Devore-Cap2-Sec4y5 parte 2

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Curso: Probabilidades
Capı́tulo 2, Secciones 4 y 5:
Probabilidad condicional, Independencia
Material docente en preparación
(Fuente: Texto de J. Devore)
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Universidad de los Andes
April 21, 2021
c©Todo el contenido bajo protección de derecho de autor.
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Capı́tulo 2
Sección 2.4 Probabilidad Condicional
Motivación: probabilidad de aprobar el curso
Ejemplo 2.24 (modificado)
Definición: probabilidad condicional
Ejemplo 2.25
Ejemplo 2.26
Regla de Multiplicación para P(A ∩ B)
Ejemplo 2.27
Ejemplo 2.28
Teorema de Bayes
Definición de Partición
Ley de Probabilidad Total
Teorema de Bayes
Devore: Ejercicios 45-47, pp 74 - 76
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Capı́tulo 2
Sección 2.4 Probabilidad Condicional
Motivación: probabilidad de aprobar el curso
(ejemplo con datos hipotéticos)
Sea A = “Andrés Kolmogorov (AK) aprueba Probabilidades”
Resultados pasados sugieren que P(A) = 0.7
Sea T1 =“un alumno obtiene nota ≥ 5.5 en la prueba 1”
Resultados pasados sugieren que P(T1) = 0.2.
Información nueva: AK obtiene 5.5 o más en su prueba 1.
Con este nuevo resultado . . .
¿cuál es la probabilidad que AK apruebe Probabilidades?
Notación: actualización de la probabilidad de A a la luz
de nueva información: occurrencia del evento T1
P(A|T1) = “probabilidad condicional de A dado T1”
o
“probabilidad que A ocurra
dado que T1 ocurre (hipotéticamente)”
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Capı́tulo 2
Sección 2.4 Probabilidad Condicional
Ejemplo 2.24 (modificado)
(ejemplo con datos hipotéticos)
A = “alumno aprueba Probabilidades”
T1 = “un alumno obtiene nota ≥ 5.5 en la prueba 1”
T1 T c1 Recuento marginal
(filas)
A 15 55 70
Ac 5 25 30
Recuento
marginal (col) 20 80 100
Use frecuencias relativas como probabilidades:
P(A) = 70/100 = 0.7
P(A|T1) = 15/20 = 15/10020/100 =
P(A∩T1)
P(T1)
Esta ecuación motiva la definición de probabilidad condicional.
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Capı́tulo 2
Sección 2.4 Probabilidad Condicional
Figura 2.8
I Interesa P(A)
(p. ej la probabilidad que un dardo alcance la región A)
I P(A) es una probabilidad relativa a S.
I Considere la siguiente situación: después del lanzamiento,
usted no sabe si el dardo alcanzó A,
pero recibe la información que sı́ alcanzó B.
Con la información nueva, la probabilidad que el dardo
alcance A cambia.
I La hipótesis que B ocurre restringe el espacio muestral:
de S a B.
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Capı́tulo 2
Sección 2.4 Probabilidad Condicional
Figura 2.8
I En este nuevo espacio muestral (B), la ocurrencia de A es
la ocurrencia de A ∩ B.
Ası́, P(A|B) es el valor de P(A ∩ B) relativo a P(B).
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Capı́tulo 2
Sección 2.4 Probabilidad Condicional
Definición: probabilidad condicional
Para dos eventos cualesquiera A,B ⊂ S, con P(B) > 0,
la probabilidad condicional de A dado B es,
P(A|B) = P(A ∩ B)
P(B)
.
Ejemplo 2.25 Compras de cámara y accesorios
(estudio individual)
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Capı́tulo 2
Sección 2.4 Probabilidad Condicional
Ejemplo 2.26
Una revista de noticias publica tres columnas tituladas
“Arte”(A), “Libros” (B) y “Cine” (C). Los hábitos de lectura de un
lector seleccionado al azar con respecto a estas columnas son,
Lee regular- A B C A ∩ B A ∩ C B ∩ C A ∩ B ∩ C
mente
Probabilidad 0.14 0.23 0.37 0.08 0.09 0.13 0.05
Probabilidades
relevantes:
Figura 2.9
P(A|B) =
P(A|B ∪ C) =
P(A|Lector lee al menos una col.) =
P(A ∪ B|C) =
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Capı́tulo 2
Sección 2.4 Probabilidad Condicional
Regla de multiplicación para P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = P(A|B)× P(B)
Nota: por simetrı́a, P(A ∩ B) = P(B|A)× P(A)
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Capı́tulo 2
Sección 2.4 Probabilidad Condicional
Ejemplo 2.27
Cuatro individuos han respondido a una solicitud de un banco de
sangre para donaciones de sangre. Ninguno de ellos ha donado
antes, por lo que sus tipos de sangre son desconocidos.
