Pauta_Practica2_EME312

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UNIVERSIDAD DEL DESARROLLO 
FACULTAD DE ECONOMÍA Y NEGOCIOS 
CARRERA: INGENIERÍA COMERCIAL 
NGF/RSE/rse 
 
Pauta Practica Nº 2 ESTADÍSTICA II EME312 – Martes 21/08/2012 
 
Ejercicio 1) Se sabe que el costo medio de la colegiatura en una universidad estatal de Estados 
Unidos es de 4260 dólares anuales. Si se selecciona una muestra aleatoria de 50 universidades: 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la colegiatura de las 50 universidades no 
difiera de la media poblacional en más 250 dólares? Si la desviación estándar de la 
muestra es de 900 dólares. 
b) Suponiendo que la desviación estándar de la muestra es de 900 dólares. ¿Qué valor debe 
la media de la colegiatura de las 50 universidades para que esté dentro del primer quintil. 
 
Solución: Favor resolver siguiendo esta pauta, esta será la exigencia en la respuesta 
1ero: Definir la variable aleatoria 
2do: indicar la distribución de la población (si no es normal uso como comodín f(.)) 
3er: Resolver 
4to: responder verbalmente la pregunta 
 
Sea X variable aleatoria costo de la colegiatura en una U. estatal de EEUU 
 X ~ f(.) donde µ=4260 y σ desconocida 
(Como debemos calcular probabilidades respecto de la media de la muestra, la declaramos) 
 
Sea X v.a costo medio de la colegiatura en 50 Universidades estatales de EEUU 
Como n=50 >30 por T.L.C la distribución muestral de X se aproxima a la normal. 
 
a) ( )(49) (49)250 250P( 250 X 250) P t P 1.96 t 1.96900 900
50 50
 − − ≤ − µ ≤ = ≤ ≤ = − ≤ ≤
 
 
 
como los grados de libertad no aparecen en tabla y 49>30 podemos aproximar usando la tabla 
normal estándar, Así ( )(49)P 1.96 t 1.96− ≤ ≤ = 0.975 – 0.025= 0.95 
Respuesta: la probabilidad de que la media de la colegiatura de las 50 universidades no difiera de 
la media poblacional en más 250 dólares es de un 95% 
 
b) Recordar que el quintil es la división del conjunto de datos ordenados en 5 partes iguales, 
cada parte contiene el 20% de las observaciones, luego para que se cumpla lo pedido la 
media debe pertenecer al primer 20%, así debemos obtener un valor x0 tal que 
( ) 00 (49) x 4260P X x 0.2 P t 0.2900
50
 − ≤ = ⇒ ≤ =
 
 
 usando la aproximación de la tabla a la normal se 
tiene: 
 0 0
x 4260
0.84 x 4153,1
900
50
− = − ⇒ = 
 
Respuesta: la media de la colegiatura de las 50 universidades para que esté dentro del primer 
quintil debe tener un valor de a lo más 4153.1 
 
Ejercicio 2) De acuerdo a una revista económica, el costo medio anual de un seguro para 
automóviles de de 939 dólares. 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de pólizas de seguro de 
automóvil la media muestral no difiera más de 25 dólares de la media poblacional si el 
tamaño de muestra es 30, 50, 100 y 400 pólizas? y la desviación estándar es de 80.5. 
b) ¿Qué puede comentar respecto de lo ventajoso o no de aumentar el tamaño muestral? 
 
Solución: 
 Sea X v.a. costo anual de un seguro para automóviles. 
 X ~ f(.) donde µ=939 y σ desconocida 
 Sea X v.a costo medio anual de n seguros para automóviles 
Como al menos n=30 ≥ 30 por T.L.C la distribución muestral de X se aproxima a la normal. 
 
a) ( ) ( )(29) (29)25 25P 25 X 939 25 P t P 1.7 t 1.780.5 80.5
30 30
 − − ≤ − ≤ = ≤ ≤ = − ≤ ≤
 
 
=0.95 – 0.05 
 =0.90 
 
b) ( ) ( )(29) (29)25 25P 25 X 939 25 P t P 2.2 t 2.280.5 80.5
50 50
 − − ≤ − ≤ = ≤ ≤ = − ≤ ≤
 
 
 
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CARRERA: INGENIERÍA COMERCIAL 
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haciendo uso aproximado de la tabla Z se tiene que 
 
( )P 25 X 939 25− ≤ − ≤ =0.9861 – 0.0139=0.9722 
Siguiendo de la misma forma para el resto de los tamaños muéstrales observamos que la 
probabilidad que el suceso ocurra se va incrementando acercándose a 1 
 
Ejercicio 3) Se rechazará la afirmación de que la varianza de una población distribuida normal es 
2σ =64 si la varianza de una muestra aleatoria de tamaño 17 excede a 115,38. ¿Cuál es la 
probabilidad de que la afirmación será rechazada aún cuando 2σ =64.?. 
Solución: 
( )
(16)
2
2 2
2
(n 1)S (16)115.38
P(S 115.38) P P 28.845 0.025
64
 −> = > = χ > = σ 
, es poco probable que la 
afirmación será rechazada aún cuando 2σ =64. 
 
