Probabilidad y Procesos Estocásticos2

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Segundo
Corte
12-04-2023
III
.
VECTORES ALEATORIOS
21 E
Un vector aleatorio es una colección de
variables aleatoras LXi,X2... Xn) que LLI
se observan conjuntamente ,
es decir, ex X
simultáneamente
.
También se puede definir como una -estoresaleatorios mixtos : Cuando X
función que transforma cada elemento es una variable aleatoria discreta y y
del espacio muestral & en una netupla es ma variable aleatoria continua. En
de números reales
.
este caso, x
, y es un conjunto de rectas
Un vector aleatorio bi-dimensional es verticales
.
una pareja ordenada de variables aleatorias Y
X, e) ,
las cuales tienen un recorrido
conjunto
,y y una distribución de Ly X es discreta
Probabilidad conjunta .
y es continua
e
· Y
E
ex X
↑ 1 &
=>
W (X(W)
,
Y (W)
O
O e do Vectores Aleatorios Discretos
& O
->
I La distribución de probabilidad de un
O X rector aleatorio discreto (X
,y se conoce
O
O
S
·
0
como "función de probabilidad conjunta"
& O (m), se simboliza con PX
,Y
(,) y
se define como:
Según la naturaleza de las varables X y X, ==Y = )
,
CER
Y
,
los vectores aleatorios bidimensionales
se puedenclasificar en : Dicha pmf satisface 2 condiciones :
-toresaleatorios discretos : Cuando X ↓ PXY(,10 ,
L
,Y E
yY son variables aleatorias discretas .
En este caso, RX
, y es un conjunto II)
x y
PX
,
y(, y) = 1
numerable de puntos en el plano.
Y PX
,y(x,y)·
0
O
O 8 o
⑳
E
1)
"En 3D"
↑ 1 I 1 A1.
0
X I Y
&
- Vectores aleatorios continuos : Cuando X
----- Y 0. 2
y y son variables aleatorias continuas. En e
"Todos los puntos
este caso, ex,y es una región densa del O
⑧ E 0
.
03 Suman una
plano .
· 0.
Probab.
de 1
Y Tenemos entonces :
0 08 0 O
A
Y
O Forma de
S
La suma de la probabilidad
& representación
S
PX
,
Y(, Y)
de cada punto debe dar
&
en tabla"
·
2/72 en total r.
-
↑
16/72
⑧ ·
12/72
-
O O ↑ f&
La probabilidad de un evento arbitrario 12/7224172 6/72 x
A relacionado con las varrables aleatorias
X y Y se calcula como: as¿Cual es la probabilidad de que el número
de caneas azules supere al número de
Pr(A) =
SEA
PX,
L
,
es canicas rojas?
Pr(X >Y) = Pr(Y <X)
Ejemplo : Una una contiene 3 canicas
I
azules, 2 rojas y 4 blancas. Se Para este caso serían
extraen 2 canicas al azar sin = x los puntos por debajo
sustitución. Determinar la Función/ de X sin melver a
de probabilidad conjunta del rector los que pasan por la
aleatorio (X, ), donde X X recta
.
representa el número de canicas
azules presentes en la elección y PrLX) : 24 30 = 5
I
Y representa el número de canicas 72 12
rojas presentes en la elección.
b) ¿Cual es la probabilidad deque el número
X = "número de canreas azules" de canicas azules coincida con el número
Y = "número de canicas rojas" de canicas rojas?
A : "Canica -ésima azul" Si = 1
,2
Pr(X =y) = 12+ 12 =24 = t
Bi = "Canca i ésima blanca" 72 72
Y
Ri : "Cantea ésima roja"
- .
Y = X
- *
CX, Y)
& ⑧
A2 : 218 - 6/72
1
G
0 I ↑ ↑
-
R2 : 218 --* 6/72 i 3 , i &
Al B2 : 418 -12/721 J 2) ¿Cuál es la probabilidad de que el
319 Az : 318 --↑ 6/72 (1 I número de canicas azules sea menor o
S
·
219 R1 Go 2R:18 -o I
Igual al doble de caneas rojas?
.
4/9 BI 2 :368-lee i ,
O Y PrLXE2) = Pr (292X) = Pr(yE)
8 I
S - I
B2 : 318 --12172 O J
Pr(B2/Bi) S
/ li
= 1- 24 = E
2
-
&
X
d) ¿si nohay canicas azules en la
=
24/72 = 24 = 6
extracción, cuál es la probabilidad de (16+ 12 +24)/72 52 13
que haya al menos una roja?
7) ¿Cuál es la probabilidad de que el
Pr(y21/X =0) = Pr (211X = 0 ) máximo entre el número decanicas azules
Pr(X = 0) y el número decanicas rojas sea menor
o Igual a1 ?
Y
Numerador Pr(máx(X
,
y) El)
La intersección
X=8
= !IIIIIy↑
- Y21
serían lospuntos Caso 1 : ↑ j f V: Secumple
· 1 X
X C f
Y Denominador
X=0
- Lo que se cumple Caso 2 : j ↑ f X : No se
-O
serían estos 3 puntos X f I cumple
&
O
· ↑ ↑ ↑
X Entonces, se tiene:
= 16+ 2
72 = 1 = = Pr(XEl YEl
12+ 16 + 2 38 b
Y
72
-
O : Zona de la
es ¿ Si el número de canicas azules ⑧ O intersección
-
y rojas suma menos de 2
,
cuál es la O ⑩ ⑳ ↑
probabilidad de que hayan más X
canicas azules que rajas?
= 16 + 12 + 12 +24 = 64 =Pr(XY/x +y <2) 72
=Pr(Xx+Y <2) 9) Pr(máx(X, 1) = ?
Pr(X+ Y (2)
= Pr(X1UY21)
= Pr(y < X 1y < 2 - X)
S
Pr(y < 2- X)
-
Y -
: Zona de la &
-
intersección O
·. ·: Punto válido
· I-&l= I X
f X
72
11, xxx +
= 1 - 12 = 60 =
Circunferencia
h(Pr(x2+y El) = ? x
<+Y 2 El : Es ca
Y 5x
,Y(z, y)
= 16+ 12+24 = 1
-
· Ill
72 18
fuertee seren e
X Ella igual a 1.
I
i) Pr(x+ = 2) : Circonferencia centrada
&
en el origen de radio
r = E La probabilidad de un evento arbitrario
A relacionado con las variables
Sin hacer el gráfico podremos probar cada aleatorias X y Y sepuede calcular
pareja ordenada y comprobar el resultado, Como:
obtenemos entonces :
Pr(A) = ((5x,
(2
,
3) dydx
= 12/72
L, EA
17-04-2023
Vectores Aleatorios Continuos
fx
, y(x,y)
Pr(A) = "Volumen bajo de
Sean X y y dos variables aleatorias F
,
Y(,) encima de la
continuas con recorridos respectivos X
,Y región abarcadapor A".
=x. La distribución deprobabilidad Y
de (X
,
y) se conocecomo "función de
como: (a) Adensidad conjunta de X y Y" y se define
LL
Este gráfica es
&
SXY (,
3) = LM PU -EXEER Y-DREY como tener una
-Ot ESTUL E.
caja cubierta por
una sábana."
Int] El recorrido se entiende de la forma :
Y
u: Unidades de X, v : Unidades de Y
. =
Me RXX-y
Lo anterior representa la verosimilitud. -
1 I
Dicha función de densidad conjunta ex X
satisface 2 condiciones :
Ejemplo : El precio decompra Len millones
I) 5x
,
y(x
,
y)20
,
(X
,
Y) ER de pesos) y el precio de venta en millones
de pesos) de una acción en el mercado
II)o05x, y(,
y) by -: corresponden a dos variables aleatorias
Cantinuas X y Y cuya densidad de
probabilidad conjunta está dada por -0
X= "precio de compra" (en.M
Y : "precio de venta" (enm) & k2xdx= 1
fx
,y(,y) = ky
,
(X
,
Y)ER
E 2) = K2() = K :
-
0
,
(X
, y R
2k = 1 + k = 32donde k es una constante real positiva. 3
y [m$]
Juego : 5x
,y(x,y) = By ,
(x
,
Y)ER.
2 -
I I
·I a) Cuál es la probabilidad de que el
x [m$] preco de venta sea superior a 1millón
de $ ?
