Probabilidad y Procesos Estocásticos3

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Tercer
Corte
29-05-2023 · Luego, la F de X será :
CAPITULO 5
.
DISTRIBUCIONES DE
PX(X)
PROBABILIDAD ESPECIALES PX(x) = lop
,
X = 0
rop
P
P
,
X = 1
Hasta el momento, hemos trabajado
S
O
,
0.
2 ↓
X
distribuciones de probabilidad arbitrarias. O 1
Distribuciones Especiales Aplicadas a Si XBernoulli (p)-X es una variable
la realidad aleatoria Indicador del evento "Éxito" .
mBernoulli Características de la Distribución Bernoull ,
- Experimento aleatorio con des posibles ~ Bernoulli (p)
resultados : Éxito o Fracaso - Media : EX)= (x) = 0 (1-p) + ILp)
- La probabilidad de éxito será el único ↳
parámetro del ensayo : p, dondeEl .
E(X) = P
- Varianza : Var(X) = E(X) - [E(X)]2
= Pr("éxito") ,
lop = Pr("fracaso") = xpx(xs - (p)
-Cualquier experimento aleatorio se = 02(1-p) + 12 p - p
>
puede reducir a un Ensayo Bernoulli, en = p - p2
términos de la ocurrencia (no ocurrencia ↑ Var(X) = p(1 -p)
de un evento de interés
.
Distribución binomial
Distribución Bernoulli
-Suponga que se realiza una cantidad
- Suponga un ensayo Bernoulli con conocida n deensayos Bernoulli idénticos e
probabilidad de éxito p . independientes,
cada uno con probabilidad
- Sea X la variable aleatoria discreta de éxito p.
que registra el resultado del ensayo - Sea X la variable aleatoria discreta que
Bernoulli así : representa el "número de éxitos" obtenido
en los n ensayos Bernoulli .
X = { ,
si el resultado del ensayo es Éxito-Se dice que X sigue una distribución
, si el resultado del ensayo es Fracaso binomial, de parámetros n y p,
lo cual se
simboliza como :
- Entonces X es una variable aleatoria
binaria con recorrido ex = 20, 13 y X~ binomial (n,),n, El
probabilidades respectivas [1- , p >
· Se dice que sigue una distribución - Función de probabilidad de la
Bernoulli con parámetro ,
esto esi distribución binomial :
XBernoulli (p) Sea Xbinomial (n, -PX(X) = ?
· Recorrido de X : Rx = 20, 1, 2, 3, ...
n3
Px (0) = Pr(X = 0) = Pv (Fi1F21
...
1 Fn) (1) = 6 - ¿Quésignificasde
Fi Fracaso ; En : Éxito Significa que hay 6 maneras
de elegir 2 objetos de un
- Pr(F , JPr(F2) ... Pr(En) = 4-pJM grupo de sin sustitución
a -
y sin importar el orden.
1 - p 1- p
...
1. p
I M
PX(1 = Pr(X= 1) = PrJE 1 ... IF :Pop A B Quiero elegir 2 letras
n n - 1
E E
... /F :PLIP) C
-> sin sustitución y sin
N
D
importar el orden. De
Eventos F/F(E100 JF cuántas formas se
:
excluyentes 1 .. IEe
puede hacer?
&A
,
B3
,
CA
,
C3
,
E
,D3 ,
EB, CY
EB
,
D3
,
EC
, DY
- np(1-p)
4- -
123 U 6 Formas : ()
PX(2) = Pr(x=2) = Pr) Ele(f) ... IF
IF Características de la distribución binomial
Sea Xubinomial (n
, plEFE ... LEIES -Conexión con la distribución Bernoulli :
-(n(p (1 -p)n-2 1 (2(314/516/7/8/9/10/11/12
de e
...
↓
↓ Y12
1001000100 1 0
En la calculadora : n[r- (nu
~ Bernoullip), i E El
, ...,
n
En general: = Pr(X= X)
= ((p(1-pjnx Luego Di , donde 1,2,..., yn son
variables aleatorias iid con distribución
Con XEE0
,
1
,
2, n3 Bernoulli de parámetro p.
- Coeficiente "Una variable aleatoria ~binomial In,pldonde : (n=n X : binomial se la puede interpretar como la suma de
En combinado n variables aleatorias cid con distribución
con X Bernoulli (p)".
61
= 6! = 6 . 3= 13 -Media : El : EX(): (/p Copy↑(22) =
16-25 : 2 : 4 : 2 : 2
Otra forma : EX) : E) i) : Elite + ... +n)
= ni = 1 = (n) = ELY , J + E(yz)+...(8) = 4 0 : nit ... + E(Yn)
= p + pt ... +p
=
ninti : =n = (
= p
(n) = n 1 ! C:
= UP
-Varianza : Var) = ELX) - [EX)]2 ~ binomial (n = 3
,
=23)
=Ex(P LIP
- (np) - Dispendioso Px(1) = (y(p
+ (1-p(n
x
,
x E 30, 1
,
2:13
Otra forma : Varl) = Var) i)
= var(Yi
- PX(x) = (2)(3)x(z (3
- x
2 = 1 Con EEO, 1
,
2
,
3, 4
,
5
= PLID
Con = 0
; PX(X =0):
= p(1op) 243
Con X = 1 ; PX(X = 1) = 10
- Var(x) = up(1 -p) 243
Con < = 2 ; PX(x = 2) = 40
Ejemplo : Al lanzar cierta moneda cargada, 243
se tiene que la probabilidad de Con <= 3 ; Px(4 =3) = G
Obtener cara es el doble de la 243
probabilidad de obtener sello
.
