Introdução à Teoria dos Conjuntos e Probabilidades

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Algunos tópicos sobre Conjuntos
Algunos tópicos sobre Conjuntos
Denotaremos por Ω al conjunto universo, que es el conjunto que posee
todos los elementos de interés. A un subconjunto de Ω
A ⊆ Ω, ∀x ∈ Ax ∈ Ω
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera entonces
Unión: A ∪B = {x : x ∈ A o x ∈ B};
Intersección: A ∩B = {x : x ∈ A y x ∈ B};
Complemento: Ac = {x ∈ Ω : x /∈ A};
Diferencia: A ∩Bc = A−B = {x ∈ Ω : x ∈ A y x /∈ B};
Probabilidades 1 / 40
Algunos tópicos sobre Conjuntos
Conjunto vaćıo: es el conjunto que no posee elementos, se denota por
φ
(Notemos que A ∩Ac = φ);
A y B se dicen disjuntos o mutuamente excluyentes si:
A ∩B = φ.
Probabilidades 2 / 40
Probabilidad
Probabilidad
En el caṕıtulo anterior se vieron algunos de los métodos utilizados para
describir un conjunto de datos con el único propósito de describir los
resultados de un experimento concreto.
El cálculo de Probabilidades se ocupa de estudiar ciertos experimentos que
se denominan aleatorios, cuya caracteŕıstica fundamental es la
incertidumbre del resultado, esto significa que es imposible, predecir los
resultados porque hay más de uno posible.
Probabilidades 3 / 40
Probabilidad
Estudia los fenómenos aleatorios,
los cuales obedecen ciertas
reglas de comportamiento.
Probabilidad
55
**
Se relaciona con las propiedades
de la frecuencia relativa.
Probabilidades 4 / 40
Experimento
Experimento
Es cualquier acción que pueda dar lugar a resultados identificables.
Suponemos que es posible repetir el experimento un gran número de veces
bajo la mismas condiciones y que todos los posibles resultados son
conocidos antes de la realización del experimento.
Probabilidades 5 / 40
Experimento
Experimento
�� ++
Aleatorio
��
Determinista
��Lanzar una moneda al aire.
Extraer un art́ıculo
de un lote que contiene
art́ıculos defectuosos y
no defectuosos.
Soltar una piedra en el aire.
Lanzar una pelota
en un tanque para ver
si flota o se hunde.
Probabilidades 6 / 40
Experimento Aleatorio
Experimento Aleatorio
Se puede definir como aquél experimento que verifica lo siguiente:
se puede repetir bajo las mismas condiciones.
se conocen todos los posibles resultados antes de la realización del
experimento.
no se puede predecir el resultado del mismo antes de realizarlo.
Probabilidades 7 / 40
Experimento Aleatorio
Ejemplos:
Lanzamiento de un dado .
Lanzamiento de dos monedas.
Medición del no de accidentes que ocurren en una ciudad durante un
d́ıa.
Germinación de una semilla después de aplicar un la fórmula X.
Contenido de alguna sustancia contaminante en una muestra tomada
en un lago.
Probabilidades 8 / 40
Definiciones
Definiciones
Espacio Muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de
todos los posibles resultados asociados a dicho experimento aleatorio.
Este espacio es denotado por Ω.
Evento o Suceso es un subconjunto del espacio muestral
(A ⊆ Ω).
Ω Suceso Seguro.
φ Suceso Imposible.
Suceso Elemental o Puntos Muestrales son los elementos
integrantes del espacio muestral. ({ω}, donde ω ∈ Ω).
Probabilidades 9 / 40
Definiciones
Espacio muestral
��
Evento o Sucesos
uu �� ))
Evento imposible Evento seguro Evento elemental
Probabilidades 10 / 40
Definiciones
Ejemplo:
1 Lanzar una moneda y observar su cara superior:
Ω = {cara, sello};
2 Lanzar un dado y observar su cara superior:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
3 Contar el número de autos que pasan por una esquina, hasta que se
produzca un accidente;
4 Observar el tiempo de vida de un artefacto eléctrico;
5 Lanzar dos monedas al aire y observar su cara superior;
6 Lanzar una moneda y un dado y observar su cara superior.
Probabilidades 11 / 40
Técnicas de Conteo
Técnicas de Conteo
Principio de Multiplicación:
Si una operación puede realizarse de n1 formas y si para cada una de éstas
se puede realizar una segunda operación en n2 formas y para cada una de
las dos primeras se puede realizar una tercera operación en n3 formas y aśı
sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se puede realizar de
n1 · n2 · n3 · ... · nk formas.
