T4-Elasticidad lineal

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Caṕıtulo 4
Elasticidad lineal
En anteriores caṕıtulos se ha estudiado el equilibrio y la deformación
locales en los cuerpos deformables. Se vio, en primer lugar que al someter
un cuerpo de este tipo a fuerzas exteriores aparecen a nivel local fuerzas
cuyo valor, por unidad de área, definimos como tensiones. Posteriormente,
se estudió que la deformación puede caracterizarse de forma precisa, también
a nivel local, a través del concepto de deformación. Pues bien, en los cuerpos,
las tensiones y las deformaciones en cada punto no son independientes, sino
que (al menos en condiciones isotermas) una siempre acompaña a la otra.
La relación local entre tensiones y deformaciones es el problema central
de la mecánica de sólidos. Si bien las ecuaciones de equilibrio y la relación
desplazamiento-deformación son resultados matemáticos que no son discu-
tibles una vez aceptadas las hipótesis de partida, la relación entre tensión y
deformación, las llamadas leyes constitutivas, dependen del tipo de ma-
terial, de los procesos que se quieran modelar, etc. Aunque las relaciones
constitutivas más sencillas y útiles son bien conocidas y están descritas en
todos los libros, todav́ıa se siguen proponiendo otras nuevas que mejor mo-
delan el comportamiento de nuevos materiales.
La formulación de modelos constitutivos es especialmente complejo cuan-
do las deformaciones son grandes [6]. En este caṕıtulo nos centraremos, sin
embargo, en el caso más sencillo posible, el de la elasticidad lineal. Este
modelo, aparentemente trivial, está en la base de la mayor parte de cálculos
en mecánica de sólidos y de estructuras. Servirá además como introducción
para otros modelos más complejos que estudiaremos en caṕıtulos posteriores.
4.1. Los modelos elásticos
El problema fundamental de la mecánica de sólidos es la formulación
de modelos constitutivos, es decir, expresiones funcionales que permitan
calcular el valor de la tensión � en un punto a partir del valor de la defor-
mación " en ese instante y en todos los anteriores. Por tanto, en general y de
67
68 Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal
acuerdo a la experiencia práctica, es la historia completa de la deformación
en un cuerpo la que permite conocer la tensión en los puntos del mismo (o
viceversa).
Se dice que un material es simple cuando el estado de la tensión � en
un punto depende sólo de la historia de la deformación en ese mismo punto.
Además, es posible es posible que la tensión � en un punto x ∈ ⌦ en el
instante de tiempo t sólo dependa de la deformación " en ese mismo punto
e instante, es decir,
�(x, t) = f("(x, t)) . (4.1)
siendo f ∶ V2 → V2 una función que describe el modelo constitutivo. Cuando
esto ocurre, decimos que el comportamiento del material en el punto x es
elástico. La importancia de este tipo de modelos es doble: por un lado
son los más sencillos y, sobre todo, reflejan muy bien el comportamiento de
muchos materiales cuando las deformaciones son pequeñas.
Claramente no todos los materiales se comportan elásticamente. Es bien
sabido, por ejemplo, que las propiedades mecánicas de los metales dependen
de su proceso de fabricación (su historia de deformación y temperatura);
también la experiencia habitual nos dice que los muchos materiales tienen
un comportamiento reológico.
Dentro de todos los materiales elásticos, un subconjunto de ellos consiste
en aquellos en los que la función f de la ecuación (4.1) es lineal, es decir
�(x, t) = C"(x, t) , (4.2)
donde C es un tensor de cuarto orden. Este tipo de modelos, llamados elásti-
cos lineales proporciona una aproximación muy buena al comportamiento
de muchos materiales cuando la deformación es pequeña y dedicaremos el
resto del caṕıtulo a su estudio.
Una consecuencia inmediata de la hipótesis de linealidad es lo que se
conoce como el principio de superposición : la tensión debida a la super-
posción de dos deformaciones es la suma de las tensiones correspondientes,
es decir, que para toda pareja ↵,� ∈ R
f(↵"
1
+ �"
2
) = ↵f("
1
) + �f("
2
) , (4.3)
lo cual se demuestra trivialmente a partir de (4.2).
4.2. Elasticidad lineal isótropa
Estudiamos, en primer lugar, la relación constitutiva elástica más sen-
cilla que existe, a saber, la de los cuerpos isótropos, aquellos en los que
la respuesta no depende de la dirección. La formulación de las ecuaciones
constitutivas se logra mediante ensayos experimentales en los que se somete
un cuerpo a un estado de tensión/deformación homogéneo y se deducen a
partir de ah́ı consecuencias puntuales.
Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal 69
x
y
z
L0
r0
L
r
Figura 4.1: Esquema del ensayo a tracción.
4.2.1. El ensayo uniaxial de tracción
El único ensayo que se necesita para caracterizar materiales isótropos
es el de tracción uniaxial. Una barra recta, ciĺındrica de longitud L
0
, se
tracciona aplicando un tensión normal en las caras rectas del cilindro y se
mide la longitud L de la barra deformada (ver figura 4.1). Si se coloca un
sistema de coordenadas cartesiano con el eje x alineado con el eje de la barra,
los estados de tensión y deformación en cualquier punto de misma, son
[�] = �������
�
xx
0 0
0 0 0
0 0 0
������� , ["] =
�������
"
xx
0 0
0 "
yy
0
0 0 "
zz
������� (4.4)
La deformación longitudinal "
x
se puede calcular mediante la expresión "
x
=(L − L
o
)�L
o
y se define el módulo de Young del material mediante la
relación
E = �xx
"
xx
. (4.5)
De la expresión anterior se deduce que el módulo de Young es la pendiente
de la recta �
x
vs. "
x
que se obtiene en un ensayo de tracción y que tiene
dimensiones de presión. En el apéndice A se recogen los valores del módulo
de Young para algunos materiales.
Como se indica en la figura 4.1, al traccionar una barra el alargamiento
axial se ve acompañado de un acortamiento transversal y por tanto, si el
radio original del cilindro era r
o
, después de deformarse toma el valor r, que
puede medirse.
En el caso de un sólido ciĺındrico como el de la figura, este acortamiento
se cuantifica con deformaciones "
yy
e "
zz
en las direcciones transversales
cuya valor es "
yy
= "
zz
= (r − r
0
)�r
0
, y que es negativo. El coeficiente de
Poisson se define como
⌫ = −"yy
"
xx
= − "zz
"
xx
, (4.6)
70 Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal
y es por tanto un propiedad del material sin dimensiones. La igualdad en
la expresión anterior se debe a la isotroṕıa del material. En el apéndice A
también se recogen valores caracteŕısticos de este coeficiente para distintos
materiales.
4.2.2. Respuesta general
A partir del módulo de Young y el coeficiente de Poisson se puede obtener
la relación tensión-deformación en un punto sometido a un estado tensio-
nal arbitrario, encontrando la llamada ley de Hooke generalizada , pues
extiende al continuo la relación elástica de los resortes.
Para obtener dicha relación partimos primero de la siguiente observación:
el estado tensional más complejo que puede ejercerse sobre un diferencial
de volumen es un estado triaxial de tracción/compresión. Efectivamente,
cualquier estado tensional puede expresarse, en la base principal de tensión,
como un estado triaxial de tracción/compresión. En dicho estado las tres
tensiones normales se denominan �
1
,�
2
,�
3
y coinciden con las tensiones
principales.
Debido a la hipótesis de linealidad, se puede aplicar el principio de su-
perposición y se puede obtener la respuesta al estado triaxial de tensión
superponiendo tres estados de tracción/compresión uniaxial. Comenzando
por la tracción/compresión sobre un plano perpendicular a la dirección prin-
cipal primera, el estado de tensión y deformación correspondiente es:
[�(1)] = �������
�
1
0 0
0 0 0
0 0 0
������� ["(1)] =
�������
�1
E
0 0
0 −⌫ �1
E
0
0 0 −⌫ �1
E
������� . (4.7)
Estudiando a continuación un estado de tracción/compresión uniaxial en
la dirección principal de tensión segunda obtenemos un nuevo estado de
deformación[�(2)] = �������
0 0 0
0 �
2
0
0 0 0
������� , ["(1)] =
�������
−⌫ �2
E
0 0
0 �2
E
0
0 0 −⌫ �2
E
������� . (4.8)
Finalmente, considerando el tercer estado de tensión posible se obtiene que
la tensión y deformación son
[�(3)] = �������
0 0 0
0 0 0
0 0 �
3
������� , ["(3)] =
�������
−⌫ �3
E
0 0
0 −⌫ �3
E
0
0 0 �3
E
������� . (4.9)
Por el principio de superposición, la deformación debida a un estado
tensional � = �(1) +�(2) +�(3) es la suma " = "(1) + "(2) + "(3), o en forma
Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal 71
de matriz:
["] = �������
�1
E
− ⌫ �2
E
− ⌫ �3
E
0 0
0 �2
E
− ⌫ �1
E
− ⌫ �3
E
0
0 0 �3
E
− ⌫ �1
E
− ⌫ �2
E
������� . (4.10)
La primera conclusión que se obtiene de (4.10) es que, en un material
elástico isótropo, las bases principales de tensión y deformación coinciden.
Sobre todo, esta expresión indica la relación más general posible entre ten-
sión y deformación de un material de estas caracteŕısticas cuando estas dos
cantidades se expresan en componentes de la base principal. Para hallar la
expresión intŕınseca, válida para cualquier sistema de coordenadas, no ne-
cesariamente cartesiano reformulamos la anterior expresión de la siguiente
manera:
["] = 1 + ⌫
E
�������
�
1
0 0
0 �
2
0
0 0 �
3
������� −
⌫
E
(�
1
+ �
2
+ �
3
)�������
1 0 0
0 1 0
0 0 1
�������= 1 + ⌫
E
[�] − ⌫
E
tr(�) [I] .
