MS_2_Algebra_de_tensores_corta

Vista previa del material en texto

Mecánica de Sólidos 
2. Álgebra de tensores (4 horas aprox.) 
Francisco J. Montáns 
Mecánica de Sólidos 
ÁLGEBRA DE TENSORES 
1. Notaciones. Reglas de la notación indicial y diádica (notación de Einstein) 
2. Producto escalar de vectores: símbolo de Kronecker. Producto vectorial: símbolo de permutación 
o de Levi-Civita . Identidades ε-δ 
3. Cambio de sistema de representación: objetividad e invarianza 
4. Tensores de 2º orden: producto diádico. Representación de tensores de segundo orden. Cambio 
de sistema de representación. Tensor versus matriz 
5. Operaciones y funciones de tensores: Productos escalar e interno de tensores de 2º orden. 
Operaciones similares a matrices. Traza, determinante y norma. Otros productos. 
6. Descomposición aditiva en partes simétrica y antisimétrica. Vector axial dual de un tensor 
antisimétrico. 
7. Autovalores y autovectores. Invariantes principales. Tma. de Cayley-Hamilton 
8. Parte volumétrica (esférica) y desviadora 
9. Cálculo numérico de autovalores de tensores simétricos: Métodos directo y de Jacobi 
10. Tensores ortogonales. Descomposición polar. Exponencial de un tensor. Fórmula de Rodrigues 
11. Tensores de 4º orden. Notaciones de Voigt y pseudovectorial. Isotropía. Proyectores. 
 
 Álgebra de tensores 2 
Mecánica de Sólidos 
NOTACIONES. REGLAS DE LA NOTACIÓN INDICIAL Y DIÁDICA 
Distintas 
notaciones usadas 
en función de lo 
más cómodo en 
cada momento 
Igual a la 
diádica pero 
sin la base 
explícita 
 Álgebra de tensores 3 
Mecánica de Sólidos 
Convenio de Einstein y tipos de índices 
NOTACIONES. REGLAS DE LA NOTACIÓN INDICIAL Y DIÁDICA 
2 
Convenio de índices 
repetidos (salvo que 
explícitamente se 
indique lo contrario) 
Tipos de índices: 
1. Mudos: aparecen dos veces en cada término de la ecuación; implican suma 
a través del convenio de Einstein 
2. Libres: aparecen una única vez en todos y cada uno de los términos; 
implican 3 ecuaciones escalares si es latino, 2 si es griego 
(Índice latino) 
(Índice griego) 
 Álgebra de tensores 4 
Mecánica de Sólidos 
NOTACIONES. REGLAS DE LA NOTACIÓN INDICIAL Y DIÁDICA 
Reglas: 
Reglas de índices 
1. Un índice nunca aparece mas de dos veces en un término de la ecuación. Si 
aparece una vez es libre, si aparece dos veces es mudo. No se podría saber lo 
que es si apareciese más de dos veces 
2. Una expresión tensorial válida físicamente tiene los mismos índices libres en 
todos los términos. Un índice libre implica que hay 3 ecuaciones, una para cada 
valor (1,2,3) del índice. Si un término no tiene dicho índice estaríamos 
sumando vectores y escalares. 
3. Un índice mudo puede ser renombrado solamente en un término de la 
ecuación, mientras que uno libre debe ser renombrado en toda la ecuación. 
 
 
 
4. En notación diádica no existen índices libres, ya que la base está indicada de 
forma explícita. Todos los índices son mudos (ello facilita las operaciones) 
 
