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Guia de ejercicios Org. Industrial
Diego Menares∗, Constanza Acuña, Vania Mart́ınez & Ignacio Moreno
November 23, 2014
∗Frente a errores en la resolución de ejercicios son de mi responsabilidad, escribir por favor a dmenares@fen.uchile.cl
1
Organización Industrial - Microeconomı́a 2 Universidad de Chile
Facultad de Economı́a y Negocios
Índice general
1 Cournot con N firmas y asimetŕıa de costos. 4
2 Bertrand con 3 firmas y asimetŕıa de costos. 7
3 Hotelling I 8
4 Hotelling II 10
5 Cournot y asimetŕıa en costos 13
6 Bertrand I 14
7 Bertrand II 15
8 Competencia a la Cournot con N firmas 17
9 Restricciones de Capacidad 18
10 Cournot con restricciones de capacidad 20
11 Bertrand con restricciones de capacidad 21
12 Firma dominante I 23
13 Firma dominante II 24
14 Fusiones en competencia a la Bertrand 25
15 Fusiones en competencia a la Cournot 27
16 Colusión y frecuencia en las operaciones 30
17 Colusión con N firmas e impuestos 32
18 Colusión con diferenciación 36
19 Colusión con salida de firmas 38
20 Colusión con Asimetŕıa de Poder de Negociación 41
21 Colusión con N firmas 42
22 Estabilidad del acuerdo colusivo 44
23 Colusión aplicación 46
24 Colusión en bertrand 48
25 Colusión y restricciones de capacidad 49
26 Entrada 53
27 Bloqueo de entrada 54
28 Precio ĺımite 56
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29 Discriminación de Precios: Tarifas no lineales I 57
30 Discriminación de Precios: Tarifas no lineales II 58
31 Discriminación de Precios: Tarifas no lineales III 60
32 Discriminación de Precios: Tarifas no lineales IV 62
33 Discriminación de precios: 3er grado I 63
34 Discriminación de precios: 3er grado II 66
35 Discriminación de precios: 3er grado III 69
36 Discriminación de precios: 1er grado 71
37 Discriminación inter-temporal 73
38 Venta Atada y Empaquetamiento con tres consumidores 74
39 Venta Atada y Empaquetamiento con tres consumidores 76
40 Entrada y Venta Atada 78
41 Venta separada: Bien base y complementario 80
42 Venta atada: Bien base y complementario 82
43 Restricciones verticales: Concesionario 83
44 Restricciones verticales: Precio mayorista y minorista 85
45 Relaciones verticales la existencia de un distribuidor 88
46 Relaciones verticales con tarifas lineales en dos partes 90
47 Relaciones verticales con competencia en la distribución 93
48 Relaciones verticales con esfuerzo de ventas 95
49 Relaciones verticales un modelo de subprovisión de servicios 98
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Organización Industrial - Microeconomı́a 2 Universidad de Chile
Facultad de Economı́a y Negocios
Organización Industrial - Microeconomı́a 2
1 Cournot con N firmas y asimetŕıa de costos.
Suponga 2 firmas que compiten a la Cournot, las cuales enfrentan una demanda igual a P = 12 − Q. Las
firmas son idénticas, y producen un bien homogéneo, sus costos marginales son cmg1 = cmg2 = 3. Ademas
usted sabe que la cantidad total del mercado Q es producida en su totalidad por las 2 firmas existentes, de
tal manera que q1 + q2 = Q.
1. Calcule las cantidades que produce cada firma, la cantidad total de mercado, el precio, y los beneficios
de cada firma.
Respuesta
Entonces comenzamos por plantear el problema de maximización que enfrenta la firma 1 y encontramos
su función de reaccion:
π = (p− c)q1
= (12− q1 − q2 − c)q1
Derivando lo anterior e igualando a 0
∂π
∂q1
= 12− 2q1 − q2 − c = 0
Despejando para q1 lo anterior encontramos la función de reacción de la firma 1
q1(q2) =
12− q2 − c
2
(1)
De la misma forma encontramos la función de reacción para la firma 2:
q2(q1) =
12− q1 − c
2
(2)
Ahora igualamos la funciones de reacción (1) con (2) para encontrar la cantidad de equilibrio: De (1)
tenemos que:
12− q2 − c = 2q1 (3)
de (2) tenemos que:
12− q1 − c = 2q2
4q2 = 24− 2q1 − 2c (4)
Reemplazando (3) en (4):
4q2 = 24− (12− q2 − c)− 2c
despejando obtenemos
q2 =
12− c
3
de la misma forma pero despejando para q1 obtenemos:
q1 =
12− c
3
reemplazando c = 3
q1 = q2 = 3
Q = 6
P = 6
π1 = π2 = 9
.
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2. Ahora suponga que existen n firmas, ¿ cuánto seŕıa la cantidad producida por cada una?.
Respuesta
planteamos el problema de maximización de cada empresa para encontrar sus funciones de reacción.
πi = (12− qi − Σnj 6=iqj)qi − ciqi
πi = (12− ci − qi − Σnj 6=iqj)qi
Derivando lo anterior respecto a qi e igualando a 0
∂πi
∂qi
= 12− ci − qi − Σn1=iqi = 0
qi = 12− ci −Q(1)
multiplicando lo anterior por n, para despejar respecto a Q
Q =
12n− cin
1 + n
(2)
reemplazando (2) en (1)
qi = 12− ci − (
12n− cin
n+ 1
)
qi =
12− c
n+ 1
3. Suponga que ahora compiten 4 empresas, ¿ cuánto produce cada una?, ¿ cuántos son los beneficios, y
cual es el precio y cantidad de mercado?.
