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Unidad N°2
Probabilidades
Christian Caamaño
¿Qué es la
probabilidad?
Unidad N°2
Probabilidades
Christian Caamaño
chcaaman@ubiobio.cl
20 de agosto de 2012
Departamento de Estad́ıstica
Facultad de Ciencias
Universidad del B́ıo-B́ıo
Unidad N°2
Probabilidades
Christian Caamaño
¿Qué es la
probabilidad?
Índice
¿Qué es la probabilidad?
Conceptos Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la Probabilidad
Cálculo de Probabilidades
Probabilidad Condicional
Eventos Independientes
Probabilidad Total y Regla de Bayes
Unidad N°2
Probabilidades
Christian Caamaño
¿Qué es la
probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
¿Qué es la probabilidad?
I Hay poca probabilidad de obtener un producto defectuoso en
este proceso de fabricación.
I Existe poca probabilidad de que el paciente sufra el Śındrome
de Algeman.
I Es baja la probabilidad de obtener 5, 4, 1 al lanzar 3 dados.
I Hay poca probabilidad de que el acusado sea culpable.
En todas estas situaciones está presente la incertidumbre.
Unidad N°2
Probabilidades
Christian Caamaño
¿Qué es la
probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
¿Qué es la probabilidad?
I Hay poca probabilidad de obtener un producto defectuoso en
este proceso de fabricación.
I Existe poca probabilidad de que el paciente sufra el Śındrome
de Algeman.
I Es baja la probabilidad de obtener 5, 4, 1 al lanzar 3 dados.
I Hay poca probabilidad de que el acusado sea culpable.
En todas estas situaciones está presente la incertidumbre.
Unidad N°2
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¿Qué es la
probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
¿Qué es la probabilidad?
I Hay poca probabilidad de obtener un producto defectuoso en
este proceso de fabricación.
I Existe poca probabilidad de que el paciente sufra el Śındrome
de Algeman.
I Es baja la probabilidad de obtener 5, 4, 1 al lanzar 3 dados.
I Hay poca probabilidad de que el acusado sea culpable.
En todas estas situaciones está presente la incertidumbre.
Unidad N°2
Probabilidades
Christian Caamaño
¿Qué es la
probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
¿Qué es la probabilidad?
I No importa la carrera elegida, algo śı es seguro: En algún
momento se han de tomar decisiones.
I Con frecuencia las decisiones deberán tomarse sin conocer
toda la información ni todas las consecuencias.
Por ejemplo:
I Los inversionistas deben decidir sobre la conveniencia de
invertir en una acción en particular, con base en sus
expectativas sobre rendimientos futuros.
I Los empresarios al decidir comercializar un producto se
enfrentan a la incertidumbre sobre la posibilidad de éxito. En
cada caso, como sucede con la mayoŕıa de los asuntos
comerciales, se han de tomar decisiones sin toda la
información pertinente.
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¿Qué es la
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Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
¿Qué es la probabilidad?
I No importa la carrera elegida, algo śı es seguro: En algún
momento se han de tomar decisiones.
I Con frecuencia las decisiones deberán tomarse sin conocer
toda la información ni todas las consecuencias.
Por ejemplo:
I Los inversionistas deben decidir sobre la conveniencia de
invertir en una acción en particular, con base en sus
expectativas sobre rendimientos futuros.
I Los empresarios al decidir comercializar un producto se
enfrentan a la incertidumbre sobre la posibilidad de éxito. En
cada caso, como sucede con la mayoŕıa de los asuntos
comerciales, se han de tomar decisiones sin toda la
información pertinente.
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probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
¿Qué es la probabilidad?
I En este contexto, la probabilidad entra en juego
desempeñando el papel de sustituto para la certeza, para el
completo conocimiento.
I Todo esfuerzo por reducir el nivel de incertidumbre en el
proceso de toma de decisiones incrementará enormemente la
probabilidad de que se tomen las decisiones más inteligentes y
bien informadas.
I Al mejorar la habilidad para juzgar la ocurrencia de los
eventos futuros, se puede minimizar el riesgo y la
especulación arriesgada relacionada con el proceso de toma
de decisiones.
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Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
¿Qué es la probabilidad?
En Estad́ıstica:
I La probabilidad es esencial en la Inferencia Estad́ıstica.
I El concepto de probabilidad permite generalizar la
información obtenida de lo particular (muestra) a lo general
(población), agregando un alto grado de confianza en estas
generalizaciones.
I Por lo tanto, la probabilidad es una de las herramientas
más importantes de la inferencia estad́ıstica.
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Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
Definition (Probabilidad)
Es una medida cuantitativa, establecida entre 0 y 1, de la
posibilidad de ocurrencia de un evento.
Observación:
I Entre mayor sea la probabilidad de que ocurra un evento, su
probabilidad asignada estará más próxima a 1.
I La probabilidad de certeza es 1.
I La probabilidad de una imposibilidad es 0.
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Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
Definition (Probabilidad)
Es una medida cuantitativa, establecida entre 0 y 1, de la
posibilidad de ocurrencia de un evento.
Observación:
I Entre mayor sea la probabilidad de que ocurra un evento, su
probabilidad asignada estará más próxima a 1.
I La probabilidad de certeza es 1.
I La probabilidad de una imposibilidad es 0.
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probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
Definition (Probabilidad)
Es una medida cuantitativa, establecida entre 0 y 1, de la
posibilidad de ocurrencia de un evento.
Observación:
I Entre mayor sea la probabilidad de que ocurra un evento, su
probabilidad asignada estará más próxima a 1.
I La probabilidad de certeza es 1.
I La probabilidad de una imposibilidad es 0.
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¿Qué es la
probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
Definition (Experimento)
Es cualquier proceso o actividad que genera eventos u
observaciones.Observación:
I Según su naturaleza, los experimentos pueden ser
determińısticos o aleatorios.
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Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
Definition (Experimento)
Es cualquier proceso o actividad que genera eventos u
observaciones.
Observación:
I Según su naturaleza, los experimentos pueden ser
determińısticos o aleatorios.
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probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
Definition (Espacio Muestral)
Sea E un experimento aleatorio . Al conjunto de todos los
resultados posibles de E le llamaremos espacio muestral.
Notación: El espacio muestral de un experimento aleatorio E se
denota por Ω.
Example
Suponga que el experimento consiste en el lanzamiento de una
moneda. Escriba el espacio muestral.
Ω1 = {cara, sello, canto}
Ω2 = {cara, sello}
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Conceptos
Importantes
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Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
Definition (Espacio Muestral)
Sea E un experimento aleatorio . Al conjunto de todos los
resultados posibles de E le llamaremos espacio muestral.
Notación: El espacio muestral de un experimento aleatorio E se
denota por Ω.
Example
Suponga que el experimento consiste en el lanzamiento de una
moneda. Escriba el espacio muestral.
Ω1 = {cara, sello, canto}
Ω2 = {cara, sello}
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Probabilidad
Cálculo de
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Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
Definition (Espacio Muestral)
Sea E un experimento aleatorio . Al conjunto de todos los
resultados posibles de E le llamaremos espacio muestral.
Notación: El espacio muestral de un experimento aleatorio E se
denota por Ω.
Example
Suponga que el experimento consiste en el lanzamiento de una
moneda. Escriba el espacio muestral.
Ω1 = {cara, sello, canto}
Ω2 = {cara, sello}
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Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
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Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
Definition (Espacio Muestral)
Sea E un experimento aleatorio . Al conjunto de todos los
resultados posibles de E le llamaremos espacio muestral.