 
equivale a 
i libre, j mudo k libre, j y m mudos 
 Álgebra de tensores 5 
Mecánica de Sólidos 
NOTACIONES. REGLAS DE LA NOTACIÓN INDICIAL Y DIÁDICA 
Ejemplo: Expandir las siguientes expresiones 
Ejemplos 
 Álgebra de tensores 6 
Mecánica de Sólidos 
NOTACIONES. REGLAS DE LA NOTACIÓN INDICIAL Y DIÁDICA 
Ejemplo: Expandir las siguientes expresiones 
Ejemplos 
Solución: 
 Álgebra de tensores 7 
Mecánica de Sólidos 
PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL. SÍMBOLOS DE KRONECKER Y LEVI-CIVITA 
Producto escalar de vectores. Delta de Kronecker Producto escalar (definición): 
Vectores unitarios (direcciones): 
Notación matricial: 
Notación diádica: 
Delta de 
Kronecker 
 Álgebra de tensores 8 
Mecánica de Sólidos 
PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL. SÍMBOLOS DE KRONECKER Y LEVI-CIVITA 
Delta de Kronecker 
Esquema que se sigue en manipulaciones que 
contienen la delta de Kronecker: 
Ejemplo: Eliminar la delta de Kronecker de las siguientes expresiones 
Ejemplo: Calcular el valor de las siguientes expresiones 
 Álgebra de tensores 9 
Mecánica de Sólidos 
PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL. SÍMBOLOS DE KRONECKER Y LEVI-CIVITA 
Delta de Kronecker 
Ejemplo: Calcular el valor de las siguientes expresiones 
Ejemplo: Eliminar la delta de Kronecker de las siguientes expresiones 
Solución: 
Solución: 
 Álgebra de tensores 10 
Mecánica de Sólidos 
PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL. SÍMBOLOS DE KRONECKER Y LEVI-CIVITA 
Producto vectorial 
(definición): 
Regla nemotécnica: 
 Álgebra de tensores 11 
Mecánica de Sólidos 
PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL. SÍMBOLOS DE KRONECKER Y LEVI-CIVITA 
Símbolo de Levi-Civita o de permutación Notación diádica: 
Símbolo de permutación: (*) 
(*) 
 Álgebra de tensores 12 
Mecánica de Sólidos 
PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL. SÍMBOLOS DE KRONECKER Y LEVI-CIVITA 
Identidad ε-δ general 
Deberes: demostrarla. Empezar por i=1, j=2, k=3 
Identidad ε-δ 
Ejemplo: Calcular el valor de las siguientes expresiones 
Deberes: demostrarla, es inmediato a partir de la identidad general 
 Álgebra de tensores 13 
Mecánica de Sólidos 
PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL. SÍMBOLOS DE KRONECKER Y LEVI-CIVITA 
Ejemplo 
Ejemplo: Calcular el valor de las siguientes expresiones 
Solución: 
 Álgebra de tensores 14 
Mecánica de Sólidos 
PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL. SÍMBOLOS DE KRONECKER Y LEVI-CIVITA 
Ejercicios 
Ejercicio: Demostrar que se cumple (usando notación diádica) 
1. 
2. 
3. Con de módulo unidad 
 Álgebra de tensores 15 
Mecánica de Sólidos 
PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL. SÍMBOLOS DE KRONECKER Y LEVI-CIVITA 
Ejercicios Ejercicio: Demostrar que se cumple 
Solución: 
(Identidad ε-δ) 
(El resto, 2 y 3, de deberes) 
 Álgebra de tensores 16 
Mecánica de Sólidos 
CAMBIO DE SISTEMA DE REPRESENTACIÓN: OBJETIVIDAD E INVARIANZA 
Cambio de sistema de representación Las magnitudes físicas escalares son invariantes: no dependen ni tienen sistema de representación (por ejemplo la presión, la energía, la temperatura, la densidad…) 
El producto escalar es una magnitud física escalar: está bien definida si es invariante 
Representación diádica de un vector en dos bases distintas: 
Proyección de un vector sobre una de las bases (prod. escalar) expresada en ambos 
sistemas de representación (debe ser invariante) 
Relación entre las 
componentes de v en 
diferentes sistemas 
de representación 
Matriz de cambio de 
base. 
Notación alternativa no deseable: 
 Álgebra de tensores 17 
Mecánica de Sólidos 
CAMBIO DE SISTEMA DE REPRESENTACIÓN: OBJETIVIDAD E INVARIANZA 
Propiedades de la matriz de cambio de sistema de representación 
Propiedades de la Matriz de 
cambio de base: 
1. No tiene etiqueta de sistema, es simplemente una matriz (no un tensor) 
2. Es una matriz de invariantes, sus elementos se pueden calcular en 
cualquier sistema de representación: 
 