Respuesta
utilizando lo obtenido anteriormente:
qi =
12− c
n+ 1
remplazando c = 3 y n = 4
qi =
12− 3
4 + 1
qi = 1, 8
Q = 7, 2
P = 4, 8
πi = 3, 24
.
4. ¿ Qué ocurre con los beneficios a medida que aumenta el numero de firmas entrantes?.
Respuesta
Como se aprecia en los items anteriores, a medida que N va creciendo los beneficios de cada una de
las empresas se ve reducido, pues aumenta la competitividad.
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5. Suponga ahora que solo compiten 3 firmas que presentan costos marginales diferentes, cmg1 = c1, cmg2 =
c2, cmg3 = c3, encuentre las cantidades optimas de cada firma, que puede decir respecto a como reac-
cionan estas a incrementos en los costos marginales de las firmas oponentes?
Respuesta
debemos entonces encontrar las funciones de reacción de cada una de las empresas, estás serán:
π = (p− c1)q1
= (A− q1 − q2 − q3 − c1)q1
Derivando lo anterior e igualando a 0
∂π
∂q1
= A− 2q1 − q2 − q3 − c1 = 0
Despejando para q1 lo anterior encontramos la función de reacción de la firma 1:
q1(q2, q3) =
A− q2 − q3 − c1
2
(1)
De la misma forma para la firma 2 y 3, tendremos:
q2(q1, q3) =
A− q1 − q3 − c2
2
(2)
q3(q2, q1) =
A− q1 − q2 − c3
2
(3)
y ahora de (1) + (2) + (3) y despejando para Q tenemos:
Q =
A− c1 − c2 − c3
4
(4)
y finalmente reemplazando la ecuación (4) en (1), (2) y (3), obtenemos las cantidades de cada una de
las firmas:
q1 =
3A− 3c1 + c2 + c3
4
q2 =
3A− 3c2 + c1 + c3
4
q1 =
3A− 3c3 + c1 + c2
4
reemplazando A = 12
q1 =
36− 3c1 + c2 + c3
4
q2 =
36− 3c2 + c1 + c3
4
q1 =
36− 3c3 + c1 + c2
4
Finalmente tomemos q1 para ver como cambia esta respecto a los costos marginales propios y el de sus
competidores:
∂q1
∂c1
=
−3
4
< 0
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Como es de esperar la cantidad que produce la firma dependerá negativamente de sus costos de
producción, a medida que sus costos marginales aumentan la cantidad de mercado que esta podrá
capturar sera cada vez menor.
∂q1
∂c2
= prq1c3 =
1
4
> 0
Como es de esperar la cantidad que produce la firma dependerá positivamente de los costos marginales
de la empresa oponente, pues a medida que estos aumentan la empresa se vuelve cada vez más
competitiva y es capaz de capturar una mayor cantidad de mercado.
2 Bertrand con 3 firmas y asimetŕıa de costos.
Suponga el mismo mercado caracterizado en la sección anterior, salvo que ahora la competencia es a la
Bertrand.
• Calcule los precios y cantidades de mercados, los beneficios y cantidades de cada firma.
Respuesta
Como ambas firmas tienen el mismo cmg = 3 entonces el precio de equilibrio será
p = cmg1 = cmg2 = 3
la cantidad total transada en el mercado será:
Q = 12− 3
Q = 9
Ademas como las firmas son idénticas se reparte la cantidad producida en la misma porción:
q1 = q2 = 4, 5
Y ademas como las firmas fijan precios iguales a sus costos marginales, sus beneficios serán:
π1= π2 = 0
.
• ¿ Qué ocurriŕıa si ahora son 3 firmas compitiendo a la Bertrand?, con cmg1 = cmg2 = cmg3 = 3.
Respuesta
Entonces las empresas competiran reduciendo el precio hata que lleguen a sus cmg, como estas firman
presentan la misma estructura de costo se cumplira que:
p = cmg = 3
La cantidad total transada:
Q = 9
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mientras que las cantidades producidas por cada una de las firmas:
q1 = q2 = q3 = 3.
y los beneficios
π1 = π2 = π3 = 0
• Finalmente asuma que la empresa entrante tiene cmg3 = 1, vuelva a calcular las cantidades de equi-
librios.
Respuesta
Entonces sabremos que las empresas competirán bajando sus precios hasta dejar al resto fuera del
mercado, el precio por lo tanto alcanzara:
p = cmg1 − e ≈ 3
Q = 12− 3 = 9
q3 = 9
q1 = q2 = 0
mientras que los beneficios serán:
π3 = 18
π1 = π2 = 0
3 Hotelling I
En una calle de longitud L kilómetros, dos estaciones de servicio venden un mismo tipo de bencina. Una de
ellas está ubicada en el punto x1 y la otra en el punto x2. Existen N consumidores, distribuidos uniforme-
mente a lo largo de esta calle (aśı, para cada punto t en la calle, la fracción de consumidores que vive entre
el inicio de ésta y t es igual a t/L). Cada consumidor compra exactamente un litro de bencina, y lo hace en
la estación que ofrece el menor precio de entrega, definido como la suma del precio real cobrado por la firma
más el costo de transporte que enfrenta el consumidor. Todos los consumidores tienen el mismo costo de
transporte de ida y vuelta, dado por αd, donde d es la distancia de ida (por tanto, si el consumidor vive en
el punto A y va al punto B, que está a d kilómetros de A, el costo de transporte por el viaje de ida y vuelta
de A a B es αd). Ambas estaciones de servicio tienen la misma función de costos, dada por C(q) = cq.