Con X = P j px(x =
4) = 80
243
9 Determinar la función de probabilidad Con =5; PX(5) : 32
de la variable aleatoria X "número de 243
caras al lanzar 5 veces la moneda"
PX(X)
b) Determinar la media y la varianza de
X
.
el Calcular la probabilidad deObtener
al menos 3 caras al lanzar 5 veces
la moneda
.
I
1. ... x
d) Calcular la probabilidad de Obtener J 12345
a lo sumo 3 sellos al lanzar 8 veces
la moneda
.
MO(X) E <3
,
43 : Bimodal
el Si en los primeros 3 lanzamientos
no hubo caras, cual es la probabilidad b)ELX) = p = 5(z) = 1deque en los 4 lanzamientos siguientes
haya al menos una cara?
Var(x) = p(1p) = 3(z)(z) = 10
Es3
- 22 + d :1
e
c) Pr(X 2 3) = px(3) + px(4)PX(3)
= px(x) = E (2)(3) (z (3
- x
X = 3 X = 3
a= "número de caras al lanzar 5 = 80 + 80 + 32
veces la moneda" 243 243 243
= "número de éxitos en ensayos Bernoulli" = 192/243 = 0
. 7901//
d = "número de sellos en 8 lanzamientos = "número de caras en los primeros
= "número de éxitos en 8 ensayos 3 lanzamientos"
Bernoulli independientes e idénticos" Y = "número de caras en los 4 siguientes
lanzamientos"
p=1 = n = 8
Xubinomial (n = 3
, p =2/3)
zubinomial (n= 8
, p = 5)
Pr(ZE 3) = OPECE)
px(x) = (3x)(3)x (1)
3
XE50
,
1
,
2
,
33
Donde : Pz(z) = (8)(+=(28 ~ binomial (n= 4
, p = 2/3
con zE20
,
1
,
2
,
3 ...,83 (2) = (2)(z)(4E0
,
1
,
2
.
33
Pz(z =0) = 236
6561 Las variables aleatorias X y Y son
Independientes .
Pz(z= 1) = 1024
6561 Luego : Pr(921/X = 0) = Pr(y21)
Pz(z = 2) = 1792 = (5)(3)(5)
6561
-Aplicando complemento :
Pz(z = 3) = 1792
6561 1 - Pr(Y < 1)
-> Pr(z = 3) =
1792 + 1792 + 1024 + 256 = 10 Py(0) = 1 -((
6561
= 4864 = 1
! = 80
6361 8Il
= 0
. 7413/1
Pregunta adicional
e /413/6/7/ 7) Si la moneda se lanza en 10 ocasiones
-e y se obtienen 6 caras, cuál es la probab
Informa ? de que en los 3 primeros lanzamientos
el Le *I no hayan salido caras ?
Problema Y
O caras
I *I -
X
· 12/3/4/3/6/7/8/910
Seran dos variables independientesy
teniendo un condicional en este caso,
G caras
la información del problema respecto
a la X vista en el dibujo, sería 1 12/3/41516/7/8/a/10 z = x+ y
irrelevante
.
-
X Y
X = "número de caras en los primeros = (8)(5)
= 1 . 7 =lanzamientos" I
Y = "número de caras en los últimos 7 (18) 218 38
II
lanzamientos"
= X+: "número de caras en los 10 31 -03-2023
lanzamientos" Distribución Geométrica
Suponga que se realizan ensayos Bernoulli
Xubinomial (n = 3
, p = 2/3) idénticos e independientes demanera
↑ ~ binomial (n = 7
, p= 2/3) reiterada
,
cada uno con la misma probab.
zubinomial (n = 10
, p = 2/3) de éxito p .
SeaX la variable aleatoria
discreta que representa el número de
Px(x) = (3)(z) (13, EE0
, ..., 33 ensayos que se deben realizar hasta lograr
el primer éxito. Se dice queX sigue una
Py (9) = (2)(z)3(17 ,
yEE0, ..,7 distribución geométrica con parámetro p,
esto es :
Pz(z) = (10)(zz( 10-
,
zEE0:, 10 ~ geométrica (pl
· pmf de la geométrica:
X
,
y son independientes
- Recorrido :x = El , 2
,
3, ...,
Pr(X =0/z = 6) = Pr(x =0(x+y = 6)
- Px(x) = Pr(X = X)
,
E[1
,
2
,
3...,03
Aplicando Bayes
PX(1) = PrCEI) = P
PrLX=0) Pr(X* Y = 6/X =0 Px(2) = Pr(X =2) = Pr(FIREz) = Pr(FI) PULEz)
Pr(X + Y = 6)
1.
= PX(0) Pr(0 + y =6/X =0 = (1 -p)P
Pz (6) px(3) = Pr(X= 3)= PV (Fi F2 E3)
= Pr(F1) Pr(F2) PrLE3)
= PX(0) Pr(Y =6/X =0 = (1-p) (1-p) p
Pz(6) = (1 - p)2 p
= PX(0) PV (Y = 6) PX(X) = (1-p) .
p
Pz (6) -
e léxito
= PX(0) Py(6) Fracasos
Pz (6)
= (8)()( . ()()
· PX(X) = p(1-p)
,
E41
,
2
.
3
....,
83
/
PX(X)
(18)(5)(5)V
11/IIIII
123456789101112
Características de la distribución a número de veces que juega Ana
geométrica : Si X geométrica (p), entoncesi hasta ganar la lotería"
= "número de ensayos Bernoulli lid
· Media : E(X) =I hasta lograr el primer éxito"
P
X ~geométrica (p = 0
.
002)
·Varianza : Var(X) = 1-p
↓ p2
I XPLDT 0
.
998
PXLX)
Si 20
188-1
Pr(X = 100) = PX (100) = 0
.
002(0
.
