T9-Fatiga

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Caṕıtulo 9
Fatiga en metales
Cuando un material está sometido a cargas ćıclicas es posible que, aun-
que el estado tensional en todo instante sea relativamente inocuo, el material
acabe por romperse. Este tipo de fallo, que no está contemplado por ninguno
de los modelos estudiados hasta ahora es, además, especialmente peligroso:
los criterios de fallo no lo predicen, no se manifiesta exteriormente hasta la
rotura y, cuando ésta ocurre, es similar a la de los materiales frágiles, donde
aparecen fisuras que se propagan rápidamente hasta el fallo. Este fenómeno
se conoce como fatiga y es necesario considerarlo sobre todo cuando se di-
señan máquinas o estructuras que bajo servicio estarán sometidas a ciclos
de carga (veh́ıculos, máquinas rotatorias, estructuras sometidas a viento. . . )
o térmicos.
El estudio de la fatiga en los metales se suele dividir en tres categoŕıas:
a) Fatiga de gran número de ciclos. Este tipo de fatiga aparece cuan-
do las tensiones nominales responsables de la fatiga son muy pequeñas
(en relación al ĺımite elástico del material).
b) Fatiga de bajo número de ciclos. Esta fatiga ocurre cuando la
deformación plástica en cada ciclo es visible.
c) Fatiga térmica. Debido a las tensiones que aparecen en los ciclos
térmicos.
Aunque el fallo por fatiga no está restringido a los materiales metálicos
nos limitamos en esta primera exposición al estudio de este tipo de materia-
les. Descripciones más completas de la fatiga en metales se pueden encontrar,
por ejemplo, en [1].
9.1. Historia
El desarrollo de la teoŕıa de la fatiga de metales está ligado al de catástro-
fes que han ocurrido en la sociedad industrializada y que, en su momento,
177
178 Caṕıtulo 9. Fatiga en metales
Figura 9.1: Fatiga en un eje (J. Glynn, 1843)
sorprendieron a la comunidad cient́ıfica pues parećıan contradecir al cono-
cimiento del momento.
El accidente ferroviario en Meudon, Francia (1842) se debió al descarri-
lamiento de la locomotora de un tren en el trayecto Versalles-Paŕıs, debido
a la rotura de uno de sus ejes. Este accidente motivó el primer estudio sis-
temático de la fatiga en materiales metálicos, cuando Rankine estudió el
efecto de la concentración de tensiones en el crecimiento de grietas en ejes
de ferrocarril. Anteriormente, W. Albert y J.-V. Poncelet ya hab́ıan presen-
tado algunos trabajos sobre el tema y fue este último el que describió el
cansancio (fatigue) de los metales que estudiaba.
Sin duda, el caso más famoso en el campo de la aeronáutica es el de los
accidentes de los aviones tipo de Havilland Comet en la década de 1950. Este
modelo británico fue el primer avión a reacción para uso civil. Los accidentes
referidos tuvieron lugar en el aire con consecuencias desastrosas. El análisis
forénsico de las causas determinó que durante el vuelo aparecieron grietas
debidas a la fatiga del fuselaje en la zona de las esquinas de las ventanillas.
Las tensiones en esa zona hab́ıan sido estudiadas en el diseño y estaban por
debajo del ĺımite elástico, pero no se hab́ıa tenido en cuenta la fatiga del
material, que además se acentuaba debido a la concentración de tensiones
en dichos puntos. Este no es el único avión con defectos de diseño ligados a
la fatiga de los materiales (ver wikipedia)
Finalmente, por citar un ejemplo no relacionado con el transporte, la
plataforma petroĺıfera Alexander L. Kielland de Noruega volcó en 1980 cau-
sando la muerte a 123 personas y también se debió al crecimiento de una
grieta por fisura.
9.2. Descripción micromecánica de la rotura por
fatiga
Para comprender la razón por la que los metales sufren rotura por fatiga
es necesario examinar los procesos micromecánicos que la acompañan.