Determinar:
Pr(y > 1) = ?
a Los recorridos de las variables X y Y
Gráficamente tenemos:
ex = [0, 1]
,
Y = 20
,
21
S
b) Calcular el valor de la constante.
f
,(X,Y) =
X
P=
N Y =j 3 ex
[)fx
,
Y(
,
yLO
,
f(X
,
YE /
=j 3x -8
#100fx,y (; i) by-
= x3 - 24/ ,
n
-jkyydx =
I
= 1 -
3 - (1
1 x = 1/4 + 218
= 1/4 + 1/4 = 112
Y
Pr (y>1) = 1 = 0
.
3 X= /2
I I 2-
y=X
1 -
d) Cuál es la probabilidad de que el
precio deventasea inferior a 1 millónde "2 l X
y el precio de compra sea superior a X
300 .000? = 1. Szydk e
Pr(x1X >E) = ?
= 1-j 30 e
· IIIII" = 1-j 3
..
: X
= 103
=j' y y
= Elin
=
= 1c -(CIR
=j ax
= 10 + +
= /in =
() - &(t)
F
= 1 -
t +
= 2 8
= 23/32 = 0
. 78125
= 8 E 7)Si al vender la acción se obtiene
ganancia, ¿cuál es la probabilidad de
= 318// que dicha acción se haya vendido por un
precio superior al medio millón de pesos ?
el Cuál es la probabilidad de que el
precio de compra no sobrepase el medio Pr(y)z /y .
-X0) = ?
millón o que el precio de venta supere
el precio de compra ? = PV(y > E/y2X)
PXUX) = ? = Pr(y) E MYX
Pr(Y >X)
=
Y 1) Cuál es la probabilidad de que la
2 -
acción se compre por menos de 250mil
I
- y se venda pormás de 600mil?
- ...1/2
, ! '
,
& Y
Y 2-
-
-
x ....
*
= J edyk+, de e Pr(xx1 10
.6) = 0
Sydx : Evento imposible
9) Cuál es laprobabilidad de que la Cuál es la probabilidad de que la
&anancia obtenida supere los 250.000 ganancia sea de 250 mil $ ?
Pr(y -x >() = Pr(y) +x) Pr(y-x = E) = Pr(y = x +2)
2 - =j SE y y =
y = x+
I -
· Evento improbable114
- ! Y - X es una variable aleatoria continua
,
=j Regeen
por tanto ,
Pr (y-x= ) =0
k) Cuál es la probabilidad deque la
acción se venda en 1 millón o la ganancia
hCuál es la probabilidad de que el sea inferior a 500mil?
precio decompra sea de 250mil y
el precio de venta sea inferior e Pr(y = 10- x < E) =
?
500mil $ ?
Pr(y =1 vy < X + z)
Pr(x = # 1Y < E) =? 8
Pr(y =1) + Pr(yxx + E)
2- =4 eedy = 0
- Pr(y = 1 yxx+E)
&
j
ja
1/4
! Evento improbable
= Pr(yxx + E) = 1 -j y e
Ejemplo : En un sistema de comunicación
digital, el símbolo transmitido en
un instante determinado es una
variable aleatoria discreta X conIII recorrido binario -1, 13. Debido
al ruido del canal
,
la señal observada
X
en el receptor es una variable aleatoria
24 -04-2023 continua Y con recorrido (-00
,
+).
Vectores Aleatorios Mixtos : La función de densidad conjunta de
Sea X una variable aleatoria discreta X y y está dada por :
con recorrido x y sea Y una variable
aleatoria continua con recorrido Y
.
5x
,y(2,
y) = t jft, x = y Yo
Entonces (X
,
y) es un rector aleatorio Smixto con recorrido X,
Y
,
el eval
es numerable respecto a X y denso
, X = 1 y
-8xy
respecto a Y
.
La distribución de
probabilidad de X
,
) se denomina O
, 0
.
W
.
"densidad deprobabilidad conjunta" y
se define como : Donde X y y están medidas en Voltios
.
5x
,y(,y) = km Pr(x= a y-E/2EY = y+E1) Determinari
E+8t E as La probabilidad de queel símbolo
Unidades : [] transmitido sea l
.
La densidad conjunta satisface 2 condiciones : (y =[ si /20
·Yo' , si +O
ifx
,
y(,y)10 ,
f(x
,
y) Em
ii) 295x,y
(
,
y =:-
: Igt,
Y RX
,Y 5x
,y(z,Y)
-↳est"= (
(st
,
si 32-
jp
- ( y-
,
s i E=
= te
(y+ 1)
,
sy = - 1Xhtt Eetl ,
siyx-
La probabilidad de un evento arbitrario A
relacionado con X yy está dada por:
Pr(A)
=2ffx,
yy en e
I I
e
- 1- 1
(5 e
(1
,
321
a 1
. 5 Voltros?
Pr(Y > 1
.
3)
e
,
y <
5 e
- 19- 11 I X
..
.9
=I Pets y+e de
C. = e -
!
+ eElE *
·
11 = e- p
- 1 . 3
+ E e
- 1 . 3
G 3
& Y
=e
-2 .
3
t p
- 0.3
Pr(X= 1) = ? E 3
=I05x,y (,3) by = 0
.2158/
e ¿Cuál es la probabilidad de que la señal9
Pr(= 1= el de Observada exceda al símbolo transmitido
en más de 0
. 5V?
Pr(y-x >0
. 3)
1 X Pr(y > X +0
. 5) = ?
=o edy+ -" dy
= :
-- 2
= z - (2) = 3
,
- 3
b) ¿Cual es la probabilidad de que la foto a
e
señal observada en el receptor sea superior
- Pr(1-x >0.5)
=0se se e · j et by
= Solt
= (t ++ p
0. 3
= 0
.3032/ : es e
= e
->
I
= 0
.
0633,
e
-
- (
+é e + 2 e
C
d) Si el símbolo transmitido es -IV, cuál E
es la probabilidad de que la Observación Distribuciones deProbabilidad marginales
sea inferior a -IV? y Condicionales
Pr(yx-1(X =
- 1) Il Vectores Aleatorios Discretos
Sea (X
,
y) un vector aleatorio discreto
= Pr(Yk - 11X = 1) con puf conjunta PX
,y
(
,
y).
Pv(X= 1)
!
D · La función de probabilidad marginal de
meby X se define come
= A
I
... ·Sel
Plas :PX=)= , Exex
I I
X
- La función deprobabilidad marginal de
Y se definecomo :
=
= Py(y) = Pr(y= y) = 2 Px,y(,y), y Ery
3 I I
el Si la observación es superior a lu
/
- La función de probabilidad condicional
cuál es la probabilidad deque el de X dado = se define como:
símbolo transmitido haya sido - Iv ?
PX(y((y) =PV(x =/Y =y) = Px,y(X,
Y)
Pr(X = 1 /y > 1) = Pr(X = - 1921)
PyLY)
Pr(Y > 1) EX
I ↓
& e
-La función de probabilidad condicional
- I 1 X de Y dado = se define como:
=
IIII PY((Y/X) = Pr (Y= y (X = x) = PX, Y (X
,3)
PX(z)
- I 1 X
I
y E-y
I
- La función de probabilidad condicional s y pl
de la variable aleatoria X dado un O 0
.
1 +0
. 13+0
.03 = 0
.
3
evento arbitrario A relacionado con X 10
.
05 +0. 1 = 0. 15
yY está dado por: 2 0
.
1 + 0
.
03 +0 . 1 = 0
. 25
34 0. I
PX1A(X) = PU(X = /A) = Pr(X= 1M) 0 .2
PrCA) I
1 xEx I PyLY)
Ejemplo : En la figura semuestra la 0
.3
0. 23
pruf conjunta de las variables 0. 13
0. 2
a leatorias discretas X y . 0
. 1
Determinar :
o iji Y
Y
a)PX(X)
0
.
2
- ⑳
( PX(Y(X(1) = Pr(x= x Y = 1)
b) pp(y)
0. Pr(Y = 1)
- O
O. 1 0.05
⑧ O ·
O.
-
PX(y(X(1) -
8. 03
·
O. = Pr(X = x (Y = 1)
- e
↳ ↑ 0 .
15
d(PX(y(X12 0. 1 0. 15 0.05 X
X PX/y(X(1)
elPy(X (Y/0)
10
.0510 . 13 = 113
7PX(x+Y =3(X) 2 0
.
110
.
15 = 213
↓
9)PY(x+Y E3(Y) PX(y(X11)
Solución :
xx = 20
,
1
,
2
,
33 113
g
j ↑
Ry = 20, 1
,
2
,
3, 43
↓ 2 X
a) X PX(X) d PX1y(x(2) = Pr(X = x 1 Y = 2)
O 0
.