Notación: El espacio muestral de un experimento aleatorio E se
denota por Ω.
Example
Suponga que el experimento consiste en el lanzamiento de una
moneda. Escriba el espacio muestral.
Ω1 = {cara, sello, canto}
Ω2 = {cara, sello}
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Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
Definition (Espacio Muestral)
Sea E un experimento aleatorio . Al conjunto de todos los
resultados posibles de E le llamaremos espacio muestral.
Notación: El espacio muestral de un experimento aleatorio E se
denota por Ω.
Example
Suponga que el experimento consiste en el lanzamiento de una
moneda. Escriba el espacio muestral.
Ω1 = {cara, sello, canto}
Ω2 = {cara, sello}
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Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
La diferencia entre Ω1 y Ω2 está en lo que consideremos un resul-
tado posible.
Es necesario adecuar el espacio muestral a lo que consideramos el
fin del experimento y de esta forma sabremos que es un resultado
posible.
Al describir un espacio muestral es necesario tener en cuenta:
I La forma en como describiremos los eventos.
Example
Elegir un mes de manera aleatoria:
Ω1 = {Enero, Febrero, . . . , Diciembre} o Ω2 = {1, 2, . . . , 12}
I Si los eventos son o no distinguibles.
Example
Lanzar dos veces una moneda 2 veces y observar el resultado:
Ω1 = { 2 caras, 2 sellos, cara y sello } o
Ω2 = {(c, c), (c, s), (s, c), (s, s)}
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Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
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Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
La diferencia entre Ω1 y Ω2 está en lo que consideremos un resul-
tado posible.
Es necesario adecuar el espacio muestral a lo que consideramos el
fin del experimento y de esta forma sabremos que es un resultado
posible.
Al describir un espacio muestral es necesario tener en cuenta:
I La forma en como describiremos los eventos.
Example
Elegir un mes de manera aleatoria:
Ω1 = {Enero, Febrero, . . . , Diciembre} o Ω2 = {1, 2, . . . , 12}
I Si los eventos son o no distinguibles.
Example
Lanzar dos veces una moneda 2 veces y observar el resultado:
Ω1 = { 2 caras, 2 sellos, cara y sello } o
Ω2 = {(c, c), (c, s), (s, c), (s, s)}
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Técnicas de Conteo
Enfoques de la
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Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
La diferencia entre Ω1 y Ω2 está en lo que consideremos un resul-
tado posible.
Es necesario adecuar el espacio muestral a lo que consideramos el
fin del experimento y de esta forma sabremos que es un resultado
posible.
Al describir un espacio muestral es necesario tener en cuenta:
I La forma en como describiremos los eventos.
Example
Elegir un mes de manera aleatoria:
Ω1 = {Enero, Febrero, . . . , Diciembre} o Ω2 = {1, 2, . . . , 12}
I Si los eventos son o no distinguibles.
Example
Lanzar dos veces una moneda 2 veces y observar el resultado:
Ω1 = { 2 caras, 2 sellos, cara y sello } o
Ω2 = {(c, c), (c, s), (s, c), (s, s)}
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Enfoques de la
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Cálculo de
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Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
La diferencia entre Ω1 y Ω2 está en lo que consideremos un resul-
tado posible.
Es necesario adecuar el espacio muestral a lo que consideramos el
fin del experimento y de esta forma sabremos que es un resultado
posible.
Al describir un espacio muestral es necesario tener en cuenta:
I La forma en como describiremos los eventos.
Example
Elegir un mes de manera aleatoria:
Ω1 = {Enero, Febrero, . . . , Diciembre} o Ω2 = {1, 2, . . . , 12}
I Si los eventos son o no distinguibles.
Example
Lanzar dos veces una moneda 2 veces y observar el resultado:
Ω1 = { 2 caras, 2 sellos, cara y sello } o
Ω2 = {(c, c), (c, s), (s, c), (s, s)}
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Enfoques de la
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Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
Examples
1. Escriba el espacio muestral para el lanzamiento de 2 monedas;
una de $100 y otra de $500.
2. Suponga que el experimento que consiste en observara las 09:30
hrs., el número de bombas en servicio en una gasolinera con seis
bombas.
3. Suponga que en una fábrica que produce máquinas para sellar al
vaćıo, en un momento dado seleccionan tres de manera aleatoria
para hacer secuencialmente pruebas de calidad. Si denotamos por
C cumple y por N no cumple, escriba el espacio muestral.
Observación:
Notemos que es Espacio Muestral juega el papel de Conjunto Uni-
verso, de aqúı que las próximas definiciones estén relacionadas con
la teoŕıa de conjuntos.
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Técnicas de Conteo
Enfoques de la
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Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
Examples
1. Escriba el espacio muestral para el lanzamiento de 2 monedas;
una de $100 y otra de $500.
2. Suponga que el experimento que consiste en observar a las 09:30
hrs., el número de bombas en servicio en una gasolinera con seis
bombas.
3. Suponga que en una fábrica que produce máquinas para sellar al
vaćıo, en un momento dado seleccionan tres de manera aleatoria
para hacer secuencialmente pruebas de calidad. Si denotamos por
C cumple y por N no cumple, escriba el espacio muestral.
Observación:
Notemos que es Espacio Muestral juega el papel de Conjunto Uni-
verso, de aqúı que las próximas definiciones estén relacionadas con
la teoŕıa de conjuntos.
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Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
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Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
Examples
1. Escriba el espacio muestral para el lanzamiento de 2 monedas;
una de $100 y otra de $500.
2. Suponga que el experimento que consiste en observar a las 09:30
hrs., el número de bombas en servicio en una gasolinera con seis
bombas.
3. Suponga que en una fábrica que produce máquinas para sellar al
vaćıo, en un momento dado seleccionan tres de manera aleatoria
para hacer secuencialmente pruebas de calidad. Si denotamos por
C cumple y por N no cumple, escriba el espacio muestral.
Observación:
Notemos que es Espacio Muestral juega el papel de Conjunto Uni-
verso, de aqúı que las próximas definiciones estén relacionadas con
la teoŕıa de conjuntos.
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Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
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Cálculo de
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Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
Examples
1. Escriba el espacio muestral para el lanzamiento de 2 monedas;
una de $100 y otra de $500.
2. Suponga que el experimento que consiste en observar a las 09:30
hrs., el número de bombas en servicio en una gasolinera con seis
bombas.
3. Suponga que en una fábrica que produce máquinas para sellar al
vaćıo, en un momento dado seleccionan tres de manera aleatoria
para hacer secuencialmente pruebas de calidad. Si denotamos por
C cumple y por N no cumple, escriba el espacio muestral.
Observación:
Notemos que es Espacio Muestral juega el papel de Conjunto Uni-
verso, de aqúı que las próximas definiciones estén relacionadas con
la teoŕıa de conjuntos.
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¿Qué es la
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Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
Definition (Evento o Suceso)
Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Estos son
denotados por letras mayúsculas tales como A, B, C, A1, A2, etc.
Example
Del ejemplo 2., escriba los siguientes eventos:
I El número de bombas en servicio es a lo menos 2.
I El número de bombas en servicio es a lo sumo 3.
I Hay un número par de bombas en servicio.
I Hay más de cuatro bombas en servicio.
Observación:
De acuerdo con la definición de evento, y de acuerdo con la teoŕıa
de conjuntos, Ω y φ son eventos, llamados evento seguro y evento
imposible, respectivamente.
