Probabilidad y Procesos Estocásticos1

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Primer
Corte
01-03-2023 Es el Universo de resultados. Se simboliza
Probabilidad y Procesos Estocásticos con
Contenido : 1. Fundamentos de la Probabilidad
2. VariablesAleatorias
.
Tipos deespacio muestral- Numerable: finitos o
3.Vectores Aleatorios
.
infin
.
4. Operaciones y Medidas Obre -No numerable: dense
VariablesAleatorias. O no contable
.
5. Distribuciones de Probabilidad Eventos : Un evento es cualquier subconjunto
Especiales. del espacio muestral .
Los eventos se
6. Proceso Estocásticos
.
simbolizan con letras mayúsculas como A
,,C, ete
Fundamentos de la Probabilidad y se expresan en forma puntual (extual) o a
través de una proposición equivalente dentro del
· Fenómenos Deterministas contexto del experimento. Un mismo evento puede
Realidad (Certeza) tener vartas proposiciones equivalentes.
· Fenómenos Aleatorios Ocurrencia deun evento : Un evento arbitrario
-
Incertidumbre A se diceque ocurre si al llevarse a cabo el
- experimento aleatorio el resultado es un elemento
Observación ·Dato estadístico de A
,
de lo contraro, se diceque el evento
- no ocurre
Aporta información Probabilidad deun evento : Es una escala entre
Experimento Aleatorio : montaje ldispositivo O y l que describe qué tan factible se considera
· mecanismo para realizar observaciones la ocurrencia de un evento A, dondeO significa
Homar datos estadísticos) en un fenómeno que el evento no ocurrirá y I significa que el
aleatorio
.
evento ocurrirá con seguridad. Esta valoración
Objeto de estudio de la Probabilidad se hace antes de conocer el resultadodel
experimento aleatorio.
· Rama de la matemática usada en muchas O
0! 3
* 0
,
3: máxima
Ciencias aplicadas . & # incertidumbre
- Define el concepto de incertidumbre o Extremos de certeza
aleatoriedad desde un punto de vista Tipos de eventos :
cuantitativo y define las leyes fundamentales - Correntes: ocurren algunas veces. Sobre
que la rigen. ellos recae la incertidumbre.
- Define herramientas analíticas para el - Segur : ocurren siempre .
Son equivalentes
elelo deprobabilidades (varables aleatorias, al universo e
vectores aleatoros, valor esperado, varianza, Imposibles : nunca ocurren. Son equivalentes
etc. ) al conjunto vacio
- Construye modelos matemáticos para describir Ejemplo : Se lanza un dado y se observa
el comportamiento de los fenómenos aleatorios el número que sale.
distriburones deprobabilidad,procesos estocásticos, al Definir el espacio muestral.
etc. b)Definir algunos eventos courrentes, seguros
Espacio Muestral : El espacio muestral de un e imposibles .
experimento aleatoro es el conjunto de todos el Suponer un resultado para el experimento
los posibles resultados del experimento .
e indicar cuáles eventos ocurren
.
9)& = [1, 2, 3, 4, 3,6 - Espacio muestral Diagrama deVenn:
numerable finito
. IIIb) = "El número que sale es par :. AUB es un evento. /
~
B = "el número que sale es múltiplo de 3".
C : "El número que sale es inferior a 5". Operaciones compuestas entre eventos :
D= "el número que sale es superior a
". Diferencia :
E = "El número que sale es inferior a 8
,
7.. - Notación: A-B
F = "El número que sale es múltiplo de 7" - Proposición : A-B= "œurre A y no ocurre B".
G = 21
, 43 A-B = A MBC
A = 22,
4
,6] = "Ocurre A pero no ocurre B"
B = [3, 63 - Diagrama deVenn:
e
= 2 1, 2, 3,43 Evento corriente B
D = 24
,
3
, 63
S
·. B es un evento. *
E =e : evento seguro
F : evento imposible 2) Intersección Iterada:
= [1,4 : evento corrente -Nota :A. ... An = Ac
i= 1
c) Resultado Final = 3 - Proposición :
= "Ocurre i y ocurre Az
Ocurrieron : B
,
C
,
E i= 1 y ... y ocurre An
No ocurrieron : A,
D
,
F
,
G
= "ocurren los eventos"
.
Operaciones Básicas entre Eventos :
s Complemento :
- Diagrama de Venn :
~
- Notación : As Para n = 3 Al A2
- Proposición : A= "noocurre III
· Diagrama de Venn: A3
/
/ / : : es un eventoeI A
/
/"·. es un evento. // S 3) Unien Iterada :
2) Intersección :
- Notación: U ...An= Ai
- Notación : AB · Proposición: Ocurre i o Ocurre As- Proposición : A B : "Ocurre A y Ocurre".
-
= "Ocurre A y B de Forma 0 ... 0 Ocurre An
simultánea" = "ocurreal menos uno
: "ocurren los dos eventos"
.
de los neventos".
-Diagrama de Venn: -Diagramade Venn :
~
B Para n = 3 Al AzA
11 //S//: AB es un evento. /
/I,aE
3) Unteni
- Notación : AUB
- Proposicion : AUB : "Ocurre A o ocurre B". . Al es un evento
= "ocurre al menos uno de
los dos eventos".
Eventos Excluyentes : Dos eventos A y B son Partición de un Espacio Muestral : Una
excluyentes cuando es imposible su ocurrencia colección de eventos Al, 2,...,
An constituye
simultánea
,
esto esi una partición del espacio muestral e si
A1B = ① dichos eventos son mutuamente excluyentes
y colectivamente exhaustivos, es decir, se
Diagrama de Venn:- cumplen las siguentes condiciones :A B
I iAj= , para i = j
Contención de Eventos : Un evento A está
contendo en un evento B cuando la III A e
·currencia de A implica la ocurrencia de
B
,
esto es :
ACB
Gráficamente:
Al
Dragrama de Venn:
A
B En A e
--
Leyes de Absorción : AB A Los eventos Al, ...,
An son
AUB = B las "piezas de un rompe
Cabezas"
06 - 03 - 2023
Igualdad de Eventos : Dos eventos A y B Diagrama de árbol simple :
con iguales si se cumple que: B y Al
B A
. A2
Eventos mutuamente excluyentes : Los eventos
⑳ A3
↑ i, 2, ...,
An son mutuamente excluyentes ·
si se comple que : Ai = para todo
An
i = j .
Gráficamente: Notas acerca de las particiones :
A I · Una partición es una forma alternativa
A3 de expresar el espacio muestral.
· Cuando se lleva a cabo el experimento
Al An
aleatoro, siempre ocurre exactamente un
Eventos colectivamente exhaustivos : Los evento de la partición .
eventos i, 2, ...
An son colectivamente · Los elementos de constituyen como tal
exhaustivos si secomple que A = e una partición del espacio muestral, la
i = 1 cual se denomina "partición elemental" o
"partición granulada".
Gráficamente : Algunas particiones comunes:
· En términos de l evento aubitrario A : LaI partición sería : E, la tral se denomina
"partición binaría".
Gráficamente :
· En términos de 3 eventos arbitrarios,
- A
, By C :
A
Partición octal :[, B,A
Ac
·
As ABC
,
ABC
,
ACABC,AMBINC,
ABC
,
ABC3.
· En términos de 2 eventos arbitrarios A -
y B : Una partición posible es :E, A B Cada intersección
H 2
↑B, B, B que se denomina ↑
6 dada anteriormente
3 3
"partición cuaternarra". se representa en
7
Gráficamente: C Orden por las
&
A
. B zonas en el
diagrama de Venn.