1 Pr(Y=2)
I 0. 1 +0
.
03 +0
.
05 +0
.
2 = 0
.
4
2 0
. 15 +0
.
1 +0. 1 +0
. 1 = 0
.
45 = Pr(X = x 1 y =2)
E 0
.
03 0
.
23
I
PX(x) X PX1(X/2)
0
.
4 .
0 . 43 8 0
.
110 .25 = 215
& 10.
0310 . 25 =
115
O. 1
.
0
.03
20
.
110
.25 = 213
& !a X
I
PX19(X/2) PXIX+ Y =3(X)
2/3 215 1/2
1/5 1/4 1/4
↑ X
, ' 2 B XG 2
e) Py((y(0) = Pr(Y = y X=0) 9) Py(x+y = 3 (Y)
Pr(X =0)
= Pr(Y = y (X+ Y E3)
= PLy X= Pr(X+Y=3)
= Pr(y = y 1X = 3 -Y)
Y Pues e
Y
Pr(X 13 - y) + 1- 0
. 4 = 0
.
6
PY(X(9/0) - ⑳
- O
&
I ⑧ · O-
- &- 0
6 & ↑
X
!¿ Y
Y PYYE3Ly)
f(PXIx+y = 3 (X) 0
. 3 10.
6 = 112
10
. 13/0 .
6 : 114
= Pr(X= x (X +y = 3) 20
. 13/0.
6 = 1/4
Pr(x+y = 3) ↓
= Pr(x= x 1 Y = 3 -X) Py(X+YE3(Y)
PV (y = 3 - X) 1/2
Y 1/4 1/4
- ⑳
o ! Y
3 - O
26 -04-2023
& O ·
"
Punto extra :
-- e O
& & h(PY(y > 2x+2 (y) = ?
X
= Pr(y = y ny > 2x +2)
X PXIXY = 3 (X) Pr (y >2x+ 2)
1 0
.05/0 .
2 = 1/4 No es posible construir la porque su
2 0
. 110
.
2 = 1/2 condicionante trene probabilidadbe
30
. 05/0
.
2 : 1/4 0.- +2 es un evento imposible.
I
Py(y1x+3(y) = ? PUEXED) =S 05x,y (,e byko
= Pr(y = y ny2x+3)
Pr(y2x+3)
=j5x,Y,y de k
Y
-
- ⑳ 5x(x)
- O
& ② O Luego, la pdf marginal de X será :
- & O-
& b.
. .
& ↑
X
fy()= , y by
,
XxER
Y Py12x+3 Asimismo, la "densidad marginal de y
4 0. 210.
2 = 1 Ló pdf marginal de ) será :
I
Py12x+ 3
5()= ,
EER
·
I
* Funciones deDensidad Condicionales
1.
Y
X
y Y variables aleatorias continuas con
densidad conjunta X, ,). Supóngase
# Distribuciones de Probabilidad una probabilidad de la Forma:
marginales yCondicionales para
Vectores Aleatorios Continues Pr(9EYEb/X = c) = ?
* Funciones de Densidad Marginales = Pr(a Y =b1X = C
Pr(X = c)
Sean X y y dos variables aleatorias Y
continuas con of conjunta 5x, y
<
,
3). b -
La pdf de la variable aleatoria X se f
conoce como "densidad marginal de X" a
-
y se obtiene de la siguiente manera: C
X
= O
- ->
Y J
EXED)
=Ps, pero lese ? &
Indeterminación
pero también se tiene que : C X
Y
Para calcular (Yb/X = C) no es
posible usar la definición de probabilidad
a
e 0
b
x
condicional
, pues conduce a una forma
indeterminada 0/0, entonces, en su
lugar ,
se define un nuevo tipo de función
de densidad llamada "pdf condicional de De ese modo :
Y dado X"
, con lo que se tiene:
PULEYEIX =/c) by
(yl(y()
=
Ex
,yess
I I
- fy(x(y(2) = Ex
,y(c,
y)
dondeF (/C) es la "densidad fx(C)
condicional de Y dado que e", entoncesi
En general, para cualquier valor del
fylx(y() = ? evento condicionante,23, se tiene:
5Y(x (y(C) 25x,Y(2,
y) fy(x(y() = fx
,y(x, )
5x(x)
-> Proporcional
5 x
,y(x,y) As : 5X
, y (x,y) = fx(X ( 5 y/x (Y/X)
·((f .
5, se
I
↓
I
ME
Regla de la cadena para variables
S aleatorias continuas
.
Análogamente, la pdf condicional de
X - : Recorte entre la X dado Y = C será :
superfiere y un
plano que nos -> fx
,y(x,y)
resulta una curva
SPA , constante a
-sofy((y/C) by
= ,((, > dy =
X
5X1(X/c) = Excel
- 5x
, y (,
es by =
- En general, para cualquier condicionante
fx(c) de la forma =y ,
se trene :
- k = fy(e)
,
5X/y(X(9) = Ex,y(x,y)
I Sy(y)
Asi : = =4[(2x) - 82] = 3x2
5x
,y(X,y) = fy(y)FXYCX(Y)
-fx(x) = 3x2
,
OEXEl
d d
Regla de la cadena para variables aleatorias
0
,
0
. 4
Continuas
fx(x)
Ejemplo : X : precio de compra de una 1
-------
acción (en millones de $
Y : precio de venta de la misma
acción Len millones de$
-
↑ X
8
fx
,y(x,y) = 312 ,
(X
,E&
0
, 0
.
4
5xdx: 3xdx = x!:-
I
Y
bl Cual es la densidad de probabilidad del
2 - precio de venta de la acción ?
III"
! X
fy(y) =?; y = 20,2]
Determinar : 5(y) = 8 y,dx
al La densidad de probabilidad del precio y = 2 x
de compra de la acción
2-
Y - /2 = X "Los límites van de
5x(1) =?, ex = 20, 1] - zquierda a derecha"
"Tomamos los límites
!
X
1 -
c
.. deintegraciondei
Face= d
++ o
I
abajo hacía arriba"
&
X S
! X
↑
G 50
7
5x(x) =8 (x,es by
- fy(es= X y
=
2 y(1 - 7)
-joody + 2 bygo =
E, y(2
- y
↑
g
- 5x(x) =32
5p(y) = (y(23,8Ee
Jy(y) c) Si el precio de compra es de 500mil
pesos, cuál es la probabilidad de que el
&
4
- - -
= precio de venta sea superior a 760mil?
↑ ↑ Pr(yc/X =El
Y
↓ 2
J
Por la forma del evento condicionante,
"El Valormas verosimil es 1 hacemos uso de un recurso adicional :
Ejemplo alternativos pr(34/x = E) = (YE)
Y
2---- &
1 - IIIII
↑
pero Fl (12) = ?
y
- - - -
-- fy((y(2) = 5x,y(E ,
y)
X 2 X fx(E)
ex = 20,
2]
, sy = 70,2]
= (x
= 112
, e
3x2/x = 112
(X - 0)2 + (y - 2)
2
= 4
x2 + (y-2)2= 4
(y- 2)2 = 4 - x
2
= zy
. By . E =2y - 2 = 14-2
y = 2 1 4 -x 5(2) E
Exces
=
4
,3 dy ,
OEx
:0
,
0 . 4
10 ↑
Ahora para Fy(y) : x = E
X
x2 = 4 - (y -2) fy(x(y/E) = 24
,
E Y El
x = 1 40 (y-2)2 I I
4 - (y- z)2 (ylE)
20
(y(y) =
23 5x,ylx ,
OyE2
= iO ,
0
. W.
+ lóbulo superior Circunferencia3 Y
- lebulo inferior cuando despejamos
Pr(373(x= 1)= (1) de ??- Y = 112 ; pero y = 2 x
?? - 2X = 112
=s cydy + yde x = /p
= y/z,p
= 1()
2
.
=
1
a) = E6/
3 =E- - --
d) Si el precio de venta es de 500mil
, , i X
cuál es la probabilidad de que el precio
de compra sea inferior a 600mil 5x/y(x/z) = 1 , EX=l
Pr (X < 0
. 6/9 = 2) = 3
fxy(X(E)
= 505xy(x/E) ¢x
-
--
donde: *
e
5 x (y(x(z) = 5x
,y(k>E) % X
fy(z) Pr (X0.6(y = E)
= Ey/x
, y= 11 I= &
2 y(2- y) (y= 112
- 5x /y(x/z) =
↑ !(2)
en e
2
. = 0 . 4666/
I
y =z - -
.