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Enfoques de la
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Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
Definition (Evento o Suceso)
Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Estos son
denotados por letras mayúsculas tales como A, B, C, A1, A2, etc.
Example
Del ejemplo 2., escriba los siguientes eventos:
I El número de bombas en servicio es a lo menos 2.
I El número de bombas en servicio es a lo sumo 3.
I Hay un número par de bombas en servicio.
I Hay más de cuatro bombas en servicio.
Observación:
De acuerdo con la definición de evento, y de acuerdo con la teoŕıa
de conjuntos, Ω y φ son eventos, llamados evento seguro y evento
imposible, respectivamente.
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Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
Definition (Evento Disjuntos o Mutuamente Excluyentes)
Dos eventos A y B, cualesquiera de Ω son disjuntos si, y solo si,
no tienen elementos comunes, es decir su intersección es vaćıa.
A y B disjuntos ⇔ A ∩B = φ
Example
Suponga que elegimos un estudiante al azar de esta casa de estudios
y que estamos interesados en observar si los siguientes eventos: Ver
si el estudiante estudia ingenieŕıa, ver si el estudiante fuma y, ver si
el estudiante es de otra ciudad.
I A = {x/x es estudiante de ingenieŕıa}
I B = {x/x es estudiante que fuma}
I C = {x/x es estudiante que vive en otra ciudad}
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Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
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Cálculo de
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Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
Definition (Evento Disjuntos o Mutuamente Excluyentes)
Dos eventos A y B, cualesquiera de Ω son disjuntos si, y solo si,
no tienen elementos comunes, es decir su intersección es vaćıa.
A y B disjuntos ⇔ A ∩B = φ
Example
Suponga que elegimos un estudiante al azar de esta casa de estudios
y que estamos interesados en observar si los siguientes eventos: Ver
si el estudiante estudia ingenieŕıa, ver si el estudiante fuma y, ver si
el estudiante es de otra ciudad.
I A = {x/x es estudiante de ingenieŕıa}
I B = {x/x es estudiante que fuma}
I C = {x/x es estudiante que vive en otra ciudad}
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Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
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Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
Definition (Evento Disjuntos o Mutuamente Excluyentes)
Dos eventos A y B, cualesquiera de Ω son disjuntos si, y solo si,
no tienen elementos comunes, es decir su intersección es vaćıa.
A y B disjuntos ⇔ A ∩B = φ
Example
Suponga que elegimos un estudiante al azar de esta casa de estudios
y que estamos interesados en observar si los siguientes eventos: Ver
si el estudiante estudia ingenieŕıa, ver si el estudiante fuma y, ver si
el estudiante es de otra ciudad.
I A = {x/x es estudiante de ingenieŕıa}
I B = {x/x es estudiante que fuma}
I C = {x/x es estudiante que vive en otra ciudad}
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¿Qué es la
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Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de BayesConceptos Importantes
Una de las definiciones más importantes en el cálculo de probabilidades
es la siguiente:
Definition (Ocurrencia de un Evento)
Diremos que un evento ocurre si uno cualesquiera de sus
elementos es el resultado del experimento.
Un problema interesante es poder contar el número de elementos que
tiene un conjunto. El problema no tiene dificultad cuando los elementos
están a la vista. Sin embargo, esto no siempre es aśı.
Example
Suponga que Ud. está cursando una asignatura en que el número total
es de 30 alumnos y suponga que el profesor debe seleccionar
aleatoriamente 5 alumnos para que participen en un congreso nacional,
¿En cuántas posibles muestras participaŕıa Ud.?
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Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Conceptos Importantes
Una de las definiciones más importantes en el cálculo de probabilidades
es la siguiente:
Definition (Ocurrencia de un Evento)
Diremos que un evento ocurre si uno cualesquiera de sus
elementos es el resultado del experimento.
Un problema interesante es poder contar el número de elementos que
tiene un conjunto. El problema no tiene dificultad cuando los elementos
están a la vista. Sin embargo, esto no siempre es aśı.
Example
Suponga que Ud. está cursando una asignatura en que el número total
es de 30 alumnos y suponga que el profesor debe seleccionar
aleatoriamente 5 alumnos para que participen en un congreso nacional,
¿En cuántas posibles muestras participaŕıa Ud.?
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Probabilidades
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¿Qué es la
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Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Técnicas de Conteo
Definition (Principio de Suma)
Si una operación O1 puede realizarse de n formas y otra operación
O2 puede realizarse de m formas, entonces la operación ”O1 o
O2”puede efectuarse de n+m formas.
Observación: Si alguna forma de O1 se repite en O2, entonces ”O1
o O2 puede efectuarse de n+m− k formas, siendo k el número de
coincidencias
Example
En un estante hay 6 libros de cálculo, 9 de álgebra y 4 de estad́ıstica.
Si debe escoger uno al azar (no importa cual), ¿De cuantas maneras
puede elegir el libro?
Unidad N°2
Probabilidades
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¿Qué es la
probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Técnicas de Conteo
Definition (Principio de Suma)
Si una operación O1 puede realizarse de n formas y otra operación
O2 puede realizarse de m formas, entonces la operación ”O1 o
O2”puede efectuarse de n+m formas.
Observación: Si alguna forma de O1 se repite en O2, entonces ”O1
o O2 puede efectuarse de n+m− k formas, siendo k el número de
coincidencias
Example
En un estante hay 6 libros de cálculo, 9 de álgebra y 4 de estad́ıstica.
Si debe escoger uno al azar (no importa cual), ¿De cuantas maneras
puede elegir el libro?
Unidad N°2
Probabilidades
Christian Caamaño
¿Qué es la
probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Técnicas de Conteo
Definition (Principio de Suma)
Si una operación O1 puede realizarse de n formas y otra operación
O2 puede realizarse de m formas, entonces la operación ”O1 o
O2”puede efectuarse de n+m formas.
Observación: Si alguna forma de O1 se repite en O2, entonces ”O1
o O2 puede efectuarse de n+m− k formas, siendo k el número de
coincidencias
Example
En un estante hay 6 libros de cálculo, 9 de álgebra y 4 de estad́ıstica.
Si debe escoger uno al azar (no importa cual), ¿De cuantas maneras
puede elegir el libro?
Unidad N°2
Probabilidades
Christian Caamaño
¿Qué es la
probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Técnicas de Conteo
Definition (Principio de Multiplicación)
Suponga que una operación O1 se puede realizar de n formas y
una segunda operación O2 (O2 siguiendo secuencialmente a O1)
puede realizarse de m formas. Entonces ambas operaciones ”O1 y
O2”pueden efectuarse de de n ·m formas.
Example
Si una operación O1 se puede realizar de 4 formas y una operación
O2 se puede realizar de 3 formas, entonces ”O1 y O2”se puede
realizar de 12 formas. Graficamente:
Unidad N°2
Probabilidades
Christian Caamaño
¿Qué es la
probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Técnicas de Conteo
Definition (Principio de Multiplicación)
Suponga que una operación O1 se puede realizar de n formas y
una segunda operación O2 (O2 siguiendo secuencialmente a O1)
puede realizarse de m formas. Entonces ambas operaciones ”O1 y
O2”pueden efectuarse de de n ·m formas.
Example
Si una operación O1 se puede realizar de 4 formas y una operación
O2 se puede realizar de 3 formas, entonces ”O1 y O2”se puede
realizar de 12 formas.