(4.11)
Esta última expresión depende sólo de operadores intŕınsecos, pues en ningún
lugar se hace referencia a componentes o sistemas de coordendas, aśı que
se puede formular de manera completamente general la siguiente ley de
Hooke generalizada :
" = 1 + ⌫
E
� − ⌫
E
tr(�) I (4.12)
Para la resolución de problemas resulta útil recoger la expresión en com-
ponentes cartesianas de (4.12). Definimos para ello el módulo de cortante
o cizalla G = E
2(1+⌫) y escribimos
"
xx
= �xx
E
− ⌫
E
(�
yy
+ �
zz
) , �
xy
= ⌧xy
G
,
"
yy
= �yy
E
− ⌫
E
(�
zz
+ �
xx
) , �
xz
= ⌧xz
G
,
"
zz
= �zz
E
− ⌫
E
(�
xx
+ �
yy
) , �
yz
= ⌧yz
G
.
(4.13)
En estas expresiones se puede leer un resultado adicional importante: en
los materiales elásticos isótropos las tensiones normales sólo producen defor-
maciones longitudinales (en las tres direcciones debido al efecto Poisson) y
las tensiones cortantes sólo produce deformaciones angulares (cada tensión
cortante produce una deformación angular desacoplada del resto).
72 Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal
4.2.3. Las ecuaciones de Lamé
La ecuación (4.12) permite calcular la deformación " en función de la
tensión � y en esta sección invertimos esta expresión para encontrar una
fórmula de la tensión en función de la deformación. Para ello, comenzamos
amplicando el operador “traza” a ambos lados de la igualdad (4.12) resul-
tando en
tr(") = 1 + ⌫
E
tr(�) − ⌫
E
tr(�) tr(I)
= �1 + ⌫
E
− 3 ⌫
E
� tr(�)
= 1 − 2⌫
E
tr(�) .
(4.14)
En el caṕıtulo 3 se escogió el śımbolo ✓ para indicar la traza de la deforma-
ción, aśı pues
tr(�) = E
1 − 2⌫ ✓ . (4.15)
Sustituyendo este último resultado en la ecuación (4.12) obtenemos
" = 1 + ⌫
E
� − ⌫
E
E
1 − 2⌫ ✓ I . (4.16)
Despejando el tensor de tensión de esta expresión se obtiene
� = E
1 + ⌫ " + E⌫(1 + ⌫)(1 − 2⌫)✓ I . (4.17)
Para poder escribir esta expresión de forma más compacta definimos el
primer y segundo coeficiente de Lamé
� = E⌫(1 + ⌫)(1 − 2⌫) , µ = E2(1 + ⌫) . (4.18)
Ambos coefiecientes de Lamé tienen dimensiones de F �L2, como el módu-
lo de Young, puesto que son rigideces. Además, el segundo coeficiente de
Lamé es igual al módulo de cortante G. Finalmente, escribimos la expre-
sión (4.17) como
� = 2µ " + � tr(")I (4.19)
Esta última expresión se conoce como la ecuación de Lamé y permite
obtener la tensión a partir de la deformación. Como se trata de una ecuación
intŕınseca es válida en cualquier sistema de coordendas. En particular, si se
expresan todos los tensores en coordendas cartesianas se obtiene
�
xx
= 2µ "
xx
+ �✓ , ⌧
xy
= µ�
xy
,
�
yy
= 2µ "
yy
+ �✓ , ⌧
xz
= µ�
xz
,
�
zz
= 2µ "
zz
+ �✓ , ⌧
yz
= µ�
yz
,
✓ = "
xx
+ "
yy
+ "
zz
.
(4.20)
Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal 73
4.2.4. Deformaciones y tensiones proporcionales
En un ensayo uniaxial, una tensión de tracción provoca una deformación
en dirección de las tensiones aplicadas. En general esto no es aśı y un punto
sometido a un estado tensional � experimenta una deformación " que no
es proporcional a la tensión, es decir, " ≠ !�, para ningún escalar !. Por
ejemplo, un punto sometido a tracción uniaxial sufre deformaciones en las
direcciones perpendiculares a al tracción aplicada debidas al “efecto Pois-
son”. Sin embargo, un punto sometido a un estado de tensión de cortante
puro sólo experimenta deformación angular y se comprueba fácilmente que
" = (2µ)−1�. Pretendemos estudiar a continuación cuántos casos existen de
solicitaciones que provocan estados de deformación proporcionales a éstos.
Teorema 4.2.1. En un sólido elástico isótropo sólo los estados de tensión
esféricos y los puramente desviadores causan estados de deformación pro-
porcionales a ellos mismos. En el primer caso, cuando � es esférico,
" = (3)−1� ,
siendo  = �+ 2
3
µ el módulo de rigidez volumétrica, y en el segundo, cuando
� es desviador,
" = (2µ)−1� .
Demostración. Supongamos que en para un estado tensional �, la deforma-
ción provocada en un punto es tal que " = !�. Entonces, por las ecuaciones
de Lamé,
� = 2µ!� + �! tr(�)
3
I .
Esta ecuación se puede reescribir como
(1 − 2µ!)� = �! tr(�)
3
I .
Para que esta ecuación se cumpla para algún escalar ! sólo existen dos
posibilidades: o bien � = tr(�)
3
I, o bien ambos lados de la igualdad se anulan.
En el primer caso la tensión es esférica y se cumple
(1 − 2µ!) tr(�)
3
I = �! tr(�)
3
I �⇒ 1 − 2µ! = 3�! �⇒ ! = (3)−1 .
En el segundo caso la tensión es desviadora, tr(�) = 0, y el paréntesis
en la ecuación (4.2.4) debe de anularse, para lo cual es necesario que ! =(2µ)−1.
Usando la definición de la rigidez volumétrica, las ecuaciones de Lamé se
pueden escribir también de la siguiente manera
� =  tr(")I + 2µ e (4.21)
74 Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal
Esta expresión muestra que la constante  relaciona la respuesta volumétri-
ca con las cargas volumétricas, y la deformación desviadora (el cambio de
forma), con las cargas desviadoras. En otras palabras, las respuestas vo-
lumétrica y desviadora de materiales isótropos están desacopladas.
4.2.5. Restricciones en las constantes elásticas
Las constantes que caracterizan el comportamiento elástico de los cuer-
pos isótropos no pueden tener valores aleatorios. Existen algunas restric-
ciones que siempre deben de cumplir, unas basadas en argumentos más o
menos f́ısicos y otras en argumentos de tipo matemático.
Un camino “f́ısico” consiste en considerar los ensayos más sencillos: el de
tracción uniaxial, el de cortante puro y el de compresión volumétrica. En el
primero, nuestra experiencia nos dice que al estirar una barra de material
elástico, ésta siempre se alarga, aśı que concluimos que E > 0. En el segundo
ensayo, también tenemos la experiencia de que al cizallar un cuerpo, este se
deforma en el sentido de la tensión, aśı pues µ > 0. Por último, al comprimir
(sin cambio de forma) un cuerpo, su volumen disminuye siempre, aśı que
 > 0. A partir de estas tres experiencias y las relaciones entre las constantes
elásticas podemos deducir las restricciones de las demás constantes elásticas.
Por ejemplo, a partir de las relaciones
µ = E
2(1 + ⌫) y  = E3(1 − 2⌫) , (4.22)
se deduce que −1 < ⌫ < 1
2
. Si se considera la definición
� = ⌫E(1 − 2⌫)(1 + ⌫) , (4.23)
se concluye que � > 0.
Existen argumentos más rigurosos, basados en la existencia de solución
al problema elástico, o al estudio de la velocidad de propagación de las ondas
en estos materiales, y éstos se pueden encontrar en tratados más avanzados
de elasticidad [3].
4.3. Hiperelasticidad
Comose verá más adelante, los modelos elásticos más interesantes des-
de el punto de vista termodinámico son los que derivan de un potencial.
Aśı definimos:
Definición 4.3.1. Se dice que un material es hiperelástico cuando existe
una función escalar W = W ("), llamada la función de enerǵıa elástica o
interna, tal que
� = @W (")
@"
(4.24)
Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal 75
W
W ⇤
"
�
Figura 4.2: Enerǵıa elástica y enerǵıa elástica complementaria como áreas
bajo y sobre la curve de tensión-deformación.
En el caso general se sigue que W (") = 1
2
" ∶ C" y, en particular, para
modelos elásticos isótropos
W
iso
(") = �
2
( tr("))2 + µ " ∶ " = 
2
( tr("))2 + µ e ∶ e . (4.25)
Cuando la función W es convexa, la relación (4.24) se puede invertir y
definiendo la enerǵıa elástica complementaria W ∗ = W ∗(�) como la
transformada de Legendre de la enerǵıa interna, y por tanto se verifica
" = @W ∗(�)
@�
(4.26)
Para materiales elásticos isótropos, la enerǵıa interna complementaria tiene
la expresión
W ∗(�) = tr(�)2
18
+ 1
4µ
s ∶ s = 1 + ⌫
2E
� ∶ � − ⌫
2E
tr(�)2 . (4.27)
En el caso de un material elástico lineal, el valor de W (") y W ∗(�) coincide
cuando � = C". Esta coincidencia es muy útil a la hora de resolver proble-
mas y se aprovecha, sobre todo, en el cálculo de estructuras elásticas. Sin
embargo, en general, como ilustra la figura 4.2, ésto no ocurre.
