calculo-avanzado-usach

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Universidad de Santiago de Chile.
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y C. C.
Cálculo Avanzado
Miguel Martinez - Carlos Silva - Emilio Villalobos
Derechos de Autor
Autor: c©Universidad de Santiago de Chile
Se autoriza la reproducción parcial o
total de esta obra, con fines académicos,
por cualquier forma, medio o procedimiento,
siempre y cuando se incluya la cita
bibliográfica del documento.
Agradecimientos
Este texto fue financiado en el marco de los proyectos concursables de
innovación docente que promueve anualmente la Universidad de Santiago de
Chile a través de la Vicerrectoŕıa Académica por intermedio de la Dirección
de Docencia.
El centro motor que motivó a los autores a emprender tan significativo
desaf́ıo fue su compromiso con el proceso de enseñanza aprendizaje que se
lleva semestre a semestre en la Universidad de Santiago, con los estudiantes
de ingenieŕıa quienes tienen el imperativo de mejorar sus aprendizajes y elevar
sus estándares de competencias con la finalidad de que puedan asumir con
propiedad el desaf́ıo de sus asignaturas profesionales y de especialidad con
un mayor empoderamiento en el contexto de: teoŕıa, práctica y aplicaciones
a problemas en las áreas de sus distintas especialidades.
En general, cada caṕıtulo comienza con una presentación de definiciones,
principios y teoremas, junto con material ilustrativo. Los problemas resueltos
sirven para ilustrar la teoŕıa y suministrar herramientas de análisis de los
principios básicos tan importantes en el aprendizaje activo de los estudiantes.
El gran número de problemas resueltos y aplicaciones sirven para encauzar el
aprendizaje del material, aśı como las autoevaluaciones propuestas al fin de
cada unidad. Hemos escogido un enfoque y nivel de profundidad de acuerdo
con lo que se espera del curso de Cálculo Avanzado, asignatura que se imparte
durante el tercer semestre del Plan Común de la Carrera de Ingenieŕıa Civil
de la Facultad de Ingenieŕıa de Universidad de Santiago de Chile.
El objetivo del primera parte de este texto es presentar los conceptos
básicos y las aplicaciones de las series de Fourier, y las funciones integrales,
como asimismo, ilustrar su utilización en la resolución de problemas de ecua-
ciones en derivadas parciales y aplicaciones en el campo de la f́ısica e inge-
nieŕıa.
En la segunda parte se abordan los temas de funciones vectoriales y cálcu-
lo diferencial de funciones de dos o más variables y sus aplicaciones, incluyen-
do aplicaciones e interpretaciones geométricas y f́ısicas que contribuyan a la
comprensión de los estudiantes.
Unido a lo anterior, en la tercera parte se incluyen los temas de integración
múltiple, integral de ĺınea , superficie y los teoremas de Green, Gauss y Stokes
por sus múltiples aplicaciones en los campos de la f́ısica y ciencias de la
ingeniera
Finalmente, queremos aprovechar la ocasión para expresar nuestro es-
pecial agradecimiento hacia nuestros colegas de la Coordinación de Cálculo
Avanzado que con sus cŕıticas constructivas y opiniones han ayudado a el
i
enriquecimiento del material que conforma este texto. Deseamos también
agradecer la participación directa e indirecta de nuestros estudiantes con los
cuales pusimos a prueba el material que se estaba generando incluyéndolos
en la página web de la asignatura de Cálculo Avanzado.
Agradecemos también muy especialmente la colaboración del profesor
Omar Ramos por la confección de diagramas, figuras e imágenes de fun-
ciones bi y tridimensionales que ilustran conceptos y problemas. También
se encargó de la versión Latex de los distintos archivos que conforman el
manuscrito del texto.
No obstante lo anterior, la responsabilidad por los eventuales errores o
inexactitudes que se puedan encontrar en el texto corresponde a los autores,
quienes estarán atentos para recibir cualquier comentario o sugerencia que
permita mejorar su contenido en las siguientes direcciones:
miguel.martinez@usach.cl, carlos.silva.c@usach.cl,emilio.villalobos@usach.cl.
Los Autores:
Miguel Mart́ınez
Concha Carlos Silva Cornejo
Emilio Villalobos Maŕın
ii
Prefacio
El material presentado en el texto contiene los temas tratados en el curso
de Cálculo Avanzado, asignatura semestral para las carreras de Ingenieŕıa
de la Universidad de Santiago de Chile, correspondiente al área de Ciencias
Básicas, tiene por prerrequisitos las asignaturas de Cálculo I y Cálculo II de
primer año. Proporciona los conceptos, habilidades y técnicas que permiten
adquirir las competencias matemáticas alineadas con el perfil de competen-
cias profesionales, necesarias para cursar con éxito las asignaturas de ciencias
básicas de la ingenieŕıa e ingenieŕıa aplicada. Los temas tratados por el texto
y en el orden de aparición son los siguientes: Series e Integrales de Fourier,
que forma parte de este temario porque por razones de tiempo no se incluye
en el Caṕıtulo de Series de primer año, este tema resulta necesario en la
formación básica de alumnos de ingenieŕıa sobre todo cuando necesiten re-
solver ecuaciones diferenciales parciales usando el método de separación de
variables o bien en aplicaciones en el campo de la ingenieŕıa. Este tema bien
podŕıa formar parte de un texto de ecuaciones diferenciales. El tema de fun-
ciones vectoriales de una variable real trata la importancia de la derivada de
este tipo de funciones, interpretación geométrica y anaĺıtica, y su aplicación
a problemas de movimiento, comportamiento de curvas, especialmente en lo
que tiene que ver con caracteŕısticas geométricas de ellas. Las funciones es-
calares son tratadas en detalle, se analiza el concepto de ĺımite y continuidad
considerando funciones de dos variables, generalizando en aquellos casos que
lo amerita, se ve el tema de la diferenciación con todas sus potencialidades
que garantizan la derivación tanto la derivación parcial, como la derivación
direccional y derivación impĺıcita, este tema termina con máximos y mı́ni-
mos y problemas aplicados de optimización. Este último caṕıtulo tratan los
temas de integración, integrales dobles y triples en coordenadas cartesianas
y generalizando con cambios de coordenadas, integral de ĺınea para funciones
escalares y vectoriales, propiedades de los campos gradientes y el teorema de
Green; integral de superficie para funciones escalares y vectoriales finalizan-
do con el estudio de los teoremas de Gauss y Stokes. Los temas tratados de
acuerdo con los objetivos generales los podemos describir como sigue: Series
e integrales de Fourier
i) Analizar los conceptos asociados a la definición de la Serie de Fourier, sus
propiedades y procedimientos de cálculo, y aplicarlos a la resolución de
problemas de ingenieŕıa.
ii) Formular el concepto de Integral de Fourier, sus propiedades y métodos
de calculo y aplicar esta información en la solución de problemas de
ingenieŕıa.
iii
Funciones vectoriales
i) Analizar el concepto de diferenciación de funciones vectoriales, sus propiedades,
procedimientos para realizar cálculos y aplicarlos a la resolución de
problemas de Ciencia e Ingenieŕıa
ii) Utilizar los conceptos de vector tangente, normal , binormal, curvatura
y torsión e identidades de Frenet sus propiedades y procedimientos de
cálculos para emplearlos en la resolución de problemas.
Diferenciación parcial
i) Definir los conceptos de ĺımite, continuidad y describir las caracteŕısticas
gráficas de las funciones de varias variables en IR2 en IR.
ii) Analizar criterios para reconocer y evaluar la diferenciabilidad de una
función escalar de varias variables, usar su propiedades, métodos de
cálculos para su aplicación a la resolución de problemas de Ingenieŕıa.
iii) Generalizar el concepto de diferenciación para funciones compuestas e
impĺıcitas de varias variables, sus propiedades, métodos de cálculos y
su aplicación a la resolución de problemas de Ingenieŕıa
iv) Aplicar diferentes métodos para determinarmáximo y mı́nimos de una
función de varias variables y utilizarlos en la resolución de problemas
de optimización
Integración
i) Analizar el concepto de integral doble sus propiedades y procedimientos
de cálculo , y su aplicación a problemas de f́ısica e ingenieŕıa
ii) Analizar el concepto de integral triple sus propiedades y procedimientos
de cálculo, y su aplicación en problemas de f́ısica e ingenieŕıa.
iii) Analizar los conceptos de integral de trayectoria e integral de ĺınea, y
utilizar sus propiedades en la resolución de problemas matemáticos, de
f́ısica e ingenieŕıa
iv) Analizar los conceptos de integral de superficie, y utilizar sus propiedades
en la resolución de problemas matemáticos, de f́ısica e ingenieŕıa
Estructura de cada unidad Cada unidad en su desarrollo teórico y
fundamentación matemática enfatiza los conceptos, los teoremas que
avalan los procedimientos y las técnicas de resolución de problemas.
iv
Unido a lo anterior, en cada tema hay una unidad de problemas resuel-
tos, otra de problemas propuestos, algunos con soluciones y una unidad
de aplicaciones a los temas de ingenieŕıa. Finalmente, se incluye tam-
bién un instrumento de autoevaluación que consiste en un test con
problemas de desarrollo que mide el nivel de las competencias cogniti-
vas alcanzado por el estudiante. Este material pretende ser una fuente
de motivación que haga que los estudiantes perseveren en sus estudios
y puedan vencer las dificultades de aprendizaje, y alcanzar niveles que
le permitan rápidamente conectarse con los temas en que está inmerso
un problema y estructurar un a respuesta al problema usando diversas
herramientas matemáticas, esto le dará desde luego un plus durante
toda su vida profesional.