Graficamente:
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¿Qué es la
probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Técnicas de Conteo
Definition (Principio de Multiplicación)
Suponga que una operación O1 se puede realizar de n formas y
una segunda operación O2 (O2 siguiendo secuencialmente a O1)
puede realizarse de m formas. Entonces ambas operaciones ”O1 y
O2”pueden efectuarse de de n ·m formas.
Example
Si una operación O1 se puede realizar de 4 formas y una operación
O2 se puede realizar de 3 formas, entonces ”O1 y O2”se puede
realizar de 12 formas. Graficamente:
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Probabilidades
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¿Qué es la
probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Técnicas de Conteo
Consideremos un conjunto finito con todos sus elementos
diferentes:
Definition (Variación)
Cada una de las ordenaciones que pueden formarse tomando al-
guno o todos los elementos del conjunto.
Definition (Permutación)
Llamamos permutación a cada una de las posibles ordenaciones o
variaciones que se hagan tomando todos los elementos del conjunto.
Observación: Dos permutaciones cualesquiera tienen los mismos
elementos, solo difiere en el orden en que los elementos están dis-
puestos.
Unidad N°2
Probabilidades
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¿Qué es la
probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Técnicas de Conteo
Consideremos un conjunto finito con todos sus elementos
diferentes:
Definition (Variación)
Cada una de las ordenaciones que pueden formarse tomando al-
guno o todos los elementos del conjunto.
Definition (Permutación)
Llamamos permutación a cada una de las posibles ordenaciones o
variaciones que se hagan tomando todos los elementos del conjunto.
Observación: Dos permutaciones cualesquiera tienen los mismos
elementos, solo difiere en el orden en que los elementos están dis-
puestos.
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¿Qué es la
probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
ProbabilidadCondicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Técnicas de Conteo
Definition (Combinación)
Llamaremos combinación a cada uno de los grupos que puedan
formarse, tomando algunos o todos los elementos del conjunto, de
manera que dos cualesquiera de ellos difieran en algún objeto.
Example
Sea el conjunto A = {a, b, c, d}. Escribir todas las permutaciones
y combinaciones que se pueden obtener con tres objetos.
Combinaciones Permutaciones
abc abc acb cab cba bca bac
abd abd adb dab dba bda bad
acd acd adc dac dca cda cad
bcd bcd bdc dbc dcb cdb cbd
Unidad N°2
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Importantes
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Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Técnicas de Conteo
Definition (Combinación)
Llamaremos combinación a cada uno de los grupos que puedan
formarse, tomando algunos o todos los elementos del conjunto, de
manera que dos cualesquiera de ellos difieran en algún objeto.
Example
Sea el conjunto A = {a, b, c, d}. Escribir todas las permutaciones
y combinaciones que se pueden obtener con tres objetos.
Combinaciones Permutaciones
abc abc acb cab cba bca bac
abd abd adb dab dba bda bad
acd acd adc dac dca cda cad
bcd bcd bdc dbc dcb cdb cbd
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Importantes
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Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Técnicas de Conteo
Definition (Combinación)
Llamaremos combinación a cada uno de los grupos que puedan
formarse, tomando algunos o todos los elementos del conjunto, de
manera que dos cualesquiera de ellos difieran en algún objeto.
Example
Sea el conjunto A = {a, b, c, d}. Escribir todas las permutaciones
y combinaciones que se pueden obtener con tres objetos.
Combinaciones Permutaciones
abc abc acb cab cba bca bac
abd abd adb dab dba bda bad
acd acd adc dac dca cda cad
bcd bcd bdc dbc dcb cdb cbd
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Conceptos
Importantes
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Enfoques de la
Probabilidad
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Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Técnicas de Conteo
Definition
I El número de permutaciones de n objetos distintos es n!,
donde
n! = n · (n− 1) · (n− 2) · · · 2 · 1,
es el producto de los n primeros números naturales.
I 0! = 1
Definition (nPr)
El número de permutaciones de n objetos distintos tomados en
grupos de r a la vez es:
nPr =
n!
(n− r)!
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Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Técnicas de Conteo
Observación:
El número de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son de
una clase 1, n2 son de una clase 2, . . . , nk son de una clase k,
con n1 + n2 + · · · + nk = n, es denotado por nPn1, n2, · · · , nk y
está dado por:
nPn1, n2, · · · , nk =
n!
n1!n2! · · ·nk!
.
Definition (nCr)
El número de combinaciones de n objetos distintos tomados en
grupos de r a la vez es:
nCr =
n!
(n− r)!r!
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Enfoques de la
Probabilidad
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Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Técnicas de Conteo
Observación:
El número de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son de
una clase 1, n2 son de una clase 2, . . . , nk son de una clase k,
con n1 + n2 + · · · + nk = n, es denotado por nPn1, n2, · · · , nk y
está dado por:
nPn1, n2, · · · , nk =
n!
n1!n2! · · ·nk!
.
Definition (nCr)
El número de combinaciones de n objetos distintos tomados en
grupos de r a la vez es:
nCr =
n!
(n− r)!r!
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Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Técnicas de Conteo
Examples
I ¿Cuántos números diferentes de seis cifras pueden formarse
con los nueve d́ıgitos 1, 2, 3, . . . , 9? ¿Cuántos comienzan con
un número impar?
I Cuántos grupos de 5 estudiantes se pueden formar con un
total de 7 estudiantes.
I Con 7 consonantes y 4 vocales, ¿Cuántas palabras (con o sin
sentido) pueden formarse, conteniendo cada una 3
consonantes y 2 vocales?
I ¿De cuantas maneras 3 americanos, 4 franceses, 4 daneses y
2 italianos pueden sentarse en una fila de modo que los de la
misma nacionalidad se sienten juntos?
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Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Técnicas de Conteo
Examples
I ¿Cuántos números diferentes de seis cifras pueden formarse
con los nueve d́ıgitos 1, 2, 3, . . . , 9? ¿Cuántos comienzan con
un número impar?
I Cuántos grupos de 5 estudiantes se pueden formar con un
total de 7 estudiantes.
I Con 7 consonantes y 4 vocales, ¿Cuántas palabras (con o sin
sentido) pueden formarse, conteniendo cada una 3
consonantes y 2 vocales?
I ¿De cuantas maneras 3 americanos, 4 franceses, 4 daneses y
2 italianos pueden sentarse en una fila de modo que los de la
misma nacionalidad se sienten juntos?
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Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Técnicas de Conteo
Examples
I ¿Cuántos números diferentes de seis cifras pueden formarse
con los nueve d́ıgitos 1, 2, 3, . . . , 9? ¿Cuántos comienzan con
un número impar?
I Cuántos grupos de 5 estudiantes se pueden formar con un
total de 7 estudiantes.
I Con 7 consonantes y 4 vocales, ¿Cuántas palabras (con o sin
sentido) pueden formarse, conteniendo cada una 3
consonantes y 2 vocales?
I ¿De cuantas maneras 3 americanos, 4 franceses, 4 daneses y
2 italianos pueden sentarse en una fila de modo que los de la
misma nacionalidad se sienten juntos?
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Probabilidad
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Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Técnicas de Conteo
Examples
I ¿Cuántos números diferentes de seis cifras pueden formarse
con los nueve d́ıgitos 1, 2, 3, . . . , 9? ¿Cuántos comienzan con
un número impar?
I Cuántos grupos de 5 estudiantes se pueden formar con un
total de 7 estudiantes.
I Con 7 consonantes y 4 vocales, ¿Cuántas palabras (con o sin
sentido) pueden formarse, conteniendo cada una 3
consonantes y 2 vocales?