---
:? ' X
03-04-2023 ↑ fx(x) =
I
2x e-y x
= 2xex
I
OEx= 1
Ejemplo 109 & 1 e
=
Sean X y y dos variables aleatorias
condensidad conjunta :
0
,
0
. 10
fx(x)5(s) = 2 ,
OXE
,
9 he
S
O
,
0
.
4 1
Determinar
X
J I
a) 5x(x) I
b) fy(y) x ()dx = faxe* k u = x2
a) 5 x14
.
(X1E) loe
-
↑ dw = 2xbx
d(5y(x
.
(y(E)
elfx/y(X(2) u0 = 0, u , = 1
Y
& X
,Y ↑
-o Y = x2
=Se
e
,
du
= e
=
00
= 1
1 -e ,
↑ X
ex = [0
,
1]
b) frle)=,
y = 20
,
0)
. esex ,
03EEa)(y(x) = 5 x
< Y
(x
, y)dy ESe en el
Ye ·
Ex() = 92xeydy ,
EXEl
[ x2
↑ 5(9) = es ,
O
,
0
. U D
él
= [oene by, XE S↳e ,
0
,
0 .
2
D 0
.
20
-5(y) = Je ,
El
4
Fx/y(X,z)
E e
-3
,
y >1 V2
- - - - --
10, o
. w
fy(y) i
x
Si S 5x(x(2)dx = 1
↑ Y -j = 1
No ylesdy : yo bye en! by d fy(x(y(z) =
=
'Il = fx
,y(z ,
X)
C) fx(E)
Y
: 2e
1 = - - - -
1 -e (E
,
Y
↑
I = 1/2 mu 27 2
- x2
% ↑ e I=El 7
FX(y(x(2) = 5x
,
y (X,
El
= es/
= 112
Sy(z)
= es - e
- y + #
= y
(y - 1)
= 2xetz · 1/4
E
Ne LX
, E
2 - Y I
I
Sexy !
He 112 1 -
i1/4 - . - -
= 2x = 2x = 4X x= E
r X
Y/112 E
Para que = : y = E
para que y = 112 : x = E y = 1/4
x = = = ! 5y(x(y/z) = es
p
,
32
Fil) = 4, Xe
E
S O
,
0
.
2 oes de o en
La gráfica de la función nos queda I
e
- (y - 1)
,
y 2114
EX
,Y
Sy(X(ylE) X
1 -
*Si x es discreta y y continua :
I Y i)RX, y = RXX-Y
INDEPENDENCIA ENTRE VARIABLES [SY(,Y) = PX(() ,
(
,
3)
ALEATORIAS
Y
Dos variables aleatorias X yY son
-> LX
,Y
estadísticamente independientes si
los valores que toma una de ellas no
proporciona ninguna información
X
relevante acerca de la otra. En Otras
palabras, el conocerX no nos dice Consecuencias de la independencia
nada acerca de Y y viceversa.
Matemáticamente, las variables X y
- Si X y Y son variables aleatorias
Y son independientes si se cumplen dos discretes independientes :
condiciones :
PY((y(9) = Py(y)
* Si X y Y son discretas :
PX(y(X(b) = PX(x)
i)(x
, y = ex x Y
- Si x y Y son continuas e independientes
(iPX
,
(x,2) = PX(X) - Py(9) ,
(x
,
y)
Sylx(y(a) = y(y)
Y
0 08 2
↑ LX
,Y SX1y (x(b) = Fx(x)
& 00 &
e Op & Ejemplo : Se lanzan dos dados legales.
Calcular:
X
a) La probabilidad de que la suma de
*Si Xy son continuas : los resultados sea mayor a 5
i)(x
,y = R x X Y X : "resultado del primer dado"
Y : "resultado del segundo dado"
(1) 5x
,y(x,3) = fx(x) .fy(y) ,
(X
,
y)
2x = 51
,
2
,
3
,
4
,
3
,
63
Ry = 21
,
2
,
3
,
4
,
3
,
64
X y Y son variables aleatorias
Independentes I
1/36 1/36
1/6 & er O ↓ ⑳ d &
1/36 1/36
1/6- o e Q - &
1/6 01136 1/6
- a &px(1) =25 ,
x E 212
.....
03
&
·
9 = 3 - x
1/6 - 1138 1136 ...
E & &
& 0 . 0 &
0
,
0
.
1 116 - 113 IBE
~1/36 1/36
1/6 e
O & O O & O
Pf(y) =
2 ,
y t21 ,
2
. ...,
63
↑ ↑ ↑ f
116 116 116 116 116 116
X
0
,
0
.
2
Pr(X+y >5) = Pr(y > 5 -X)
PX(X)
= 1 - Pv(y <5 -X
É = 1-10
36
=
26
123436
X
36
= 13
Py(y) 18
Il
É
b) Si el primer dado qe en un número
menor que 3
,
cuál es la probabilidad
123436 de que la suma de los resultados sea
mayor o igual a 6 ?
Las variables aleatorias X y ↑ son
independientes y tienen idéntica PUX26/3) : No hay independencia
distribución de probabilidad, por tanto,
se les denomina : variables aleatorias = Pr(X+ y 261X/3) = Pr(y26-x MX<3)
iid Pr(X <3) Pr(X<3)
I
iid : independientes e idénticamente ·distribuidas 3
Pr(x +>3)= X
,
Y,y
... i
X
=
3 = E
/
I 36
x+y) 5 O ②
oQ
0
pero como X y y son independientes : : 0 ↑
X
& 0
1 1 0 0 0
PX,Y(X,
y) = PX(X) · Py(Y)
c) Si el máximo entre los dos resultados
es menor o Igual a 4
,
cuál es la proba
Rx
,y = 2 x x (y de que la suma de los resultados sea
menor o igual a 6?
Pr(x +y = 6/Máx(X, Y) = 4) = ?
max(X
,y) 4 + X = PMY =/ Y
08-05-2023 ex,
Ejemplo: El tiempo Len mins] que tarda
una persona eligiendo los artículos que
va a comprar es una variable aleatorio X
continua X con densidad () = ex,
para 20. El tiempo enmins] que 5x
,y(x,y) = e
* 2
,
x10
tarda esa misma persona haciendo la y20
fila en la caja y pagando es una
variable aleatoria continua y condensidad (,) =22
,
X20
Fly) =2, para 0. Si las variables
I
y 8
I
X y y son independientes, determinar :
La pregunta hace referencia a:
as La probabilidad de que la persona
permanezca al menos 2 minutos en Pr(X +y 22) = Pr(y22-X)
la tienda
.
b) La probabilidad de que el máximo
Y
entre X y Y sea inferior a 90s.
1 -
Solución :
1
:
↓ I X
( 2
fx(x) fy(y)
Y = 2-x
2
↑ Y
2 -
x Y
1
X y son variables aleatorias ↑
Independientes
↑ 2 X
FX
,y(X,b) = fx(x) · Sy(y)
·etzece
en
ex
,y = RXXRY
to
[0
,
+o) x 20
,
+00)
Tenemos entonces :
=1)en
= 10 ex (le-2(x
=1 (le de = 1 Pr(X EnYzz)
=1 ex -190zetes dee e
Otra Forma :
= 1 (1 - ex) +e (ez - 1)
Pr(x<2 UY(2)
= 0.2524/
= Pr(xx ) + pr(y(2) -Pr(xx .EYxz)
b Pr(max(X
,
Y) < z)
= Pr(X< 3/21Y < 3/2) Para este punto :
Y Y 3/2 X
I I j
- 1
~ V : Aplica↑
3/2 X
Y X
I I X
X : No aplica
y X
X Y
v
3 dyx = 0
.
738,
I I
8 8
4. Operaciones y medidas sobre
Variables Aleatorias
Otra Forma :
1. Transformación de Variables Aleatorias
= Pr(xx (Y < 2)
X * g( c ) s Y
Eventos independientes ↓ ↓
V.
C g(. ) : Función v
.
a
= Pr(XXz) · Pr(YXz) determinista ↓
, = g(x)
,Ex( :8 lesby ↳
Nueva variable
= Elex dx. 2by =
0
. 7381 aleatoria función de X
X x g() b Y
*) ¿Cual es la probabilidad de que
el menor entre el tiempo de elección Illin 1/11 Casol
de los artrculos y el tiempo en la caja,
X -
X
Y
sea infertor a 90s? PX(x) Py(y)
YPr(min(X, z) = Pr(x UY < 2)
-
X~ M Y
[s02
5x(x) X fy(y)
y = x2+ 1
Y
x
L
,
Il
X
I I
Y ↳fx(x) Py(Y) RY
Transformación de Variable
Discreta a Variable Discreta :
. i X
Sea X una vanable aleatoria discreta --
con recorrido x y m PX() .
