
específico o peso propio por unidad de longitud, q, en función de la sección transversal y su 
densidad (si la sección es circular, la longitud es superior al radio) 
2. Flexibilidad perfecta. El hilo no resiste esfuerzos de flexión, y por lo tanto tampoco de corte. 
Tan sólo resiste esfuerzos en dirección tangencial o longitudinal. 
3. Inextensibilidad. Cuando está sometido a tracción, el hilo es lo suficientemente rígido (en 
dirección longitudinal) como para que se pueda despreciar su extensibilidad. Por el contrario, 
sometido a compresión, el hilo no ofrece resistencia y se arruga. 
 
 
Estas hipótesis son por supuesto una idealización que conforma el modelo de hilos flexibles 
inextensibles al que se ciñe este capítulo. En circunstancias reales, los cables o cuerdas no 
cumplen exactamente ninguna de las hipótesis anteriores; sin embargo, en numerosos casos 
prácticos es suficientemente válida esta idealización. 
 
2. ECUACIÓN VECTORIAL DEL EQUILIBRIO 
 
El hilo queda definido por su curva directriz, 
r(s), que supondremos parametrizada en 
función de la longitud de arco s de la 
misma. En un punto dado del hilo definido por 
s podremos considerar una sección normal A, 
en la cual definimos como cara frontal A+ la 
que está orientada en sentido de s creciente, 
y cara dorsal A− la orientada en sentido de s 
decreciente. 
 
 
 
Si se considera el hilo cortado por esta sección (ver figura), la parte que queda por detrás 
queda limitada por la sección frontal A+, en la que el efecto del hilo por delante que se ha 
eliminado puede sustituirse por una fuerza T que se denomina tensión. Si por el contrario se 
considera la parte del hilo por delante, queda limitado por la sección dorsal A−, sobre la que el 
resto del hilo produce una fuerza −T, de forma que esté en equilibrio con T. En principio T 
podría llevar cualquier dirección, aunque como veremos más abajo su dirección será tangente 
al propio hilo. Por otra parte, debe ser siempre T > 0 de forma que corresponda a una tracción, 
T < 0 correspondería a un esfuerzo de compresión que no puede ser resistido. 
 
Consideremos ahora un elemento PQ del hilo (ver figura), de longitud infinitesimal ds. El punto 
P corresponde a s y el punto Q a (s + ds). La sección en P será dorsal y la sección en Q frontal. 
Sobre el hilo actúa una carga continua q por unidad de longitud. Al cortar el elemento de 
hilo por los puntos P y Q, el equilibrio del mismo queda garantizado por la tensión del hilo en 
cada extremo. 
TEORÍA DE HILOS FLEXIBLES: CATENARIAS--------------------------------------------------------------- 
 
En primer lugar, 
establecemos el equilibrio 
de fuerzas sobre este 
elemento de hilo. 
 
Las fuerzas que actúan sobre 
el mismo son: 
Tensión en P: (−T ) 
Tensión en Q: (T + dT ) 
Cargas externas: (qds) 
 
Expresando vectorialmente dicho equilibrio, la resultante de las fuerzas aplicadas deber ser 
nula. Por tanto: 
−T + (T + dT ) + qds = 0 
 
de donde resulta la ecuación vectorial del equilibrio: 
 
 
 
 
dr = ds t≈PQ, siendo t el vector unitario tangente al hilo 
 
Para completar las condiciones de equilibrio, expresamos la anulación de los momentos en Q 
(en estática, recordamos que también la suma vectorial de momentos debe ser cero). 
 
 
 
 
donde hemos supuesto que la resultante de cargas exteriores (qds) actúa en un punto 
intermedio del elemento, definido por (−ξdr) desde Q, siendo ξЄ(0,1). Prescindiendo de 
infinitésimos de 2º orden, resulta 
 
 
 
De aquí se deduce que la tensión ha de ser tangente al hilo 
 
 
Expresemos ahora la ecuación del equilibrio en función de 
sus componentes en el triedro de Frenet. La denominada 
fórmula de Frenet permite expresar la derivada de la tangente 
como: 
 
 
, 
siendo n la normal principal y R el radio de curvatura. 
 
 
La tensión lleva la dirección de la tangente, quedando definida 
por un escalar T de forma que T= Tt (recordamos que t es el 
vector unitario tangente, indicado en la figura) 
 
Sustituyendo en la ecuación del equilibrio: 
dT + qds = 0 
(dT/ds) + q = 0 
(−dr) ^(−T ) − ξdr ^ qds = 0 
dr ^ T = 0 
TEORÍA DE HILOS FLEXIBLES: CATENARIAS--------------------------------------------------------------- 
 
 
Podemos extraer de esta última expresión las componentes según las direcciones del triedro. 
 
Denominando (qt, qn, qb) las componentes de q según cada una de las direcciones tangente, 
normal y binormal: 
 
 
 
Observaciones: 
• La componente qb según la binormal es nula. Esto quiere decir que el hilo adopta una 
configuración que contiene a la fuerza q en su plano osculador, definido por los 
vectores (t,n). 
• Si no existe componente tangencial de la fuerza aplicada (qt = 0), la tensión del hilo se 
mantiene constante. 
• Si además la fuerza normal (qn) es constante, el radio de curvatura adoptado será 
también constante, resultando una circunferencia como configuración de equilibrio del 
hilo. 
 