En diagrama de árbol tenemos :
En bragrama de árbol , se tiene :
c - ABC
A 1B B- AMB B C- ABC
C
&
ABC A BARB A
BC C - ABC
A B &
B-+ Ac1 B ⑧
c- ABCC
ARBC Al
B- ABC
AC BEeBeeDiagrama de
árbol simple Diagrama de árbol B c -ABC
compuesto C-> Ac1B C
· Otra partición en términos de AB Leyes básicas del álgebra de eventos
EAMB
,
AB
,
A33
· (14)= A · ((AYY" = As
-
· ARB = BA · AUB = BUA
↓ ↓
- : AB · A (B) = (AB) CA
I
-
: ABC · AU (BUC) = (ABUCIN ·AU) = (AJULANC)
· A (B) = LAUB) (AUC)
· (ANBJ:AUBC ; LAUBJ = AMBC
↳
En diagramas de árbol : Leyes de D'Morgan
AMB
B -0 A 1B
O
AMBC
⑧
A B2- AMB
·( = :A
Ad * AC
· A1A = A · AWA = A
As · A 10 = ↑ · AW = A
Dragrama Diagrama · A l = A · AUR = R
Simple Compuesto : 12 : 4 · = = 1
·
= (ABU (AnBC
↳ Excluyentesa
· A = $ · AWA=- La probabilidad de A es la proporción
· AUB = AUCANB) de veces que ocurreA cuando el
* experimento se repite infinitas veces
Excluyentes en condiciones idénticase
· A = (AJ(AU (ANB) independientes .
↳ Aximas de la Probabilidad
Excluyentes La probabilidad es un "operador" que
Ejemplo : Se lanza un dado y se observa tiene como argumento un evento y retorna
el número que sale. Definir une un número real entre 0 y 1
,
el cual
partición octal del espacio muestral satisface los siguientes axiomas :
en términos de los siguientes Pr("evento") = 0
eventos :
A "el número que sale es par". 0 PLAJEI, para cualquier evento A.
B : "el número que sale es múltiplo de 3" P) = 1, para cualquier espacio
Cel número que sale es menor que3. muestral e.
[i) Si y B son excluyentes : Pr (AUB)
n = 21 ,
2
,
3
,
4
,
3
, 63 = Pr(A) + Pv(B)
A = 22
,
4
,
6
B = [3
,
63 &
C = [1
,
2
,
3
, 43
i
- ABC: A
- ABC : 263
-> ABC 1 C : 22, 43
- AMBIC : ↑ Leyes Derivadas de los Aximas
-> A BC : 233 Propiedades de la Probabilidade
->ABC : ↑
-> AMBCC : < 13 1
. Pr(A) = 1-PrLA) -
-> As 1BC : 253 A
As
Probabilidad de un Evento : Dado un
evento abituarto A relacionado con un 2
. Pr(0) = 0
experimento aleatorio con espacio muestral 3.
. Si l, 2, ...,
An son mutuamente
2. Supóngase que el experimento se repite excluyentes : N
n veces, donde cada repetición se hace Pr(A Pv(Ai) Al
A3
en las mismas condiciones y cuyo
i = 1
Az
resultado es independiente de los demás,
entonces, la probabilidad de A,
* Si Al, 2, ...,
An constituyen una
denotada con PrCA), se define como partición de 1 :
Pr(A) = Lim # de veces que ocurre A Pr( ,
Ai) = Pr (1) = 1~U-00 N
4. Pr (AMB = Pr(A)-PrCANB) 08 -03 - 2023
ch Cálculo de Probabilidades en espacios
B muestrales discretos↑f La probabilidad de un evento arbitrario
A perteneciente a un espacio muestral
discreto e es igual a la suma de las
55. Pr(AUB) = Pr(AB+PrCAMB) +Pr (A B) probabilidades de los elementos
- pertenecientes a A
,
esto es :
A B
IIIII Pr(A) = E Pr(EWil)III
WiEA
Ejemplo se elige aleatoriamente una
6
. Pr (AUB) = Pr(A) +PrCB) - PUCAMB) letra del conjunto a,,, ...,
k, donde
todas las letras tienen la misma probabilidad
7. En general : Pr C ,
Al EPULA de ser elegidas. Calcular la probabilidad de
que la letra elegida sea una vocal.
Cota de la unión
e = 2a
,
b
,
c,
d
,
e
,
t
, g,
h
,
i
, j , k3
8. En general : to to to
* i e
Pr LA min (Pr(A)
,
PULA2), ...,Pr(An)
·espacio muestral equi-probable
Cota de la intersección = "La letra elegida es una vocal"
A = 2a
,
e
,
i3
9. Si AB : Pr(A) EPrCB)
t Pr(A) = Pr((a]) + Pr (23) + Pr (2 : 3)
Ley de absorción : H + + + =
-
B Ejemplo: Se elige aleatoriamente un estudiante
A de un colegio. La probabilidad de que el
estudiante practique futbol es de 0
,
7, la
probabilidad de que practique basquet es
de 0
,
35 y la probabilidad de que practique
U na forma de entender la cota de la futbol pero no basquet es de 0,48. Con base
intersección es entoncesi en esta información. Determinar :
9) La probabilidad de que el estudiante
- practique los 2 deportes .
A B Pr(ANB) EPr(A) b) La probabilidad de quepractique al
* PrCANB) E Pr(B) menos uno de los dos deportes.
c) La probabilidad de que el estudiante
no practique ninguno de los dos deportes.
d) La probabilidad de que el estudiante
Pr(ANB) E min (PrCA)
,
PvCB) practique basquet pero no futbol
.
el La probabilidad de que el estudiante = 0
,
32
practique solo uno de los dos deportes.
f La probabilidad de que el estudiante e
tique solo basquet o ninguno de losPrac F
dos deportes.
B
Pu(F) = 0
,
7
Pr (B) = 0, 35 ·e ae
Pr(FB) = 0
,
48
: 0,ee i
a) Pr(FNB) = ? -
Pr(F(Bc) = Pr(F)-Pr(FNB)
↑
0
, 48 = 0
,
7 - Pr (F1B)
-> Pr(F1B) = 0
, 7 -0
, 48 = 0
,
22 Probabilidad Condicional
b(Pv (FUB) = Pv(F) + Pv(B) -Pr(FRB) La probabilidad condicional de un
= 0
, 7 + 0
,33 - 0
,
22 evento A, dado otro evento B ,
es la
= 0
,83 Probabilidad de que ocurra A dando
c) Pr(FB = 1 - Pr((F >(B) Por centado que el evento B ya ha
= 1 - PrLFWBC ocurrido, es decir, es la probabilidad
= 1 - 0
, 83 de que ocura A temendo información
= 0
, 17 adicional acerca del resultado del
d) Pr(BNFC) = Pr(B) -Pr(BF) experimento aleatorio .
El evento que
= 0
, 33 -0
,
22 se da por sentado se conoce como evento
= 0
, 13 condicionante y constituye el nuevo universo
e((U() =PFBPB para el cálculo de la probabilidad de A.
d = 0
, 48 + 0
, 13 La probabilidad de A dado B se denota
excluyentes
= 0
,
61 con Pr(A/B) , y se define como :
()Pv((B1FC)U(F(B))
to d ↑r (A/B) = PrIAB)
,
donde Pr(B) O
excluyentes Pr(B)
=Pr(BF) + Pr(F > BC)
= O
,
13 + 0
,
17 ·Evento condicionante- Nuevo
= 0
,
3 Universo
9) Pregunta adicional : ¿ Cuál es la -Operador de condicionamiento
probabilidad de que el estudiante practique Propredades de la Probabilidad Condicional
basquet o no practique futbol ? 10 Pr(A/B) E I
2) Pr(a(B) = 1
Pr(BWFC) = Pr(B) + Pr(FC) - Pr (B FC) 3) Si A y B son excluyentes :
= 0
, 35 + (1 - 0
,
7) - 0
, 13 * Pr (AUB/C) = Pr(A/C) +Pr(B/C)
= 0
, 35 + 0
,
3 - 0
, 13 * Pr(A/B) = O
= 0
,
32 * PV (B(A) = O
&tra forma : Pr (BUF) = 1 -Pr((BUF)< 4) Pr (AP/B) = 1 - Pr(A/B)
= 10 Pr(B> 1F) 5)P- (& (B) = 0
= 1-0
,
48
63 5 : Al, 2, ...
