Guía 02 Límites y Continuidad

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Variable Compleja y Análisis de Fourier 1 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
 
 
 
 
 
LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES COMPLEJAS 
 
1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN COMPLEJA DE VARIABLE COMPLEJA: Sea : ,f D  una 
función compleja de variable compleja ,z definida en la región D excepto posiblemente en 0 .z 
Se define: 
0
0lim ( ) 0, 0 / 0 ( )
z z
f z L z z f z L   

            
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: Para que el límite exista y sea igual a L, se requiere que ( )f z se aproxime al mismo número 
complejo L a lo largo de toda curva posible que pasa por 
0 .z 
 
1.1. Propiedades: Suponemos que: 
0
lim ( )
z z
f z A

 y 
0
lim ( ) .
z z
g z B

 Entonces. 
 
a) 
0
lim ;
z z
k k k

  
 
b)  
0 0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
z z z z z z
f z g z f z g z A B
  
     
 
 
c) 
0 0 0
lim ( ). ( ) lim ( ). lim ( ) .
z z z z z z
f z g z f z g z A B
  
  
 
d) 
0
0
0
lim ( )
( )
lim ; 0 ; ( ) 0 ;
( ) lim ( )
z z
z z
z z
f z
f z A
B g z z
g z g z B



 
     
 
 
 
e) Si 
0 0
1 1
lim ( ) 0 lim
( )z z z z
f z A
f z A 
    
 
Ejemplo 01: Use la definición de límite para demostrar que: 
2
1
( 2) ( )
lim 3 3
1z
z z z i
i
z
  
 

 
Demostración: 
 
i) Verificamos el límite: 
 
Assinatura: Var. Compleja y Anal. de F 
Docente: Ms.C. Ronald Reyes Narváez 
Tema: Limites y Continuidad de 
 Funciones Complejas 
0 X 
Y 
Z 
0 u 
v 
 f (z) 
f 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Ecuaciones Diferenciales 2 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
2
1 1
( 2) ( 1)( 2) ( )
lim lim
1z z
z zz z z i
z 
   


( )
1
z i
z

 1
lim( 2)( ) 3(1 )
z
z z i i

     
 
2
1
( 2) ( )
lim 3 3
1z
z z z i
i
z
  
  

 
 
ii) Entonces 
1
lim( 2)( ) 3 3
z
z z i i

    
 
Si 0, 0     tal que ( 2)( ) 3 3z z i i      siempre que 0 1z    
 
Partimos de: 
 
2 2( 2)( ) 3 3 2 2 3 3 2 3 ( 1)( 3) ( 1)z z i i z z z i i i z z z i i z z i z                    
 
 ( 1)( 3 ) 1 . 3z z i z z i        … (i) 
 
Pero como: 
23 3 3 1 10z i z i z z          
 
Entonces: 3 10z i z    … (ii) 
 
De (i) y (ii): ( 2)( ) 3 3 1 .( 10 )z z i i z z       … (iii) 
 
Para acotar partimos de: 
 
11 1 1 1 1z z        Sumando 1: 0 2 2z z    
 
Entonces por (iii): 
 
2( 2)( ) 3 3 1 .( 10 ) 1 .(2 10) (2 10)z z i i z z z               
 
2
(2 10)

 

 Luego min 1;
(2 10)


 
   
 
 
 
Por lo tanto: 
2
1
( 2) ( )
lim 3 3
1z
z z z i
i
z
  
 

 
 
Ejemplo 02: Calcule el siguiente límite 
4
2
4
lim
1i
z e
z
z z

 
 
Solución: Para esto recordar la igualdad cos( ) ( )
n
i x in xe e n x i sen n x      
 
4
4
4 4 4
2
2 24 2
4 4
44 4 4
lim
( )
lim
1 lim lim lim 1
( ) ( ) 1 1
i
i
i i i
i i
z e
i i i
iz e
z e z e z e
z
z e e
z z z z
e e e e


  
 
  



  
  
   
   
 
 
     
cos
2 2
2
cos cos 1 1 1 1
4 4 2
i sen
i
i sen i sen i
 
 
 
   
   
    
   
          
   
 
 
2 2 2 (1 ) 2
.
2 (1 ) 2 (1 ) 2 (1 )
i i i
i i i

  
   2
2 (1 )
2 (1 )
i
i


 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Ecuaciones Diferenciales 3 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
 
Por tanto: 
4
2
4
2 (1 ) 2 2
lim
1 2 2 2i
z e
z i i
z z


  
 
 
 
1.2. Teorema: Sea w una función compleja tal que: ( ) ( ; ) ( ; ),w f z u x y iv x y   
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; ; ( ; ) ( ; ).z x i y z x i y w u i v u x y i v x y        
 
Si w está definida en una región ,D con la posible excepción de 0 ,z y 
2; :u v  son 
funciones de valor real, Diremos que el límite de w existe en 
0z y 
0
0lim ( )
z z
f z w

 si y solo si 
0 0
0
( ; ) ( ; )
lim ( ; )
x y x y
u x y u

 y 
0 0
0
( ; ) ( ; )
lim ( ; ) .
x y x y
v x y v

 
 
