ejercicios_variables_aleatorias

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Universidad del B́ıo-B́ıo
Facultad de Ciencias
Departamento de Estad́ıstica
CCC/ccc
Ejercicios Variables aleatorias
1. En cada uno de los ejercicios siguientes determine si la variable aleatoria es discreta o continua.
a) Número de conexiones soldadas, de las 100 que tiene un circuito, que no cumplen con ciertos
estándares de calidad.
b) En un sistema de comunicación por voz con 50 ĺıneas, la v.a. es el número de ĺıneas ocupadas
en un momento particular.
c) Se utiliza un instrumento electrónico para medir pesos de encomiendas, hasta el kilo más
próximo. El instrumento de medición sólo tiene cinco d́ıgitos. Cualquier peso mayor del que
puede mostrarse aparece como ”99999”. La v.a. es el peso que aparece en el instrumento.
d) Un lote de 500 partes de una máquina contiene 10 que no se ajustan a los requerimientos
del cliente. La v.a. es el número de partes en una muestra de cinco que no cumplen con los
requerimientos del cliente.
e) El contenido de humedad de un lote de materia prima, medida hasta el porcentaje entero
más cercano.
f ) En la orden de pedido de un automóvil puede seleccionarse el modelo base o añadir cualquier
número de opciones, hasta 15. La v.a. es el número de opciones seleccionadas en un pedido.
g) Un entablado de madera puede pedirse en espesores de 1/8,1/4 o 3/4 de pulgada. La v.a.
es el espesor total del entablado de dos pedidos.
h) La estatura de un jugador de básquetbol de la NBA, que se selecciona aleatoriamente.
i) El número de puntos que anota en una temporada un jugador de básquetbol de la NBA,
seleccionado aleatoriamente.
j ) El tiempo exacto de juego de un jugador de básquetbol de la NBA, que se selecciona
aleatoriamente
k) El número de atletas que participaron en cualquier de la NBA en una temporada.
2. El espacio muestral de un experimento aleatorio es {a, b, c, d, e, f}, y cada resultado es igualmente
probable. Se define una v.a. de la manera siguiente:
resultado a b c d e f
x 0 0 1.5 1.5 2 3
a) Determine la función de probabilidad de X. Grafique.
b) Determine la función de distribución de X. Grafique.
c) Calcule la esperanza y la varianza de X.
d) Determine las probabilidades siguientes:
1) P (X = 0).
2) P (0,5 < X < 2,7).
3) P (X > 3).
4) P (0 ≤ X < 2).
5) P (X = 0 o X = 2).
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3. Un grupo de partes moldeadas se clasifica de acuerdo con su longitud (redondeada a la décima
de miĺımetro más cercana), de la siguiente manera:
longitud 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
Número de partes 0 3 10 25 40 18 16 2
Si la v.a. X es la longitud (redondeada a la décima de miĺımetro más cercana) de una parte
moldeada seleccionada al azar.
a) Determine la función de probabilidad de X. Grafique.
b) Determine la función de distribución de X. Grafique.
c) Calcule la longitud esperada de una parte y su varianza.
d) Calcule :
1) P (X ≤ 1,5).
2) P (4,95 < X < 5,35).
4. Un operador registra el tiempo (redondeado al segundo más cercano) requerido para terminar
un ensamble mecánico. Los resultados que obtiene son los siguientes.
segundos 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
Número de ensambles 3 5 6 9 12 25 32 15 9 6
Sea la v.a. X el tiempo necesario para terminar un ensamble.
a) Determine la función de probabilidad de X. Grafique.
b) Determine la función de distribución de X. Grafique.
c) Calcule el tiempo esperado para ensamblar una parte y su varianza.
d) Calcule :
1) P (X ≤ 35).
2) P (33 ≤ X ≤ 38).
5. Verifique que la siguiente función es una función de probabilidad.
x -2 -1 0 1 2
p(x) 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8
a) Encuentre la función de distribución.
b) Calcule la esperanza y la varianza de X.
c) Calcule las probabilidades:
1) P (X ≤ 2).
2) P (X > −2).
3) P (−1 ≤ X ≤ 1).
4) P (|X| ≤ 2).
6. Verifique que la siguiente función es una función de probabilidad.
p(x) =
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7
(
1
2
)x
, x = 1, 2, 3.
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a) Encuentre la función de distribución.
b) Calcule la esperanza y la varianza de X.
