CERT 1 METODOS SEM 2 DE 2004 Correccion ejercicio 2

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Apuntes de Métodos de Predicción 
Ingeniería Civil Industrial Germán Paredes B. 
Universidad del Bío-Bío 
CERTAMEN 1 DE MÉTODOS DE PREDICCIÓN SEM 2 DE 2004
Problema 1: El subgerente de investigación y desarrollo de una gran compañía química y 
de fabricación de fibras cree que las ganancias anuales de la empresa dependen de la 
cantidad gastada en I + D. El nuevo gerente de la compañía no está de acuerdo y ha 
solicitado pruebas. 
A continuación se muestran los datos (en millones de US$) de seis años: 
 
I + D 2 3 5 4 11 5
Ganancias 
anuales 
20 25 34 30 40 31 
a) ¿Cree Ud. Que es posible definir un modelo entre ambas variables? 
b) El analista propone dos modelos posibles para ajustar los datos: 
i. Yi = β0 + β1 Xi
ii. Yi = β0 + β1 ln Xi
¿Qué modelo recomendaría Ud.? Justifique. 
c) En base al modelo propuesto por Ud. Realice una predicción cuando el gasto en I+D 
es 7 millones de dólares. Indique además el intervalo de predicción del 99% 
correspondiente. Interprete. 
d) Si se desea una ganancia anual de 40 millones ¿Cuál debería ser el gasto en I + D? 
e) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la ganancia anual media cuando 
el gasto en I + D es de 5 millones de US$. Interprete. 
f) Interprete la pendiente del modelo. Interprete además el coeficiente de posición. 
 
Solución Problema 1
a) Es posible definir un modelo ya que existe causalidad entre las variables 
“ganancias” y I + D en el sentido de que al hacer más I y D permite buscar nuevas 
oportunidades de desarrollo de productos, disminuyendo costos de producción y 
aumentando las utilidades o ganancias. 
Por lo tanto, la variable independiente serán la I + D y la variable dependiente las 
ganancias. 
 
b) Modelo 1: 
ii xy 10
∧∧∧
+= ββ
826,0R;220 2 =+=
∧
ii xy
Modelo 2: 
ii xy ln10
∧∧∧
+= ββ
9632,0R;8927,115676,12 2 =+=
∧
ii xy
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Ingeniería Civil Industrial Germán Paredes B. 
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Por lo tanto, la variabilidad de la variable respuesta (ganancias) queda mejor 
explicada por el uso del logaritmo de I + D en el modelo (R2 = 96,32%) 
 
c) Si I + D = 7, � ganancias = 35,7 
Se predice que gastando 7 millones de dólares, la ganancia debiera ser de 35,7 
millones de dólares. 
Intervalo de predicción: 
))(·( *0
*
ii ySty
∧∧
±
CME
xx
xx
n
yS
i
i
i ·)(
)(11)(
2
2
*2








−
−
++=
∑
∧
43,53) (27,867; :sería predicción deintervalo El
)703,1·60,47,35(
42)-(6p)-n(libertad degrados 4yconfianza de99%con 60,4
703,1)(
9,2)(
22,2·
6482,1
)4658,19459,1(
6
11)(
9459,17ln
22,2
·1
0
*
*2
2
*2
10
2
∴
±
===
=
=





 −++=
==
=
−−
−
=
∧
∧
∧
∧∧
∑∑∑
t
yS
yS
yS
x
CME
yxyy
pn
CME
i
i
i
i
iiii ββ
El intervalo de predicción (con un 99% de seguridad) de las ganancias, cuando el 
gasto en I+D es 7 millones de dólares, está dado por: (27,867; 43,53) millones de 
dólares. 
 
d) si y = 40 millones de dólares 
103067,2 ==
∧
ex
Por lo tanto si se desea obtener una ganancia de 40 millones de dólares, el gasto en I 
+ D debe ser de 10 millones de dólares. 
 
e) Intervalo de confianza para la ganancia anual media 
Está dado por: ))(·( 0 ii ySty
∧∧
±
Para x = 5, y = 31,7 
t0 = 2,78
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)63,0·78,27,31(
63,0)(
22,2·
6482,1
)5658,1609,1(
6
1)(
2
2
±
=





 −+=
∧
∧
i
i
yS
yS
Se puede decir, con un 99% de confianza, que la ganancia anual media cuando el 
gasto es de 5millones de dólares, estará entre 29,95 y 33,45 millones de dólares. 
 
f) β1 es la pendiente del modelo, y quiere decir que cuando el gasto en I+D aumenta en 
1 millón de dólares, las ganancias aumentan en 11,89 millones de dólares. 
β0 indica que las ganancias anuales, cuando la I + D es cero, son de 12,56 millones 
de dólares. 
 
Problema 2: Muestre que 
 
),();( ZYZbYa σσ =++
Solución Problema 2
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
),();(
))();((E
)))(((E
))())((((
)))((();(
ZYZbYa
ZEZYEY
ZEbZbYEaYa
ZEbEZbYEaEYaE
ZbEZbYaEYaEZbYa
σσ
σ
=++∴
−−=
−−+−−+=
+−++−+=
+−++−+=++
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Problema 3: Al resolver el sistema de ecuaciones normales: 
 
∑∑∑
∑∑
∧∧
∧∧
+=
+=
2
10
10
iiii
ii
xxyx
xny
ββ
ββ
mediante Cramer se obtiene como estimador del parámetro β0:
( )( ) ( )( )
( )( )22
2
0
∑∑
∑∑∑∑
−
−
=
∧
ii
iiiii
xxn
yxxxy
β
muestre que esta expresión es equivalente a la expresión: 
 
xy
∧∧
−= 10 ββ
Solución Problema 3
( )( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
)(
)(
)(
)(
10
1
22
0
0
2
1
2
0
2
0
22
0
2
1
2
0
22
2
10
22
0
22
2
10
2
0
22
2
0
∧∧
∧∧
∧∧∧∧
∧∧
∧
∧∧
∧
∧∧
∧
∧
−=
−=
−−=−
−
−−
=
−
−−
=
−





 +−
=
−
−
=
∑∑
∑∑
∑
∑
∑
∑∑
∑
∑∑∑
∑∑
∑∑∑∑
ββ
ββ
ββββ
ββ
β
ββ
β
ββ
β
β
xy
xyxx
xnxyxxnx
xnx
xnxyx
xnx
xxxnxy
xnx
xxxxy
xxn
yxxxy
ii
ii
i
i
i
ii
i
iii
ii
iiiii