ecuaciones_coef_analiticos_2014_2015-(v5)

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Ampliación de Matemáticas.
Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo
orden con coeficientes anaĺıticos.
Mr. X
Departamento de Matemática Aplicada a la Ingenieŕıa Aeronáutica
ETS Ingenieŕıa Aeronáutica y del Espacio.
Universidad Politécnica de Madrid
Noviembre - 2014
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
En este tema se consideran algunas ecuaciones diferenciales
ordinarias de segundo orden, lineales, con coeficientes anaĺıticos.
Este problema se analiza desde el punto de vista de la teoŕıa de las
funciones anaĺıticas. La potencia de las herramientas disponibles en
el marco de las funciones anaĺıticas permiten obtener resultados
relevantes en lo referente a la estructura de las soluciones de este
tipo de ecuaciones. Desde el punto de vista operativo, estas
herramientas permiten convertir la ecuación diferencial en un
sistema de ecuaciones algebraicas cuya solución se puede obtener
recursivamente. Este procedimiento también puede aplicarse a
ecuaciones no lineales.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Sean D ⊂ C un dominio, p : D → C y q : D → C dos funciones
anaĺıticas en D y w0,w1 ∈ C dos números complejos dados.
Considérese el problema de Cauchy definido por
d2w
dz2
(z) = −p(z)dw
dz
(z)− q(z)w(z), (1)
w(z0) = w0,
dw
dz
(z0) = w1, (2)
donde z0 ∈ D.
Teorema
Sea B(z0,R) el disco abierto de centro z0 y radio R > 0. Si
B(z0,R) ⊂ D entonces el problema de Cauchy definido por (1)-(2)
tiene una solución anaĺıtica en B(z0,R).
El teorema anterior permite obtener expĺıcitamente el desarrollo en
serie de Taylor de w en B(z0,R).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Observaciones
El teorema anterior proporciona una cota inferior del radio de
convergencia del desarrollo en serie de Taylor de la solución del
problema de Cauchy.
El teorema anterior no se puede extender a ecuaciones no lineales.
Más concretamente, la solución general de la ecuación diferencial
dw
dz
(z) = wp(z)
es
w(z) = ((1− p)(z − z0))
1
1− p
que para p ≥ 3 tiene un corte de ramificación. Además, la solución
tiene una singularidad que depende de la condición inicial.
Las ecuaciones cuyas soluciones son tales que las singularidades
que presentan son polos que dependen de la condición inicial se
llaman ecuaciones de Painlevé.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
EJERCICIO 1.
Considérese el problema de Cauchy definido por
d2w
dz2
(z) + exp(z)w(z) = 0 en C,
w(0) = c0,
dw
dz
(0) = c1,
donde c0 y c1 son dos números complejos dados. Hallar la derivada
k−ésima en el origen de la solución del problema anterior, en
términos de las derivadas de menor orden, para c0 = 1, c1 = 0.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Para determinar la solución obtendremos directamente la derivada
k-ésima de la función w en el origen.
Aplicando la regla de Leibnitz a la la ecuación del enunciado
dkw
dzk
(0) = −(
(
k − 2
0
)
w(0) +
(
k − 2
0
)
w ′(0)+
· · ·+
(
k − 2
k − 3
)
w (k−3(0) +
(
k − 2
k − 2
)
w (k−2(0))
w(z) = 1 + 0z − z
2
2
+
k=+∞∑
k=3
w (k(0)
k!
zk . (3)
Nótese que la propia ecuación proporciona el valor de la derivada
segunda en el origen.
De la relación de recurrencia que proporciona la derivada k-ésima
de la función w se obtiene w (3(0) = −1, w (4(0) = 0, w (5(0) = 3,
w (6(0) = 9, . . .
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EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Otro modo de obtener el desarrollo en serie de Taylor de la función
w es imponer que la función dada por el desarrollo
w(z) =
k=+∞∑
k=0
ckz
k . (4)
sea solución de la ecuación diferencial.
Sustituyendo el desarrollo (4) en la ecuación diferencial y
sustituyendo exp(z) por su desarrollo en serie de Taylor se obtiene
k=+∞∑
k=2
k(k − 1)ckzk−2 = −(
m=+∞∑
m=0
1
m!
zm)(
j=+∞∑
j=0
cjz
j). (5)
Igualando los coeficientes de zk en ambos lados de la igualdad se
obtiene
(k + 2)(k + 1)ck+2 = −
j=+∞∑
j=0
ck−j
j!
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Por tanto, para k ≥ 1
ck+2 = −
1
(k + 2)(k + 1)
j=k∑
j=0
ck−j
j!
. (6)
De la relación de recurrencia (6) se obtiene c3 =
−1
3 · 2
=
w (3(0)
3!
c4 = 0 =
w (4(0)
4!
c5 =
−1
x
=
w (5(0)
5!
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
EJERCICIO 2.
Considérese el problema de Cauchy definido por
d2w
dz2
(z) + z2
dw
dz
(z)− zw(z) = 0 en C,
w(0) = c0,
dw
dz
(0) = c1,
donde c0 y c1 son dos números complejos dados. Hallar las
soluciones del problema anterior para c0 = 1, c1 = 0.
Puesto que los coeficientes de la ecuación son enteros, la solución
de los dos problemas de Cauchy es entera. Por tanto, la solución
del primer problema se puede escribir como
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
w1(z) = 1 + 0z + 0z
2 +
k=+∞∑
k=3
bkz
k . (7)
Nótese que la propia ecuación proporciona el valor de la derivada
segunda en el origen.
Sustituyendo el desarrollo (7) en la ecuación diferencial se obtiene
k=+∞∑
k=2
k(k − 1)bkzk−2 + z2
k=+∞∑
k=1
kbkz
k−1 − z
k=+∞∑
k=0
bkz
k = 0.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Desarrollando cada uno de los tres sumatorios de la iguladad
anterior en una fila se obtiene
2b2+6b3z+4 · 3b4z2+5 · 4b5z3+. . .+(k + 2)(k + 1)bk+2zk + . . .
0+ 0z+ b1z
2+ 2b2z
3+. . .+ (k − 1)bk−1zk + . . .
0− b0z− b1z2− b2z3−. . .− bk−1zk + . . .
El coeficiente de la potencia zk de la igualdad anterior es
(k + 2)(k + 1)bk+2 + (k − 2)bk−1 = 0, de donde
bk+2 = −
(k − 2)
(k + 2)(k + 1)
bk−1
para k ≥ 2.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Puesto que b1 = 0 y b2 = 0, en el desarrollo en serie de la función
w sólo aparecen términos de la forma z3k donde k ∈ N.
Por tanto, la solución del problema de Cauchy del enunciado es
w(z) = 1 +
1
3 · 2
z3 − 2
6 · 5 · 3 · 2
z3 · · ·+
(−1)n+1(3n − 4)(3n − 7) . . . 2
3n(3n − 1)(3n − 3)(3n − 4) . . . 3 · 2
z3n + . . .
En virtud del teorema de existencia y unicidad de solución de
ecuaciones con coeficientes anaĺıticos en una bola el radio de
convergencia de la serie anterior es +∞. Además, se puede
calcular directamente el radio de convergencia de la serie y
comprobar que es +∞.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
EJERCICIO 3.
Considérese el problema de Cauchy definido por
(1− z2)d
2w
dz2
(z)− z dw
dz
(z) + λ2w(z) = 0 en C, (8)
w(0) = b0,
dw
dz
(0) = b1, (9)
donde λ, c0 y c1 son dos números complejos dados. Hallar las
soluciones del problema anterior para b0 = 1, b1 = 0.
A la ecuación del enunciado se la conoce como ecuación de
Chebyshev. Las soluciones polinómicas de esta ecuación juegan un
papel destacado en la F́ısica Matemática.Puesto que
z
1− z2
y
λ2
1− z2
son funciones anaĺıticas en
B((0 + 0i), 1) la solución de la ecuación es anaĺıtica en
B((0 + 0i), 1). Por tanto, la solución del primer problema se puede
escribir como
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
w1(z) = 1 + 0z + 0z
2 +
k=+∞∑
k=3
bkz
k . (10)
Nótese que la propia ecuación proporciona el valor de la derivada
segunda en el origen.
Sustituyendo el desarrollo (10) en la ecuación diferencial se obtiene
(1−z2)
k=+∞∑
k=2
k(k−1)bkzk−2−z(
k=+∞∑
k=1
kbkz
k−1)+λ2
k=+∞∑
k=0
bkz
k = 0
El coeficiente de la potencia zk de la igualdad anterior es
(k + 2)(k + 1)bk+2 − (k(k − 1) + k)bk + λ2bk = 0.
de donde
bk+2 =
k2 − λ2
(k + 2)(k + 1)
bk
para k ≥ 1.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Las condiciones del problema de Cauchy del enunciado obligan a
que la solución correspondiente sea par.
No es dif́ıcil comprobar que el radio de convergencia de la serie
(10) es 1.
Además, para λ = 0 la solución general la ecuación es
w(z) = C1 arcsin(z) + C2
Compruebe que si λ2 = n2 donde n ∈ N y par la solución del
problema de Cauchy del enunciado es un polinomio par de grado n.
Este hecho, ¿Contradice el teorema de existencia y unicidad de
solución anaĺıtica para el problema de Cauchy?.
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EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Para valores de λ reales es posible calcular la solución general de la
ecuación de Chebyshev.
Haciendo el cambio de variable independiente z = cos(y) se
obtiene que
dw
dy
=
dw
dz
d cos(y)
dy
= − sin(y)dw
dz
,
d2w
dy 2
(y) = sin2(y)
d2w
dz2
− cos(y)dw
dz
.