Sea -x
Y =g(x) ,
donde g() es una función
definida en todo ex. Entonces y será X I
una variable aleatoria discreta con
- 1
.
3 3.
23
recorrido Ry = 9 (RX) y puf py(y)
- 0
. 3 1
. 23
dada por :
I
3Z
Py(y) = Pr(y = y) =
-
Px(x)
, EyERy 3
I
⑧
I x : y =g(x) ,
Ejemplo: Sea Xuna variable aleatoria y = 21 .
25
,
2
,
3
.
25
,
3
,
103
discreta con prf : B e aae
PX(x)
4/13 4/13
2/13
O O
211313
Py(Y)
/4
E
O ⑧
1/13
B ↑ ↓
↑ 2/3 B
111
- 1
. 3 - 0
.
3 I I X
1 . 23 2 3
.23 /Y
Hallar la pmf de:
c) = sen(IX)
a) y = x
2+
W
b) E=
L
c) = sen(X)
8 - - - - 1 .= .
d) U =
1: No es posible ↑
X - 1 : X
E
·as ex =
2 ,
-!
e
he
... -
- 1 -
X W X * %!e
* Y
- 1 . 3 I
· 0
.
5 - I
10 &w = E- 1
,
0
,
13
20 -x(x) Py(y) #
3 O
W Pw(w)
M I
- 1 Pr(x = - 0
.
3) = 4/13
e
ex
+x e
8 Pr(X = 1UX= 2 UX =3) =PXC) +X(2+PX(3) Transformación de Variable Continua
= 4113+2/13+ 1/13 = 7/B a Variable Continua
I Pr(X = 1 . 5) = D y ( 1 .
3) = 2/13
Sea X una variable aleatoria continuacon recorrido x y densidad dePw(w)
probabilidad(). Sea Y =(X), donde
·
7/1 9(. ) es una función que está definida en
4/13 todox y no es escalonada en x.
&
2/13 Entonces Y es una variable aleatoria
&
↑ I continua con recorrido (X) y
2
-> I O I densidad de probabilidad ( dada
por :
Segundo parcial
Miércoles 31 de Mayo-2023
f(3)= Fly =EPrLY e
4 :00m-Salén 226
Capítulos 3 y 4
=E Pr(g(X Ele
=bffl
fe en
↓
10-05-2023
Transformación de Variable
Y
Continua a Discreta X * - Y
: :
↑
ex
ler 41 X
Sea X una variable aleatoria
continua con recorrido x y densidad
deprobabilidad F). Sea = g(X) 9fx(x) Syly)
*
donde g(. ) es una función escalonada
pura sobre todo x .
Entonces y es
una variable aleatoria discreta con M M
↑ 1
xrecorrido :gLX) y función de E
ex
& * By a Y
probabilidad (y) dada pori
Ejemplo: Sea X una variable aleatoria
Py(y) = Pr(Y = y) = S Ex()¢, yERy continua con densidadbe
I
x : g(x) =y probabilidad( =
,
20
.
Obtener la distribución de
probabilidad de las siguentes función de probabilidad y
lel dada
variables aleatorias : por :
a) y = - Si xx E Y PyLy)
(
-> I Pr( = -1 = PLXX) ES
O
,
si t X X 1
xx = 0
. 3934E L
/
si X = 31
O Pr(EE1) =Se = 0
.
238
2, en otro caso
b)z = 2x - 1
I Pr(EX =3) =13 d = 0.
141
c)( = 3- x 2 EXU) :JPeken3
d) T = I
= 0
.
2267
X + 1
e)R = (X + 1)2 /1
Solución
Py(y)
⑧
a) ex = [0
,
+0)
O
⑧
O
Y I
j 1 ↑
-
- I O I 2 3 Y
>
-
bz = 2X - 1
- O g
- ↑- -
Z
-
↑
① A ↑ ↑ J J ↑ -
: X
-- ↑ X
>
- => &
RX ↑ 1 1
fx(x)
- 1 -
↑ -
ex
z = 20
,
+ 50)
X 5z(z)= Fz(z) ,
dondee
Y es una variable aleatoria discreta Fz() : Pr(z)
,
ZE1
,
+o
con recorrido y = 3,
0, 1
, 23 y = Pr(2x - 1 =z) = Pr(x = zH)
z + 1
=I
-> D
S Fw(w) = Pr(WEw
=
1-' : Acumulativa
Fw(() = Pr (1 - E El
= Pr( - w - )
Luego : 5 (2)
= (1-) : Le
= Pr(32 - w + 1)
· 5z(z) =1 ,
zE[, = Pr(X 2 -3 +3)
= Pr(x > 3 (10)
fz(z)
--
1/2 = 50fx(xs = exbx
3 -34
3- 34
- I Z = g
- 3(1 H)
= g
-332
Comprobación : Luego : Fy(o)= ((3)
soSz(z) bz = 1
=3
de
te · fp.
(w) : 32 33
,
wE (- 0
,
1]
= oen e / fw(w)
2) = 3 - X +
1 x3
f L
L
d) T =
1
&
x + 1
- T
-
&T =
(0
,
1]
· -
f
X
&w = (- 0
,
17
&
Julu= Fn(u) ,
dondee
-
,I I
X
13 -03-20235T (t) =EFT (t) ,
donde
Transformación de Vector Discreto
a Variable Discreta
FT (t) = Pr(TEtS
(t +
9(
., % - E-F+ (t) = Pr(xi = t) ·
Variables N
= Pr(1 = +(x + 1) aleatorias Función definida
discretas con en todo X,Y #
PrF.
Variable alea
.
= Pr((xt + t) PX
,Y(X,
Y discreta con
PX,y(z,Y) pmf PLz)
= Pr(1 - t EXt) Pz(z)
= Pr (10t Ex
X
I 11
Z
= Pr(x = 1) Ejemplo: Dadas las variables aleatorias
X y y con mf
.
N
- Y .0
.
!
-
dx = e(E) = e
(t-
-
...
= Se -
·
0.
2
=
é : Acumulativa
- ·
0 . 2
* ·
0. 1
· 0.
↑ 6 ↑
XLuego : +(t) = (eét)
¿Cómo determinar P) a partir de
= e(-eE)(E) PX,y(,y) y g(.. ) ?
RI
· 5t(t) =E ,
TELO, Pz(z) = Pv(z =z) = Pr(g(X, Y) = z)
=g,E= z
PX,
(X
,Y
Comprobación :
Obtener la pmf de las siguentes
of+(t)bt =See variables aleatorias :
a) z = x+ Y
v = -E : du = !d b) W= XY
u = - 0 ; Ul ,
= CR=y ex X
,
Y
=e du: e
9 ,S Z
5z(z) = & Fz(z)= PrzEL
(1
, 1 0
.
1 2 = Pr(g(X,Y EL
(3
, 1 O
. 1 E
(2, 2) 0
. 2 ↳ =S ddx
(4
,2) 0
.
2
(3
, 3) 0
. 1 6 g(X,Y) = z
(2
,4) 0
. 2 G
(1
, 3) 0. 1 G Ejemplo: X = "Tiempo en minutos que tarda
Ana eligiendo un artrelo en
la trenda".
Y = "Trempo en min que tarda Anaez =
E4 07
realizando el pago".
0
. 7
Pz(z) fx(x) = 5 4
, X20
0
. 2 fy(y) = 20
- 24
,
28
O
. 1
. . 1 donde X
y y son independientes.
Z
Transformación de Vector Continuo a Determinar la pof de las siguientes
Variable Continua variables aleatorias :
E ↑
-
.a
o ,
o z = g(X, Y) a)= "Tiempo de permanencia de Ana
8 =00 - - - -
.
en la tienda"
b) R = "Razón entre el tiempo de pago
# & T y tiempo de elección del artreulo".
variables Función no Variable
aleatorias escalonada, aleatoria a) T = x+ Y
continuas definida en continua con
con jpdf : todo 1x, e pdF : f
+ (t) = ?
5x
,y(X,Y) fz(z)
Ae M
S+ (t)
= FTL
↑
Z F T (t) = Pv(T E t) = PrCX+ Y = t)
= Pr(Y = t - X)
¿ Cómo Obtener F) a partir de
FX,Y(x, y) y g(0 ,
0) ? - F+ (t) = fExy,es de e
R/ Técnica de la función de distribución
acumulativa donde FX,(,) =5() -F() debido
a la independencia entre X y Y
.