Probabilidades 12 / 40
Técnicas de Conteo
Ejemplo
¿Cuántos puntos muestrales hay en el espacio muestral cuando se lanza
una vez un par de dados?
Probabilidades 13 / 40
Técnicas de Conteo
Definición
Una permutación es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos.
El número de permutaciones de n objetos diferentes está dado por:
Pnn = n! = 1 · 2 · · · · · n
n! se lee n factorial.
Ejemplo: Las permutaciones posibles para las letras a, b y c son:
abc− acb− bac− bca− cab− aba
Es decir podemos arreglar los tres elementos de 6 maneras diferentes.
P 33 = 3! = 1 · 2 · 3 = 6
Probabilidades 14 / 40
Técnicas de Conteo
El número de permutaciones distintas de n elementos tomando k a la vez.
Está dado por:
P kn =
n!
(n− k)!
Ejemplo
Un grupo está formado por 5 personas y desean formar una comisión
integrada por un presidente y un secretario.
P 25 =
5!
(5− 2)!
=
5!
(3)!
=
5 · 4 · 3!
(3)!
= 20
Probabilidades 15 / 40
Técnicas de Conteo
Definición
El número de permutaciones de n objetos, de los cuales ni son de tipo
i, i = 1, 2, ..., k es:
Pn1,n2,...,nkn =
n!
n1!n2! . . . nk!
Ejemplo
Un estante tiene capacidad para 10 libros de matemáticas que tiene tapa
verde, 8 de f́ısica de tapa roja y 7 de qúımica de tapa azul. ¿De cuántas
maneras pueden colocarse los libros según los colores?
Pn1,n2,...,nkn =
25!
10!8!7!
= 21.034.470.600
Probabilidades 16 / 40
Técnicas de Conteo
Definición
Se llama combinación de n objetos, tomando k a la vez, a la selección de
objetos con independencia de su ordenamiento. Es el número de
subconjuntos de k objetos elegidos de entre los n.
Cnr =
(
n
k
)
=
n!
k!(n − k)!
Ejemplo
Un grupo está formado por 5 personas y desean formar una comisión
integrada por 2 personas ¿De cuántas formas distintas puede formar esta
comisión?
C52 =
(
5
2
)
=
5!
2!3!
= 10
Probabilidades 17 / 40
Métodos para asignar probabilidades
Métodos para asignar probabilidades
Por estimación
uu �� ))
personal de frecuencias relativas clásica
Probabilidades 18 / 40
Métodos para asignar probabilidades
Personal: La probababilidad que se asigne a c/u de los sucesos es una
apreciación subjetiva.
Ventajas
��
Desventajas
��
Siempre es aplicable
Su acierto depende de lo correcta
que sea la información que dispone
y la capacidad de la persona
para evaluarla.
Probabilidades 19 / 40
Métodos para asignar probabilidades
Frecuencia relativa: Es aplicable a situaciones en las que el experimento
pueda repetirse varias veces y sus resultados puedan ser observados.
P (A) =
no de veces que ocurre el suceso A
no de veces que se realiza el experimento
.
Ventajas
��
Desventajas
��
Es más precisa que la anterior.
Se basa en la observación
real del experimento.
Puede ocurrir que
el experimento no
se lleve a cabo siempre
en las mismas condiciones.
Probabilidades 20 / 40
Métodos para asignar probabilidades
Frecuencia relativa: Es aplicable a situaciones en las que el experimento
pueda repetirse varias veces y sus resultados puedan ser observados.
P (A) =
no de veces que ocurre el suceso A
no de veces que se realiza el experimento
.
Ventajas
��
Desventajas
��
Es más precisa que la anterior.
Se basa en la observación
real del experimento.