c) Calcule las probabilidades:
1) P (X ≤ 1).
2) P (X > 1).
3) P (−1 ≤ X ≤ 1).
4) P (|X| ≤ 2).
7. En los casos siguientes determine si se trata de una distribución de probabilidad. En los casos
en que no se describa una distribución de probabilidad, identifique los requisitos que no se
satisfacen. En los casos que en que se describa una distribución de probabilidad, calcule su
media y su desviación estándar:
a) En un estudio con el método MicroSort de selección de género, las parejas de un grupo
control no reciben tratamiento y cada una de ellas tiene tres hijos. La distribución de prob-
abilidad del número de niñas se presenta en la tabla anexa.
x 0 1 2 3
p(x) 0.125 0.375 0.375 0.125
b) La tabla adjunta se construye de datos que se obtienen en un estudio del número de videocin-
tas rentadas en Blockbuster.
x 0 1 2 3 4
p(x) 0.04 0.26 0.36 0.2 0.08
8. Una persona pide prestado un llavero con 3 llaves, y no sabe cuál es la que abre un candado.
Por tanto, intenta con cada llave hasta que consigue abrirlo. Sea la v.a. X el número de intentos
necesarios para abrir el candado.
a) Encuentre la función de probabilidad de X.
b) Encuentre la función de distribución de X.
c) Calcule la esperanza y la varianza de X.
d) Calcule las probabilidades:
1) P (X ≤ 2).
2) P (X > 1).
3) P (X ≤ 1).
4) P (X = 3).
9. Un concesionario de automóviles calcula la proporción de coches nuevos vendidos que han sido
devueltos varias veces para repararles algún defecto durante el peŕıodo de garant́ıa. Los resultados
se presentan en la tabla.
Número de
devoluciones 0 1 2 3 4
Proporción 0,28 0,36 0,23 0,09 0,04
a) Dibujar la función de probabilidad.
b) Hallar y dibujar la función de distribución acumulada.
c) Calcule el número esperado de veces que un auto entra en reparaciones.
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10. Una compañ́ıa está especializada en la instalación de sistemas de calefacción central. La tabla
muestra las probabilidades estimadas para el número de peticiones de una nueva calefacción en
las últimas dos semanas de Abril.
Número de
peticiones 0 1 2 3 4 5
Probabilidad 0,10 0,14 0,26 0,28 0,15 0,07
a) Dibujar la función de probabilidad.
b) Hallar y dibujar la función de distribución acumulada.
c) Calcular la probabilidad de que durante este peŕıodo se generen al menos tres peticiones.
d) Calcular el número esperado de peticiones.
11. Una compañ́ıa fabrica paquetes de clips. El número de clips por paquete vaŕıa, como se indica
en la tabla adjunta.
Número de
clips 47 48 49 50 51 52 53
Proporción 0,04 0,13 0,21 0,29 0,20 0,10 0,03
de paquetes
a) Dibujar la función de probabilidad.
b) Hallar y dibujar la función de distribución acumulada.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete elegido aleatoriamente contenga entre 49 y 51
clips (ambos inclusive)?.
d) Encuentre el número esperado de clips en un paquete.
12. Una compañ́ıa municipal de autobuses ha comenzado a operar en un nuevo trayecto. Se contó el
número de pasajeros de este trayecto en el servicio de primera hora de la mañana. La tabla
adjunta muestra las proporciones sobre todos los d́ıas de la semana.
Número de
viajeros 0 1 2 3 4 5 6 7
Proporción 0,02 0,12 0,23 0,31 0,19 0,08 0,03 0,02
a) Dibujar la función de probabilidad.
b) Hallar y dibujar la función de distribución acumulada.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que en un d́ıa de la semana elegido aleatoriamente haya al
menos cuatro viajeros en este servicio?.
13. Una profesora tiene un grupo grande de alumnos, y ha preparado un examen para las siete de la
tarde en diferentes aulas. En la tabla aparecen las probabilidades que ella estima para el número
de estudiantes que llamaran a su casa durante la hora anterior del examen, preguntándole en
qué aula deben presentarse.
Número de
llamadas 0 1 2 3 4 5
Probabilidad 0,10 0,15 0,19 0,26 0,19 0,11
Hallar la media y desviación estándar del número de llamadas.
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14. Se les pide a los estudiantes de una clase de contabilidad que evalúen el curso en una escala de
1 (pésimo)a 5 (excelente). La tabla adjunta muestra la proporciónde estudiantes que calificaron