An son mutuamente Pr (F/B) = Pr(F1B) = 0
,
22 = 0
,
6283
excluyentes : Pr(B) 0
,
35
Pr(Al B)= PUCAB) 1) Si el estudiante no practica balancesto .
¿Cuál es la probabilidad de que praetique
7) Si Al, 2, ... An constituyen una partición Futbol ?
de :
Pr(8Ai/B) = 1 Pr(F(B2) = Pr(FB =
0
. 48
i =
1
Pr (BC) 1-0
,
35
-
- = 0
,
7384
8) Si AB :
* Pr(A/C) EPr(B/C) d) Si el estudiante no practica Futbol .
* Pr (B/A) = 1 ¿Cuál es la probabilidad de que no practique
A Pr(A/B) = Pr(ARB) = PrCA) ninguno de los dos deportes?
Pr(B) Pv(B)
9) Pr(AUB/) =PrIA) PULAMBIC) Pu (F(RBC/F) = Pu(LFC BY FC
+Pr(ACnBIC) Pr(FC)
10 P (AUB/C) = Pr(A/C) +Pr(B/C) = Pr((FF ( B) = Pr(FBY
- Pr(A 1B/C) Pr(FC) Pr (F)
Ejemplo : Se elige aleatoriamente un - 0
, 17 = 0
,
3666
estudiante de un colegio donde: 0
, 3
Pr (F) = 0
,
7 : Practica fútbol es si el estudiante no practica ninguno
Pr( = 0,35 : Practica basquet de los deportes. ¿Cuál es la probabilidad
Pr (FB) = 0
,
48 : Practica Fútbol pero no de que no practique basquet?
basquet
a) Si el estudiante practica Futbol . ¿Cual Pr(BF) = Pr(BC (FBY)
es la probabilidad de que practique Pr (FC1B)
basquet ? -> Pr((BCB F) = Pr(B> FC
Pr(F< (B) Pr (FCB)
Pr (B/F) = Pr(BMF) = Pr(FC1B) =I
Pr (F) Pr (F BC)
Pr (B (F) = Pr(FNB) F) Si el estudiante practique al menos un
Pr(F(B = Pr(F) + PrCFB) deporte. ¿Cuál es la probabilidad de que
0
,48 = 0
,
7 practique los dos deportes
Pr(FB) = 0
,
7-0
,
48
= 0
,
22 Pr(FRB/FUB) = EnB)(FUB)
Pr(FUB)
Y
,
entonces : Pv(B/F) = Pr(BRF) -> La intersección entre la intersección y la
Pr(F) unión de los eventos, nos queda la intersección
.
= 0
,
22
0
,
7 -> Pr(F1B) + 0
,
22 = 0
,
2650
= 0
,
3142 Pr(FUB) 0
,
83
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el
estudiante practique futbol dado que practica
balancesto?
13-03-2023
· A B
a
c
..... AMBIC
Regla de la Cadena de la Probabilidad PrCA) PrIBIAS PrICIAB)
Por definición : Pr(A/B) = Pr (ANB)
Pr(B) Regla de la cadena para 4 eventos
y PULBIA) = Pr(BA)
, por tanto :
Pv(A) PULABERD) : PUCA PUBLAS PU (CIANB) PULD/ANBAC
PAB) = PAPLBIA) Regla de la Regla de Bayes:
=P((/ Cadena para 2 - Regla arimética que permite intercambiar
eventos los papeles del evento condicionante y el
evento condicionado
.
Pr(ANB) = Pr(A) Pr(BIA) = Secuencia de - PermiteCalcular Pr(B/A) a parter de
↳ ta ta Ocurrencias Pr(A/B)
.
Ocurrencia Ocurrencia Ocurrencia de B * Pr(B/A) = Pr(BA) = Pr(B) Pr (A/B)
simultánea de A sujeta a la ocurrencia Pr(A) Pv(A)
de A y B de A · Pr(B/A) = Pv(B) PrCAIB)
Pr(A)
O * A · B - AB
Pr(A) Pv(B/A) Teorema de la Probabilidad Total
·Pr(A)(BIA) Se tiene un evento arbitrario A y los
eventos Bi
,
B2, ..., Bu, los cuales constituyen
Regla de la Cadena para 3 eventos una partición del espacio muestral, es
decir :
e
¿Cómo Calcular PABC) ? I) B : nBj = 0
, iF j
~A --
H) B:r ...Pr(AMBC) = Pr(CAMB)1C) . B7
= Pu (ANB) Pu(C/AB)
= Pr(A)Pr(B/A)Pr(C/AB)
La probabilidad de Aprobabilidad
->Pr(ABC) = Pu(ASPr(BIA) Pr(C/AB) tota está dada pori
= Pv (A) Pr(C/A) Pr (B/AnC)
% Pu (A) = Pr(AN ) = Pr(Ar( . Bi))
= Pr(C(Pr(B/C) Pr(A/BC
= Pr(LABi)) = PrCAMBil
- i = /
G Formas Posibles = E pr(Bi) Pr(A/Bi)
i = 1
PULABC) = PUCA) PUBIA) A PULC/AMB)
↓ ↓ to A - PV(A)
= PULBSPUCA(BI)
Ocurrencia Ocurrencia Ocurrencia Ocurrencia
simultánea de A de B sujeta de C
, sujeta
de A, y C & A a AyB.
↳ Fermula de la probabilidad total de
un evento A.
↑v (A) = Pv (Bi) Pr(A/Bi) +Pr(B2) Pv(A/B2) ... mayores. El 35 % de la población son
... + Pr (BnJPr(A/Bn) menores de edad, el 43%son adultos menores
y el resto adultos mayores (20 % ). La probab.
PLAIBi) A · ABI de que un menor de edad padezca problemas
Bi AC · AB, cardracos es de 0, 1, mientras que la probat
Pv(B)
A · AB2 de que un adulto menor es de 0
, 32 y la
B2 AC 8 probabilidad de que un adulto mayor sufra
·
Pr(B2)
:
e
problemas cardíacos es de 0,72
.
Se elige
A ABU una persona al azar
. Respender las siguientes
PvLBn) Br A - A 1Bn preguntas :
Pr (A" /Bn) a) 5 la persona elegida es un adultomayor.
¿Cuál es la probabilidad de que no sufra
Bi
,
B2,
...,
B Causas problemas carbracos ?
PLBi), Pr(B2), ..., PLBn) Probabilidades
-> apriori de las = "La persona elegida es menor de edad"
Pr (Bi) = 1
causas
.
A = "La persona elegida es un adulto menor"
(i = 1 ↓
V : "persona elegida es un adulto mayor
A- Consecuentra M
,
A
,
B Constituyen una partición de 1
.
PA) - Probabilidad de la consecuentra
Pr(A/Bil- Probabilidades condicionales
a priori de la consecuencia. -V
Pr(Bi/A) -Probabilidades condicionales a L
&posteron de las causas. Se A
calcula usando la regla de Bayes.
= "la persona elegida padeceproblemas
La formamás simple del teorema de la cardíacos"
.
probabilidad total es cuando la
partición de & es binarra, esto es Pv (m) = 0
, 33 ; Pr (A) =
0
,
43 ; Pr (V) : 0
,
20
[B
,
B
,
Así : Pr(C/m) = O
,
1
Pr(C(A) = 0
, 32
Pr(A) = Pv(B)Pr(A/B) PU(B Pr(A/BC Pr(C/V) = 0
,
72
A * Pr(((V) = 1 - Pr(C/V)
B As
= 1 - 0
,
72- en
O
=
= 0
,
28
Be A b) ¿Cual es la probabilidad de que la
Ac Diagrama de Venn. persona elegida sufra problemas cardíacos?
Diagrama de árbol .