El proceso de rotura por fatiga, de forma general y como ya se ha co-
Caṕıtulo 9. Fatiga en metales 179
Figura 9.2: Detalles de las estructuras superficiales causadas por las bandas
de deslizamiento persistente en la superficie de un cristal.
mentado, consiste en la aparición de microgrietas, su crecimiento lento (por
cada ciclo de carga) hasta que se alcanza un tamaño cŕıtico de grieta en
el que se propagan rápidamente. Aunque no es fácil describir qué ocurre
a nivel microscópico en todos los casos de fatiga, existe consenso en que
la razón fundamental por la cual aparecen grietas en metales sometidos a
cargas ćıclicas es la nucleación y acumulación de dislocaciones, y vacancias
atómicas, hasta que éstas forman estructuras estables. En particular, en las
llamadas bandas de deslizamiento persistente se concentra la mayor parte
de la cizalla plástica. Cuando estas bandas alcanzan la superficie libre de
los cristales aparecen picos y valles, en donde las tensiones se concentran y
donde es más posible que las grietas aparezcan (ver Figura 9.2). Debido a la
aplicación repetitiva de cargas, la fisura va creciendo de forma lenta. Llega
180 Caṕıtulo 9. Fatiga en metales
un momento que la fisura es tan grande que la pieza no puede resistir la
carga y se produce una rotura súbita. Este proceso se puede identificar en
las secciones de la piezas que fallan debidas a fatiga (ver Figura 9.2)
Como los detalles superficiales tienen una importancia cŕıtica en la ini-
ciación de grietas, se sigue que los tratamientos superficiales y los efectos
qúımicos (corrosión) afectan de forma cŕıtica a la resistencia a la fatigua de
las piezas mecánicas.
9.3. Cálculo de la resistencia a fatiga bajo carga
uniaxial
Las causas de la rotura por fatiga son complejas, y por ello existen nu-
merosos modelos simplificados que la predicen de forma aproximada. Estos
modelos hacen uso de fórmulas sencillas y tablas que recogen el resultado
de experimentos en los que se calcula la resistencia a la fatiga de materiales
bajo cargas repetitivas. De hecho, la complejidad del proceso es tal que en
la mayoŕıa de las ocasiones sólo se estudia la fatiga en procesos de carga
uniaxial, como a continuación se presenta.
Tres son los métodos más habituales para el cálculo de la resistencia a
fatiga
Cálculo de vida a tensión (diagramas S-N),
Cálculo de vida a deformación (diagramas ✏-N),
Caṕıtulo 9. Fatiga en metales 181
Figura 9.3: Curvas S-N para aceros (año 1924).
Fatiga por crecimiento de grieta,
que estudiamos en detalle a continuación.
9.3.1. Cálculo de resistencia a fatiga a partir del estado ten-
sional
Este tipo de cálculo se aplica para el estudio de la fatiga bajo un número
alto de ciclos (> 104). En estas situaciones la tensión es baja y no se aprecia
deformación plástica. Se observa además, que los resultados de este tipo de
fracturas por fatiga apenas dependen de la velocidad de aplicación de las
cargas.
Descripción de las cargas ćıclicas. Consideramos únicamente cargas
ćıclicas de la forma
�(t) = �m + �a sin(wt) . (9.1)
El śımbolo �m denota la tensión media, que puede ser tanto positiva como
negativa. Por contra, la amplitud �a es siempre positiva.
Este es el método más clásico y elemental para el estudio de la fatiga
y tiene su origen el los trabajos de Wöhler de 1850. El cálculo de la vida
de una pieza se basa en la comparación del valor nominal de la tensión (S)
frente al número de ciclos (N).
Diagramas S-N. La herramienta fundamental en este tipo de análisis
son los llamados diagramas de Wöhler , o diagramas S-N, diagramas car-
tesianos semilogaŕıtmicos en los que se representa en el eje de ordenadas
la tensión nominal S y en el de abcisas el número de ciclos N en el que
182 Caṕıtulo 9. Fatiga en metales
se llega al fallo. En muchos materiales, la función S(N) muestra dos com-
portamientos diferenciados: en un primer intervalo es decreciente y en un
segundo intervalo es constante. La función de fallo a veces se representa con
la función de Basquin
S = �′f(2N)b (9.2)
siendo �′f y b dos constantes del material conocidas, respectivamente, como
el coeficiente y el exponente de resistencia a fatiga . Estas constantes
se puede hallar experimentalmenteo imponer suponiendo, por ejemplo, que
para N = 103, S = 0,9�r y que para N = 106, S = �f .