 
3. Es ortogonal: 
La matriz de cambio de base son 
los vectores base en columna o fila 
en el otro sistema: 
Cosenos directores 
 Álgebra de tensores 18 
Mecánica de Sólidos 
CAMBIO DE SISTEMA DE REPRESENTACIÓN: OBJETIVIDAD E INVARIANZA 
Ejemplo Ejemplo: Un sistema de representación X’ viene dado por tres vectores tales que la 
representación de dos de ellos en otro sistema de representación X es: 
Calcular la matriz de cambio de base entre ambos sistemas de representación 
 Álgebra de tensores 19 
Mecánica de Sólidos 
CAMBIO DE SISTEMA DE REPRESENTACIÓN: OBJETIVIDAD E INVARIANZA 
Ejemplo 
Ejemplo: Un sistema de representación X’ viene dado por tres vectores tales que la 
representación de dos de ellos en otro sistema de representación X es: 
Calcular la matriz de cambio de base entre ambos sistemas de representación 
Solución: 
Por lo tanto: 
 Álgebra de tensores 20 
Mecánica de Sólidos 
CAMBIO DE SISTEMA DE REPRESENTACIÓN: OBJETIVIDAD E INVARIANZA 
Objetividad e invarianza 
Invarianza: no depende del sistema de representación; magnitudes escalares como la 
presión o temperatura o módulo de un vector.Si el resultado de una operación física es 
escalar, éste debe ser invariante. El producto escalar es escalar, debe ser invariante: 
Objetividad: Si el resultado de una operación es un vector (o tensor), debe cambiar de 
sistema de representación de acorde a su naturaleza vectorial (tensorial) 
El producto vectorial es un vector. La operación es objetiva si cambia como un vector: 
De hecho, estas propiedades se 
han ido buscando en las 
definiciones, por lo que son una 
consecuencia obvia 
 Álgebra de tensores 21 
Mecánica de Sólidos 
TENSORES DE SEGUNDO ORDEN 
Producto diádico: definición 
Tipos de productos: 
Producto diádico (definición): 
1. Escalares (p.e. producto escalar) 
2. Internos; dan un objeto del mismo espacio (p.e. producto vectorial) 
3. Externos; dan un objeto de mayor orden (p.e. producto diádico) 
El producto diádico de dos vectores, simbolizado por es un objeto 
físico que denominamos tensor (de segundo orden) y que aplicado a un tercer 
vector me da un cuarto vector tal que 
Producto diádico traspuesto (definición): 
Notaciones alternativas 
 Álgebra de tensores 22 
Mecánica de Sólidos 
TENSORES DE SEGUNDO ORDEN 
Producto diádico: notación diádica Producto diádico (definición): 
Notación diádica del producto diádico: 
Demostración: 
 Álgebra de tensores 23 
Mecánica de Sólidos 
TENSORES DE SEGUNDO ORDEN 
Producto diádico (definición): 
Representación matricial del producto diádico: 
Demostración: 
Ejemplo: Producto diádico de los vectores base: 
Fila Columna 
Un 1 en la fila y columna 
correspondiente 
 Álgebra de tensores 24 
Mecánica de Sólidos 
TENSORES DE SEGUNDO ORDEN 
Ejemplo: Producto diádico de los vectores base: 
Tensores en general de 2º orden (definición): 
Cada vector tiene 3 
componentes independ. 
en un sistema de 
representación 
El tensor debe tener 9 
componentes en un 
sistema de representación 
Representación diádica: Representación matricial de un tensor de 2º orden: 
(*) 
(*) 
Ejercicio: hacer la demostración 
usando la definición 
 Álgebra de tensores 25 
Mecánica de Sólidos 
TENSORES DE SEGUNDO ORDEN 
Tensores de segundo orden generales: demostración de la representación diádica 
Representación diádica: 
Demostración: 
 Álgebra de tensores 26 
Mecánica de Sólidos 
TENSORES DE SEGUNDO ORDEN 
Tensores de segundo orden: Cambio de sistema de representación (Principio de Invarianza: si el resultado de una operación es un escalar, éste debe ser 
invariante) 
Las componentes de un tensor en un sistema de representación pueden calcularse en 
cualquier sistema de representación: 
vector 
vector 
Escalar 
(producto escalar) 
Cambio de sistema de representación de un tensor de 2º orden: 
Expresión alternativa (estos 
índices son de matrices): 
 Álgebra de tensores 27 
Mecánica de Sólidos 
TENSORES DE SEGUNDO ORDEN 
Tensores de segundo orden: Tensor versus matriz 
¿Una matriz y un tensor son lo mismo? NO: 
• Las matrices son un arreglo de números para facilitar operaciones. 
• La matriz de cambio de base es una matriz, no un tensor. 
• Los tensores se pueden representar en forma de matriz en un determinado sistema de 
representación, por eso se les pone la etiqueta X. 
• A veces la representación matricial no es cómoda y se usan otras (p.e. vectorial o de Voigt). No 
obstante el cambio de componentes sigue siendo el mismo, y a veces éste se toma como la propia 
definición de tensor: 
 