Ejemplo : Las personas de creuta población Pr(C) = Pr(m)Pr(C/m) +Pr(A)Pr/A)
estánclasificadas en 3 categorras +Pr(V(Pr(C/V)
excluyentes, a saber, menores de - (0
,
33)(0, 1) + (0
, 43) (0, 32) + 10
, 20
edad, adultos menores y abultos (0
,
72) = 0
,
323
e
c) Si la persona elegida sufre problemas = 1-0
,
35 - 0
,
1-0
,
2 .0
,
72
cardracos. ¿Cual es laprobabilidad de que =
se trate de un menor de edad?
Pr(m/e) = Pr(MMC) F) Si la persona elegida no es un adulto
Pr(C) mayor. ¿Cual es la probabilidad de que
Pr (M) Pr(C/M) sufra problemas cardíacos?
Pr(C)
= 0
,
33 (0, Pr(C/V) = Pr(CMV)
0
, 323 Pr(V)
=
0
, 1083 = PrCC (MUAL
-
1-Pr(V)
d) ¿Cuál es la probabilidad de que la = P((MUCA))
persona elegida sea un adulto menor y 1-Pr(V)
no sufra problemas cardíacos? = Pr((1m) +PrCCAS
1 -Pr(V)
Pv(A1() = Pr(C Pr(AICC) = Pv (m)Pr([/M) +Pr(A)Pu(CIA)
Forma no recomendable 1-Pr(V)
= Pv (A) Pv(C< /A) = 0,35.0,
1 + 0
,43 . 0
,
32
= Pr (A) [1-Pr(CIAS] 1-0,
2
= 0
,45 21-0
,32] = 0
,
2237
me
= 0
,
306
m
9) Si la persona no sufreproblemas
el ¿Cual es la probabilidad de que la cardíacos. ¿ Cual es la probabilidad de
persona elegada sea un adulto menor o que no sea un menor de edad?
no sufra problemas cardíacos?
Pr(Me/() = Pr(Mon()
Pr(AUC) = Pr(A) + Pr(CC)-PrCAMC) Pr(CC)
= 0
, 45 + (1-0
,
323) - 0
,
306 = Pr(c (AUV)
: 0
,
821 1 - Pv(C)
= Pv(((c1A) W((< NV))
Otra Forma : 1 - Pr(C)
Pr (AU = 1-Pr((AUYY = Pr(CASPr(CV)
= 1-PrCAMC) 1- Pr(C)
= 1-Pr(A Pr (CIA) = PU (AJPUCCA) Pr(UJPV(CIV)
1 - PrLC)
-> 1-Pr (A) Pr(C/MUV) = Pr (A) [1-Pr(C/A) +Pr([1-Pr(CNS]
= 1-[1-Pr (AS] Pr(C(MUV)) 1 - Pr(C)
Pr(MWV = 0
,
4521 - 0
,32] + 0
, 2 21-0
,
72]
= 1-0
, 55 Pr(((m)(((V)) 1-0,
323
Pr(m) +Pr(V) = 0
,
5347
mu
=1 -0
, 55(r((m) +Pr(CNV)
0
,
35 + 0
,
2 Décimas para primer corte: 2
= 1-053 [PULM)Pr(C/M)+Pr(VPrCy
Por diagrama de Árbol tenemos : Pr (ANB) = Pr(A) . Pr(B)
,
c C : 10
,
3510
,
1 :
0
,
033 Regla multiplicativa de la independencia.
m a (0
,30,) = 0
,
315 Implicaciones de la independencia entre
0,
33
A y Bi
0
,
3 + AC : 10,4320
,
32) :
0
,
144 Si A y B son eventos independientes,
·
0,45 A también son independientes las siguentes
0
,68 : 10,4310
,
68) =
0
,
306 parejas de eventos:
0
,2
0
.72 C- V C : 20
,2610
, 72) =
0
, 144 · A y B
V
· A y BC
0,28 (c+ VC : (8
,2)(0, 28) =
0
,
036 · A y BC
Solucionando el punto e y 7 por diagrama Demostración:
de Árbol tenemos : · Si A y B son independientes, y B
también son independientes .
ePr(AU) = 0
,
315 + 0
,
144 + 0
,
3060
,
056
= 0
,
821 Pr(A31B) = Pr(BA = Pr(B) -Pr(ANB)
en
= Pr(B) - Pr(A)Pr(B)
7) Pr(C/V) = Pr(C/MUA) = PrCCMUAL) = Pr(B) [1- PrCA)]
--
Pr(MUA)
= 0
. 035 + 0
, 144
= 0
,
22375
Pr (AC)
e
0
,033 +0
, 313 +0
,
144 +0
,
306 = Pv (Ac . Pv(B)
Recordar: Unión : O ; Intersección : y :. A y B son independientes .
13 - 03 - 2023 Notas :
ne
Independencia Estadística entre Eventos
Dos eventos A y B son estadísticamente ¿Un evento A es independiente de si mismo?
independientes cuando la ocurrencia de una
de ellos no modifica la probabilidad de Pr (A) =
000
ocurrencia del otro, dicho de otra manera, Pr(A/A) = 1
el evento B no aparta información relevante Pr(A) = PUCA) - PUCA)
acerca de la ocurrencia o no ocurrencia de PUCAS E [PUCA)
↑ y neversa. Matemáticamente,A y B
son independientes ci se cumple que: :. A no es independiente de sí mismo.
PvCA/B) = Pr(A) 3 ¿ Un evento A es independiente de su
Pv (B(A) = Pr(B) complemento ?
Alternativamente, la independencia entre PrLA =
... As aporta información
A y implica que se cumpla la siguiente / = O muy relevante respecto a A.
regla multiplicativa :
:. A no es independiente de su complemento. Pr(AB) = Pr(A) Pr(B)
=
[1 - Pr(A)] Pr(B)
¿Si A y B son excluyentes, y B Son = (1 -
E) · 5 = E
independientes ?
2) ¿Cual es la probabilidad de que el
Pv(ARB) = Pr (A) Pr(B) primer dado carga en número par o el
Pr(4) = Pr(A) Pr(B) segundo dado carga en número 3?
0 = Pr(A)Pr(B)
Pr(AUB) = 1 - Pr((AUB))C
:. A y B no son independientes. = 1 - Pr (A< 1 BC)
= 1 - Pv (A) Pr(BY
¿ Si y B son independientes, A y B son = 1 (t)(E)excluyentes ?
= z = 0
,
5833
e
Pr(ARB) = 0 ? 12
Pr (A) Pr(B) O
:. A y B no son excluyentes EndependentaColectivaentreEventesete
independientes sí se cumplen las siguientes
& [ : A y B sen independientes A y AUB reglas multiplicativas :
son independientes ? A PUCAMBC= Pr(A) Pr(B) Pr(C)
* PV (ANB) = PU(A) Pr(B) SPr (AUB/A) = 1 PrCAUB) * Pr (ANC) = Pr (A) Pr(C)
* Pr (BMC) = Pr(B)PrCC)
:. A y AUB no son independientes Implicaciones de la independencia colectiva
-
entre A
,
B y C:
Pr(ARCAUB)) = Pr(A) Pr (AUB) Pr(AC) = Pr(A) PrCC)
- Pr (AcnC(B) = Pr (ACC) =Pr(APPr(C)
Pr (A) EPr (A) PrCAUB) Pr(B/AUCC) = Pr(B)
Pv(BUC/A4) = Pr(BUC)
Ejemplo : Se lanzan dos dados legales. = 1- Pr (B CC)
Determinar : = 1 - Pr (B4 Pr(CC)
a) Si el primer dado cae en número par, cual Disponibilidad de Sistemas
es la probabilidad de que el segundo dado Sistema: Interconexión de componentes
carga en número 3 ? que funcionan demanera
independiente bajo una
A : "primer dado cae en par Configuración específica.