▶ Ejemplo 4.3.2. Para ilustrar el concepto de enerǵıa interna, considera-
mos el modelo más sencillo que es el de un resorte elástico de constante K.
Según la ley de Hooke, la fuerza que estira del resorte N y la elongación �
del mismo están relacionadas por la expresión N = K�. La enerǵıa elástica
asociada es por tanto
W (�) = � �
0
N(x)dx = � �
0
Kxdx = 1
2
K�2 .
76 Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal
De la misma manera, al enerǵıa elástica complementaria se puede calcular
como
W ∗(N) = � N
0
�(x)dx = � N
0
x
K
dx = 1
2K
N2 . ◀
4.4. Termoelasticidad lineal isótropa
Aśı como la relación entre las tensiones y deformaciones se observa coti-
dianamente, también se aprecia en multitud de situaciones que los campos
de temperatura y tensión/deformación están acoplados. Aśı pues, si se ca-
lienta un cuerpo éste se deforma y a veces aparecen en él tensiones. Más
aún, en ciertos materiales se observa que incluso una deformación elásti-
ca produce cambios de temperatura (el llamado efecto Gough-Joule). Este
problema acoplado es en general muy complejo, pero si el acoplamiento en
únicamente en un sentido (la temperatura produce deformaciones pero no
viceversa) su formulación es sencilla. Debido a su importancia consideramos
en esta sección las relaciones constitutivas de la termoelasticidad lineal.
Se comprueba experimentalmente que un cuerpo isótropo, homogéneo
y libre de coacciones (�
u
= �), cuando se calienta uniformemente se de-
forma sin que aparezcan tensiones. Esta deformación de origen puramente
térmico es únicamente volumétrica y proporcional al incremento térmico y
a un coeficiente de dilatación térmica que indicamos con el śımbolo ↵ y
con dimensiones de temperatura inversa. Llamando "
ter
a las deformaciones
térmicas se cumple por tanto
"
ter
= ↵�TI , (4.28)
siendo �T el salto térmico respecto a una temperatura en la que no existen
deformaciones térmicas. Admitiendo el principio de superposición, podemos
formular una ley de Hooke generalizada con efectos térmicos de la
forma
" = "
mec
+ "
ter
= 1 + ⌫
E
� − ⌫
E
tr(�) I + ↵�TI . (4.29)
La deformación tiene por tanto dos componentes: una mecánica y otra térmi-
ca. Esta relación, válida en cualquier sistema de coordenadas, tiene la si-
guiente expresión en componentes cartesianas:
"
xx
= �xx
E
− ⌫
E
(�
yy
+ �
zz
) + ↵�T , �
xy
= �xy
G
"
yy
= �yy
E
− ⌫
E
(�
zz
+ �
xx
) + ↵�T , �
xz
= �xz
G
"
zz
= �zz
E
− ⌫
E
(�
xx
+ �
yy
) + ↵�T , �
yz
= �yz
G
(4.30)
La relación de Hooke (4.29) se puede invertir para obtener las ecuacio-
nes de Lamé con efecto de la temperatura. Como en la sección 4.2.3, para
Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal 77
despejar la tensión de las ley de Hooke aplicamos el operador traza a ambos
lados de la identidad (4.29) y obtenemos
tr(") = 1 + ⌫
E
tr(�) − � ⌫
E
tr(�) + ↵�T� tr(I)
= 1 − 2⌫
E
tr(�) + 3↵�T . (4.31)
Aśı pues, la traza de la tensión es
tr(�) = E
1 − 2⌫ ✓ − 3↵E1 − 2⌫�T . (4.32)
Sustituyendo este resultado en (4.29) obtenemos finalmente las ecuaciones
de Lamé con efecto de la temperatura:
� = 2µ" + �✓I − ��TI (4.33)
siendo � la constante
� = 3↵ . (4.34)
El tensor −��TI se conoce con el nombre de la tensión de origen térmico,
aśı pues
� = �
mec
+�
ter
, (4.35)
es decir, que en un sólido elástico sometido a deformación y a cambio de
temperatura las tensiones tiene dos componentes, una de origen puramente
mecánico y otro térmico. Nótese que un un cuerpo que no se puede deformar
libremente, si se somete a un salto térmico, desarrolla tensiones de origen
térmico no nulas. Estas tensiones pueden ser muy grandes en elementos de
máquinas sometidos a altas temperatura de funcionamente si éstos no se
diseñan cuidadosamente.
▶ Ejemplo 4.4.1. Un cilindro de goma con diámetro d = 20 mm y longitud
L = 200 mm se aloja en una cavidad ciĺındrica de diámetro D = 20,05 mm.
Sobre el cilindro se coloca un pistón ŕıgido.
a) Calcular el estado tensional y de deformación en el cilindro si el pistón
lo comprime con una fuerza total de 1000 N (nótese que el estado de
tensión es ciĺındrico). Indicar la longitud del cilindro deformado.
b) Calcular otra vez el estado tensional y de deformación en el cilindro
si, manteniendo fijo el pistón, el conjunto se calienta 140 oC.
Datos: suponer que las paredes del cilindro y el pistón son infinitamente
ŕıgidas y que no ejercen ningún rozamiento sobre el cilindro. Constantes del
material del cilindro: E = 500 MPa, ⌫ = 0,48, ↵ = 20 ⋅ 10−6(oC)−1.
78 Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal
El estado tensional y de deformación será, en los dos casos, ciĺındrico y
homogéneo (debido a la simetŕıa del la geometŕıa y cargas, a la ausencia de
fuerzas volumétricas y de rozamiento). Si escogemos un sistema de coorde-
nadas cartesiano tal que el eje x coincida con el eje del cilindro, la expresión
matricial del la tensión y deformación en este sistema será
[�] = �������
�
xx
0 0
0 q 0
0 0 q
������� , ["] =
�������
"
xx
0 0
0 e 0
0 0 e
������� .
Estudiamos ahora por separado los dos casos de carga:
a) Cuando se comprime el cilindro no se sabe si éste contacta con la cavidad.
Suponiendo que no contacta, la única componente no nula del tensor de
tensiones es �
xx
y su valor es �
xx
= −P �A siendo A = ⇡
4
202 mm2 el área de
la sección. La longitud del diámetro deformado bajo esta hipótesis seŕıa:
d′ = (1 + e)d = (1 − ⌫
E
�
xx
)d = (1 + 3,06 ⋅ 10−3)d = 20,06 mm .
Este resultado contradice la hipótesis de que el cilindro no toca la cavidad,
aśı que no puede ser cierta. Si el contacto ocurre, entonces la tensión q ha
de ser no nula, y la deformación en dirección radial e es conocida y de valor
e = 0,05�20 = 2,5 ⋅ 10−3. El resto de componentes de los tensores de tensión
y deformación se calculan a partir de las ecuaciones de Lamé o de la ley de
Hooke generalizada:
�
xx
= −P �A = −3,18 MPa ,
q = 1
1 − ⌫ (E e + ⌫�xx) = −0,53 MPa ,
"
xx
= �xx
E
− 2⌫q = −5,34 ⋅ 10−3 .
La longitud del cilindro deformado es: L′ = (1 + ✏
xx
)L = 198,93 mm.
b) Suponemos, como en el caso anterior, que al dilatarse el cilindro, éste no
toca con las paredes de la cavidad. En este caso, obtenemos en primer lugar
la tensión en dirección axial en el cilindro a partir de la condición de que la
longitud de éste no vaŕıa:
"
xx
= �xx
E
+ ↵�T = 0�⇒ �
xx
= −↵E�T = −1,4 MPa .
A partir de ésta calculamos el diámetro deformado:
d′ = (1 + "
xx
)d = (1 − ⌫
E
�
xx
+ ↵�T )d = 20,08 mm ,
que es contrario a la hipótesis. Por lo tanto se puede garantizar que habrá con-
tacto entre cilindroy cavidad y que, como en el caso primero, e = 2,5 ⋅ 10−3.
Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal 79
Planteamos las ecuaciones de Hooke para las deformaciones en dirección x
y radial y obtenemos
"
xx
= �xx
E
− 2 q
E
+ ↵�T (= 0) ,
e = 1 − ⌫
E
q − �xx
E
+ ↵�T (= 2,5 ⋅ 10−3) ,
y resolvermos las dos incógnitas q y �
xx
que resultan tener valores �
xx
=−14,44 MPa y q = −13,89 MPa. ◀
4.5. Simetŕıas
En las secciones anteriores estudiamos la respuesta constitutiva de los
materiales isótropos. Muchos materiales son anisótropos y son más dif́ıciles
de caracterizar. A continuación estudiamos los distintos tipos de simetŕıas
posibles a partir del concepto de simetŕıa material y concluimos las diferentes
simetŕıas que el tensor C puede heredar. Más detalles sobre los cálculos
omitidos se pueden encontrar, por ejemplo, en [5].
