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Teoría de Hamilton-Jacobi
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Ecuación de Hamilton-Jacobi
La función acción calculada a lo largo de un extremal , que conecte los puntos y , puede ser considerada, para fijado, una función de las variables si los extremales que parten de no se intersectan en ningún otro sitio: 
Sea el extremal que va hasta y el extremal que va hasta 
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Método de Hamilton-Jacobi para la integración de las ec. canónicas de Hamilton con Hamiltoniana .
(E.H.J)
Se busca una solución de la E.H.J llamada integral completa: una solución de la ecuación que contenga tantas constantes independientes como variables independientes existan, es decir n+1. Una de dichas constantes (al aparecer sólo las derivadas de S) será siempre aditiva y la descartamos. La integral llamada completa será una solución del tipo
En el sistema de ecuaciones canónicas con Hamiltoniana , efectuamos una transformación canónica usando como función generatriz (tipo 2) la integral completa, y las magnitudes como los nuevos momentos , :
Como S verifica la E.H.J, , y en las nuevas variables: 
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(E.H.J)
Caso particular en el que la Hamiltoniana es independiente del tiempo: . 
Se ensaya una solución del tipo:
La solución, , contendrá n constantes no aditivas, entre las cuales estará (H se conserva). 
En lugar de tomar como una de las constantes a veces es preferible tomarla como una cierta función de las , , y expresar la solución como 
La función se denomina acción reducida 
A partir de aquí el método de Jacobi se aplica igual que antes si tomamamos S como función generatriz (tipo 2) y las como los nuevos momentos 
separación de variables
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Una pequeña variante del método consiste en tomar la acción reducida W como función generatriz de la transformación canónica (tipo 2) en lugar de la S,
y en la nueva Hamiltoniana H’, todas las coordenadas Q son cíclicas 
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Ejemplos (resolver aplicando el método de Jacobi)
1) Partícula libre moviéndose sobre el eje X:
Tomando S como función generatriz, H’=0,
Solo hay una constante. Podemos tomar 
Tomando W como función generatriz, 
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2) Partícula libre moviéndose sobre el plano XY:
Tomando S como función generatriz, H’=0,
separación de variables
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3) Partícula libre moviéndose sobre el plano XY en coordenadas polares :
Tomando S como función generatriz, H’=0,
separación de variables
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(E.H.J)
Sistemas separables: . 
La solución de la EHJ es de la forma:
Casos triviales de separación:
cada una de las es una constante del movimiento:
1) Hamiltoniana separable:
2) Cualquier coordenada cíclica es separable:
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3) La coordenada, por ejemplo la , se dice que es separable si la variable y la
 aparecen solo mediante una combinación de la forma : 
 Si es separable buscamos una solución de la forma 
para la EHJ, la cual se escribirá
(*) Una solución de esta ecuación es:
Si las coordenadas restantes son también separables el sistema total es separable y una solución completa de la EHJ se puede obtener.
(*)Nota: Obsérvese que es una constante del movimiento 
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Partícula moviéndose sobre un plano (coordenadas polares) y sometida a un potencial central 
Ejemplos de sistemas separables de esta manera son: 
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Partícula moviéndose en un triedro (coordenadas esféricas) y sometida a un potencial central 
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Ejercicio. Dada la hamiltoniana , se pide:
 a) Demostrar que 
 b) Para el caso particular , obtener la 
 solución aplicando el método de Jacobi. 
a) 
b) 
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Tomando S como la función generatriz
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¡Los sistemas hamiltonianos separables son integrables por cuadraturas!
¡Las n constantes se corresponden con n constantes del movimiento o integrales primeras !
¿Cuando es integrable un sistema Hamiltoniano?
Teorema de Liouville de la integrabilidad:
Sea el sistema de n grados de libertad con Hamiltoniana . Si se conocen n integrales del movimiento, , independientes y que estén en involución, es decir el corchete de Poisson de cualquier pareja de integrales del movimiento es identicamente nulo, , entonces el sistema es integrable por cuadraturas (ver apuntes pag. 32).
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Método de Jacobi en variables ángulo-acción: 
1 grado de libertad:
¡En lugar de la constante usamos otra constante, función de !
OSCILACIÓN
ROTACIÓN
M g
rotación
oscilación
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Usamos como función generatriz, y las nuevas variables canónicas 
Propiedades de la transformación canónica
Oscilación:
Rotación:
 son funciones periódicas de con período . 
 son funciones periódicas de con período . 
¡Funciones periódicas de t con período ! 
La acción reducida, , se incrementa en , en m ciclos completos
Frecuencia de oscilación/rotación
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Ejemplo 1: Obtener la solución del movimiento de un oscilador armónico con Hamiltoniana , utilizando las variables ángulo-acción.Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
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Ejemplo 2: Obtener la frecuencia de oscilación del oscilador no lineal con Hamiltoniana , en función de la energía del oscilador. 
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M g
rotación
oscilación
Ejemplo 3: Obtener la frecuencia de oscilación del péndulo simple. 
Oscilación:
Rotación:
¡la correspondientes función elíptica !
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Método de Jacobi en variables ángulo-acción: 
n grados de libertad (movimiento finito con respecto a todas las coordenadas, y además:
ROTACIÓN (¡algún !) 
