Guía 03 Derivadas

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Laboratorio Variable Compleja y Análisis de Fourier 1 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
 
 
 
 
 
DERIVADA DE FUNCIONES COMPLEJAS 
 
1. DEFINICIÓN (Derivada de una Función Compleja): Sea  →f :D , una función compleja de 
variable compleja z, entonces la derivada f ' de la función f en el punto z Dom(f ), está dado por: 
 
 
 →
+  −
=
z 0
f(z z) f(z)
f '(z) lim
z
 
 
Siempre y cuando el límite existe. 
 
Nota: Diferenciabilidad implica continuidad, lo contrario no es verdad. 
 
Ejemplo 01: Verifique si 
2( ) 5 3 ,f z z= − entonces 
2
5
'( )
5 3
z
f z
z
=
−
 
Solución: 
Se conoce: = −  +  = +  −2 2f (z) 5z 3 f (z z) 5(z z) 3 
 
Por definición: 
 →
+  − − −
= =

2 2
z 0
5(z z) 3 5z 3 0
f '(z) lim
z 0
 Racionalizamos 
 
 →  →
+  − − − +  − − −
= =
 
2 2 2 2
z 0 z 0
( 5(z z) 3 5z 3)FR 5(z z) 3 (5z 3)
f '(z) lim lim
z FR z FR
 
 
 →  →  →
+  +  − − −  +   + 
= = =
  
2 2 2 2
z 0 z 0 z 0
5(z 2z z z ) 3 (5z 3) 10z z 5 z z(10z 5 z)
f '(z) lim lim lim
z FR z FR z FR
 
 
 →
+ 
= = =
+  − + − − −2 2 2 2z 0
10 z 5 z 10 z 5 z
f '(z) lim
( 5(z z) 3 5z 3) 2 5z 3 5z 3
 
 
Por tanto: =
−2
5 z
f '(z)
5z 3
 
 
Ejemplo 02: Si 
+ −
= =
z z z z
x (z;z) ; y (z;z)
2 2i
 Determine:  
 
f f
;
z z
 
Solución: 
i) Determinamos:     = +
    
f f x f y
z x z y z
 
 →  →  →
+  + +
−  +  −
= = =
  z 0 z 0 z 0
z z z z z
zx x (z z;z) x (z;z) 2 2lim lim lim
z z z 2 z
=
1
2
 
 
 →  →  →
+  − −
−
 +  −
= = =
  z 0 z 0 z 0
z z z z z
zy y(z z;z) y (z;z) 2i 2i
lim lim lim
z z z 2i z
= = −
1 i
2i 2
 
Assinatura: Var. Compleja y Anal. de F 
Docente: Ms.C. Ronald Reyes Narváez 
Tema: Limites y Continuidad de 
 Funciones Complejas 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 2 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
 
 
Ahora: 
     
= + −   
     
f f 1 f i
z x 2 y 2
 Por tanto: 
   
= − 
   
f 1 f f
i
z 2 x y
 
 
ii) Determinamos:     = +
   
f f x f y
x yz z z
 
 
 →  →  →
+ +  +
−  +  −
= = =
  z 0 z 0 z 0
z z z z z
zx x(z;z z) x (z;z) 2 2lim lim lim
z z z 2 z
=
1
2
 
 
 →  →  →
− −  −
−
−  +  −
= = =
  z 0 z 0 z 0
z z z z z
zy y(z;z z) y (z;z) 2i 2i
lim lim lim
z z z 2i z

= − =

y 1 i
2i 2z
 
 
Ahora: 
     
= +   
     
f f 1 f i
x 2 y 2z
 Por tanto: 
   
= + 
   
f 1 f f
i
2 x yz
 
 
 
1.2. Teorema: Sean  →f ,g :D , funciones complejas y k una constante compleja entonces: 
 
a) Si = =  =
dw
w f (z) k 0
dz
 
 
b) Si =  =
dw
w k f (z) k f ' (z)
dz
 
 
c) Si =   = 
dw
w f (z) g(z) f ' (z) g'(z)
dz
 
 
d) Si =  = +
dw
w (f .g)(z) f ' (z).g(z) f (z).g'(z)
dz
 
 
e) Si 
−
=  =
2
f (z) dw f '(z).g(z) f (z).g'(z)
w
g(z) dz g (z)
 Con g(z) 0. 
 