 
• Los tensores se pueden representar en otros tipos de sistemas (cilíndricas, esféricas, curvilíneas en 
general). 
• No obstante, la representación matricial muestra un paralelismo innegable con las matrices 3x3, por 
lo que la mayor parte de tipos de tensores y operaciones tienen su equivalente en matrices. 
 Álgebra de tensores 28 
Mecánica de Sólidos 
OPERACIONES Y FUNCIONES 
Tensores de segundo orden: Operaciones varias similares a las de matrices Operaciones varias similares a matrices: (demostraciones inmediatas en notación diádica) 
• Igualdad: 
 
• Suma y resta: 
 
• Multiplicación/composición: 
 
 
 
• Escalado de un tensor: 
 
• Producto escalar de dos tensores: 
Notaciones 
alternativas 
Producto interno / composición 
 Álgebra de tensores 29 
Mecánica de Sólidos 
Operaciones poco usuales derivadas de la notación diádica: 
Traspuesta e inversa (similar a matrices): 
OPERACIONES Y FUNCIONES DE TENSORES DE 2º ORDEN 
 Álgebra de tensores 30 
Mecánica de Sólidos 
OPERACIONES Y FUNCIONES DE TENSORES DE 2º ORDEN 
Otras operaciones similares a matrices: Traza, determinante y norma de un tensor 
 
Traza: Invariantes al proceder de 
operaciones objetivas Norma: 
Determinante: 
Ejercicio: Demostrar que 
Ejercicio: Demostrar que 
Solución: 
Se obtienen 3! = 6 permutaciones de: 
Prod. Mixto de 
filas o columnas 
 Álgebra de tensores 31 
Mecánica de Sólidos 
Ejercicios 
 
Ejercicio: Demostrar que 
Solución: 
OPERACIONES Y FUNCIONES DE TENSORES DE 2º ORDEN 
 Álgebra de tensores 32 
Mecánica de Sólidos 
Descomposición aditiva en parte simétrica y antisimétrica. Vector dual 
Descomposición aditiva en parte simétrica y antisimétrica: 
Vector axial dual de un tensor antisimétrico (operación dual del producto vectorial): 
Ejercicio (deberes): Demostrar lo dicho en esta diapositiva 
PARTE SIMÉTRICA Y ANTISIMÉTRICA. VECTOR AXIAL DUAL 
 Álgebra de tensores 37 
Mecánica de Sólidos 
Autovector (dirección principal) y autovalor asociado: 
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES. INVARIANTES. TMA. DE CAYLEY-HAMILTON 
 
Autovectores (unitarios) y descomposición espectral: 
Invariantes 
principales: 
Ecuación característica: 
Teorema de Cayley-Hamilton: 
S simétrico 
 Álgebra de tensores 38 
Mecánica de Sólidos 
Ejemplo 
 