El ĺımite de fatiga es por tanto la tensión uniaxial por debajo de la
cual un material nunca fallará a fatiga. Una primera aproximación, que se
verifica aproximadamente, es �f = �e�2. Otra aproximación que a veces se
emplea es �f = BHN�4, siendo BHN la dureza de Brinell. A veces también
se usa la aproximación que S(1000) = 0,9�u.
Algunos aceros de alta resistencia, el aluminio, y otros materiales no
férreos no poseen un umbral de tensión por debajo del cual no se produce
fallo por fatiga aśı que se suele definir el ĺımite de fatiga como la tensión que
produce un fallo después de 108 ciclos, aunque esta definición es subjetiva y
a veces se escoge otro número de ciclos distinto.
Las curvas de Wöhler se construyen a partir de numerosos ensayos en la-
boratorio, sometiendo espećımenes bien a cargas ćıclicas de tensión/tracción
o bien a flexión. En realidad, la resistencia a la fatiga de los materiales de-
biera estudiarse estad́ısticamente pues es una propiedad con una dispersión
significativa. Sin embargo, como primera aproximación, supondremos que
los diagramas S-N proporcionan suficiente información.
Se observa experimentalmente que la resistencia a fatiga de un compo-
nente mecánico depende de forma significativa del tratamiento superficial del
mismo. Aśı, el ĺımite de fatiga en una probeta pulida o en una simplemente
estampada no es igual. Como las grietas, causantes de la rotura por fatiga,
inician en la superficie, cuanto ésta sea más pulida mayor será la resistencia
a fatiga. De hecho, existen diagramas que indican, de forma aproximada, un
coeficiente de acabado de superficie que condensa estos efectos, minorando
la resistencia a fatiga de la probetas, que siempre son pulidas.
Efectos de la concentración de tensiones. Para una misma tensión
nominal, la concentración de tensiones reduce la resistencia a la fatiga.
Efectos de la tensión media. Los diagramas S-N habitualmente repre-
sentan la resistencia a fatiga de materiales sometidos a ciclos de tensión
con media nula. Cuando la tensión media es positiva (tracción) la vida del
material se acorta y cuando ésta es negativa (compresión), se alarga.
Experimentalmente se observa que para un mismo número de ciclos de
vida útil un incremento de la tensión media repercute en una menor am-
Caṕıtulo 9. Fatiga en metales 183
t
�
�m
�a
Figura 9.4: Tensión con valor medio y amplitud no nulas.
�m
�a
�e �r
�Na0
Figura 9.5: Iso-curvas de número de ciclos hasta el fallo de Sodeberg (trazo
continuo) y de Goodman (trazo discontinuo). Abcisas �m ∶ tensión media;
ordenadas �a ∶ amplitud de la tensión. Valores del material: �Na0 ∶ amplitud
de la tensión que, cuando el valor medio es nulo, tiene una vida a fatiga de
N ciclos; �e ∶ ĺımite elástico; �r ∶ tensión de rotura.
plitud. Existen varios modelos matemáticos que sirven para cuantificar esta
observación. Por ejemplo, el diagrama de Goodman (ver figura 9.5) re-
presenta estados en el plano (�m,�a) con el mismo número de ciclos de vida
hasta el fallo. Llamando �Na0 a la amplitud de una tensión armónica con
media nula tal que su vida útil a fatiga sea N ciclos, la recta de Goodman
interpola linealmente entre los puntos (0,�Na0) y (�u,0), siendo �a0 y su
ecuación es, por tanto,
�a = �Na0 �1 − �m�r � . (9.3)
Esta recta por tanto representa de forma aproximada aquellas combinaciones(�m,�a) cuya resistencia a la fatiga es de N ciclos.
