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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA 
DPTO DE ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA 
 
 
 
TALLER DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS 
 
1.- Un experimento consiste en lanzar 2 dados y observar los números en las caras superiores. 
Se definen las siguientes variables aleatorias: 
 X : Suma de los números que aparecen en las caras superiores 
 Y : Diferencia (en valor absoluto) entre los números que aparecen en las caras superiores 
 W : Mínimo valor entre los números que aparecen en las caras superiores. 
Para cada una de ellas se pide construir la función de cuantía de probabilidad. 
 
2.- Una empresa computacional fabrica “ C.D.” de alta calidad para computadores. Según el 
departamento de control de calidad de la empresa, el número de fallas superficiales 
producidas en los discos durante el proceso de fabricación corresponde a una variable 
aleatoria X cuya distribución de probabilidades es: 
 
x 0 1 2 3 4 
p(x) 0.37 0.37 0.16 0.09 0.01 
 
2.1 ¿Cuál es la probabilidad que el número de fallas de un disco elegido al azar supere la 
cantidad esperada? 
2.2 Si el disco tiene una o dos fallas, el costo de reparación es de $60. Si tiene 3 ó 4 
fallas, el costo de reparación es de $100. Si se han detectado 4000 unidades que 
presentan fallas ¿Cuál es el costo esperado que se incurre en la 
 
3.- La empresa de soporte informático INFOTEC dispone de la siguiente función de cuantía 
que modela la cantidad de clientes que solicitan asesorías cada semana. 
f(x)=P(X=x) = 




0
10
x
 
...
4,3,2,1
lot
x =
 
 
3.1 ¿Cuál es la probabilidad que en una semana los clientes soliciten 2 o más asesorías? 
3.2 ¿Cuál es la probabilidad que en una semana los clientes soliciten más de una asesoría? 
3.3 ¿Qué cantidad de asesorías se espera realizar en una semana? 
3.4 ¿Qué probabilidad existe que en una semana no se soliciten 4 asesorías? 
3.5 La empresa tiene una tarifa de 7 UF por asesoría más IVA ¿Cuál es la cantidad de 
dinero mensual que se espera recaudar por este concepto? 
3.6 Encuentre el valor esperado de la variable Y si se sabe que Y = (X-1)(X+1) 
 
4.- El número de unidades defectuosas que se elaboran diariamente en una empresa es una 
variable aleatoria discreta “D” cuya función de cuantía es: 
 





≤≤
−
=
..0
0
16
3
)(
co
nd
d
df
 
4.1 ¿Cuál es el máximo valor de la variable D? 
4.2 ¿Cuál es la probabilidad que durante un día se elabore una cantidad inferior a la 
cantidad máxima de defectuosos? 
4.3 Encontrar la probabilidad que durante un día la cantidad de defectuosos sobrepase lo 
esperado. 
4.4 Si el costo de reparación C viene dada por C = d , encuentre el costo esperado de 
reparación con su respectiva desviación estándar. 
 
5.- Sea D la variable aleatoria discreta que describe la diferencia entre el numero de 
computadores marca X que se venden diariamente respecto de los computadores marca Y. 
La función de cuantía queda definida por: 
p(d) = 
34
12 +d ; -3 ≤ d ≤3 
 
5.1 Encuentre la probabilidad que en un día se venda igual cantidad de computadores marca 
X e Y. 
5.2 Encuentre la probabilidad que en un día, la cantidad de computadores marca X que se 
vendan difiera de la cantidad de computadores marca Y. 
5.3 El precio de venta de un computador X es de 600 mil pesos y de 700 mil pesos para un 
computador Y. Si entre ambos modelos de computadores, la venta esperada total es de 
5 millones doscientos mil pesos ¿Cuántas unidades de cada tipo se espera vender 
diariamente? 
 