al curso en cada una de las categoŕıas.
Calificación 1 2 3 4 5
Proporción 0,07 0,19 0,28 0,30 0,16
Hallar la media y la desviación estándar de la calificación.
15. El director de una fábrica está considerando cambiar una máquina muy irregular. Su compor-
tamiento en el pasado muestra la siguiente distribución de probabilidad para el número de veces
que la máquina se estropea en una semana.
Número de
aveŕıas 0 1 2 3 4
Probabilidad 0,10 0,26 0,42 0,16 0,06
Hallar la media y la desviación estándar del número de aveŕıas semanales.
16. Un vendedor de autos estima las siguientes probabilidades para el número de coches que venderá la
próxima semana.
Número de
autos 0 1 2 3 4 5
Probabilidad 0,10 0,20 0,35 0,16 0,12 0,07
a) Hallar el número esperado de coches que venderá la próxima semana.
b) Hallar la desviación estándar del número de coches que venderá la próxima
c) El vendedor recibe un salario semanal de 25000 pesos, más 30000 pesos adicionales por
cada coche vendido. Hallar la media y la desviación estándar de su salario semanal total.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el salario semanal del vendedor sea mayor de 100000 pesos?.
17. Una firma vendedora de refrigeradores ofrece modelos de 14,16 y 19 pies cúbicos de capacidad.
Sea X la capacidad solicitada por el próximo cliente que adquiere un refrigerador, con función
de probabilidad dada por:
x 14 16 19
p(x) 0.2 a 0.3
a) Encuentre el valor de a.
b) Calcule la función de distribución de X.
c) Calcule el número esperado de refrigeradores que serán vendidos.
18. Dada p(x) = c(x− 2), donde x = 1, 2, . . . , 6. ¿Es posible encontrar una constante c de modo que
p(x) sea una función de probabilidad ? (¿Por qué?)
19. Determine si p(x) = x3 donde x puede ser 0, 1 o 2, es una distribución de probabilidad.
20. La probabilidad de recibir de manera erronea un bit enviado por un canal de transmision digital
es p = 0,1, y permanece constante para todas las transmisiones. Suponga que las transmisiones
son eventos independientes, y sea la v. a. X: numero de bits transmitidos hasta que se presenta
el primer error.
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a) Indique el recorrido de la v. a. X.
b) Deduzca una regla general para p(x).
c) Demuestre que E(X) = 1p .
d) Si V (X) = (1− p)/p2, determine la P (X > µ + σ).
21. Sea la variable aleatoria discreta con función de probabilidad definida por:
p(x) =
{
cx+2
25 , x = 2, ..., 5;
0, eoc.
a) Encuentre c.
b) Encuentre la función de distribución de X y bosqueje su gráfico.
c) Calcule, P (X ≤ 3), P (3 ≤ X ≤ 4) y P (3 ≤ X < 4).
d) Calcule la varianza V (X) y esperanza E(X).
22. Se lanza una moneda tres veces. Estamos interesados en el número ,X, de caras resultantes.
a) Hallar la función de probabilidad de la variable aleatoria X.
b) Hallar la media y la desviación estándar de la variable aleatoria X.
c) Considerar un juego en el cual se ganan dos dólares si salen una o tres caras, se pierden
cuatro dólares si salen dos caras y no se gana ni se pierde nada si no sale ninguna cara. Sea
Y la variable aleatoria que toma los valores −4, 0 ó 2, y representa la ganancia del juego.
Hallar la función de probabilidad, la media y la desviación estándar de la variable aleatoria
Y .
23. Demuestre que las siguientes funciones son funciones de densidad de probabilidad para algún
valor de k, determine el valor de k.
a) fX(x) = kx2 para 0 < x < 4.
b) fX(x) = k(1 + 2x) para 0 < x < 2.
c) fX(x) = ke−x para x > 0.
Para cada una de las funciones anteriores que sea una v.a. encuentre su función de distribución,
esperanza y varianza.
24. Suponga que fX(x) = 1,5x2 para −1 < x < 1.
a) Calcule la función de distribución de X.
b) Calcule la esperanza y la varianza de X.
c) Calcule las siguientes probabilidades:
1) P (0 < X).
2) P (−0,5 ≤ X ≤ 0,5).
3) P (X < −2).
4) Calcule el valor de x tal que P (X > x) = 0,05
25. Suponga que fX(x) = ax− 1 para 2 < x < 4.
a) Encuentre el valor de a.
b) Encuentre la esperanza y varianza de X.
c) Calcule las siguientes probabilidades:
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1) P (X < 2).
2) P (X > 3).
3) P (2,5 < X < 3,5).
26. Sea X una v.a. continua con f.d.p. dada por:
f(x) =