v
Índice general
1. Serie de Fourier 1
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Propiedades Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1. Lema Elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. La serie de Fourier de una función . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1. Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2. Atributos de la función . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3. Convergencia de las series de Fourier . . . . . . 9
1.3.4. La integral de funciones pares e impares . . . . 15
1.3.5. Teorema de las funciones pares y de las impares 16
1.4. Desarrollos llamados de medio rango . . . . . . . . . . 17
1.4.1. Extensión impar: . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2. Extensión par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5. Diferenciacion e Integración de la series de Fourier . . . 21
1.5.1. Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2. Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.3. Identidad de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6. Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.1. Criterio de convergencia de la integral de
Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.2. Integrales de Fourier de cosenos y senos . . . . . 31
1.7. Aplicaciones de Series de Fourier . . . . . . . . . . . . 38
vi
1.7.1. Onda cuadrada alta frecuencia . . . . . . . . . 38
1.7.2. Rectificador de onda completa. . . . . . . . . . 39
1.7.3. Ecuación de calor unidimensional . . . . . . . . 40
1.7.4. Ecuación de calor: barra aislada . . . . . . . . 41
1.7.5. Ecuación de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.7.6. Deflexión de una viga . . . . . . . . . . . . . . 44
1.8. Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.9. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.9.1. Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.9.2. Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.10. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.10.1. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.11. Auto evaluaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2. Funciones Vectoriales de una variable real 92
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.2. Funciones Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.3. Ĺımite de una función vectorial. . . . . . . . . . . . . . 95
2.3.1. Teorema del ĺımite . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.3.2. Operaciones con funciones vectoriales . . . . . 98
2.3.3. Teoremas del algebra de ĺımites . . . . . . . . . 98
2.3.4. Teorema: producto de función escalar por vec-
torial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.5. La Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.6. Regularidad de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.6.1. Camino regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.6.2. Propiedades de la Derivada . . . . . . . . . . . 103
2.7. Parametrización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.7.1. Ejemplos de reparametrizaciones . . . . . . . . 106
2.8. Longitud de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
vii
2.8.1. La Longitud de Arco como Parámetro . . . . . 109
2.8.2. Parametrización por Longitud de Arco . . . . . 111
2.9. Trayectorias y curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.10. Vectores Unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.10.1. Vector Tangente unitario . . . . . . . . . . . . 115
2.10.2. Vector Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.10.3. Vector Binormal . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.11. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.11.1. Cálculo de curvatura usando parámetro t cualquiera
en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.12. Planos por un punto de la curva . . . . . . . . . . . . . 123
2.12.1. Plano Osculador . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.12.2. Plano Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.12.3. Plano Rectificante . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.12.4. Recta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.12.5. Recta Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.12.6. Recta Binormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.13. Torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.13.1. Cálculo de la torsión usando parámetro t cualquiera
(en R3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.14. Formulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.15. Aplicaciones de Funciones Vectoriales y Curvas . . . . 131
2.15.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.16. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
2.17. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
2.17.1. Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
2.18. Auto Evaluaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
viii
3. Funciones de varias variables 189
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.2. Funciones Escalares de Variable Vectorial . . . . . . . . 193
3.2.1. Conceptos Topológicos . . . . . . . . . . . . . . 193
3.2.2. Aspectos Geométrico de las Funciones Escalares 197
3.2.3. Gráfica de una Función . . . . . . . . . . . . . . 197
3.2.4. Curvas y Superficies de Nivel . . . . . . . . . . 198
3.2.5. Ĺımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3.2.6. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
3.2.7. Derivadas Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.3. Diferenciabilidad en dos variables . . . . . . . . . . . . 209
3.3.1. Derivada Direccional . . . . . . . . . . . . . . . 211
3.3.2. Plano tangente y recta normal . . . . . . . . . . 215
3.3.3. Función Compuesta. La Regla de la Cadena. . . 218
3.3.4. Función Impĺıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
3.3.5. Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
3.3.6. Máximos y Mı́nimos . . . . . . . . . . . . . . . 228
3.3.7. Extremos Restringidos . . . . . . . . . . . . . . 233
3.4. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
3.4.1. Continuidad y diferenciabilidad. . . . . . . . . 245
3.4.2. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . 248
3.4.3. Derivación Impĺıcita . . . . . . . . . . . . . . . 251
3.4.4. Plano Tangente a una Superficie . . . . . . . . . 256
3.4.5. Derivadas Direccionales . . . . . . . . . . . . . . 258
3.4.6. Valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
3.4.7. Multimplicadores de Lagrange para extremos re-
stringidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
3.4.8. Aplicación al cálculo de errores . . . . . . . . . 275
3.5. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
3.5.1. Ĺımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
3.5.2. Diferenciabilidad, continuidad . . . . . . . . . . 277
ix
3.5.3. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . 278
3.5.4. Derivadas Direccionales . . . . . . . . . . . . . . 280
3.5.5. Puntos cŕıticos máximos y mı́nimos . . . . . . . 284
3.6. Aplicaciones Derivada Direccional . . . . . . . . . . . . 286
3.7. Aplicaciones de Máximos y Mı́nimos . . . . . . . . . . 289
3.7.1. Aplicación al campo de la mecánica . . . . . . . 289
3.7.2. Aplicaciones a la geometŕıa . . . . . . . . . . . 292
3.7.3. Aplicación al campo de la economı́a . . . . . . 297
3.7.4. Problemas Propuestos de Aplicaciones . . . . . 302
3.8. Auto evaluaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
4. Integración Multiple 315
4.1. Integrales dobles y triples . . . . . . . . . . . . . . . . 315
4.1.1. Integrales Dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
4.1.2. Integrales sobre conjuntos acotados de R2 . . . 320
4.1.3. Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . 322
4.1.4. Áreas y Volumenes . . . . . . . . . . . . . . . . 327
4.1.5. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . 329
4.2. Aplicaciones de la integral doble . . . . . . . . . . . . 333
4.2.1. Masa de una región plana de densidad variable. 333
4.2.2. Momentos y centroide de una región plana . . . 334
4.3. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
4.3.1. Ideas preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
4.3.2. Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . 337
4.3.3. Teorema de la integral triple (Para dominios más
generales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
4.3.4. Cambio de variable para integrales triples . . . 342
4.3.5. Formula del cambio de variable . . . . . . . . . 345
4.3.6. Masa, Momentos, y Centroide de una Región del
Espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
4.4. Ejercicios resueltos integrales triples y dobles . . . . . . 350
x
4.4.1. Cálculo de integrales dobles en coordenadas rectángu-
lares cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
4.4.2. Cambios de orden de Integración . . . . . . . . 361
4.4.3. Cambios de variables: Coordenadas polares . . . 363
4.4.4. Cambios de variables. Coordenadas curviĺıneas . 367
4.4.5. Cálculo de integrales triples en coordenadas rectángu-
lares cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
4.4.6. Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . 377
4.4.7. Coordenadas Ciĺındricas . . . . . . . . . . . . . 380
4.5. Ejercicios propuestos integrales dobles y triples . . . . . 389
4.5.1. Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
4.5.2. Cálculo de Integrales dobles usando transforma-
ción de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . 392
4.5.3. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
4.5.4. Integrales triples iteradas . . . . . . . . . . . . . 394
4.5.5. Integrales triples en coordenadas rectángulares
cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
4.5.6. Calcular las integrales dadas usando las coorde-
nadas adecuadas: . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
4.5.7. Resolver las integrales usando coordenadas esféri-
cas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
4.6. Aplicaciones integrales dobles y triples . . . . . . . . . 401
4.6.1. Volumenes de cuerpos en el espacio . . . . . . . 401
4.6.2. Área de figuras planas. . . . . . . . . . . . . . . 404
4.6.3. Momentos y centros de masa para placas planas
delgadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
4.6.4. Centroide de figuras geométricas . . . . . . . . . 407
4.6.5. Momentos y Centros de masa de un sólido . . . 412
4.6.6. Masa de un sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
4.6.7. Determinación del centroide dee un sólido . . . 424
4.7. Autoevaluación Integrales dobles y triples . . . . . . . 426
xi
5. Integral de Linea 436
5.1. Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
5.2. Cambio de parametrización . . . . . . . . . . . . . . . 446
5.2.1. Reparametrización . . . . . . . . . . . . . . . . 447
5.3. Independencia de trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . 449
5.4. Campos Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
5.4.1. Campo gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
5.4.2. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . 456
5.5. Aplicaciones de la integral de trayectoria . . . . . . . . 461
5.5.1. Área de una pared . . . . . . . . . . . . . . . . 465
5.6. Aplicaciones de la integral de ĺınea . . . . . . . . . . . 467
5.7. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
5.7.1. Campo conservativo . . . . . . . . . . . . . . . 481
5.7.2. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . 485
5.8. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
5.8.1. Integral de trayectoria . . . . . . . . . . . . . . 492
5.8.2. Integral de ĺınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
5.8.3. Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . 494
5.8.4. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . 495
5.9. Autoevaluaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
6. Integrales de superficie 504
6.1. Superficie orientada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
6.1.1. Integral de flujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
6.1.2. Superficies Parametrizadas. . . . . . . . . . . . 510
6.1.3. Vector normal a S : . . . . . . . . . . . . . . . . 510
6.1.4. Área de una superficie parametrizada . . . . . . 513
6.1.5. Integral de una función escalar sobre una super-
ficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
6.1.6. Integral de Superficie de campos vectoriales . . 517
6.1.7. Aplicación al campo de la f́ısica: . . . . . . . . . 519
xii
6.2. Teoremas de Gauss y de Stokes . . . . . . . . . . . . . 519
6.2.1. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
6.2.2. Teorema de la divergencia de Gauss. . . . . . . 520
6.2.3. Teorema de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . 524
6.3. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
6.3.1. Integrales de superficie . . . . . . . . . . . . . . 529
6.3.2. Integral de Flujo de un campo vectorial . . . . . 532
6.3.3. Teorema de la divergencia de Gauss . . . . . . . 537
6.3.4. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . 543
6.4. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
6.4.1. Área de una superficie . . . . . . . . . . . . . . 550
6.4.2. Integrales de funciones escalares sobre superficie 553
6.4.3. Integral de Flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
6.4.4. Teorema de la divergencia de Gauss . . . . . . . 557
6.4.5. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . 561
6.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
6.5.1. Aplicaciones Integral de Flujo . . . . . . . . . . 564
6.5.2. Aplicación del teorema de Gauss . . . . . . . . 568
6.5.3. Aplicación teorema de Stokes . . . . . . . . . . 573
6.5.4. Aplicacion teorema de Green . . . . . . . . . . 576
6.5.5. Aplicaciones al electromagnetismo . . . . . . . 580
6.6. Auto evaluaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
xiii
Caṕıtulo 1
Serie de Fourier
En el presente caṕıtulo se estudiarán los conceptos básicos , métodos
de cálculo de los coeficientes y condiciones de convergencia para repre-
sentar funciones mediante series e integrales de Fourier .
1.1. Introducción
Las funciones periódicasse presentan frecuentemente en una gran var-
iedad de problemas de f́ısica e ingenieŕıa, tales como propagación de
ondas en un medio, conducción del calor a lo largo de una varilla ,
resonancia nuclear magnética ,en consecuencia, abordar la solución de
tales problemas, requiere del estudio de la serie de Fourier.
La serie de Fourier es la representación de una función en términos
de una serie trigonométrica infinita cuyas bases son las funciones seno
y coseno. Algunas de las ventajas de ésta representación sobre otras
representaciones, tales como, las series de Taylor, son:
a) primero, se puede representar funciones periódicas en términos de
las bases seno y coseno que tienen diferentes frecuencias;
b) segundo, se puede representar funciones discontinuas en un punto o
seccionalmente continuas en un número finito de puntos;
c) tercero, permite encontrar la respuesta de un sistema que es pertur-
bado por una función periódica, en términos de una frecuencia funda-
mental y cada una de las frecuencias armónicas.
1
1.2. Propiedades Generales
Para problemas con condiciones de frontera periódicas en el intervalo
−L ≤ x ≤ L, nos preguntamos si es posible expresar una función como
una combinación lineal de funciones seno y coseno de frecuencias cada
vez mayores, como la siguiente serie infinita (conocida como serie de
Fourier de f(x)):
f(x) = a0 +
∞∑
n=1
(an cos
(
nπx
L
)
+ bn sin
(
nπx
L
)
) (1,1,1)
Obviando la igualdad, vale preguntarse ¿converge esta serie infinita?,¿qué condi-
ciones debe cumplir f para que se dé la convergencia?,¿cuándo converge
a f(x)?
Estas preguntas no tienen una respuesta sencilla. Sin embargo, las series
de Fourier normalmente funcionan bastante bien.
Supongamos que f admite desarrollo en serie de Fourier, ¿cómo se ob-
tienen los coeficientes a0, an y bn en términos de f(x) ?. Para responder
esta última pregunta necesitaremos del siguiente lema.
1.2.1. Lema Elemental
Lema 1.2.1. i) Si m y n son números enteros no negativos distintos,
entonces:∫ L
−L
cos
(nπx
L
)
cos
(mπx
L
)
dx =
∫ L
−L
sin
(nπx
L
)
sin
(mπx
L
)
dx = 0
(1.2.1)
ii) Para cualquier par de enteros no negativos m y n,entonces:∫ L
−L
cos
(nπx
L
)
sin
(mπx
L
)
dx = 0 (1.2.2)
iii)Para cualquier entero positivo n, entonces:∫ L
−L
cos2
(nπx
L
)
dx =
∫ L
−L
sin2
(nπx
L
)
dx = L (1.2.3)
2
Demostración:
Se prueba integrando directamente: usando la identidad cosα cos β =
cos(α− β) + cos(α + β)
2
i)
∫ L
−L
cos
(nπx
L
)
cos
(mπx
L
)
dx =
1
2
∫ L
−L
cos
(
(n−m)πx
L
)
dx+
1
2
∫ L
−L
cos
(
(n+m)πx
L
)
dx
=
1
2
L
(n−m) π
sin
(
(n−m) πx
L
)∣∣∣∣L
−L
+
1
2
L
(n+m) π
sin
(
(n+m) πx
L
)∣∣∣∣L
−L
= 0
Además, si m = 0 y n 6= 0 es facilmente verificable que la integral
es cero.
En forma similar se prueba que
∫ L
−L
sin
(nπx
L
)
sin
(mπx
L
)
dx = 0
ii) Usando la identidad trigonométrica sinα cos β =
sin(α− β) + sin(α + β)
2
∫ L
−L
cos
(nπx
L
)
sin
(mπx
L
)
dx =
1
2
L∫
−L
sin
(
(n−m) πx
L
)
dx+
1
2
L∫
−L
sin
(
(n+m)πx
L
)
dx
= −1
2
L
(n−m) π
cos
(
(n−m) πx
L
)
|L−L
−1
2
L
(n+m)π
sin
(
(n+m)πx
L
)
|L−L
= 0
A estas fórmulas integrales se les llama relaciones de ortogonalidad
y diremos que en tal caso el conjunto de las funciones
{
cos
(nπx
L
)
, sin
(mπx
L
)}
∀ n = 0, 1, 2, ..., y ∀ m = 1, 2, ..., son ortogonales en [−L,L]
iii) La demostración queda como ejercicio para el lector, se prueba
3
integrando directamente.En śıntesis, se puede puntualizar que:
1
L
∫ L
−L
cos
(nπx
L
)
cos
(mπx
L
)
dx =
{
0, si m 6= n
1, si m = n
}
= δm,n
1
L
∫ L
−L
sin
(nπx
L
)
sin
(mπx
L
)
dx =
{
0, si m 6= n
1, si m = n
}
= δm,n
donde δm,n se define como el delta de Kroneker.