Del sistema anterior se obtiene
dw
dz
=
−1
sin(y)
dw
dy
,
d2w
dz2
=
1
sin2(y)
d2w
dy 2
− cos(y)
sin3(y)
dw
dy
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Sustituyendo las expresiones anteriores en la ecuación diferencial y
en las condiciones de contorno, el problema de Cauchy dado por
(8)-(9) se convierte en
d2w
dy 2
(y) + λ2w(y) = 0, (11)
w(
π
2
) = b0,
dw
dy
(
π
2
) = −b1. (12)
La solución general de la ecuación anterior es
w(y) = C1 sin(λy) + C2 cos(λy), (13)
donde
C1 =
1
λ
(λb0 sin(
λπ
2
)− b1 cos(
λπ
2
)),
C2 =
1
λ
(λb0 cos(
λπ
2
) + b1 sin(
λπ
2
)).
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EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
La solución general del problema (11)-(12) dada por (13) permite
obtener expĺıcitamente las soluciones polinómicas de (8)-(9).
Sea w2 la solución de (8)-(9) para λ = 1, b0 = 0 yb1 = 1. En ese
caso w2(cos(y)) = cos(y) es decir w2(z) = z .
Sea w1 la solución de (8)-(9) para λ = 2, b0 = 1 yb1 = 0. En ese
caso w1(cos(y)) = − cos(2y) = −(2 cos2(y)− 1) es decir
w1(z) = 1− 2z2.
Procediendo de modo análogo se obtienen en resto de los
polinomios de Chebyshev. Es relativamente sencillo probar que,
salvo una constante, los polinomios de Chebyshev, Tn verifican la
igualdad
Tn(cos(y)) = cos(ny).
La igualdad anterior junto con la fórmula de DeMoivre permite
obtener expĺıcitamente los polinomios de Chebyshev.
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EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Finalmente, es conveniente poner de manifiesto que en muchas
aplicaciones la ecuación de Chebyshev se escribe de la forma
d
dz
(
√
(1− z2)dw
dz
(z)) +
λ2√
(1− z2)
w(z) = 0, (14)
en B((0 + 0i, 1), w(0) = b0,
dw
dz
(0) = b1, (15)
es decir, en forma divergencia.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Polinomios de Chebyshev (pares)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Polinomios de Chebyshev (impares)
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EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
EJERCICIO 4.
Considérese el problema de Cauchy definido por
d2w
dz2
(z)− zw(z) = 0 en C,
w(0) = c0,
dw
dz
(0) = c1,
donde c0 y c1 son dos números complejos dados. Hallar las
soluciones del problema anterior para c0 = 1, c1 = 0 y para c0 = 0,
c1 = 1.
A la ecuación del enunciado se la conoce como ecuación de Airy y
aparece en el estudio de la difracción de las ondas y en otros
fenómenos relacionados.
Puesto que los coeficientes de la ecuación son enteros, la solución
de los dos problemas de Cauchy es entera. Por tanto, la solución
del primer problema se puede escribir como
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
w1(z) = 1 + 0z + 0z
2 +
k=+∞∑
k=3
bkz
k . (16)
Nótese que la propia ecuación proporciona el valor de la derivada
segunda en el origen.
Sustituyendo el desarrollo (16) en la ecuación diferencial se obtiene
k=+∞∑
k=3
k(k − 1)bkzk−2 − (z +
k=+∞∑
k=3
bkz
k+1) = 0.
El coeficiente de la potencia zk−2 de la igualdad anterior es
k(k − 1)bk − bk−3 = 0, de donde bk =
bk−3
k(k − 1)
para k ≥ 3.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Aplicando recursivamente la igualdad anterior y teniendo en cuenta
que b0 = 1
w1(z) = 1 +
k=+∞∑
k=1
z3k
(3k)(3k − 1)(3(k − 1))(3(k − 1)− 1) · · · 3 · 2
.
Para obtener la solución del segundo problema de Cauchy se aplica
recursivamente la igualadad bk =
bk−3
k(k − 1)
teniendo en cuenta que
b1 = 1. Por tanto,
w2(z) = z +
k=+∞∑
k=1
z3k+1
(3k + 1)(3k)(3(k − 1) + 1)(3(k − 1)) · · · 4 · 3
.
A la función definida por la igualdad
Ai(z) =
w1(z)
32/3Γ( 23 )
− w2(z)
31/3Γ( 13 )
se la denomina función de Airy.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
Función de Airy Ai(x)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
−20 −15 −10 −5 0 5
−1
0
1
2
3
4
5
Función de Airy Bi(x)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
EJERCICIO 5.
Considérese el problema de Cauchy definido por
d
dz
((1− z2)dw
dz
(z)) = −λw(z) si |z | < 1, (17)
w(0) = c0,
dw
dz
(0) = c1, (18)
donde c0, c1 y λ son tres números complejos dados. Hallar las
soluciones del problema anterior para c0 = 1, c1 = 0 y para c0 = 0,
c1 = 1 con λ = n(n + 1) donde n es un número natural dado.
A la ecuación del enunciado se la conoce como ecuación de
Legendre.
Puesto que el punto z = 0 es un punto ordinario para la ecuación
de Legendre, la teoŕıa asegura que la solución de los dos problemas
de Cauchy es anaĺıtica en el disco |z | < 1. Por tanto, la solución
del primer problema se puede escribir como
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinariasde segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
w1(z) =
k=+∞∑
k=0
bkz
k . (19)
Sustituyendo el desarrollo (19) en la ecuación diferencial se obtiene
k=+∞∑
k=2
k(k − 1)bkzk−2−
k=+∞∑
k=0
(−k(k + 1))bkzk +
k=+∞∑
k=0
λbkz
k = 0.
El coeficiente de la potencia zk−2 de la igualdad anterior es
(k + 1)(k + 2)bk+2 + (−k(k + 1) + λ)bk = 0,
de donde
bk+2 =
(k(k + 1)− λ)
(k + 1)(k + 2)
bk
para k ≥ 2.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Nótese que b0 y b1 están determinados por las condiciones iniciales
del problema de Cauchy.
Aplicando recursivamente la igualdad anterior y teniendo en cuenta
que b0 = 1
w1(z) = 1 +
k=+∞∑
k=1
z2k
((2k − 1)(2k − 2)− λ)((2k − 3)(2k − 4)− λ) . . . (3,2− λ)(−λ)
(2k)!
.
Para obtener la solución del segundo problema de Cauchy se aplica
recursivamente la igualadad bk+2 =
(k(k+1)−λ)
(k+1)(k+2) bk teniendo en
cuenta que b0 = 0 y b1 = 1.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Por tanto,
w2(z) = z +
k=+∞∑
k=1
z2k+1
((2k)(2k − 1)− λ)((2k − 2)(2k − 3)− λ) . . . (4 · 3− λ)(2 · 1− λ)
(2k + 1)!
.
Nótese que para λ = n(n + 1) todos los coeficientes de los bk para
k > n son nulos. Es decir, la solución del problema de Cauchy (para
b0 = 1, b1 = 0 o b0 = 0, b1 = 1) es un polinomio uno de grado n.
Las condiciones del problema de Cauchy del enunciado obligan a
que la solución correspondiente sea par o impar.
Se puede demostrar que las soluciones polinómicas de (17) para
λ = n(n + 1) son de la forma
Pn(x) =
1
2nn!
dn
dxn
((x2 − 1)n).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
No es dif́ıcil comprobar que el radio de convergencia de la serie
(19) es 1.
Además, para λ = 0 la solución general la ecuación es
w(z) = C1 ln(
1 + z
1− z
) + C2.
La función w es anaĺıtica en el disco abierto de centro 0 + 0i y
radio unidad.
Nótese que para λ = n(n + 1) existen soluciones de la ecuación
que son polinomios no nulos y por tanto funciones enteras. Este
hecho, ¿Contradice el teorema de existencia y unicidad de solución
anaĺıtica para el problema de Cauchy?
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Polinomios de Legendre (grado par)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Polinomios de Legendre (grado impar)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
EJERCICIO 6.
Considérese el problema de Cauchy definido por
d2w
dz2
(z)− 2z dw
dz
(z) + 2λw(z) = 0 en C,
w(0) = b0,
dw
dz
(0) = b1,
donde λ, b0 y b1 son dos números complejos dados. Hallar las
soluciones del problema anterior para b0 = 1, b1 = 0.
A la ecuación del enunciado se la conoce como ecuación de
Hermite. Las soluciones polinómicas de esta ecuación juegan un
papel destacado en la F́ısica Matemática y en el análisis numérico.
Puesto que 2z y la función unidad son funciones enteras, la
solución de la ecuación es entera. Por tanto, la solución del primer
problema se puede escribir como
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
w1(z) = 1 + 0z + 0z
2 +
k=+∞∑
k=3
bkz
k . (20)
Nótese que la propia ecuación proporciona el valor de la derivada
segunda en el origen.
Sustituyendo el desarrollo (10) en la ecuación diferencial se obtiene
k=+∞∑
k=2
k(k − 1)bkzk−2 − 2z(
k=+∞∑
k=1
kbkz
k−1) + 2λ
k=+∞∑
k=0
bkz
k = 0
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Desarrollando cada uno de los tres sumatorios de la iguladad
anterior en una fila se obtiene
2b2+ 6b3z+4 · 3b4z2+5 · 4b5z3+. . .+(k + 2)(k + 1)bk+2zk + . . .
0− 2b1z−2 · 2b2z2−2 · 3b3z3−. . .− 2kbkzk − . . .
2λb0+2λb1z+ 2λb2z
2+ 2λb3z
3+. . .+ 2λbkz
k + . . .
El coeficiente de la potencia zk de la igualdad anterior es
(k + 2)(k + 1)bk+2 − 2kbk + 2λbk = 0, de donde
bk+2 =
2k − 2λ
(k + 2)(k + 1)
bk
para k ≥ 1.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Las condiciones del problema de Cauchy del enunciado obligan a
que la solución correspondiente sea par.