I ¿De cuantas maneras 3 americanos, 4 franceses, 4 daneses y
2 italianos pueden sentarse en una fila de modo que los de la
misma nacionalidad se sienten juntos?
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Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Enfoques de la Probabilidad
I La teoŕıa de las probabilidades se utiliza de manera
importante en el mundo de los negocios.
I Los seguros se basan firmemente en los principios de las
probabilidades.
I Las pólizas de seguros dependen de las tablas de mortalidad,
las cuales a su vez se basan en las probabilidades de muerte
en edades espećıficas.
I Otrastasas de seguros tales como bienes ráıces y automóviles
se determinan de manera similar.
I La probabilidad en la estimación del número de unidades
defectuosas en un proceso de fabricación, la probabilidad de
recibir pagos sobre las cuentas por cobrar y las ventas
potenciales de un nuevo producto.
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Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Enfoques de la Probabilidad
Existen 4 enfoques del concepto de probabilidad:
1. El Enfoque Subjetivo.
2. El Enfoque de Frecuencias Relativas.
3. El Enfoque Clásico.
4. El Enfoque o Desarrollo Axiomático.
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Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Enfoques de la Probabilidad
Enfoque Subjetivo
Corresponde a la asignación de una probabilidad basado en la grado
de creencia o experiencia personal que se tenga respecto a de la
ocurrencia de un evento.
Examples
I Tengo un 75 % de probabilidad de aprobar la asignatura.
I La probabilidad de que una mujer sea elegida como presidente
de EE.UU
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Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Enfoques de la Probabilidad
Enfoque Subjetivo
Corresponde a la asignación de una probabilidad basado en la grado
de creencia o experiencia personal que se tenga respecto a de la
ocurrencia de un evento.
Examples
I Tengo un 75 % de probabilidad de aprobar la asignatura.
I La probabilidad de que una mujer sea elegida como presidente
de EE.UU
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Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
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Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Enfoques de la Probabilidad
Enfoque de Frecuencia Relativa
Utiliza datos que se han observado emṕıricamente, registra la fre-
cuencia con que ha ocurrido algún evento E en el pasado
y estima la probabilidad de que el evento ocurra nuevamente con
base en estos datos históricos. La probabilidad relativa se determina
mediante:
P (E) =
N° de veces que ha ocurrido el evento en el pasado
N° total de observaciones
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Importantes
Técnicas de Conteo
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Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Enfoques de la Probabilidad
Enfoque de Frecuencia Relativa
Examples
Supongamos que durante el año anterior hubo 50 nacimientos en
un hospital local, de los cuales 32 de los recién nacidos eran niñas.
El modelo de frecuencia relativa revela que la probabilidad de que
el siguiente nacimiento (o un nacimiento seleccionado
aleatoriamente) sea niña es:
P (niña) =
N° de niñas que nació el año anterior
N° total de nacimientos
=
32
50
Unidad N°2
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probabilidad?
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Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Enfoques de la Probabilidad
Enfoque de Frecuencia Relativa
Examples
Supongamos que durante el año anterior hubo 50 nacimientos en
un hospital local, de los cuales 32 de los recién nacidos eran niñas.
El modelo de frecuencia relativa revela que la probabilidad de que
el siguiente nacimiento (o un nacimiento seleccionado
aleatoriamente) sea niña es:
P (niña) =
N° de niñas que nació el año anterior
N° total de nacimientos
=
32
50
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Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Enfoques de la Probabilidad
Enfoque Clásico
En la práctica el modelo clásico es el más difundido para el cálculo de
probabilidad y está basado en el cuociente entre todas las formas
posibles en que puede ocurrir un evento E y todos los posibles
resultados del espacio muestral Ω, es decir
P (E) =
N° de formas en las que puede ocurrir un evento
N° total de posibles resultados
Examples
De un naipe inglés se extrae una carta al azar, ¿Cuál es la
probabilidad de que la carta elegida sea un As?
P (As) =
N° total de Aces
N° total de cartas
=
4
52
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Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
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Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Enfoques de la Probabilidad
Enfoque Clásico
En la práctica el modelo clásico es el más difundido para el cálculo de
probabilidad y está basado en el cuociente entre todas las formas
posibles en que puede ocurrir un evento E y todos los posibles
resultados del espacio muestral Ω, es decir
P (E) =
N° de formas en las que puede ocurrir un evento
N° total de posibles resultados
Examples
De un naipe inglés se extrae una carta al azar, ¿Cuál es la
probabilidad de que la carta elegida sea un As?
P (As) =
N° total de Aces
N° total de cartas
=
4
52
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Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Enfoques de la Probabilidad
Enfoque o Desarrollo Axiomático
Se llama probabilidad a una función, real valuada, definida sobre la
clase de todos los subconjuntos del espacio muestral Ω, tal que, a
un subconjunto cualquiera A de Ω asocia un número, denotado por
P (A), llamado probabilidad de A y que debe satisfacer los siguientes
axiomas:
Ax1. P (Ω) = 1
Ax2. P (A) ≥ 0
Ax3. P (
⋃
i=1Ai) =
∑
i=1 P (Ai) para toda sucesión disjunta de
eventos A1, A2, . . . .
Unidad N°2
Probabilidades
Christian Caamaño
¿Qué es la
probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Enfoques de la Probabilidad
Enfoque o Desarrollo Axiomático
Se llama probabilidad a una función, real valuada, definida sobre la
clase de todos los subconjuntos del espacio muestral Ω, tal que, a
un subconjunto cualquiera A de Ω asocia un número, denotado por
P (A), llamado probabilidad de A y que debe satisfacer los siguientes
axiomas:
Ax1. P (Ω) = 1
Ax2. P (A) ≥ 0
Ax3. P (
⋃
i=1Ai) =
∑
i=1 P (Ai) para toda sucesión disjunta de
eventos A1, A2, . . . .
Unidad N°2
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¿Qué es la
probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Enfoques de la Probabilidad
Enfoque Axiomático
De los tres axiomas obtenemos las siguientes consecuencias:
Sean A y B dos eventos cualesquiera de Ω
1. P (φ) = 0.
2. P (Ac) = 1− P (A), donde Ac es el complemento de A bajo
Ω.
3. P (Ac ∩B) = P (B)− P (A ∩B).
4. P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).
5. Si A ⊆ B entonces P (A) ≤ P (B).
6. P (A) = P (A1) +P (A2) + · · ·+P (Ak) donde A1, A2, . . . , Ak
forman una partición del conjunto A, es decir:
I A =
⋃k
i=1Ai.
I Ai ∩Aj = φ ∀i 6= j.
Demostración: En clases.
Unidad N°2
Probabilidades
ChristianCaamaño
¿Qué es la
probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Enfoques de la Probabilidad
Examples (Enfoque Axiomático)
I Tres caballos A, B y C intervienen en una carrera. A tiene el
doble de posibilidad de ganar que B, y B el doble de ganar que C.
¿Cuáles son las respectivas probabilidades de ganar? ¿Cuál es la
probabilidad de que el caballo B o C ganen?
I Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres de los cuales la
mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen ojos claros.
Hallar la probabilidad que una persona escogida al azar sea un
hombre o tenga los ojos claros.
I Sean A y B eventos con P (A) = 3
8
, P (B) = 1
2
y P (A ∩B) = 1
4
.
Hallar P (A ∪B), P (Ac), P (Bc), P (Ac ∩Bc), P (A ∩Bc) y
P (B ∩Ac).
Observación: (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc y (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc (Leyes de
DeMorgan).