4.5.1. Notación de Voigt
Para estudiar las simetŕıas resulta conveniente emplear la llamada nota-
ción de Voigt para tensores. Esta notación aprovecha que cualquier tensor
simétrico tiene sólo seis componentes independientes para escribirlo como un
vector de tamaño 6. De manera análoga, un tensor de cuarto orden relaciona
dos tensores de segundo orden aśı que sus componentes se pueden colocar
en una matrix de dimensión 6 × 6. Escribimos:�����������������������
�
11
�
22
�
33
�
23
�
31
�
12
�����������������������
=
��������������
C
1111
C
1122
C
1133
C
1123
C
1131
C
1112
C
2211
C
2222
C
2233
C
2223
C
2231
C
2212
C
3311
C
3322
C
3333
C
3323
C
3331
C
3312
C
2311
C
2322
C
2333
C
2323
C
2331
C
2312
C
3111
C
3122
C
3133
C
3123
C
3131
C
3112
C
1211
C
1222
C
1233
C
1223
C
1231
C
1212
��������������
�����������������������
"
11
"
22
"
33
2"
23
2"
31
2"
12
�����������������������
. (4.36)
El uso de un factor “2” en las componentes de la deformación angular es
habitual pues permite calcular � ∶ " simplemente como {�}T {"}.
4.5.2. Simetŕıas menores y mayores
En primer lugar, debe de indicarse, que el tensor C tiene dos simetŕıas,
independientemente del tipo de material elástico que modele. Como " y �
son tensores simétricos y � = C", CA = CAT , para cualquier tensor A y
además CA = (CA)T , es decir, C sólo actúa sobre la parte simétrica de un
80 Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal
tensor y sólo devuelve tensores simétricos. Estas son las llamadas simetŕıas
menores del tensor de elasticidades.
Se dice además que el tensor de elasticidades tiene simetŕıas mayores
si A ⋅CB =B ⋅CA, para cualquier pareja de tensores A,B o, en notación de
Voigt, que la matriz [C] es simétrica. Esto ocurre, por ejemplo, siempre que
el material sea hiperelástico. Cuando un material tiene todas las simetŕıas
menores (siempre) y las mayores, de las 81 componentes que tiene el tensor
de constantes elásticas, sólo 21 de ellas son independientes.
4.5.3. El concepto de simetŕıa material
Consideremos todos los tensores ortogonales Q (las rotaciones y reflexio-
nes). Igual que Qa es el vector que resulta de rotar (y/o reflejar) el vector
a, el tensor Q"QT es el resultado de rotar el tensor de deformación. El con-
cepto de simetŕıa material está relacionado con la invarianza de la respuesta
constitutiva en relación a los efectos de algunas rotaciones.
Definición 4.5.1. Se dice que el tensorQ ortogonal es una simetŕıa material
en un punto cuando la enerǵıa de deformación W es invariante frente a la
rotación de la deformación. Es decir, si definiendo "̄ =Q"QT , se verifica
W ("̄) =W (") (4.37)
para cualquier deformación ". La colección de todas las simetŕıas posibles
en un punto se denomina el grupo de simetŕıa del mismo.
El concepto de simetŕıa material está definido, por tanto, localmente y
pueden existir cuerpos que posean simetŕıas distintas en regiones separadas.
Que las simetŕıas en un punto tienen la estructura de grupo se sigue de que
si si Q
1
y Q
2
son dos simetŕıas, también lo es Q
1
Q
2
, de que Q−1 también
es una simetŕıa, y de que el tensor identidad también lo es siempre.
4.5.4. Materiales monocĺınicos
Un material monocĺınico tiene un plano de simetŕıa que suponemos, sin
perder generalidad, que es el perpendicular al eje e
3
. Por ello, el tensor
ortogonal Q
3
= e
1
⊗e
1
+e
2
⊗e
2
−e
3
⊗e
3
, que geométricamente representa la
reflexión respecto al plano de simetŕıa, debe de estar en el grupo de simetŕıa
del punto. Dada una deformación arbitraria ", el resultado de reflejar este
tensor con Q
3
tiene por matriz�������
"̄
11
"̄
12
"̄
13
"̄
21
"̄
22
"̄
23
"̄
31
"̄
32
"̄
33
������� =
�������
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
�������
T �������
"
11
"
12
"
13
"
21
"
22
"
23
"
31
"
32
"
33
�������
�������
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
�������
= �������
"
11
"
12
−"
13
"
21
"
22
−"
23−"
31
−"
32
"
33
�������
. (4.38)
Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal 81
Por definición de lo que se entiende por ser una simetŕıa, se debe de verificar
" ⋅C" = "̄ ⋅C"̄ . (4.39)
para cualquier deformación. En componentes,
3�
ijkl=1
C
ijkl
"
ij
"
kl
= 3�
ijkl=1
C
ijkl
"̄
ij
"̄
kl
. (4.40)
Si suponemos que todas las componentes de la deformación son nulas excepto
"
11
y "
13
se sigue que
C
1113
"
11
"
13
= C
1113
"̄
11
"̄
13
. (4.41)
Como "̄
11
= "
11
y "̄
13
= −"
13
, concluimos que C
1113
= 0 y también todos los
coeficientes que resultan de las simetŕıas menores y mayores. Repitiendo el
mismo proceso para otros combinaciones de deformaciones se sigue que
C
1113
= C
1123
= C
2213
= C
2223
= C
3313
= C
3323
= C
2312
= C
1312
= 0 , (4.42)
aśı como todas sus permutaciones. De las 21 constantes independientes que
tiene un material elástico anisótropo, se sigue que sólo 13 de ellas son inde-
pendientes para un material monocĺınico.
4.5.5. Materiales ortótropos
Un punto tiene simetŕıa ortótropa si tiene tres plano ortogonales de si-
metŕıa. En términos de tensores de rotación, los tensores Q
1
,Q
2
,Q
3
están
en el grupo de simetŕıa del punto. Se demuestra que este tipo de materiales
sólo tiene nueve constantes elásticas independientes. Estas simetŕıas se dan,
por ejemplo, en las maderas y materiales compuestos.
4.5.6. Materiales transversalmente isótropos
Un punto tiene simetŕıa ortótropa si existe un eje (supongamos que coin-
cide con el eje z) tal que las matrices de la forma
�������
cos ✓ sin ✓ 0− sin ✓ cos ✓ 0
0 0 1
������� (4.43)
son la expresión matricial de tensores en el grupo de simetŕıa, para cualquier
valor del ángulo ✓. En este caso, sólo cinco constantes elásticas determinan
de forma uńıvoca el tensor de elasticidades.
82 Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal
4.5.7. Materiales isótropos
Por último, los materiales con el grupo de simetŕıa más grande son aque-
llos en los que cualquier rotación y/o reflexión es una simetŕıa. Aunque no lo
demostramos, los materiales isótropos quedan totalmente definidos a partir
de dos constantes independientes (E y ⌫, � y µ, etc). En notación de Voigt,
la matriz de elasticidades tiene la expresión:
[C]
iso
=
��������������
� + 2µ � � 0 0 0
� � + 2µ � 0 0 0
� � � + 2µ 0 0 0
0 0 0 µ 0 0
0 0 0 0 µ 0
0 0 0 0 0 µ
��������������
(4.44)
Como los materiales isótropos se pueden describir mediante dos constan-
tes independientes, todas las que hemos descrito están relacionadas entre śı.
El cuadro siguiente resume todas estas relaciones
E ⌫ µ ≡ G � k
E, ⌫ E
2(1+⌫) ⌫E(1+⌫)(1−2⌫) E3(1−2⌫)
E,G E−2G
2G
(2G−E)G
E−3G GE3(3G−E)
E,� −E−�−A
4�
E−3�+A
4
E+3�+A
6
E,k 3k−E
6k
3Ek
9k−E 3k(3k−E)9k−E
⌫,G 2G(1 + ⌫) 2G⌫
1−2⌫ 2G(1+⌫)3(1−2⌫)
⌫,�
�(1+⌫)(1−2⌫)
⌫
�(1−2⌫)
2⌫
�(1+⌫)
3⌫
⌫, k 3k(1 − 2⌫) 3k(1−2⌫)
2(1+⌫) 3k⌫1+⌫
G,�
G(3�+2G)
�+G �2(�+G) � + 23G
G,k 9Gk
3k+G 3k−2G6k+2G k − 23G
�, k
9k(k−�)
3k−� �3k−� 32(k − �)
Cuadro 4.1: Relación entre todas las constates de los materiales lineales
isótropos. La constante A está definida como A =√E2 + 2E� + 9�2.
Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal 83
4.6. Enunciado completo del problema elástico
Combinando los conceptosde equilibrio, deformación y modelo consti-
tutivo se consigue la formulación completa de un problema de contorno que
ya tiene solución y que, aunque puede ser muy dif́ıcil de obtener, es única.
En el caso de la elasticidad, el problema completo es:
Un cuerpo elástico deformable es un dominio ⌦ ⊂ R3 con contorno @⌦ =
�
u
∪�
t
. En �
u
el cuerpo está sujeto, y en �
t
hay unas fuerzas de superficie t̄
conocidas. Todo el cuerpo está sometido a fuerzas volumétricas f̄ . Si el
cuerpo está en equilibrio, es isótropo y elástico, y sólo se consideran pequeñas
deformaciones, el desplazamiento u ∶ ⌦→ R3, la deformación " y la tensión�
satisfacen el siguiente problema de valores de contorno:
div� + f̄ = 0 en ⌦ ,
�n = t̄ sobre �
t
,
�
T = � ,
u = 0 sobre �
u
,
" = ∇Su ,
� = � tr(")I + 2µ" .
(4.45)
Este sistema de ecuaciones en derivadas parciales es el objeto de la teoŕıa
de la elasticidad clásica. De hecho, simplemente reemplazando la última de
estas ecuaciones por una relación constitutiva más compleja se define el
problema de la mecánica de sólidos deformables en pequeñas deformaciones.