 
3. ECUACIONES EN COORDENADAS CARTESIANAS 
 
Definimos los vectores siguientes: 
 
 
Considerando que la tensión se puede expresar 
como T = Tt, las ecuaciones de equilibrio se 
pueden escribir ahora como tres ecuaciones 
escalares (las que se muestran a la izquierda del 
texto).. 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORÍA DE HILOS FLEXIBLES: CATENARIAS--------------------------------------------------------------- 
 
 
4. CASOS DE FUERZAS CONSERVATIVAS 
Supongamos que q, fuerza aplicada por unidad de longitud del hilo, se puede obtener de un 
potencial V: 
 
q = −grad(V); dV = −q · dr 
 
Puesto que q es una fuerza por unidad de longitud, V tiene la dimensión de energía por unidad 
de longitud, es decir de fuerza. 
 
Proyectemos la ecuación vectorial (dT/ds) + q=0 en la dirección tangente: 
 
dT · t + qds · t = 0 → dT + q · dr = 0; → dT -dV = 0→ dT=dV 
 
T = V + h , siendo h es una constante de integración arbitraria. 
 
Esta expresión es de gran utilidad práctica, puesto que permite de forma muy sencilla obtener 
la tensión en cada punto del hilo. 
 
5. EJEMPLO: HILO HOMOGÉNENO SOMETIDO A SU PROPIO PESO EN UN CAMPO 
GRAVITATORIO SIMPLIFICADO. CATENARIA 
 
Sea el peso de valor q por unidad de 
longitud del hilo (ver figura). El potencial 
gravitatorio es: 
V = qy, 
siendo “y” el eje vertical por lo que 
aplicando la expresión T = V + h 
obtenemos la tensión en cada punto del 
hilo como: T = qy + h 
 
En la práctica conviene elegir un origen de 
coordenadas de forma que se anule la 
constante arbitraria h. Esto se consigue 
situando el origen a una distancia a = T0/q 
por debajo del vértice o punto más bajo de la curva de equilibrio, siendo T0 la tensión del hilo en 
dicho vértice. Así resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Denominamos las componentes vertical y horizontal de la tensión TV y TH respectivamente 
 
Si el peso del hilopor unidad de longitud es q, el campo de fuerzas será q = −qj, por lo que: 
dTV = qds 
integrando: 
 
 
 
donde se ha elegido como origen de arcos (s = 0) el vértice o punto más bajo de la curva, con 
tangente horizontal (TV = 0). 
 
La tensión total es : 
 
 
T = qy es la tensión total del hilo 
 
T0=qa es la tensión horizontal 
 
a es el parámetro de la catenaria. 
TV = qs; TH = T0 (cte) 
T = qy 
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que se puede escribir como: 
 
 
El origen de coordenadas se ha elegido a una distancia a por debajo del vértice de la curva, de 
forma que la tensión más baja, en el punto de tangente horizontal, vale 
 
 
 
 
De las expresiones anteriores se deduce la relación 
 
. 
 
 
Esta condición es una propiedad que cumple la curva de equilibrio del hilo, denominada 
catenaria. 
 
La determinación precisa de la ecuación de la catenaria se realiza a continuación 
 
Como ya hemos dicho se denomina CATENARIA a la curva de equilibrio que adopta un hilo 
uniforme sometido a su propio peso. 
 
Supongamos que éste vale q por unidad de longitud, es decir: 
q = −qj. 
 
Tomando el eje y como vertical y el eje x horizontal, las ecuaciones cartesianas del equilibrio 
con Fx = 0 y FY = −q son: 
 
De la primera ecuación: 
 
Aplicando la regla de la cadena a la segunda ecuación: 
 
 
en función de T0 
 
Reorganizando términos y aplicando de nuevo la regla de la cadena, 
T0 = qa 
y2 = s2 + a2 
TEORÍA DE HILOS FLEXIBLES: CATENARIAS--------------------------------------------------------------- 
 
Llamando a = T0/q (parámetro de la catenaria) y y’ = dy/dx, y considerando 
 
la ecuación se convierte en la siguiente: 
 
 
La primitiva de esta expresión es: a senh−1(y’). Integrando con la condición inicial que 
corresponde a situar el origen de abscisas en el vértice o punto de tangente horizontal, 
 
 
se obtiene: 
. 
 
e integrando de nuevo con la condición inicial (y(x=0)=a), resulta finalmente: 
 
 
Obtengamos ahora la longitud del arco de la catenaria entre dos puntos dados. Para ello, 
integramos el elemento infinitesimal de arco ds : 
 
ds2=dx2+dy2=dx2(1+y’2)=dx2(1+senh2(x/a))= dx2 cosh2(x/a) 
 
Por tanto, el arco s medido entre el vértice (x = 0) y un punto cualquiera de abscisa x es: 
 
 
 
 
MUY IMPORTANTE, muchas veces en los problemas de HILOS, las fuerzas se operan en kg 
si el peso unitario q viene expresado en kg/m. 
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6. CONFIGURACIÓN DE EQUILIBRIO DEL HILO 
 
Hay que dar el parámetro de la catenaria, a, la luz, y la flecha 
 
 
 
7. TIPOS DE APOYOS QUE APARECEN EN LOS PROBLEMAS DE HILOS 
 
8. PÉRDIDA DEL EQUILIBRIO 
 
Los cuerpos pueden perder el equilibrio de varias formas: 
 
- Deslizando (∑ = 0

F ) 
- Volcando (∑ = 0

M ) 
Flecha= yB-yA 
Flecha= xB-xA 
B 
A 
Longitud=SB-SA 
FIGURA BÁSICA 
POLEA: Iguala tensiones totales 
 
 
 
Tv 
N To 
P 
Deslizadera lisa con peso 
To N 
Deslizadera lisa sin peso 
T 
T’ 
T’ To 
CARRITO: Iguala tensiones horizontales 
To 
P 
Deslizadera rugosa con peso 
Tv 
N 
Tv 
Fr, dependerá del sentido del movimiento 
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- El bloque puede deslizar y volcar (Equilibrio estricto) ∑ = 0

F y ∑ = 0

M