2. DEFINICIÓN: La función  →f :D , es derivable en el punto 0z Dom(f ), si existe la 
derivada en 0(f '(z )) es decir: 
 
 →
+  −
=

0 0
0
z 0
f(z z) f(z )
f ' (z ) lim
z
 
 
Su equivalente es: 
→
−
=
−0
0
0
z z 0
f(z) f(z )
f ' (z ) lim
z z
 Donde:  =  + z x i y 
2.1. Interpretación Geométrica de la Derivada: Sea  →f :D una función compleja y 
0z D un punto P en el plano complejo (z) y sea 0w 0 su imagen P' en el plano (w) bajo la 
transformación =w f (z), puesto que se supone que f (z) es univoca, el punto 0z es aplicado 
sólo en el punto 0w . 
 
 
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Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 3 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al incrementar a 0z en  z se obtiene el punto Q este tiene como imagen a Q' en el plano (w), 
entonces se observa que P'Q' representa al número complejo  = +  −0 0w f (z z) f (z ), se reduce 
que la derivada en z existe y está dado por: 
 
 
→  →
+  −
=

0 0
Q P z 0
f(z z) f(z )Q 'P '
lim lim
QP z
 
 
3. ECUACIONES DE CAUCHY – RIEMANN: Consiste en obtener un par de ecuaciones que deben 
satisfacer las primeras derivadas parciales de las funciones componentes u y v de una función 
= +f(z) u(x;y) i v(x;y) 
 
3.1. Teorema: En todos los puntos donde exista f ' (z), se cumple las Ecuaciones de Cauchy – 
Riemman. 
 
 
= = −x y y xu v ; u v 
 
Demostración: 
 
Hipótesis : f ' (z) existe 
 
Tesis : = = −x y y xu v ; u v 
 
Se conoce: 
= +

+ = +
 =  + 
f(z) u(x;y) i v(x;y)
f(x i y) u(x;y) i v(x;y)
z x i y
 
Por definición: 
 →
+  −
=
z 0
f(z z) f(z)
f '(z) lim ...(*)
z
 
Ahora: 
+  = + +  +  = +  + +  = +  +  + +  + f (z z) f (x i y x i y) f (x x i(y y) u(x x;y y) iv (x x;y y) 
 
Ahora reemplazamos en (*) 
 
   
  →
+  +  + +  +  − +
=
 + ( x; y) (0;0)
u(x x;y y) i v (x x;y y) u(x;y) i v (x;y)
f ' (z) lim
x i y
 
 
   
  →
+  +  − + +  +  −
=
 + ( x; y) (0;0)
u(x x;y y) u(x;y) i v (x x;y y) v (x;y)
f ' (z) lim
x i y
 
Y 
X 
P 
Q 
O 
 
 
 
V 
U 
P’ 
Q’ 
O 
 
 
 
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Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 4 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
 
Ahora nos interesa como  →z 0, para esto elegimos la trayectoria de los ejes coordenados. 
 
1°) Eje X: ( x;0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 →
+  − + +  −
=
x 0
u(x x;y) u(x;y) i v (x x;y) v (x;y)
f ' (z) lim
x
 
 
 
 →  →
+  − +  −
= +
 
x x
x 0 x 0
u v
u(x x;y) u(x;y) v (x x;y) v (x;y)
lim i lim
x x
 
 
Entonces: = +x xf '(z) u iv … (i) 
 
2°) Eje Y: (0; y) 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 →
+  − + +  −
=
y 0
u(x;y y) u(x;y) i v (x;y y) v (x;y)
f ' (z) lim
i y
 
 
 →  →
−
+  − +  −
= − +
 
y y
y 0 y 0
i u v
u(x;y y) u(x;y) v (x;y y) v (x;y)
i lim lim
y y
 
 
Entonces: = − +y yf '(z) iu v … (ii) 
 
Ahora de (i) y (ii) se obtiene: 
 
Por tanto: = = −x y y xu v ; u v Lqqd. 
 