4.6.1. El principio de Saint Venant
La experiencia indica que para el estudio de la solución a un problema
de un cuerpo deformable los detalles exactos de cómo están aplicadas las
fuerzas de superficie no son muy relevantes. Por ejemplo, cuando se realiza
un ensayo de tracción, la forma de las mordazas de la máquina de tracción,
aunque no puede ser completamente aleatoria, no afecta el resultado de los
ensayos. Lo mismo ocurre con las tensiones en el terreno bajo una zapata, o
en un pistón cuando está sometido a las presiones de los gases en el interior
de un cilindro.
El principio de Saint Venant establece que los campos de despla-
zamiento, deformación y tensión debidos a dos distribuciones de fuerzas de
superficie estáticamente equivalentes son iguales lejos de la zona de aplica-
ción. Esta definición deja sin definir cuán lejos los efectos de los detalles
en la aplicación de las fuerzas dejan de ser perceptibles, aśı que resulta un
poco imprecisa. Como regla general, se puede estimar que esta distancia es
igual a la dimensión caracteŕıstica de la zona de aplicación de las cargas.
En cualquier caso, su aceptación es fundamental en ingenieŕıa y siempre lo
daremos como válido.
84 Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal
El principo de Saint Venant data de 1855, aunque con el tiempo se ha
demostrado que no es un principio como tal sino que puede ser demostra-
do. Parte de la dificultad en demostrarlo radica en que su definición, como
se comentó anteriormente, es algo imprecisa. La definición precisa de este
principio se suele asociar a Stenberg [? ].
4.6.2. Las ecuaciones de Navier
En la formulación completa del problema elástico (ver ecuaciones (4.45))
aparecen como incógnitas los campos de desplazamiento u, de deformación "
y de tensión �. Para la resolución anaĺıtica de algunos problemas resulta
útil plantear el problema de contorno únicamente en función del campo
de desplazamientos. Cuando ésto se lleva a cabo para las ecuaciones de la
elasticidad lineal se obtienen unas fórmulas muy compactas que reciben en
nombre de ecuaciones de Navier .
Para obtener dichas ecuaciones, basta con sustituir la expresión de la ten-
sión � en función de la deformación y ésta del desplazamiento u resultando
en
div [� div[u]I + 2µ grads[u]] + f̄ = 0 ,(�div[u]I + 2µ grads[u])n = t̄ , en �
t
,
u = 0 , en �
u
.
(4.46)
Simplificando la primera de estas ecuaciones mediante las relaciones
div[div[u]I] = grad[div[u]] ,
div[gradu] =△u ,
div[gradTu] = grad[div[u]] , (4.47)
se demuestra inmediatamente que (4.46) se puede escribir como
(� + µ) grad[div[u]] + µ △u + f̄ = 0 ,(�div[u]I + 2µ grads[u])n = t̄ , en �
t
,
u = 0 , en �
u
.
(4.48)
4.7. Estados planos de tensión y deformación
El tratamiento anaĺıtico de los problemas de cuerpos deformables es,
en general, muy complicado. Existen dos casos particulares que simplifican
mucho la descripción matemática del problema y que, además, son muy
habituales. Estos son los casos de tensión y deformación plana en los que
algunas de las componentes de tensor de tensión o deformación son nulas en
todos los puntos del cuerpo. Como se verá a continuación, esto es el resultado
de geometŕıas y cargas muy particulares.
Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal 85
4.7.1. Estados de tensión plana
Definición 4.7.1. Un cuerpo se encuentra en un estado plano de tensión
cuando existe un sistema de coordenadas (x
1
, x
2
, x
3
) tal que el tensor de
tensiones en todo punto del cuerpo tiene la expresión
[�] = �������
�
11
(x
1
, x
2
) �
12
(x
1
, x
2
) 0
�
21
(x
1
, x
2
) �
22
(x
1
, x
2
) 0
0 0 0
������� . (4.49)
Este estado de tensión aparece, de forma muy aproximada, en cuerpos
planos, muy delgados con cargas de superficie y volumen contenidas en dicho
plano como, por ejemplo, las membranas.
El tensor de deformación en estados planos de tensión tiene por expresión
["] = 1 + ⌫
E
[�] − ⌫
E
tr(�)[I] = �������
�11−⌫�22
E
�12
G
0
�21
G
�22−⌫�11
E
0
0 0 −⌫
E
(�
11
+ �
22
)
������� .
(4.50)
Nótese que la deformación "
33
no se anula.
4.7.2. Estados de deformación plana
Definición 4.7.2. Un cuerpo se encuentra en un estado plano de de-
formación cuando existe un sistema de coordenadas (x
1
, x
2
, x
3
) tal que el
tensor de deformación en todo punto del cuerpo tiene la expresión
["] = �������
"
11
(x
1
, x
2
) "
12
(x
1
, x
2
) 0
"
21
(x
1
, x
2
) "
22
(x
1
, x
2
) 0
0 0 0
������� . (4.51)
Este estado de deformación aparece, de forma muy aproximada, en cuer-
pos con simetŕıa axial y cargas ortogonales a dicho eje de simetŕıa, que ha de
coincidir con el eje x
3
del sistema de referencia indicado anteriormente. Los
cuerpos que se encuentran en un estado plano de deformación tiene un cam-
po de desplazamientos que, empleando el sistema de referencia cartesiano
que se menciona, verifica
u = u(x
1
, x
2
) , u ⋅ e
3
= 0 . (4.52)
En estos estados de deformación, el tensor de tensiones tiene por expresión
matricial en la base {e
1
,e
2
,e
3
}
[�] = 2µ ["] + � tr(")[I] = �������
2µ"
11
+ �✓ µ�
12
0
µ�
21
2µ"
22
+ �✓ 0
0 0 �✓
������� . (4.53)
86 Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal
Nótese que, en general, la componente �
33
no se anula. De hecho, podemos
escribir
�
11
+ �
22
= 2µ("
11
+ "
22
) + 2�✓ = 2(� + µ)✓ . (4.54)
Como � + µ = �
2⌫
, la tensión en la dirección x
3
se puede expresar también
como
�
33
= �✓ = 2⌫(� + µ)✓ = ⌫(�
11
+ �
22
) . (4.55)
4.7.3. El diagrama de Mohr en estados planos
En un estado plano, la dirección que hemos denominado x
3
es principal
y la tensión asociada es una tensión principal (que se anula en el caso de
tensión plana). En el plano x
1
x
2
, existen dos tensiones principales que lla-
mamos �
I
,�
II
con sus direcciones principales correspondientes v
I
,v
II
. Nótese
que no se correspoden necesariamente con las dos tensiones principales ma-
yores en el punto, porque puede que la tensión principal � = 0 sea la mayor
de la tres o la intermedia.
Para continuar, y por simplificar la notación, supongamos que el sistema
coordenado x
1
, x
2
, x
3
es el cartesiano x, y, z. Entonces, en cualquiera de los
dos tipos de estados planos las tensiones principales �
I
y �
II
son las ráıces
del polinomio caracteŕıstico
0 = �� �x �xy
�
xy
�
y
� − � � 1 0
0 1
�� = �2 − (�
x
+ �
y
)� + �
x
�
y
− �2
xy
. (4.56)
Éstas se pueden escribir de forma expĺıcita como
� = �x + �y
2
±���x − �y
2
�2 + �2
xy
. (4.57)
Consideremos ahora las componentes intŕınsecas de la tensión t = �n
sobre planos de normal n contenida en el plano xy, es decir, tal que n ⋅k = 0.
En la base principal B
P
= {v
I
,v
II
,k} este vector se puede escribir como
n = cos ✓ v
I
+ sin ✓ v
II
, aśı pues la tensión normal sobre dicho plano es
�
n
= n ⋅�n = ���������
cos ✓
sin ✓
0
��������� ⋅
�������
�I
0 0
0 �
II
0
0 0 �
z
�������
���������
cos ✓
sin ✓
0
���������= �
I
cos2 ✓ + �
II
sin2 ✓= �I + �II
2
+ �I − �II
2
cos(2✓) .
(4.58)
Para calcular la componente tangencial definimos el vector unitario m =
n × k. Este vector define, sólo para problemas planos la única dirección
tangencial posible sobre el plano de normal n donde puede haber ten-
sión tangencial. Este vector además tiene expresión en la base principal
Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal 87
�n
⌧m
�I�II
�I+�II
2
2✓
Figura 4.3: Diagrama de Mohr para estados planos.
m = sin ✓ v
I
−cos ✓ v
II
aśı que podemos definir la tensión tangencial ⌧
m
como
la proyección t ⋅m y calcularla expĺıcitamente de la siguiente manera
⌧
m
=m ⋅�n = ���������
sin ✓− cos ✓
0
��������� ⋅
�������
�
I
0 0
0 �
II
0
0 0 �
z
�������
���������
cos ✓
sin ✓
0
���������= �
I
sin ✓ cos ✓ − �
II
sin ✓ cos ✓= �I − �II
2
sin(2✓).
(4.59)
A partir de las expresiones (4.58) y (4.59) se interpreta que las componentes
intŕınsecas (�
n
, ⌧
m
) de la tensión en estados planos recorren un circunfe-
rencia en el plano como se indica en la 4.3. A diferencia del diagrama de
Mohr para estados de tensión tridimensionales, en el caso plano tiene sen-
tido representar un ćırculo completo, puesto que en este caso la tensiones
tangenciales ⌧
m
śı que pueden ser negativas.
4.8. Aplicación: torsión de ejes no circulares
Estudiamos a continuación una aplicación de la teoŕıa de la elasticidad li-
neal para el estudio de la torsión de ejes con sección no circular de materiales
elásticos lineales isótropos.