B : "Segundo dado cae en 3
En general, para un sistema de N
Pr(BIA) = Pu (B) = E componentes se definen los siguientes
eventos :
b ¿Cual es la probabilidad de que el
primer dado carga en número impar y el Fi = "El componente i funciona", = 1, 2, ...
N
Segundo dado carga en el número 3 ? S = "el sistema funciona
A la probabilidad del evento , esto 3Configuraciones Hibridas
es, Pr(5) se le denomina Disponibilidad Combinan secciones en sere con secciones
del sistema
.
en paralelo.
Los eventos Fi,
,
Fa, ...,
N se consideran ↓ 2
&
colectivamente independientes.
4 &
Configuraciones tipreasi 3
Il Configuración Ferre (Conexión en Serie
Ejemplos : Calcular la disponibilidad de
·8 . - Na Cada uno de los siguentes sistemas:
a)
Sistema
I ja as
El sistema funciona cuando todas las 4 &
componentes Funcionan .
3 0
,
9
0
, 8
SEFIRERESENTA b)
L 2 3 4
I I
0
, 9 0,950
, 93 0
,
95
Pr(5) = Pr,
Fil
= ,
PUCF) c) 0
,8
f f
2) Configuración Paralelo (Conexión Paralela) I -20
,73
30
, 8
* f
4
0
,
9
O & D
als = ((F,FUf3] rF4 /
* N
Pr (5) = Pr[((F , F2) F3) F4)]
Sistema
El sistema funciona cuando al menos = Pr ((Fi1F2) UF3) Pr (FP)
una de las componentes funciona. =(1 - Pr((F/ &F2) F3] Pr(FP)
SEFIUFUE
... VENI = [1 - Pr (F, &F2( > Pr(F3)] Pr(F4)
I I
= 21-0 - Pr (F, NF2)] Pr(F3] PrCFc)
Pv(S) = Pr (
,
Fil
= (1 - [1 - Pr(Ev) Pr(F2)] Pr (F39]Pr(F4)
= 1 - Pr() , Fi)C)
= [1 - 21 - 0
, 9 . 0
,95]0,2] 0
,9
=1 - Pr( Fic)
i = 1
=
= 1
-A Pr(Fi)
· Pr(5) = 1 -
,
[1-Pr(Fil)
* Si se sabe que el componente 2 funciona, Usando el teorema de la probabilidad
cuál es la probabilidad de que el sistema total, calcular la disponibilidad del
funcione ? - Disponibilidad condrerenen sistema sando la partición [F3 ,
F3
Pv (5/F2) = ? Pr (5) = Pv(F3) Pr (5/F3) + Pr(F33) Pr (5) F3)
&
·
00 En e
a
1 - 2
4
3
08
Pr(5/F2) = Pr((F( UF3) F4)
= Pv (F(UF3) PU(F4) -P 8 4 = Pv(F4)
= [1 - Pr(F) 1 F33]Pr(F4) = 0
,9 = Pr (5/F3)
= (l - Pr (F1PU(F337PUCF4)
= (1 - 0
,
1 . 0
,
270,
9 Pr(5/F34
= 0
,
882
n - 2
- 40
* Si el componente 2 no funciona, cuál es &
la probabilidad de que el sistema funcione?
- 4 .
↑r(5/2)- Disponibilidad condicional
Pv(5153) = Pv(F1) Pr(F2)Pr(Fa)
↑ ⑧ e = 0
,
9 - 0
, 93 - 0
,
a
O
0, 9 * =
3
0
, 9
0
,8
Pv(5) : 0
,
8 : 0
,
9 + 0
,
2 . 0
, 7693
Nos queda entonces : = 0
,
8739
u
3 4 * Pr(5/FinF4)
0
, 8 0,9
Pr(5/F23) = Pr(F31F4) = Pr (F3) Pr(F4) Pregunta adicional :
= 0
, 72
c
I 2
Calculo alternativo de la disponibilidad 0
, 9 0
, 9
usando el teorema de la probabilidad
total Pr(5) =
0
,
9 . 0
,9 = 0
,
8
Pr(F , (5) = 1
Pr(5) = Pr(Fz) Pr(S(F2) +Pr(F2Pr(5/F23 Pr(Fil() =
?
-> Pr (5) : 0
,
95 . 0
,
882 + 0
,
05 . 0
,
72 b) 5 = FilF21F31FC
Pv (5) = 0
, 8739 ↑v (5) = Pr(Fi)Pv(F2) Pr(F3) Pr(Fa)
nu
= 0
.
9 . 0
,
95-0
, 93-0,
93
= 0
,
77163
Para Pr(5/F,F4) : Pr(F ,UFUF3UF4) =
· 2
= 1 - [(1- Pr(F1)) (1- Pr(F2)) (1-Pr(F3)) (1-Pr(F)]
0
,93
a 0
= 1 - ((0
,
2) (0
,
23)(0
,
2) (0
,
1]
3 = 1 - 20
,
001]
0
,8 = 0
,
999
u
Pr(5/F, F4) = Pr (F2UF3) ↑esolviendo el a por simplificación del
Sistema:
= 1 - Pv(F25 (F3 E
= 1 - Pr (F23) Pr(F34 I Z
= 1 - (0
,
05)(0,
2) 4
=
0
, 99 3
un
E
Para el Sistema:
Pr(F, 1 F2) = Pr(Fi) Pr(Fz) = 0
, 9 . 0
,
95 : 0
, 833
I 2 Pr(F3) =
0
,
8
0
, 9 0
, 9
Simplificando :
· Pv (5) = 0
,
9 . 0
,
9 = 0
,
81 7
- S
4
· Pr(F1(5) = 1
G
Pr(F . /5) = Pr(Fi) Pr(5/Fi) ↑v (FSUFG) = 1 - [ (1- Pr(Fs))(1-Pr(fo)]
Pr (5) = 1 - ((0,
145) (0,
21]
Pero : Pr(5/F1) :
8 28
,
9
= 0
,
971
-> Pr(5/Fi) = Pr(F2) = 0
,
9 Simplificando, tenemos :
Entonces : Pr (F115) =
0
,
9 0
,
9 7 4
0
, 81
= 0
,
81 = Is Pr(F7 1F4) = Pr(F7)Pr(fu) = 0
,
971 · 0
,
9
0
,
81 = 0
,
8739 ↑
el
Pr (5) =
0
, 8739
· Pr (F , /5% = Pr(Fi) Pr(5Fi)
Pv (5C) 22-03-2023
# Aleatorias
Pero Pr([/F1) = 1 - Pr(5/F)
= 1 - 0
,
9 Definición :
= 0, Una vanable aleatoria X es una función que
- Pr(F , (5) = 0
,
9 (0,
1) =
0
,
47368 asigna un número real a cada posible
e
1-0, 81 resultado del experimento aleatorio, es decir,
convierte en un número real cada elemento
de 1.
.
[) El resultado del experimento es
~ incierto.
O
# El resultado del experimento sepuede
O
expresar a través de un único número
O 1 I I ↑ IR real
.
& ⑧ X(w)
Notación para variables aleatorias
Las variables aleatorias se simbolizan
con letras mayúsculas como X
, Y, , ,
Una variable aleatoriaX es una función etc, sus recorridos se notan como ex,
de la forma: , , , etc, y sus realizaciones
X : 1 IR como
, y , , ,
ete respectivamente.
ver · X(w)
Ejemplo : Se tiene un experimento
-Cada posible valor que puede tomar aleatorio que consiste en lanzar 2
X se conoce como "realización de X" dados legales, uno rojo y una azul .
y se simboliza o . Determinar cuales de las siguientes
- El conjunto de todos los valores que observaciones pueden ser consideradas
puede tomar X (conjunto de todas las como variables aleatorias. En caso
posibles realizaciones de) se conoce afirmativo indicar el tipo de variable
Como "Recorrido de X" o "Soporte al que corresponde .
de X" y se simboliza con X. as "Número que sale en el dado azul
- Ex es el nuevo espacio muestral
· Es incierta
numérico del experimento aleatorio, · Es una variable aleatoria
es el "Universo" de X.