Ejemplo 03: Analizar si la función dada satisface las ecuaciones de Cauchy – Riemann en el origen 
 
  + 
= 

 =
3
2
4
2 4
Re(z ) Im(z )
i ; Si z 0
f (z)
z z
0 ; Si z 0
 
Solución: 
 = +
= +  = +  
 = +
2 2 2
2 2
4 2 2 2
z x y
z x i y z x y
z (x y )
 
 
Y 
X 
 
 
Y 
X 
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Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 5 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
= +  = + + = − +  = −2 2 2 2 2 2 2 2 2z x iy z x 2ixy i y (x y ) i(2xy) Re(z ) x y 
 
 = +  = − + = − + + −
 
2
4 2 2 4 2 2 4 3 3z x iy z (x y ) i(2x y) (x 6x y y ) i(4x y 4x y ) 
 
Reemplazando en la función: 
 − −
+ 
=  + +

=
2 2 3 3 3
2 2 2 2 2
(x y ) (4x y 4xy )
i ; Si (x;y) (0;0)
f (z) x y (x y )
0 ; Si (x;y) (0;0)
 
 
Donde: 
 − −
  
= = + +
 
= = 
2 2 3 3 3
2 2 2 2 2
(x y ) 4x y 4xy
; Si (x;y) (0;0) ; Si (x;y) (0;0)
u(x;y) ; v (x;y)x y (x y )
0 ; Si (x;y) (0;0) 0 ; Si (x;y) (0;0)
 
 
*) Verificar la primera ecuación de Cauchy – Riemann: =x yu (0;0) v (0;0) 
→ → → →
−
= = = = =
−
6
2
3
x
x 0 x 0 x 0 x 0
x
u(x;0) u(0;0) u(x;0) xu (0;0) lim lim lim lim x 0
x 0 x x
 
 
→ → →
−
= = = =
−
y
y 0 y 0 y 0
v(0;y) v (0;0) v (0;y) 0
v (0;0) lim lim lim 0
y 0 y y
 
 
Entonces: = =x yu (0;0) v (0;0) 0 Cumple 
 
**) Verificar la segunda ecuación de Cauchy – Riemann: = −y xu (0;0) v (0;0) 
→ → → →
−
−
= = = = − =
−
6
2
3
y
y 0 y 0 y 0 y 0
y
u(0;y) u(0;0) u(0;y) y
u (0;0) lim lim lim lim y 0
y 0 y y
 
 
→ → →
−
= = = =
−
x
x 0 x 0 x 0
v (x;0) v (0;0) v (x;0) 0
v (0;0) lim lim lim 0
x 0 x x
 
 
Entonces: = − =y xu (0;0) v (0;0) 0 Cumple 
 
Por tanto: f (z) cumple con las ecuaciones de Cauchy - Riemann 
 
Ejemplo 04: Analizar si la función dada satisface las ecuaciones de Cauchy – Riemann en el origen 


= 

=
32
z
; Si z 0
f (z) z
0 ; Si z 0
 
Solución: 
= +  = +  = +
22 2 2 2z x iy z x y z x y 
 
= +  = + − − = − + −3 3 2 2 3 3 2 2 3z x iy z x 3x yi 3xy iy (x 3xy ) i(3x y y ) 
 
Reemplazando en la función: 
 
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Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 6 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
 − −
+ 
=  + +

=
3 2 2 3
2 2 2 2
x 3xy 3 x y y
i ; Si (x;y) (0;0)
f (z) x y x y
0 ; Si (x;y) (0;0)
 
 
Donde: 
 
 − −
  
= = + +
 
= = 
3 2 2 3
2 2 2 2
x 3xy 3 x y y
; Si (x;y) (0;0) ; Si (x;y) (0;0)
u(x;y) ; v (x;y)x y x y
0 ; Si (x;y) (0;0) 0 ; Si (x;y) (0;0)
 
 
*) Verificar la primera ecuación de Cauchy – Riemann: =x yu (0;0) v (0;0) 
→ → → →
−
= = = = =
−
3
2
x
x 0 x 0 x 0 x 0
x
u(x;0) u(0;0) u(x;0) xu (0;0) lim lim lim lim (1) 1
x 0 x x
 
 
→ → → →
−
−
= = = = − = −
−
3
2
y
y 0 y 0 y 0 y 0
y
v (0;y) v (0;0) v (0;y) y
v (0;0) lim lim lim lim ( 1) 1
y 0 y y
 
 
Entonces: x yu (0;0) v (0;0) No cumple 
 
Por tanto: f (z) no cumple con las ecuaciones de Cauchy – Riemann 
 
3.2. Teorema: Sea = +f (z) u(x;y) iv (x;y) una función compleja definida en alguna región D 
que contiene al punto 0z y que tiene primeras derivadas parciales continuas, con respecto a 
" x" e " y " que satisfacen las ecuaciones de Cauchy – Riemman en 0z , entonces 0f '(z ) 
existe. 
 