= . 2 2
, 20 y 20 - FT (t) =
E
O
,
to
- 5x
,y(2,y) = 2ex p
-2 ex/ --
+ ex)
,
+20
,
X20
,
&0
Y
,
+x0
24 -22
-FT (ts =
1Deten Lei
,
to
-FT(t) = 0
,
<O
X E 102e t
+e-2t
,
+20
-: (10e
- tj2
y= t - x
IIIIII X
Luego :(t) = ((1) =2(bett
- fT(t) = 2e
+ (1-e t)
,
+20
Caso 1 : + = 0 Caso 2: 20 4
I Y
0
,
0
.
4
E
"N /I E X
STLt)
->
2e +(1-e t)y
IIIII %... .....
-
T le t
*M.... p 2 t
Flts =
Los e sio
.........
-
........ -v
t
F+ (t)dt = 1
·
[- - 8 2e +
(1 - e+((t = 1
e-2y/ok ,
to
-S2ebt ze -+bt = 1
· Ex,
↳ !
= I
1 = 1 ,
b)R= I
,
Fr(v) :?
t <J X
b
FR(
=
FRC)
=
((ex
-ex ¢x
,
10
FR( = PrLBER) : Pr/Er) FR(= FR( :
E
O
,
KO
2
CH2rs2
-
10
= Pr (y = rX)
FR(r)
-FR(u) = S/fx, /,y dydx -Y= rx
-
Caso 1 : r
f J Caso 2 : 10 j
Ejemplo : X : "precio de compra de una
= I acción (en millones)"
&
- Y = "precio de venta de la acción Len
-E millones)"&
&
&
~
Y
2 -
X
Frh) =
(0 ,
v
1 -II seSe e dex,
I X
·
(ro, Determinar la pdf de la variable aleatoria
m = max(X
,
Y)
:
[0 enr(dx
,
FM(m) = ?
& 5M(m)
=E FM En e
FM(m) = Pr(MEm)
=
S, = Pr (máx(X,) Em)
=P (XYM)
b ex- e
-2x -xdx
,
20 = SJ x, Y (, 3) dyb
Xm
= 20 , no
Y
Em
- e
- x
*
+ e
- X *
,v O
j 1 + 2p D
,
O· 2 ,
z
-
no
Il,lim
Casol : /O Caso 2 : 0 MI = Im ,
mEl
2 Y
/ / II.
& m(2-m) 1 < m = 2,
.
" SM I
/IIIII, m X J , 0 .
4
'IIII
fM(m)
Cas 3: 2 Caso 4 : m > 2
y /se
e
mx
!/
=
I 2 M
Comprobación :
FM(m) = O
,
Si
M
I↳ exdy ,
si 0Em
frmsam
Imj yxdy,si midme(m - em) am:
1
,
si m 17 -03-2023
II) Promedios y medidas estadísticas
Sobre variables aleatorias
,
si mo
·Valor Esperado
Enlms- ForoperadodeunavariceeealeatoriaX es un número real,
mismas unidades de X y representa
I
, Si M>2
el "Centro de gravedad" de la
distribución de X. El valor esperado
de X se simboliza con EX) y también
FM(M) =
J
,
mx0 se conoce como "media de X",
En "promedio de X" "esperanza de X".4 ,m- En e
3
, =MEl
E : Operador de valor esperado
, 1 m = 2
Lesperanza
I
-
m > 2
5M(m)= FM (m) Sma
,
=O · aplica exclusivamente sobre
0=m[l variables aleatorias
&m -
m
21
1 <m = 2
D , m > 2
Interpretación 1 de ECX) :
i Discreta: in Illin
e1
# E(X)
ECX)
I
I & ~& I 8 D ↑
I s
I E(X) - Continua
e D
E(X)
⑪ E(X) Ejemplo : Calcular la media de la
variable aleatoriaX en los
Interpretación 2 de EX) Siguientes casos
x+ Ex
, 2
, 3, ...
n3 a) PX(x)
↳Realizaciones de X
.
0. 2
· 0
.
4
. 0
.3
O, 1
N &
* = x 1 +22 + o . +Xn = L i ↓
S
-> I O I 2
N Ni = 1
E(X) = Lim * b)
5x(x)
Xi
I
n = 1 ↑
EX) Centro de gravedad de la ↑
7
distribución de X
.
O 2
· media armética de infinita EX =)
realizaciones de X .
- E(X) = 1 . 0
.
1 + 0 . 0
.
2 + 1 . 0
. 4 + 2. 0
.
3
El valor esperado de una variable = 0
.
9
aleatoriaX se define matemáticamente
COMO : b) ELX)
=Soes
E(X) = 2 x . px(x) - Si X es una variable
I · aleatoria discreta fx(x) = (0,El
EX)
=9es Si x es una
[ O
,
0. 0
I ,
variable aleatoria
Elxs : Ex (1E)dx =Excontinua
.
Gráficamente tenemos :
: ( / = 2 - = 2
Propiedades de Operador El E(XY) = ECX) . ECY)
Si es una cantidad determinista
,
Demostración :
E(k) = k / E(Xy)
=80xyfx,
p(,es dyd o
2)Si es determinista y x es una
variable aleatoria, 0xyfx(x)fyledye
E(kX) = kE(X)
, ·soxxx(yylesdy) y
3) Si y y son variables aleatorias
,
↓
E(Y)
E(X +y) = E(X) + E(Y),
x5x(x) Ely)dx
45 : X es una variable aleatoria y
9) (. ) es una función definida en tode =E()(xa
ex :
ta
E(g(x)) :
Esixesdice
en
= E(X) ELY)
E(X)
continua Valor Esperado Condicional :
II
Sea A un evento relacionado con la
5) Si X y Y son variables aleatorias variable aleatoria X. El valor esperado
y glo ,
o está definida en todo RX
, y : condicional de X dado A se define como:
EL = ,, si EXA ,
si x es discretaX y Y
son
ID discretas
L, si x es continua
·S, d , Además :
-0 -D
Si X y y son continuas #(x) = PrCA)ELX(A) + Pr(ACECX(AC
· ,
el Ex
,
ke ya
↳
Regla del valor esperando total
si X es discreta y y es En general, si l, 2, An son eventos
continua
. II que constituyen una partición de R :
6) Si X y y son variable aleatorias ELX)
=
CASEX (AC)
independientes :
2)Sean X y y dos variables aleatorias . PX(x)
El valor esperado de X dado Y a se
0.
4
define como : 0
.2
0 . 3
0
. 1
E(X( =a)= X1X(a), si x es discreta. I
O 12 3 XE
& ↑ j f
, si x es continua
E(X) = 0 . 0 .2 + 1 - 0. 4 + 2 . 0
.
3+ 3 - 0.
1
! I
= 1 .3
Además :
Forma 2:
E(X) : y(SEX =a)
,
si y es discretad
E(X) = 7 Ex . Px
, y (X,S(E=a)da, si y es continuaa = 0 . 0. 17 0 . 0
. 1 t 1 . 0
.
1 + . 0
.
2 H . 0. 1
+2 - 0
. 1 + 2 . 0
. 2 +3 . 0
. 1 = 1
.3
Nota : Un valor esperado condicional de la b)
0. 3
PY(y) 0.
4
Forma E(X19) es una variable aleatoria 0
.2
que es función de y, por tanto, tiene la 0 .
1
misma distribución de y
↑ ↑ ↑ v Y
- I G I 23
Ejemplo : Sean X y Y dos variables aleatorias
con la mf mostrada en la figura.Cakular: El = 1.0. 1 + 0 . 0
. 3 + 1 . 0 .
2 + 2 . 0.4
= 0
.9
0 .10.
0
..
2 C) E(3X-1) = E(3X) + E(- 1)
-&
= 3E(X) o
>I
j · X
-
= 3 (1
.
3) -0. 1
0.918.
= 2
.
9,
a) E(X) 9)E(sen(Ex))
ds E(y2) = 2 ypyLy
b) E(Y) n) E(X(y = 2) E(y2) = (- 1) . 0
. 1 + (0)
%
. 0
.
3 + (12 . 0
. 2
C)E(3x- 1) E(X/9 = 1 + (2)2
. 0
.
4
d) ECY2) ((ELY(X = 1)
= 1
.