· Es una v.
. a.
discreta
b) "Tiempo que tarda en quedarse
Tipos de variables aleatorias queto el dado rojo"
Según la naturaleza del recorrido,
· Es una variable aleatoria
las variables aleatorias se pueden · Es una va.
Continua
clasificar en : el "Color del primer dado que se queda
*Discretas : Si ex es un conjunto quieto"
numerable (finito o infinito) de · No es unavariable aleatoria porque no
números reales
. sepuede expresar en un número real.
ex : d) "Número de caras del primer dado
1 10 1 / 11 que se queda quieto"
Continuas: Si ex es un conjunto · No es incierta,pero se puede representar
denjo de números reales
.
en un número real, por lo tanto, no es una
2X : variable aleatoria.
el "Pareja de números que salen
"
· No es una variable aleatoria
¿Cómo surgen las varables aleatorias # "Suma de los números que salen
En general, podemos afirmar que el
· Es una variable aleatoria discreta.
resultado de un experimento es una
vanable aleatoria si se cumplen 2
condiciones:
Distribución deProbabilidad de una PX(E) Pr(X = X0)
Variable aleatoria
O &
La distribución de probabilidad de
una vartable aleatoria X es una función
O ·.
ique asignaprobabilidades a vero
&
similitudes a cada elemento de su Xo
recorrido
. Ejemplo: Sea X una variable aleatoria
* Las variables aleatorias discretas discreta con pmf:
tienen una "función de probabilidad"
1 pmf : probability mass function). Px(z) = K
* Las variables aleatorias continuas ! (3- ( /23
tienen una "función de densidad de
Probabilidad" (pdf :probability density Con X = 0
,
1
,
2
,
3
funetron)
.
donde k es una constante positiva
Variables Aleatorias Discretas Determinar:
Una variable aleatoria X tiene asociada a El valor de k
una función de probabilidad () que b) Pr(X = 2)
Se define comeri 2) Pr(X2 1)
d(Pr(x <3/X21)
Py(x) = Pr(X= ) , E el Pr((X - 1) 2 = 1)
F) Pr(x2= 1)
9) Pv (sen(X) = O)
PX() es la probabilidad del evento
EX=
,
donde E. Solución :
2x = 20
,
1
,
2
,
33
Py(7) = +0 ,
sixE-x · Py(z) = 0
E
=0
,
si Ex · 2 Px(2) = 1
&
En general, PX(2) satisface 3 condiciones : X PX(E)
O 4 K
ilpx(z)10 , ER E
↓ . .(:eii)
=
Px(z) = 1
[ Si A es un evento relacionado con la
I ().
variable aleatoria X, 3 3 ()3=
Pr(A) = I Px(z)
EA Para hallar el valor de Ki
La Función P() se puede expresar en forma
analítica, en forma gráfica, en forma de 8k + 12k + 6k + k = 1
función por tramos o en forma de tabla. 162162162162
27k = · 27k = 162 = Pr(X=2) + Pr(X= 0)
162 k = 162 = Py(2) + Py
(0)
k = G
27 = + =
Cuando 2 = 0 -Py(x)= (6) = 8 #) Pr(x2
= 1) = Pr((X1 = 1)
27 = Pr(X= 1 UX = -1)
Cuando 2 = 1 - py(z) = 2 (6) = La = Pr(X = 1) + Pr(X = - 1)
Cuando k = 2 + px(x) =
(6)
27 =
+ 0 = E =
27
Cuando z=3 + px(X) :
(6) = & 9)Pv (sen(Ex) = 0) = Py(k = 0) + py(z=2)
162 27
Px(z)
a
·
. E
= + :
D
↑
1127
2 Ejemplo : Se lanzan 3 monedas legales.-
Jo I 2 3 SeaX la variable aleatoria discreta que
representa el número de caras obtenidas.
b) Pr(X =2) = px(x) = E= Determinar la distribución de probabilidad
de X .
a(Pv (X21) = PX(1) +px(2) + px (3) X= "número de caras obtenidas al
lanzar 3 monedas legales"
= 12+ 671 = 1
27 27 X- v
. a. discreta
Otra Forma : Pr(1 = 1-Pr(XX1)
= 1 - PX(0) PX(z) =
P
= 1 - 8
= 19
27 27 = "cara en la iésima moneda"
Si : "Sello en la ésima moneda"
d Pr(x3/x11) = Pr(X31X21)
Pr(X21) i = 1
,
2
, 3
= Pr(11 X <3)
1/2 (3 : (C
,
(2, (3) = 118
Pr(X21) 11222112 53 : (Ci
,
(2
, 53) = 1/8
= Px(1) + Py(2)
= 2 +
7 18 112 [
,252
11
23 : (D ,
52
,
(3) = 118
PX(1) + PX(2) +PX(3) =
L 19
In
s
1/2 53 :
(Ci
,
52
,
53) = 1/8
27 L /2
1/2
e) Pv((X- 1)= 1) = Pr((X- 11 = 1) C2 (3 : (51
,
(2
,
(3) = 1/8
= Pr(X- 1 = 1 UX- 1 = - 1) 1/2 53 : (51
,
22
,
53) = 18
= Pr(X = 2 u X =0
12
S2 112
(3 : (51 , 52, (3) = 118
X d
Excluyentes
1/2 53 : (51
, 32
,
53) = 118
En orden
,
entonces : = 118 = E1-1/8
X
(CI
,
(2, (3)
I
3 27 -03 - 2023
(C, C2, 53) 2 Variables Aleatorias Continuas
(C ,
52
,
(3) 2 ex = 30, 1
,
2
,33 Sea X una vartable aleatoria con
I recorrido denso X
,
entonces sediceC,32,s2
que X es continua. La distribución de
(51
,
22, 53)
I probabilidad de X se denomina "función
(51 , 52,(3) de densidad de probabilidad", la cual se
(51
, 22
,
53)
O simboliza con () y se define como:
PX(2) = Pr(X = z)
,
2 = 0
,
1
,
2
,
3 fy(z) = Lim Pu(2-E1EX=z +E/2)
E+Ot E
PX(0) = Pr(X = 0) : 1/8 Sus unidades soni Unidades de xPx(1) = Pr(X = 1) = I HI = También se denomina: Función de verosimilitud.
Py(2) = Pr(X = 2) =
1+ = #() no representa la probabilidad del
PX(3) = Pr(X= 3) = 118 evento EX=3
,
sino la probabilidad por
unidad de variable aleatoria presente en
Entonces
,
la función deprobabilidad nos ese punto .
queda : La Función F() se abrera con la
PX(z) sigla pdf (probability density fruction),
3/8 318 y satisface 2 condiciones :
1/8 118 I)5x()O, ER .
↓ ↑
I
G ↑ 2 X II)S (sdx = 1
Pregunta adicional,
fx(z)
Si se sabe que hay al menos I sello,
¿erál es la probabilidad de que los 3
lanzamientos hayan caído en sello ?
X= "número de caras"
3- = "número de sellos" -
N f X
--
Pr (3 -x = 3/3 -x 21) 2x
#
= Pr(X =0/X = 2) Curva no negativa,con
= Pr(x= 01X E2) = PXCO) área bajo la curva igual a 1
.
PrCXE2) 1 - PX(3) El recorrido deX es el
intervalo donde Fx() O.
La probabilidad de un evento arbituarro A Pr(X1 b) = Pr(X =Ub X =b
relacionado con la variable aleatoria *
continua X se define como: Excluyentes
-> Pv(X=a) +Pv(a <X <b) + Pr(X =b)PUCA)
:S FXLEk f 0
Por tanto, si es de la forma :<D. Pr(a<b) = Pr(ax<b)
Pula = x < b) = Excesbx Ejemplo : El tiempo en minutos quehura
una llamada telefónica es una variable
->Pr() = "reabajo la curva aleatoria continua X cuya densidad de
5x(z) de Fx() sobre el probabilidad se muestra en la figura.
fx(z) [1/min]~interlocupado
por 7 :.i
2k-
k : constante positiva
K -
La probabilidad de un evento de la forma:
=C, está dada por:
o i 2 & [mins]
C+D as ¿Cuál es el recorrido de X ?