Unidad N°2
Probabilidades
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¿Qué es la
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Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Enfoques de la Probabilidad
Examples (Enfoque Axiomático)
I Tres caballos A, B y C intervienen en una carrera. A tiene el
doble de posibilidad de ganar que B, y B el doble de ganar que C.
¿Cuáles son las respectivas probabilidades de ganar? ¿Cuál es la
probabilidad de que el caballo B o C ganen?
I Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres de los cuales la
mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen ojos claros.
Hallar la probabilidad que una persona escogida al azar sea un
hombre o tenga los ojos claros.
I Sean A y B eventos con P (A) = 3
8
, P (B) = 1
2
y P (A ∩B) = 1
4
.
Hallar P (A ∪B), P (Ac), P (Bc), P (Ac ∩Bc), P (A ∩Bc) y
P (B ∩Ac).
Observación: (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc y (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc (Leyes de
DeMorgan).
Unidad N°2
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Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Enfoques de la Probabilidad
Examples (Enfoque Axiomático)
I Tres caballos A, B y C intervienen en una carrera. A tiene el
doble de posibilidad de ganar que B, y B el doble de ganar que C.
¿Cuáles son las respectivas probabilidades de ganar? ¿Cuál es la
probabilidad de que el caballo B o C ganen?
I Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres de los cuales la
mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen ojos claros.
Hallar la probabilidad que una persona escogida al azar sea un
hombre o tenga los ojos claros.
I Sean A y B eventos con P (A) = 3
8
, P (B) = 1
2
y P (A ∩B) = 1
4
.
Hallar P (A ∪B), P (Ac), P (Bc), P (Ac ∩Bc), P (A ∩Bc) y
P (B ∩Ac).
Observación: (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc y (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc (Leyes de
DeMorgan).
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Probabilidades
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Importantes
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Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Tablas de Contingencia y de Probabilidad
Las tablas de contingencia y las tablas de probabilidad son útiles al
calcular la probabilidad de eventos.
Example (Empleados en King Dynamics Inc.)
De los 500 empleados de King Dynamics, Inc. 170 están clasificados
como miembros del personal administrativo, 290 como trabajadores de
ĺınea, y los 40 trabajadores restantes son empleados auxiliares.
Considerando que hay 300 hombres y 200 mujeres, la información se ha
organizado de la siguiente forma:
Clasificación de los Empleados
Tabla de Contingencia para King Dynamics Inc.
Género Administrativo Ĺınea Auxiliar Total
Hombre 120 150 30 300
Mujer 50 140 10 200
Total 170 290 40 500
Unidad N°2
Probabilidades
Christian Caamaño
¿Qué es la
probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Tablas de Contingencia y de Probabilidad
Las tablas de contingencia y las tablas de probabilidad son útiles al
calcular la probabilidad de eventos.
Example (Empleados en King Dynamics Inc.)
De los 500 empleados de King Dynamics, Inc. 170 están clasificados
como miembros del personal administrativo, 290 como trabajadores de
ĺınea, y los 40 trabajadores restantes son empleados auxiliares.
Considerando que hay 300 hombres y 200 mujeres, la información se ha
organizado de la siguiente forma:
Clasificación de los Empleados
Tabla de Contingencia para King Dynamics Inc.
Género Administrativo Ĺınea Auxiliar Total
Hombre 120 150 30 300
Mujer 50 140 10 200
Total 170 290 40 500
Unidad N°2
Probabilidades
Christian Caamaño
¿Qué es la
probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Tablas de Contingencia y de Probabilidad
La tabla de probabilidad se obtiene dividiendo cada elemento de la
tabla de contingencia por el gran total.
Clasificación de los Empleados
Tabla de Probabilidad para King Dynamics Inc.
Género Administrativo Ĺınea Auxiliar Total
Hombre 0.24 0.3 0.06 0.6
Mujer 0.1 0.28 0.02 0.4
Total 0.34 0.58 0.08 1
Observación:
I Los valores en los márgenes de la tabla se llaman
Probabilidades Marginales, y muestran la probabilidad de
ocurrencia de un solo evento.
I Las probabilidades mostradas en las celdas interiores de la
tabla se conocen como Probabilidades Conjuntas y
muestran la probabilidad de ocurrencia de la intersección de
dos eventos.
Unidad N°2
Probabilidades
Christian Caamaño
¿Qué es la
probabilidad?
Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Tablas de Contingencia y de Probabilidad
La tabla de probabilidad se obtiene dividiendo cada elemento de la
tabla de contingencia por el gran total.
Clasificación de los Empleados
Tabla de Probabilidad para King Dynamics Inc.
Género Administrativo Ĺınea Auxiliar Total
Hombre 0.24 0.3 0.06 0.6
Mujer 0.1 0.28 0.02 0.4
Total 0.34 0.58 0.08 1
Observación:
I Los valores en los márgenes de la tabla se llaman
Probabilidades Marginales, y muestran la probabilidad de
ocurrencia de un solo evento.
I Las probabilidades mostradas en las celdas interiores de la
tabla se conocen como Probabilidades Conjuntas y
muestran la probabilidad de ocurrencia de la intersección de
dos eventos.
Unidad N°2
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Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Tablas de Contingencia y de Probabilidad
La tabla de probabilidad se obtiene dividiendo cada elemento de la
tabla de contingencia por el gran total.
Clasificación de los Empleados
Tabla de Probabilidad para King Dynamics Inc.
Género Administrativo Ĺınea Auxiliar Total
Hombre 0.24 0.3 0.06 0.6
Mujer 0.1 0.28 0.02 0.4
Total 0.34 0.58 0.08 1
Observación:
I Los valores en los márgenes de la tabla se llaman
Probabilidades Marginales, y muestran la probabilidad de
ocurrencia de un solo evento.
I Las probabilidades mostradas en las celdas interiores de la
tabla se conocen como Probabilidades Conjuntas y
muestran la probabilidad de ocurrencia de la intersección de
dos eventos.
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Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Tablas de Contingenciay de Probabilidad
La tabla de probabilidad se obtiene dividiendo cada elemento de la
tabla de contingencia por el gran total.
Clasificación de los Empleados
Tabla de Probabilidad para King Dynamics Inc.
Género Administrativo Ĺınea Auxiliar Total
Hombre 0.24 0.3 0.06 0.6
Mujer 0.1 0.28 0.02 0.4
Total 0.34 0.58 0.08 1
Observación:
I Los valores en los márgenes de la tabla se llaman
Probabilidades Marginales, y muestran la probabilidad de
ocurrencia de un solo evento.
I Las probabilidades mostradas en las celdas interiores de la
tabla se conocen como Probabilidades Conjuntas y
muestran la probabilidad de ocurrencia de la intersección de
dos eventos.
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Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Tablas de Contingencia y de Probabilidad
La tabla de probabilidad se obtiene dividiendo cada elemento de la
tabla de contingencia por el gran total.
Clasificación de los Empleados
Tabla de Probabilidad para King Dynamics Inc.
Género Administrativo Ĺınea Auxiliar Total
Hombre 0.24 0.3 0.06 0.6
Mujer 0.1 0.28 0.02 0.4
Total 0.34 0.58 0.08 1
Definiendo los eventos:
I A: La persona pertenece al personal administrativo.
I B: La persona pertenece es trabajador de ĺınea.
I C: La persona es un empleado auxiliar.
I M : La persona es mujer.
I H: La persona es hombre.
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Enfoques de la
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Cálculo de
Probabilidades
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Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
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Tabla de Probabilidad para King Dynamics Inc.