ax, 0 ≤ x ≤ 1
a, 1 ≤ x ≤ 2
−ax + 3a, 2 ≤ x ≤ 3
0, e.o.c.
a) Determine la constante a.
b) Obtenga la función de distribución y grafique.
c) Calcule la esperanza y la varianza de X.
d) Calcule P (µ− 2σ < X < µ + 2σ).
27. El contenido de ceniza en el carbón ( %) se puede considerar como una v.a. continua, con la
siguiente f.d.p.:
f(x) =
{
(1/4875)x2, 10 ≤ x ≤ 25
0, e.o.c.
Si se toma una muestra particular de carbono:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga menos de un 20 % de ceniza, sabiendo que tiene
más de un 15 %?
b) ¿Qué porcentaje de ceniza se espera encontrar?
c) Calcule la varianza de X.
28. Una estación de servicio tiene dos bombas, que pueden bombear cada una hasta 10000 litros de
gasolina por mes. La cantidad total de gasolina bombeada en un mes es una v.a. Y (expresada
en 10 mil litros), con una función de densidad dada por:
f(y) =



y, 0 < y < 1
2− y, 1 ≤ y < 2
0, e.o.c.
a) Graficar f(y).
b) Obtener F (y) y construir su gráfica.
c) Calcular la probabilidad de que la estación bombee entre 8000 y 12000 litros en un mes.
d) Si se sabe que ha bombeado más de 10000 litros en un mes particular, encuentre la proba-
bilidad de que haya bombeado más de 15000 litros durante el mes.
29. Suponga que la función de distribución acumulada de la v.a. X es:
F (x) =



0, x < 0
0,2x, 0 ≤ x < 5
1, x ≥ 5.
a) Encuentre la función de densidad de X.
b) Calcule la esperanza y la varianza de X.
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c) Calcule las siguientes probabilidades:
1) P (X < 2,8).
2) P (X > 1,5).
3) P (X < −2).
4) P (X > 6).
30. Suponga que la función de distribución acumulada de la v.a. X es:
F (x) =



0, x < −2
0,25x + a, −2 ≤ x < 2
1, x ≥ 2.
a) Encuentre el valor de a.
b) Encuentre la función de densidad de X.
c) Calcule la esperanza y la varianza de X.
d) Calcule las siguientes probabilidades:
1) P (X < 2,8).
2) P (X > 1,5).
3) P (X < −2).
4) P (X > 6).
31. Dada la v.a X con función de densidad dada por:
f(x) =



ax, si ; 0 ≤ x ≤ 1
a, si ; 1 < x ≤ 2
0, en otro caso.
a) Encuentre el valor de a.
b) Encuentre la función de distribución de X, y graf́ıquela.
c) Se estima que el ingreso para el próximo año podŕıa modelarse a través de la función Y =
1, 3X − 2. ¿Cuánto se espera como ingreso para el próximo año? y ¿Cuál es la variabilidad
para el próximo año?.
d) Encuentre las siguientes probabilidades:
1) P (0 < X < 0,5).
2) P (1,2 < X < 3).
3) P (X = 1).
32. Considere la siguiente función de probabilidad de la v.a. x
fX(x) =



2x, 0 ≤ x < 1/2
x(x + 1), 1/2 ≤ x < 1
x/2, 1 ≤ x ≤
√
4/3
0, e.o.c.
a) Obtenga la función de distribución de X.
b) Calcule la esperanza y la varianza de X.
c) Calcule P (0,25 ≤ X < 0,7).
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33. Calcular el valor esperado de una v.a. X con función de distribución:
F (x) =



0, x < 0
x, 0 ≤ x < 1
1, x ≥ 1.
34. Sea F (x) la función de distribución para una variable aleatoria X, dada por
F (x) =
{
1− e−2x, x ≥ 0;
0, x < 0.
a) Encontrar la función de probabilidad de X.
b) Calcule P (3 < x < 4) y P (x > 5).
c) Calcule la esperanza y varianza.
35. La demanda semanal de gasolina (en cientos de galones) de una estación de servicio, se puede
considerar como una variable aleatoria continua con la siguiente función de densidad de proba-
bilidad:
f(x) =



x 0 < x ≤ 1;
0,5 1 < x ≤ 2;
0 eoc.
a) Grafique f(x).
b) Verifique que f(x) es una función de probabilidad.
c) Calcule la probabilidad de que la demanda semanal sea inferior o igual a 80 galones.
d) Calcule E(X). Interprete su resultado. ¿Cuál es la V (X)?
e) Obtenga la función de distribución acumulada, F [X] = P (X ≤ x).
f ) Calcule la P (0,8 < x < 1,2).
g) Calcule la P (x ≤ 1 | 0,8 < x < 1,2).
36. Sea una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad dada por
f(x) =
cx2 + 1
, donde −∞ < x < +∞
a) Hallar el valor de la constante c.
b) Determinar la función de distribución acumulada.
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