formulario calculo variable compleja

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FORMULARIO DE VARIABLE COMPLEJA 
 
z = x + iy, Re z = x, Im z = y; x1 + iy1 = x2 + iy2 si y 
solo si x1=x2 y y1=y2. 
(x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2). 
(x1 + iy1)*(x 2 + iy2)=(x1x2–y1y2) + i(y1x2+x1y2) 
( ).0,
2222
1 ≠






+
−+
+
=− z
yx
y
i
yx
x
z
 , 1
21
2
1 −= zz
z
z 
22 yxz += , iyxz −= , 2121 zzzz +=+ 2121 zzzz = 
; 2zzz = , 
2121 zzzz =
 
2121 zzzz +≤+
 θcosrx = 
θsenry = θcisrz = )cis( 212121 θθ += rrzz ; 
)cis( 21
2
1
2
1 θθ −=
r
r
z
z θnrz nn cis= ; 
n
k
rz nn
)º360(
cis/1
+= θ 
)(zfw = ; ),(),()( yxivyxuzf += 
)sen(cos yiyee xz += ; wzwz eee =+ ; 0≠ze 
xz ee = ; periodica esze ; 
zz ee = 
Ζ∈=⇔= nnize z ,21 π ; 
i
ee
z
iziz
2
sen
−−= 
2
cos
iziz ee
z
−+= ; 1cossen
22 =+ zz 
)sen()sen( zz −=− ; )cos()cos( zz =− 
wzwzwz sencoscossen)sen( ±=± 
wzwzwz sensencoscos)cos( ∓=± 
2
senh
zz ee
z
−−= ; 
2
cosh
zz ee
z
−+=
 
1senhcosh 22 =− zz ; )senh()senh( zz −=− 
)cosh()cosh( zz =− 
wzwzwz senhcoshcoshsenh)senh( ±=± 
wzwzwz senhsenhcoshcosh)cosh( ±=± 
ziiz senhsen = ; ziz coshcos = zizz arglnln += 
abb ea ln= . Sea C⊂Af : con A abierto y C∈L 
Lzf
zoz
=
→
)(lim si para toda e>0 existe d > 0 tal que para 
δ<−< 00 zz se tiene que ε<− Lzf )( . Si )(lim zf
zoz→
 
existe este es único. Si Lzf
zoz
=
→
)(lim y Mzg
zoz
=
→
)(lim , 
entonces: MLzgzf
zoz
+=+
→
)()(lim 
LMzgzf
zoz
=
→
)()(lim 
M
L
zg
zf
zoz
=
→ )(
)(
lim 
Si f y g son iguales en una vecindad de z0 excepto en z0 y 
Lzf
zoz
=
→
)(lim entonces Lzg
zoz
=
→
)(lim
 
Si f(z)=u(x,y)+iv(x,y), entonces: 
21)(lim iLLLzf
zoz
+==
→
 
si y solo si 
1
)0,(),(
),(lim Lyxu
yxoyx
=
→
 y 
2
)0,(),(
),(lim Lyxv
yxoyx
=
→
. 
f es continua en z0 si )()(lim 0zfzf
zoz
=
→
 
Si f y g son continuas en z0 entonces: 
f+g es continua en z0. fg es continua en z0 
f/g es continua en z0 siempre que g(z0) ≠ 0 
f(z)=u(x,y) + iv(x,y) es continua en z0=x0+iy0 si y solo si 
u(x,y) y v(x,y) son continuas en (x0, y0). 
z
zfzzf
zf
z ∆
−∆+=
→∆
)()(
lim)('
0
 
0
0
0
0
)()(
lim)('
zz
zfzf
zf
zz −
−=
→
 
a) f es derivable en z0 si f’(z0) existe. 
f es derivable en A⊂C si f’(z0) existe ∀z0∈A, en este 
caso se dice que f es analítica u holomorfa en A. 
b. f es analítica en z0 si f’ existe en una vecindad de 
z0. 
Una función analítica en C se llama entera. 
Si f’(z0) entonces f es continua en z0. 
Teorema de Cauchy – Riemann. Si f(z)=u+iv es 
analítica en z0=x0+iy0 entonces las funciones u y v 
satisfacen: 
y
v
x
u
∂
∂=
∂
∂ y 
x
v
y
u
∂
∂−=
∂
∂ en (x0, y0) 
x
v
i
x
u
zf
∂
∂+
∂
∂=)(' 
y
u
i
y
v
zf
∂
∂−
∂
∂=)(' 
y
u
i
x
u
zf
∂
∂−
∂
∂=)(' 
x
v
i
y
v
zf
∂
∂+
∂
∂=)(' 
f(z)=u+iv es analítica en (x0,y0) si y solo si u y v tienen 
primeras derivadas parciales continuas en (x0,y0) y 
satisfacen las ecuaciones de Cauchy – Riemann en 
(x0,y0). 
Si f y g son analíticas en A, entonces: 
f+g es analítica en A y (f+g)’ = f’ + g’. 
fg es analítica en A y (fg)’ = fg’ + f’g. 
f/g es analítica en A y (f/g)’=(gf’-fg’)/g2 g≠0. 
 