OSCILACIÓN
Ciclo 
Ciclo 
En lugar de las constantes usamos las variables acción: 
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T. canónica:
Significado geométrico del ángulo
Integramos sobre la superficie n-dimensional
 sobre una curva cerrada volviendo al mismo punto inicial: ciclos completos de cada pareja 
En cada ciclo completo de la pareja , se incrementa en 
son funciones del tiempo multi-periódicas a n frecuencias 
son funciones multi-periódicas de de período 
En el movimiento para unas condiciones iniciales dadas:
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son funciones del tiempo multi-periódicas a n frecuencias 
En el movimiento para unas condiciones iniciales dadas:
Supongamos que n=2:
El movimiento, en general, no será periódico (la trayectoria no se cierra en el espacio de fases).
Para que la trayectoria se cierre en el espacio de fases es necesario que las frecuencias cumplan una condición (de resonancia):
periodo
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Geometría de los sistemas Hamiltonianos integrables (con n integrales primeras independientes en involución).
Se demuestra que también se pueden introducir las variables ángulo-acción.
Una segunda transformación canónica conveniente a variables (Q,P) es:
La trayectoria está situada sobre una superficie toroidal n-dimensional :
Si un irracional, la trayectoria rellena densamente la superficie del toro
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26
When the angle advances by , the angle advances . . The ratio of the two frequencies is called the winding number . The geometric picture is that the trajectory winds times around the torus for each complete period of .
We consider the simple case of two degrees of freedom with two constants of motion, then, , and the two angle variables
 Invariant tori and winding numbers. Topology of integrable systems.
26
27
a) is a rational fraction (internal resonance of order ). The trajectory is periodic, traversing a single curve that winds times around the torus in the direction of increasing for complete traversals in the direction of increasing . Most of the surface area of the torus is never encountered in this case.
b) is irrational. The motion is quasi-periodic, never exactly repeating itself, and filling the area of the surface as time progresses. This type of motion is called quasi-periodic because every irrational number can be arbitrarily well approximated by a rational number. 
There are two distinct cases: 
28
a) is a rational fraction. 
28
29
b) is an irrational (for instance ). 
29
Ejercicio. Dada la hamiltoniana:
 Integrar el movimiento por cuadraturas usando el método de Jacobi con variables
 ángulo-acción. Determinar el conjunto de condiciones iniciales para las que con una
 energía fijada la trayectoria en el espacio de fases sea cerrada. 
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la trayectoria es cerrada si 
Si fijamos la energía del sistema
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Ejercicio 1: Una partícula de peso mg se mueve en un plano vertical sometida a la acción de dos muelles de constante elástica k y longitud natural despreciable. Se pide:
Hamiltoniana (usar coordenadas generalizadas x, z).
Expresar la Hamiltoniana en función de las variables acción.
Obtener la solución, x(t), z(t), usando las variables ángulo-acción.
Dividimos por la Lagrangiana:
Dividimos por la Lagrangiana:
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……………………………………………………………………
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Ejercicio 2: Sea el Hamiltoniano de 2 grados de libertad 
Se pide:
Una solución completa de EHJ.
Reducir a cuadraturas el movimiento del sistema usando el método de HJ
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c) Frecuencias del movimiento
¡El movimiento, en general no es periódico, salvo que los valores de 
 verifiquen una condición de resonancia!: 
para enteros 
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Ejercicio 3: Una partícula se mueve libremente en el interior de una caja rectangular, realizando choques elásticos con las paredes. Usando las variables ángulo-acción, investigar el conjunto de condiciones iniciales para las que la trayectoria en el interior de la caja es cerrada.
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La trayectoria es cerrada (también en el espacio físico) si se da la condición de resonancia:
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Ejercicio 4: Estudiar aplicando la misma técnica que en el ejercicio anterior, las trayectorias cerradas de una partícula en un billar circular de radio unidad.
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42
Ejercicio 5: Usando variables ángulo-acción resolver el movimiento de una partícula de masa unidad sometida al peso, que está obligada a permanecer sobre la superficie de un cilindro vertical de radio R, apoyado sobre el suelo, realizando choques elásticos con éste. 
Coordenadas polares cilíndricas:Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
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44
Variables ángulo-acción:
¡Notar que se incrementa en ( es multivaluada) en cada ciclo completo!
45
Ejercicio 6: La Hamiltoniana de una partícula de un grado de libertad es 
 , siendo (x,p) la coordenada y momento canónico respectivamente. El potencial U es la siguiente función de x definida a trozos:
Se pide:
Un dibujo esquemático en el plano de fases (x,p) de los tres tipos de trayectorias que tiene el sistema.
La acción I en función de la energía de la partícula 
La frecuencia del movimiento en función de la energía de la partícula 
Obtener x(t) usando variables ángulo acción, , para el caso particular 
45
46
46
47
Ejercicio 7: Se considera el sistema Hamiltoniano con función de Hamilton: 
Se pide:
Plantear explícitamente las ecuaciones canónicas de Hamilton.
Obtener 2 leyes de conservación.
Plantear explícitamente la ecuación de Hamilton-Jacobi para la acción 
Obtener una integral completa 
Reducir a cuadraturas el movimiento el sistema utilizando el método de Hamilton-Jacobi y usando como función generatriz.
Obtener la función Lagrangiana correspondiente a la Hamiltoniana. 
a)
b)
c)
c)
d)
Usamos S como función generatriz (tipo 2)
49
e)
50
Ejercicio 8: Una partícula de masa unidad (y peso despreciable) se mueve en el interior de un cilindro de radio unidad y longitud h, realizando choques elásticos con las paredes. Usando variables ángulo-acción estudiar las condiciones para obtener trayectorias cerradas en el interior de cilindro.
Coordenadas polares cilíndricas:
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