Puede ocurrir que
el experimento no
se lleve a cabo siempre
en las mismas condiciones.
Probabilidades 20 / 40
Métodos para asignar probabilidades
Ejemplo
Se lanza 100 veces un dado y en 30 de estos sale el dos. ¿Cuál es la
probabilidad que saga dos? ¿Cuál es la probabilidad que no salga el dos?
Probabilidades 21 / 40
Métodos para asignar probabilidades
Probabilidad clásica
Se basa en que todos los resultados posibles de un experimento sean
equiprobables.
La probababilidad de un evento elemental {ω} es:
P ({ω}) = 1
N
La probabilidad de un evento compuesto A es:
P (A) =
∑
ω∈A
P ({ω}) = n
N
n: número de elementos delevento A.
N : número de elementos del espacio muestral.
Probabilidades 22 / 40
Métodos para asignar probabilidades
Ventajas
��
Desventajas
��
Si es aplicable,
la probabilidad obtenida
es exacta.
No exige la realización
de experiencias ni
recoger datos. Es de fácil uso.
No siempre
es aplicable.
Probabilidades 23 / 40
Definición de Probabilidad.
Definición de Probabilidad.
Sea Ω un espacio muestral asociado a un experimento. La probabilidad P ,
es una función que asigna a cada evento A, un número P (A), llamado
probabilidad del evento A, tal que cumple los siguientes axiomas:
Axioma 1: Si A es un evento de Ω, existe un número P (A) ≥ 0
denominado probabilidad del suceso A.
Axioma 2:P (Ω) = 1
Axioma 3:Dada una sucesión númerable de sucesos
A1, A2, . . . , An, . . . disjuntos dos a dos (Ai ∩Aj = φ si i 6= j) se
verifica que:
P
(
n⋃
i=1
)
=
n∑
i=1
P (Ai)
Probabilidades 24 / 40
Definición de Probabilidad.
Teorema
Sean A y B dos eventos arbitrarios, entonces:
P (φ) = 0;
P (Ac) = 1− P (A);
si A ⊆ B entonces P (A) ≤ P (B);
si A ⊆ B entonces P (B −A) = P (B)− P (A).
Probabilidades 25 / 40
Definición de Probabilidad.
Corolario
Para todo evento A, 0 ≤ P (A) ≤ 1.
Teorema
Para dos eventos arbitrarios A y B se tiene que:
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).
Probabilidades 26 / 40
Definición de Probabilidad.
Ejemplo
En una determinada ciudad, el 60 % de los hogares se suscriben a un
periódico de circulación nacional, el 80% a un periódico de circulación
local y el 50% se suscriben a ambos periódicos. Si se selecciona al azar un
hogar, ¿Cuál es la probabilidad de que :
a) esté suscrito al menos en uno de los dos periódicos?
b) esté suscrito exactamente a uno de los dos periódicos?
c) no se suscribe a los periódicos?
Probabilidades 27 / 40
Definición de Probabilidad.
Solución a): Ω: el conjunto de hogares de una cierta ciudad.
A: conjunto de hogares que se suscribe a un periódico de circulación
nacional.
B: conjunto de hogares que se suscribe a un periódico de circulación local.
P (A) = 0, 6 y P (B) = 0, 8
A ∩B: conjunto de hogares que se suscribe a ambos periódicos.
P (A ∩B) = 0, 5
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 0, 6 + 0, 8− 0, 5 = 0, 9
Luego la probabilidad de que un hogar esté suscrito al menos en uno de
estos dos periódicos es de 0,9.
El 90% de los hogares está suscrito al menos a uno de estos dos periódicos.
Probabilidades 28 / 40
Definición de Probabilidad.
Solución b):
P ((A − B) ∪ (B − A)) = P (A) + P (B) − 2P (A ∩ B) = 0, 4
Luego la probabilidad de que un hogar esté suscrito a exactamente un
periódico es 0,4.
Solución c):
P ([A ∪B]c) = 1− P (A ∪B) = 1− 0, 9 = 0, 1
Luego la probabilidad de que un hogar no esté suscrito ningún periódico es
de 0,1.
