P1 2s2021 NAGEL PAUTA ALGEBRA LINEAL

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PAUTA PRUEBA 1 DE ÁLGEBRA LINEAL– PROF. JUAN NAGEL – 3-9-21
Lee cuidadosamente cada una de las siguientes 10 preguntas, y responde cada una en páginas separadas en el cuadernillo asignado (el cuadernillo tiene 5 hojas). Utiliza lápiz pasta, y demuestra todos sus resultados. Recuerda que tu puntaje será determinado por el desarrollo, y no necesariamente por tu respuesta. Sé claro, conciso, y ordenado en tu desarrollo. El puntaje asignado a cada pregunta se condice con el tiempo máximo que estimo debes pasar en esa pregunta. En total hay 60 puntos divididos en 10 preguntas, y tienes 110 minutos, por lo que cada punto equivale a alrededor de 1,8 minutos de tiempo máximo que debes pasar en la pregunta (es decir, en una pregunta de 15 puntos deben pasar 27 minutos máximo).
Confío en que te puede ir muy bien en esta prueba. Te deseo mucha suerte.
1. (6 puntos, 3 puntos cada una)
Para las siguientes preguntas, considere 
, , y 
Y calcule
a. 0,5 A – C
b. 2 B + 3 A 
2. (6 puntos) Considere el siguiente gráfico
Y escriba una matriz en la que aij sea igual a 1 si los puntos i y j están unidos por una recta, y 0 si no lo están.
Asimismo, diga qué características tendrán las matrices realizadas de esta manera. 
La matriz sería de 5 x 5
Es una matriz cuadrada y simétrica. Siempre va a ser así.
3. (6 puntos, 3 puntos cada una) Preguntas teóricas.
a. Interprete la siguiente demostración utilizando tus propias palabras. Sé lo más completo posible, y explica por qué cada elemento de la demostración es importante. 
El Teorema 2.4.3 del libro dice así
“Sean A y B dos matrices invertibles de n x n. Entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1 A-1. 
Demostración: Para probar este resultado, es necesaria la definición 2.4.2. Es decir, 
B-1 A-1 = (AB)-1 si y solo si B-1 A-1 (AB) = B-1 ( A-1 A ) B = B-1 I B = B-1 B = I
y (AB)( B-1 A-1) = A ( B B-1 ) A-1 = A I A-1 = A A-1 = I
La respuesta correcta debe hablar de que
· La demostración está hecha para cualquier matriz cuadrada, que sean del mismo tamaño (tiene que ser así para que exista el producto de las mismas)
· Aplican la definición de la inversa.
· Aplican la propiedad asociativa de la multiplicación de matrices
· Demuestran que es la inversa sin importar si se comienza con AB por la inversa, o con la inversa por AB. Les da que ambos productos son iguales a la identidad (condición necesaria para la inversa).
b. Complete la siguiente analogía utilizando algún término de la vida real, y explique la analogía.
“La propiedad conmutativa es a la multiplicación de las matrices como ______ es a ______ .”
La propiedad conmutativa no se aplica para las matrices, es decir, AB no es lo mismo que BA necesariamente. Por lo tanto, podría ser algo así como 
La propiedad conmutativa es a la multiplicación de las matrices como el volar es a los seres humanos, porque volar no es una propiedad inherente a los seres humanos.
4. (6 puntos) Suponga que un grupo de personas ha contraído una enfermedad contagiosa. Llamemos a estas personas el grupo 1. Supongamos que tienen contacto estrecho con un segundo grupo (grupo 2) que, a su vez, tiene contacto estrecho con un tercer grupo (grupo 3). Si representa los contactos entre el grupo 1 y el grupo 2, y
 representa los contactos estrechos entre el grupo 2 y el grupo 3, encuentre la matriz de contactos indirectos entre el grupo 1 y el grupo 3, e interprete los resultados. ¿Cuál miembro del grupo 3 es el que ha estado más expuesto al grupo 1?
Habría que hacer el producto de las dos matrices. Eso nos da
Esto quiere decir que todas las personas del grupo 3 tuvieron contacto indirecto con alguien del grupo 1, y que la persona 1 del grupo 3 tuvo 2 contactos indirectos con la persona 1 del grupo 1. De hecho, la persona 1 del grupo 3 es la que más expuesta ha estado.
5. (6 puntos, 3 cada uno) Realice los siguientes problemas relacionados con el producto de matrices, considerando que , y .
a. Calcule ( 2b ) . ( 3c – 5a )
4
b. Calcule 
6. (6 puntos) Imagine que usted vende tres productos. Su demanda en el año 2021 es igual a . Si la matriz de transición de sus productos es igual a , indique cuál va a ser la demanda de sus productos en el 2022. Interprete sus resultados - ¿qué productos ven incrementarse su demanda y cuáles disminuyen? ¿Podríamos haber predicho esto de los datos del problema?
Demanda el siguiente año será 
Esto se podría haber previsto. La demanda del producto 3 será alta (el 70% de los que compran 1 se cambiarán al 3, el 30% de los que compran 2 se cambiarán al 3, y el 60% de los que compran 3 se quedan con 3). En cambio, la demanda del producto 1 va a caer. Eso es lo que observamos. Por otra parte, la demanda del producto 2 también aumenta, aunque no tanto como la del producto 3.
7. (6 puntos, 3 puntos cada uno) En los siguientes sistemas de ecuaciones, escriba la matriz de coeficientes A tal que el sistema se pueda representar como A x = b
a. 4 x3 – 2 x1 + 3 x2 = 8
2 x1 – 3 x2 + 8 x3 = 6
3 x2 + 2 x1 = 4
b. 3 + 2 x1 – 4 x4 + 8 = 0
3 x1 + 2 x2 – 4 x4 + 3 x3 = 7
5 x3 + 2 x2 – 4 + 4 x5 = 6
8. (6 puntos, 3 puntos cada una) Resuelva los siguientes problemas de sumatorias
a. - ¿cuánto vale k?
57/60 = 19/20
b. - ¿cómo se expresa s en forma de sumatoria?
9. (6 puntos) Halle la inversa de la siguiente matriz utilizando el método Gauss.
10. (6 puntos) Utilice el método de la inversa por determinante para hallar la solución a este sistema de ecuaciones
2x2 + 6x1 = 7
x1 – 3x2 = -3
La matriz de coeficientes es = 
Eso quiere decir que la determinante es -20
La inversa sería = 1/-20 
Al multiplicar por el vector nos da que 
 =