PULX =J
=Lin+x() m
x()o
ex = ?
&
Esto quiere decir que si X es una variable ex = 10, 3]
aleatoria contrava, la probabilidad de
Cualquier evento puntual es O
, por tanto b) Calcular el Valor de para que la
Ex= 3, con EX
,
es un " evento improbable" distribución de probabilidad sea válida.
A partir de lo anterior,se deducen las 5x(z) = 2kx
S
OXEl
siguientes igualdades para las probabilidades E K
,
1x X 13
sobre variables aleatorias continuas : O
, 0 .
U
Pr(a < X < b) = Pr(aXEb) fx()20 ,
E
= Pr(a(X = b)
f
= Pr(aEX <b)
, (i) ( = I
fx(z)
~Priebreademalinea -so+N
I
&
+ (00¢x = 1
= x + kx13 =
= k + 2k = 1 nk = 1/3
¿Cual es el valor más verosimil dex L = SES X
Pr(X<2)
RIX1 - "el tiempo mas verosimil para Ex (2) by
la Llamada es Imin"
"
d)¿Cual es la probabilidad de que la
= 5x = 35 ¢
=
=1
Llamada dure menos de 903? 31 - Pr(x22) 1 - 35¢x 1 la
905 - Y ? = 3/2min
60s - Imin
3/2
: =
-
5 =
!
Pr(X < 312)
=/Fxlzsd 1 - 3 + 23
sock + ) xx+ x 7) Supóngase que la potencia en vatios
que consume la llamada telefónica está
dade por:
= + 312 te P =4+ [], donde X es el tiempo
que dura la llamada.
= 6 + 3
= = E18 ¿Cual es la probabilidad de que la potencia
consumida por la llamada sea de al menos
17 W?
fx(z) [1/min]
Pr(X< 3/2) Pr (p > 17) = Pr(4X2+12(7)
213 III:
= Pr(4X2216)
-
& = Pr (x224)It
o p ↳ ↳ & [mins] = Pr(/X122)d = Pr(X22 UX1 -2)
* ↓
el Si se sabe que la llamada dura Excluyentes
menos de 2 minutos, cual es la probab. = Pr(x22) +PrLXE -2)
de que dicha llamada duremás de un ↓
minuto? Evento imposible
Pr(X > 1/x (2) = Pr(x>11x <2) = ss+Es
Pr(X <2)
- d
IIII
= Bdx + 0dx = El =- ↑ ↑~↑-
J ↑ 2 3
-
Lo común
9) ¿Cuál es la probabilidad de que la 3-2
= 0.1 3-2 : 0
. 3
llamada dure 2minutos y medio? 3
Pr(X = 2. 5) = 0 - = 2
.
7 mins
-
Evento improbable Prix = d) = 0 .
9
jo =
09h)¿ Cual es la probabilidadde que la llamada
- X O
dx Sdure más de 4 minutos?
Pr(X> 4) = 0 xx + x
= 0
-
Evento imposible
1)¿Cual es la probabilidad de que la *
Llamada dure a lo sumo 5 minutos?
Pr(x (5) = 1 * =
-
Evento seguro 1 +d - 1
=
0
.
9
3
Con esto se ve la verosimilitud.
¿ Cuál es la duración de la llamada E = 0.
debajo de la cual se encuentrael 90% de los
casos ? 2 = 2
.7 mins
5x(z)
k) ¿Cual es el tiempo encima del cual se
encuentra el 90% de los casos?
/ Pr(X) = 0 .
1 o también :
&
I & ·0.
0.9 && I/V ↑
O ! 4
Z
Pr(X 28) = 0
.
9a
De la forma: Pr(XEB) : 0 .
1
Pv(X 12) = 0
.9 + 2 =?
1 -Pr(X>B) =
0
. 1
1 - Pr(X> 2) = 0
.9 1- 0
.
1 = Pr(X>B)
0
.
9 = Pr(X)B)
- Pr(x > 2) = 0
.
1 - (sx = 0
. 1 fx(z) [1/min]
- x = 0
.
1- =0 213
&V
-
i↳IIII&
OB p ↳ ↳ & [mins]
9 = xxt) = 0 PX(z)
B
I
- ↑ ↑ E
Fx(x) O
El escalen sube al valor de la-
3 -t :
e
⑧
& Probabilidad en ese punto.
i ↑ & Fx(o) : es la suma de las
- 1- 33 +3 - 1 = 0
.
9 8
J
probabilidades quehay
3
X8
& a la izquierda de 20
.
+ 3 - 32 = 0
.
9 -03-B = 2
.
7 · 5 : X es una variable aleatoria continuar
3 3 - 2. 7 = B2
0
. 3 = B2 FX(): ( -Recopilación de
↓ I
Área bajo la cura
- 3 = 1 0.
3 de izquierda a derecha
-> 3 = 0
. 3477 mins ↳FX() es una función
monótona creciente
Pr(XEB) : 0
. 1
en
en
- 0.
-> B = 0
. 5477 mins
29 - 83-2023 3 de ser
Funciones de Distribución Acumulativa ↓ máximoI .
La función de distribución acumulativa o E
Led : commulative distribution function) de Propredades generales de la e.d .
F
una variable aleatorra X
,
se simboliza
conF y sedefine como la probabilidad El, ER.
del evento EX
,
donde puede ser
cualquier número real,
,
esto es : * Fx(-0) = Lim Fx() = O
A- - 00
FX(z) = Pr(X), E * FX(+b) = Lim Fx() = 1
2 -1 +0
· Si es una variable aleatoria discreta : * 5ia < b : Fx(a) < FX(b)
FX()= () -Recopilación de probabilidad. Pr(X 2) =E (2) - Ex (El
I ↑ de izquierda a derecha
↳F () es una función escalonada creciente. Si es discreta: ()= -FX()
* Si x es continua: 5x() =X( PX(2) : FX(I -FX (2) = · = 2
0de
= Fxs(z)
* 5 : X es continua
,
FX() es una
PX (2.
1) = FX (2. (H - FX(2. 1 =.
Función continua.
Pr(X(2) = Ex (2) = 7
E
Parcial 1 : Miércoles 19 de Abril
Pr(X21 = 1-Pr(XE1) = 1-FXCI
n
= 1 -
1 = 1Demostración de las propredades de la c. d.
F :
FXCK
3. Fx(0)=05x(z)dz = 1 Pr(/EX (3) = PU(X= 1) + Pr(1 < X3)
= FX((t) - Fx(1 - ) +Fx(3) - FXCI
4. / / FX(a) = Pr(X) = t - 8 t
A b FX(b) = PrLXEb)
= PUXED = 7
= Pr(x(a) + Pv(a <X=b) &
Ejemplo : Obtener la c.d .f de una v. a X
Ejemplo: Determinar y graficar la función con pbf :
de distribución acumulativa de la Fx(z)
varable aleatoria X = "Número
de caras al lanzar 3 veces una 2/3 -
moneda legal" " 1/3 -
Px(E)
o i 2 z
3/8 3/8
1/8 118 5x(z) = 213X
,
OEXEl
↑ ↑
↑ ↓ 1/3 -1 < X 23
Jo ↑ 2 ¿ S
O
,
0 .
W
Fx(2) Z
Fx(7) = Pr(X)
=J fxlz)dz
- ⑧
E-- ⑳
↓ fx (z]
213-
-
E I
-
↑ h ·.e Z
⑧I
&
·Para 0 : FX() :A z
=Od =
FX(E)
↑S ↑ S ~
1/2 - &
- - -- ~· Para El 1 13 ↑ ↑
p !