Asuma que: L = 8, x1 = 1, x2 = 5, N = 480, α = 3, c = 1
1. Encuentre la función de demanda de cada estación de servicio en función de los precios p1 y p2.
Respuesta
En primer lugar, debemos encontrar al consumidor indiferente entre comprar en la estación de servicio
1 o en la 2. Matemáticamente, dicho consumidor enfrenta la siguiente situación:
p1 + α(t− x1) = p2 + α(x2 − t)
p1 + 3(t− 1) = p2 + 3(5− t)
⇒ t = 3 + p2 − p1
6
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Por lo tanto, las proporciones de consumidores que compran en las firmas 1 y 2 son, respectivamente:
t
L
=
3 + p2−p16
8
=
3
8
+
p2 − p1
48
L− t
L
= 1−
(
3
8
+
p2 − p1
48
)
=
5
8
− p2 − p1
48
Con lo cual podemos obtener las funciones de demanda de cada firma:
D1 = 480 ·
(
3
8
+
p2 − p1
48
)
= 180− 10p1 + 10p2
D2 = 480 ·
(
5
8
− p2 − p1
48
)
= 300 + 10p1 − 10p2
2. Encuentre el equilibrio de Nash en precios. Calcule los beneficios de equilibrio de cada firma.
Respuesta
Primero, realizamos la maximización de beneficios de cada firma para obtener sus funciones de reacción.
Para la firma 1:
max
p1
π1 = (p1 − c)D1 = (p1 − 1)(180− 10p1 + 10p2)
∂π1
∂p1
= 180− 20p1 + 10p2 + 10 = 0
⇔ 18 + p2 + 1
2
= p1 → Función de reacción firma 1
Para la firma 2:
max
p2
π2 = (p2 − c)D2 = (p2 − 1)(300 + 10p1 − 10p2)
∂π2
∂p2
= 300 + 10p1 − 20p2 + 10 = 0
⇔ 30 + p1 + 1
2
= p2 → Función de reacción firma 2
Reemplazando una función de reacción en la otra, obtenemos los precios de equilibrio y, con ello, las
demandas de cada firma y sus beneficios:
18 +
30 + p1 + 1
2
+ 1 = 2p1
⇒ p1 =
36 + 30 + 1 + 2
3
= 23
⇒ p2 =
30 + 23 + 1
2
= 27
⇒ D1 = 180− 10 · 23 + 10 · 27 = 220
⇒ D2 = 300 + 10 · 23− 10 · 27 = 260
⇒ π1 = (23− 1) · 220 = 4840
⇒ π2 = (27− 1) · 260 = 6760
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3. Si ambas firmas hubieran estado ubicadas en el mismo punto (por ejemplo, en la mitad la calle), ¿cuál
hubiera sido el equilibrio en precios?
Respuesta
Si las dos firmas estuvieran ubicadas en el mismo punto, los productos seŕıan completamente ho-
mogéneos (i.e. no hay diferenciación alguna). Por lo tanto, dada una competencia à la Bertrand, el
equilibrio de Nash seŕıa único y se daŕıa, en este caso, en p1 = p2 = c = 1.
4 Hotelling II
Asuma que una densidad M de consumidores están repartidos uniformemente en una ĺınea de largo 1. Hay
dos empresas, A y B, ubicadas en cada exremo de la ĺınea. Los consumidores enfrentan una desutilidad t
por la distancia que tienen que recorrer para comprarle a una de las dos empresas. El costo marginal de
producción es cero.
1. ¿Cuál es la demanda que enfrenta cada empresa en función de los precios Pa y Pb? ¿Qué ocurre si
Pb = 3 y Pa = 5? ¿Son las funciones de demanda crecientes o decrecientes en su propio precio? ¿Y
cómo influye el precio de la competencia?
Respuesta
Para poder determinar la demanda que enfrenta cada empresa debemos determinar dónde se ubica el
consumidor indiferente. Sabemos que éste al ubicarse a una distancia x de la empresa A tendrá los
mismos costos de comprarle a A o a B, es decir, Ca = Cb. Luego:
Pa + tx = Pb + t(1− x)
x =
Pb + Pa
2t
+
1
2
Posteriormente, la demanda que enfrenta cada empresa será:
Da = xM = M
[
Pb − Pa
2t
+
1
2
]
Db = (1− x)M = M
(
1−
[
Pb − Pa
2t
+
1
2
])
Db = (1− x)M = M
[
Pa − Pb
2t
+
1
2
]
Luego, si Pb < Pa para que el consumidor siga estando indiferente deberá estar más cercano a A, ya
que enfrentará un mayor costo de venta.