998)
/IIIIIIIIIIIII = 0
.
00164
PX(X)
b) Pr(X <100) = PX(1) +px(2) + ... + px (99)
= PX(X) = =0 .
002 (0.
998)
Sil X = 1X= 1
11111000
X
Suma geométrica
:
r =
19-pt
1 - p
Ejemplo : Una lotería juega todos los
días. La probabilidad de que
Ana gane la lotería en un día -> 0
.
002 (0.998) 0
.
998x
Cualquiera es 0
.
002
.
Si Ana X = 1
compra la lotería todos los días,
determinar : : 0.02 0
. 998-0
.
998
0
.
998 I 1-0998
99 + 1
I
a) La probabilidad de que la gane en
el día 100
↑
= 0
. 998-0 .
998100
b) la probabilidad de que la gane 8
.
998
Antes del día 100
. = 1-0
.
99899
e) La probabilidad de que la gane = 0
. 1797
es
después del día 200.
d) Si en los primeros 100 días no la c) Pr(X >200) = PX (201) +px(202) + . . . +PX(0)
ganó, cuál es la probabilidad de que la &
gane antes del dra 250? = 20 . 002 . 0
.
998
el Cuál es la probabilidad de que Ana X = 201
gane la lotería por segunda vez el día
225 ? = 0
.
002 . 0
.
9980
.
998
X= 281
G
Cada vez que Ana juega la loterra se = 002 0
. 998201-0 .9980)tiene un ensayo Bernoulli idéntico e 8.998 I 1-0998
independiente de los demás,con p = 0
.
002.
= 0
.
990200 0
Otra forma: = 0
.
9981 -0
.
99250
Ana gana la lotería por primera vez 1 - 0998
después del día 200" 0
.
998101-0
.99800
= "Ana no gana la lotería ninguna vez 1-0998
en 200 días"
: 0
.
99810 - 0
.
998230
= 1-0
.
998149
·Y = "número de veces que Ana gana 0.
998101
La lotería en 200 días"
= 0
. 2379//
~binomial (n = 200, p= 0
.002)
e "Ana gana la lotería por segunda
Py(y) = (2000 .
00230
.
998200
- y
vez el día 223" "Ana gana la Lotería
una vez en los primeros 224 días y
gana la lotería el día 225
Pr(X>200. ) = Pr(Y =0) = Py (0)
Z: "número de veces que Ana gana
= (2000.
00200
.
998200 la lotería en los primeros 224 días"
= 0
.
998200 = 0
.67/ Zubinomial (n = 224
, D = 0
.
002)
d) Pr(x 250/100) W : "Variable aleatoria indicador del
evento Ana gana la lotería el día
= Pr(X250 X > 100) 225"
Pr(X100)
~ Bernoulli (p = 0
.
002)
= Pr (100XX < 250)
Pr(X> 100) Pr(Z = 1 1 W= 1) = Pr(z= 1) Pr(W = 1)
= 2249 px(x) Eventos independientes
-10 X() = P(1) . wll = (22) 0.
0021
. 0
.
998224-
X = 101
· 0
.
002
249
= 2 0
.
002-0 .
998-1
X = 101 = 224 . 0
.
002: 0
.
998223 . 0
. 002
&
-
2 0. 002-0.9984-1 = 0
.
0008556/1
X= 101
05-06-2023
& Distribución Uniforme- 0.00 9 een
Sea X una variable aleatoria continua
& con recorrido x : [a,b], donde :
0.0020 .4e
- 8. Se dice que sigue una
distribución uniforme en La,J si su
densidad de probabilidad es plana = 4b2 +4ab +42 -392 - Gab - 3b2
(constantes sobre todo x = [a,
b)
,
así : 12
= b2-2ab +a2 = (b - a) 2
X-U(a
,b) 12 12
Densidad de probabilidad :
·Va = -a : Varianza
12
FX(X) Il
Mediana : 30 = atb
↑ I
↑
" i b- a 211
a b x
Usos comunes :
- - Generación de números aleatorios
en computadoras .
fx(2) = I -Generación de distribuciones deE b - q
,
a = x=b
probabilidaarbitrarias La travésde
z
,
8
.
U la transformación integra
- modelamiento del ruido de cuantificación
Media : EX)= X en la conversión analógica/digital de
b & señales.
· ba * = asla - Modelamiento del error de sincronismo
en la fase de la portadora recuperada
en el RX en un sistema de comunicación.
= =() = ba : Media
2(b-a) 2(b+a) 211 Ejemplo : Se elige al azar un número real
en el intervalo -1, 61. Determinar :
Varianza : Var(X) = E (x2) - [E(X)]2
9) La probabilidad de que el número
5x(dx - (a+b) elegido sea negativo .
d) La probabilidad de que el número
=J - (ats
e elegido no difiera en más deuna unidad
del número 3
.
= x3 a)
↑
3 (b-a)
- (a) ! E
= b3 - a3
-
(a +b)2 X = "número elegido V
.
aleat Continua
3(b -a) 4 ex = [ - 1
,
6]
= (bx9) (btaba) -
Catb) > -Al azar : ~ 21
,6]
3(bxa) 4
fx(x) =
1
= b2 +ab +a
-
a +2ab+b2 6- (1)
=
/
,
EXEG
3 4 FX(x) = 1/7
,
1
,
EXEG
fx(x) F (w)= Falu) ,
dondee
I
-> I E
7
Fwlw) = pa(wk) - p ca
Pr(X0= =X Ahora :F (w) es sacar la derivada
a Flw), es decir,a la derivada de
la acumulativa.