Ejemplo 03: Dada la función:     
2 2f (x,y) (x y x) i(2xy y) Expresarla como función de 
una variable compleja. 
Solución: 
Observamos     
2 2
u(x;y) v(x;y)
f (x,y) (x y x) i(2xy y) 
2
2
z z
x
z x i y
z zz x i y
y
i
 
  
  
   

 
i) En 
2 2( ; )u x y x y x   
2 2
2 2 2 2
2
2 2
2 2
( ) ( ) 2 ( 2 )
( ; )
4 4 2 4 2
2 2 2
z z z z z z z zz z z zz z z z
u x y
i
z z z z z z z z
        
    
    
  
 
 
ii) En ( ; ) 2v x y xy y  
2 2
2 2( ) ( )
( ; ) 2
2 2 2 2 2 2
z z z z z z z z z z i z z i z z
v x y
i i i i
         
      
  
 
 
Reemplazando: 
 
            
    
 
 
       
   
2 2 2 22 2 2 2
2 22 2 2
2
z z z z i(z z ) i(z z) z z z z (z z ) (z z)
f (x,y) i
2 2 2 2
z z z z z z z z 2z 2z
z z
2 2
 
 
Por tanto:  
2f (x,y) z z 
 
2. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN COMPLEJA DE VARIABLE COMPLEJA: Una función 
: ,f D  es continua en el punto 0 ,z D sí y solo si: 
 
i) 
0( )f z está definida  0 0( ; )u x y y 0 0( ; )v x y están definidas. 
 
ii) 
0
lim ( )
z z
f z

  existen 
0 0( ; ) ( ; )
lim ( ; )
x y x y
u x y

 y 
0 0( ; ) ( ; )
lim ( ; )
x y x y
v x y

 
 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Ecuaciones Diferenciales 4 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
 
iii) 
0
0lim ( ) ( )
z z
f z f z

  
0 0
0 0
( ; ) ( ; )
lim ( ; ) ( ; )
x y x y
u x y u x y

 y 
0 0
0 0
( ; ) ( ; )
lim ( ; ) ( ; )
x y x y
v x y v x y

 
 
Ejemplo 04: Dado la función 
4 ;
( )
0 ;
z z i
f z
z i
 
 

 verificar si es continua en .z i 
Solución: 
 
i) ( ) 0f i  está definido 
 
ii) 
4 4lim ( ) lim( ) 1
z i z i
f z z i
 
   existe 
 
iii) lim ( ) ( )
z i
f z f i

 
 
Por tanto: ( )f z no es continua en z i 
 
Observaciones: 
 
a) ( ) ( ) ( ; ) ( ; ) ( ; )f z f x i y f x y u x y iv x y     
 
b) Re( ( )) ( ; )f z u x y y Im( ( )) ( ; )f z v x y 
c) ( ) ( ; ) ( ; )f z u x y iv x y  es continua en 0z D  Re( ( )) ( ; )f z u x y y Im( ( )) ( ; )f z v x y es 
continua en el punto 
0 0( ; )x y 
 
d) La función : ,f D  es continua en ,D si f es continua en cada punto de .D 
 
e) Las funciones que son continuas en todo punto del plano complejo son: Cualquier función 
polinómica, La función constante, , ( ), cos( ), ( ),ze sen z z senh z cosh ( ).z 
 
2.1. Propiedades: Si las funciones , : ,f g D  
Son continuas, entonces: 
 
a) f g es continua en D 
 
b) .f g es continua en D 
 
c) ; 0
f
g
g
 es continua en D
 
 
Ejemplo 5: Estudie la continuidad de : ,f  tal que 
2
2
5 6
; 3
9
( ) 1/ 6 ; 3
2 ; 3
z i z
si z i
z
f z si z i
i si z i
  
 


 
   


 
Solución: 
 
*) Analizamos la continuidad para 3z i 
 
i) 
1
(3 )
6
f i  está definido 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Ecuaciones Diferenciales 5 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
 
ii) 
2
23 3
5 6 9 15 6 0
lim ( ) lim
9 9 9 0z i z i
z i z
f z
z 
    
  
  
 
 
3 3 3
( 3 ) ( 2 ) 2 3 2 1
lim ( ) lim lim
( 3 )( 3 ) 3 3 3 6 6z i z i z i
z i z i z i i i i
f z
z i z i z i i i i  
   
    
   
 Existe 
 
iii) 
3
1
lim ( ) (3 )
6z i
f z f i

  
 
Entonces: ( )f z es continua en 3z i 
 
**) Analizamos la continuidad para 3z i  
 
i) ( 3 ) 2f i i   está definido 
 
ii) 
2
23 3
5 6 9 15 6 30
lim ( ) lim
9 9 9 0z i z i
z i z
f z
z 
     
    
  
 
 