9/l
e) E(XY)
f(E(X2 -2y) es E(X) = XYPX,
y ,y) : Esto
, porque a
no son
ex = 20
,
1
,
2
,
33 Coord. enX independientes
y = 2- 1
,
0
,
1
,
23 ↓
Coord. en y
E(X4) = 0 . 0 . 0
. 1 + 0 . 2 . 0 · 1 + 1 . C1. O . 1
as Forma li + 1 . 1 . 0
. 2 + 1 . 2 . 0. 1 +2 . 0 . 0
. 1 + 2 - 2 .0
. 2
+ 3. 0 . 0
. 1 = 1
. 1 /
f) Se hace por propredades e de la
9) Elsen()) :
Es sumar el valor de
Sen() a cada valor del
recorrido de X, es decir:
ser((0 + sen().
0
,
1
,
0 - I ten(E)2 +se(E) :3 d = = (X
&
:: o.
l y en ese resultado,
-multiplicar su probab . = 12x2 = 3x2/
4
h)E(X19 =2) = 2 PX1y(X12) ↑
&
y = 2 + XE 20
,
1
,
23
* ↓x3x¢x = 3x4%3 milloneseC
x PX1y(X(2)
PX1y(x/2) 0. 3
-> 730 .
000
0 0.
1/0
.
4 = 0.
23 0.23 0.25
1 0
. 110 .
4 = 0 .23 Forma 2 :
2 0.
210
.
4 = 0
. 3
I J I 2 * E(X= x,
y(x,es dyk
E(X (y = 2) = 0 . 0
.25 + 1 . 0
.23 +2 -0. 3
= 1
.25/ ·j exdy = j(x341
Ejemplo: X = "precio de compra de
acción" (M$)
Y : "Precio de Venta de acción"
= 33 ¢x = 3 : 3 milloneen
(M$)
-> 750
.
000$
5x
,Y(x, y) = Y ,
OEXEl
E 0 Y = 2X b) Forma l : El ld
8
,
0
.
1
C Sabiendo que:Fals s de
I o
/
y = 2x + x = =
1 -
lill
,
Entonces : Fil
=Sydx : exion
-
Calcular: = 2 y - zy(7) = zy-As El precio medio de compra
↓ El precio esperado de venta
e) Si la acción se vende en 1 millón, -By (2ycual es el precio promedio de compra?
d) Si la acción se compra en 300mil,
cual es el precio medro de venta?
·y (2-dy = y Pregunta adicional :
es ¿Cuál es la ganancia esperada en
la transacción?
= 3 -3 0 - 3
↑
Recordando que la ganancia se da
por : Precio de Venta - Precio de compra
= 1 millón de $
-ELY-X) = ?
Forma 2:El d
Forma ( : E(Y-X) = EL) ~ ELX)
jay edyb y by x = 1 -
= 1/4 millón de $
=j ¢x =* = =
1 millónde $
=
230
.000$
C)E(X (y = 1) = ? Forma 2: Ex: - ,y
de , donde - = gexyk
↳
- 5x
, 3(x1)
=30= XE
= xdx = x) : f millón del
e
Sy (1)
24 -05-2023
Luego, entonces : Varianza y Desviación Estándar
Elx19 = 1
=S x2 ¢x
=!exdx = y e · Sea X una variable aleatoria
(discreta continual
- Varianza : Var(X)
= 3 millones de $ -> Característica o medida de la
dispersión relativa de la distribución de
probabilidad de X al rededor de su
(JEL3(x = 2): (1) by media
.
↑ Var(X) :pequeña
donde : Syl (9(2) = 5x
,
y(
,
y) = 2e A "Alta concentración"5x (2) 3(z)2
↑ "Baja dispersión"
= 2y ,
0 Y El ELX)
Luego, entonces : Var() : alta
EL /X= )= y de : e & "Baja concentración
ECX) "Alta dispersión
= 213 millones de $
· Var 20, siempre Solución :
· Var(X) · [Ux2] a) Var(X) = E(X2) - [E(X)]2
· Var(X) · Cantidad determinista
E(X= x(x) = -1 (0
.
2) + 0(0
.
4 + 10
.
3)
¿ Cómo se define la varianza ? + 2 (0.
1)
= 0
.
3
R/Var(X) = E((X - ECX)]]
-
E(X3) = Expf(x) = (- 1) (0
.2) + (0)(0.
4)
UX2 + (1) (0
. 3) + (2) (0.
1)
= 0
.
9
Definición alternativa de Var(X) :
- Var(X) = 0 .
9 -0
.
32
Var(X) = E([X - E(X)]2) Var(X) = 0
.
8) 12/
: E(X2 - 2XE(X) + [E(X(]2)
= E(X3) + E) -2XELX)) + EC[E(X)]) b) Var(X) = E(x2) - [E(x)]2
= E(Xz) - 2E(X)E(X) + [E(X)]2
= E(X2) - 2 [EX)]2 +EX] E(X=8 dx =Sx(1) ¢
-> Var(X) = E(Xz) - [E(X)]2
[ux2]
· xdx =xx-Exke
Desviación estándar de X:
Ox = Var(X) [ux] =
Ejemplo: Calcular la varianza de X
= E3 j
en los siguientes casos :
E(x3
: x5x (s
=Yx(1 )dxa Cuando X es discreta con pmf : &
PX(X) 0
. 4
0
.3
=xxxx
0
.
2
-> I 012
O
. 1
A =-
= 0.
↓l Cuando X es continua con paf :
·Var = Zun- (Zu)
5x() =11,OE =z3 - E
2 7
= 6 -
Var(X) = 2/4c2/l
E,n : Momento de orden Demostración :
de la variable aleatoria a) : E((() - [ELKX)]2
X. = E(k2x2) - 2kE(X)]2
= k2 E(X2) - K2[E(X)]2
Var(X)
=Segundo-Primeento) = K2(E(X2) - [E(X)]2]
=2 Var(X)
Propiedades de la Varianza 4) Si X y Y son variables aleatorias
Independientes :
Con :determinista y X,y variables
aleatorias : Var(ty) = Var (Xt Var(Y)
1 Var(k) = 0
/
Demostración :
V a
Var(X+ Y) = E((x+y(2) - [E(x+y)]2
~>Nohaydispersiónestamente : El 2xy +y2) - SELXS+ ELY]
concentradas = E(Xz) +2E(X y) +E(y2) - [E(X)] -...
K X ... - 2E(X)E(y) + CE(y)]2
Demostración : Var() = E(2) - [E(K)] = E(X3) - CELXS]2+ ELY) - [E(Y)] 2
= k2 - k2 +2[E) - ECXXELY)]
= 0
-
= Var(X) + Var(Y)
2) Var(X +k) = Var(X)
Covarianza
5x(M
- Medida de la relación lineal que
-5x+k(x) existe entre 2 variables aleatorias
.M - Puede ser positiva, negativa o cero .
7
· Depende de la escala
- Si la covarranza entre 2 variables
Demostración : aleatorias es cero, las variables
Var(X+ > = E((x+ k)2) - (E(x+ k))2 aleatorias se dicen "no correlacionadas
= E(x2+2kx+ 2 (ELX) + E(k))
2 ↓
= E(X3) +EL2kX)+E(k2) - [E(x)+k]2 No existe ningún
&= E(x) +2kE(X) +X - IECX(]2 - 2HE(X)-
2 tipo de relación
= E(X2) - [ECX(]2 = Var(x) lineal entre ellas
-Se define como :
3) Var(X) = =War(X)
Cov(X
,
Y) = E([X- E(X)][y - ELY(]) [ux-ve]
-5x(x)
M Skx(X) Aplicando propiedades del valor esperado
↑- COULX
,Y) = E(XY - XELY) - E(X)Y + E(X) E(Y)
X
= EXY)-EL(ELX)-EXELY+ELY
↑C,EEE Coeficiente de Correlación
- Versión normalizada de la covarianza
Propiedades de la Covarianza - No depende de la escala de las
variables aleatorias
.
Con Ki, 2 : deterministas y X,
Y - Tiene un rango bien establecido.
variables aleatorias
Se define como :
CX, X =Var
2Cor(X + k1
,
Y + k2) = COV(X,Y)
P(X,):) :
Adimension
3) Cov (k,X
,
2 = Kiz COV(X
,
Y)
donde : x : Var) : Desviación estándar
4) Var(X +Y) = Var(X) +Var(y) + 2COVCX
,
Y de X [wx]
↓
5) Si X y Y son independientes : Unidades
Cov(X
, y) = C de X
= Var) : Desviación estándar
Si V(X,= 0 + X y y son no de y [vy]
Correlacionadas d
Unidades
Nota: Dos variables aleatorias de
independientes son no
Correlacionadas
,
sin embargo, Propiedades del coeficiente de
dos variables aleatorias no Correlación
correlacionadas no son
necesariamente independientes. , 1 MaxCorr.
t
, 0 No Correl
.