I
-
7/ fw(w) =
1
C(b-a)
bPr(1-31 = 1) = Pr (-18 X- 3 = 1)
= Pr(-1 +3 x-3+3 = /3) Conclusión : WNU (catd
,
cb +d)
= Pr(2 X E 4)
= = Sk La transformación integral
= El = Sea X una variable aleatoria continua
Il con po Arbitraria () y d FX) .
Sea y la variable aleatoria continua
Teorema: Sea ~U, bJ. Sea u la dada por la siguiente transformación :
variable aleatoria dada por :
W = ext
,
donde c y b son Y = FX(X)
/
constantes y CO. Entonces
~ también tendrá distribución Entonces y tendrá una distribución
uniforme con: uniforme en el intervalo 20, 17, esto
es : In U20, 17
~+, btd] ,
si 20
Aplicación : (simulación de variables
w~ U(c b +d
,
ca +b]
,
sicx0 aleatorias)
Demostración : ~U2, J, () = pa 5 : y = Fx(X) ~ U[0
,
17
,
entonces :
a = x= b FX (Y) =F (FX(X)), donde FXL .J es
↓ b la inversa de
Sea =Xtd, con O Fx (y) = X FX(c)
↓
tw =
? Es invertible
Cb+b
L
((5(x)) = X alx = x
mi f(f (X)) = X Inex = x
IIIIIIII X
cald 1
ex
&I
-> X= x(), donde U[0
, 11/
Con esto, puedo generar realizaciones - - 2x = In (1-y)
de la variable aleatoria arbitrara X + X = (n(1y) + X = 1 (n(l y
a partir de la distribución UCO
,
11
.
- 2
II
Procedimiento para generar números 3. En Matlab:Y: rand (1
,
10
.
000);
aleatorios con distribución de probabilid 7 histogram (Y)
arbitraria FX() a partir de una
fy(y)
distribución uniforme U20
,
11 :
1. Determinar la d de X (es decir, FX)
Y
2.Calcular la función inversa de FXX)
,
z I
esto es, FX(. ) .
En otras palabras, despejar
X de la ecuación : y FX() 4. En Matlab: X = -0
.5 log (1 -y);
3.Generar números aleatorios con Histogram (X)
distribución 20
,
17, o lo que es lo mismo, fx(X)
generar realizaciones de una valeatoria
Y con distribución UCO
,
11
.
4. Aplicar la transformación X = Ex (Y)
sobre cada realización de 2 .
7
G
Ejemplo : Generar 10000 realizaciones Ejemplo: Generar 10000 realizaciones de
de una variable aleatoria X con pas una variable aleatoria X con pdf :
5() =2, para 20, usando la Fx() :2, 20 y mostrar que
distribución U20
,
13 en MATLAB. E(X) = 0
. 5
2
fx(x)
E(X) = >
, pero :
- fx(x) = 2e
-2
,
X20
E1 2 = lim +
Xi
7
Distribución
n- & U n + 0 Hi= 1
exponencial E(X): ( = 2 x
1 . Fx(x) = ? = 298xexdx = +
2
FX(x) = PXX) = 5x() dz
KitX2t ...+10000 = 0
.
5
=2 z : -e
= 1 ex
,
x 10000
En Matlab: Esum(X)/length(X)
· Fx(x) = 1 -e2x
,20
Ejercicio : Sea X una variable aleatoria
2
. 9 = Fx(X) -X= ? con la pdf mostrada en la figura:
fx(x)
y = 1 - e
- 2x
+ y- 1 = - e-2x I
- e
-2x
=
1 - y I
7
2
as Generar (en Matlab 5000 realizaciones que X sigue una distribución normal con
de X usando la transformación integral . parámetros MER y OER si su densidad
b) Calcular el valor aproximado de E de probabilidad (d está dada por :
a partir de la media artmética de las
- (x-u)2
realizaciones y compararlo con el valor 5x(x) =
1
& 202
verdadero de EX). 0 2π
↓ ↓
Solución M : parámetro de posición
O : parámetro de escala
FX(x) = SExH ,
OXE2 Asi : XN (M
,
02)
0
,
0
.
1 fx(x)
E(X): ( = e(Ex +k·o'c p
M-- = xxx e
· "Campana de Gause"
:E(= (13 + (2 !. f
u, < 12
↑
-: i
= - + 2 = -p :
2
: Medial .
M2 X
07-06-2023
Distribución Normal r-También conocida coro distribución -or
Gaussiana
.
- Considerada la más importante de
X
las distribuciones de probabilidad Características de la distribución
especiales. normal
- La suma de muchas variables Sea X~N(u
,
0
aleatorias sid converge a una distribución
normal (teorema del límiteCentral · Media : EX) =
U
· modela una gran cantidad de
fenómenos aleatorios de la naturaleza Varianza : Var =
82
y de la cotidianidad .
- Muy usada en la Inferencia Estadis Moda : MOX= U
tied
.
· Muy utilizada en Telecomunicaciones. Mediana: =
Descripción matemática Propiedades de simetría de la
Sea X una variable aleatoria continua distribución normal :
con recorrido x = 10+o)
.