La relación de iso-vida caracterizada por la ecuación de Goodman es
aproximada, y existen otros modelos semejantes. Por ejemplo, la ecuación
de Soderberg interpola la resistencia entre el ĺımite de fatiga y el ĺımite
184 Caṕıtulo 9. Fatiga en metales
t
�
�m1
�a1
�m2
�a2
Figura 9.6: Carga ćıclica con dos tramos diferenciados de amplitud y valor
medio.
elástico:
�a = �Na0 �1 − �m�e � . (9.4)
Finalmente, la ecuación de Gerber también proporciona una aproxima-
ción a esta región de iso-resistencia
�a = �Na0 �1 − ��m�u �2� . (9.5)
Fatiga bajo cargas ćıclicas en tramos de amplitud variable. Lo
descrito anteriormente sólo es válido para historias de carga en las que el
valor de la tensión cambia ćıclicamente. Sin embargo, existen muchos casos
de interés en los que la amplitud de las cargas ćıclicas cambian con el tiem-
po. En estos casos, la historia de cargas se puede dividir en varios bloques
sucesivos, cada uno de ellos caracterizado por cargas ćıclicas de amplitud
constante.
Para combinar el efecto sobre la fatiga en el material se puede utilizar
la regla de Palmgren-Miner , que considera el daño acumulado en cada
uno de los periodos de carga y que, aunque tan sólo sea una aproximación,
al menos da una estimación de la vida hasta el fallo. Este método considera
que cada periodo de carga con amplitud de fuerzas constantes provoca un
daño sobre el material, independiente de en qué orden se sucedan los distintos
periodos; más aún, cada uno de estos periodos provoca un daño que es igual,
en porcentaje, al que provocaŕıa si la amplitud de la fuerzas fuera constante.
Finalmente, el fallo final por fatiga ocurre cuando el daño acumulado alcanza
el 100%.
▶ Ejemplo 9.3.1. La resistencia a la fatiga de un material se representa
de forma simplificada en un diagrama (semilogaŕıtmico) S-N que consiste en
una recta que pasa por (1 ciclo,100 MPa) y (107 ciclos,50 MPa).
a) Si se quiere diseñar una pieza sometida a esfuerzo axial de forma que
resista 105 ciclos de carga, ¿cuál es la máxima amplitud de la tensión
admisible?
Caṕıtulo 9. Fatiga en metales 185
40
50
60
70
80
90
100
1 10 100 1000 10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08
S
(M
P
a)
N (cycles)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 20 40 60 80 100
�
a
(M
P
a)
�m (MPa)
Figura 9.7: Diagrama S-N (arriba) y diagrama de Goodman (abajo) del
ejemplo 9.3.1.
En el diagrama semilogaŕıtmico S-N (véase la figura 9.7), la recta de
resistencia a la fatiga tiene la expresión S = 100− 50
7
logN . Con lo cual,
para que resista 105 ciclos, la tensión admisible es
S = 100 − 50
7
log 105 = 64,29 MPa
b) Admitiendo como válido el diagrama de Goodman, calcular la ampli-
tud de una tensión armónica de media �m = 20 MPa, de forma que la
vida útil de la pieza sea también de 105 ciclos.
La recta del diagrama de Goodman es, para una vida útil de 105 ciclos,
�a = 64,29(1 − 1�100�m) por lo que la amplitud de la tensión en una
carga armónica de valor medio 20 MPa será
�a = 64,29(1 − 20�100) = 51,43 MPa
c) Ahora la misma pieza se somete a una tensión de la forma �(t) =
20 + 51,43 sin(!t) durante 3 ⋅ 104 ciclos de carga. Después, se somete
a otra carga armónica de tensión con valor medio �m = 40 MPa y
amplitud 20 MPa. ¿cuántos ciclos de carga resistirá antes de la rotura
por fatiga?
186 Caṕıtulo 9. Fatiga en metales
El estado tensional del primer ciclo de carga, como antes se calculaba,
permite una vida útil de 105. Puesto que la pieza sólo se ha sometido a
N
1
= 3 ⋅ 104 ciclos, ésta ha agotado el 30% de su vida, según el criterio
de Palmgren-Miner.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 20 40 60 80 100
�
a
(M
P
a)
�m (MPa)
Figura 9.8: Diagrama de Goodman de el estado (�m,�a) = (40,20) MPa.