6.- La variable aleatoria X cuenta el número de operarios que diariamente faltan al trabajo la 
que de acuerdo a información histórica se puede representar aproximadamente por la 
siguiente función de cuantía: 
 







=
=−⋅
=
..0
24.0
4,3,1,02
15
2
)(
co
x
xx
xf
 
6.1 Al seleccionar dos días ¿Cuál es la probabilidad que uno de ellos falten 2 operarios y el 
otro día falten 4? 
6.2 Hallar la probabilidad que durante un día falle al menos un operario. 
6.3 La producción total de artículos que elabora la empresa en un día viene dada por la 
expresión: 
1
6000
)(
+
=
x
xN . Si el costo unitario de producción es de $2000, determine 
el costo total esperado para un día de producción: 
 
7.- Él numero diario de personas que solicitan atención de urgencia innecesaria, en el servicio 
de urgencia de un cierto hospital es una variable aleatoria con la siguiente función de 
probabilidad: 
 
xi 0 1 2 3 4 5 
P(xi) 0,02 0,2 p 2p 0,1 0,05 
 
7.1 ¿Cuál es la probabilidad de que un día cualquiera el numero de personas que soliciten 
atención de urgencia innecesaria sea como máximo 3? 
7.2 ¿Cuál es la esperanza o promedio de atenciones de urgencia innecesarias que tiene 
este hospital en una semana (7 días)? 
 
8.- El número de clientes que llega a repactar sus deudas diariamente a la empresa de agua 
potable, es una variable aleatoria X cuya función de cuantía es: 
 
X 5 7 10 12 15 20 
f(x) 0.03 0.17 2k+0.01 0.35 k 0.08 
 
 
8.1 ¿Cuál es la probabilidad que en un día elegido al azar lleguen a repactar su deuda más 
de 8 clientes, pero menos de 16? 
8.2 Si la recaudación total está dada por la función R=10.000 + X + 12X2, determine la 
recaudación total que se espera recibir en un día. 
 
9.- Suponga que un equipo electrónico tiene 4 microchip. La distribución de probabilidades 
para el número de ellos que fallan durante dos años está definida por la siguiente función 
de cuantía: 
 
4 3, 2, 1, 0, 
9
2-x-3
 )( == xxf 
9.1 ¿Cuál es la probabilidad que en un equipo electrónico elegido al azar, 3 microchip 
presenten fallas en un período de 2 años? 
9.2 ¿Cuál es la probabilidad que fallen al menos dos microchip? 
9.3 ¿Cuál es la probabilidad que fallen a lo más dos microchip? 
9.4 Si se sabe que en el equipo electrónico han fallado microchip ¿Cuál es la probabilidad 
que sean 2? 
9.5 ¿Cuántos microchip se espera que fallen en un período de dos años? 
9.6 Si el coeficiente de variación de una variable es inferior a 15% se dice que la variable 
es altamente homogénea. ¿Es esta variable altamente homogénea? 
9.7 Si se eligen al azar tres equipos electrónicos ¿Cuál es la probabilidad que en los tres 
equipos fallen dos microchip? 
9.8 Obtenga el valor esperado de la variable aleatoria Y definida por Y = 2 + X + X2 
 
10.- El número de alumnos que diariamente falta a clases en un curso determinado es una 
variable aleatoria X cuya función de cuantía está definida por: 
 
10
5
)(
x
xf
−= 4,3,2,1=x 
 
10.1 ¿Cuál es la probabilidad que falte a clases más de un alumno? 
10.2 Si se sabe que en el curso hay más de un alumno ausente ¿Cuál es la probabilidad que 
estos sean menos de 4? 
10.3 Suponga que el curso tiene 45 alumnos y que por concepto de subvención el colegio 
recibe $1.400 por alumno que asiste a clases. ¿Cuál es la cantidad mensual esperada y 
la desviación estándar que recibe el colegio por este curso si durante el mes se trabaja 
21 días? 
 
11.- El encargado de soporte de una compañía ha elaborado la cantidad de equipos que 
semanalmente presentan algún tipo de falla en su disco duro. De acuerdo a lo observado ha 
construido la siguiente función de cuantía: 
 




 −
=
0
16
29
)(
x
xp 
... coc
cuando 
41 ≤≤ x
 
 
11.1 ¿Cuál es la cantidad esperada de equipos que semanalmente presentan fallas en su 
disco duro? 
11.2 Cada equipo con fallas se repara inmediatamente con un costo de $ 25.000 más una 
cantidad constante de $ 12.000. Determine el costo esperado que semanalmente 
incurre la empresa por concepto de reparación. 
 