No es dif́ıcil comprobar que el radio de convergencia de la serie
(20) es +∞
Para λ = n existen soluciones de la ecuación que Hermite son
polinomios no nulos.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
El siguiente teorema garantiza la existencia y unicidad de solución
para dominios simplemente conexos.
Teorema
Sea D ⊂ C un dominio simplemente conexo y z0 un punto de D.
Entonces el problema de Cauchy definido por (1)-(2)
Tiene una solución anaĺıtica en D.
Esta solución anaĺıtica es única en D.
La condición que impone el teorema anterior sobre el dominio tiene
una gran trascendencia en lo referente a la estructura de la
solución. Más adelante, se considerarán ejemplos que muestran que
si el dominio D no es simplemente conexo la solución puede
presentar cortes de ramificación.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
En la práctica aparecen ecuaciones en las que las funciones p y/o q
presentan puntos singulares aislados. En ese caso estos puntos se
denominan puntos singulares de la ecuación.
Los puntos singulares se clasifican del siguiente modo. Sea δ > 0
un número real positivo, D ⊂ C un dominio y z0 ∈ C un punto tal
que B∗(z0, δ) ⊂ D
Se dice que z0 ∈ D ∩ C es un punto singular regular de la
ecuación (1) si una de las dos funciones p, q o las dos tienen
un polo en z0.
Se dice que z0 ∈ D ∩ C es un punto singular irregular de la
ecuación (1) si una de las dos funciones p, q o las dos
presentan una singularidad esencial en z0.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Si el punto z0 = 0 (resp. z =∞) es un punto singular regular para
la ecuación (1) entonces ésta se puede reducir a una ecuación de la
forma
d2w
dz2
(z) = −a(z)
z
dw
dz
(z)− b(z)
z2
w(z) (21)
para ciertas funciones a : D ∪ {0} → C y b : D ∪ {0} → C
anaĺıticas en : D ∪ {0} (resp. z =∞.) En resumen, cualquier
ecuación de segundo orden con un punto singular regular se puede
reducir a la forma canónica (42).
Para determinar la estructura de las soluciones de la ecuación (42)
en un entorno reducido del origen, es conveniente escribirla como
un sistema de primer orden cuya forma es muy espećıfica. Más
concretamente, la ecuación anterior se puede escribir como
z
d
dz
(z
dw
dz
(z)) = (−a(z) + 1)z dw
dz
(z)− b(z)w(z).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Con la notación u1(z) = w(z),y u2(z) = z
du1
dz
(z) la ecuación (42)
es equivalente al sistema
z
d
dz
(
u1(z)
u2(z)
)
=
(
0 1
−b(0) −a(0) + 1
)(
u1(z)
u2(z)
)
+(
0 0
−b(z) + b(0) −a(z) + a(0)
)(
u1(z)
u2(z)
)
. (22)
Sean R ∈M2×2(C) la matriz definida por
R ≡
(
0 1
−b(0) −a(0) + 1
)
A : D →M2×2(C) la función definida por
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
A(z) =
(
0 0
−b(z) + b(0) −a(z) + a(0)
)
.
Nótese que A(0) es la matriz nula y la función A es anaĺıtica en D.
Sea u : D → C2 la función definida por u(z) = (u1(z), u2(z)) para
todo z ∈ D. El sistema (22), que es equivalente a la ecuación (),
se reescribe como
z
du
dz
(z) = (R + A(z))u(z).
La estructura de las funciones que pertenecen al espacio vectorial
de soluciones del sistema anterior depende de los autovalores de la
matriz R. Más concretamente,
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Teorema
Sean D ⊂ C un dominio simplemente conexo tal que 0 ∈ D
a : D → C y b : D → C dos funciones anaĺıticas en D. Considérese
el sistema de ecuaciones diferenciales definido por (22) en D − {0}
y sean λ1, λ2 los dos autovalores de la matriz R con
<(λ1) ≥ <(λ2).
Si λ1 − λ2 6= 0 y λ1 − λ2 /∈ N entonces las funciones
u1 : D − {0} → C2 y u2 : D − {0} → C2 definidas por
u1 =
(
zλ1p1(z)
z
d
dz
(zλ1p1(z))
)
u2 =
(
zλ2p2(z)
z
d
dz
(zλ2p2(z))
)
son dos soluciones linealmente independientes de (22) donde
pk : D → C k = 1, 2 son dos funciones anaĺıticas en D que
verifican p1(0) = p2(0) = 1.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Teorema
Si λ1 = λ2 entonces las funciones u1 : D − {0} → C2 y
u2 : D − {0} → C2 definidas por
u1 =
(
zλ1p1(z) ≡ u11(z)
z
d
dz
u11(z)
)
,
u2 =
(
u11(z) ln(z) + z
λ1p2(z) ≡ u21(z)
z
d
dz
(u21(z))
)
son dos soluciones linealmente independientes de (22) donde
pk : D → C k = 1, 2 son dos funciones analiticas en D con
p1(0) = 1. La función p2 puede ser la función nula.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Teorema
Si λ1 = λ2 + m donde m ∈ N entonces las funciones
u1 : D − {0} → C2 y u2 : D − {0} → C2 definidas por
u1 =
(
zλ1p1(z) ≡ u11(z)
z
d
dz
u11(z)
)
,
u2 =
(
Cu11(z) ln(z) + z
λ2p2(z) ≡ u21(z)
z
d
dz
(u21(z))
)
son dos soluciones linealmente independientes de (22) donde
pk : D → C k = 1, 2 son dos funciones analiticas en D con
p1(0) = 1 y C es una constante compleja. La constante C o la
función p2 pueden ser nulas.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Observaciones
Las soluciones del sistema (22), en general, presentan cortes
de ramificación o polos. Es decir, pueden presentar
singularidades de distinto tipo que las de los coeficientes del
sistema.
Las soluciones del sistema (22) están formadas por
combinaciones lineales de funciones que son el producto de
una función que presenta una singularidad aislada o un corte
de ramificación y de otra función que es anaĺıtica.
Los factores no anaĺıticos mencionados en el punto anterior,
que pueden existir en la primera función coordenada de la
solución del (22) son de la forma
zλ1 o zλ1Ln(z) o zλ2 .
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
EJERCICIO 7.
Considérese la ecuación diferencial
3z2(1 + z)
d2w
dz2
(z) + z(5 + 2z)
dw
dz
(z)− w(z) = 0 (23)
en B∗((0 + i0), 1). (24)
Se pide clasificar la singularidad que presenta la ecuación en el
origen y determinar el comportamiento asintótico de las soluciones
de la ecuación en un entorno del origen.
Para clasificar la singularidad que presenta la ecuación en el punto
z = 0 es conveniente reescribir la ecuación (23) en la forma
d2w
dz2
(z) = −1
z
(5 + 2z)
3(1 + z)
dw
dz
(z)− 1
z2
(−1)
3(1 + z)
w(z).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Puesto que las funciones
5 + 2z
3(1 + z)
y
1
3(1 + z)
son anaĺıticas en
B((0 + i0), 1) el punto 0 + i0 es un punto singular regular para
(23). En virtud de los teoremas de existencia de solución en un
entorno reducido de un punto singular regular, el comportamiento
de las soluciones está determinado por los autovalores de la matriz.(
0 1
1
3
−2
3
)
.
Los autovalores de la matriz anterior son λ1 =
1
3
y λ2 = −1.
Puesto que los dos autovalores son distintos y no se diferencian en
un número entero, en virtud del teorema de existencia de
soluciones en torno a puntos singulares regulares se sigue que
existen dos soluciones linealmente independientes cuyo
comportamiento asintótico es, respectivamente,
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
w1(z) =
3
√
z(1 + 0z + . . . )
w2(z) =
1
z
(1 + 4z + . . . ).
Por tanto, el comportamiento asintótico en el origen de la solución
general de la ecuación es
w(z) = C1(
3
√
z + . . . ) + C2(
1
z
+ 4 + . . . ).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
EJERCICIO 8.
Considérese la ecuación diferencial
z2(z − 1)d
2w
dz2
(z) + z(z + 1)
dw
dz
(z)− w(z) = 0 (25)
en B∗((0 + i0), 1).
Se pide clasificar la singularidad que presenta la ecuación en el
origen y determinar el comportamiento asintótico de las soluciones
de la ecuación en un entorno de z = 0 + i0.
Para clasificar la singularidad que presenta la ecuación en el punto
z = 0 es conveniente reescribir la ecuación (25) en la forma
d2w
dz2
(z) = −1
z
(1 + z)
z − 1
dw
dz
(z)− 1
z2
(−1)
(z − 1)
w(z).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Puesto que las funciones
1 + z
z − 1
y
1
3(1 + z)
son anaĺıticas en
B((0 + i0), 1) el punto 0 + i0 es un punto singular regular para
(25). En virtud de los teoremas de existencia de solución en un
entorno reducido de un punto singular regular, el comportamiento
de las soluciones está determinado por los autovalores de la matriz.(
0 1
−1 2
)
.
Los autovalores de la matriz anterior son λ1 = 1 y λ2 = 1. Puesto
que los dos autovalores iguales, en virtud del teorema de existencia
de soluciones en torno a puntos singulares regulares se sigue que
existen dos soluciones linealmente independientes cuyo
comportamiento asintótico es, respectivamente,
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
w1(z) = z
k=+∞∑
k=1
bkz
k−1 =
k=+∞∑
k=1
bkz
k , (26)
w2(z) = zLn(z)
k=+∞∑
k=1
bkz
k−1 + z
k=+∞∑
k=1
ckz
k−1, (27)
con b1 = 1. Sustituyendo el desarrollo (26) en la ecuación
diferencial se obtiene
(z3 − z2)
k=+∞∑
k=2
k(k − 1)bkzk−2+
(z2 + z)
k=+∞∑
k=1
kbkz
k−1 −
k=+∞∑
k=1
bkz
k = 0.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Desarrollando cada uno de lo sumatorios de la igualadad anterior
0z+ 0z2+ 2b2z
3+3 · 2b3z4+. . .+(k − 2)(k − 1)bk−1zk + . . .