↑ ↑ ↑ ↑ p ↑ ↑ X
-> I f 2 3 4 S E#x (a)= (de
=no z
-
Preguntas :
= z = * Pr(x13/2) = Y
· Para 13 = 1 - Pv(X < 3/2)
= 1- FX(3/2)
FXCas= = no z = 1 - 312 = 13
+ 55 dz
* Pr (112 X < 3/2)
= Fx (3/2) - Fx (112)
= z +El = .
- 5 + = 34
= Es *Pr(x> //x < 312) = ?
·Para = Pr(X> 11X <312)
Pr(X < 312)
FX() :( =8pztjzza
= Pv((XX < 5(2)
+3
Pr(X15/2)
= Fx (3/2) - Fx (1)
= 0 +z % + p Fx(5/2)
=a - t
= 0 + 1 +2t 0 = 3
Entonces :
3
FX(2) =
E
J
,
X0 = 315 = 0 . 6
X2/3 02E !
S
X/3
,
1 < 213 Himo ejemplo por hoy
1
,
>3
Ejemplo : Sea X una variable aleatoria con
+x(z)
la 2 .
d
. F :
Fx(z) = 112ex
,
X0S
1, O
-
E
Otra Forma :
a Qué tipo de variable aleatoriaes? PI62=S s
b) Calcular Pr(IX-12)
10-04-2023
e Determinar la pmf/pdf VariablesAleatorias Indicador
f
S
Fx(E) Una variable aleatoria indicador de un
evento arbitrario A es una variable discretain X que toma el valor de l cuando ocurre
- y toma el valor de 8 cuando no ocurre A,
E esto esi
a) X es una variable aleatoria continua, E
ya que FX() es montona creciente
X =
,si ocurretre A
b) Pr(/X- 11 2) por tanto : PX(1) = Pr(X = 1) = PrCA)
,
así :
=Pr(X - / 2 UX- 1 < - 2) PX(z) : 1- Pu(A)
,
X= 0
= Pr(X3 U XX- 1
IIII E PrCA)
I
X= 1
J O .
W
Excluyentes ↑ S ↑
PX()
· Pr (A)
= Pr (X>3) + Pr (XX- 1) 1 - PvCAS
⑧
= 1- Pr(X13) +Pr(XX- 1)
= 1 - Fx (3) + FX(- 1)
G ↑ E
= 1 - (1 fe] + /1 e)
Ejemplo : Una uma contiene 3 canicas
=e = 0
.
2088 azules, 2 rojas y 4 blancas Se extraenL
2 canicas al azar sin sustitución. Determinar
es le)
=
Flet Let ,
xo la función de probabilidad de la variable
aleatoria indicador del evento "Las 2EÉ,
0 cancas extraídas son del mismo color"
= 1 Distribución de ·
⑧
·
Laplace ⑧
Gráfico de la urna
·
A : "Iésima canica azul". Lo anterior, si X es discreta
Bi : "I ésima canica blanca".
Ri : "ésima cantea roja" Ahora, si X es continua :
↓ = 1, 2 - Porqueson 2 extracciones
X
EXIALES : E , paraE
Pr(A2(Al
A2 : 2/8 : PrCAzIAl I S
o, para A
R2 : 2/8 : Pr(R2/AI J
Al B2 : 418 : Pr (B2/A) O Así mismo, la distribución de probabilidad
Pr(Ai) A2 : 318 ·
O "total" de X se puede obtener a partir de
O R1
R2 : 1/8 ↓ las condicionales como:
Pr(RI) B2 : 418 O
A2 : 318 O
Pr(B1) BI R2 : 218
: PX(7) = PULASPXI() +Pr(APXIACCES
O I I
B2
Pr(B2/Bi)
: 318 : Pv(B2/B) I ↳ si x es discreta.
Pr(A1) = 319 5x(2) = Pr(ASSXIAL) (AXIALES
,Pr (R1) = 2/9 I
Pr (B1) = 4/9 ↑ si X es continua.
Pr(X = 1) = 3 . + . . =20 o En general, si l, 2,..., An son una
partición de 1,
se tiene que:
Luego : PX() = (1,10,xce
PX(z) = PLASPXIALE)
X = 1 I i = 1 I
E
↳ X discreta
↑ f
PX(2)
5x() = "PLAISFXIrilas
&
13/18 I
[ = 1
I
·
5/18 · X continua.
E
D f Ejemplo : Sea X una variable aleatoria
discreta con punf :
Distribuciones de Probabilidad Condicionales
Lo Truneadas) -x = 2 - 112
,
112
,
1
,
2
,
33
ta !
Sea X una variable aleatoria y sea A un
evento arbitrario relacionado con X. La Hallar y graficar :
/El
(E)
distribución de probabilidad condicional
Lo truncada de X dado A se define como: Inicialmente:
PX(7)
PXIALES :
PA,Para Ent ⑧
↑ ↑ ↑
0
.
2 0
. 2E O
0. 4
O:1 o 0
.
1
&
- in 1 2 3
E
Pr(IXIEl) = Px (-112) +py
(112) + PX(1) = 0
. 7 ·5x(x2 (z) = X, El
E
E
↓
0
, 0 .
1
fPXIIII =
PLE, ER
,
FXIXE()
3
I -
·
PXIIIEl = 0.27,El heS
G O. M
1 -
↑ ↑
0. 110
.
7, E = 1
0 E f &
S
Ejemplo: En cierto lugar, la temperatura
PXIXIEl
y la luva están relacionadas de la
·4/7 siguiente manera: Cuando llueve,
la temperatura (2) es una
217
&
1/7 variable aleatoria continua con
↑ ↑ ↑
E
pdf : 116, para 1521.
- 1/2 1/2 I Cuando no llueve
,
la temperatura
(C) es una variable aleatoria
Ejemplo : Sea X una variable aleatoria continua con pdf: 1/10, para
continua con paf : 16 26
.
Si la probabilidad de
que no llueva triplica la probabilidad
fx(z) = 2x
,
0= =1 de que llueva,determinar :E 0
,
0
.
U
al La probabilidad de que la temperatura
Hallar y graficar FXIX 112() Supere los 180C.
fx(z) ↳: "Leve", = "No llueve"
II" X : "Temperatura" (OC)I
&IVTie Pr(L( +Pr(L) = 1
-
P= = 3Pr(L)
Pr(L) +3 PULL) = 1
5X1() : FES , EERL · 4Pr(L) = 1
E
J
,
O
.
W
Pr(L) = 1/4 + Pr(L3) = 314
= E2 sEX
5xi(xs = 2
15 = x = 21
0
,
0
.
4
0
,
0. 4
5
x1 =
L ,
18 = z = 26 c) Determinar y graficar la densidad
de probabilidad de la temperatura (C).
O
,
0
.
W
fx(2) = Pr(L) fxiz() + Pr (L)fxic()
- : 5 xiL(z)
1-
-
: fx/L(z)
1/10 ·5xlz) : +2 1 ,
1EEe
8 ig i i X(OC) O
,
0. w
Pv(x > 18) = Pu(L)Pu(X>18/L) = 2p ,
1= x =21
+ (0 ,
16= z =2
+Pr(L)Pr(X > 18/LC) S
0
,
0
.
U 0
,
0 . 4
= xitz · fx(x) =+ 213
,213
+
216
, 212
=
+Al E ¢x
+ =s o I: Función identidad o función uno
716e
= 3/40 I
5x(z) [oe]
: FX(E)
--
112----
= + +3 = 324 = 29 = 0
.
7 ·
i 202
↑
40 18 36 [0[]
b) Si la temperatura supera los 18°C.
¿Cual es la probabilidad de queesté
lloviendo?
Pr(L/X > 18) = ?
· Pv(L) Pr(x > 18/L)
Pr(X>18)
=14 Exilkee
=18 ¢x
=10.e
= 0
.
1724