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES. INVARIANTES. TMA. DE CAYLEY-HAMILTON 
 
Ejemplo: Los autovectores y autovalores de un tensor son: 
Calcular las representaciones matriciales del tensor en el sistema X y en el principal Xpr 
Solución: 
 Álgebra de tensores 39 
Mecánica de Sólidos 
Ejemplo 
 
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES. INVARIANTES. TMA. DE CAYLEY-HAMILTON 
 
Ejemplo. Calcular los autovalores y autovectores de tensor: 
Solución: 
 Álgebra de tensores 40 
Mecánica de Sólidos 
Elipsoide de Lamé 
 Elipsoide de Lamé 
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES. INVARIANTES. TMA. DE CAYLEY-HAMILTON 
 
 Álgebra de tensores 41 
Mecánica de Sólidos 
Tensores ortogonales 
Tensores ortogonales: 
TENSORES ORTOGONALES. DESCOMPOSICIÓN POLAR. FÓRMULA DE RODRIGUES 
Diferencia entre tensor ortogonal y matriz de cambio de base: 
Desde el punto de vista 
numérico, ambas 
operaciones son la misma, 
únicamente se distinguen 
por su significado físico. 
Por ello a veces se 
confunden 
 Álgebra de tensores 46 
Mecánica de Sólidos 
Descomposición polar: 
Diestra o a derechas 
(“right polar dec.”) 
Siniestra o a izquierdas 
(“Left polar dec.”) 
Con R ortogonal (rotación) 
Con R ortogonal (rotación, la 
misma que en la diestra) 
Descomposición polar 
TENSORES ORTOGONALES. DESCOMPOSICIÓN POLAR. FÓRMULA DE RODRIGUES 
 Álgebra de tensores 47 
Mecánica de Sólidos 
Exponencial de un tensor 
TENSORES ORTOGONALES. DESCOMPOSICIÓN POLAR. FÓRMULA DE RODRIGUES 
Exponencial de un tensor. Fórmula de Rodrigues 
Fórmula de Rodrigues: exponencial de un tensor antisimétrico 
Si W es antisimétrico, exp(W) es ortogonal: 
Fórmula de Rodrigues: 
Parte lineal: 
Si S es simétrico: 
 Álgebra de tensores 48 
Mecánica de Sólidos 
Producto diádico de tensores de 2º orden 
Producto diádico de díadas: 
TENSORES DE 4º ORDEN 
Notación: Definición: Producto diádico (externo) de tensores de 2º orden: 
Productos mixtos: 
Tensor de 4º orden: 
Simetría mayor: 
Simetrías menores: 
 Álgebra de tensores 49 
Mecánica de Sólidos 
Otros productos diádicos cruzados (la notación no tiene estándar): 
TENSORES DE 4º ORDEN 
Productos diádicos cruzados y tensores identidad 
Tensores identidady trasposición 
Proyectores simétrico y antisimétrico 
 Álgebra de tensores 50 
Mecánica de Sólidos 
TENSORES DE 4º ORDEN 
Notación de Voigt (muy usada en ingeniería) 
 Alinealidades 51 
Notación de Voigt para tensores de 2º orden simétricos 
 y de 4º con simetrías menores: Alternativas: 
Mecánica de Sólidos 
TENSORES DE 4º ORDEN 
 Alinealidades 52 
Notación pseudovectorial (Mandel) 
En Voigt: 
Mecánica de Sólidos 
TENSORES DE 4º ORDEN 
 Alinealidades 53 
Notación isotropía: 
Tensor de 2º orden simétrico: 
Tensor de 4º orden simétrico: 