1
L
∫ L
−L
cos
(nπx
L
)
sin
(mπx
L
)
dx = 0 ∀m,n∫ L
−L
cos
(nπx
L
)
dx = 0 ∀m,n ; y∫ L
−L
sin
(mπx
L
)
dx = 0 ∀m,n
1.3. La serie de Fourier de una función
Se debe distinguir entre f(x) y su serie de Fourier en el intervalo −L ≤
x ≤ L:
Serie de Fourier de f(x)
a0 +
∞∑
n=1
(
an cos
(nπx
L
)
+ bn sin
(nπx
L
))
La serie trigonométrica puede incluso no converger y si converge, puede
que no lo haga a f(x). Partiendo del supuesto que la serie converge
podŕıamos determinar los coeficientes de Fourier a0, an y bn, usando
las relaciones de ortogonalidad.
Sea f(x) definida en el intervalo −L ≤ x ≤ L:
f(x) = a0 +
∞∑
n=1
(
an cos
(nπx
L
)
+ bn sin
(nπx
L
))
(1.3.4)
Integrando la identidad ( 1.3.4) se tiene:∫ L
−L
f(x)dx =
∫ L
−L
a0dx+
∞∑
n=1
(
an
∫ L
L
cos
(nπx
L
)
dx+ bn
∫ L
−L
sin
(nπx
L
)
dx
)
4
Como todas las integrales de la derecha valen cero, excepto la primera,
se deduce de aqúı el valor de a0, suponiendo que la
L∫
−L
f(x)dx existe, aśı.
a0 =
1
2L
L∫
−L
f(x)dx
Para el cálculo de an multiplicamos la identidad ( 1.3.4) por cos
(mπx
L
)
e integramos la serie término a término, queda∫ L
−L
f(x) cos
(mπx
L
)
dx = a0
∫ L
−L
cos
(mπx
L
)
dx+
∞∑
n=1
(
an
∫ L
L
cos
(nπx
L
)
cos
(mπx
L
)
dx+ bn
∫ L
−L
sin
(nπx
L
)
cos
(mπx
L
)
dx
)
=
= 0 +
∞∑
n=1
an · Lδn,m + 0 = Lam
Por lo tanto, al evaluar δn,m, queda un sólo término:∫ L
−L
f(x) cos
(mπx
L
)
dx = amL,
aśı el valor de am es
am =
1
L
∫ L
−L
f(x) cos
(mπx
L
)
dx, ∀ m ≥ 1
Cambiando el ı́ndice libre m por n , en ambos lados de la ecuación,
queda
an =
1
L
∫ L
−L
f(x) cos
(nπx
L
)
dx, ∀ n ≥ 1
Ahora, multiplicando ( 1.3.4) por sin
(mπx
L
)
e integrando de manera
similar y por el lema se tiene
bn =
1
L
∫ L
−L
f(x) sin
(nπx
L
)
dx, ∀ n ≥ 1
Hemos determinado los coeficientes a0, an y bn ,claro que, bajo muchos
supuestos. Estos cálculos sugieren la siguiente definición.
5
1.3.1. Coeficientes de Fourier
Definición 1.-
i) Sea f una función Riemann integrable en [−L,L], las constantes
a0 =
1
2L
L∫
−L
f(x)dx
an =
1
L
∫ L
−L
f(x) cos
(nπx
L
)
dx para n = 1, 2, 3, ...
bn =
1
L
∫ L
−L
f(x) sin
(nπx
L
)
dx para n = 1, 2, 3, ...

2,1,1
se denominan los coeficientes de Fourier de f en [−L,L].
ii) La serie:
f(x) ∼ a0 +
∞∑
n=1
[
an cos
(nπx
L
)
+ bn sin
(nπx
L
)]
es la serie de Fourier de f en el intervalo [−L,L] , cuando los coefi-
cientes están dados por (2,1,1). Para no hablar de convergencia todav́ıa,
escribimos el signo”∼”que significa que a la derecha se tiene la serie de
Fourier de f en −L ≤ x ≤ L.
Observese que, la serie de Fourier de f , se puede interpretar como una
generalización de una combinación lineal en una base ortogonal seno,
coseno, que es aplicada a una función en lugar de un vector estándar
en Rn.
El siguiente ejemplo ilustra como dada una función periódica f(x), de
peŕıodo 2π, se calculan los coeficientes de Fourier y expresa la serie
trigonométrica de Fourier correspondiente.
Ejemplo 1: Determinar la serie de Fourier de f(x) = x si x ∈ [−π, π]
6
Solución: La gráfica de la función es:
Los coeficientes de Fourier de f en [−π, π] , son:
a0 =
1
2π
π∫
−π
xdx = 0
an =
1
π
π∫
−π
x cos (nx) dx =
[
1
n2π
cos(nx) + x
nπ
sin(nx)
]π
−π = 0
bn =
1
π
π∫
−π
x sin(nx)dx =
[
1
n2π
sin(nx)− x
nπ
cos(nx)
]π
−π
∴ bn = 2n(−1)
n+1 ∀ n ≥ 1
Por tanto, la serie de Fourier de f en[−π, π] es:
∞∑
n=1
2
n
(−1)n+1 sin(nx)
1.3.2. Atributos de la función
Lo anteriormente expuesto es válido para cierto tipo de funciones, nos
referimos a las funciones f(x) que son seccionalmente continuas.
Definición 2.- Sea f(x) definida en [a, b]. Entonces f es seccional-
mente continua en [a, b] si:
a) f es continua en [a, b] ,excepto quizás en un número finito de puntos.
b) Ambos ĺımx→a+ f(x) y ĺımx→b− f(x) existen y son finitos.
c) f no es continua en x0, x0 ∈ (a, b) y los ĺımites ĺımx→x+0 f(x) y ĺımx→x−0 f(x)
existen y son finitos .
7
Definición 3.- f(x) es seccionalmente suave en [a, b] si f y f ′ son
seccionalmente continuas en [a, b] .
Ejemplo 2: Muestre que f(x) = x
1
3 no es seccionalmente suave en
ningún intervalo cerrado que contenga en su interior al cero.
Solución: En efecto, se tiene quef ′(x) =
1
3
x
−2
3 =⇒ ĺım
x→0
f ′(x) = ĺım
x→0
1
3
x
−2
3 = ∞,
no existe. Por tanto, la función no es seccionalmente suave.
Observación:
Las funciones seno y coseno, que aparecen como bases en la serie de
Fourier, tienen peŕıodos diferentes los que son iguales a
2L
n
para n ≥ 1.
Por otra parte, un múltiplo entero del peŕıodo de una función peŕıodica
es también un peŕıodo , podemos afirmar entonces, que 2L es el peŕıodo
común para las funciones seno y coseno del desarrollo de la serie. Por
lo anterior, la serie de Fourier no sólo representa a f en el intervalo
−L ≤ x ≤ L , sino que, proporciona una extensión peŕıodica de f en
todos los reales.
8
Ejemplo 3: Encontrar el peŕıodo de la función f(x) = 100 cos2 x.
Solución: Utilizando la identidad trigonométrica cos2 θ = 1
2
(1+cos 2θ)
se tiene
f(x) = 100 cos2 x = 100
1
2
(1 + cos 2x)
luego queda
f(x) = 50 + 50 cos 2x
como el peŕıodo de cos 2x es π y una función constante tiene cualquier
peŕıodo, entonces f(x) es de peŕıodo π.
1.3.3. Convergencia de las series de Fourier
A continuación vamos a establecer las condiciones de suficiencia que
debe cumplir una función f(x) para que pueda ser representada por
medio de una serie de Fourier.
Teorema 1.3.1. Si f(x) es seccionalmente suave en el intervalo
[−L,L], entonces la serie de Fourier de f(x) converge. i) A la ex-
tensión peŕıodica de f(x), en los puntos que la extensión peŕıodica sea
continua. ii) Al promedio de los ĺımites laterales 1
2
(f(x+) + f(x−)) en
los puntos donde la extensión peŕıodica tenga una discontinuidad de
salto.
En el siguiente ejemplo, se evalúa si la serie de Fourier resultante de
una función f(x) en un punto x0 dado converge o no en ese punto
9
Ejemplo 4: Sea f(x) =
{
0 si −3 ≤ x ≤ 0
x si 0 ≤ x ≤ 3 .Construir la serie de
Fourier y analizar la convergencia en todo R
Solución: Representemos la gráfica de la función
Los coeficientes de la serie de Fourier de f(x),son:
a0 =
1
6
3∫
−3
f(x)dx =
1
6
3∫
0
xdx =
3
4
an =
1
3
3∫
−3
f(x) cos
(nπx
3
)
dx
=
1
3
∫ 3
0
x cos
(nπx
3
)
dx =
1
3
∣∣∣∣∣9 cos
(
nπx
3
)
n2π2
+
3x sin
(
nπx
3
)
nπ
∣∣∣∣∣
3
0
=
3
n2π2
(cos(nπ)− 1) = 3
n2π2
((−1)n − 1)
bn =
1
3
3∫
−3
f(x) sin
(nπx
3
)
dx
=
1
3
∫ 3
0
x sin
(nπx
3
)
dx =
1
3
∣∣∣∣∣9 sin
(
nπx
3
)
n2π2
+
3x cos
(
nπx
3
)
nπ
∣∣∣∣∣
3
0
= − 3
nπ
cos(nπ) = − 3
nπ
(−1)n
Por consiguiente, la serie de Fourier la podemos escribir
3
4
+
∞∑
n=1
(
3
n2π2
((−1)n − 1) cos
(nπx
3
)
− 3
nπ
(−1)n sin
(nπx
3
))
10
Tenemos que f es continua en [−3, 3] ,por lo tanto su extensión peŕıod-
ica es seccionalmente continua en R , con discontinuidad de salto en
los puntos x = 3± 6n, n ∈ Z
Por lo tanto, de acuerdo al teorema la serie converge a
fE(x) =
{
f(x) si x 6= 3± 6n
3
2
si x = 3± 6n n ∈ Z
entonces
fE(x) =
3
4
+
3
π2
∞∑
n=1
(
1
n2
((−1)n − 1) cos
(nπx
3
)
− π
n
(−1)n sin
(nπx
3
))
los coeficientes ((−1)n − 1) son nulos, si n es número par e iguales a
−2, si n es número impar. Entonces
f(x) =
3
4
− 6
π2
∞∑
n=1
(
1
(2n− 1)2
cos
(
(2n− 1)πx
3
)
+
π
6n
(−1)n sin
(nπx
3
))
Al evaluar la convergencia en x0= 3, punto de discontinuidad de la
función, se obtiene
3
2
=
3
4
− 6
π2
∞∑
n=1
[
1
(2n− 1)2
(−1)2n−1
]
=⇒
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
=
π2
8
Obsérvese que a partir de la convergencia de la serie de Fourier en un
punto se puede inferir la convergencia de la suma de términos de la
serie resultante.
Definición 4.- Una suma parcial de la serie de Fourier es una suma
de la forma:
Sn = a0 +
N∑
n=1
an cos
(nπ
L
x
)
+ bn sin
(nπ
L
x
)
Observación. Al truncar la serie infinita se obtiene un polinomio de
grado n.
11
Ejemplo 5 Sea f(x) = x + π, x ∈ [−π, π] . Determine la serie de
Fourier y obtener la gráfica de sumas parciales S1(x), S3(x), S10(x).
Solución : La gráfica de la función es
Los coeficientes de Fourier de f en [−π, π]
a0 =
1
2π
π∫
−π
(x+ π)dx =
1
2π
[
x2
2
+ πx
]π
−π
=
1
2π
(
2π2
)
= π
∴ a0 = π
an =
1
π
π∫
−π
(x+ π) cos (nx) dx =
1
π
[
1
n2
cos(nx) +
x
n
sin(nx)
]π
−π
∴ an = 0
bn =
1
π
π∫
−π
(x+ π) sin(nx)dx =
1
π
[
1
n2
sen(nx)− x
n
cos s(nx)
]π
−π
∴ bn = 2n(−1)
n+1
Aśı la serie de Fourier de f (x) es
π + 2
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
sin(nx) = π + 2
(
sinx− sin 2x
2
+
sin3x
3
− ..