3.3. Teorema: Sea = +f (z) u(x;y) iv (x;y) una función compleja, transformaremos esta 
función a coordenadas polares: 
 
 
 
 
 
 
 
 
=  + f (z) u(r ; ) i v (r ; ) 
 
Las relaciones entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas polares son: 
 
=  =   =  
 
y
x r cos( ) ; y r sen( ) ; arctan
x
 
 
Determinamos las derivadas parciales de u y v con respecto a x e y, mediante la regla de la 
cadena. 
 
x 
y 
 
 
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Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 7 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 

= + 

 = +
 

 = +
 


 = +

du du dr du d
. . ...(1)
dx dr dx d dx
du du dr du d
. . ...(2)
dy dr dy d dy
dv dv dr dv d
. . ...(3)
dx dr dx d dx
dv dv dr dv d
. . ...(4)
dy dr dy d dy
 
 

= = = = 
+

 = = = = 

+
2 2
2 2
dr x x r cos( )
cos( )
dx r rx y
dr y y r sen( )
sen( )
dy r rx y
 
 
 − −  
= = = − = −
+

   = = = =
 +
2 2 2 2
2 2 2 2
d y y r sen( ) sen( )
dx rx y r r
d y x r cos( ) cos( )
dy rx y r r
 
 
Ahora reemplazamos en (1), (2), (3), (4), se tiene: 
 

=  − 

 =  +
 

 =  −
 


 =  +

du du sen( ) du
cos( ) . ...(5)
dx dr r d
du du sen( ) du
sen( ) . ...(6)
dy dr r d
dv dv sen( ) dv
cos( ) . ...(7)
dx dr r d
dv dv cos( ) dv
sen( ) . ...(8)
dy dr r d
 
 
Por las ecuaciones de Cauchy Riemann se tiene: 
 
− = + =
du dv du dv
0 , 0
dx dy dy dx
 
 
Reemplazamos (5) y (8): En − =
du dv
0
dx dy
 
−  − +  =
 
du 1 dv 1 du dv
( )cos( ) ( )sen( ) 0 ...(9)
dr r d r d dr
 
 
Reemplazamos (6) y (7): En + =
du dv
0
dy dx
 
+  − −  =
 
1 du dv du 1 dv
( )cos( ) ( )sen( ) 0 ...(10)
r d dr dr r d
 
 
Ahora multiplicamos (9) y (10) por cos( ) y sen( ) 
−  − +   =
 
2du 1 dv 1 du dv( )cos ( ) ( )sen( )cos( ) 0 ...(11)
dr r d r d dr
 
+   − −  =
 
21 du dv du 1 dv( )sen( )cos( ) ( )sen ( ) 0 ...(12)
r d dr dr r d
 
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Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 8 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
 
Sumando (11) y (12): 
−  +  =

2 2du 1 dv( )(cos ( ) sen ( )) 0
dr r d
 
Donde: − =

du 1 dv
0
dr r d
 Por tanto: =

du 1 dv
dr r d
 
 
Ahora multiplicamos (9) y (10) por − sen( ) y cos( ) 
−   + +  =
 
21 dv du 1 du dv( )sen( )cos( ) ( )sen ( ) 0 ...(13)
r d dr r d dr
 
+  − −   =
 
21 du dv du 1 dv( )cos ( ) ( )sen( )cos( ) 0 ...(14)
r d dr dr r d
 
 
Sumando (13) y (14): 
+  +  =

2 21 du dv( )(cos ( ) sen ( )) 0
r d dr
 
Donde: + =

1 du dv
0
r d dr
 Por tanto: = −

dv 1 du
dr r d
 
 
Por tanto: Las Ecuaciones de Cauchy – Riemann en coordenadas polares son: 
 
= = −
 
du 1 dv dv 1 du
y
dr r d dr r d
 
Ejemplo 05: Analizar si la función    ( ) ln ( ) cos ln ( ) ; 0 ; 0 2f z e sen r i e r r   = +    satisface 
las ecuaciones de Cauchy. 
Solución: 
Determinamos las derivadas parciales en:    ( ; ) ln ( ) ; ( ; ) cos ln ( )u r e sen r v r e r  = = 
 
 
cos ln ( )
; ln ( )
e rdu du
e sen r
dr r d



= = y
 
 
 
ln ( )
; cos ln ( )
e sen rdv dv
e r
dr r d



= − = 
Ahora verificamos las ecuaciones de Cauchy – Riemann: 
 
 
= =

e cos ln(r)1 dv du
r d r dr
 y 
 
− = − =

e sen ln(r)1 du dv
r d r dr
 
 
Por tanto: Satisface las ecuaciones de Cauchy – Riemann 
 
4. DEFINICIÓN (Coordenadas Conjugadas): El número complejo z y su conjugada z , son 
determinadas en forma única por un par de coordenadas (x;y) dadas por = + = −z x iy , z x iy de 
donde 
+
=
z z
x
2
 y 
−
=
z z
y
2i
 entonces el par (z;z) se llama Coordenadas Conjugadas. 
 