se dice D
· Q(t) =Pr(s- ez
in
x
I ↓
IIIIII ·
... E(t) + Q(t) = 1
u- a u u+ a
-
a a
Q(t) = (- t) I * t EIR
· Pr(x = u-a) = Pv (X2 u+a) E(t) = Q( t)
· Pr(u - a(X = M) = Pr(u = X = u+c)
· Pr(u - a =x = u+a) = 2Pv (u-a = x = M)
= 2Pv (M = X = u+ a)
= 1 - 2Pr(X < u - a)
= 1 - 2Pr(x u+a) ene
Esto,es válido para todo a Et
↑
---------- -
Distribución Normal Estándar
-Sea 7 una variable aleatoria normal -- 0. 5
de la forma:
EnN(0, 1) - E(z) = 0
Var(E) = 1 : ELL)
Se dice quez sigue una distribución : Q(t)
"Normal Estándar"
- 22/2 (0) : 0 ; (0) = 1
5z(z) = E
-
2π
Q(00) = 1 j Q(0) = 0
2π (0) = Q(0) = 0
. 3
jar Transformación Lineal de una variable-
aleatoria normal
8 Sea ~ (,2), y sea y la variable
a leatoria dada por : = axtb
,
donde
Función y Función Q : a y b son constantes, y a 0
,
entonces
,
y también será normal con parámetros :
Función : Es la función de distribución
acumulativa () de la variable y -N (am+ b
,
a 02)
,
aleatoria ~ NCO
,
1)
,
esto esi
Teorema de Estandarización
= (t) = Pr(z = t)= -22/2dz Sea x una variable aleatoria normal de
↓
& e2π
I
la Forma : XN(M
,
02)
Función : Complemento de la función Para calcular la probabilidad de un
I evento arbitrario EX I EX 23 se tiene:
PIEXES=S a 8
.
64 Watt.
- (X-u)2
=Sdezare de
X : potencia de la señal que llega al RX
(watt]
b
Pero esta integral no X~N (10,
4) h= 10
de puede resolver en forma 02 = 4 + 0 = 2
analítica
5x(x)
Por otro lado:
·NiP(X / EXEX2) =Pr(XIMEX Exalyo . X
Ill 1 I
2
pero la variable aleatoria : Pr(x8
.
64) = Pv /X-1 < 8
.
6P -
MO
X=
u
=E X M
~NCO,
Pero X -M = zN(0
,
1)
J
·E() = E(X)El) = u-r = Luego :
J PV(X <8
.
64) = Pr(z < 8
. 6410)
· Var(x)= Var(x-u) = Varka
2 = Pr (zx - 0
. 08)
= 02 =
1
= (-0 .68) : Buscamos en la tabla
02 el valor-0 . 6 y buscamos
0
. 08 para completar-0. 68
por tanto : = 0. 2483/
Pr(XIEXEz) =Pr(EEu S b) Calcular la probabilidad de que la
G potencia recibida sea inferior a 7
.
000
donde =X ~ (0, 1) , Luego mwatt o superior a 11
.
8 Watts
7000mWatt = 7Watt
PIEXE2) = Eu) - E (XI
Pr(X <7 UX > 11
.
8)
Ejemplo : La potencia (en Wattl de
la señal que llega a un receptor ninalámbrico es una variable aleatoria
normal con media 10 y varianza 4.
Determinari 7 ig
a La probabilidad de que la señal
recibida tenga una potencia inferior Pr(XX 248) = Pr(x7) + Pr(X > 11
.8)
Lo anterior, porque son eventos de Cual es la potencia recibida que
excluyentes supera al 90 % de los casos?
-pr (7 = 110) + Prjes11 .80)
I
Pr(zx - 1
.
3) + Pr(z > 0
.
9)
Pr(X ( 2) = 0
.
9
- E (1 .
3) + 1 -Pr(zE0 .9)
+ (-1 . b) + 1 - (0.
9)
-
pr(z < 2
-10) = 0
.
9
=
0
.
0668 + 1 - 0
.
8159 (2 -
10) = 0
.
9
= 0
.2509/
c) Si se sabe que la potencia recibida
((2-10)) : - (0 .4)
es inferior a la medía
,
cuál es la probab
de que dicha potencia sea superior a 2-10 = (0
.9)
9.3Watte inferior a 17
. 3Watt ? 2
Pr(X >9. 31X 17
.3/XX10) 2 - 10 = 2 (1 .3)
Pr (9. 5 (X < 17 .3/X = 10) =
? d = 2(1
. 3) + 10
d = 12
.
8
//
= Pr((9
. 5 < X < 17
. 3) 1 XX10)
Pr(X X 10) 14-06-2023
Ejemplo : XN (10, 4)
= Pr (9
. 5 < X< 10) ↓
Pr(XX10) Potencia
Recibida
Entonces : Pr (9 .
5-10 < x 10-10)2 2 Cuál es la potencia recibida que
Pr(z < 10 -
10 supera al 90% de los casos ?
Z
= Pr (-0 . 25 < 2 <0)
Pr(z <O) #I/
= (0) - (- 0
.
23)
-
CO)
Pr(XE d) = 8
.
9
= 0
. 5 -0
.
4013 = 0
.
1974
//
0
.
5 + Pr(x2n = d -1) = 0
.
4
O
· NCO
,
1)
-⑦(ju) = 0 .
9 = Pr(x
- 1 < 12
- q (2
- 10) = 0
.
9 p = Pr(z > 1) = 1 - ECI
p = 1 - 0. 84/3 - p = 0
. 1587/
h - 10 =
"
(0
.
9)
2 Sea 7 la variable aleatoria discreta
que representa el número de tomas
- 2 - 10 = 2 (1
. 28) Con una potencia mayor a 12watt
d = 2 (1
.
28) + 10 entonces :
d = 12
. 56 Watt
/I
Trbinomial (u = 5
, p= 0
. 1587)
e Obtener la densidad de probabilidad
de la potencia expresada en mu. p+
(t) = (3) 0
.
1387 0
.
84133-
↑ = "potencia recibida en mu" tE 20
,
1
,
2
,
3
,
4
,
53
X ~N (10
,
4)
-
(x- 10)2 La probabilidad buscada es : P22)
- 5x(x) = 1 2(4)
C
22π Pr(T22) = 1 -Pr(T<2)
= 1 - p+
(0) - p+
LI)
Y = 1000 X = 1 (3 0
..
138700 .