Sólo 2 parámetros 
independientes si hay simetrías 
menores, 3 en caso contrario 
Caso general: 
Con simetrías menores: 
Ejercicio: 
Mecánica de Sólidos 
TENSORES DE 4º ORDEN 
Proyecciones 
 Alinealidades 54 
Proyectores: 
Vectores: 
Tensores: 
	2. Álgebra de tensores (4 horas aprox.)
	ÁLGEBRA DE TENSORES 
	NOTACIONES. REGLAS DE LA NOTACIÓN INDICIAL Y DIÁDICA
	NOTACIONES. REGLAS DE LA NOTACIÓN INDICIAL Y DIÁDICA
	NOTACIONES. REGLAS DE LA NOTACIÓN INDICIAL Y DIÁDICA
	NOTACIONES. REGLAS DE LA NOTACIÓN INDICIAL Y DIÁDICA
	NOTACIONES. REGLAS DE LA NOTACIÓN INDICIAL Y DIÁDICA
	PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL. SÍMBOLOS DE KRONECKER Y LEVI-CIVITA
	PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL. SÍMBOLOS DE KRONECKER Y LEVI-CIVITA
	PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL. SÍMBOLOS DE KRONECKER Y LEVI-CIVITA
	PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL. SÍMBOLOS DE KRONECKER Y LEVI-CIVITA
	PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL. SÍMBOLOS DE KRONECKER Y LEVI-CIVITA
	PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL. SÍMBOLOS DE KRONECKER Y LEVI-CIVITA
	PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL. SÍMBOLOS DE KRONECKER Y LEVI-CIVITA
	PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL. SÍMBOLOS DE KRONECKER Y LEVI-CIVITA
	PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL. SÍMBOLOS DE KRONECKER Y LEVI-CIVITA
	CAMBIO DE SISTEMA DE REPRESENTACIÓN: OBJETIVIDAD E INVARIANZA
	CAMBIO DE SISTEMA DE REPRESENTACIÓN: OBJETIVIDAD E INVARIANZA
	CAMBIO DE SISTEMA DE REPRESENTACIÓN: OBJETIVIDAD E INVARIANZA
	CAMBIO DE SISTEMA DE REPRESENTACIÓN: OBJETIVIDAD E INVARIANZA
	CAMBIO DE SISTEMA DE REPRESENTACIÓN: OBJETIVIDAD E INVARIANZA
	TENSORES DE SEGUNDO ORDEN
	TENSORES DE SEGUNDO ORDEN
	TENSORES DE SEGUNDO ORDEN
	TENSORES DE SEGUNDO ORDEN
	TENSORES DE SEGUNDO ORDEN
	TENSORES DE SEGUNDO ORDEN
	TENSORES DE SEGUNDO ORDEN
	OPERACIONES Y FUNCIONES
	OPERACIONES Y FUNCIONES DE TENSORES DE 2º ORDEN
	OPERACIONES Y FUNCIONES DE TENSORES DE 2º ORDEN
	OPERACIONES Y FUNCIONES DE TENSORES DE 2º ORDEN
	PARTE SIMÉTRICA Y ANTISIMÉTRICA. VECTOR AXIAL DUAL
	AUTOVALORES Y AUTOVECTORES. INVARIANTES. TMA. DE CAYLEY-HAMILTON�
	AUTOVALORES Y AUTOVECTORES. INVARIANTES. TMA. DE CAYLEY-HAMILTON�
	AUTOVALORES Y AUTOVECTORES. INVARIANTES. TMA. DE CAYLEY-HAMILTON�
	AUTOVALORES Y AUTOVECTORES. INVARIANTES. TMA. DE CAYLEY-HAMILTON�
	TENSORES ORTOGONALES. DESCOMPOSICIÓN POLAR. FÓRMULA DE RODRIGUES
	TENSORES ORTOGONALES. DESCOMPOSICIÓN POLAR. FÓRMULA DE RODRIGUES
	TENSORES ORTOGONALES. DESCOMPOSICIÓN POLAR. FÓRMULA DE RODRIGUES
	TENSORES DE 4º ORDEN
	TENSORES DE 4º ORDEN
	TENSORES DE 4º ORDEN
	TENSORES DE 4º ORDEN
	TENSORES DE 4º ORDEN
	TENSORES DE 4º ORDEN