 
Ejercicio 4) Se toma una muestra aleatoria de 27 observaciones de una población distribuida 
normal con varianza 2σ =16.8. Hallar la probabilidad aproximada de obtener una desviación 
estándar de la muestra entre 3.0 y 5.2. 
Solución: 
( )P 3.0 S 5.2≤ ≤ se debe tener en cuenta que S2 se relaciona con la distribución chi-cuadrado, por 
lo que debemos proceder de la siguiente forma para formar la Chi-cuadrado: 
 
( ) ( )
2
2 2 2
2
26(9) (n 1)S 26(27.04)
P 3.0 S 5.2 P 3.0 S 5.2 P
16.8 16.8
 −≤ ≤ = ≤ ≤ = ≤ ≤ σ 
 
 ( )2(26)P 13.93 41.85= ≤ χ ≤ 
 =0.975-0.025 = 0.95 
 
Ejercicio 5) La renta disponible mensualmente por una familia es una variable aleatoria que sigue 
una distribución normal con media 905 euros y desviación estándar de 450 euros. Para realizar un 
estudio sobre los hábitos de compra de las familias de esta comunidad, se ha seleccionado una 
muestra aleatoria de 1000 familias. Calcular la probabilidad que la desviación estándar de la 
muestra sea superior de 430 euros. 
Solución: 
Sea X v.a renta disponible mensual por familia; X N(905; 202500)∼ 
 
( )2 2 2(999) (999)999(184900)P(S 430) P S 184900 P P( 912.17)202500
 > = > = χ > = χ > 
 
 
Como los grados de libertad son mayores de 100, podemos usar lo observado en la tabla, es decir 
que 2k2 N( 2k 1; 1)χ −∼ , en nuestro ejemplo, k = 999, así 29992 N(44.7; 1)χ ∼ luego; 
 
( )2 2(999) 999 42.71 44.7P( 912.17) P 2 2(912.17) P Z P(Z 1.99) 0.97671
− χ > = χ > ≈ > = > − = 
 
 
Respuesta: la probabilidad que la desviación estándar de la muestra sea superior de 430 euros es 
aproximadamente de un 97.7% . 
 
 
Ejercicio 6) El gasto anual per cápita en ocio en un ciudad A es una variable aleatoria distribuida 
normal con media $1200 y desviación estándar de $500, mientras que en la ciudad B es una 
variable aleatoria distribuida normal con media $300 y desviación estándar $60. Si en la ciudad A 
se observa el gasto en ocio de 61 personas elegidas aleatoriamente y en la ciudad B de 21. 
a) ¿Cuál es la probabilidad que la varianza muestral de la cuidad A sea mayor en 181.1 respecto 
de la varianza muestral de la cuidad B? 
b) ¿Por qué número habrá que multiplicar la varianza de la muestra de la cuidad B para superar a 
la varianza de la muestra de la cuidad A, con una probabilidad de 0.05? 
Solución: 
Sea X v.a gasto anual per cápita en ocio en una ciudad A; X N(1200; 250000)∼ 
Sea Y v.a gasto anual per cápita en ocio en una ciudad B; X N(300; 3600)∼ 
 
n= 61 y m = 21 
( )
2
A
222
B2 2 AA
A B (60,20)2 2 2
B B A
2
B
S
181.1SP(S 181.1S ) P 181.1 P P F 2.607
S S
 
 σσ > = > = > = >  
  σ 
 σ 
= 0.01 
 
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NGF/RSE/rse 
b) 
2
A
2 22
A B2 2 A
A B (60,20)2 2 2
B B A
2
B
S
S
P(S bS ) P b P b P(F b(0.0144)) 0.05
S S
 
   σσ< = < < = < =   σ  
 σ 
 
pero (60,20) 0.05(60,20)
1 (20,60) 0.95(20,60)
1 1 1
F F 0.5721
F F 1.748α −α
= ⇒ = = = 
 
luego; b(0.0144)= 0.5721 � b =39.7 
 
Así la varianza de la muestra de la cuidad B debe ser multiplicada por 39.7 para superar a la 
varianza de la muestra de la cuidad A, con una probabilidad de 0.05. 
 
Ejercicio 7) Sean dos muestras aleatorias independientes de tamaño 13 y 9 respectivamente 
procedentes de dos poblaciones distribuidas normal. Determinar a y b de manera que siendo igual 
las varianzas de las dos colas se verifique: 
 
 
2
12
2
SP a b 0.95
S
 ≤ ≤ = 
 
 
a) Cuando las varianzas poblacionales son iguales. 
b) Cuando el cuociente de la varianza de la primera población entre la segunda población es 
0.5. 
 
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