84133
Y ~ N (1000ELX)
,
10003 Var(X)) ·
(5) 0
. 158700 .
84134
Y~ N (10
.
000
, 4000.
000) = 1 - 0
.
4214 - 5 (0
.
1587)(0.
8413)4
- (Y- 10.
0003 = 0
. 18108//
FY(y) =
I
8: 000. 000
E
L
2000 2π I
La gráfica aproximada es :
P + (t)
# Si se hacen 5 tomas independientes
de la potencia recibida, ¿cuál es la
probabilidad de que al menos des de I
ellas superen los 12 watt? I
0 . 23 d s E
⑧ ⑧
& Teorema : Sean X1, X, ...,
Xn variables
v , aleatorias normales e independientes,
XXX X X cada una con parámetros Mi y 02,
Cada toma de potencia puede ser vista esto es,~ (Mi
,
8:), para
como un ensayo Bernoulli idéntico e El, 2, ..., . Sea y la suma de die has
independientedel dersenen 12 variables
,
esto es :
= = Xixat... Así R ~N(4
,
100)
Luego:
Entonces: Y Mi in) -Propiedad Pr(RIO) : Pr(RoM 20
, reproductiva
Ejemplo: Sean las variables aleatorias : = Q(- 0
.
4)
= 1 - 1 - 0
.
4)
XN(0
,
4)
,
Y N(1
,4) = 1-0. 3446
= 0
. 6554/
Si X
y Y s independientes, calcular
la probabilidad de que el promedio Ejemplo : El punto en el que cae una bala
arimético de dichas variables sea inferior lanzada por un francotirador es un
a 1 vector aleatorio continuo (X
, ), donde
X y 4 son variables aleatorias ad con
W = X+ Y distribución normal estándar, medidas
2 en metros. Determinar :
x + Y ~N(0- 1
,
4 +4) a La probabilidad de que la bala caiga
x+Y N( - 1
, 8) a menos de un metro del origen
x+9 -N((( , (E)(8) Y
I
w~( 1 , 2) ...... S- I
-....
Pr(W1) = Pr (We <10LE
- (3) = (1 .060 -
.
0
. 8554//
-,
1
,
X
-
- 1
A Pr(3X - 420) = ?
Sea R = 3 X-4) X
,
y ~ NCO, 1)
R será normal con media y varranza
dadas respectivamente por: Pr(x2+ y2' = 1) = ((5x,y(, 3) dydx
x
-+y=
E(R) = E(3x- 4y) = 3ECX) - 4ELY)
= 3(0) - 4(- 1) 5x
,y(x,3) = 5 x(x) - fy(y)
=
4
/ -
x2+y2
: g-x3/2
.
p
-y
1 e2=
Var(R) : Var (3x-49) 2IT 2π
= Var (3x) +Var(-44)
-
x2+y
= 9 VarLX) + 16 Var(Y) -preten ,se= q(4) + 16(4) = 100
/
Transformando la integral a coordenadas FR :Pr(E) , 0
polares :
I
&
X = Post II/ .
x
Y Y =9 send
, T P = xx+y
x
tand = 3 -FRL= free
e
y
Luego : Pr (x +y El
Eje- ele
bodd
esde dedd
-deee
d poe
I V= 2/2
me du =9(8
I u = 02/2 u0 = 0
du = P (P u(n = 12/2
10 : O
12/2
ul 1 = 112 FR(r = ! edu =
-el
= Se d ·ev) = 1 - e
- 172
,, 70
= 1 -e = 0
. 3934/
Así : S(
= FR(= (1er
b) Sea R la variable aleatoria "distancia Fr(u= , 10,
que separa a la bala del Origen". Hallar
la pdf de R
.
↓
R sigue una distribución Rayleigh
5R(r)- M
v
R = x2 + y 2, Cual es la probabilidad de que el
I
tirador le acierte al objetivo mostrado
&R = 10
,
+o) en la figura. Y
Fr()
= Fr(u) ,
donde:
- IY
FR(r) = Pr(REr)
Pr(-1EX El n -zEY = E) con una distribución de probabilidad
PX(;) 5 (X;)
, dependiendo del
Event Dependientes
caracter discreto o continuo de X).
El Proceso Estocastro de Poisson
= Pr(-1EX = 1) · PrC-112EYE 1/2)
Es un proceso estocástico de tiempo
= (1 - (1) · (0
. 3) - -0. 3) continuo y amplitud discreta, que
=
0
.
8413 -0
.
1587 · 0
. 6913-0 .
3083 consiste de una secuencia de incidentes
= 0
.
6826 (0. 383) Lo sucesos) puntuales que ocurren de
= 0
. 2614 manera descoordinada a lo largo del
Il tiempo (por ejemplo : accidentes da
d) Cuál es la probabilidad de que el tránsito, llamadas telefónicas, fallas
tirador leacierte al objetivo de la en una red, llegada de clientes a un
figura ? banco, paso de vehículos por una
intersección, etc)
.
.li O Tiempo
& · · ⑳ ⑧ · *
&&
Pr 3a
· ocurrencias del suceso (puntos en
el tiempol .
21-06-2023 Los instantes en que ocurren los
I PROCESOS ESTOCÁSTICOS incidentes(o suceso son aleatorios,
Así como el número de ocurrencias en
· Generadores aleatorios de funciones un determinado intervalo de tiempo,
del tiempo. sin embargo, el número promedio de
- Función del tiempo cuya amplitud en ocurrencias por unidad de tiempo se
cada instante es una variable aleatoria asume constante y se conoce como
X(t) "tasa del proceso Poisson", la cual
aleatoria
se simboliza con , donde EIR
.