0z−2b2z2−3 · 2b3z3−4 · 3b4z4−. . .− k(k − 1)bkzk − . . .
0z+ b1z
2+ 2b2z
3+ 3b3z
4+. ..+ (k − 1)bk−1zk + . . .
b1z+2b2z
2+ 3b3z
3+ 4b4z
4+. . .+ kbkz
k + . . .
−b1z− b2z2− b3z3− b4z4−. . .− bkzk − . . .
Igualando a cero el coeficiente de zk se obtiene
−(k − 1)2bk + (k − 1)2bk−1 = 0.
Es decir, bk = bk−1 con b1 = 1.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Por tanto,
w1(z) =
k=+∞∑
k=1
zk =
z
1− z
.
De acuerdo con los teoremas de existencia la función w2 es de la
forma
w2(z) =
zLn(z)
1− z
+ zp2(z).
Sustituyendo la expresión anterior en (25) se obtiene que
w2(z) =
zLn(z)
1− z
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
EJERCICIO 9.
Considérese la ecuación diferencial
z2
d2w
dz2
(z) + z
dw
dz
(z) + w(z) = 0 (28)
en B∗((0 + i0), 1).
Se pide clasificar la singularidad que presenta la ecuación en el
origen y determinar el comportamiento asintótico de las soluciones
de la ecuación en un entorno de z = 0 + i0.
Para clasificar la singularidad que presenta la ecuación en el punto
z = 0 es conveniente reescribir la ecuación (28) en la forma
d2w
dz2
(z) = −1
z
dw
dz
(z)− 1
z2
w(z).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Puesto que las función 1 es anaĺıtica en B((0 + i0), 1) el punto
0 + i0 es un punto singular regular para (28). En virtud de los
teoremas de existencia de solución en un entorno reducido de un
punto singular regular, el comportamiento de las soluciones
está determinado por los autovalores de la matriz.(
0 1
−1 0
)
.
Los autovalores de la matriz anterior son λ1 = i y λ2 = −i. En
virtud del teorema de existencia de soluciones en torno a puntos
singulares regulares se sigue que existen dos soluciones linealmente
independientes cuyo comportamiento asintótico es,
respectivamente,
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
w1(z) = z
i(1 + . . . )
w2(z) =
1
z i
(1 + . . . )
Por tanto, el comportamiento asintótico en el origen de la solución
general de la ecuación es
w(z) = C1z
i + C2
1
z i
+ . . . .
La ecuación del enunciado es una ecuación de Euler. Las soluciones
de este tipo de ecuaciones son de la forma w = zλ. Para la
ecuación (28) λ ha de ser solución de
λ(λ− 1) + λ+ 1 = 0.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Es decir, la solución general de (28) es
w(z) = C1z
i + C2
1
z i
.
En este caso la solución general coincide con su comportamiento
asintótico en el origen.
La solución general de la ecuación (28) permite obtener la solución
para en caso en el que la variable y las soluciones son reales. En
ese caso la solución general para el caso real son la parte real y la
parte imaginaria de z i o de 1
z i
. Es decir,
w(x) = C1 cos(ln(|x |)) + C2 sin(ln(|x |)).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
EJERCICIO 10.
Sean A ∈MN×N(C) una matriz compleja, cuadrada,
diagonalizable y de tamaño N, D ⊂ C un dominio y u : D → CN
una función anaĺıtica en D. Considérese el sistema de ecuaciones
diferenciales lineales
du
dz
(z) =
1
z
Au(z) en D. (29)
Se pide obtener la solución general de (29).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Haciendo el cambio de variable independiente y = Ln(z) en la
ecuación (29) se obtiene
du
dy
(y) = Au(y). (30)
Es decir, un sistema lineal de coeficientes constantes. Puesto que
A es diagonalizable existen N autovalores λ1, . . . , λN y una base
(v1, . . . , vN) de CN formada por autovectores de A.La solución
general del sistema es
u(y) = C1 exp(λ1y)v1 + · · ·+ CN exp(λNy)vN .
Por tanto, la solución del sistema (29) es
u(z) = C1 exp(λ1Ln(z))v1 + · · ·+ CN exp(λNLn(z))vN ≡
C1z
λ1v1 + · · ·+ CNzλNvN .
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Funciones de Bessel
Construcción de las soluciones en un entorno de un punto singular
regular. Considérese la ecuación lineal
z2
d2w
dz2
(z) + z
dw
dz
(z) + (z2 − ν2)w(z) = 0, (31)
donde ν es un número real dado. A la ecuación (31) se la
denomina ecuación de Bessel de orden ν. A determinadas funciones
de su espacio bidimensional de soluciones se las denomina
funciones de Bessel de orden ν. La ecuación (31) es equivalente al
sistema (22) con
R ≡
(
0 1
ν2 0
)
y A(z) =
(
0 0
−z2 0
)
.
Los autovalores de la matriz R son λ1 = ν ≥ 0 y λ2 = −ν. En
virtud del Teorema anterior
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
existe una solución de la forma
w(z) = zνp1(z) = z
ν
k=+∞∑
k=0
akz
k ,
donde a0 = p1(0) = 1. Además,
dw
dz
(z) =
k=+∞∑
k=0
(k + ν)akz
k+ν−1,
d2w
dz2
(z) =
k=+∞∑
k=0
(k + ν)(k + ν − 1)akzk+ν−2.
Nótese que para ν = 0 y ν = 1 hay que modificar el ı́ndice en el
que inicia la suma. Sustituyendo los desarrollos anteriores en (31)
se obtiene
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
k=+∞∑
k=0
((k+ν)(k+ν−1)zk+ν+(k+ν)zk+ν+zk+ν+2−ν2zk+ν)ak = 0.
El coeficiente del término zk+ν es
(k + ν)(k + ν − 1)ak + (k + ν)ak + ak−2 − ν2ak = 0. (32)
La expresión anterior es válida para k ≥ 2. Para k = 0
(ν2 + ν − (ν2 + ν))a0 = 0,
es decir, la ecuación se cumple para todo a0. De la condición
p1(0) = 1 se obtiene a0 = 1. Para k = 1
((1 + ν)2 − (1 + ν) + (1 + ν)− ν2)a1 = (1 + 2ν)a1 = 0,
puesto que ν ≥ 0 a1 = 0.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
De la ecuación (32) se obtiene
ak = −
ak−2
k(k + 2ν)
. (33)
Por tanto,
a2k−1 = 0, para todo k ∈ N
y
a2k =
(−1)k
2 · 4 . . . 2k(2 + 2ν) . . . (2k + 2ν)
=
(−1)k
22kk!(1 + ν) . . . (k + ν)
,
donde k ∈ N.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
A la función Jν : C→ C definida por la igualdad
Jν(z) =
1
2νΓ(1 + ν)
zνp1(z) =
k=+∞∑
k=0
(−1)k
k!Γ(1 + ν + k)
(
z
2
)2k+ν .
donde ν ≥ 0 se la denomina función de Bessel de orden ν. Nótese
que para ν /∈ N la función de Bessel de orden ν tiene un corte de
ramificación en el eje real negativo. Análogamente, para −ν < 0 y
−ν /∈ Z se denomina función de Bessel de orden −ν a la función
J−ν : C− {0} → C definida por la igualdad
J−ν(z) =
1
2−νΓ(1− ν)
z−νp2(z) =
k=+∞∑
k=0
(−1)k
k!Γ(1− ν + k)
(
z
2
)2k−ν .
Aplicando el criterio de la ráız se obtiene que el radio de
convergencia de las series que definen a Jν y J−ν es +∞.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
−0.5
0
0.5
1
Funciones de Bessel
J
0
(z)
J
1
(z)
J
2
(z)
J
3
(z)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Definición de las funciones de Bessel cuyo orden es un entero
negativo.
La recurrencia (33) no es válida paravalores de ν enteros
negativos. En ese caso, si se supone que los n primeros términos
del desarrollo son nulos, entonces se obtiene que
J−n(z) =
k=+∞∑
k=n
(−1)k
k!(k − n)!
(
z
2
)2k−n =
j=+∞∑
j=0
(−1)j+n
j!(j + n)!
(
z
2
)2j+n,
lo que equivale a
J−n(z) = (−1)nJn(z).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Nótese que para ν = ±1
2
los coeficientes que se obtienen al aplicar
la fórmula (33) recursivamente para a0 6= 0 y a1 = 0 están bien
definidos para todo k ∈ N. Por tanto, las funciones definidas por
J 1
2
(z) =
√
2
z
k=+∞∑
k=0
(−1)k
k!Γ(3/2 + k)
(
z
2
)2k+1,
J− 1
2
(z) =
√
2
z
k=+∞∑
k=0
(−1)k
k!Γ(1/2 + k)
(
z
2
)2k
son soluciones de (31). Se comprueba fácilmente que estas dos
funciones son linealmente independientes. Las funciones J 1
2
y J− 1
2
constituyen un ejemplo, correspondiente al tercer caso del
enunciado del teorema, en el que la constante C es nula.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Teniendo en cuenta los desarrollo en serie de J 1
2
y J− 1
2
y de las
propiedades de la función Γ se obtiene
J 1
2
(z) =
√
2
πz
sin(z), J− 1
2
(z) =
√
2
πz
cos(z). (34)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Funciones de Bessel
J
−1/2
(z)
J
1/2
(z)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
A continuación se considera la ecuación de Bessel de orden cero, es
decir
z
d2w
dz2
(z) +
dw
dz
(z) + zw(z) = 0. (35)
En este caso, λ1 = λ2 = 0. en virtud del teorema anterior existe
una solución de la forma
w(z) = p1(z) =
k=+∞∑
k=0
akz
k .