Por último, es fácil ver que la demanda de la empresa A es decreciente en su propio precio (mientras
mpas alto sea su precio, menor será la cantidad vendida) y será creciente en el precio de la empresa B,
ya que si ella aumenta su precio los consumidores preferirán comprarle más a ella. Matemáticamente
queda:
∂Da
∂Pa
= −M 1
2t
< 0
∂Da
∂Pb
= M
1
2t
> 0
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2. Obtenga la función de reacción de cada empresa en función del precio de la otra empresa.
Respuesta
Para poder obtener la función de reacción de cada empresa lo primero que debemos hacer es plantear
la función de beneficios de cada firma. Estos serán:
Πa(Pa, Pb) = PaDa = PaM
[
Pb − Pa
2t
+
1
2
]
Πb(Pa, Pb) = PbDb = PbM
[
Pa − Pb
2t
+
1
2
]
Luego sabemos que en este modelo la empresa elegirá el precio que cobrará, por lo tanto la condición
de primer orden será:
∂Πa
∂Pa
= M
[
Pb − Pa
2t
+
1
2
]
− PaM
2t = 0
∂Πb
∂Pb
= M
[
Pa − Pb
2t
+
1
2
]
− PbM
2t
= 0
Luego las funciones de reacción serán:
Pa =
Pa
2
+
t
2
Pb =
Pa
2
+
t
2
3. ¿Cuál es el precio de equilibrio de Nash en precios de este mercado?
Respuesta
Para determinash, lo que debemos hacer es reemplazar una función de reacción en la otra. Aśı obten-
dremos que:
Pa =
1
2
[
Pa
2
+
t
2
]
Pa = t
Pb =
1
2
[
Pb
2
+
t
2
]
Pb = t
Nash en precios será: (Pa, Pb) = (t, t).
4. ¿Cuánto del mercado abastecerá cada firma? ¿Cuál será su beneficio asociado?
Respuesta
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Para poder determinar esto, reemplazaremos el equilibrio de Nash que determinamos anteriormente en
la demanda de cada una de las firmas. Es decir:
Da = xM = M
[
Pb − Pa
2t
+
1
2
]
=
M
2
Db = (1− x)M = M
[
Pa − Pb
2t
+
1
2
]
=
M
2
Es decir, Da = Db =
M
2 . Luego los beneficios de las firmas serán:
Πa(Pa, Pb) = PaDa = t
M
2
Πb(Pa, Pb) = PbDb = t
M
2
5. ¿Cuánto estarúa dispuesto a pagar cada empresa por aumentar el parámetro t en una unidad (o sea,
por diferenciarse más)? Asuma que se parte del escenario de equilibrio de Nash.
Respuesta
Lo primero que debemos hace es expresar la función de beneficios en función del parámetro t, aśı
tendremos que:
Πa(Pa, Pb) = PaDa = t
M
2
Πb(Pa, Pb) = PbDb = t
M
2
Luegopara ver cuánto está dispuesto a pagar por aumentar el parámetro t debemos ver qué ocurre al
aumentar en una unidad el parámetro t.
∂Πa
∂t
=
M
2
∂Πb
∂t
=
M
2
Por lo mismo cada empresa estaŕıa dispuesta a pagar hasta M2 por aumentar t en una unidad.
6. ¿Qué problema potencial podŕıa existir entre las empresas para aumentar el parámetro? Suponga que
este parámetro se puede aumentar a un costo de 3M4 . Suponga además que t aumento de 3 a 4.
Respuesta
Existirá un problema de free riders, ya que las empresas se beneficiaŕıan de un aumento en t pese a que
ellos no sean los responsables de la inversión que hizo aumentar t. Aśı, por ejemplo, si para aumentar t
en una unidad hay que invertir 3M4 , ninguna de las dos empresas tendrá incentivos a hacerlo sola, aún
aunque las ganancias agregadas fuesen superiores al costo de la inversión. Esto es lo que denominamos
como ”Dilema del prisionero”. Matemáticamente queda:
El beneficio de que ninguna de las dos firmas invierta será:
Π1 = Π2 =
3m
2
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El beneficio de que la firma 1 invierta y que la firma 2 no lo haga será:
Π1 =
4m
2
− 3m
4
=
5m
4
Π2 =
4m
2
= 2m
Si ambas firmas invierten, el costos se dividirá entre las 2 y por lo tanto los beneficios serán:
Π1 = Π2 =
4m
2
− 3m
8
=
13m
8
Como podemos observar, 13m8 >
3m
2 . Es decir, si ambas firmas cooperaran obtendŕıan mayores benedi-
cios, pero el incentivo a no hacer la inversión y que el otro śı la haga los lleva a un equilibrio no
cooperativo, quedándose en el equilibrio inicial.