Nota : El valor de 1 puede ser entero
¿ decimal
, y siempre es positivo.M Un proceso Poisson con tasa a satisface
las siguientes premisas :
X (ti) ⑧
↑
1) El número promedio de ocurrencias en
ti t2 t3
un intervalo de tiempoes proporcional
X() : proceso estocástico a la extensión de ese intervalo
.
En cada instante E
,
X(E) es una 2) Las ocurrencias en intervalos que no
variable aleatoria (discreta o continua se traslapan son estadísticamente
independientes. y=
3)Cualquier intervalo de tiempo puede
dividirse en ranuras de tiempo suficientemente
pequeñas, de tal forma que en cada vanura será : y ~ Poisson()
haya,a lo sumo,
,
una ocurrencia. Este
descarta la posibilidad de ocurrencias
PX(X) PXCX)
simultáneas
.
A pequeño
4) El valor de 7 no depende de la
ubicación del intervalo de análisis, sólo
depende de su extensión. (proceso 1 , 1
homogéneo) .
x x grande x
· Ilustración del Proceso Poisson Ejemplo : Los vehículos quepasan por
un peaje obedecen a un proceso
Número de ocurrentras Prisson con tasa de 2 vehículos
-
cada 3 minutos
.
-
-
a) Cuál es la probabilidad de que en
-
un minuto pasen al menos 3 venículos?
-
-
% . Tiempo
R = 2 vehículos/3mins
T
, TI T3 3mins * R= 2
DistribucióPaisson I min R= ?
Seax la variable aleatoria discreta que
representa el número de ocurrencias en - = veh/Imin
un intervalo fijo de tiempo. Se dice 3
queX sigue una distribución Paisson X = "número de vehículos en un
de parámetro , esto es, X Poisson(A) minute"
Características de la distribución poisson Xi : "número de ocurrencias en un
intervalo fijo de tiempo"
· 2x = 20
,
1
,
2
,
3
....,
+ 03
Xin Poisson( = 3)
· x() = Pr(X = X) = ex
X ! PX ,
(xi) = e
-213(213)
j xe50,
1
,
2
.... 3
para XE50,
1
,
2
,
3,..., 03 X
· E(X) = x Pr(X , 23) = Px ,
(3) + Px2(4) + ...
· Var(X) = A
· Si XI, 2, 3, ...,
Xn son variables 1Pr(x 1 < 3) = 1 - (PX ,
(0) + PX ,
(1) +PX ,(2)]
aleatorias independientes, cada una de
la forma Xinpoisson(1)
,
apoisson()
,
= 1 -E -21 (2/3/4
...
~Piso(n), entonces, la X=8 X !
variable aleatoria y dada por : = 1 - -2132 (2(3)
= 0
. 0302//X=0 X !
Si en el primer minuto no pasó X= "número de vehículos en el intervalo
ningún vehículo. ¿ Cuál es la probabilidad [11 : 00
,
11 : 03]
de que en los 455 siguientes pasen a lo Y : "número de vehículos en el intervalo
sumo 2 vehículos ? 211 : 05
,
11 : 07]"
X= "número de vehículos en el primer X
,
y : independientes
minuto"
Y "número de vehículos en los 455 Pr(X = 0 1 y = 1) = Pr(X= 0) Pr(y2)
Siguientes" = Pr(x = 0 ( [1 - Pr(y = 1)]
= PX (0) [1 - py(0)]
~Poisson(= 2/3) Variables aleatorias
YPOSSON (t = 1/2 3 independientes ~ Poisson (R = 2)
~ Poisson(= 413)
3mins 2 3 =
3min 2umins
2 min
3 = 413
Px(x) = e 21321
- = -20
. (1 - e
-
3 IO !
Py(y) :
-1129e
Yo = e
-2(1 - e
-413]
= 0
.
0996/
Pr(Y = 2 x =0)
Pregunta adicional :
5
Eventos P0U21) Aplicamos D'Morgan
Independientes = ( Pr((x=0) &(y =1))
↓
X
II I I = 1- Pr(X EO) Pr(y = 1)
I I I = 1 - [1 - Pr(X=O)) (Pr (Y =O)
J Imin Imin y 45seg
=
1 - [1 - e-2] (e-413)
Pr(Y =2) = Py(y) =2 1 12 d)Si en los primeros 5 minutos pasaron
! 4 vehículos, ¿cuál es la probabilidad de
que en los 2 primeros minutos no haya
-> Pu (y = 2) = 0
.9836/ pasado ningún vehículo?
el Cuál es la probabilidad de que entre I I IC
las 11 :00 y las 11 :03 no pasen vehículos O 2min 5min
S
y entre las 11 : 03 y las 11 :07 paseal-I C
menos un vehículo ? X
Y
X I
- -
I :03
I I It X = "número de ocurrencias en el intervalo
11 :00 11 : 03 11 : 07 10
,
27 ~ PoisSon (x = 4/3)
:"número de ocurrencias en el intervalo · Recorrido: = 20, +0)
(2
,
5)"~ PoisSON (R=2) · pdf : 5T(t) = xe x
,
+2 0
X
,
Y : variables aleatorias independientes
E O
,
en otro caso
Pr(X=0/x + y = 4)
x
FTLt)
x+ Y ~ POisSON (R = 2 +El
E
x+y ~ Poisson (R = 10
Il
·Media : ELT) = 1
*
Pr(x =0/x+y = 4} ·Varianza: Var(T) I
-
72
= Pr(X =0
-
Pr(x +y =4/X=0) - Bayes
ST(t)
Pr(X + Y = 4) : xx>
: xxX
= Pr(X =0) Pr (0+ Y = 4(X =0) X 21 : La distribución
Pr(X+ Y = 4) "L estará más concentrada
= Pr(X=0) Pr(Y =4) - hacia el origen.