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Procediendo como el el caso en el que ν /∈ N se obtiene
p1(z) = J0(z) =
k=+∞∑
k=0
(−1)k
k!Γ(1 + k)
(
x
2
)2k =
k=+∞∑
k=0
(−1)k
(k!)2
(
x
2
)2k .
De acuerdo con el teorema anterior la función
w2(z) = J0(z) ln(z) + p2(z) es una solución de (35) linealmente
independiente de J0(z).
Para obtener la función p2(z) se sustituye w2 en (35) lo que
conduce a la igualadad
z
d2p2
dz2
(z) +
dp2
dz
(z) + zp2(z) + 2
dJ0
dz
(z) = 0. (36)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Puesto que p2(z) es anaĺıtica se puede escribir como
p2(z) =
k=+∞∑
k=0
bkz
k .
Sustituyendo el desarrollo de p2 y el de J0 en (36) se obtiene
b1 +
k=+∞∑
k=1
((k +1)2bk+1 +bk−1)z
k +2
k=+∞∑
k=0
(−1)k2k
2(k!)2
(
x
2
)2k−1 = 0.
De los coeficientes de los términos del desarrollo correspondientes
a potencias pares se obtiene
b1 = b3 = · · · = b2k−1 = · · · = 0,
y anulando los coeficientes de los términos correspondientes a las
potencias impares se obtiene
(2k)2b2k + b2k−2 =
(−1)k+1k
22k−2(k!)2
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Eligiendo b0 = 0, el sistema anterior se puede resolver
recursivamente y se puede probar por inducción que
b2k =
(−1)k−1
22k(k!)2
(1 +
1
2
+ · · ·+ 1
k
).
Por tanto,
w2(z) ≡ L0(z) = J0(z) ln(z)+
k=+∞∑
k=1
(−1)k−1
(k!)2
(1+
1
2
+· · ·+ 1
k
)(
z
2
)2k .
Si se elige b0 6= 0 se obtiene una solución que difiere de w2 en una
constante por la función J0.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Jn(z) =
k=+∞∑
k=0
(−1)k
k!Γ(1 + n + k)
(
z
2
)2k+n
y
Ln(z) = Jn(z) ln(z)−
1
2
(
2
z
)n
k=n−1∑
k=0
(n − k − 1)!
k!
(
z
2
)k−
1
2
(
z
2
)n
k=+∞∑
k=0
(−1)k
k!(1 + n + k)!
(hk + hk+n)(
z
2
)2k
donde
hk =
m=k∑
m=1
1
m
.
Nótese que para n natural positivo siempre aparece el término
Jn(z) ln(z) en la función Ln(z).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
En la práctica, las funciones Ln que se acaban de obtener, no se
utilizan como las soluciones de la ecuación de Bessel de orden n
linealmente independiente a Jn.
En la mayoŕıa de las aplicaciones, la solución de la ecuación de
Bessel de orden n linealmente independiente con Jn que se utiliza
es la función conocida por Yn o función de Bessel de segunda
especie.
Sea ν ∈ R− Z un número dado. A la función definida por la
igualdad
Yν(z) =
cos(νπ)Jν(z)− J−ν(z)
sin(νπ)
(37)
se la denomina función de Bessel de segunda especie de orden ν.
La función Yν es linealmente de Jν .
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Para n ∈ Z las funciones de Bessel de segunda especie de orden n
se definen como
Yn(z) = ĺım
ν→n
Yν(z) = ĺım
ν→n
cos(νπ)Jν(z)− J−ν(z)
sin(νπ)
Aplicando la regla de L’Hopital se obtiene
Yn(z) =
1
π
[
∂Jν
∂ν
(z) + (−1)n+1∂J−ν
∂ν
(z)]ν=n.
Derivando con respecto a ν los desarrollos de Jν , de J−ν y
particularizando para ν = 0 se obtiene
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Y0(z) =
2
π
J0(z) ln(z/2) +
2
π
k=+∞∑
k=0
(−1)k+1ψ(k + 1)
(k!)2
(
z
2
)2k
donde
ψ(z) =
Γ′(z)
Γ(z)
=
d
dz
(ln(Γ(z)))
La expresión general para Yn es
Yn(z) =
2
π
Jn(z) ln(z/2)−
1
π
(
2
z
)n
k=n−1∑
k=0
(n − k − 1)!
k!
(
z
2
)2k−
1
π
(
z
2
)n
k=+∞∑
k=0
(−1)k
k!(k + n)!
(hk + hk+n − 2γ)(
z
2
)2k .
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
donde
hm =
k=m∑
k=1
1
k
y γ es la constante de Euler, es decir,
γ = ĺım
m→+∞
(hm − ln(m)).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
Y
0
(z)
Y
2
(z)
Y
1
(z)
Y
3
(z)
Funciones de Bessel de segunda especie
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Existe un vasto repertorio de propiedades que relacionan las
funciones de Bessel de distintos órdenes. A continuación, se
recogen las fórmulas de recurrencia más sencillas y que más
aparecen en las aplicaciones.
Para todo z ∈ C− {0} y todo ν se verifica
d
dz
(z−νJν(z)) = −z−νJν+1(z) (38)
d
dz
(zνJν(z)) = z
νJν−1(z) (39)
z
d
dz
(Jν(z))− νJν(z) = −zJν+1(z) (40)
z
d
dz
(Jν(z)) + νJν(z) = zJν−1(z) (41)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
zJν−1(z) + zJν+1(z) = 2νJν(z) (42)
Jν−1(z)− Jν+1(z) = 2
d
dz
(Jν(z))
Para todo z ∈ C− {0}, todo ν se verifica
d
dz
(z2(J2ν (z)− Jν+1(z)Jν−1(z))) = 2zJ2ν (z) (43)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
La aplicación reiterada de la igualdad (42) junto con las
expresiones (34) de J 1
2
y J− 1
2
en términos de funciones elementalespermite probar que si ν = k +
1
2
donde k ∈ Z entonces
Jk+ 1
2
(z) =
1√
z
(Pk(z) cos(z) + Qk(z) sin(z))
donde las funciones Pk y Qk son funciones racionales.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Para probar la identidad (43) se considera la ecuación que se
obtiene al hacer el cambio de variable z = γr en la ecuación de
Bessel. La ecuación resultante es
r 2
d2w
dr 2
(r) + r
dw
dr
(r)− ν2w(r) = −γ2r 2w(r),
la ecuación anterior se puede reescribir como
d
dr
(r
dw
dr
(r)) + (γ2 − ν
2
r 2
)rw(r) = 0. (44)
Multiplicando la ecuación anterior por 2r
dw
dr
(r) se obtiene
2r
dw
dr
(r)
d
dr
(r
dw
dr
(r)) + γ22r 2w(r)
dw
dr
(r)− ν22w(r)dw
dr
(r) = 0,
lo que equivale a
d
dr
((r
dw
dr
(r))2) + γ2r 2
d
dr
(w 2(r))− ν2 d
dr
((w 2(r)) = 0.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Integrando la ecuación anterior y teniendo en cuenta que
r 22w(r)
dw
dr
(r) =
d
dr
(r 2w 2(r))− 2rw(r) se obtiene
(r
dw
dr
(r))2 + γ2r 2w 2(r)− ν2w 2(r) = 2γ2
∫
rw 2(r)dr .
La igualdad anterior se cumple para cualquier solución de (44).
Puesto que Jν(γr) es solución de la ecuación de (44) verifica la
igualdad anterior.
Multiplicando miembro a miembro las igualdades (40) y (41) se
obtiene
Jν+1(z)Jν−1(z) =
ν2
z2
J2ν (z)− (
dJν
dz
(z))2
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Multiplicando la igualdad anterior por z2, haciendo el cambio de
variable z = γr y teniendo en cuenta que Jν(γr) es solución de la
ecuación (44) se obtiene
γ2
∫
rw 2(r)dr =
r 2
2
(J2ν (γr)− Jν+1(γr)Jν−1(γr))
De donde se obtiene (43) sin más que derivar y hacer γ = 1 y
w(r) = Jν(γr).
Nótese que la primitiva anterior no está definida en r = 0 para
algunos valores de ν.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Función generatriz para las funciones de Bessel.
Proposición
Las funciones de Bessel de primera especie Jν , para ν ∈ Z verifican
la igualdad
n=+∞∑
n=−∞
Jn(x)z
n = exp(
x
2
(z − 1
z
))
para todo x ∈ C y todo z ∈ C− {0 + i0}.
Para probar la proposición anterior se consideran las igualdades
exp(
xz
2
) =
j=+∞∑
j=0
z j
j!
(
x
2
)j , exp(
−x
2z
) =
k=+∞∑
k=0
(−1)k
zkk!
(
x
2
)k .
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Puesto que las dos series anteriores son absolutamente
convergentes se pueden multiplicar término a término y los
términos de la serie doble aśı obtenida se pueden reordenar sin
alterar el valor de la suma de la misma. Por tanto,
exp(
x
2
(z − 1
z
)) =
k=+∞∑
k=0
j=+∞∑
j=0
(−1)kz j−k
j!k!
(
x
2
)j+k .
Reordenando la serie anterior sumando primero todos los términos
en cada potencia zn y después sumando sobre n, es decir, haciendo
j = k + n y conviniendo que
1
(k + n)!
= 1/Γ(k + n + 1) = 0 si
k + n < 0 se obtiene
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
exp(
x
2
(z − 1
z
)) =
n=+∞∑
n=−∞
(
k=+∞∑
k=0
(−1)k
k!(k + n)!
(
x
2
)2k+n)zn =
n=+∞∑
n=−∞
Jn(x)z
n.
Particularizando la expresión anterior para z = exp(iθ) con
θ ∈ [−π, π] se obtiene
exp(ix sin(θ)) =
n=+∞∑
n=−∞
Jn(x) exp(inθ).