Probabilidades 29 / 40
Probabilidad Condicional
Probabilidad Condicional
Dado un espacio muestral Ω. Sea B ⊂ Ω un suceso tal que P (B) > 0.
Para un suceso cualquiera A ⊂ Ω, se define la probabilidad condicionada
de A dado B o probabilidad de A condicionada a B, como:
P (A/B) =
P (A ∩B)
P (B)
,
donde P (A/B) representa la probabilidad de que ocurra el suceso A
cuando se tiene la certeza de que ha ocurrido B.
(Observación: P (A/B) = 0 si P (B) = 0)
Probabilidades 30 / 40
Probabilidad Condicional
Tenemos que:
P (A/B) =
P (A ∩B)
P (B)
,
luego se tiene que
P (A ∩B) = P (B)P (A/B).
Análogamente podemos observar que:
P (B/A) =
P (A ∩B)
P (A)
,
aśı
P (A ∩B) = P (A)P (B/A).
Probabilidades 31 / 40
Probabilidad Condicional
Ejemplo
En la ciudad de Concepción, la probabilidad que llueva el d́ıa uno de junio
es 0,5 y la probabilidad que llueva el 1 y 2 de junio es 0,4. Dado que llovió
el 1 de junio ¿cuál es la probabilidad que llueva el d́ıa 2 de junio?.
A: llueve el 1 de junio B: llueve el 2 de junio
P (A) = 0, 5 P (A ∩B) = 0, 4
P (B/A) =
P (A ∩B)
P (A)
=
0, 4
0, 5
= 0, 8
Luego la probabilidad que llueva el 2 de junio dado que llovió el 1 de junio
es de 0,8.
Probabilidades 32 / 40
Probabilidad Condicional
Ejemplo
¿Cuál es la probabilidad que no llueva el d́ıa 2 de junio dado que el 1 de
junio llovió?
A: llueve el 1 de junio B: llueve el 2 de junio
P (A) = 0, 5 P (A ∩B) = 0, 4 P (B/A) = 0, 8
P (Bc/A) = 1− P (B/A) = 0, 2
Luego la probabilidad que llueva el 2 de junio dado que no llovió el 1 de
junio es de 0,2.
Probabilidades 33 / 40
Probabilidad Condicional
Regla de multiplicación:
P (A ∩B) = P (B)P (A/B) = P (A)P (B/A)
Una generalización de lo anterior está dada por:
P (
⋂
i
k
=1 Ai) = P (A1)P (A2/A1)P (A3/A1 ∩ A2) . . . 
P (Ak/A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak−1).
Probabilidades 34 / 40
Probabilidad Condicional
Ejemplo
Una caja contiene cinco bolas roja y seis negras; se extrae al azar
sucesivamente y sin reposición dos bolas, ¿cuál es la probabilidad que las
dos resulten rojas?
Intuitivamente tenemos que la probabilidad de sacar una bola roja la
primera vez de la caja es de 5/11, luego la caja queda con 10 bolas de las
cuales cuatro son rojas. Observe que al sacar nuevamente una bola roja de
la caja tenemos que la probabilidad se modificó, ahora es 4/10.
Aśı la probabilidad de sacar sucesivamente dos bolas rojas es
5
11
4
10
=
2
11
.
Probabilidades 35 / 40
Probabilidad Condicional
Definamos Ai como el evento de sacar una bola roja en a i-ésima 
extracción, aśı, A1 : será el evento de sacar una bola roja la primera vez, 
A2 : sacar una bola roja la segunda vez, A2/A1 : será el evento de sacar 
una bola roja la segunda vez dado que la primera vez se sacó una bola roja 
y A1 ∩ A2 : será el evento de sacar sucesivamente dos bolas rojas.
P (A1) = 5/11 y P (A2/A1) = 4/10
P (A1 ∩ A2) = P (A1)P(A2 |A1)=5/11 *4/10=2/11
Probabilidades 36 / 40
Probabilidad Condicional
Ejemplo
Una caja contiene 5 bolas roja y seis negras; se extrae al azar
sucesivamente y con reposición dos bolas, ¿cuál es la probabilidad que las
dos resulten rojas?