5 Cournot y asimetŕıa en costos
1. Sea la función de demanda inversa de una industria P (Q) = 30−2Q. Hay dos firmas en esta industria,
con costo marginal c1 para la firma 1 y c2 para la firma 2. Asumiendo que las firmas compiten a la
Cournot, muestre que los beneficios de la firma i con costos ci están dados por
πi =
(30− 2ci + cj)2
18
Respuesta
La empresa i maximiza:
max
qi
πi = (30− 2(qi + qj))qi − ciqi
La CPO
30− 4qi − 2qj − ci = 0
30− 4qi − 2qj = ci
qi =
30− 2qj − ci
4
Análogamente qj =
30−2qi−cj
4
Reemplazando qj en la función de reacción de la firma i
qi =
30− ci − 2 30−2qi−cj4
4
=
30− 2ci + cj
6
El precio de mercado será
P = 30− 2(qi + qj)
= 30− 230− 2ci + cj
6
− 230− 2cj + ci
6
=
30 + ci + cj
3
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Por último, los beneficios de la firma i serán:
πi =
(
30 + ci + cj
3
)(
30− 2ci + cj
6
)
− ci
(
30− 2ci + cj
6
)
=
(30− 2ci + cj)2
18
6 Bertrand I
Considere un mercado en el cual compiten dos empresas, Poly P (P ) y Barby (B), las cuales enfrentan una
demanda por el producto ofrecido de P = 16 − Q. Adicionalmente, se sabe que las firmas compiten a lo
Bertrand.
1. Considere que las empresas presentan simetŕıas de costo. Grafique las curvas de reacción y obtenga el
beneficio de cada empresa, si ambas enfrentan un Cmg = 4
Respuesta
Las funciones de reacción de la situación a lo Bertrand con simetŕıas de costos se representa en el
siguiente gráfico:
Figure 1: Función de Reacción
Con lo cual podemos ver que en este equilibrio se cumple la Paradoja de Bertrand, es decir, el equilibrio
de Nash es vender a un precio igual a 4, lo que se traduce en una cantidad de 12.
2. Considere ahora que Barby realiza una inversión de 120 para mejorar su tecnoloǵıa, lo cual disminuye
su costo marginal a 1. ¿Le conviene realizar la inversión a Barby?
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Respuesta
Bajo este nuevo escensario, tenemos el siguiente gráfico de funciones de reacción:
Figure 2: Función de Reacción
Entonces, sabemos que Barby puede cobrar un P ∗ = 4−�, que en el extremo P = 4 (dado que �→ 0).
Con esto, la firma absorverá toda la demanda del mercado (ya que ofrecerá un precio menor al de la
situación anterior, por ejemplo 3,95), y sus beneficios serán:
πB = PB ×QB − Cmg − I = 4× 12−Q− I = 36− 120 = −84
Por lo tanto, dado que el beneficio no cubre la inversión en tecnoloǵıa, Barby no la hace.
7 Bertrand II
Considere un mercado donde dos firmas compiten en precios. La demanda de cada una viene dada por:
q1 = 100− 2p1 + p2
q2 = 100− 2p2 + p1
El costo marginal de ambas firmas es igual a cero.
1. Encuentre los precios de equilibrio y el beneficio de cada firma.
Respuesta
El beneficio de la firma 1 viene dado por π1 = (100 − 2p1 + p2)p1. Calculamos la CPO y obtenemos
la función de reacción.
∂π1
∂p1
= 100− 4p1 + p2 = 0
p1(p2) =
100 + p2
4
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Análogamente, se obtiene que p2(p1) =
100+p1
4 . Despejando el sistema tenemos que p1 = p2 =
100
3 .
Reemplazando en los beneficios se tiene que π1 = π2 =
20000
9
2. ¿Cuál es la diferencia entre el equilibrio encontrado y lo que ocurre en el modelo de Bertrand denom-
inado ”Paradoja de Bertrand” ? ¿Por qué se dan estas diferencias? Explique y señale cuál es más
asimilable a lo que ocurre en los mercados reales y qué supuesto del modelo de Bertrand no se estaŕıa
cumpliendo.
Respuesta
La Paradoja de Bertrand es que en competencia imperfecta se llega a un resultado competitivo (precio
igual a costo marginal). En este caso, aunque las firmas compiten en precio, esto no ocurre porque
los bienes no son homogéneos. Por lo tanto, aunque el precio de una firma afecta la demanda de la
otra, no corresponde al caso extremo en el que proveer un precio más bajo permite quedarse con toda
la demanda. En la realidad es extraño encontrar bienes completamente homogéneos, por lo que este
modelo se asemeja más a situaciones de competencia reales.
3. Grafique las funciones de reacción y explique su significado.
Respuesta
Figure 3: Función de Reacción
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Como se ve en el gráfico, las funciones de reacción tienen pendiente positiva. Esto se debe a que el
precio del otro afecta a mi demanda: si el otro baja su precio, a mi me conviene bajarlo para no perder
tanta demanda. Si el otro sube su precio, yo tengo espacio para subir el ḿıo sin disminuir demasiado
la cantidad demandanda.
8 Competencia a la Cournot con N firmas
Suponga un mercado con N firmas idénticas, ofreciendo bienes homogéneos donde el precio depende de la
cantidad de la industria y no hay libre entrada. Se define P (q) = a− b
∑N
i=1 qi y ci = cqi:
1. Suponga que las empresas compiten en cantidades. Calcule el precio, la cantidad agregada y los ben-
eficios de cada empresa. Demuestre que el beneficio de cada empresa disminuye con N.