El caso de ejes de sección circular maciza o hueca se describe con la
teoŕıa de Coulomb, y es relativamente sencilla gracias a la simetŕıa de revo-
lución en la solución. Como se estudia en cursos básicos de Resistencia de
88 Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal
x1
x2
(x1, x2)
�
(x1 + u1, x2 + u2)
�
S
m
n
Figura 4.4: Sección transversal de un eje no circular
Materiales, un eje circular macizo o hueco sometido a torsión pura de valor
M
t
experimenta un giro por unidad de longitud # cuyo valor es
# = Mt
µI
o
, (4.60)
siendo I
o
el momento polar de inercia de la sección respecto de su centro de
gravedad. Además se puede deducir de forma sencilla que las tensiones sobre
las secciones transversales del eje son únicamente tangenciales, en dirección
perpendicular a los radios de la misma y de módulo
�⌧ � = Mt
I
o
r , (4.61)
siendo r la distancia del punto estudiado al centro de gravedad de la sección.
Para ejes no circulares, sin embargo, la solución es bastante más compleja
y la propuso Saint Venant. El método de obtención, que se conoce como
semi-impĺıcito, es habitual en teoŕıa de elasticidad: se postula una expresión
para los desplazamientos que depende de algunos parámetros; se encuentra
el valor de los parámetros que hace válida esta ecuación y se comprueba
finalmente que además esta solución se corresponde con un estado de torsión
pura.
Para describir las hipótesis de la teoŕıa de Saint Venant, supondremos
que la sección del eje está contenida en el plano x
1
, x
2
de un sistema de
coordenadas x
1
, x
2
, x
3
con origen en el centro de gravedad de la sección y
Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal 89
con la dirección x
3
perpendicular a la misma. Cuando se aplica un estado
de torsión pura sobre el eje:
Las secciones giran y se alabean, pero su proyección sobre el plano x
1
, x
2
permanece idéntica a la sección sin deformar.
El alabeo de todas las secciones es el mismo, y además es proporcional
al giro por unidad de longitud #.
Como en la teoŕıa de Coulomb, el giro de una sección es proporcional
al giro por unidad de longitud y la distancia a un extremo del eje.
La expresión matemática de las hipótesis es:
u
1
= r cos(� + �) − r cos�
u
2
= r sin(� + �) − r sin�
u
3
= #�(x
1
, x
2
) (4.62)
Si el giro � es pequeño, es inmediato comprobar que los desplazamientos se
pueden aproximar por las funciones
u
1
= −x
2
x
3
# ,
u
2
= x
1
x
3
# ,
u
3
= # (x
1
, x
2
) . (4.63)
A partir del campo de desplazamiento se deduce que las tres deformaciones
longitudinales "
11
, "
22
y "
33
son nulas y que las deformaciones angulares son
"
12
= 0 , "
13
= #
2
( 
,1
− x
2
) , "
23
= #
2
( 
,1
+ x
1
) . (4.64)
A partir de estas, y empleando las ecuaciones de Lamé, se sigue que las
tensiones �
11
, �
22
y �
33
son nulas y las tensiones tangenciales valen
�
12
= 0 , �
13
= µ#( 
,1
− x
2
) , �
23
= µ#( 
,1
+ x
1
) . (4.65)
Suponiendo que no existen fuerzas volumétricas sobre el eje, o que su va-
lor es despreciable, la ecuación del equilibrio de fuerzas, div� = 0, expresada
en la base escogida implica que se debe satisfacer
µ#( 
,11
+ 
,22
) = 0 (4.66)
o, equivalentemente, △ = 0 (4.67)
en todos los puntos del interior de la sección. Para encontrar la expresión de
la ecuación del equilibrio de fuerzas en el contorno de la sección supongamos
que este se puede parametrizar con una función diferenciable x = x(s),
90 Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal
siendo el parámetro s la longitud de arco del contorno. En este caso, el
vector tangente al contorno es m = x′ y el vector normal n =m× e
3
. Como
el contorno de la sección está libre de tensiones se sigue que 0 = �n. Si la
normal al contorno se expresa como n = n
1
e
1
+ n
2
e
2
, entonces la condición
de contorno implica dos igualdades escalares triviales y además
0 = ( 
,1
− x
2
)n
1
+ ( 
,2
+ x
1
)n
2
. (4.68)
La función de alabeo es por tanto una función armónica que satisface la
identidad anterior en el contorno y el campo de desplazamientos (4.62) es
la solución a un problema elástico.
Falta por comprobar que efectivamente, la solución encontrada corres-
ponde a un estado de torsión pura. Es sencillo comprobar que no existe
ninguna fuerza resultante sobre la sección, aśı pues no hay sobre ella ni es-
fuerzo axial ni de cortante. Además, como no hay tensiones normales �
33
,
tampoco existen momentos flectores sobre ésta. Sin embargo, el momento
resultante en dirección del eje x
3
es
M
t
= �S(x1�23 − x2�13)dS= �S µ#(x21 + x22 + x1 ,2 − x2 ,1)dS . (4.69)
De esta identidad se sigue que la relación entre el par torsor y el giro por
unidad de longitud # se puede escribir como
# = Mt
µ I
t
(4.70)
si I
t
, la inercia a torsión de la sección, se calcula como
I
t
= �S(x21 + x22 + x1 ,2 − x2 ,1)dS . (4.71)
Observaciones:
a) Comparando la expresión (4.70) con (4.60) concluimos que la inercia
a torsión hace el mismo papel que el momento polar de inercia en la
torsión de ejes circulares, cuantificando la contribución geométrica a
la rigidez torsional.
b) Además, se verifica que si la sección es circular la función de alabeo es
idénticamente nula y por tanto I
t
= I
0
.
c) Por último, se puede comprobar que para cualquier sección I
t
≤ I
o
,
siendo cierta la identidad únicamente para las secciones circulares.
Esto apunta a que las secciones no circulares sometidas a torsión se
alabean como mecanismo para reducir su rigidez torsional, pero man-
teniendo una solución válida al problema elástico, y aśı disminuir su
enerǵıa potencial.
Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal 91
x1
x2 r�
Figura 4.5: Isoĺıneas de nivel de la función de Prandtl.
4.8.1. Teoŕıa de Prandtl
Las únicas componentes no nulas del tensor de tensiones, en el sistema de
referencia escogido, son �
31
y �
32
. Para intentar comprender mejor cómo son
estas componentes de la tensión tangencial sobre el plano de las secciones
transversales del eje supongamos que existe una función diferenciable � =
�(x
1
, x
2
), llamada función de Prandtl, tal que
�
13
= �
,2
, �
23
= −�
,1
. (4.72)
En primer lugar se observa que si esta función existe, entonces el tensor de
tensiones satisface div� = 0, es decir, verifica las ecuaciones de equilibrio. En
segundo lugar, utilizando las expresiones (4.65) de las tensiones tangenciales
se sigue que�
13
= �
,2
= #µ( 
,1
− x
2
) ,
�
23
= −�
,1
= #µ( 
,2
+ x
2
) . (4.73)
Derivando la primera de estas identidades con respecto a x
2
, la segunda con
respecto a x
1
y sumando el resultado de ambas operaciones concluimos que
−△ � = 2µ# . (4.74)
Finalmente, si como anteriormente suponemos que el contorno de la sección
viene dado por una curva x = x(s), entonces, la condición de que el lateral
del eje no está sometido a tensión se expresa como �n = 0 o también
0 = �
,2
n
1
− �
,1
n
2
= �
,2
x′
2
+ �
,1
x′
1
= @�
@s
, (4.75)
es decir, que la función � es contante a lo largo del contorno de la sección.
92 Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal
x1
x2
a
b
n
Figura 4.6: Sección eĺıptica sometida a torsión pura.
El momento torsor se puede calcular como
M
t
= �S(x1�23 − x2�13)dS= �S −(x1�,1 + x2�,2)dS= �S grad� ⋅ (x1e1 + x2e2)dS= �S � div(x1e1 + x2e2)dS −�@S(x1e1 + x2e2) ⋅nd� .
(4.76)
Si la sección S no tiene agujeros, podemos fijar arbitrariamente el valor de �
en el contorno y escogiendo � = 0 en @S concluimos que
M
t
= 2�S �dS . (4.77)
Igual que en el caso de la teoŕıa de Saint Venant, podemos encontrar la
inercia a torsión a partir de la expresión anterior y la relación (4.70):
I
t
= 2 ∫S �dS
µ#
. (4.78)
Además de una herramienta para calcular la rigidez a torsión, la función
de Prandtl sirve para obtener conclusiones cualitativas sobre la distribución
de tensiones tangenciales en la sección. Como esta tensión es de la forma
⌧ = �
13
e
1
+ �
23
e
2
= �
,2
e
1
− �
,1
e
2
y podemos deducir
�⌧ � = �grad�� , ⌧ ⋅ grad� = 0 , (4.79)
es decir, que los vectores tensión sobre las secciones transversales del eje
son perpendiculares al gradiente de � y tiene el mismo módulo que grad�.
A partir de las curvas de nivel de �, podemos deducir que las máximas
tensiones tangenciales ocurrirán alĺı donde estas estén más juntas, y que si
dirección será la tangente a las curva de nivel.
Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal 93
4.8.2. Ejemplo: torsión de secciones eĺıpticas
Como ejemplo de aplicación de la teoŕıa de esta sección calculamos la
función de alabeo y la función de Prandtl de una sección eĺıptica con las di-
mensiones indicadas en la figura 4.6. En primer lugar, buscamos una función
 ∶ S → R que satisfaga las ecuaciones (4.67) y (4.68). Para ello, emplea-
mos el llamado método semi-inverso que consiste en proponer una solución
conocida parcialmente. En este caso, se propone
 (x
1
, x
2
) = kx
1
x
2
, (4.80)
siendo k una constante a determinar. Es inmediato comprobar que esta fun-
ción satisface la ecuación (4.67). Para verificar si cumple la condición (4.68)
en el contorno de la sección recordamos la ecuación paramétrica de la elipse
x
1
= a cos ✓ , x
2
= b sin ✓ , (4.81)
y obtenemos a partir de ésta la expresión del vector tangente al contorno
de S, que denominamos m y del vector normal n =m × e
3
:
m = (x′
1
e
1
+ x′
2
e
2
)�C = (−a sin ✓e
1
+ b cos ✓e
2
)�C ,
n = (b cos ✓e
1
+ a sin ✓e
2
)�C = ( b
a
x
1
e
1
+ a
b
x
2
e
2
)�C , (4.82)
siendo C una constante para normalizar el vector tangente y el normal.
Sustituyendo la expresión del vector normal en la ecuación (4.68) se sigue
0 = (kx
2
− x
2
) b
a
x
1
+ (kx
1
+ x
1
)a
b
x
2
= (k − 1) b
a
x
1
x
2
+ (k + 1)a
b
x
1
x
2
(4.83)
que se verifica si k = (b2 − a2)�(b2 + a2) y por tanto
 (x
1
, x
2
) = b2 − a2
b2 + a2x1x2 . (4.84)
Una vez conocida la función de alabeo, podemos calcular la inercia a torsión
de la sección empleando la expresión (4.71):
I
t
= �S(x21 + x22 + x1 ,2 − x2 ,1)dA= �S(x21 + x22 + kx21 − kx22)dA= (1 + k)�S x21 dA + (1 − k)�S x22 dA= (1 + k)I
2
+ (1 − k)I
1= (1 + k)⇡
4
ab3 + (1 − k)⇡
4
a3b
= ⇡a3b3
a2 + b2 .
(4.85)
94 Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal
Figura 4.7: Función de alabeo para del tubo de sección eĺıptica.
Nótese que I
t
= I
o
+k(I
2
−I
1
). Cuando a > b, k es negativo y I
2
−I
1
, positivo,
aśı pues I
t
< I
o
. Cuando a < b la conclusión es la misma. El único caso en el
que I
t
= I
o
es cuando la función de alabeo es idénticamente nula, es decir,
en la sección circular.
Para calcular la función de Prandtl, utilizamos también el método semi-
inverso y suponemos que esta es de la forma
�(x
1
, x
2
) = ⌘ �x21
a2
+ x22
b2
− 1� , (4.86)
siendo ⌘ una constante cuyo valor determinaremos a continuación. Las cur-
vas de nivel de esta función son elipses concéntricas y es evidentemente nula
en el contorno de la sección. La relación (4.74) se satisface si ⌘ vale
⌘ = −µ#a2b2
a2 + b2 (4.87)
Esta función nos indica que la tensiones tangenciales sobre la sección son
tangentes a elipses concéntricas y que su módulo es máximo donde los se-
miejes cortan la elipse exterior. Dado que el momento torsor y la función de
Prandtl están relacionados por la fórmula (4.77), podemos verificar que la
inercia torsional es
I
t
= Mt
µ#
= 2 ∫S �(x1, x2)dA
µ#
= ⇡a3b3
a2 + b2 , (4.88)
que coincide con el resultado obtenido mediante la función de alabeo.
4.9. Aplicación: Ondas planas
Una segunda aplicación sencilla de la teoŕıa de la elasticidad lineal es el
estudio de las ondas planas que se propagan en medios elásticos infinitos.
Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal 95
Figura 4.8: Curvas de nivel de la función de Prandtl � del tubo de sección
eĺıptica
Figura 4.9: Dirección (izda.) y módulo (dcha.) de los vectores de tensión
tangencial en el eje de sección eĺıptica sometido a torsión pura.
Estas son campos de desplazamiento de la forma
u(x, t) = sin(ct − b ⋅x)a , (4.89)
que satisfacen la ecuación de Navier. El vector a indica la dirección de los
desplazamientos y a veces se llama el vector de polarización. El vector b es
el vector unitario de propagación de la onda. La constante c es la velocidad
de propagación de la onda en el medio elástico.
A continuación estudiamos qué valores de a,b y c se pueden dar en un
medio elástico y qué relación guardan entre ellos, asegurando que se cumpla
la ecuación del equilibrio dinámico
div� + f̄ = ⇢ü . (4.90)
Esta ecuación es similar a la estudiada en el caṕıtulo 2, pero se ha añadido
un término inercial igual al producto de la densidad por la aceleración (la
segunda derivada con respecto al tiempo del campo de desplazamiento u).
96 Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal
En primer lugar obtenemos, derivando dos veces respecto al tiempo la
expresión (4.89):
ü(x, t) = −c2 sin(ct − b ⋅x)a . (4.91)
Para hallar la tensión obtenemos en primer lugar el gradiente de la defor-
mación
gradu(x, t) = − sin(ct − b ⋅x)a⊗ b , (4.92)
y su simetrización
"(x, t) = − sin(ct − b ⋅x)�2(a⊗ b + b⊗ a) . (4.93)
A partir de este valor y las ecuaciones de Lamé se sigue que la tensión es
�(x, t) = − sin(ct − b ⋅x) (�(a ⋅ b)I + µ(a⊗ b + b⊗ a)) , (4.94)
cuya divergencia es
div�(x, t) = − cos(ct − b ⋅x) [(µ + �)(a ⋅ b)b + µa] . (4.95)
Sustituyendo (4.91) y en la ecuación del equilibrio (4.90) se ha de verificar:
⇢c2a = (a ⋅ b)(µ + �)b + µa . (4.96)
Esto sólo puede ocurrir en dos casos. En primer lugar, si los vectores a y b
son paralelos, entonces esta relación se satisface y además
c = c
P
=�� + 2µ
⇢
. (4.97)
Este tipo de ondas planas en las que la dirección de propagación coincide
con la de polarización se llaman ondas primarias u ondas P . En segun-
do lugar, es posible que las direcciones de polarización y propagación sean
ortogonales y entonces (4.96) también se verifica con
c = c
S
=�µ
⇢
. (4.98)
Este tipo de ondas se llaman ondas secundarias u ondas S .
En medios elásticos, isótropos, infinitos sólo pueden darse los dos tipos
de ondas planas encontradas. Además cada uno de estos tipos de ondas viaja
con su velocidad correspondiente.
4.10. Limitaciones de la teoŕıa lineal
En estas notas estudiamos únicamente la teoŕıa lineal de los sólidos defor-
mables y en este caṕıtulo hemos descrito el caso particular de la elasticidad
Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal 97
lineal, por serel más sencillo y el de más fácil aplicación. Este modelo tie-
ne, por un lado, innumerables aplicaciones a la mecánica estructural y de
máquinas. Por otro, también adolece de graves limitaciones que impiden su
uso generalizado para problemas más complejos, donde la hipótesis de pe-
queñas deformaciones es inaceptable. Mencionamos a continuación alguna
de éstas, dejando para cursos más avanzados el estudio de la elasticidad no
lineal y de la teoŕıa no lineal de sólidos deformables ([1, 4, 2]).
4.10.1. Limitaciones en la estática
La ecuación del equilibrio de fuerzas div�+f̄ = 0 es estrictamente cierta,
incluso aunque las deformaciones sean enormes, siempre que se defina con
precisión el tensor � y las fuerzas volumétricas f̄ . La dificultad aparece
cuando un cuerpo, debido a su deformación, cambia significativamente de
forma y tamaño, de tal manera que las fuerzas por unidad de área inicial
y las fuerzas por unidad de área deformada no son parecidas. Entonces, es
necesario especificar a qué área hace referencia el tensor de tensiones.
En particular, el tensor de tensiones de Cauchy � se define como la fuerza
que se hace, por unidad de área deformada a través de un diferencial de
área. El razonamiento para llegar a la ecuación del equilibrio en la llamada
configuración deformada es idéntico al empleado en el Caṕıtulo 2.
Sin embargo, como la configuración deformada no es conocida a priori
resulta que para poder definir el tensor de tensiones y expresar la ecuación
del equilibrio es necesario haber resuelto el problema con anterioridad. Para
evitar este argumento circular, se proponen otros tensores de tensión. Por
ejemplo, el (primer) tensor de Piola-Kirchho↵ es el tensor de tensiones que
expresa las fuerzas que se ejercen sobre un diferencial de área, por unidad
de área sin deformar. Pero este no es el único tensor de tensiones útil en
mecánica de sólidos. Al contrario, existen varios más que son útiles y cuya
descripción se puede encontrar en libros más avanzados.
4.10.2. Limitaciones en la cinemática
Como ya se ha explicado, el tensor de deformaciones infinitesimales "
sólo mide deformaciones de forma exacta cuando éstas y los desplazamien-
tos son infinitesimales. Cuando no lo son, el tensor " sólo proporciona una
aproximación a las auténticas deformaciones.
Los tensores de deformación válidos en cualquier situación deben de cum-
plir, al menos, dos condiciones. La primera es que si el entorno de un punto
(deformado o no) sufre un desplazamiento de sólido ŕıgido de magnitud ar-
bitraria, la deformación no debe de alterarse. La segunda condición es que
cuando las deformación y desplazamientos sean muy pequeños, el tensor de
deformaciones coincida con ".
Bajo estas dos premisas existen infinitos tensores de deformación válidos.
98 Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal
-2
-1
0
1
2
3
4
0.5 1 1.5 2 2.5 3
E
(m
)
L/L
o
m = �2
m = 0
m = 1
m = 2
Figura 4.10: Medidas de deformación uniaxial.