Género Administrativo Ĺınea Auxiliar Total
Hombre 0.24 0.3 0.06 0.6
Mujer 0.1 0.28 0.02 0.4
Total 0.34 0.58 0.08 1
Examples
I La probabilidad de seleccionar un trabajador de ĺınea de
manera aleatoria es P (B) = 0,58.
I La probabilidad de seleccionar un hombre es P (H) = 0,60.
I La probabilidad de seleccionar un miembro del personal
administrativo y que sea hombre es P (A ∩H) = 0,24.
I Una probabilidad marginal se encuentra como la suma de las
probabilidades conjuntas correspondientes:
P (M) = P (M ∩A) + P (M ∩B) + P (M ∩ C) =
0,1 + 0,28 + 0,02 = 0,4.
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Independientes
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Regla de Bayes
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Clasificación de los Empleados
Tabla de Probabilidad para King Dynamics Inc.
Género Administrativo Ĺınea Auxiliar Total
Hombre 0.24 0.3 0.06 0.6
Mujer 0.1 0.28 0.02 0.4
Total 0.34 0.58 0.08 1
Examples
I La probabilidad de seleccionar un trabajador de ĺınea de
manera aleatoria es P (B) = 0,58.
I La probabilidad de seleccionar un hombre es P (H) = 0,60.
I La probabilidad de seleccionar un miembro del personal
administrativo y que sea hombre es P (A ∩H) = 0,24.
I Una probabilidad marginal se encuentra como la suma de las
probabilidades conjuntas correspondientes:
P (M) = P (M ∩A) + P (M ∩B) + P (M ∩ C) =
0,1 + 0,28 + 0,02 = 0,4.
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Tabla de Probabilidad para King Dynamics Inc.
Género Administrativo Ĺınea Auxiliar Total
Hombre 0.24 0.3 0.06 0.6
Mujer 0.1 0.28 0.02 0.4
Total 0.34 0.58 0.08 1
Examples
I Si se elige a una persona al azar y esta es mujer, ¿Cuál es la
probabilidad de que sea del personal administrativo?
Respuesta: 0,25
I Si se selecciona una persona al azar y esta es un empleado
auxiliar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?
Respuesta: 0,75
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Género Administrativo Ĺınea Auxiliar Total
Hombre 0.24 0.3 0.06 0.6
Mujer 0.1 0.28 0.02 0.4
Total 0.34 0.58 0.08 1
Examples
I Si se elige a una persona al azar y esta es mujer, ¿Cuál es la
probabilidad de que sea del personal administrativo?
Respuesta: 0,25
I Si se selecciona una persona al azar y esta es un empleado
auxiliar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?
Respuesta: 0,75
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Independientes
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Género Administrativo Ĺınea Auxiliar Total
Hombre 0.24 0.3 0.06 0.6
Mujer 0.1 0.28 0.02 0.4
Total 0.34 0.58 0.08 1
Examples
I Si se elige a una persona al azar y esta es mujer, ¿Cuál es la
probabilidad de que sea del personal administrativo?
Respuesta: 0,25
I Si se selecciona una persona al azar y esta es un empleado
auxiliar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?
Respuesta: 0,75
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Independientes
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Tabla de Probabilidad para King Dynamics Inc.
Género Administrativo Ĺınea Auxiliar Total
Hombre 0.24 0.3 0.06 0.6
Mujer 0.1 0.28 0.02 0.4
Total 0.34 0.58 0.08 1
Examples
I Si se elige a una persona al azar y esta es mujer, ¿Cuál es la
probabilidad de que sea del personal administrativo?
Respuesta: 0,25
I Si se selecciona una persona al azar y esta es un empleado
auxiliar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?
Respuesta: 0,75
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Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Probabilidad Condicional
Observación:
En los ejemplos anteriores el espacio muestral a sido reducido a un
conjunto más pequeño. En ambos casos la probabilidad pedida
está condicionada a la ocurrencia previa de un evento.
Definition (Probabilidad Condicional)
Sean A y B dos eventos cualesquiera de Ω, se define la
probabilidad condicional del evento A dado que el evento B ha
ocurrido, P (A/B), mediante la expresión:
P (A/B) =
P (A ∩B)
P (B)
, si P (B) 6= 0.
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Probabilidades
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Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Probabilidad Condicional
Observación:
En los ejemplos anteriores el espacio muestral a sido reducido a un
conjunto más pequeño. En ambos casos la probabilidad pedida
está condicionada a la ocurrencia previa de un evento.
Definition (Probabilidad Condicional)
Sean A y B dos eventos cualesquiera de Ω, se define la
probabilidad condicional del evento A dado que el evento B ha
ocurrido, P (A/B), mediante la expresión:
P (A/B) =
P (A ∩B)
P (B)
, si P (B) 6= 0.
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Cálculo de
Probabilidades
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Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Probabilidad Condicional
Notemos que en la expresión anterior participan tres términos: la
probabilidad condicional P (A/B), la probabilidad conjunta de dos
eventos P (A ∩ B) y la probabilidad marginal P (B). Reordenando
la expresión se tiene que:
P (A ∩B) = P (A/B) · P (B) (1)
Análogamente se tiene
P (A ∩B) = P (B/A) · P (A) (2)
Las expresiones (1) y (2) se conocen como la regla del producto
para la intersección de dos eventos, P (A ∩B).
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Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Eventos Independientes
En P (A/B), la ocurrencia de A está condicionada a la ocurrencia
previa del evento B, ¿Pero qué sucede si el evento B no influye en
la ocurrencia del evento A?
Si esto ocurre, entonces se tiene que
P (A/B) = P (A), es decir, los eventos son independientes.
Definition (Eventos Independientes)
Sean A y B dos eventos cualesquiera de Ω. Se dice que los eventos
son independientes si, y solo si,
P (A ∩B) = P (A) · P (B)
Observación: Si A y B son independientes, entonces:
I A y Bc son eventos independientes.
I Ac y B son eventos independientes.
I Ac y Bc son eventos independientes.
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Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Eventos Independientes
En P (A/B), la ocurrencia de A está condicionada a la ocurrencia
previa del evento B, ¿Pero qué sucede si el evento B no influye en
la ocurrencia del evento A? Si esto ocurre, entonces se tiene que
P (A/B) = P (A), es decir, los eventos son independientes.
Definition (Eventos Independientes)
Sean A y B dos eventos cualesquiera de Ω. Se dice que los eventos
son independientes si, y solo si,
P (A ∩B) = P (A) · P (B)
Observación: Si A y B son independientes, entonces:
I A y Bc son eventos independientes.
I Ac y B son eventos independientes.
I Ac y Bc son eventos independientes.
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Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Eventos Independientes
En P (A/B), la ocurrencia de A está condicionada a la ocurrencia
previa del evento B, ¿Pero qué sucede si el evento B no influye en
la ocurrencia del evento A? Si esto ocurre, entonces se tiene que
P (A/B) = P (A), es decir, los eventos son independientes.
Definition (Eventos Independientes)
Sean A y B dos eventos cualesquiera de Ω. Se dice que los eventos
son independientes si, y solo si,
P (A ∩B) = P (A) · P (B)
Observación: Si A y B son independientes, entonces:
I A y Bc son eventos independientes.
I Ac y B son eventos independientes.
I Ac y Bc son eventos independientes.
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Independientes
Probabilidad Total y
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Eventos Independientes
En P (A/B), la ocurrencia de A está condicionada a la ocurrencia
previa del evento B, ¿Pero qué sucede si el evento B no influye en
la ocurrencia del evento A? Si esto ocurre, entonces se tiene que
P (A/B) = P (A), es decir, los eventos son independientes.