Pr(X+Y = 4) Distribución Erlang
Suponga un procesoPoisson con tasa .
= 2+4134/30
*
I Sea la variable aleatoria continua que
0 ! pl (el representa el tiempo hasta la k-ésima
ex0310/34 Ocurrencia,con
.
Se dice que sigue
! una distribución Erlang con parámetros y
- 413
y , esto es : T ~ Erlang(,
X)
.
= C
e
-10131013 (e 24] · Características de la distribución Erlang :
623
·
Recordo =20en el: 81 = 0
.
1296/ E (k goxt
,
20
O
,
en otro caso.
26-06-2023
fT (t)
Distribución Exponencial k = 1
Suponga un proceso Poisson con tas . ............
K = 2
Sea la variable aleatoria continua k= 3
que representa el tiempo hasta la primera t
--
j = 4
Ocurrencia (tiempo entre ocurrencias
consecutivas). Se dice que sigue una ·Media : EL)= K / X
distribución exponencial de parámetro Varianza :Va/
j
esto es, ~exponencial (x) · Si = 1, ~ Erlang(I, ) = exponencial (x)
· Sean Ti, 2, ...,
k variables aleatorias vid,
Cada una de la forma Tirexponencial (1), =
312 o
=
1 - e
- 3/12(3)
entonces : 3
y=, ~Erank, = 1 - e
3/4
= 0
. 7134//
↓ I
T OtraForma : V= "Tiempo hasta observar
Si es suficientemente grande el primer Vuelo" (horas)
(K > 30) :
V-exponencial (x =25)
I
↓
IN
,), 3mins a horas 3160 = 1 horas
20
X(): Proceso Paisson
Sv(v) = 23-23
,
v20.
,
I Pr(V = 1120) = "Fulus bu
I - D
I
!
t 12323v
= -2310
1/20
exp(a) exp exp exp
(1)(x) (x)
= 1 - e
- 23(1120)
= 0
. 7134/-
Erlang (k = 4
,
a)
b) Calcular la probabilidad de que el 4to
Ejemplo : Los vuelos que llegan a un aeropuerto vuelo aterrice después de que se cumplan
Obedecen a un proceso poisson con los primeros 10 mins .
tasa de 23 vuelos por hora.
T : "Tiempo hasta el 4to vuelo" [min]
as Si una persona llega a las 2 de la tarde ~ Erlang(=
4, X = 3/12)
al aeropuerto, cuál es la probabilidad de que
Observe el primer atenzaje antes de las 2 : 03 ST Lt) = (f2)
* ( 40 g
- 3112t
,
20
p.m? (4 - 1) !
T : "Tiempo hasta observar el primer avión = 625 (3pt
,
+20
[min] 6- 1442
Pr(T < 3) = ? Pr(T > 10) = S FLESde
Se TLES DE
,
donde : Filt) = Dest
,
20 =12 +3 -312d{ 0
,
0
.
U
14 : 60mins 23 x: :
> 10 "El 4to avión aterriza después del
I min décimo minuto"
= En 10 minutos aterrizaron 3 o
El menos aviones"
ST(t) = 3/122 +23/12 ,
20
! ·
Emin
(2- 1) !
&
! !
Emin
Pr(T < 3) = SFLtS = = 0
.
3333
Il
!
⑳ & · !
temin] /
! min) Otra Forma :
t2min] X Pr(3) : "El tiempo hasta la segunda
↓ a ooooo o Ocurrencia es inferior a 3min"
: Seample ; X : No secumple -Pr("en 3 min hay 2 o más ocurrencias"
Sea x la variable aleatoria discreta
! ⑧ O ↑
t
X
que representa el número de vuelos en 3min
10minutos
,
entonces :
01 O
~
! 3min
↑
t
X-Poisson (X = 23/6) ↑
0010 00! · 3min
↑
t
Ahora : 60mins ↑
10mins 23 1 x =230 ! O
oo e
O ↑
t
PX(x) = 2
2516 (23/6), e60, 1
,
2, ...,3 = "número de vuelos en 3mins"
X!
~ Poisson (X = 5/4)
AS : Pr(10) = Pr(XE3) =
2516
(25/6)+
X = 0 X ! PU(TX3) = Pr(X2)
=
PXCES
= 0
.
4016/
Px(x) = e3/4(3/4)x
Otra forma : V= "tiempo hasta el 4t X !
Vuelo"Choras]
· 3/4(5/4)+ 1 - Pr(X < 2) = 1-
~ Erlang (k = 4
,
x= 25)
X=C X !
= 0
. 3534//
fu(v) =
23 4 24 p-25
,
V30
(4- 1) ! d Una persona llega al aeropuerto a
las 2 : 00m. Si el primer avión que
Pr(VE: 2 15 = 0
.
40 esa persona observa aterriza antes
de las 2 :Olm, cuál es la probabilidad
el Cuál es la probabilidad de que de que el segundo avión que esa persona
transcurran menos de 3minutos entre Observa aterrice después de las 2 :03
pm?
el 5to y el 7mo vuelo ?
= "Tiempo hasta la 2da ocurrencia" = "Tiempo hasta que aterriza el primer
~ Erlang (k = 2
,
= 5/12) [mins] avión"
R : "Tiempo entre el aterrizaje del lev
avión y el aterrizaje del ado arrón"
rexponencia =3a di en
Pr(TtR >3/TX1)
= Pr(T +R> 3 &TXI)
PUCTXI
= Pr(R >T Tl)
PrCTXIS
.
donde PULTI = SFTLS DE =SBestE
= 1 - e
- 3/12
PIR3-TTX1)
:SSTRLE,
rs ande
·
·se
=! binz en t
. eb e t
↑
= e
-
34) k
=
e
314