12.- El monto (en millones de dólares) de las 2500 transacciones realizadas durante el mes de 
Junio por una empresa exportadora de celulosa es una variable aleatoria continua 
definida por la siguiente función de densidad: 
 



 <<
=
..0
102
48)(
co
x
x
xf 
 
12.1 De las transacciones realizadas en junio ¿Qué cantidad sobrepasan los 5 millones 
de dólares?12.2 Si una transacción es por menos de 5 millones de dólares, la probabilidad que sea 
cancelada al contado es 0.25, pero si el monto sobrepasa a 5 millones de dólares tal 
probabilidad es 0.15. ¿Cuál es la probabilidad que una transacción que ha sido 
cancelada al contado, sea por un monto superior a 5 millones? 
 
13.- Al modelar el peso de los alumnos de 15 años de un colegio, se ha llegado a establecer la 
siguiente función de densidad: 
 





≤≤=
co
kgxkg
x
xf
.0
6030
63000)(
2
 
 
13.1 Un niño se considera con sobrepeso si su peso está 10 kg más sobre el promedio. 
¿Qué porcentaje de alumnos de esta edad está con sobrepeso? 
13.2 Si de manera independiente se selecciona al azar tres alumnos ¿Cuál es la 
probabilidad que cualquiera de ellos pese menos de 40 kilos? 
 
14.- Sea X una variable aleatoria continua definida en el intervalo [0, α] con α > 0., cuya función 
de densidad es: 
 



 ≤≤−
=
..0
0
)(2
)( 2
co
x
x
xf
α
α
α
 
 
14.1 Verifique que f es una función de densidad 
14.2 ¿Cuál es la probabilidad que X tome un valor inferior a 2
α ? 
14.3 Al registrar el valor de tres observaciones de X ¿Cuál es la probabilidad que una de 
ellas sea inferior a 2
α ? 
14.4 Suponga que un equipo electrónico tiene 4 microchip. La distribución de 
probabilidades 
 
15.- El tiempo T (expresado en nanosegundos) que demora una señal en llegar a destino es una 
v.a.c. cuya función de densidad está por: 
 
52
9
)2(
)(
2
<<−= tttf 
 
15.1 ¿Cuál es la probabilidad que la señal demore menos de 2.5 nanosegundos en llegar a 
destino? 
15.2 ¿Cuál es la probabilidad que la señal demore más de 3.5 nanosegundos en llegar a 
destino? 
15.3 ¿Cuál es la probabilidad que la señal demore entre 2.5 y 3.5 nanosegundos en llegar a 
destino? 
15.4 ¿Cuál es el tiempo esperado que tarda la señal en llegar a destino? 
15.5 ¿Cuál es la probabilidad que la señal demore un tiempo comprendido entre µ-σ y µ+σ? 
15.6 La variable N está definida como N = 2T + T2 ¿Cuál es valor esperado de la variable N? 
15.7 Se envían 5 señales independientes ¿Cuál es la probabilidad que dos señales demoren 
menos del tiempo esperado? 
15.8 Un experimento de prueba consiste en enviar señales sucesivas hasta que una de 
demore menos de 3 nanosegundos. ¿Cuál es la probabilidad que la quinta señal enviada 
sea la primera que cumple la norma? 
16.- Un test de conocimientos matemáticos se ha diseñado para que los alumnos logren como 
mínimo 100 puntos. La variable aleatoria D denota la diferencia entre el puntaje real y el 
puntaje mínimo establecido (expresada en cientos de puntos), cuya función de densidad 
está definida por: 
 





≤≤−+=
..0
11
8
)1(3
)(
2
co
d
d
df 
 
16.1 ¿Qué proporción de alumnos obtiene un puntaje inferior al puntaje mínimo? 
16.2 ¿Qué proporción de alumnos tiene 50 puntos más del puntaje mínimo establecido? 
16.3 ¿Qué proporción de alumnos menos de 80 puntos en la prueba? 
16.4 ¿Qué proporción de alumnos tiene una diferencia inferior a 20 puntos respecto del 
puntaje mínimo establecido? 
16.5 ¿Qué proporción de alumnos obtiene una diferencia superior a la diferencia esperada? 
16.6 De los alumnos que obtienen menos de 100 puntos en la prueba, un 90% proviene de 
hogares monoparentales, mientras que de aquellos que tienen más de 100 puntos el 52% 
proviene de hogares con las mismas características. Si se elige al azar un alumno de 
este grupo 
16.6.1 ¿cuál es la probabilidad que provenga de un hogar monoparental? 
16.6.2 ¿cuál es la probabilidad que su puntaje supere los 100 puntos si el alumno proviene 
de un hogar monoparental? 
 