La igualdad anterior coincide con la definición del desarrollo en
serie de Fourier de la función exp(ix sin(θ)), por tanto, los
coeficientes de su desarrollo en serie de Fourier son Jn(x).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
De acuerdo con la definición de los coeficientes de Fourier se ha de
verificar
Jn(x) =
1
2π
∫ π
−π
exp(ix sin(θ)− inθ)dθ. (45)
La igualdad anterior resulta muy útil para obtener propiedades
globales de las funciones de Bessel, por ejemplo, para n ∈ Z y
x ∈ R
|Jn(x)| ≤
1
2π
∫ π
−π
| exp(ix sin(θ)− inθ)|dθ = 1
2π
∫ π
−π
dθ = 1.
Derivando los dos miembros de la igualdad (45), (nótese que el
integrando posee la regularidad apropiada), se obtiene que
dkJn
dxk
(x) =
1
2π
∫ π
−π
(i sin(θ))k exp(ix sin(θ)− inθ)dθ.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
EJERCICIO 11.
Hallar el valor de las integrales∫ x
0
sJ0(s)ds,
∫ x
0
J1(s)ds
En virtud de la fórmula de recurrencia (39) para ν = 1∫ x
0
sJ0(s)ds =
∫ x
0
d
ds
(sJ1(s))ds = xJ1(x).
En virtud de la fórmula de recurrencia (38) para ν = 0∫ x
0
J1(s)ds =
∫ x
0
− d
ds
(J0(s))ds = 1− J0(x).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
EJERCICIO 12.
Hallar el valor de las integrales∫ x
0
s2J1(s)ds,
∫ x
0
J3(s)ds
Teniendo en cuenta (38)∫ x
0
s2J1(s)ds = −
∫ x
0
s2
dJ0(s)
ds
ds.
Integrando por partes y teniendo en cuenta el resultado del
Ejercicio 11
−
∫ x
0
s2
dJ0(s)
ds
ds = −x2J0(x)+2
∫ x
0
sJ0(s)ds = −x2J0(x)+2xJ1(x).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
La igualdad anterior también se puede obtener mediante otro
procedimiento. Teniendo en cuenta la formula (39) para ν = 2∫ x
0
s2J1(s)ds =
∫ x
0
d
ds
(s2J2(s))ds = x
2J2(x).
Teniendo en cuenta los resultados del (Ejercicio 17)
J2(x) =
2
x
J1(x)− J0(x). Como es obligado, ambos resultados
coinciden.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
La segunda integral puede escribirse como∫ x
0
s2
1
s2
J3(s)ds.
Teniendo en cuenta (38) para ν = 2∫ x
0
s2
1
s2
J3(s) = −
∫ x
0
s2
d
ds
(
1
s2
J2(s))ds.
Integrando por partes
−
∫ x
0
s2
d
ds
(
1
s2
J2(s))ds = −J2(x) + 2
∫ x
0
s
1
s2
J2(s)ds.
Procediendo de un modo análogo con la última integral se obtiene∫ x
0
s2
1
s2
J3(s) = −J2(x)−2
J1(x)
x
+2 ĺım
x→0+
J1(x)
x
= −J2(x)−2
J1(x)
x
+1.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
EJERCICIO 13.
Probar la fórmula de reducción∫ x
0
snJ0(s)ds = x
nJ1(x) + (n − 1)xn−1J0(x)−
(n − 1)2
∫ x
0
sn−2J0(s)ds.
Teniendo en cuenta (39) la integral puede escribirse como∫ x
0
snJ0(s)ds =
∫ x
0
sn−1
d
ds
(sJ1(s))ds.
Integrando por partes∫ x
0
sn−1
d
ds
(sJ1(s))ds = x
nJ1(x)− (n − 1)
∫ x
0
sn−2sJ1(s)ds =
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
xnJ1(x) + (n − 1)
∫ x
0
sn−2s
d
ds
(J0(s))ds =
xnJ1(x) + (n − 1)xn−1J0(x)− (n − 1)2
∫ x
0
sn−2J0(s)ds.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
EJERCICIO 14.
Expresar la funciones J 3
2
y J− 3
2
en términos de funciones
elementales.
En virtud de la fórmula de recurrencia (42) para ν =
1
2
J 3
2
(z) =
1
z
J 1
2
(z)− J− 1
2
(z) =√
2
πz
(
sin(z)
z
− cos(z)).
En virtud de la fórmula de recurrencia (42) para ν = −1
2
J− 3
2
(z) = −1
z
J− 1
2
(z)− J 1
2
(z) =
−
√
2
πz
(
cos(z)
z
+ sin(z)).
Mr. X Ampliación de Matemáticas.Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
EJERCICIO 15.
Hallar la solución del problema de contorno
d2w
dz2
(z) + w(z) =
1
z
J1(z),
w(0) = 0, w(1) = 0.
La función J0 es solución de la ecuación
d2J0
dz2
(z) +
1
z
dJ0
dz
(z) + J0(z) = 0.
Teniendo en cuenta que
dJ0
dz
(z) = −J1(z) una solución particular
de la ecuación del enunciado es J0(z). Por tanto la solución
general de la ecuación es
w(z) = C1 sin(z) + C2 cos(z) + J0(z).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Imponiendo la condición de contorno w(0) = 0 se obtiene
C2 = −1. Imponiendo la segunda condición se obtiene
C1 =
cos(1)− J0(1)
sin(1)
. Por tanto,
w(z) =
cos(1)− J0(1)
sin(1)
sin(z)− cos(z) + J0(z).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
EJERCICIO 16.
Probar la iguladad
dJν+1
dz
(z) = (1− ν(ν + 1)
z2
)Jν(z) +
ν + 1
z
dJν
dz
(z).
Derivando la identidad (40) se obtiene
d
dz
(Jν+1(z)) =
ν
z
dJν
dz
(z)− ν
z2
Jν(z)−
d2
dz2
(Jν(z)). (46)
En virtud de (31)
d2Jν
dz2
(z) = −1
z
dw
dz
(z)− (1− ν
2
z2
)Jν(z). (47)
Susutituyendo la expresión de la derivada segunda dada por (47)
en la igualdad (46) se obtiene
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
dJν+1
dz
(z) = (1− ν(ν + 1)
z2
)Jν(z) +
ν + 1
z
dJν
dz
(z).
Nótese que la identididad anterior y la fórmula de recurrencia (40)
permiten expresar las funciones Jν+1(z) y
dJν+1
dz
(z) en función de
Jν(z) y
dJν
dz
(z).
Como consecuencia de esta última afirmación se obtiene el
siguiente resultado.
Sea n > 0 un número natural dado. Entonces existen dos funciones
racionales Mn(z) y Nn(z) tales que para todo z ∈ C− {0} se
verifica
Jn(z) = Mn(z)J0(z) + Nn(z)
dJ0
dz
(z).
Se verifica una propiedad análoga para
dJn
dz
(z).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
EJERCICIO 17.
Probar las identidades siguientes.
J2(z) =
2
z
J1(z)− J0(z) para todo z ∈ C− {0}
J3(z) = (
8
z2
− 1)J1(z)−
4
z
J0(z) para todo z ∈ C− {0}.
En virtud de la igualdad obtenida en el Ejercicio 16 se obtiene
dJ1
dz
(z) = J0(z) +
1
z
dJ0
dz
(z).
La igualdad (40) para ν = 1 conduce a
J2(z) =
1
z
J1(z)−
dJ1
dz
(z).
Sustituyendo el segundo término de la primera igualdad en la
segunda se obtiene
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
J2(z) =
1
z
J1(z)− J0(z)−
1
z
dJ0
dz
(z).
Teniendo en cuenta que
dJ0
dz
(z) = −J1(z)
J2(z) =
2
z
J1(z)− J0(z).
Para probar la segunda desigualdad se sigue un procedimiento
análogo al de la primera. En virtud de la fórmula (40) para ν = 2
se obtiene
J3(z) =
2
z
J2(z)−
1
z
dJ2
dz
(z) (48)
De la fórmula (40) para ν = 1 y la igualdad obtenida en el primer
apartado de este ejercicio
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
dJ2
dz
(z) = (1− 2
z2
)J1(z) +
2
z
dJ1
dz
(z)
J2(z) =
2
z
J1 − J0(z).
Sustituyendo las dos expresiones anteriores en (48) se obtiene
J3(z) = (
8
z2
− 1)J1(z)−
4
z
J0(z).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Problemas de Sturm-Liouville asociados a la ecuación de Bessel.
Haciendo el cambio de variable r =
1
γ
z en la ecuación (31) y
teniendo en cuenta que
d
dz
=
1
γ
d
dr
se obtiene
r 2
d2w
dr 2
(r) + r
dw
dr
(r)− ν2w(r) = −γ2r 2w(r)
que se puede reescribir como
d
dr
(r
dw
dr
(r))− ν
2
r
w(r) = −γ2rw(r). (49)
La ecuación anterior definida en un intervalo ]0, b[⊂ R junto con
unas condiciones de contorno apropiadas constituyen un problema
de Sturm-Liouville. Nótese que las soluciones acotadas de la
ecuación anterior son de la forma
w(r) = CJν(γr).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
De entre los diversos problemas de Sturm-Liouville asociados a la
ecuación de Bessel que se pueden considerar, el que tiene más
interés práctico es el siguiente
d
dx
(x
dw
dx
(x))− ν
2
x
w(x) = −µxw(x) para x ∈]0, 1[ (50)
| ĺım
x→0+
w(x)| < +∞ β1w(1) + β2
dw
dx
(1) = 0, (51)
donde β1 y β2 son dos números reales dados.