Para encontrar el número de ciclos que la pieza resistirá en su segundo
estado de carga, calculamos primero la vida útil de una pieza sometida
a un único ciclo de carga con (�m,�a) = (40,20) MPa. En el diagrama
de Goodman de la figura 9.8 se puede apreciar que el estado de carga
estudiado tiene un vida útil igual que un tensión armónica de amplitud
�a = 33,33 MPa y valor medio nulo. Empleando una vez más la curva
S-N, se puede calcular que la vida útil de una pieza con esta tensión
armónica es de N = 2,15 ⋅ 109.
Como, según la regla de Palmgren-Miner, a la pieza sólo le resta un
70% de vida útil para esta segunda fase de carga, concluimos que esto
equivale a un número de ciclos
N
2
= 0,70 × 2,15 ⋅ 109 = 1,5⋅ 109 ciclos
El número total de ciclos de vida de esta pieza será N
1
+N
2
. ◀
9.3.2. Cálculo de resistencia a fatiga a partir de las deforma-
ciones
Este análisis se hace para la rotura en un número bajo de ciclos (≈ 103),
donde las deformaciones plásticas son patentes. Su desarrollo es de los años
1960s, muy posterior al del análisis por tensiones. La hipótesis fundamental
de este tipo de análisis es que la rotura en una situación de fatiga en bajo
número de ciclos se debe a la acumulación de deformación plástica. Este
criterio se acerca más a la interpretación micromecánica de la fatiga que el
de la tensión.
Caṕıtulo 9. Fatiga en metales 187
"
�
�
�
�"
Figura 9.9: Ciclo de control de deformación en un material elastoplástico.
Una fase transitoria (gris) da lugar a un régime estacionario con histéresis.
Para estudiar la fatiga en ciclos de este estilo se realizan ensayos con
control de desplazamiento como el mostrado en la figura 9.9. Si sobre una
probeta sometida a tracción se imponen desplazamientos de rango �", des-
pués de una fase transitoria en la que la deformación plástica crece, se al-
canza un régimen permanente en el que se aprecia claramente una respuesta
con histéresis, donde la tensión abarca un rango ��. Experimentalmente se
ha observado que en estos ciclos de deformación, la amplitud de la deforma-
ción plástica �"p�2 está relacionada con el número de ciclos hasta el fallo N
mediante una ecuación de la forma
�"p
2
= "′f(2N)c , (9.6)
siendo "′f el coeficiente de ductilidad a fatiga y c el exponente de
ductilidad a fatiga . La primera de estas constantes mide la deformación
plástica que llevaŕıa al fallo en medio ciclo de carga (un cambio de signo en
la deformación). La segunda de estas constantes tiene un valor entre -0.5 y
-0.7 para metales.
Como se estudió en la teoŕıa de la plasticidad, la amplitud de la defor-
mación plástica se puede escribir como �"p�2 =�"�2 −�"e�2, es decir, que
es el resultado de sustraer la amplitud de la deformación recuperable de la
amplitud total de la deformación. Si escribimos la ecuación de Basquin (9.2)
como
���2 = �′f(2N)b (9.7)
188 Caṕıtulo 9. Fatiga en metales
entonces la ecuación (9.6) se puede expresar como
�"
2
= �′f
E
(2N)b + "′f(2N)c . (9.8)
El primer sumando del término de la derecha representa la contribución
elástica al fallo por fatiga; a su vez, el segundo término mide la contribución
de la deformación plástica al fallo. Para tener en cuenta el efecto de tensiones
medias no nulas el coeficiente de resistencia a la fatiga �′f se sustituye por
�′f − �m.
Las propiedades de la superficie, la concentración de tensiones y el valor
de la tensión media modifican, como en el caso de las curvas S-N, la vida de
los materiales sometidos a fatiga de bajos ciclos.