 
17.- Un fabricante de pilas para reloj ha modelado la vida útil de ellas (expresada en años) cuya 
función de densidad está definida como: 
 
tetf 5,05,0)( −⋅= 0≥t (donde T está expresada en años) 
 
17.1 ¿Cuál es la probabilidad que una pila dure más de un año? 
17.2 Si una pila ya lleva funcionando 6 meses ¿cuál es la probabilidad que dure al menos un 
año más? 
17.3 ¿Cuál es la duración esperada de una pila? 
17.4 Fabricar una pila tiene un costo de $600, la que se vende en $2500. El fabricante 
entrega una garantía de 6 meses, devolviendo el dinero al cliente. ¿Cuál es la utilidad 
esperada al vender una pila? y ¿Al vender 100 pilas? 
 
18.- Un vendedor de seguros debe mensualmente cumplir la meta que le exige la compañía. El 
departamento de estudio de la compañía ha descubierto que la cantidad de dinero que se 
aleja de dicha cantidad (en millones de pesos) sigue un comportamiento aleatorio modelado 
por la siguiente función de densidad. 
 
[ ]





−∈=
...0
1;1
2
3
)(
2
lot
xcuando
x
xf 
 
18.1 Determine la probabilidad que para un mes cualquiera, el vendedor sobrepase la meta 
en más de medio millón de pesos. 
18.2 Si la variable mes a mes presenta comportamientos independientes, hallar la 
probabilidad que para los próximos cinco meses, en tan solo uno de ellos el vendedor no 
sobrepase la meta. 
 
19.- Se midió el tiempo que demora un operario en terminar un producto. La variable aleatoria 
continua T ( en minutos ) presenta la siguiente función de densidad: 
 
5,37
)(
t
tf = ; 105 ≤≤ t 
 
 
 
19.1 Si el operario demora menos de 7 minutos en elaborar el producto se gana un premio 
de $ 1.500. Si demora 7 minutos o más ganará $ 1000. Encuentre la probabilidad que 
gane un premio de $ 1000. 
 
19.2 El tiempo esperado óptimo que un operario debe demorar en elaborar un artículo es de 
8 minutos como máximo. Señale Ud. si para este operario su tiempo esperado de 
elaboración se puede considerar como tal. 
19.3 Si Ud. sabe que el operario lleva trabajando al menos 7 minutos en elaborar el artículo, 
 encuentre la probabilidad que dentro de los próximos 2 minutos termine su tarea. 
 
 
20.- La cantidad de combustible que compran los clientes que llegan a la estación es una 
variable aleatoria cuya distribución es modelada por la función de densidad: 
 
[ ]
] ]






∈−
∈
=
4.0;2.0
250
)4.0(
2.0;0
125)(
2
2
xcuando
x
xcuando
x
xf 
 
Donde x está expresada en cientos de litros 
 
20.1 ¿Cuál es la cantidad esperada de combustible que compra un cliente? 
20.2 ¿Cuál es la probabilidad que un cliente compre más de 20 litros de combustible? 
20.3 Si llegan 12 clientes durante un período ¿Cuál es la probabilidad que 10 o más compren 
más de 20 litros de combustible? 
 
21.- La asignación del porcentaje de crédito universitario que reciben los alumnos, se puede 
modelar por la siguiente función de densidad: 
 
80
1
)( =xf 10020 ≤≤ x 
 
21.1 ¿Cuál es el porcentaje de crédito promedio que se le asigna a los estudiantes? 
21.2 ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante elegido al azar se le asigne más de 50% de 
crédito? 
21.3 Si un alumno señala que ha recibido más de 50% de crédito, determine la probabilidad 
que tal porcentaje no sobrepase el 90%. 
21.4 Al elegir un estudiante al azar, determine la probabilidad que el porcentaje de crédito 
asignado se encuentre en un rango que va desde una desviación estándar bajo el 
promedio hasta una desviación estándar sobre el promedio. 
21.5 La universidad conforma tres grupos de estudiantes, bajo el siguiente criterio: Los que 
reciben bajo 50% (grupo 1), los que reciben entre 50% y 80% (grupo 2) y los que 
reciben al menos 80% (grupo 3). Si se eligen al azar tres estudiantes, ¿cuál es la 
probabilidad de elegir uno de cada grupo?. 
21.6 La universidad ha construido un indicador socioeconómico I definido por: I = x . 
Encuentre el valor medio del indicador