Independencia implica, No (X,)=
1 Máx
correlación
.
Correl
.
-
Y Y
I
29(X, +) = Signi = 1
,
si i
t F E.......... - !
· 1
, 5 : 10
C, O COVCX, Y 20 ES9(X+1
,
Y+k2) = 8(X,
Y)
· 48(k , X
,
2) = Sign(kik2) P(X,Y
3) Si x y y son independientes : ↑ (X
,y)=0
Cov(X
,
y) =0 Ejemplo : En cada uno de los siguientes
casos
,
calcular: al Cov(X, JPX
,
y
<(Var(3X-4) d) Var(X)
1) X y y variables aleatorias discretas Cor(X
,
y = 0-0 . 0
con jpmf : = 0 + X yY no
Y Correlacionadas
I b) (X
, Y) = Cor(X,
y) = O13108 X Ox Oy
c) Var (3x - 4])
2)X y y variables aleatorias continuas = Var Var(4 +2 COV(3X
,
49)
con jpd5 : = 32 Var(x) + ( 4)2 Var(y) + 2 (3)(-4)COV(X
,Y)
Y
= 9 Var(X) + 16 Var(Y) - 24(0)
= 9EE(X-CEIGEELY
-SELYS])do·o
= 9 xpx(x) + 16 ypy(yX
Solución:
= 9((1) G + (0) + (1 )
I
I
3
x
+ 16((-112 +(0 +(1
31
2x = 5- 1
,
0
, 131 o = () + 16 ) = 5
& Y = 2 - 1
,
0
,
13 d) Var(X)
e = E((X2(2) - CE(X2]]2
= E(x4) - (E(Xz))2
PX(x)
3/8
=
2 xpx(xs - (2 xpx(x3]
O G18
·Prl
118 118
= ((1) + (0) E
P 9 X Y
- I 8 I - I O 1
- ((1 -11 + (0)8 + (1) ))
a) Cov(X
,
y) = E(Xy) - ELXSELY)
EXY)=E Y
= 8 - =
Y
= (1)(0) (OCOD --- - -- -
· IniIII+ LICOS E X
= O a) COV(X
,
Y) = E(XY) - ELX)ELY)
E(X) = 0
,
ELY) = 0
ELX)
=000<5x,
y,
3) dyk o =j dydx - (3)
j d= (* * 96
= j3x3dx = * : :E
= S'3x4 ¢x - 7
= 3x3)) o
Els
=00 100 5x
,Y,
es de o =3 . = = Vare s
.j y dydx : ydee - x
=
: 15 0 . 1936
II
20
= j(213) = ) 4x3¢ Oy = Varly) + Oy = Var(y)
Var(y) = E(y2) - [ELY)]2
= x4 =
E(y)= yy by
E(xy)
=j Yxyydydx = j3 y dydx=
=j y: / = 6x = x/ :
=j x = x : -Var(y) = 8 - (1 . = 8
- 1 = !
-COV(x
, 1)= () ()
+ y = 1 = 3 =0 .
4472
Il
= . = 16 B :
to,, Nos queda entonces :
b) ((X
,
y) = Cov(X
,
Y
Ox0y
p(x
,
3)
=c : 0
0x = Var(x) + 0x = Var(X)
Var(x) = E(x2) - [E(X)]2 c) Var (3X -4y)
= Var(3x) + Var(-4y) + 2Cov(3X,
-4Y)
Var=y y-[E) = 9Var(X) + 16 Var(y) - 24Cov(X
,
Y
= 9 (3180) + 16 (156024 (1120)
- Var (3x -4) = 107 = 2
.
337
II
PX(x)
X : variable aleatoria
d) Var(X3) = E(x4) - [E(X2)]3 Il 1 I
discreta
7
=(dydx -() y ↳ MO(X)
= j( * *34. dx - [] (x 3437dx) 5x(x)
X : Variable aleatoria
= ! 3xx - [) 3xd] -
continua
x
= 3 x4 (x/ moo(x)
Nota : Una variable aleatoria X
=- 1 =3 = E puede tener una sola moda
distribución unimoda o más de
una moda (distribución multimoda .
Var(x
=1 20 .
068
-unimo
delIl M
Otras medidas sobre variables
aleatorias ↑ ↓ X
Además de la media
,
la varianza, Bimodal
la desviación estándar
,
la covananza
y el coeficiente de correlación,
existe
una gran cantidad de medidas sobre
M un
variables aleatorias que proveen ↓ ↑
información acerca de la forma de Trimodal ↓ X
su distribución. Las más relevantes Tetramodal
son las siguientes :
Mediana : La mediana de una variable
Moda : La moda de una variable aleatoria continua X es aquel elemento
aleatoria X es el elemento más del recorrido debajo del cual se
probablelo más verosímil) de su encuentra el 30% de la probabilidad
recorrido. Se simboliza con MX y encima del cual se encuentra el
y se define como : 50% restante. Así, la mediana de X,
simbolizada con 30, se define como :
M = (),
Si X es una
E X ~.a. disereta Pr(X= 30) =Pr(X X30) = E
armáxx() ,
si X es una
~.. Continua S :S = E
los anianaX !
El Valor de 30 también se puede 25 30 73
calcular a partir de la función de
distribución acumulativa de x como:
*
$
Rangos interesartil
FX(30) = 1
+
30 = Fx (1(2
I ↑ Nota : La mediana y el percentil 50
son lo mismo.
Nota : Si X es una variable aleatoria
discreta, el cálculo de la mediana es 23 : Valor debajo del cual está el
ambigüo, por lo que no la 25% de los casos
.
consideraremos en este curso. so : Valor debajo del cual está el
50% de los casos.
Percentil : El percentil d de una 73 : Valor debajo del cual está el
variable aleatoria continua X, con 75% de los casos.
O2100, es aquel elemento del
recorrido debajo del cual se encuentra Ejemplo I : Sea X una variable aleatoria
el 2% de la probabilidad y encima discreta con puf :
del cual está el 4100-% restante
.
El percentil & de X
,
denotado con PX(X) = G
30
,
se define como : x ! (3 -x)( ! (x (3)3
x
para XE50, 1
,
2
,
33
.
Obtener sumoda:
Pr(XX2) = 1Pr(X> <2) = L
100 Solución :
(sx : 19 d d La función de probabilidad de X también
100 se puede expresar como:
fx(x)
X PX(x) 27
PX(X)
O 27/64 El
- I 27/64
64 O · 27
9/64
nido 2 9/64 1/64
3 1164
Son de especial interés los siguientes I 0 1 2 3 X
percentiles :
:. Los elementos más probables del
·2 = 23 Primer evartil recorrido son 0 y l
, por tanto, es
·
= 30 Segundo cuartil (Mediana una distribución bimodal con:
· 2 = 75 · Tercer Cuartil
Mo(X) = 0 y Mo(X)=
Ejemplo 2 : Sea X una variable - - j
x <23
= !aleatoria continua con f FXX) = Ex
,
J
para X20 .
+ 1 - p
- x23
= IDeterminar:
a) La moda de X
.
-
10 =9
b) La mediana de X
.
El percentil 23de -3 = e
3
El percentil 90 de X
.
Solución :
- x23 = In(2))
a) Lad de X tiene la siguiente
23 = (n(() = 23 = 0
.
2876
/
Forma : d) Para el percentil 90 :
fx(x)
Aquí es claro que Pr(XE90) = 0
.
9
X(X) se maximiza-
en = 0, por tanto Ja0fx(x) bx = 0
.9
*
G X MO(X) = O 90
-xbx = 0 .4
b) La mediana de X se puede calcular
-> S
como: PV(X 30) = E + 10
- 90
= 0
.
9
+ 100
.
9 = e
-x40
T so5x(xs = 1 = 5 oexx =1
* 2 - 0
.
1 = e90
= 0x +30 = t 1 3 - In (j) =
- xac
2
- 11 =g
30
- 1 : es 90 = In (10) - X90= 2 .3025/
- - x30 = In ()
- X30 = (n(2)
30 = 0 .
693)/
2) Para el percentil 23 :
Pr(X = 25) = 0
.
25
a5x(xdx = 0
.
23 - Y e-x¢x = !