▶ Ejemplo 9.3.2. Un acero tiene propiedades mecánicas �e = 230 MPa,
�′f = 830 MPa, "′f = 0,95, b = −0,110 y c = −0,64. Si se somete a una deforma-
ción armónica de media nula y amplitud �" = 0,03, determinar el número
de ciclos hasta el fallo.
Sustituyendo los datos en la ecuación (9.8) encontramos que el número
de ciclos de deformación hasta el fallo es N = 404. ◀
9.3.3. Calculo de resistencia a partir de la teoŕıa de la frac-
tura
Cuando una pieza o estructura está sometida a cargas ćıclicas y además
tiene un grieta, puede ocurrir que ésta crezca hasta alcanzar un tamaño
tan grande que la pieza se parta. La mecánica de la fractura, tal y como
se estudió en el caṕıtulo 8, se encarga de determinar el tamaño cŕıtico de
la grieta y estudiamos a continuación la velocidad de crecimiento de grietas
(subcŕıticas) debido a solicitaciones ćıclicas.
Habitualmente se considera, en primer lugar, la amplitud de la tensión
que hace crecer la grieta, es decir:
�� = ��������máx − �mı́n, si �mı́n > 0�máx, si �mı́n ≤ 0 (9.9)
puesto que las cargas compresivas no abren las grietas. En segundo lugar,
considerando que el factor de intensidad de tensiones es de la forma
K = �√⇡af(a, . . . ) , (9.10)
siendo a el parámetro de longitud de grieta y f una función que depende
de a y posiblemente otros factores geométricos, se define su amplitud como
�K =��√⇡af(a, . . . ) , (9.11)
Caṕıtulo 9. Fatiga en metales 189
usándose ésta magnitud como la responsable del crecimiento de las grietas
y escribiendo
da
dN
= F(�K) (9.12)
1e-09
1e-08
1e-07
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
10
d a
dN
�K
Figura 9.10: Velocidad de crecimiento de grieta en función del rango del
coeficiente de intensificación de tensiones.
En este tipo de curvas se observa que, por debajo de un cierto nivel
de �K, las grietas no se abren nunca, independientemente del número de
ciclos que se apliquen. Por encima de este umbral, existe un amplio rango
de valores de �K para los que se cumple la ley de ParisF(�K) = C�Km (9.13)
siendo C y m parámetros del material. Este rango se aprecia en un diagrama
logaŕıtmico como una recta (véase la figura 9.10). Existe también un valor
cŕıtico de �K por encima del cual la grieta crece muy rápidamente, llevando
a la fractura.
Cálculo de la vida útil
Dada una grieta de longitud ai, el número de ciclos que hacen que ésta
crezca hasta alcanzar una longitud af se obtiene integrando la relación (9.12)
que resulta:
N = � af
a
i
daF(�K(a)) (9.14)
donde hemos relacionado el valor del factor de intensidad de tensiones con el
tamaño de grieta. Para un cálculo de vida útil se debe emplear un valor de
la longitud inicial de la grieta (que debe de obtenerse a partir de los procesos
de fabricación) y el tamaño cŕıtico de grieta, que se puede obtener usando
la teoŕıa de la mecánica de la fractura.
190 Caṕıtulo 9. Fatiga en metales
▶ Ejemplo 9.3.3. Una chapa delgada de acero (KI = 50 MPa√m) como la
de la figura 8.5 tiene dimensiones 600×900 mm2 y una grieta transversal de
longitud 2a = 30 mm. Suponiendo que la chapa está sometida a tracciones
de la forma �(t) = 16 cos(!t) MPa y tomando como válida una ley de Paris
con constante C = 10−11m ⋅Hz�(MPa√m)3 y exponente m = 3, determinar
el número de ciclos hasta el fallo.
Para una chapa delgada con una grieta transversal sometida a tensiones
ćıclicas con valor medio nulo, el rango del factor de amplificación de tensiones
es
�K = �
0
√
⇡a.
