perturbacion1

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Perturbation Theory
Orbital Dynamics and Attitude Control
Dr. Rafael Ramis Abril
EuMAS-European Masters Course in Aeronautics and Space Technology
Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Aeronáutica
Universidad Politécnica de Madrid
OCTOBER 2007
Perturbation Theory
Analytical mechanics?
Lagrange equations?
Cyclic coordinates?
Hamilton equations?
Canonical transformations?
Symplectic matrix?
Hamilton­Jacobi equation?
Perturbation Theory
The cartensian variables are: x, y, z, x', y', and  z'
The classical orbital elements are: a, e, i, Ω, ω , and M
The Delaunay elements are: (α, M), (h, ω ), (hz, Ω) 
α=µ1/2a1/2 (no specific name)
h=µ1/2a1/2(1-e2)1/2 = modulus of angular momentum
hz= µ
1/2a1/2(1-e2)1/2cos i = z-component of angular 
momentum
For Keplerian motion all elements are constant in time 
(except M that changes linearly)
For  arbitrary  motion  one  can  think  in  the  time 
changing  orbital  elements  as  a  transformation  of 
coordinates.
Osculating  orbit  –  the  keplerian  orbit  associated  with 
instantaneous elements
Perturbation Theory
OSCULATING ORBIT
µ
Frame with virtual
 attracting focus t
e
Perturbation Theory
OSCULATING ORBIT
µ
Frame with virtual
 attracting focus t
e
Perturbation Theory
OSCULATING ORBIT
µ
Frame with virtual
 attracting focus t
e
Perturbation Theory
OSCULATING ORBIT
µ
Frame with virtual
 attracting focus t
e
Perturbation Theory
Perturbation Theory
Perturbation Theory
Canonical transformations
One can map a set of variables {pi,qi} into a different set {Pi,Qi}
P1=P1(p1,q1,p2,q2,...), Q1=Q1(p1,q1,p2,q2,...), etc.
The  transformation  is    said  to  be  canonical,  if    the  Hamilton 
equations for variables  {Pi,Qi} are derived from the transformed of 
the hamiltonian function. 
Not all transformations are canonical
Perturbation Theory
Example of canonical transformation: 2D cartesian to polar coordinates
Perturbation Theory
When is a transformation a canonical transformation ?
When the jacobian matrix is “symplectic”
See Goldstein book: Classical Mechanics, Chapter 9
H. Goldstein, Classical Mechanics (second edition),
Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachussets
Perturbation Theory
“The  transformation  from  cartesian  variables  to  Delaunay 
variables is canonical”
M, ω , and Ω are “coordinates” and α, h, and hz their “momentums”
See  section 4, R. Ramis, Mecánica Orbital  y Dinámica de Actitud, 
ETSIA
See chapter 8, F. T. Geyling and H. R. Westerman, Introduction  to 
Orbital Mechanics, Chapter 8, Addison­Wesley  
Perturbation Theory
Perturbation Theory
Example: constant radial force
Perturbation Theory
Perturbation Theory
System of ODE to be solved numerically 
Numerical (truncation) error ~ |γ | ∆tN, instead ~∆tN 
Perturbation Theory
Perturbation Theory
Perturbation Theory
Perturbation Theory
Perturbation Theory
Zero order (analytic solution available)
First order correction (linear system)
Second order correction (linear system)
Perturbation Theory
Perturbation Theory
First order equations: can be reduced to integrals 
Equation for M
1
 must be integrated after equation for α
1
Perturbation Theory
Sometimes integrals can be evaluated analytically
The parameter variations include secular and oscilatory terms
Perturbation Theory
r
min
r
max
e
Perturbation Theory
● For ε<<1, the series converges very fast
● High order terms are difficult to be computed
● Typically only 1 or 2 orders are considered
● Non-keplerian effects are retained
● For large times the convergence can fail
● After some time, the zero order orbit can be changed
● Ussually one writes ε=1 (with G<<F)
● Correction equations are linear, but with time depending coefficients
● Equations on orbital elements are more appropriate that cartesian ones 
Perturbation Theory
Lagrange planetary equations
Perturbation Theory
Lagrange planetary equations
Perturbation Theory
Gauss equations
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