Definition (Eventos Independientes)
Sean A y B dos eventos cualesquiera de Ω. Se dice que los eventos
son independientes si, y solo si,
P (A ∩B) = P (A) · P (B)
Observación: Si A y B son independientes, entonces:
I A y Bc son eventos independientes.
I Ac y B son eventos independientes.
I Ac y Bc son eventos independientes.
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Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Eventos Independientes
En resumen, para calcular la probabilidad conjunta entre los eventos
A y B, existen 2 formas:
P (A ∩B) =
Bajo Dependencia Bajo Independencia
P (A/B)P (B) P (A)P (B)
P (B/A)P (A)
Example
Suponga que dos estudiantes, Juan y José deben resolver un prob-
lema de probabilidades asignado para que lo desarrollen en la casa.
Juan de acuerdo a lo aprendido en clases tiene un 35 % de probabil-
idad de resolver el ejercicio y José un 45 %. ¿Cuál es la probabilidad
qué el ejercicio asignado sea resuelto?.
Unidad N°2
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Importantes
Técnicas de Conteo
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Probabilidad
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Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Eventos Independientes
En resumen, para calcular la probabilidad conjunta entre los eventos
A y B, existen 2 formas:
P (A ∩B) =
Bajo Dependencia Bajo Independencia
P (A/B)P (B) P (A)P (B)
P (B/A)P (A)
Example
Suponga que dos estudiantes, Juan y José deben resolver un prob-
lema de probabilidades asignado para que lo desarrollen en la casa.
Juan de acuerdo a lo aprendido en clases tiene un 35 % de probabil-
idad de resolver el ejercicio y José un 45 %. ¿Cuál es la probabilidad
qué el ejercicio asignado sea resuelto?.
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¿Qué es la
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Conceptos
Importantes
Técnicas de Conteo
Enfoques de la
Probabilidad
Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Probabilidad Total
Definition (Partición)
Diremos que una familia de subconjuntos {Ai : i ∈ I} de un
conjunto A es una partición (sobre A) si se cumple que:
1. Ai 6= φ, ∀i ∈ I
2.
⋃
i∈I Ai = A
3. Ai ∩Aj = φ, ∀i 6= j
Example (Partición de un Conjunto)
Unidad N°2
Probabilidades
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Probabilidad
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Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Probabilidad Total
Definition (Partición)
Diremos que una familia de subconjuntos {Ai : i ∈ I} de un
conjunto A es una partición (sobre A) si se cumple que:
1. Ai 6= φ, ∀i ∈ I
2.
⋃
i∈I Ai = A
3. Ai ∩Aj = φ, ∀i 6= j
Example (Partición de un Conjunto)
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Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Probabilidad Total
Supongamos que el espacio muestral Ω puede ser particionado por
un conjunto de k eventos disjuntos A1, A2, . . . , Ak, es decir
Ω = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪Ak
con
Ai ∩Aj = φ ∀i 6= j.
Supongamos además que estamos interesados en determinar la prob-
abilidad de un evento B cualquiera de Ω. Gráficamente:
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Probabilidad Total
Supongamos que el espacio muestral Ω puede ser particionado por
un conjunto de k eventos disjuntos A1, A2, . . . , Ak, es decir
Ω = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪Ak
con
Ai ∩Aj = φ ∀i 6= j.
Supongamos además que estamos interesados en determinar la prob-
abilidad de un evento B cualquiera de Ω. Gráficamente:
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Probabilidades
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Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Probabilidad Total
Luego, B puede ser reescrito como:
B = (B ∩A1) ∪ (B ∩A2) ∪ · · · ∪ (B ∩Ak).
Obviamente algunas intersecciones son vaćıas, luego:
P (B) = P ((B ∩A1) ∪ (B ∩A2) ∪ · · · ∪ (B ∩Ak))
= P (B ∩A1) + P (B ∩A2) + · · ·+ P (B ∩Ak)
= P (B/A1)P (A1) + P (B/A2)P (A2) +
· · ·+ P (B/Ak)P (Ak)
Expresión conocida como Teorema de la Probabilidad Total para
el evento B.
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Cálculo de
Probabilidades
Probabilidad
Condicional
Eventos
Independientes
Probabilidad Total y
Regla de Bayes
Teorema de Bayes
Una pregunta interesante que surge aqúı es, conocida la ocurrencia
del evento B ¿Cuál es la probabilidad que esta ocurrencia cause la
ocurrencia del evento Aj ?
Esto es:
P (Aj/B) =
P (Aj ∩B)
P (B)
=
P (B/Aj)P (Aj)∑k
i=1 P (B/Ai)P (Ai)
.
La expresión anterior es conocida como el Teorema de Bayes o la
Regla de Bayes.
Example
Suponga que una máquina usada en la fabricación de piezas puede estar
ajustada o desajustada. Cuando está ajustada produce un 1 % de piezas
defectuosas y cuando está desajustada un 10 %. Se sabe que la probabil-
idad de desajuste de la máquina es de un 30 %.
1. Si se selecciona al azar una pieza producida por esta máquina y es
buena, ¿Cuál es la probabilidad que la máquina haya estado
desajustada?.
2. ¿Cuál es la probabilidad que la pieza seleccionada este buena o
provenga de la máquna desajustada?.
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Condicional
Eventos
Independientes
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Teorema de Bayes
Una pregunta interesante que surge aqúı es, conocida la ocurrencia
del evento B ¿Cuál es la probabilidad que esta ocurrencia cause la
ocurrencia del evento Aj ? Esto es:
P (Aj/B) =
P (Aj ∩B)
P (B)
=
P (B/Aj)P (Aj)∑k
i=1 P (B/Ai)P (Ai)
.
La expresión anterior es conocida como el Teorema de Bayes o la
Regla de Bayes.
Example
Suponga que una máquina usada en la fabricación de piezas puede estar
ajustada o desajustada. Cuando está ajustada produce un 1 % de piezas
defectuosas y cuando está desajustada un 10 %. Se sabe que la probabil-
idad de desajuste de la máquina es de un 30 %.
1. Si se selecciona al azar una pieza producida por esta máquina y es
buena, ¿Cuál es la probabilidad que la máquina haya estado
desajustada?.
2. ¿Cuál es la probabilidad que la pieza seleccionada este buena o
provenga de la máquna desajustada?.
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Independientes
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Teorema de Bayes
Una pregunta interesante que surge aqúı es, conocida la ocurrencia
del evento B ¿Cuál es la probabilidad que esta ocurrencia cause la
ocurrencia del evento Aj ? Esto es:
P (Aj/B) =
P (Aj ∩B)
P (B)
=
P (B/Aj)P (Aj)∑k
i=1 P (B/Ai)P (Ai)
.
La expresión anterior es conocida como el Teorema de Bayes o la
Regla de Bayes.
Example
Suponga que una máquina usada en la fabricación de piezas puede estar
ajustada o desajustada. Cuando está ajustada produce un 1 % de piezas
defectuosas y cuando está desajustada un 10 %. Se sabe que la probabil-
idad de desajuste de la máquina es de un 30 %.
1. Si se selecciona al azar una pieza producida por esta máquina y es
buena, ¿Cuál es la probabilidad que la máquina haya estado
desajustada?.
2. ¿Cuál es la probabilidad que la pieza seleccionada este buena o
provenga de la máquna desajustada?.
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