)
Para visualizar la convergencia de está serie gráfiquemos algunas de sus
sumas parciales
Sn(x) = π + 2
n∑
k=1
(−1)n
k
sin(kx)
12
Obtengamos S1 :
S1(x) = π + 2
1∑
k=1
(−1)n
k
sin(kx)
13
Obtengamos S3
S3(x) = π + 2
3∑
k=1
(−1)n
k
sin(kx)
Finalmente Obtengamos S10
S10 = π + 2
10∑
k=1
(−1)n
k
sin(kx)
A partir de este ejemplo, podemos inferir que para las series de Fourier
las gráficas de las sumas parciales son curvas aproximadas de la gráfica
de la función peŕıodica representada por la serie. Se puede visualizar
además, que en la medida que es mayor el número de términos de
las sumas parciales estas convergen de mejor forma a la gráfica de la
función f .
14
1.3.4. La integral de funciones pares e impares
Lema 1.3.1. (de funciones pares e impares) Sea f una función in-
tegrable en [−L,L] . a) Si f una función par en [−L,L], entonces
L∫
−L
f(x)dx = 2
L∫
0
f(x)dx. b) Si f es función impar en [−L,L], entonces
L∫
−L
f(x)dx = 0.
Demostración
a) f función par, entonces f(−x) = f(x) ∀x ∈ R. Considerando que
f
es par y el cambio de variable t = −x se tiene
0∫
−L
f(x)dx =
0∫
−L
f(−x)dx =
L∫
0
f(t)dt =
L∫
0
f(x)dx
entonces
L∫
−L
f(x)dx =
0∫
−L
f(x)dx+
L∫
0
f(x)dx = 2
L∫
0
f(x)dx
b) f función impar, entonces f(−x) = −f(x) ∀x ∈ R. Usando este
hecho y el cambio de variable t = −x se tiene
0∫
−L
f(x)dx =
0∫
−L
−f(−x)dx =
0∫
L
f(t)dt =
L
−
∫
0
f(x)dx
entonces
L∫
−L
f(x)dx =
0∫
−L
f(x)dx+
L∫
0
f(x)dx =
L∫
0
f(x)dx−
L∫
0
f(x)dx = 0
lo que demuestra el lema.
A continuación, vamos a determinar los coeficientes y la serie de Fourier
coseno (o seno) según corresponda, dada una función f par (o impar)
de periodo 2L.
15
1.3.5. Teorema de las funciones pares y de las im-
pares
Teorema 1.3.2. Sea f una función integrable en [−L,L], a) Si f es
par, la serie de Fourier de f en [−L,L] es
a0 +
∞∑
n=1
an cos
(nπx
L
)
con coeficientes a0 =
1
L
L∫
0
f(x)dx y an =
2
L
L∫
0
f(x) cos
(nπx
L
)
dx,
se denomina serie de cosenos. b) Si f es impar, la serie de Fourier de
f en [−L,L] es
∞∑
n=1
bn sin
(nπx
L
)
con coeficiente bn =
2
L
∫ L
0
f(x) sin
(nπx
L
)
dx, se denomina serie de
senos.
Demostración: Se deja al lector, debe aplicar el Lema 1.3.1 en el cálculo
de los coeficientes de Fourier.
Ejemplo 6: Calcule la serie de Fourier de f(x) = 1 − |x| en −2 ≤
x ≤ 2.
Solución: A partir de la gráfica de la función podemos inferir que la
función es par.
Es decir f(−x) = 1 − |−x| = 1 − |x| = f(x) ∀x ∈ R, luego se tiene
que f es par.
Los coeficientes del desarrollo de Fourier, son:
16
a0 =
1
2
2∫
0
(1− x)dx = 1
2
(
x− x
2
2
)∣∣∣∣∣∣
2
0
= 0
an =
2
2
∫ 2
0
(1− x) cos
(nπx
2
)
dx =
∫ 2
0
cos
(nπx
2
)
dx−
∫ 2
0
x cos
(nπx
2
)
dx
= 0−
[
4 cos
(
nπx
2
)
n2π2
+
2x sin
(
nπx
2
)
nπ
]2
0
por consiguiente
an =
{
0 si n es par
8
(2n−1)2π2 si n es impar
Aśı la serie de Fourier de f(x) = 1− |x| es:
8
π2
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
cos
(
(2n− 1)πx
2
)
En muchos problemas se tiene la posibilidad de trabajar con series de
senos o series de cosenos. Por ejemplo , al resolver ecuaciones diferen-
ciales parciales de segundo orden aplicando el método de separación de
variables.
1.4. Desarrollos llamados de medio rango
Sea una función f seccionalmente continua que está definida sólo en
el semi-intervalo [0, L], queremos obtener el desarrollo de f en serie de
Fourier ∀x ∈ [0, L] . Una forma de hacer lo anterior es extender f al
intervalo [−L,L] y por supuesto , puede ser hecho de muchas maneras,
sin embargo, dos extensiones son las más convenientes e importantes.
Construir una extensión impar lo que origina una serie desenos o
construir un extensión par lo que determina una serie de cosenos.
Estas se denominan desarrollos de medio rango.
1.4.1. Extensión impar:
Supongamos que conocemos f(x) solamente para 0 ≤ x ≤ L, entonces
podemos extenderla como una función impar, obteniendo otra función
17
denotada fi(x) definida por:
fi(x) =
{
f(x), 0 ≤ x ≤ L
−f(−x), −L ≤ x ≤ 0
como se muestra en la figura adjunta.
Si f(x) es seccionalmente suave en 0 ≤ x ≤ L, entonces fi(x) es también
seccionamente suave y se puede aplicar el teorema de convergencia de
series de Fourier.
La serie de Fourier de fi(x) es
fi(x) =
∞∑
n=1
bn sin
(nπx
L
)
, − L ≤ x ≤ L
Como estamos interesados solamente en lo que ocurre entre 0 ≤ x ≤ L.
En esa región f(x) es idéntica a fi(x) y la serie de Fourier es
f(x) =
∞∑
n=1
bn sin
(nπx
L
)
, 0 ≤ x ≤ L
con coeficiente bn =
2
L
∫ L
0
f(x) sin
(nπx
L
)
Ejemplo 7. Sea la función f(x) = x en el interior 0 ≤ x ≤ L.
Obtener el desarrollo de medio rango considerando una extensión im-
par.
18
Solución. Consideremos la extensión impar de f(x) en 0 ≤ x ≤ L,
la gráfica de f muestra que la serie de fourier de senos converge a f(x)
en 0 ≤ x ≤ L. Sin embargo, en x = L hay una discontinuidad de salto,
luego la serie converge a cero aunque f(L) 6= 0.
bn =
2
L
∫ L
0
f(x) sin
(nπx
L
)
dx =
2
L
∫ L
0
x sin
(nπx
L
)
dx =
2L
nπ
(−1)n+1
Por lo tanto, la serie resultante es:
x =
2L
π
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
sin
(nπx
L
)
, 0 ≤ x ≤ L
1.4.2. Extensión par
Supongamos ahora que conocemos f(x) solamente para 0 ≤ x ≤ L
, entonces la extendemos como función par, obteniendo otra función
denotada fp(x) definida por:
fp(x) =
{
f(x), 0 ≤ x ≤ L
f(−x), −L ≤ x ≤ 0
como muestra la figura adjunta:
Si f(x) es seccionalmente continua en 0 ≤ x ≤ L, entonces su extensión
par fp(x) lo será también por lo que se puede aplicar el teorema de
convergencia de series de Fourier.
En el intervalo 0 ≤ x ≤ L, la función f(x) es idéntica a su extensión
par. La serie que se obtiene se denomina serie de Fourier de cosenos de
f(x).
a0 +
∞∑
n=1
an cos
(nπx
L
)
, 0 ≤ x ≤ L, con coeficientes
19
a0 =
1
L
∫ L
0
f(x)dx y an =
2
L
∫ L
0
f(x) cos
(nπx
L
)
dx
Ejemplo 8: Construir la serie de Fourier de Cosenos de f(x) = x en
0 ≤ x ≤ L.
Solución: Por las caracteŕısticas de la extensión en lo que concierne
a la continuidad de la función tenemos:
x = a0 +
∞∑
n=1
an cos
(nπx
L
)
, 0 ≤ x ≤ L
a0 =
1
L
∫ L
0
f(x)dx =
1
L
∫ L
0
xdx =
1
L
x2
2
∣∣∣∣L
0
=
L
2
an =
2
L
∫ L
0
f(x) cos
(nπx
L
)
dx =
2
L
∫ L
0
f(x) cos
(nπx
L
)
dx
an =
{
0 si n par.
− 4L
n2π2
si n impar.
20
Finalmente, la serie de Fourier coseno de f(x) = x en 0 ≤ x ≤ L es:
L
2
− 4L
π2
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
cos
(
(2n− 1)πx
L
)
1.5. Diferenciacion e Integración de la se-
ries de Fourier
1.5.1. Derivación
Las series infinitas, aún las convergentes no siempre se pueden derivar
término a término. Un caso ilustrativo, es el de la función f(x) = x
definida para −π ≤ x ≤ π, cuya serie de Fourier es
∞∑
n=1
2(−1)n+1
n
sin(nx)
que converge para −π < x < π, es decir
x =
∞∑
n=1
2(−1)n+1
n
sin(nx), x ∈ ]−π, π[
Si diferenciamos, esta serie término a término tenemos:
∞∑
n=1
2(−1)n+1 cos(nx)
la cual es una serie que no converge en ] − π, π[ , ya que si an =
2(−1)n+1 cos(nx) para cada x ∈]− π, π[, ĺım
n→∞
an no existe, como no
ocurre que an −→ 0 ,concluimos que
∞∑
n=1
2(−1)n+1 cos(nx) no converge
para cada x ∈]− π, π[.
Por otro lado, f ′(x) = 1 ∀x ∈]−π, π[. Esto muestra en este caso que
la derivada término a término de la serie, no converge a la derivada de
la función que representa.
La dificultad se nos presenta cada vez que la serie de Fourier de f(x)
tiene una discontinuidad de salto, la derivación término a término no
está justificada en estos casos. Sin embargo, podemos aqúı considerar el
siguiente teorema que precisa las condiciones para permitir la derivación
término a término.
21
Teorema 1.5.1. Sea f una función continua en [−L,L] con f(−L) =
f(L), si f ′ es seccionalmente suave en [−L,L] donde f ′′(x) existe se
tiene.
f ′(x) =
∞∑
n=1
nπ
L
[
−an sin
(nπx
L
)
+ bn cos
(nπx
L
)]
Demostración.-
Se deja al lector, se sugiere escribir la serie de Fourier de f ′(x), con-
siderando que esta serie converge a f ′(x) siempre que f ′′(x) exista. Use
integración por partes para relacionar los coeficientes de f ′(x) con los
correspondientes de f(x).
Ejemplo 9. Dada la función f(x) = x2 en −π ≤ x ≤ π , verifique
si la derivada de esta serie existe.
Solución Claramente se satisface las hipótesis de la proposición an-
terior. La serie de Fourier de la función f(x) en [−π, π] es:
(Ver Problema 2 en problemas resueltos)
f(x) =
π2
3
+ 4
∞∑
n=1
(−1)n
n2
cos(nx)
Como f ′(x) = 2x es continua, y existe f ′′(x) = 2 en todo el intervalo,
entonces para −π < x < π
f ′(x) = 2x = 4
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
sin(nx)
Note que este resultado concuerda con lo establecido en el ejemplo 1
del inciso 2.1.
22
1.5.2. Integración
La precaución que se tiene para la derivación término a término de la
serie de Fourier no se requiere para el caso de la integración .
Teorema 1.5.2. Sea f una función seccionalmente suave en [−L,L]
con serie de Fourier
f(x) = a0 +
∞∑
n=1
[
an cos
(nπx
L
)
+ bn sin
(nπx
L
)]
Entonces para cada x ∈ [−L,L] .