Entonces: ( )f z no es continua en 3z i  
 
Por tanto: ( )f z es continua en  3i  
 
Ejemplo 06: Calcule (0),F para que la función 
4
28
( )
( )
Re z
F z
z
  
 sea continua en 0z  
Solución: 
Sea 
2 2 2 2z x i y z x y x yi      
 
 
2 2 2
82 2 2 2 4
Re( )
( )
z x y
z x y z x y
  
 
    
 
 
Por (ii) de continuidad 
0
lim ( )
z
F z

  
 
i) Consideramos : ; 0T y m x m  
 
4 4
2 2 2 2 2
2 2 2 2 20 ( ; ) (0;0) 0
lim ( ) lim lim
T
z x y x
x y x m x
F z
x y x m x  
    
    
    
 
 
4 4
2 2
2 20
1 1
lim
1 1x
m m
m m
    
    
    
 
 
ii) Consideramos 
2:S y k x 
 
4 4
2 2 2 2 4
2 2 2 2 40 ( ; ) (0;0) 0
lim ( ) lim lim
S
z x y x
x y x k x
F z
x y x k x  
    
    
    
 
 
4 42 2
2 20
1 1
lim 1
1 1x
k x
k x
   
     
   
 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Ecuaciones Diferenciales 6 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
Como: 
0 0
lim ( ) lim ( )
T S
z z
F z F z
 
  
0
lim ( )
z
F z

 
 
Por tanto: No se puede definir (0)F para que ( )F z sea continua en (0;0)z  
 
MISCELÁNEA 
 
I) Mediante la definición de límite, demostrar que: 
 
01. 
4 2
2
lim 3 10 12 6
z i
z i z i i

     02. 
2 1
lim 2
z i
z
i
z i 

 

 
 
03. 
2
22
1
lim
2 2z i
z z i
z z 
  

 
 
6 2
5
i
 04. 
2
2
3 2
lim 1
2z
z z
z
 


 
 
05. 
2
4
2 1 1
lim
2 1 4z i
z z i
z z
 
 
 
 06. 
3 1
lim 3
z i
i z
i
z i 

 

 
 
07. 
3
4 22
8 1
lim
4 16 2 2z i
z i
z z

 
 
 08. 
2
2
4
lim 4
2z
z
z



 
 
09. 
4 3 23 2 8 2 5
lim 4 4
z i
z z z z
i
z i
   
 

 
 
10. 
2
1
( 2) ( 3 )
lim 3 9
1z
z z z i
i
z
  
 

 
 
II) Calcule los siguientes límites si existen. 
 
11. 
2 2
2 2
( 1)
lim
( 1)z i
arctg z
sen z


 12. 
2
20
( )
lim
z
z
z
 
 
13. 
2
3
1 3
2 2
1 3
2
lim
1iz
z i z
z 
 
 
 

 14. 
3 2
30
7 2
3
( )
lim
( )
z
z z sen z
z sen z


 
 
 
 
 
15. 
 
0
4 ( (5 ))
lim
z
tg sen sen sen z
z
  
 
 
16. 
2
21
1
lim
2 2z i
z i
z z 
  
   
 Rpta: 
1
4
 
 
17. 
0 0
0
( ) ( )
lim
h
f z h f z
h
 
 si 
2 1
( )
3 2
z
f z
z



 
Universidad Nacional de Ingeniería E.A.P. Ingeniería Mecánica 
Laboratorio de Ecuaciones Diferenciales 7 Ms.C. Ronald Juven Reyes Narvaez 
Rpta: 
02
0
7 2
;
(3 2) 3
z
z
 

 
 
18. 
2
3 2
lim
2 3z i
z i
z


 19. 
2
2
lim
2 3z i
i z
z


 
 
20. 
1
2 2
lim
1z
z i
z 


 
 
III) Resolver: 
 
21. Si 
4
2
. ( )
( ) , 0
z Re z
F z z
z
  ¿Cómo podemos definir (0),H tal que H sea continua en todo ? 
 
22. La función :f  tal que: 
; 0
( )
0 ; 1
z
si z
f z z
si z


 
  
 Es continua en 0z  
 
23. ¿En qué puntos la función 
3
2
1
; 1
1( )
3
; 1
2
z
si z
zf z
si z
 
   
  

 es continua? 
 
24. Estudie la continuidad de : ,f  tal que 
2
2
3 2
; 2
4
( ) 1/ 4 ; 2
1 ; 2
z i z
si z i
z
f z si z i
i si z i
  
 


 
   


 
 
25. Dado la función compleja: 
 
2
cos ( )
; 0
( ) ln (1 ( )) arctan ( )
3 ; 0
zz e
si z
f z sen z z
si z
 

  

 
 
¿Es f continua en 0z  ? 
 
26. Dado la función compleja: 
 
2
( )
; 0
( ) ln (1 ( )) arctan ( )
2 ; 0
zsen z z e
si z
f z sen z z
si z
 

  


 
¿Es f continua en 0z  ?