Respuesta
Para resolver el problema debemos plantear la función de beneficios para la firma i-ava. Este queda:
πi =
a− b∑
j 6=i
qj − bqi
 qi − cqi (1)
Al derivar la ecuación (1) con respecto a la cantidad producida por la firma i obtenendremos la siguiente
función de reacción:
qi =
a− c
2b
−
∑
j 6=i qj
2
(2)
Todas las firmas tienen la misma función de costos y enfrentan la misma demanda de mercado, por ende
en el equilibrio producirán lo mismo. Reemplazando q1 = q2 = ... = qN en a ecuación (2) tenemos:
qi =
a− c
2b
− (N − 1)qi
2
Despejando para qi con i = 1, 2, ..., N , la cantidad de equilibrio será:
qi =
a− c
(N + 1)b
La oferta total y el precio vendrán dados por:
Q =
N(a− c)
(N + 1)b
P =
Nc+ a
(N + 1)
El beneficio de cada empresa será igual a :
πi =
(a− c)2
(N + 1)2b
(3)
Es fácil ver de la ecuación (3) que el beneficio disminuye más que proporcionalmente a medida que el
N aumenta. Lo anterior quedará mejor explicado al derivar el beneficio con respecto a N.
∂πi
∂N
=
−2(a− c)2
(N + 1)3b
< 0
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2. Suponga que las empresas compiten en precios. Calcule los precios de equilibrio, la cantidad agregada
y los beneficios de cada empresa.
Respuesta
Dado que las firmas son simétricas en costos y compiten en precios, el óptimo será que todas cobren
P = Cmg. Aplicado al problema el precio quedará P = c, la cantidad a producir se repartirá en partes
iguales entre todas las firmas y los beneficios de cada una de ellas serán iguales a cero.
πi = 0 ; qi =
a− c
Nb
; p = c con i = 1, 2, ..., N
La demanda agregada será: Q = a−cb
9 Restricciones de Capacidad
Suponga que dos firmas producen un bien homogéneo y compiten en precio en un mercado donde la demanda
viene dada por Q = 36−P . Tenga en cuenta que las firmas pueden tener restricciones de capacidad. Suponga
que el costo marginal es igual a cero.
1. ¿Qué ocurriŕıa si se cumplen los supuestos usuales del Modelo de Bertrand?
Respuesta
El resultado del modelo de Bertrand con los supuestos usuales (costo marginal constante, no hay
restricciones de capacidad, etc) es que el Precio de Equilibrio de Equilibrio de Nash será igual al costo
marginal. En este caso, el precio será igual a cero.
2. Suponga que la capacidad instalada de las firmas solo les permite producir 9 unidades del bien a cada
una. Defina la función de reacción de las firmas y grafique.
Respuesta
La función de reacción de la firma viene dada por:
p1(p2) =

27 p2 > 27
p2 − � 18 < p2 ≤ 27
18 p2 ≤ 18
Si la firma 2 pone un precio muy alto (incluso dejando a la firma 1 como monopolista), la mejor reacción
de la firma 1 es vender a 27, pues aśı vende toda su capacidad al máximo precio posible (si no tuviera
restricción de capacidad tendŕıa incentivos a vender a precio monopólico, pero como no puede vender
la cantidad monopólica, esta es su mejor reacción). Si la firma 2 vende a 27, entonces comienza la
guerra de precios, pues para la firma 1 ahora śı es conveniente bajar el precio (ya que si ambas venden
a 27, cada una vendeŕıa 4,5 unidades). Este incentivo se mantiene hasta llegar a 18, pues ah́ı ambas
están vendiendo las 9 unidades de capacidad: si bajan el precio, solo disminuyen su ingreso, pues la
restricción de capacidad no les permite vender más. Para la firma 2 la función es igual. Gráficamente:
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Figure 4: Función de reacción
3. Encuentre el equilibrio de Nash y calcule los beneficios. ¿Por qué ahora que hay restricciones de
capacidad las firmas se encuentran mejor que en (a)?
Respuesta
A partir de las funciones de reacción, y como se ve en el gráfico, el único equilibrio de Nash de este juego
es p1 = p2 = 18, pues ah́ı nadie tiene incentivos unilaterales a desviarse. A este precio, la demanda total
será 18 y cada firma venderá sus 9 unidades disponibles. Por lo tanto, los beneficios serán πi = 162, lo
que claramente es mejor para las firmas que la situación sin restricciones de capacidad donde el precio
era cero. La razón de esto, es que al haber restricciones de capacidad, la ”guerra de precios” que se
genera en el modelo de Bertrand clásico se acaba antes de llegar al costo marginal porque las firmas
no pueden seguir aumentando su ingreso al bajar el precio una vez que alcanzaron su capacidad.
4. Suponga ahora que las restricciones de capacidad se relajaron y cada firma puede producir 15 unidades
del bien. Defina la demanda residual y muestre que si ambas firmas se proponen vender todo lo que
su capacidad les permite, hay incentivos a desviarse.
Respuesta
La demanda residual se define como la demanda que enfrentaŕıa una firma, dado que la otra ya vendió
toda su capacidad. Por lo tanto, para calcularla hay que restarle a la demanda total la capacidad de la
otra firma. En este caso, la demanda residual de la firma 1 viene dada por:
qr(pi) = (36− p1)− 15 = 21− p1
Si las fimas se propusiesen, como en la parte (c), vender toda su capacidad el precio para lograr esto
seŕıa 6 (aśı la demanda total seŕıa 30, y cada uno vendeŕıa 15 unidades). Sin embargo, si la firma 2
efectivamente vendiese a un precio de 6, la firma 1 tendŕıa incentivos a actuar como monopolista en su
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demanda residual y vender a p1 = 10, 5 (precio monopólico en la demanda residual) un total de 10, 5
unidades. Entonces, en esta situación no se replica el equilibrio de Nash encontrado anteriormente. La
diferencia se debe a que en este caso, a diferencia del anterior, la capacidad śı alcanza para lograr la
mejor reacción de la firma (ser monopolista en su demanda residual).