El problema de Sturm-Liouville definido por (50)-(51) es un
problema con coeficientes singulares. Sin embargo, muchas de las
propiedades de los sistemas de autofunciones correspondientes a
problemas de coeficientes regulares siguen siendo válidas para el
problema (50)-(51).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Más concretamente, sobre el signo de los autovalores de (50)-(51)
puede afirrmarse que
Teorema
µ = 0 es autovalor de (50)-(51) si y sólo si
β1
β2
= −ν, en ese caso
la autofunción correspondiente es w(x) = xν . Si β2 = 0 o si
β1
β2
≥ −ν, entonces todos los autovalores de (50)-(51) son
positivos o nulos.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
El problema (50)-(51) tiene solución no nula para ciertos valores
de γ2 = γ2k ≥ 0 donde k = 1, 2 . . . . Los siguientes teoremas
proporcionan el valor de los autovalores y la forma de las
autofunciones.
Teorema
Sea ν > 0 un número real dado. Considérese el problema de
Sturm-Liouville definido por (50)-(51) con β1 = 1, β2 = 0 y sea
(λn) la sucesión monótona creciente formada por todos los ceros
positivos de Jν . Entonces los autovalores de (50)-(51) son los
números reales µk = λ
2
k . El sistema de funciones Jν(λkx)
k = 1, 2 . . . ,+∞ genera el sistema de autofunciones de (50)-(51)
y este sistema es ortogonal y completo en ]0, 1[ con el producto
escalar 〈f , g〉 =
∫ 1
0 sf (s)g(s)ds.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Teorema
Sean C ≥ −ν un número real dado, (λ̂n) n = 1, . . . ,+∞ la
sucesión monótona creciente formada por todos los ceros positivos
de la ecuación CJν(x) +
dJν
dx
(x) = 0. Considérese el problema de
Sturm-Liouville definido por (50)-(51) con C =
β1
β2
≥ −ν. Si
C > −ν, entonces los autovalores de (50)-(51) son los números
reales µk = λ̂
2
k , las funciones Jν(λ̂kx) k = 1, 2 . . . ,+∞ generan el
sistema de autofunciones de (50)-(51) y este sistema es ortogonal y
completo en ]0, 1[ con el producto escalar 〈f , g〉 =
∫ 1
0 sf (s)g(s)ds.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Teorema
Sean C ≥ −ν un número real dado, (λ̂n) n = 1, . . . ,+∞ la
sucesión monótona creciente formada por todos los ceros positivos
de la ecuación CJν(x) +
dJν
dx
(x) = 0. Considérese el problema de
Sturm-Liouville definido por (50)-(51) con C =
β1
β2
≥ −ν. Si
C = −ν, entonces los autovalores de (50)-(51) son los números
reales 0, µk = λ̂
2
k , las funciones x
ν , Jν(λ̂kx) k = 1, 2 . . . ,+∞
forman el sistema de autofunciones de (50)-(51) y este sistema es
ortogonal y completo en ]0, 1[ con el producto escalar
〈f , g〉 =
∫ 10 sf (s)g(s)ds.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
EJERCICIO 18.
Considérese el problema de Sturm-Liouville definido por
d
dx
(x
dw
dx
(x)) = −λxw(x) en ]0, 1[,
w acotada en ]0, 1[,
dw
dx
(1) = 0.
Hallar los autovalores y las autofunciones del problema anterior.
Haciendo el cambio de variable y =
√
λx el problema anterior se
transforma en
√
λ
d
dy
(y
dw
dy
(y)) = − λ√
λ
yw(y) en ]0,
√
λ[,
w acotada en ]0,
√
λ[,
dw
dy
(
√
λ) = 0.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
La ecuación es una ecuación de Bessel de orden cero. Puesto que
se buscan soluciones acotadas, la solución de la ecuación es de la
forma
w(y) = CJ0(y).
Los autovalores de la ecuación se obtienen de imponer la condición
dw
dy
(
√
λ) =
dJ0
dy
(
√
λ) = 0.
De las propiedades de las funciones de Bessel se tiene
dJ0
dy
(y) = −J1(y).
Por tanto, los autovalores λk son las soluciones de
J1(
√
λk) = 0.
Es decir, los autovalores son el cuadrado de las ráıces nulas o
positivas de la función J1. Nótese que λ = 0 es autovalor de la
ecuación.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
EJERCICIO 19.
Considérese el problema de contorno definido por
d
dx
(x
dw
dx
(x)) + µxw(x) = xJ0(ax) en ]0, 1[,
| ĺım
x→0+
w(x)| < +∞, dw
dx
(1) = 0.
donde a y µ son dos números reales dados con a2 6= µ. Hallar la
soución del problema anterior.
La ecuación del enunciado es una ecuación de Bessel para ν = 0.
La función J0(ax) es solución de
d
dx
(x
dJ0
dx
(ax)) + a2xJ0(ax) = 0 en R,
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
que equivale a
d
dx
(x
dJ0
dx
(ax)) + µxJ0(ax) = (µ− a2)xJ0(ax) en R.
Por tanto, una solución particular de la ecuación diferencial es
1
µ− a2
J0(ax)
y las soluciones acotadas de la ecuación son
w(z) = CJ0(
√
µx) +
1
µ− a2
J0(ax).
Imponiendo la condición de contorno
0 = −C√µJ1(
√
µx)− a
µ− a2
J1(ax).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
La solución del problema de contorno es
w(z) =
1
µ− a2
(− aJ1(a)√
µJ1(
√
µ)
J0(
√
µx) + J0(ax)).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
EJERCICIO 20.
Sea f : [0, 1]→ R una función continua en [0, 1]. Considérese el
problema de contorno definido por
d
dx
(x
dw
dx
(x)) + µxw(x) = f (x) en ]0, 1[,
| ĺım
x→0+
w(x)| < +∞, dw
dx
(1) = 0.
donde µ es un número real dado tal que J1(
√
µ) 6= 0. Hallar la
soución del problema anterior expresándola como un desarrollo en
serie de las autofunciones obtenidas en (Ejercicio 18)
A la vista del resultado obtenido en el (Ejercicio 19) y las
autofunciones obtenidas en (Ejercicio 18) resulta conveniente
desarrollar f como
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
f (x) = b0 +
k=+∞∑
k=1
bkxJ0(
√
λkx),
donde J1(
√
λk) = 0.
Teniendo en cuenta que∫ 1
0
xJ0(
√
λkx)J0(
√
λlx)dx = 0
si k 6= l
bk =
∫ 1
0 f (x)J0(
√
λkx)dx∫ 1
0 xJ
2
0 (
√
λkx)dx
.
Además, de las fórmulas que relacionan las funciones de Bessel de
distintos órdenes ∫ 1
0
xJ20 (
√
λkx)dx =
1
2
J20 (
√
λk).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
se obtiene que
b0 = 2
∫ 1
0
f (x)dx , bk =
2
∫ 1
0 f (x)J0(
√
λkx)dx
J20 (
√
λk)
para k ≥ 1.
Teniendo en cuenta que µ no es un autovalor del problema de
contorno homogéneo, la solución del problema homogéneo es nula.
A la vista del resultado obtenido en el (Ejercicio 19) la solución
del problema de contorno es
w(z) =
b0
µ
+
k=+∞∑
k=1
bk
(µ− λk)
(J0(
√
λkx)),
lo que equivale a
w(z) =
2
∫ 1
0 f (x)dx
µ
+
k=+∞∑
k=1
2
∫ 1
0 f (s)J0(
√
λks)ds
(µ− λk)J20 (
√
λk)
J0(
√
λkx).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
EJERCICIO 21.
Sea f : [0, 1]→ R la función definida por la igualdad
f (x) = 1− x2. Desarrollar la función f en serie de las
autofunciones del problema de Sturm-Liouville
d2w
dx2
(x) +
1
x
dw
dx
(x) = −µw(x), en ]0, 1[,
| ĺım
x→0+
w(x)| < +∞, w(1) = 0.
Las autofunciones del problema de Sturm-Liouville del enunciado
son J0(λnx), donde (λn) es la sucesión estrictamente creciente
formada por todos los ceros de J0(x) y los autovalores
correspondientes son µ = λ2n. Por tanto,
1− x2 =
k=+∞∑
k=1
bkJ0(λkx). (52)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Multiplicando los dos miembros de (52) por la función xJ0(λkx),
integrando ambos miembros de la igualdad resultante y teniendo
en cuenta las propiedades de ortogonalidad de las autofunciones
del problema de Sturm-Liouville definido en el enunciado con
respecto al producto escalar 〈f , g〉 =
∫ 1
0 sf (s)g(s)ds∫ 1
0
(1− s2)sJ0(λks)ds = bk
∫ 1
0
sJ20 (λks)ds.
En virtud de los resultados obtenidos en el (Ejercicio 11)∫ 1
0
sJ0(λks)ds =
1
λk
J1(λk).
En virtud de los resultados obtenidos en el (Ejercicio 13) para
n = 3∫ 1
0
s3J0(λks)ds =
1
λ4k
∫ λk
0
t3J0(t)dt =
J1(λk)
λ4k
(λ3k − 4λk).
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
En virtud de la fórmula de recurrencia (43) para ν = 0∫ 1
0
sJ20 (λks)ds =
1
2
J21 (λk).
Por tanto,
bk =
1
λk
J1(λk)−
J1(λk)
λ4k
(λ3k − 4λk)
1
2
J21 (λk)
=
8
λ3kJ1(λk)
.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Considérese el problema de Cauchy para la ecuación del calor
definido por
∂u
∂t
=
∂2u
∂r 2
+
1
r
∂u
∂r
+
1
r 2
∂2u
∂θ2
en (r , θ, t) ∈ [0, 1[×]− π, π]×]0,+∞[
u(1, θ, t) = 0, en ]− π, π]×]0,+∞[
u(r , θ, 0) = f (r , θ) en [0, 1[×]− π, π].
donde f : [0, 1[×]− π, π]→ R es una función continua, periódica
en θ dada.
Al tratarse de la ecuación del calor en el ćırculo de radio unidad la
solución es periódica, de periodo 2π, en la variable θ. Por tanto,
u(r , θ, t) =
n=+∞∑
n=−∞
vn(r , t) exp(inθ)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
donde las funciones vn son tales que
∂vn
∂t
=
∂2vn
∂r 2
+
1
r
∂vn
∂r
− n
2
r 2
vn
vn(1, t) = 0, para todo t ∈]0,+∞[.