Si la tenacidad a fractura del acero es KI = 50 MPa√m, es valor cŕıtico de
la dimensión a es ac = (50�16)2 ⋅1�⇡ = 22,10 mm. Concluimos que el número
de ciclos de carga necesarios para llevar la chapa hasta el fallo es:
N = � 22,1⋅10−3
15⋅10−3
da
10−11(16√⇡a)3 = 1,26 ⋅ 107 ciclos ◀
9.4. Fatiga en cargas multiaxiales
El cálculo de la resistencia a la fatiga en piezas y estructuras someti-
das a cargas no uniaxiales es bastante más complejo que el descrito en la
Sección 9.3. En este caso, además el número de modelos aproximados se
multiplica pues aparecen explicaciones para la fatiga de ejes sometidos a
torsión, a flexión, a torso-flexión, etc, que únicamente se pueden aplicar en
casos particulares. En general, toda esta variedad de modelos apunta hacia
la complejidad del fenómeno de la fatiga, y muestra la falta de un modelo
básico que pueda emplearse para predecir todos los casos de fatiga.
Un sencillo modelo que puede emplearse, teniendo en cuenta que no es
muy exacto, en el caso de fatiga de muchos ciclos consiste en utilizar la
teoŕıa unidimensional ya estudiada para alguna tensión equivalente, como
la de von Mises o Tresca. Este tipo de análisis sólo tiene sentido cuando
las solicitaciones exteriores vaŕıan únicamente en módulo, y éstos de forma
sincronizada. Es decir, las tensiones y deformaciones en el sólido cambian,
pero este cambio es tal que lo que produce es un tensor de tensiones en
cada punto cuya norma oscila en el tiempo, es decir, que en todo punto x e
instante t el tensor de tensiones se puede escribir como:
�(x, t) = f(t)�̄(x) , (9.15)
Para este tipo de cargas, la tensiones principales en cada punto también
satisfacen
�I(x,t) = f(t)�̄I(x) , �II(x, t) = f(t)�̄II(x) , �III(x, t) = f(t)�̄III(x) ,
(9.16)
Caṕıtulo 9. Fatiga en metales 191
y por tanto la tensión de von Mises y de Tresca son
�vM(x, t) = f(t)�̄vM(x) , �vM(x, t) = f(t)�̄Tr(x) . (9.17)
En el caso más sencillo, podemos utilizar la ecuación de Basquin (9.2) obte-
nida para la fatiga unidimensional y utilizando las constantes determinadas
para dicha situación, extrapolar su uso al caso tridimensional reemplazando
el valor de la amplitud de la tensión por la de la amplitud de la tensión
equivalente (de von Mises, por ejemplo).
Cuando el estado tensional no sólo no es unidimensional sino que además
tiene un valor medio no nulo se puede continuar extendiendo la analoǵıa
unidimensional definiendo una tensión media equivalente, calculando el valor
medio de la tensión equivalente. En este caso además, se pueden utilizar las
aproximaciones de Goodman o de Soderberg para encontrar el número de
ciclos de carga hasta el fallo.
Los métodos más avanzados y precisos para el cálculo de vida de fatiga
en situaciones de carga bi- o tri-axial son los conocidos como métodos de
plano cŕıtico. Todos ellos reconocen, para empezar, que la fatiga en los
sólidos es un fenómeno direccional, y que no tiene sentido hablar de una
única tensión representativa (la de von Mises, Tresca, o cualquier otra) como
variable de control para la aparición y crecimiento de grietas. Los métodos de
plano cŕıtico, en cambio, estudian la aparición de la fatiga en un gran número
de entre todos los planos que pasan por cada punto y escogiendo como cŕıtico
aquel plano en el que el fallo por fatiga aparezca antes. Para utilizar este
tipo de métodos se necesita, en primer lugar, identificar el plano cŕıtico y en
segundo lugar aplicar sobre dicho plano las fórmulas de estimación de vida
en situaciones unidimensionales.
Dentro de los métodos de plano cŕıtico, el más sencillo es el que estudia la
aparición de grietas en cada plano estudiando únicamente la componente de
la deformación en la dirección perpendicular a éste y estudiando el problema
uniaxial con las técnicas, por ejemplo, descritas en la sección 9.3.2.