∫ x
−L
f(t)dt = a0(x+L)+
L
π
∞∑
n=1
1
n
[
an sin
(nπx
L
)
− bn
(
cos
(nπx
L
)
− (−1)n
)]
Demostración;
Sea F (x) =
x∫
−L
f(t)dt− a0x ∀x ∈ [−L,L] , aśı definida F es continua
en [−L,L] , además
F (−L) =
−L∫
−L
f(t)dt−a0 (−L) = a0L y F (L) =
L∫
−L
f(t)dt−a0L = 2a0L−a0L = a0L
Por lo cual F (−L) = F (L), asimismo F ′(x) = f(x)− a0 ∀x ∈ [−L,L]
donde f es continua. Entonces podemos asegurar que F ′ es seccional-
mente continua en [−L,L] y por el teorema de convergencia tenemos
que
F (x) = A0 +
∞∑
n=1
[
An cos
(nπx
L
)
+Bn sin
(nπx
L
)]
(1.5.5)
donde para n ≥ 1.
23
An =
1
L
∫ L
−L
F (t) cos
(
nπt
L
)
dt integrando por partes
=
1
L
F (t)
L
nπ
sin
(
nπt
L
)∣∣∣∣L
L
− L
nπ
∫ L
−L
F ′(t) sin
(
nπt
L
)
dt
= 0− L
nπ
∫ L
−L
(f(t)− a0) sin
(
nπt
L
)
dt
= − L
nπ
∫ L
−L
f(t) sin
(
nπt
L
)
dt+
L
nπ
a0
∫ L
−L
sin
(
nπt
L
)
dt
An = −
L
nπ
bn
donde bn es el coeficiente correspondiente de la serie de Fourier de f en
[−L,L].
De manera analoga se tiene que:
Bn =
1
L
∫ L
−L
F (t) sin
(
nπt
L
)
dt =
L
nπ
an
donde an es también el correspondiente coeficiente de la serie de Fourier
de f en [−L,L].
Por lo tanto, reemplazando en 1.5.5
F (x) = A0 +
L
π
∞∑
n=1
1
n
[
−bn cos
(nπx
L
)
+ an sin
(nπx
L
)]
, x ∈ [−L,L]
para A0 tenemos:
F (L) = a0L = A0 +
∞∑
n=1
An cos(nπ) =⇒ A0 = a0L−
∞∑
n=1
An cos(nπ)
finalmente
A0 = a0L+
L
π
∞∑
n=1
1
n
bn cos(nπ)
24
ahora sustituyendo A0 se tiene
F (x) = a0L+
L
π
1
n
∞∑
n=1
bn cos(nπ)+
L
π
∞∑
n=1
1
n
[
−bn cos
(nπx
L
)
+ an sin
(nπx
L
)]
y reemplazando en la igualdad inicial obtenemos lo que afirma el teo-
rema.
∫ x
−L
f(t)dt = a0(x+L)+
L
π
∞∑
n=1
1
n
[
an sin
(nπx
L
)
− bn
(
cos
(nπx
L
)
− (−1)n
)]
1.5.3. Identidad de Parseval
Sea f una función seccionalmente continua en [−L,L] y tal que f ′
es también seccionalmente continua en [−L,L].
Si
f(x) = a0 +
∞∑
n=1
[
an cos
(nπx
L
)
− bn sin
(nπx
L
)]
es la serie de Fourier de f , entonces
1
L
L∫
−L
[f(x)]2 dx = 2 (a0)
2 +
∞∑
n=1
[
(an)
2 + (bn)
2]
que se conoce como identidad de Parseval
Prueba: La serie de Fourier de f converge a f(x) para cada x del
intervalo [−L,L].
f(x) = a0 +
∞∑
n=1
[
an cos
(nπx
L
)
− bn sin
(nπx
L
)]
Multiplicando por f(x) se tiene
f(x)2 = a0f(x) +
∞∑
n=1
[
anf(x) cos
(nπx
L
)
− bnf(x) sin
(nπx
L
)]
25
podemos integrar término a término.
∫ L
−L
[f(x)]2dx = a0
∫ L
−L
f(x)dx+
∞∑
n=1
[
an
∫ L
−L
f(x) cos
(nπx
L
)
− bn
∫ L
−L
f(x) sin
(nπx
L
)]
de aqúı recordando lo que son los coeficientes de una serie de Fourier
se tiene.
L∫
−L
[f(x)]2 dx = 2 (a0)
2 L+ L
∞∑
n=1
[an · an + bn · bn]=⇒
1
L
L∫
−L
[f(x)]2 dx = 2 (a0)
2 +
∞∑
n=1
[
(an)
2 + (bn)
2]
Obsérvese que la identidad de Parseval, permite inferir la suma de
una serie infinita, dada una función f que tiene una representación de
Fourier para cada x del intervalo [−L,L].
Ejemplo 10. Sea f(x) =
{
x −π < x < π
0 x = −π, π , peŕıodica de peŕıodo
2π. Pruebe que
∞∑
n=1
1
n2
=
π2
6
.
Figura 1.1: gráfica función peŕıodo 2π
Solución: Como f(x) en es una función impar se tiene que :
an = 0 para n = 0, 1, 2, ...y
26
bn =
1
π
π∫
−π
x sin (nπ) dx =
2
π
π∫
0
x sin (nπ) dx = −
[
2x cos(nx)
nπ
]π
0
=⇒ bn =
{
2
n
n = 1, 3, 5, ...
− 2
n
n = 2, 4, 6, ...
Por tanto
f(x) ∼ 2
∞∑
n=1
(−1)n+1 sin(nx)
n
= 2
[
sinx
1
− sin 2x
2
+
sin 3x
3
...
]
Aplicando la identidad de Parseval
1
π
π∫
−π
x2dx = 4
[
1
12
+
1
22
+
1
32
+
1
42
+ ...
]
=⇒
∞∑
n=1
1
n2
=
1
4π
π∫
−π
x2dx =
1
4π
[
x3
3
]π
−π
=
π2
6
∞∑
n=1
1
n2
=
π2
6
1.6. Integral de Fourier
Las series de Fourier nos proporcionan una herramienta poderosa para
representar funciones peŕıodicas. Luego, es conveniente generalizar este
método para incluir funciones no peŕıodicas.
A continuación en esta sección vamos a representar una función f no
peŕıodica por medio de la integral de Fourier
Definición.- Si f(x) definida en (−∞,∞) es seccionalmente continua
en cada intervalo finito y tiene derivadas por la derecha e izquierda en
27
todo punto y tal que
∞∫
−∞
|f(x)| dx converge, entonces la integral de
Fourier de f se define como:
∞∫
0
[A(w) coswx+B(w) sinwx] dw
donde:
A(w) =
1
π
∫ ∞
−∞
f(t) coswtdt
B(w) =
1
π
∫ ∞
−∞
f(t) sinwtdt
A(w) y B(w) se llaman los coeficientes de la integral de Fourier de f(x).
Ejemplo 11. Encontrar la representación por medio de la integral de
Fourier de la función:
f(x) =
{
1 , |x| < 1
0 , |x| > 1
Solución: Primeramente, determinemos la gráfica de la función
Ahora, calculemos los coeficientes de la Integral de Fourier
A(w) =
∞
1
π
∫
−∞
f(u) coswudu =
1∫
−1
coswudu =
[
sinwu
w
]
|1−1 = 2
1
π
sinw
w
B(w) =
∞
1
π
∫
−∞
f(u) sinwudu =
1∫
−1
sinwudu = 0
28
Por lo tanto, la integral de Fourier de f(x) es:
1
π
∞∫
0
2
w
sinw coswxdw
1.6.1. Criterio de convergencia de la integral de
Fourier
Si f(x) es seccionalmente continua en [−L,L] ∀ L > 0 y tal que
∞∫
−∞
|f(t)| dt existe, entonces la integral de Fourier converge a 1
2
[f(x+) +
f(x−)] (Promedio de los ĺımites izquierdo y derecho de f(x)), ∀ x donde
f
′
(x+) y f
′
(x−) existen.
Ejemplo 12. Estudie la convergencia de la Integral de Fourier del
ejemplo 11
Solución Sea f(x) definida en ejemplo 11, debido a que f(x) es sec-
cionalmente suave, la integral de Fourier de f(x) converge a 1
2
[f(x+) +
f(x−)] ∀ x. De acuerdo con el criterio de convergencia se tiene:
2
π
∞∫
0
sinw
w
coswxdw =

1 si −1 < x < 1
1
2
si x = ±1
0 si |x| > 1
En particular, una situación interesante se da cuando x = 0.
2
π
∞∫
0
sinw
w
cos 0dw = 1 =⇒
∞∫
0
sinw
w
dw =
π
2
Aunque integrales de este tipo no pueden expresarse en términos de
funciones elementales, suelen presentarse en matemáticas aplicadas con
tal frecuencia , que han recibido un nombre especial y se encuentran
29
tabuladas.
En particular sabemos que:
ĺım
w→0
sinw
w
= 1
y que
∞∫
0
sinw
w
dw =
π
2
En el caso de la integral de Fourier, la gráfica de la función f se obtiene
mediante aproximaciones sucesivas sustituyendo el ĺımite superior de
la integral ∞ por los números x. De aqúı que la integral
z∫
0
sinw
w
coswxdw
es una aproximación de la integral encontrada anteriormente, y por lo
tanto de f (x) .
Supongamos que sólo consideramos las frecuencias w < w0.En este
caso, nos da como aproximación de f (x)
f (x) ≈ 2
π
w0∫
0
coswx sinw
w
dw
30
Ahora bien,
coswx sinw =
sin (wx+ w)− sin(wx− w)
2
y, por consiguiente, podemos escribir la última integral en la forma
f (x) ≈ 1
π
w0∫
0
sinw(x+ 1)
w
dw − 1
π
w0∫
0
sinw (x− 1)
w
dw
Consideremos el cambio de variable u = w (x± 1) =⇒ du = wdx para
la primera y la segunda de estas integrales. Entonces tenemos
f (x) ≈ 1
π
w0(x+1)∫
0
sinu
u
du− 1
π
w0(x−1)∫
0
sinu
u
du
f (x) ≈ 1
π
Si [w0 (x+ 1)]−
1
π
Si [w0 (x− 1)]
En términos f́ısicos, estas curvas describen la salida de un filtro ideal
de pasa baja, que elimina todas las frecuencias superiores w0 cuando
la señal de entrada es un impulso aislado rectangular.
1.6.2. Integrales de Fourier de cosenos y senos
Sea f(x) una función definida en [0,∞), podemos extender esta función
a una función par o impar en (−∞,∞) y calcular la integral de Fourier
de esta última, que resulta ser de coseno y seno respectivamente, lo
cual es completamente análoga a los desarrollos en cosenos y senos de
una función definida en un intervalo [0, L] para el caso de las series de
Fourier.
Definición: Sea f definida en [0,∞) y sea
∞∫
0
|f(u)| du convergente,
la integral de Fourier en cosenos de f es
∞∫
0
A(w) cos(wx)dw
donde el coeficiente es:
31
A(w) =
2
π
∞∫
0
f(u) cos(wu)du
A su vez, la integral de Fourier en senos de f es
∞∫
0
B(w) sin(wx)dw
donde el coeficiente es:
B(w) =
2
π
∞∫
0
f(u) sin(wu)du
En cuanto a la convergencia de la integral de Fourier, en este caso,
si f es seccionalmente suave en todo el intervalo [0,∞], entonces esta
integral converge a 1
2
[f(x+) + f(x−)] en (0,∞).
Ejemplo 13: Encontrar la integral de Fourier de f(x) =
{
x2 si 0 ≤ x ≤ 10
0 si x > 10
,
si:
a) se considera una extension par de f(x)
b) se considera una extension impar de f(x); y luego
c) en ambos casos, determinar las convergencias de estas integrales .
Solución: Consideremos la gráfica de la función
a) Para obtener la integral de Fourier de cosenos, extendemos f como
una función par fP definida en toda la recta real, luego:
32
A(w) =
2
π
∞∫
0
f(u) cos(wu)du =
2
π
10∫
0
u2 cos(wu)du
=
2
π
u2
w
sin(wu)|100 −
2
w
10∫
0
u sin(wu)du

=
2
π
[
u2
w
sin(wu)− 2
w
(
1
w2
sin(wu)− u
w
cos(wu)
)]10
0
=
1
π
(
200
w
− 4
w3
)
sin 10w +
40
πw2
cos 10w
Por tanto, la integral de Fourier de cosenos es:
1
π
∞∫
0
[(
200
w
− 4
w3
)
sin 10w +
40
w2
cos 10w
]
coswxdw
Al aplicar el criterio de convergencia obtenemos:
1
π
∞∫
0
[(
200
w
− 4
w3
)
sin 10w +
40
w2
cos 10w
]
coswxdw
=

x2 si 0 < x < 10
0 si x > 10
0 si x = 0
50 si x = 10
33
b) Para obtener la integral de Fourier de senos, extendemos f como
una función impar fI definida en toda la recta real.