Suponga que sólo se desea el tipo O+, y sólo uno de los cuatro tiene
ese tipo.
Usted selecciona los donantes en orden aleatorio para determinar su
tipo de sangre, ¿cuál es la probabilidad que por los menos tres
individuos tengan que ser examinados para determinar su tipo de
sangre y obtener el tipo deseado?
Solución
Sea Ii = “la sangre del individuo i es de tipo O+,” i = 1,2,3,4
Note que los eventos Ii , i = 1,2,3,4, son disjuntos dos a dos y,
su unión es S (se dice que son exhaustivos)
El problema pide P(I3 ∪ I4).
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Capı́tulo 2
Sección 2.4 Probabilidad Condicional
Ejemplo 2.27 (cont.)
P(I3 ∪ I4) = P((I1 ∪ I2)c) = P(Ic1 ∩ I
c
2) (por DeMorgan)
P(Ic1 ∩ I
c
2) = P(I
c
2 |I
c
1)× P(I
c
1) (regla de multiplicación)
Pero P(Ic1) = 3/4, y P(I
c
2 |I
c
1) = 2/3, luego,
P(Ic1 ∩ I
c
2) = (2/3)× (3/4) = 6/12 = 0.5 �
Ejemplo 2.28 Cont. Ejemplo 2.27 (Estudio individual)
Ejemplo 2.29 Reproductores DVD (Estudio individual)
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Capı́tulo 2
Sección 2.4 Probabilidad Condicional / Teorema de Bayes
Definición preliminar
Definición: Partición de S en n eventos
Sea k > 1 entero y sean A1,A2, . . . ,Ak , eventos en S
tales que,
a) Ai ∩ Aj = φ, para i 6= j , i , j = 1, . . . , k ,
(e.d. todos los pares de eventos Ai y Aj , con
i 6= j , i , j = 1, . . . , k , son mutuamente excluyentes)
b) A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Ak = S
En tal caso se dice que P = {A1,A2, . . . ,Ak} es una partición
de S
Nota: también se dice que los eventos A1, . . . ,Ak son
mutuamente excluyentes y exhaustivos en S.
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Capı́tulo 2
Sección 2.4 Probabilidad Condicional / Teorema de Bayes
Figura 2.11: Partición de B.
Nota: una partición de S induce una partición en B, B ⊂ S.
Ley de probabilidad total (Teorema de probabilidad total)
Sea P = {A1,A2, . . . ,Ak} una partición de S.
Para cualquier evento B ⊂ S,
P(B) = P(B|A1)P(A1) + · · ·+ P(B|Ak )P(Ak )
=
k∑
i=1
P(B|Ai)P(Ai)
Demostración
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Capı́tulo 2
Sección 2.4 Probabilidad Condicional / Teorema de Bayes
Ejemplo: Moneda honesta, dado cargado
Usted lanza una moneda honesta
• Si observa C, entonces usted lanza un dado cargado con
P({6}) = 0.5, y P({i}) = 0.1, i = 1, . . . ,5.
• Si observa S, entonces usted lanza un dado honesto.
Calcule la probabilidad de observar “chancho seis”
Solución (con la notación del Teorema de Probabilidad Total):
Eventos de la partición (primera etapa):
A1 = “la moneda arroja C”. P(A1) = 1/2
A2 = “la moneda arroja S”. P(A2) = 1/2
Evento de la segunda etapa (evento de interés):
B = usted observa “chacho 6” en el dado
P(B) =?
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Capı́tulo 2
Sección 2.4 Probabilidad Condicional / Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
Sea P = {A1,A2, . . . ,Ak} una partición de S.
Entonces para cualquier evento B ⊂ S, tal que P(B) > 0,
P(Aj |B) =
P(Aj ∩ B)
P(B)
=
P(B|Aj)P(Aj)∑k
i=1 P(B|Ai)P(Ai)
, j = 1, . . . , k .
Notas:
Las probabilidades P(Ai), i = 1, . . . , k , a menudo se
llaman previas, iniciales, o a-priori, y
Las probabilidades P(Ai |B), i = 1, . . . , k , llaman finales o
a-posteriori.
Demostración
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Capı́tulo 2
Sección 2.4 Probabilidad Condicional / Teorema de Bayes
Ejemplo (cont.): Moneda honesta, dado cargado
Pericles lanza una moneda honesta
• Si observa C, Pericles lanza un dado cargado con
P({6}) = 0.5, y P({i}) = 0.1, i = 1 : 5.
• Si observa S, Pericles lanza un dado honesto.
Pericles lanza el dado. Ud. observa “chancho seis”, pero
no observa el resultado del lanzamiento de la moneda.