Para aquellas situaciones en las que las cargas exteriores son función
del tiempo, y todas ellas tienen la misma función de proporcionalidad, los
métodos más precisos son el de Brown-Miller y sus variantes [? ]. Este tipo
de métodos se basa en la idea de que la máxima deformación angular �
máx
=
"I−"III es la responsable de la aparición de micro-grietas y que la deformación
longitudinal, en dirección perpendicular a los planos donde ocurre �
máx
, es
la responsable de su crecimiento. Como esta última es "m = ("I + "III)�2 (ver
figura 9.11, se concluye que cada número de ciclos de vida serán función
únicamente de ("I − "III , "I + "III).
Para determinar la forma de la relación buscada se supone, según lo an-
terior, que la amplitud de deformación angular equivalente (en el sentido de
daño de fatiga) en cada punto es igual a la máxima amplitud de deformación
192 Caṕıtulo 9. Fatiga en metales
"
|�|/2
"I"II"III
"I�"III
2
"I+"III
2
Figura 9.11: Máxima deformación angular �
máx
= "I−"III
2
y su correspondiente
deformación longitudinal " = "I+"III
2
para un estado de deformación arbitrario.
angular incrementada por "m:
��eq =��
máx
+ "m . (9.18)
Para poder emplear los modelos unidimensionales se considera el ensayo
uniaxial de tracción, para el cual
��eq = "I − "III = 3 + ⌫
2
�" . (9.19)
Para simplificar el resultado final se supone que el coeficiente de Poisson es
0,3 en el régimen elástico (como de hecho es cierto para muchos metales) y
en régimen plástico, 0,5. Utilizando la expresión (9.8) para la determinación
de la vida a fatiga basada en las deformaciones se estima que, en el régimen
elástico,
��eq
2
= 1,65�"
2
= 1,65�′f
E
(2N)b , (9.20)
mientras que en el régimen plástico,
��eq
2
= 1,75�"
2
= 1,75 "′f(2N)c . (9.21)
Combinando ambos resultados, se concluye que la fórmula análoga a (9.8)
pero para estados multiaxiales es
��
máx
2
+ �"n
2
= 1,65�′f
E
(2N)b + 1,75 "′f(2N)c . (9.22)
Bibliograf́ıa 193
Problemas
9.1. Un material es tal que resiste 107 ciclos cuando está sometido a una
carga armónica de valor máximo � = 75 MPa. Determinar, sabiendo que la
tensión de rotura de dicho material es de 180 MPa, la amplitud admisible de
una carga armónica con valor medio igual a 60 MPa si se desea que también
en este régimen el material resista 107 ciclos.
9.2. Un depósito ciĺındrico de radio R = 800 mm y espesor t = 5 mm tiene
una grieta longitudinal de tamaño 2c = 2 mm. El depósito forma parte
de una circuito hidráulico y almacena aceite en un rango de presiones de
p ∈ (0,1,0,5) MPa.
Un estudio del material indica que su vida a fatiga se puede modelar con
una ley de Paris de constante C = 10−9 m⋅Hz/(MPa√m)4 y exponente 4, y
que su tenacidad a fractura es KIc = 40 MPa √m. Determinar el número
máximo de ciclos de carga/descarga que el depósito puede resistir.
9.3. El análisis por elementos finitos de un punto de la biela de un veh́ıculo
ha permitido calcular que el tensor de deformación en dicho punto durante
un ciclo de funcionamiento es
" = �������
1 2 3
2 −1 0
3 0 −2
������� sin(!t) ⋅ 10−2 ,
siendo ! la frecuencia de giro de la máquina y t el tiempo. El departamento
de materiales ha caracterizado la respuesta a fatiga del material con un
coeficiente de resistencia a la fatiga �′f =, un exponente de resistencia a
la fatiga b =, un coeficiente de ductilidad a fatiga "′f = y un exponente
de ductilidad a fatiga c =. Sabiendo, además que el módulo de Young del
material es E = 180 GPa, determinar el número de ciclos que podrá resistir
a fatiga este punto usando un modelo de Brown-Miller.
Bibliograf́ıa
[1] S Suresh. Fatigue of Materials. Cambridge University Press, 1998. ISBN
0 521 57046 8.