B(w) =
1
π
∞∫
−∞
f(t) sinwtdt =
2
π
10∫
0
u2 sinwudu
=
2
π
[−u2
w
coswu
]10
0
+
2
w
10∫
0
u coswudu

=
2
π
[
−u
2
w
coswu+
2
w
(
1
w2
coswu+
u
w
sinwu
)]10
0
=
2
π
[
−10
2
w
cos 10w +
2
w3
cos 10w +
20
w2
sin 10w − 2
w3
]
entonces la integral de Fourier de senos es:
1
π
∞∫
0
[(
−200
w
+
4
w3
)
cos 10w +
40
w2
sin 10w − 4
w3
]
sinwxdw
Finalmente, al aplicar el criterio de convergencia obtenemos:
1
π
∞∫
0
[(
−200
w
+
4
w3
)
cos 10w +
40
w2
sin 10w − 4
w3
]
sinwxdw
=

x2 si 0 < x < 10
0 si x > 10
0 si x = 0
50 si x = 10
Ejemplo 14: Encontrar la integral de Fourier de f (x) = e−ax si
x > 0 y a es una constante tal que a > 0, considerando una extensión
a) par de f.
b) impar de f.
c) en ambos casos, determinar las convergencias de estas integrales.
Solución
Extensión Par
34
Extensión impar
a) Puesto que f es par , es decir f (x) = f (−x) ∀x ∈ R se tiene
f (x) =
∞∫
0
A(w) cos(wx)dw
donde el coeficiente es:
A(w) =
2
π
∞∫
0
e−au cos(wu)du
Integrando por partes se tiene
∞∫
0
e−au cos(wu)du = − a
a2 + w2
ĺım
R→∞
[
e−au
(
−w
a
senwu+ coswu
)]R
0
=
a
a2 + w2
35
Por consiguiente,
A (w) =
2
π
a
a2 + w2
Sustituyendo esta expresión se obtiene:
2a
π
∞∫
0
cos(wx)
a2 + w2
dw
para x > 0, a > 0.
Finalmente, como la función es continua ∀x > 0, la integral converge
a f (x) , entonces
f (x) = e−ax =
2a
π
∞∫
0
cos(wx)
a2 + w2
dw
=⇒
∞∫
0
cos(wx)
a2 + w2
dw =
πe−ax
2a
b) Puesto que f esimpar , es decir f (x) = −f (−x) ∀x ∈ R se tiene
f (x) =
∞∫
0
B(w) sin(wx)dw
donde el coeficiente es:
B(w) =
2
π
∞∫
0
e−au sin(wu)du
Integrando por partes se tiene
∞∫
0
e−au sin(wu)du =
1
a2 + w2
ĺım
R→∞
[
e−au (asenwu− w coswu)
]R
0
=
w
a2 + w2
36
Por consiguiente,
B (w) =
2
π
w
a2 + w2
Sustituyendo esta expresión se obtiene:
f (x) = e−ax =
2
π
∞∫
0
w sin(wx)
a2 + w2
dw
para x > 0, a > 0.
Estos ejemplos ilustran como puede aplicarse la representación de la
integral de Fourier para evaluar integrales.
37
1.7. Aplicaciones de Series de Fourier
Para dar una visión del uso de las series e integrales de Fourier, se for-
mularán, analizarán y resolverán problemas de sistemas f́ısicos sujetos
a perturbaciones periódicas y no periódicas.
1.7.1. Onda cuadrada alta frecuencia
Una aplicación simple de la Serie de Fourier la podemos encontrar
en el análisis de circuitos electrónicos que son diseñados para manejar
pulsos variables agudos, tales como, una onda cuadrada o un ”diente
de sierra”. Supongamos que una onda cuadrada está definida por la
función:
f(x) =
{
0, − π < x < 0
h, 0 < x < π
Encuentre la serie de Fourier que representa esta señal.
Solución
Los coeficientes de Fourier son:
a0 =
1
2π
∫ π
0
hdt =
h
2
an =
1
π
∫ π
0
h cosntdt = 0, n ≥ 1
bn =
1
π
∫ π
0
h sinntdt =
h
nπ
(1− cosnπ)
bn =
{
2h
nπ
, n impar =⇒ bn = 2h(2n−1)π
0 ; n par
Aśı la serie resultante es:
f(x) =
∞∑
n=1
2h
(2n− 1)π
sin (2n− 1)x = h
2
+
(
sinx
1
+
sin 3x
3
+
sin 5x
5
+ ...
)
38
Es importante decir que el primer término representa el promedio de
f(x) sobre el intervalo [−π, π] y que todos los términos en base coseno
se anulan. Además f (x) − h
2
es una función impar, luego ,tenemos
una serie de fourier sólo con base seno. Por otra parte, los coficientes
bn decrecen inversamente proporcional con n. Fisicamente esto signifi-
ca que la onda cuadrada debe contener muchos componentes de alta
frecuencia. Si el aparato electrónico no deja pasar estos componentes,
la onda cuadrada resultante emerge más o menos redondeada.
1.7.2. Rectificador de onda completa.
Consideremos ahora la salida de un rectificador de onda completa, que
produce corriente continua pulsante como muestra la figura. El rectifi-
cador se puede modelar como un dispositivo que se alimenta con una
onda senoidal ,que deja pasar los los pulsos positivos, e invierte los
pulsos negativos. Esto produce:
f(x) =
{
sinωx, 0 < ωx < π
− sinωx, −π < ωx < 0
Encuentre la serie de Fourier que respresenta esta señal
Solución
Puesto que f (x) es una función par, es decir f (x) = f (−x), la serie
de fourier será cosenoidal
a0 =
1
2π
(∫ 0
−π
− sinωtd(ωt) +
∫ π
0
sinωtd(ωt)
)
=
2
2π
∫ π
0
sinωtd(ωt) =
2
π
an =
2
π
∫ π
0
sinωt cosnωtd(ωt), n ≥ 1
an =
{ −2
π
2
n2−1 , n par =⇒ an = −
1
π
4
4n2−1
0, n impar
bn = 0, ∀ n
39
Por lo tanto, la serie resultante es:
f(x) =
2
π
− 4
π
∞∑
n=1
1
(4n2 − 1)
cos (2nωx)
La frecuencia de oscilacion más baja es 2ω.Las componentes de alta
frecuencia decaen inversamente con n2, lo que muestra que el rectifi-
cador de onda completa hace un buen trabajo para producir un modelo
aproximado de la corriente continua.
1.7.3. Ecuación de calor unidimensional
El flujo unidimensional de calor en un cuerpo material homogéneo
está modelado por la ecuación c2 ∂
2u(x,t)
∂x2
= ∂u(x,t)
∂t
donde u(x, t) es
la temperatura del cuerpo y c2 = 2 la constante de difusión del calor.
Si se considera que 0 < x < 3 y t > 0, y que las temperaturas en
la fronteras son u(0, t) = u(3, t) = 0, lim
x→0
u(x, t) < ∞ , entonces la
solución general de este problema esta dado por:
u (x, t) =
∞∑
n=1
Cne
−2n2π2t sin
nπx
3
, 0 < x < 3 y t > 0
Encontrar la temperatura de la barra , si la temperatura inicial es
u(x, 0) = 25oC , 0 < x < 3 .
Solución:
Evaluemos la solución general para t = 0, lo que produce:
u (x, 0) = 25 =
∞∑
n=1
Cn sin
nπx
3
, 0 < x < 3
Se obtiene una serie de Fourier seno. Aśı, para determinar la constante
Cn se debe construir una extensión impar f (x) =
{
25 0 < x < 3
−25 −3 < x < 0 .
40
Podemos encontrar entonces:
Cn =
2
L
∫ L
0
f (x) sin
nπx
L
dx =
2
3
∫ 3
0
25 sin
nπx
3
dx
Cn =
50
3
[
− 3
nπ
cos
nπx
3
]3
0
=
50 (1− cosnπ)
nπ
De modo, que la temperatura en la barra queda
u (x, t) =
∞∑
n=1
50 (1− cosnπ)
nπ
e−2n
2π2t sin
nπx
3
, 0 < x < 3 y t > 0
Este problema ilustra la importancia de la serie de Fourier para re-
solver problemas de aplicación modelados por ecuaciones diferenciales
parciales de segundo orden.
1.7.4. Ecuación de calor: barra aislada
El flujo unidimensional de calor en un cuerpo material homogéneo
está modelado por la ecuación c2 ∂
2u(x,t)
∂x2
= ∂u(x,t)
∂t
donde u(x, t) es
la temperatura del cuerpo y c2 la constante de difusión del calor.
En el caso de una barra aislada, que se prolonga hacia el infinito en
ambos sentidos, la solución general está dada por
u(x, t) =
∫ ∞
0
(A (w) cos(wx)+B (w) sin(wx) ) e−c
2w2tdw. Si se aplica la
condicion inicial u(x, 0) = f (x) , −∞ < x <∞ ,donde f(x) es la tem-
peratura inicial, se obtiene que u(x, 0) = f (x) =
∫∞
0
(A (w) cos(wx) +
B (w) sin(wx) ) dw es una integral de Fourier con coeficientes A (w) =
1
π
∫ ∞
−∞
f (v) cos(wv) dv y B (w) =
1
π
∫ ∞
−∞
f (v) sin(wv) dv
Determine la integral de Fourier, si la función temperatura inicial es
f(x) = e−x
2/2;−∞ < x <∞, y la solución general de está ecuación.
Solución:
Como f es una función par se tiene Ip =
∫ ∞
0
A (w) cos(wx) dw, con
, y B (w) = 0 luego
41
A (w) =
2
π
∫ ∞
0
e−v
2/2 cos(wv) dv =⇒ A′ (w) = − 2
π
∫ ∞
0
ve−v
2/2 sin(wv) dv
Integrando por partes se tiene
A
′
(w) = − 2
π
[
−e−v2/2 sin(wv) + w
∫ ∞
0
e−v
2/2 sin(wv) dv
]∞
0
Evaluando la integral y resolviendo EDO(1)
A
′
(w) = − 2
π
[
0 + w(
π
2
A (w)
]∞
0
=⇒ A′ (w) = −wA (w)
A (w) = Ce−w
2/2, C constante
Luego la integral de Fourier es:
e−x
2/2 = C
∫ π
0
e−w
2/2 cos(wx) dw
Por tanto, la solución general queda:
u(x, t) = C
∫ ∞
0
(e−w
2/2 cos(wx)) e−c
2w2t dw
Este problema ilustra la importancia de la Integral de Fourier para
resolver problemas de aplicación modelados por ecuaciones de difusion
del calor.
1.7.5. Ecuación de Onda
Una onda unidimensional que se desplaza en una cuerda elástica ho-
mogénea, está modelado por la ecuación c2 ∂
2u(x,t)
∂x2
= ∂
2u(x,t)
∂t2
donde
u(x, t) es el desplazamiento de la cuerda desde el eje x en el tiempo t
y c2 la constante la rapidez de la onda en el medio.
Si los extremos de la cuerda están fijos en x = 0, x = L , t > 0, es
decir que las condiciones de frontera son u(0, t) = u(L, t) = 0 , entonces
la solución general de este problema está dado por:
u (x, t) =
∞∑
n=1
(An cos
nπct
L
+Bn sin
nπct
L
) sin
nπx
L
, 0 < x < L y t > 0
42
Considere que la forma inicial de la cuerda está dado por f (x) , es
decir u (x, 0) = f (x) , y que la velocidad inicial de la cuerda es cero,
es decir
∂u (x, t)
∂t
= 0. Encontrar el desplazamiento u (x, t) de la cuerda
en un tiempo posterior.
Solución.
Determinemos las constantes An y Bn de la solución general aplicando
las condiciones iniciales.