5. Dado lo anterior, si las firmas se proponen vender el óptimo calculado a partir de la demanda residual
¿Hay incentivos a desviarse? ¿Cómo se denomina esta situación en la literatura?
Respuesta
Si ambas firmas quisieran vender a precio monopólico en su demanda residual tendŕıamos que p1 =
p2 = 10, 5 pero en este caso la demanda total seŕıa 25, 5 y cada firma vendeŕıa 12, 25 unidades. El
incentivo a desviarse viene dado por el hecho de que si bajo el precio en una cantidad ḿınima, me quedo
con toda la demanda y puedo vender (prácticamente al mismo precio, pues � puede ser tan pequeño
como se desee) las 15 unidades que tengo disponibles, aumentando mi beneficio. Aśı, vemos que el
incentivo ahora es a disminuir el precio. Esto se conoce como ”Ciclo de Edgeworth”: en este juego no
hay equilibrio en estrategias puras.
10 Cournot con restricciones de capacidad
Suponga un determinado mercado compuesto por dos firmas y el que es ampliamente conocido por competir
a la Cournot. La demanda total del mercado es representada por D(p) = 77 − 2p, y el costo total de cada
firma es igual a C(q) = 4q.
Se pide calcular los equilibrios de mercado considerando las siguientes restricciones de capacidad (Las can-
tidades a producir deben ser unidades enteras):
1. K=23
Respuesta
Lo primero que debemos hacer es escribir la función de beneficios de cada firma. El beneficio para cada
firma i queda:
πi =
(
77
2
− qi
2
− qj
2
)
qi − 4qi
De donde obtenemos la siguiente función de reacción:
qi = 34.5−
qj
2
(4)
Como las firmas son idénticas sabemos que la función de reacción de j será análoga a la descrita en la
ecuación (1). Uniendo las dos funciones de reacción obtenemos:
qi = qj = 23
Las cantidades de encontradas no violan la restricción de capacidad, por tanto es factible que cada
firma produzca unidades del bien. El precio de equilibrio será P = 15.5 y el beneficio percibido por
cada firma ascenderá a πi = πj = 264.5.
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2. K=20
Respuesta
Ahora volvemos a realizar el mismo procedimiento de la parte anterior, por lo que obtendremos que
qi = 23, lo que no es factible. Por lo tanto, impondremos la condición de máxima capacidad, es decir,
qi = qj = 20. Producir la capacidad máxima generará un precio P = 18.5 y unos beneficios dados por
πi = πj = 290.
Notar que la restricción de capacidad aumentó los beneficios frente a la situación sin restricción. Esto se
produce porque en una competencia a la Cournot existe un trade off entre precio y cantidad, pudiéndose
obtener ganancias de una disminución de la cantidad provenientes del aumento de los precios.
3. K=10
Respuesta
De los anteriores ı́tems se desprende que la restricción de capacidad estará activa, por tanto qi =
qj = 10. Producir la capacidad máxima generará un precio P = 28.5 y unos beneficios dados por
πi = πj = 245.
Notar que en esta oportunidad la restricción de capacidad hizo disminuir los beneficios frente a la
situación sin restricción. La intuición para esto es que el alza en el precio del bien no fue capaz de
compensar la disminución en la cantidad producida, lo que llevó a una cáıda de los beneficios.11 Bertrand con restricciones de capacidad
Suponga un mercado con dos firmas que compiten en precios, ofreciendo un producto homogéneo. Considere
además que la demanda de mercado corresponde a D(p) = 90 − 3p, y las funciones de costo de las firmas
son idénticas e iguales a C(q) = 5q. Por otro lado, se sabe que la máxima demanda posible es Q = 75 (dado
que P = Cmg = 5).
Finalmente, es ampliamente conocido que las firmas poseen una capacidad máxima K a producir.
1. ¿Qué sucede si K ≥ 75? Y en caso contrario, si K < 75?
Respuesta
Si K ≥ 75 entonces la restricción no estaŕıa activa, dado que la demanda de mercado nunca será mayor
a 75. Por otro lado, si la restricción es menor a 75 puede darse el caso en que esté activa, dado que
dependerá de la cantidad óptima que la firma desee producir.
2. Ahora considere la situación en que K = 15. ¿Qué sucede con las firmas en el mercado?
Respuesta
Lo racional en este caso es asumir que la firma contraria intentar á vender toda su capacidad de forma
tal que nos volvamos demandantes residuales. Por lo tanto, la demanda que enfretaremos estará dada
por:
Q = 75− 3P
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Considerando lo anterior nuestra maximización de beneficios estará dada por la forma:
π = (75− 3p)(p− 5)
Lo que nos entregará un precio igual a 15, el cual no es óptimo dado que lleva a que la cantidad
demandada de la firma residual sea igual a 30. Dicha demanda no podrá ser satisfecha, por lo tanto
debemos encontrar un precio tal que la cantidad demandada sea igual a 15. El anterior análisis nos
lleva a que el precio de equilibrio será igual a 20, de esta forma y dado que las firmas son simétricas,
ambas ofrecerán una cantidad de 15 unidades a un precio de 20.