Nota: Las ecuaciones 
 = + = −

 + −
= =

z x iy , z x iy
z z z z
x ,y
2 2i
 
Nos permite transformar las coordenadas rectangulares (x;y) a coordenadas conjugadas (z;z) 
 
ENTRETENIMIENTO 
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Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 9 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
 
01. Analizar si las siguientes funciones satisface las ecuaciones de Cauchy Riemman en (0;0) 
a) 
 − +
+ 
=  + +

=
3 3 3 3
2 2 2 2
x y x y
i ; si (x;y) (0;0)
f (z) x y x y
0 ; si (x;y) (0;0)
 b) 

+ 
=  + +

=
2
2 2 2 2
x y y
i ; si (x;y) (0;0)
f (z) x y x y
0 ; si (x;y) (0;0)
 
 
c) 
 −
+ 
=  + +

=
4 4 4 2
6 3 6 2
x y x y
i ; si (x;y) (0;0)
f (z) x y x y
0 ; si (x;y) (0;0)
 
 
02. Analizar si las siguientes funciones satisface las ecuaciones de Cauchy Riemman 
 
a) −= + = + −
xe cos(y) x xy 2 2f (z) u(x;y) iv (x;y) e cos(e sen(y)) ie cos(x y ) 
 
b) 
 
= + +  
 
2 2 xf(z) ln( x y ) iarccotg
y
 
 
c) 
       
= −              + + + +       
2 2 2 2 2 2 2 2
x y x y
f(z) sen cosh icos senh
x y x y x y x y
 
 
 
03. Analizar si la siguiente función satisface las ecuaciones de Cauchy Riemman 
 
−= + = + + −x x 2xy 2 2f (z) u(x;y) iv(x;y) xe sen(y) ye cos(y) ie sen(x y ) 
 
04. Analizar si la siguiente función satisface las ecuaciones de Cauchy Riemman 
 
−= + = + + −x x 2xy 2 2f (z) u(x;y) iv(x;y) xe sen(y) ye cos(y) ie sen(x y ) 
05. Pruebe que cada función satisface las ecuaciones de Cauchy – Riemman. 
 
a) = −f (z) cos(x)cosh(y) isen(x)senh(y) 
 
b) = −f (z) sen(x)cosh(y) icos(x)senh(y) 
 
c)  = +xf (z) e cos(x) isen(y) 
 
06. Analizar si la función dada satisface las ecuaciones de Cauchy – Riemman en (0;0). 
 
a) 
 
 + 
= 

=
2 4
2 6
Re(z) Im(z )
i ; z 0
f (z) z z
0 ; z 0
 b) 


= 

=
3
2
(z)
; z 0
f (z) z
0 ; z 0
 ¿ f ' (0) ? 
 
c) 


= 

=
5
4
z
; z 0
f (z) z
0 ; z 0
 d) 
 
  + 
= 

 =
2
2
4
4 4
Re(z ) Im(z )
i ; z 0
f (z)
z z
0 ; z 0
 
 
07. Analizar si la siguiente función satisface las ecuaciones de Cauchy Riemman 
−
 +
= + = − +   + 
4x y 2 2
2 2
x y
f (z) u(x;y) iv (x;y) e sen(y x ) i
x y
 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Variable Compleja y Análisis de Fourier 10 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
08. Dado la función: 
( )
 
= 

 =
2
2
z
; z 0
f (z)
z
0 ; z 0
 Analizar si: 
a) " f " satisface las ecuaciones de Cauchy Riemman en (0;0). 
b) ¿  f ' (0) ? 
 
09. Pruebe que las funciones satisfacen las ecuaciones de Cauchy Riemman 
a) = − + −
3 2 2 2f (z) (x 3xy ) i(3x y y )b) 
− −= −2 x iyf (z) (z 2)e 
 
c) = − + −
2 2 2 2f (z) sen(x y )cosh(2xy) icos(x y )senh(2xy)