Para satisfacer la condición
∂u (x, t)
∂t
= 0 , será necesario derivar la
solución general, entonces
ut (x, t) =
∞∑
n=1
nπc
L
(−An sin
nπct
L
+Bn cos
nπct
L
) sin
nπx
L
ut (x, t) =
∞∑
n=1
nπc
L
Bn sin
nπx
L
⇐⇒ Bn = 0 ∀n
De manera que la solución general se reduce a
u (x, t) =
∞∑
n=1
An cos
nπct
L
sin
nπx
L
, 0 < x < L y t > 0
Ahora, apliquemos la condición u (x, 0) = f (x) , para determinar la
constante An. Esto da como resultado
u (x, 0) = f (x) =
∞∑
n=1
An sen
nπx
L
, 0 < x < L y t > 0
que corresponde a una serie de Fourier senoidal. Aśı, es necesario con-
siderar una extension impar de la función dada fi (x) =
{
f (x) si 0 < x < L
−f (−x) si −L < x < 0 ,
de este modo el coeficiente queda
An =
2
L
∫ L
0
f (x) sin
nπx
L
dx
El resultado final es
u (x, t) =
∞∑
n=1
(
2
L∫ L
0
f (x) sin
nπx
L
dx
)
cos
nπt
L
sin
nπx
L
, 0 < x < L y t > 0
43
1.7.6. Deflexión de una viga
Una viga de longitud L , esta soportada desde sus extremos como mues-
tra la figura adjunta . Sobre la viga actúa una carga uniformemente dis-
tribuida q por unidad de longitud y su deflexión está dada por y (x) .
Si se escoge la dirección del eje y apuntando hacia abajo, como indica
la figura, se sabe que la función y (x) satisface la ecuación:
d4y
dx4
=
1
EI
q (x)
donde q (x) es la carga por unidad de longitud en el punto x, I es
el momento de inercia y E el módulo de elasticidad de la viga. Si en
nuestro caso estas tres cantidades son constantes encuente la deflexión
y (x) de la viga.
Solución.
Puesto que la función y (x) debe se nula en los extremos x = 0 y x = L,
la podemos representar mediante una serie de Fourier de senos.
y (x) =
∞∑
n=1
bn sin
nπx
L
, x ∈ [0, L]
Si suponemos que y (x) es una función continua , con derivadas contin-
uas hasta el cuarto orden en [0, L] , entonces
y(4) (x) =
∞∑
n=1
(nπx
L
)4
bn sin
nπx
L
, x ∈ [0, L]
A su vez la carga distrribuida por unidad de longitud q (x) = q, también
puede ser desarrollada en serie de Fourier de senos
q =
∞∑
n=1
qn sin
nπx
L
, x ∈ [0, L]
44
de donde qn =
1
L
∫ L
0
q sin
(
nπx
L
)
dx =
{
4
nπ
n = impar
0 n = par
Sustituyendo ambas series de Fourier en la ecuación diferencial
∞∑
n=1
(nπx
L
)2
bn sin
nπx
L
=
∞∑
n=1
qn sin
nπx
L
, x ∈ [0, L]
Comparando los coeficientes de ambas serie queda(
nπx
L
)2
bn =
{
4
nπ
n = impar
0 n = par
=⇒ bn
{
4qL4
EIπ5
1
n5
n = impar
0 n = par
Por tanto la deflexión queda determinada por
y (x) =
4qL4
EIπ5
∞∑
n=1
1
(2n− 1)5
sin
(2n− 1)πx
L
, x ∈ [0, L]
1.8. Problemas Propuestos
Rectificador media onda
La función adjunta sirve para modelar la salida de un rectificador de
media onda:
f(x) =
{
sinωx, 0 ≤ ωx ≤ π
0, −π ≤ ωx ≤ 0
a) Represente graficamente la señal de salida si ésta se extiende peri-
odicamente con periodo 2π.
b) Determine la serie de Fourier que la representa.
Solución:
f(x) =
1
π
+
1
2
sinωx− 2
π
∞∑
n=1
1
(4n2 − 1)
cos (2nωx)
Onda triangular
Una onda triángular se representa por la función:
f(x) =
{
−x,−π < x < 0
x, 0 < x < h
45
a) Represente graficamente la función.
b) Represente f(x) mediante una serie de Fourier.
c) Estudie la convergencia de la serie en x = −π, x = 0, y x = π
d) Muestre que:
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
=
π2
8
Solución:
b)
f(x) =
π
2
− 4
π
∞∑
n=1
cos (2n− 1)x
(2n− 1)2
Conducción del calor.
Consideremos una varilla delgada, aislada, situada a lo largo del eje
x, desde x = 0 hasta x = a,y supongamos que la conducción de calor
desde la varilla hacia el exterior se da solamente por los extremos de
ella, los cuales se mantienen a temperatura cero. En f́ısica se muestra
que si en tiempo t = 0 la temperatura u a lo largo de la varilla es igual
a u(x, 0) = bn sinnx, donde bn = cte y n ∈ Z+, entonces para el tiempo
t > 0 la temperatura es igual a u(x, t) = bn(sinnx) e
−κn2t, donde κ > 0
es una constante positiva. Asimismo, hay un principo de superposición
que nos permite añadir los efectos de diferentes distribuciones iniciales
de temperatura. Por lo tanto, si la temperatura inicial es:
u(x, 0) = f (x) =
∞∑
n=1
bn sinnx
entonces en tiempo t > 0, se tiene:
u(x, t) =
∞∑
n=1
bn (sinnx) e
−κn2t para 0 ≤ x ≤ a
De acuerdo con todo esto, hallar la temperatura para t > 0 para las
siguientes temperaturas iniciales dadas.
a) u(x, 0) = f (x) = 3 sinx+ 5 sin 2x. ¿Que tipo de extensión de f(x)se
requiere en este caso?
b) u(x, 0) = f (x) = ex sinx.¿Que tipo de extensión de f(x)se requiere
en este caso?
46
Soluciones.
a)
u(x, t) = f (x) = 3 sinxe−κt + 5 sin 2xe−4κt
b)
u(x, t) =
4
π
∞∑
n=1
n
n2 + 4
[
(−1)n−1 eπ − 1
]
sinnx e−κn
2t
Valor de la ráız media cuadrática
Las series de fourier se constituyen en una herramienta poderosa en el
análisis del comportamiento de los sistemas f́ısicos sujetos a pertuba-
ciones periódicas f(t).
El valor de la ráız media cuadrática ó RMC de una función f(t), sobre
un intervalo (a, b) ,se define como:
〈f(t)〉 =
√∫ b
a
f 2 (t) dt
b− a
a) Sea f (t) una función definida x ∈ [a, b] , con un peŕıodo funda-
mental T = b − a. Pruebe que aplicando la identidad de Parseval el
valor RMC se reduce a la formula:
〈f(t)〉 =
√√√√a20 + 12
∞∑
n=1
[a2n + b
2
n]
b) Determine RMC de f(t) = E sinωt, con E y ω constantes positi-
vas.
Solución:
47
b) El peŕıodo fundamental de la función f(t) = E sinωt, es 2π
ω
.
Entonces el valor RMC de f(t) es:
〈f(t)〉 =
√
1
(2π/ω)
∫ 2π
ω
0
E2 sin2(ωt) dt =
E√
2
Cuerda vibrante. Extremos fijos
Un cuerda vibra libremente con ambos estremos fijos en x = 0 y x = L.
a) Si su movimiento esta descrito por la ecuación de onda:
∂2u (x, t)
∂t2
= v2
∂2u (x, t)
∂x2
con las condiciones iniciales:
u (x, t) = f (x) y
∂u (x, 0)
∂t
= g(x)
Suponga que la solución de esta ecuación es una serie de Fourier de la
forma:
u(x, t) =
∞∑
bn
n=1
(t) sin(
nπx
L
)
sustituya esta solución en la ecuacion anterior y determine los coefi-
cientes b (t) .
b) Considere la presencia de un medio resistivo que amortigua las vi-
braciones de acuerdo con la ecuación
∂2u (x, t)
∂t2
= v2
∂2u (x, t)
∂x2
− k∂u (x, t)
∂t
Suponga que rige la solución anterior con las mismas condiciones ini-
ciales y nuevamente determine el coeficiente b (t) , suponiendo que el
amortiguamiento es pequeño, es decir
(
nπυ
L
)2 − (k
2
)2
> 0
c) Repita los calculos pero suponiendo que el amortiguamiento es grande
es decir
(
nπυ
L
)2 − (k
2
)2
< 0.
Soluciones:
48
a)
bn (t) = An cos(
nπνt
L
) +Bn sin(
nπυt
L
)
An =
2
L
∫ L
0
f (x) sin
(nπx
L
)
dx, Bn =
2
nπυ
∫ L
0
g (x) sin
(nπx
L
)
dx
b)
bn (t) = e
− k
2
t (An cos(ωnt) +Bn sin(ωnt))
An =
2
L
∫ L
0
f (x) sin
(nπx
L
)
dx, Bn =
2
Lωn
∫ L
0
g (x) sin
(nπx
L
)
dx+
k
2ωn
An,
ω2n =
(nπυ
L
)2
−
(
k
2
)2
> 0
c)
bn (t) = e
− k
2
t (An cosh(σnt) +Bn sinh(σnt))
An =
2
L
∫ L
0
f (x) sin
(nπx
L
)
dx, Bn =
2
Lσn
∫ L
0
g (x) sin
(nπx
L
)
dx+
k
2σn
An
donde, σ2n =
(nπυ
L
)2
−
(
k
2
)2
< 0
Distribución de temperatura en un disco
En una placa circular de radio ρ = 1, cuyas secciones superior e inferior
están aisladas, se mantiene la mitad de su periferia superior a una
temperatura constante T1y la otra mitad a una temperatura constante
T2.Encontrar la temperatura de la placa en condiciones estacionarias.
a) La ecuación de difusión del calor, en coordenadas polares (ρ, θ) ,en
condiciones estacionarias esta dada por ∂
2φ
∂ρ2
+ 1
ρ
∂φ
∂ρ
+ 1
ρ2
∂2φ
∂θ2
= 0,donde
φ (ρ, θ) es la funcion temperatura. Suponga que φ (ρ, θ) ,se puede sepa-
rar como φ (ρ, θ) = M (ρ)N (θ)y pruebe que la ecuación se transforma
en ρ
2 M
′′
M
+ ρ M
′
M
= −N
′′
N
.
b) A partir del resultado anterior , haga cada lado de la ecuación igual
a λ2 y encuentre las EDO(2)
N” (θ) + λ2N (θ) = 0
49
ρ2M” (ρ) + ρM (ρ) +M (ρ) = 0
b) Pruebe que N (θ) = A1 cosλθ + A2 sinλθ y M (ρ) = B1ρ
λ +
B2ρ
−λson soluciones de las correspondientes ecuaciones anteriores.
c) Pruebe que la solución general es
φ (ρ, θ) = M (ρ)N (θ) =
∞∑
n=1
T1 + T2
2
(T − T ) (1− cosnπ)
nπ
ρnsennθ
1.9. Ejercicios Resueltos
Mediante la inclusión de ejercicios resueltos se espera que
los estudiantes tengan oportunidad de movilizar sus capaci-
dades para buscar, analizar, procesar, representar y comu-
nicar diferentes tipos de información, decodificando y tra-
duciendo la información contenida en las funciones, gráficos,
series de Fourier, integrales de Fourier y sus propiedades.