Dada la semejanza del segundo miembro de la ecuación anterior
con la ecuación de Bessel y puesto que se buscan para cada valor
de t se buscan soluciones acotadas se desarrolla la función vn del
siguiente modo
vn(r , t) =
m=+∞∑
m=1
wmn(t)Jn(λmnr),
donde λmn son tales que λmn > 0 y Jn(λmn) = 0.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Nótese que, al ser Jn(λmn) = 0, cada una de las funciones vn
cumple la condición de contorno vn(1, t) = 0 para todo
t ∈]0.+∞[. Sustituyendo el desarrollo anterior en la ecuación
m=+∞∑
m=1
dwmn
dt
Jn(λmnr) =
m=+∞∑
m=1(
d2Jn
dr 2
(λmnr) +
1
r
dJn
dr
(λmnr)−
n2
r 2
Jn(λmnr))wmn(t)
De acuerdo con la iguadad (49) la ecuación anterior puede
escribirse como
m=+∞∑
m=1
dwmn
dt
Jn(λmnr) + λ
2
mnJn(λmnr)wmn(t) = 0 (53)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Multiplicando los dos miembros de la igualdad (53) por la función
rJn(λmnr), integrando en [0, 1] teniendo en cuenta las propiedades
de ortogonalidad del sistema de funciones Jn(λmnr) se obtiene
dwmn
dt
+ (λmn)
2wmn(t) = 0,
donde wmn(0) se obtiene de imponer la condición inicial, es decir
f (r , θ) =
n=+∞∑
n=−∞
(
m=+∞∑
m=1
wmn(0)Jn(λmnr)) exp(inθ), (54)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Multiplicando los dos miembros de la igualadad (54) por
rJn(λmnr) exp(inθ) integrando en [0, 1[×[−π, π[ y teniendo en
cuenta la ortogonalidad de las autofunciones se obtiene
wmn(0) =
1
2π
∫ 1
0 rJ
2
n(λmn)dr∫ 1
0
rJn(λmnr)(
∫ π
−π
f (r , θ) exp(−inθ)dθ)dr =
1
πJ2n+1(λmn)
∫ 1
0
rJn(λmnr)(
∫ π
−π
f (r , θ) exp(−inθ)dθ)dr
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Integrando las ecuaciones anteriores y teniendo en cuenta la
definición de u
u(r , θ, t) =
n=+∞∑
n=−∞
(
m=+∞∑
m=1
wmn(0) exp(−λ2mnt)J|n|(λmnr))) exp(inθ).
Puesto que λmn > 0
ĺım
t→+∞
u(r , θ, t) = 0.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Considérese el problema de Cauchy para la ecuación del calor
definido por
∂u
∂t
=
∂2u
∂r 2
+
1
r
∂u
∂r
+
1
r 2
∂2u
∂θ2
en (r , θ, t) ∈ [0, 1[×[0, 2π[×]0,+∞[,
∂u
∂r
(1, θ, t) + βu(1, θ, t) = 0, en [0, 2π[×]0,+∞[,
u(r , θ, 0) = f (r , θ) en [0, 1[×[0, 2π[,
donde f : [0, 1[×[0, 2π[→ R es una función continua, periódica, de
periodo 2π, en la variable θ dada y β > 0 un número real dado.
Al tratarse de la ecuación del calor en el ćırculo de radio unidad la
solución es peródica en θ. Por tanto,
u(r , θ, t) =
n=+∞∑
n=−∞
vn(r , t) exp(inθ)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
donde las funciones vn son tales que
∂vn
∂t
=
∂2vn
∂r 2
+
1
r
∂vn
∂r
− n
2
r 2
vn
∂vn
∂r
(1, t) + βvn(1, t) = 0, para todo t ∈]0,+∞[.
Dada la semejanza del segundo miembro de la ecuación anterior
con la ecuación de Bessel y puesto que se buscan, para cada valor
de t, soluciones acotadas se desarrolla la función vn del siguiente
modo
vn(r , t) =
m=+∞∑
m=1
wmn(t)Jn(λmnr),
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
donde λmn son las ráıces positivas de la ecuación
λ
dJn
dz
(λ) + βJn(λ) = 0.
Para cada n y β dados la ecuación anterior posee una sucesión
estrictamente creciente y no acotada de soluciones que se
denominará λmn. Probar esta propiedad de la sucesión (λmn)
requiere conocer algunas propiedades de las funciones de Bessel
que quedan fuera del alcance de este curso. Sin embargo, para el
caso β = 0, la sucesión (λmn) está formada por los valores de x en
los que la restricción de Jn al eje real presenta un extremo relativo.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Nótese que cada una de las funciones vn cumple la condición de
contorno
dvn
dr
(1, t) + βvn(1, t) = 0 para todo t ∈]0.+∞[.
Sustituyendo el desarrollo anterior en la ecuación
dwmn
dt
Jn(λmnr) = (
d2Jn
dr 2
(λmnr)+
1
r
dJn
dr
(λmnr)−
n2
r 2
Jn(λmnr))wmn(t)
De acuerdo con la iguadad (49) la ecuación anterior puede
escribirse como
dwmn
dt
= −(λmn)2wmn(t)
donde wmn(0) se obtiene de imponer la condición inicial, es decir
f (r , θ) =
n=+∞∑
n=−∞
(
m=+∞∑
m=1
wmn(0)Jn(λmnr)) exp(inθ),
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Integrando las ecuaciones anteriores y teniendo en cuenta la
definición de u.
u(r , θ, t) =
n=+∞∑
n=−∞
(
m=+∞∑
m=1
wmn(0) exp(−λ2mnt)J|n|(λmnr))) exp(inθ).
Puesto que, si β > 0, λmn > 0
ĺım
t→+∞
u(r , θ, t) = 0.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Considérese el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace
definido por
∂2u
∂r 2
+
1
r
∂u
∂r
+
1
r 2
∂2u
∂θ2
+
∂2u
∂z2
= 0 en (r , θ, z) ∈ [0, 1[×[−π, π[×]0, 1[
u(1, θ, z) = 0, en [−π, π[×]0, 1[
u(r , θ, 0) = 0 en [0, 1[×[−π, π[
u(r , θ, 1) = f (r , θ) en [0, 1[×[−π, π[.
donde f : [0, 1[×[−π, π[→ R es una función continua, periódica en
θ dada.
Al tratarse de la ecuación de Laplace en el cilindro recto de altura
1 cuya base es el ćırculo de radio unidad, la solución es peródica en
θ. Por tanto,
u(r , θ, z) =
n=+∞∑
n=−∞
vn(r , z) exp(inθ)
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
donde las funciones vn son tales que
∂2vn
∂r 2
+
1
r
∂vn
∂r
− n
2
r 2
vn +
∂2vn
∂z2
= 0
vn(1, z) = 0, para todo z ∈]0, 1[.
Dada la semejanza del segundo miembro de la ecuación anterior
con la ecuación de Bessel y puesto que se buscan para cada valor
de z se buscan soluciones acotadas se desarrolla la función vn del
siguiente modo
vn(r , z) =
m=+∞∑
m=1
Jn(λmnr)wmn(z),
donde λmn son tales que λmn > 0 y Jn(λmn) = 0.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Nótese que cada una de las funciones vn cumple la condición de
contorno vn(1, z) = 0 para todo z ∈]0,1[. Sustituyendo el
desarrollo anterior en la ecuación
(
d2Jn
dr 2
(λmnr)+
1
r
dJn
dr
(λmnr)−
n2
r 2
Jn(λmnr))wmn(t)+
d2wmn
dz2
Jn(λmnr) = 0
De acuerdo con la iguadad (49) la ecuación anterior puede
escribirse como
d2wmn
dz2
(z)− (λmn)2wmn(z) = 0.
La solución general de la ecuación anterior es
wmn(z) = amn cosh(λmnz) + bmn sinh(λmnz).
De la condición de contorno vn(r , 0) = 0 se obtiene amn = 0 para
todo n ∈ Z y todo m ∈ N ∪ {0}.
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Los valores de los coeficientes bmn se obtienen de imponer
f (r , θ) =
n=+∞∑
n=−∞
(
m=+∞∑
m=1
bmn sinh((λmn)Jn(λmnr)) exp(inθ),
Es decir,
bmn =
1
2π(
∫ 1
0 rJ
2
n(λmn)dr) sinh(λmn)∫ 1
0
rJn(λmnr)(
∫ π
−π
f (r , θ) exp(−inθ)dθ)dr =
1
πJ2n+1(λmn) sinh(λmn)∫ 1
0
rJn(λmnr)(
∫ π
−π
f (r , θ) exp(−inθ)dθ)dr
Mr. X Ampliación de Matemáticas. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes anaĺıticos.
EDO.
d2w
dz2
(z) + p(z)
dw
dz
(z) + q(z)w = 0
Considérese el problema de Cauchy para la ecuación del calor
definido por
∂2u
∂t2
=
∂2u
∂r 2
+
1
r
∂u
∂r
+
1
r 2
∂2u
∂θ2
en (r , θ, t) ∈ [0, 1[×]− π, π]×]0,+∞[
u(1, θ, t) = 0, en ]− π, π]×]0,+∞[.
u(r , θ, 0) = f (r , θ) en [0, 1[×]− π, π],
∂u
∂t
(r , θ, 0) = 0 en [0, 1[×]− π, π].
donde f : [0, 1[×]− π, π]→ R es una función continua, periódica
en θ y de periodo 2π dada. Al estar la función u definida en el
ćırculo de radio unidad la solución es, para cada r y t fijos,
periódica, de periodo 2π, en la variable θ. Por tanto,
u(r , θ, t) =
n=+∞∑
n=−∞
vn(r , t) exp(inθ)
Mr. X Ampliación de