Integrales: 
∫∫ =
b
a
dtttfdzzf )('))(()( γγ
γ
 
[ ][ ]dttiytxyxivyxudzzf b
a
)(')('),(),()( ++=∫∫γ 
∫∫ ⋅+⋅− γγ ),(),(),(),( dydxuvidydxvu
 
[ ] ∫∫∫ +=+ γγγ dzzgdzzfdzzgzf )()()()(
 
∫∫ −=− γγ dzzfdzzf )()(
 
∫∫∫ +=+ 2121 )()()( γγγγ dzzfdzzfdzzf
 
∫∫ Γ= dzzfdzzf )()(γ
 Si Γ es una reparametrización de 
γ. 
Si ∃ F analítica tal que F’=f entonces: 
)(
)(
|)())(())(()(
b
a
zFaFbFdzzf
γ
γγ
γγ =−=∫ 
Teorema de Cauchy – Goursat. Si f es analítica dentro 
y sobre una curva cerrada simple, entonces: 
∫ =γ 0)( dzzf
 
Si f es analítica en una región simplemente conexa A y γ 
es suave en A, entonces: ∫ =γ 0)( dzzf
. 
Análisis de Fourier 
Si n y m ∈ Ζ, no negativos distintos, 
∫ ∫− − ==
π
π
π
π
0)sen()sen()cos()cos( dxnxmxdxnxmx
 
Para cualquier par de enteros m y n 
∫− =
π
π
0)sen()cos( dxnxmx
 
Para cualquier entero positivo n: 
∫ ∫− − ==
π
π
π
π
πdxmxdxnx )(sen)(cos 22
 
Sea f una función integrable en [-L, L], los coeficientes 
de fourier en [-L, L] son: 
∫−=
L
L
dxxf
L
a )(
2
1
0
 
∫−=
L
Ln
dx
L
xn
xf
L
a )cos()(
1 π 
∫−=
L
Ln
dx
L
xn
xf
L
b )sen()(
1 π 
La serie de Fourier de f es: 
∑
∞
=











+




+
1
0 sencos
n
nn L
xn
b
L
xn
aa
ππ 
Sea f una función integrable en [-L, L]. Si f es par ⇒ 
∫∫ =−
LL
L
dxxfdxxf
0
)(2)( Si f es impar 
0)( =∫−
L
L
dxxf
 Si f es par, la serie de fourier es 
∑
∞
=











+
1
0 cos
n
n L
xn
aa
π en donde ∫=
L
dxxf
L
a
00
)(
1 y 
∫=
L
n dxL
xn
xf
L
a
0
)cos()(
2 π 
Si f es impar su serie de Fourier es 
∑
∞
=












1
sen
n
n L
xn
b
π
 en 
donde 
∫=
L
n dxL
xn
xf
L
b
0
)sen()(
2 π 
Si f continua en [-L, L] y f(L)=f(-L) y f’ c.p.t entonces: 
∑
∞
=











+




−=
1
cossen)('
n
nn L
xn
nb
L
xn
na
L
xf
πππ
 
∑∫
∞
=
− 










 −




−




++=
1
0 )cos(cossen
1
)()(
n
nn
x
L
n
L
xn
b
L
xn
a
n
L
Lxadttf πππ
π
La serie de Fourier en cosenos de f en [0, L] es como la 
serie de una función par. La serie de Fourier en senos es 
como la serie de una función impar. 
La transformada finita de Fourier en senos Fs de f se def: 
∫=
π
0
)sen()()( dxnxxfnFs
. Sean f y f’ cont en [0, pi], f’’ 
c.p.t. ⇒ { } )()1()0()()('' 2 πfnnfnFnxfS nsn −−+−= 
con n=1,2,3,... 
La transformada finita de Fourier en cosenos Fc de f: 
∫=
π
0
)cos()()( dxnxxfnFc
. Sean f y f’ cont en [0, pi], 
f’’ c.p.t. ⇒ { } )(')1()0(')()('' 2 πffnFnxfC nCn −+−−= 
con n=1,2,3,... 
Serie de Fourier compleja de f (con periodo T): 
∑
∞
−∞=n
tin
nec
0ω donde ω0=2π/T y 
∫−
−=
2/
2/
0)(
1 T
T
tin
n dtetfT
c ω
 