1.9.1. Serie de Fourier
Problema 1
Sea f (x) periódica de peŕıodo 2 dada por
f(x) =
{
1
2
− x, 0 ≤ x ≤ 1
x− 3
2
, 1 ≤ x ≤ 2
a) determinar su serie de Fourier
b) estudie la convergencia de la serie en x0 = −π
Solución
La serie de Fourier en este intervalo es
a0 +
∞∑
n=1
(an cos (nx) + bn sinn (nx)), x ∈ [0, 2]
con coeficientes
50
a0 =
1
2
2∫
0
f (x) dx = 1
2
1∫
0
(1
2
− x)dx+1
2
2∫
1
(x− 3
2
)dx
a0 =
1
2
[
1
2
x− x
2
2
]1
0
+ 1
2
[
x2
2
− 3
2
x
]2
1
= 0
an =
2∫
0
f (x) cosnxdx
an =
1∫
0
(
1
2
− x
)
cosnxdx+
2∫
1
(x− 3
2
) cosnxdx
Integrando por partes, se tiene
an =
[
1
2nπ
sinnπx
]1
0
−
[
cosnπx
(nπ)2
+
x sinnπx
nπ
]1
0
+
+
[
cosnπx
(nπ)2
+
x sinnπx
nπ
]2
1
−
[
3
2nπ
sinnπx
]2
0
∴ an =
2 (1− (−1)n)
(nπ)2
bn =
2∫
0
f (x) sinnxdx
bn =
1∫
0
(
1
2
− x
)
sinnxdx+
2∫
1
(x− 3
2
) sinnxdx
Integrando por partes, se tiene
bn =
[
− 1
2nπ
cosnπx
]1
0
−
[
sinnπx
(nπ)2
− x cosnπx
nπ
]1
0
+
+
[
sinnπx
(nπ)2
− x cosnπx
nπ
]2
1
+
[
3
2nπ
cosnπx
]2
1
= 0
La serie de Fourier de f en [0, 2] es
2
∞∑
n=1
(1− (−1)n)
(nπ)2
cosnx =
4
π2
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
cos ((2n− 1)x)
b) Como f es continua ,entonces la serie en x = −π converge a
f (−π) = f (4− π) = 1
2
− (4− π) = π − 7
2
51
Problema 2
a) Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de peŕıodo 2π,
definida por:
f(x) = x2, − π ≤ x ≤ π
b) A partir del resultado obtenido calcular la suma de:
∞∑
n=1
1
n2
c) Determine la convergencia de la serie
∞∑
n=1
1
n4
Solución:
a) La función f es par por lo cual obtendremos una serie de cosenos,
que tiene la forma:
a0 +
∞∑
n=1
an cos (nx)
a0 =
1
π
π∫
0
f(x)dx = 1
π
π∫
0
x2dx = 1
π
[
x3
3
]π
0
= π
2
3
an =
2
π
π∫
0
f(x) cos(nx)dx = 2
π
π∫
0
x2 cos(nx)dx
an =
[
x2 sin(nx)
n
+ 2x cos(nx)
n2
]π
0
= 4 cos(nπ)
n2
= 4(−1)
n
n2
Luego, la serie de Fourier de f en [−π, π]es:
π2
3
+ 4
∞∑
n=1
(−1)n
n2
cos (nx)
Como la función es continua en R ,tenemos:
x2 =
π2
3
+ 4
∞∑
n=1
(−1)n
n2
cos (nx) , ∀ x ∈ R
52
b) La serie numérica se puede obtener poniendo x = π y f(π) = π2,
π2 =
π2
3
− 4
(
− 1
12
− 1
22
− 1
32
− ...
)
de donde
∞∑
n=1
1
n2
=
1
4
(
π − π
2
3
)
=
π2
6
c) Como la función f es seccionalmente suave para −π ≤ x ≤ π y
f (−π) = f (π) se cumplen las condiciones de suficiencia de la identidad
de Parseval, entonces:
1
π
π∫
−π
[
x2
]2
dx = 2
[
π2
3
]2
+
∞∑
n=1
[
4 (−1)n
n2
]2
=⇒
1
π
[
x5
5
]π
−π
=
2
9
π4 +
∞∑
n=1
16
n4
=⇒
∞∑
n=1
1
n2
=
π4
90
Problema 3
Sea f(x) = |x| + 1, −1 ≤ x ≤ 1, la función periódica de peŕıodo 2,
determinar:
a) Su serie de Fourier
b) La convergencia de la serie:
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
c) La convergencia de la serie
∞∑
n=1
1
(2n− 1)4
Solución
a) f(x) = |x| + 1 es función par, con semipeŕıodo L = 1, entonces
tenemos una serie coseno, que tiene la forma:
S (x) = a0 +
∞∑
n=1
an cos (nπx)
53
Con coeficientes
a0 =
1
2
1∫
0
f(x)dx = 1
2
1∫
0
(x+ 1) dx = 3
2
an = 2
1∫
0
f(x) cos(nπx)dx = 2
1∫
0
(x+ 1) cos(nx)dx
an = 2
[
sin(nπx)
nπ
]1
0
+ 2
[
x sin(nπx)
nπ
+ 2 cos(nπx)
(nπ)2
]1
0
an =
[
2 cos(nπx)
(nπ)2
]1
0
= 2((−1)
n−1)
(nπ)2
an =
{
0; si n par
− 4
(nπ)2
; si n impar
Por consiguiente, la serie de Fourier de f en [−1, 1] es:
S (x) =
3
2
− 4
π2
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
cos ((2n− 1)πx)
b) Como la función es continua en R ,considerando el valor x = 0,se
obtiene por el teorema de la convergencia puntual:
3
2
+
4
π2
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
= f (0) = 1
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
=
π2
8
c) Como la función f es seccionalmente suave para −1 ≤ x ≤ 1 y
f (−1) = f (1) se cumplen las condiciones de suficiencia de la identidad
de Parseval, entonces:
2
1∫
0
[x+ 1]2 dx = 2
[
3
2
]2
+
∞∑
n=1
[
4
(2n− 1)2
]2
=⇒
2
[
(x+ 1)3
3
]1
0
=
9
2
+
∞∑
n=1
16
π2 (2n− 1)4
=⇒
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
=
π4
96
54
Problema 4
a) Para f(x) = e−[x], 0 ≤ x ≤ 2 ,obtener su serie de Fourier en cosenos,
de peŕıodo 4.
b) Del resultado determinar la convergencia de:
∞∑
n=1
(−1)n−1
2n− 1
Solución
a) Evaluando la función parte entera tenemos
f(x) =

1 si 0 ≤ x < 1
e−1 si 1 ≤ x < 2
e−2 si x = 2
Con extensión par fp(x) de f(x) se obtiene la serie:
a0 +
∞∑
n=1
an cos
nπx
2
a0 =
1
2
[
1∫
0
1dx+
2∫
1
e−1dx
]
= 1
2
[1 + e−1]
an =
[
1∫
0
cos nπx
2
dx+
2∫
1
e−1 cos nπx
2
dx
]
=
sin nπx
2
nπ
2
|10 + e−1
sin nπx
2
nπ
2
|21
= 2
sin nπ
2
nπ
+ 2e−1
sinnπ−sin nπ
2
nπ
= 2
sin nπ
2
nπ
[1− e−1]
Finalmente, la serie es:
1 + e−1
2
+ 2(1− e−1)
∞∑
n=1
sin nπ
2
nπ
cos
nπx
2
b) Convergencia de x0 = 2 punto de discontinuidad con ĺımites laterales
e−1 se tiene convergencia:
e−1 =
1 + e−1
2
+ 2(1− e−1)
∞∑
n=1
sin nπ
2
nπ
cosnπ
55
e−1 − 1
2
= 2(1− e−1)
∞∑
n=1
sin nπ
2
nπ
cosnπ
∞∑
n=1
(−1)n−1
2n− 1
=
π
4
Problema 5
Sea f (x) = x2 − [x] , para x ∈ [0, 2] .
a) Obtener la serie de Fourier coseno de f (x) .
b) Obtener a qué valores converge la serie para cada x ∈ [0, 2] .
Solución
a) Si se evalúa la función parte entera de x tenemos
[x] = 0,∀x ∈ (0, 1) y [x] = 1,∀x ∈ (1, 2) .
Entonces la función queda f (x) =
{
x2, 0 ≤ x < 1
x2 − 1, 1 ≤ x < 2
Consideremos ahora una extensión par de la función f , entonces la serie
coseno de f (x) es
S (x) = a0 +
∞∑
n=1
an cos
(nπx
2
)
con coeficientes
a0 =
1
2
2∫
0
f (x) dx = 1
2
1∫
0
x2dx+ 1
2
2∫
1
(x2 − 1)dx
a0 =
1
2
[
x3
3
]1
0
+ 1
2
[
x3
3
− x
]2
1
= 5
6
an =
2∫
0
f (x) cos nπx
2
dx
an =
1∫
0
x2 cos nπx
2
dx+
2∫
1
(x2 − 1) cos nπx
2
dx
Integrando por partes, se tiene
an =
[
8x
(nπ)2
cos
nπx
2
+
(
2
nπ
x2 − 16
(nπ)3
)
sin
nπx
2
]1
0
56
+
[
8x
(nπ)2
cos
nπx
2
+
(
2
nπ
x2 − 16
(nπ)3
)
sin
nπx
2
]2
1
−
[
2
nπ
sin
nπx
2
]1
0
∴ an =
[
16
(nπ)2
cosnπ +
2
nπ
sinnπ
]
Sustituyendo estos resultados, se obtiene la serie de Fourier
S (x) =
5
6
+
∞∑
n=1
[
16
(nπ)2
cosnπ +
2
nπ
sinnπ
]
cos
nπx
2
Tenemos que f es seccionamente continua en [0, 2] , por lo tanto su ex-
tensión peŕıodica es seccionalmente continua en R , con discontinuidad
de salto en los puntos x = 1 y x = 2
Por lo tanto, de acuerdo con el teorema de convergencia, la serie con-
verge a
S(x) =

f(x) si 0 ≤ x < 1
1
2
si x = 1
f (x) si 1 ≤ x < 2
3
2
si x = 2
Problema 6
Utilice la serie de Fourier para demostrar la identidad trigonométrica
sin3(x) =
3
4
sin(x)− 1
4
sin(3x)
Solución
Se calcula la serie de Fourier de f(x) = sin3(x) en [−π, π] . Como f (x)
es impar la serie será:
∞∑
n=1
bn sinnπ
con coeficientes:
bn =
2
π
π∫
0
sin3(x) sin(nx)dx
57
En primer lugar, calculemos la integral para n 6= 1
π∫
0
sin3 x sinnxdx =
[
− sin3 xcosnx
n
]
|π0 +
3
n
π∫
0
sin2 x cosx cosnxdx
Usando la identidad trigométrica: cos x cosnx =
cos(n− 1)x − cos(n+ 1)x
2
La última integral se puede expesar como
=
3
2n
π∫
0
sin2 x [cos(n− 1)x− cos(n+ 1)x] dx (1)
En segundo lugar, calculemos el valor del coeficiente b1 para n = 1 en
(1)
b1 = −
1
π
3
2
π∫
0
sin2 x cos 2xdx = − 3
4π
π∫
0
(1− cos 2x) cos 2xdx = 3
4π
π∫
0
1− cos 4x
2
dx
b1 =
2 · 3
4π
π
2
=
3
4
En tercer lugar, para n > 1 en (1)
bn =
3
2n
sin2 x(sin(n+ 1)x
n+ 1
+
sin(n− 1)x
n− 1
)
|π0 −
π∫
0
(
sin(n+ 1)x
n+ 1
+
sin(n− 1)x
n− 1
)
sin 2xdx

bn = −
3
2n
π∫
0
(
sin(n+ 1)x
n+ 1
+
sin(n− 1)x
n− 1
)
sin 2xdx
Usando la identidad trigonométrica
bn = −
3
2n
1
n+ 1
1
2
π∫
0
(cos(n+ 1)x− cos(n+ 3)xπ) dx
− 3
2n
1
n− 1
1
2
π∫
0
(cos(n− 3)x− cos(n+ 1)x)dx = 0, ∀ n 6= 3
Para n = 3 el cálculo directo, produce:
b3 = −
3
2 · 3 · 2
π
2
2
π
= −1
4
Por tanto, la serie de Fourier de f en [−π, π]es:
3
4
sin(x)− 1
4
sin(3x)
58
Problema 7
Sea f(x) = x(sinx), para −π ≤ x ≤ π, entonces:
a) Determine la serie de esta función.
b) Pruebe la convergencia de la serie:
∞∑
n=1
(−1)n
n2 − 1
=
1
4
c) Pruebe que esta serie se puede diferenciar término a término y utilice
este hecho para obtener el desarrollo de Fourier de sin (x) + x cos (x) .
Solución
a) La función f(x) es par, es decir f(x) = f(−x) ∀ x ∈ (−π, π),
entonces:
bn = 0
a0 =
1
π
π∫
0
f(x)dx =
1
π
π∫
0
x sinxdx =
∴ a0 =
1
π
[x (− cosx)]π0 + π∫
0
cosxdx
 = 1
an =
2
π
π∫
0
f(x) cos(nx)dx =
2
π
π∫
0
x sinx cos(nx)dx
Para n 6= 1
an =
1
π
π∫
0
x [sin ((n+ 1)x)− sin ((n− 1)x)] dx
Integrando por partes, queda
an =
1
π
[
x
(
−cos ((n+ 1)x)
(n+ 1)
+
cos ((n− 1)x)
(n− 1)