En este caso hay reposición, luego la probabilidad no cambia de extracción
en extracción, aśı
P (A1)P (A2) =
(
5
11
)2
.
Probabilidades 37 / 40
Probabilidad Condicional
Regla de la Probabilidad Total:
Supongamos que los eventos A1, A2, . . . Ak forman una partición del
espacio muestral Ω, entonces para cualquier evento B se tiene que:
P (B) = P (B/A1)P (A1) + P (B/A2)P (A2) + · · ·+ P (B/Ak)P (Ak)
Podemos escribir B como:
B = [B ∩A1] ∪ [B ∩A2] ∪ [B ∩A3] ∪ [B ∩A4].
Dado que son conjuntos disjuntos tenemos que:
P (B) = P [B ∩A1] + P [B ∩A2] + [B ∩A3] + [B ∩A4]
y por la regla de la multiplicación:
P (B) = P (A1)P (B/A1) + P (A2)P (B/A2) + · · ·+ P (Ak)P (B/Ak)
Probabilidades 38 / 40
Probabilidad Condicional
Ejemplo
En una ĺınea de producción hay dos procesos, A y B. En el proceso A hay
un 20% de defectuosos y en B hay un 25%. En una muestra de 300
productos hay 200 del proceso A y 100 del proceso B. Si se extrae al azar
un producto, hallar la probabilidad que sea defectuoso.
A: sacar un art́ıculo de la ĺınea A. P (A) = 200/300.
D/A: sacar un art́ıculo defectuoso de la ĺınea A. P (D/A) = 0, 20
B: sacar un art́ıculo de la ĺınea B. P (B) = 100/300.
D/B: saca un art́ıculo defectuoso de la ĺınea B. P (D/B) = 0, 25.
D: extracción de defectuoso considerando ambas ĺıneas, esto es si se saca
de A que sea defectuoso o si se saca de B y que sea defectuoso, es decir:
P [D ∩A] + P [D ∩B].
P (D) = P (D/A)P (A) + P (D/B)P (B) = 0, 217
La probabilidad de extraer un art́ıculo defectuoso es de 0,217.
Probabilidades 39 / 40
Teorema de Bayes e Independencia de Eventos
Teorema de Bayes
Teorema
Bajo las mismas condiciones de la regla anterior, se tiene que:
P (Ai/B) =
P (B/Ai)P (Ai)∑n
j=1 P (B/Aj)P (Aj)
.
observe que:
P (Ai/B) =
P (B ∩Ai)
P (B)
=
P (B/Ai)P (Ai)∑n
j=1 P (B/Aj)P (Aj)
.
Probabilidades 40 / 40
Teorema de Bayes e Independencia de Eventos
Ejemplo
En el ejemplo anterior. Si al extraer el producto resultó ser defectuoso,
hallar la probabilidad de que sea del proceso A.
25P (A) = 200/300., P (D/A) =0, 20, P (B) = 100/300. y P (D/B) = 0,
D: extracción de defectuoso considerando ambas ĺıneas. P (D) =0,217
P (A/D) = P (D ∩ A)/P (D) = P (D/A)P (A)/P (D) = 0, 615
Luego la probabilidad de ser de la ĺınea A dado que resultó ser defectuoso
es de 0,615.
Probabilidades 41 / 40
Teorema de Bayes e Independencia de Eventos
Definición
Dos eventos A y B son independientes si P (A/B) = P (A) y
P (B/A) = P (B). De manera equivalente se dice que dos eventos A y B
son independientes si y sólo si P (A ∩B) = P (A)P (B).
Teorema
Si A y B en Ω son eventos independientes, entonces:
A y Bc son eventos independientes.
Ac y B son eventos independientes.
Ac y Bc son eventos independientes.
Probabilidades 42 / 40
Teorema de Bayes e Independencia de Eventos
Ejemplo
En un estudio de cáncer al pulmón se examinan 10000 personas mayores
de 60 años. Se determina que 4000 personas de este grupo son fumadores.
Entre los fumadores 1800 padecen de cáncer al pulmón. Entre los no
fumadores 500 padecen de cáncer al pulmón. ¿Son los eventos fumadores
y cáncer al pulmón independientes?
Probabilidades 43 / 40
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