La integral de Fourier o representación integral: 
[ ]∫
∞
+
0
)sen()()cos()(
1 ωωωωω
π
dtBtA
t ∈ R en donde: 
∫
∞
∞−
= ξωξξω dfA )cos()()(
 y 
∫
∞
∞−
= ξωξξω dfB )sen()()(
 
La integral de Fourier en cosenos: 
[ ]∫
∞
0
)cos()(
1 ωωω
π
dtA
 
donde 
∫
∞
=
0
)cos()(2)( ξωξξω dfA
 pasa lo mismo con la 
integral de Fourier en senos. 
La integral de fourier compleja: [ ]∫∞∞− ωωπ ω deC ti)(
1 
donde: 
∫
∞
∞−
= ξξω ωξ defC i)()(
 
La transformada de fourier: 
∫
∞
∞−
== dtetfFtfF tiωω )()()}({
 
La transformada inversa de Fourier: 
∫
∞
∞−
− == ωω
π
ω ω deFtfFF ti)(
2
1
)()}({1
 
 
 
Tabla de derivadas: 
1=x
dx
d 
dx
du
nuu
dx
d nn 1−=
 
dx
dv
u
dx
du
vuv
dx
d += 
dx
du
u
u
dx
d
2
1=
 
2
)/()/(
v
dxdvudxduv
v
u
dx
d −=
 
si y=f(u), u=g(x):
dx
du
du
dy
dx
dy =
 
dx
du
uu
dx
d
cossen = 
dx
du
uu
dx
d
sencos −= 
dx
du
uu
dx
d 2sectg =
 
dx
du
uu
dx
d 2csccot −= 
dx
du
uuu
dx
d
tgsecsec = 
dx
du
uuu
dx
d
cotcsccsc −= 
21
/
arcsen
u
dxdu
u
dx
d
−
=
 
21
/
arccos
u
dxdu
u
dx
d
−
−= 21
/
arctg
u
dxdu
u
dx
d
+
= 
21
/
cot
u
dxdu
uarc
dx
d
+
−= 
1
/
sec
2 −
=
uu
dxdu
uarc
dx
d 
1
/
csc
2 −
−=
uu
dxdu
uarc
dx
d 
dx
du
uu
dx
d
coshsenh = 
dx
du
uu
dx
d
senhcosh = 
dx
du
uhu
dx
d 2sectgh =
 
dx
du
uuc
dx
d 2coshtgh −= 
dx
du
uhuhu
dx
d
tghsecsec −= 
dx
du
uhuhu
dx
d
cothcsccsc −= 
dx
du
u
u
dx
d 1
ln =
 
dx
du
au
u
dx
d
a ln
1
log =
 
dx
du
ee
dx
d uu =
 
dx
du
aaa
dx
d uu ln=
 
dx
dv
uu
dx
du
vuu
dx
d vvv ln1 += − 
INTEGRALES: 
cudu +=∫ cwvudwdvdu +−+=−+∫ )( 
1;
1
1
−≠+
+
=
+
∫ ncn
u
duu
n
n ∫ += cuu
du
ln 
cedue uu +=∫ .;
ln
cteac
a
a
dua
u
u =+=∫
 
cuuduu +−=∫ )1(lnln cueduue
uu +−=∫ )1( 
cuduu +−=∫ cossen
 cuduu +=∫ sencos 
∫ += cuudu seclntg
 cuduu +=∫ senlncot 
cuuduu ++=∫ tgseclnsec 
cuuduu +−=∫ cotcsclncsc cuduu +=∫ tgsec
2 
cuduu +−=∫ cotcsc
2 cuuduu +=∫ sectgsec 
cuuduu +−=∫ csccotcsc ∫ +=+
c
aaau
du 1
arctg
1
22
 
∫ +−=++
−=
−
− cc
au
au
au
du
a
u
a
1
2
1
2
1
22
tghln
∫ +=+−
+=
−
−cc
ua
ua
ua
du
a
u
a
1
2
1
2
1
22
tghln
 
∫ +=
−
c
a
u
ua
du
arcsen
22
 
cauu
au
du +±+=
±
∫
22
22
ln
 
)(cosh)(senh 11 −+=++= −− c
a
u
c
a
u 
c
a
u
aauu
du +=
−
−
∫
1
22
sec
1 




 +−=− −∫ auauauduua
1222
2
122 sen
 
±±=±∫
22
2
122 ( auuduau cauua +±+ )ln 222