Calcule la probabilidad que Pericles observó C.
Solución:
A1 = “Pericles observa C”, con probabilidad inicial (a priori):
P(A1) = 1/2
A2 = “Pericles observa S” , con probabilidad inicial (a priori):
P(A2) = 1/2
B = usted observa “chacho 6” en el dado.
El problema es calcular P(A1|B)
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Capı́tulo 2
Sección 2.4 Probabilidad Condicional / Teorema de Bayes
Ejemplo 2.30 Incidencia de una enfermedad rara
(Estudio individual)
Ejercicios 45-67, pp 74-76 Hacerlos !!!
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Capı́tulo 2
Sección 2.5 Independencia
Motivación
Definición: Independencia de dos eventos
Ejemplo 2.31
Ejemplo 2.32
Regla de Multiplicación para P(A ∩ B), con A y B indep.
Ejemplo 2.33
Ejemplo 2.34
Independencia de n eventos, n > 2.
Definición
Ejemplo 2.35
Devore: Ejercicios 70-89, pp 80- 82
Devore: Ejercicios Suplementarios 90-114, pp 82 - 84
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Capı́tulo 2
Sección 2.5 Independencia
Motivación: considere los dos escenarios siguientes
Escenario 1: Usted lanza una moneda con P(C) = 1/3.
Luego lanza un dado tal que P(N6) = 1/12, donde,
N6 = el dado muestra ”chancho seis”
Compare P(N6|C) con P(N6)
Escenario 2: Usted lanza una moneda con P(C) = 1/3.
Si ocurre C, usted lanza un dado tal que P(N6) = 1/12,
Si ocurre S, usted lanza un dado tal que P(N6) = 3/12.
Compare P(N6|C) con P(N6)
P(N6) = P(N6|C)× P(C) + P(N6|S)× P(S)
= 112 ×
1
3 +
3
12 ×
2
3 =
7
36 =
7/3
12 .
Conclusión: P(N6|C) = 1/12 6= P(N6)
Moraleja: ?
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Capı́tulo 2
Sección 2.5 Independencia
Definición
Sean A y B dos eventos tales que P(B) > 0.
A y B se dicen (estocásticamente) independientes si y solo si
P(A|B) = P(A).
Resultado
Sean A y B dos eventos tales que P(A) > 0 y P(B) > 0,
entonces,
A y B son independientes si y solo si
B y A son independientes.
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Capı́tulo 2
Sección 2.5 Independencia
Resultado
Si A y B son independientes entonces,
1) Ac y B son independientes
2) A y Bc son independientes
3) Ac y Bc son independientes
Demostración
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Capı́tulo 2
Sección 2.5 Independencia
Ejemplo 2.31 Estación de servicio con seis bombas
(Estudio individual)
Ejemplo 2.32 (Perspicaz)
Sean A y B dos eventos excluyentes con P(A) > 0.
(Por ejemplo, para un automóvil seleccionado al azar, con
A = el automóvil tiene cuatro cilindros, y
B = el automóvil tiene seis cilindros.)
Como A y B son mutuamente excluyentes,
si B ocurre, entonces A no ocurre,
de tal manera que P(A|B) = 0 < P(A).
Conclusión: si dos eventos son mutuamente excluyentes,
entonces no son independientes.
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Capı́tulo 2
Sección 2.5 Independencia
Regla de Multiplicación para P(A ∩ B), con A y B indep.
Proposición
A y B son mutuamente independientes si y sólo si,
P(A ∩ B) = P(A)× P(B).
Ejemplo 2.33
El 30% de las lavadoras SnG requieren servicio durante el
periodo de garantı́a. El 40% de las secadoras SnG necesitan
dicho servicio.
Sang-Ho compra una lavadora y secadora fabricadas por SnG.
1. ¿Cuál es la probabilidad que ambas máquinas requieran
servicio de garantı́a?
2. Calcule la probabilidad que ninguna máquina requiera
servicio de garantı́a.
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Capı́tulo 2
Sección 2.5 Independencia
Solución
Defina los eventos:
L = Lavadora requiere servicio de garantı́a
S = Secadora requiere servicio de garantı́a
1. P(L ∩ S) =?
2. Camino largo:
P(Lc ∩ Sc) = P((L ∪ S)c) (por De Morgan)
= 1− P(L ∪ S)
= 1− (P(L) + P(S)− P(L ∩ S))
= 1− (P(L) + P(S)− P(L)× P(S)) = . . .
Camino corto: Use el Resultado,
Si A y B son indep. entonces Ac y Bc son indep.
P(Lc ∩ Sc) =?
Ejemplo 2.34 Inspección de lotes (¡ E s T u D i A r !)
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