El más sencillo de comprender, el llamado tensor de deformación de Green-
Lagrange, se define como
E = 1
2
((I + gradu)T (I + gradu) − I) , (4.99)
y ya apareció en el Caṕıtulo 3 en el cálculo de las deformaciones longitudina-
les, aunque eliminamos el término cuadrático al suponer que los gradientes
gradu eran pequeños.
Para comprender el por qué de esta variedad de medidas de deforma-
ción sin necesidad de comprender los detalles de la cinemática de medios
continuos podemos estudiar la deformación (unidimensional) de una barra
de longitud L
o
al ser estirada o comprimida hasta una longitud L. En este
caso, las medidas de deformación
E(m) = �������
log L
L
o
si m = 0 ,
1
m
�Lm
L
m
o
− 1� si m ≠ 0 , (4.100)
son todas ellas válidas. En la figura se pueden comparar cuatro medidas de
deformación del tipo (4.100): la llamada deformación de Almansi (m = −2),
la de Hencky o logaŕıtmical (m = 0), la “ingenieril” (m = 1) y la de Green-
Lagrange (m = 2). Se puede observar como para deformaciones pequeñas
(L�L
o
≈ 1) todas ellas coinciden.
4.10.3. Limitaciones del modelo constitutivo elástico
La relación constitutiva elástica lineal, como se indicaba anteriormen-
te, es extremadamente útil y se emplea en todos los cálculos habituales de
estructuras y diseño de máquinas. Sin embargo presenta algunas paradojas
Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal 99
que señalan a que no puede ser completamente válido. La más importante
se puede explicar incluso con un modelo unidimensional: en un ensayo de
tracción/compresión unidimensional se tiene que �
xx
= E✏
xx
. Esta expresión
indica que para obtener un alargamiento ✏ = 0,1 se require la misma tensión
(en módulo) que para obtener un acortamiento ✏ = −0,1. Aunque esto puede
ser aproximadamente cierto para ✏ pequeño, claramente no puede ser válido
para valores grandes de la deformación.
Problemas
4.1.
2
p
3
6
2
p
3
2
30
o
Dibuja sobre la hipotenusa del
triángulo rectángulo de la figura la
tensión normal y tangencial corres-
pondiente a su estado tensional. Di-
buja además los ejes principales de
tensión (Nota: las tensiones están
expresadas en MPa).
4.2.
5 + 2
p
3
2
5
4
De un punto en un cuerpo deforma-
ble se extrae un triángulo equilátero
diferencial del cual se conoce el esta-
do tensional sobre alguna de sus ca-
ras. Dibuja el diagrama de Mohr del
estado tensional del punto y com-
pleta el valor de los vectores tensión
de la figura, sabiendo que los valo-
res indicados están en unidades de
MPa. Dibuja la posición de los ejes
principales sobre el triángulo.
4.3.
x
y
45
A
C
B
Se colocan tres galgas extensométri-
cas sobre la superficie de un cuerpo
deformable como se indica en la fi-
gura. Si las galgas miden:
"
A
= 10−3 , "
B
= 2⋅10−3 , "
C
= −3⋅10−3 ,
y se sabe que el sólido está en un
estado de tensión plana, siendo z el
eje de tensión nula. Calcular el ten-
sor de deformación completo en el
punto en el que las galgas realizan
las mediciones (E = 20000 Kp/mm2
y ⌫ = 0,35).
100 Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal
4.4. Dados los estados tensionales A y B correspondientes a estados planos
de tensión,
a) Considerar el estado C que resulta de sumar las tensiones que crean
los estados A y B. Dibujar el diagrama de Mohr correspodiente a este
tercer estado.
b) Determinar de forma gráfica el valor de � para que el estado C sea un
estado de cortante puro.
c) Determinar de forma gráfica el valor mı́nimo de � para que en el estado
C no haya compresión en ningún plano.
d) Determinar de forma gráfica el valor máximo de � para que en el estado
C no haya tracción en ningún plano.
e) Resuelve anaĺıticamente las tres preguntas anteriores.
(NOTA: las tensiones en el estado A están expresadas en MPa).
44
3
3
4
4
3
3
�
�
45
Estado A Estado B
Figura 4.11: Problema 4.4.
Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal 101
4.5.
1 2
5
5
1
A
B
(Tensiones en MPa)
Un punto de un cuerpo tiene un es-
tado tensional plano cuya represen-
tación gráfica se adjunta.
a) Dibuja el diagrama de Mohr
del estado tensional.
b) Identifica sobre la circunferen-
cia de Mohr el estado tensio-
nal de las caras A y B.
c) Calcula a partir de la figura el
valor de las tensiones princi-
pales.
d) Indica el ángulo (y el sentido)
que forma la normal n
A
con la
dirección principal primera.
4.6.
2
3
(Tensiones en MPa)
2
I
II
La figura indica el estado tensional
plano de un punto en un cuerpo de-
formable.
a) Halla el valor de la tensión
normal � sabiendo que la ten-
sión cortante máxima en ese
punto es de 5 MPa.
b) Dibuja el ćırculo de Mohr
correspondiente al estado de
tensión resultante.
c) Identifica, sobre el ćırculo, el
estado tensional de la cara I y
de la cara II.
4.7.
44
2
2
2
2
(Tensiones en MPa)
Un punto de un sólido deformable
se encuentra sometido a un esta-
do plano de tensión representado
por la figura de la izquierda. En-
contar gráficamente las tensiones en
las tres caras del triánguloequiláte-
ro diferencial de la derecha centrado
en el mismo punto.
102 Caṕıtulo 4. Elasticidad lineal
4.8.
x
y
Un sólido elástico isótropo se en-
cuentra en un estado de tensión pla-
na. Uno de sus puntos, que denomi-
namos P , tiene un estado tensional
que en el sistema de coordenadas xy
de la figura (siendo z el eje normal
al plano de tensión nula) tiene la si-
guiente respresentación matricial:
[�]
xy
= � 4 −1−1 2 � MPa
a) Dibuja el diagrama de Mohr
del estado plano de tensión en el punto P .
b) Calcula las componentes
intŕınsecas del vector tensión
sobre cada una de las caras
del triángulo diferencial de la
figura, si está centrado en el
punto P .
4.9. Una viga de acero (E = 210 GPa, ⌫ = 0,3) está sometida a una tracción
pura de 100 MPa. Calcular su deformación volumétrica.
4.10. El estado tensional en un punto de un sólido de acero, cuando se
refiere a una base ortonormal, tiene por expresión
� = �������
30 20 0
20 −10 0
0 0 70
������� MPa
Calcular la enerǵıa interna del punto por unidad de volumen de dos maneras
distintas:
a) Empleando la expresión directa de la enerǵıa complementaria y
b) Calculando la deformación asociada y, a partir de ésta, la enerǵıa elásti-
ca.
4.11. Un material ortótropo tiene la siguiente matriz de elasticidades
[C] =
��������������
100 10 15 0 0 0
10 40 5 0 0 0
15 5 8 0 0 0
0 0 0 6 0 0
0 0 0 0 7 0
0 0 0 0 0 4
��������������
MPa
Bibliograf́ıa 103
Definimos la siguiente ley de Hooke generalizada
"
11
= �11
E
11
− ⌫12
E
22
�
22
− ⌫13
E
33
�
33
"
22
= �22
E
22
− ⌫21
E
11
�
11
− ⌫23
E
33
�
33
"
33
= �33
E
33
− ⌫31
E
11
�
11
− ⌫32
E
22
�
22
"
23
�2 = �23
G
23
"
13
�2 = �13
G
13
"
12
�2 = �12
G
12
,
sabiendo que para que la matriz de flexibilidades [C]−1 sea simétrica de-
berá verificarse además
⌫
ij
E
jj
= ⌫ji
E
ii
para toda pareja i ≠ j. Determina el valor de las constantes E
11
, E
22
, E
33
,
⌫
12
, ⌫
13
, ⌫
23
, G
12
, G
13
, G
23
.
4.12. Comprueba que, en problemas planos, las ecuaciones de Lamé se pue-
den escribir como
� = �̄ tr(")I + 2µ "
siendo
�̄ = ���������
� deformación plana ,
2�µ
� + 2µ tensión plana .
Bibliograf́ıa
[1] A E Green and W Zerna. Theoretical elasticity. 1968.
[2] G A Holzapfel. Nonlinear solid mechanics: a continuum approach for
engineering. John Wiley & Sons, 2000.
[3] J E Marsden and T J R Hughes. Mathematical foundations of elasticity.
Prentice-Hall Englewood Cli↵s, 1983.
[4] R W Ogden. Non-linear elastic deformations. 1984.
[5] W S Slaughter. The linearized theory of elasticity. 2002.
[6] C Truesdell and W Noll. The non-linear field theories of mechanics.
Springer, second edition, 1992.
104 Bibliograf́ıa
Apéndice A
Propiedades mecánicas de
algunos materiales comunes
En este apéndice se recogen los valores t́ıpicos de las propiedades en
materiales comúnmente empleados en ingenieŕıa.
Nombre Tipo Módulo de Young Coef. Poisson Densidad
(GPa) (ton/m3)
Acero Metal 210 0.30 7.8
Aluminio Metal 70 0.34 2.7
Cobre Metal 135 0.35 8.3
Hormigón Cerámico 50 0.20 2.5
Nylon Poĺımero 3 0.42 1.1
Titanio metal 100 0.36 4.5
105
106 Caṕıtulo A. Propiedades mecánicas de algunos materiales comunes