Importante: Notar que los resultados encontrados concuerdan perfectamente con las condiciones de
capacidad impuestas en el enunciado. Aśı, si el precio del bien es igual a 20, la demanda total del
mercado será igual a 30, que corresponde a la suma de las cantidades máximas a producir de las firmas.
3. Grafique las curvas de reacción
Respuesta
Notar que el caso de competencia a la Bertrand con restricción de capacidad, lo que la firma observa
es la demanda residual, por tanto al momento de graficar la función de reacción no podremos señalar
como máximo precio el precio monopólico, el cual correspondeŕıa a 17.5. El precio monopólico en una
situación normal implicaŕıa que la cantidad demandada fuese igual a 37.5, lo que no seŕıa consistente
con la restricción impuesta.
Figure 5: Función de Reacción
Si la firma enfrenta la demanda residual y está dispuesta a no producir su capacidad máxima, el precio
máximo que podrá cobrar será igual a 25, en cuyo punto la demanda residual se hará igual cero. La
función de reacción partirá desde P = 20, que es el ḿınimo precio que hace que la firma produzca 15
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unidades, luego cobrará P −ε de modo de lograr que la otra firma sea la residual y no ella, y finalmente
el máximo precio que cobrará será 25, en donde la demanda residual se harćero.
12 Firma dominante I
Suponga una economı́a donde operan N firmas, y en donde una actúa como firma dominante o ĺıder, mientras
que el resto (N − 1) operan como seguidoras (empresas pequeñas). Además, se sabe que la demanda de
mercado es Q(P ) = 150− P y los costos marginales de la firma dominante son constantes e iguales a 15.
1. Un estudio ha indicado que la oferta del conjunto de las firmas seguidoras es Qf (P ) =
P
2 . Explique y
calcule la demanda que percibe la firma ĺıder, y los beneficios obtenidos por ésta.
Respuesta
Dado un cierto precio P , la demanda residual se obtiene de la siguiente forma:
Qr(P ) = Q(P )−Qf (P )
Qr(P ) = 150−
3
2
P
Luego, el precio escogido por la empresa dominante se obtiene del siguiente problema de maximización:
máxΠ(P ) = (P − c) ·Qr(P )
Π(P ) = (P − 15) · (150− 3
2
P )
De lo cual obtenemos que P ∗ = 57.5. Por tanto, la demanda total de mercado es Q = 92.5, de la cual
Qr =
105
2 = 63.75 unidades son vendidas por la firma dominante y Qf =
65
2 = 28.75 por el resto de
las pequeñas firmas.
Finalmente, los beneficios asociados a la firma dominante son Π(P ) = 2709 (aproximadamente).
2. Ahora imagine que Qf (P ) =
3
4P . ¿Cómo cambia la situación? ¿Y qué pasa si Qf (P ) = P? Calcule.
Respuesta
Similar al cálculo realizado antes, tendremos que para Qf (P ) =
3
4P :
máxΠ(P ) = (P − c) ·Qr(P )
Π(P ) = (P − 15) · (150− 7
4
P )
Aśı entonces, la firma dominante maximiza:
máxΠ(P ) = (P − c) ·Qr(P )
Π(P ) = (P − 15)(150− 7
4
P )
Obteniendo P1 =
705
14 y un Q1 = 99.65, de lo cual Qr,1 = 61.8875 son vendidas por la firma dominante
y Qf,1 =
65
2 = 37.7625 por el resto de las firmas pequeñas. Luego, los beneficios asociados a la firma
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dominante son Π(P ) = 2187 (aproximadamente).
Por otro lado, tenemos que para Qf (P ) = P la firma ĺıder maximiza:
máxΠ(P ) = (P − c) ·Qr(P )
Π(P ) = (P − 15)(150− 2P )
Obteniendo P2 = 45 y un Q2 = 105, de lo cual Qr,2 = 60 son vendidas por la firma dominante y
Qf,2 = 45 por el resto de las firmas pequeñas. Luego, los beneficios asociados a la firma dominante
son Π(P ) = 1800 (aproximadamente).
3. ¿Qué sucedeŕıa en un escenario donde la franja competitiva no existiera?
Respuesta
Si no existiera la franja competitiva la firma dominante seŕıa monopolio y fijaŕıa un precio Pm = 65,
ofreciéndose una cantidad total en el mercado de Q = 85. Es decir, la presencia de firmas pequeñas
reduce el poder de mercado que goza la firma dominante. Aunque estas últimas no compiten de igual
a igual en tperminos de que no actúan estratégicamente, limitan la posibilidad de que la primera fije
un precio muy alto o cercano al monopólico.
En cierto modo, la posibilidad de producir de las empresas hace que la firma dominante enfrente una
demanda más elástica.
13 Firma dominante II
Asuma que la demanda del mercado de las bebidas gaseosas está dada por Q = D(P ) = 200− P .
Actualmente existen n = 10 firmas en la franja competitiva, cuya oferta es QF = P − 40. Las firmas de la
franja poseen una función de costos igual a CF (qF ) = 5q
2
F + 40qF .
Finalmente, la función de costos de Poca-Cosa, la firma dominante en el mercado, es CD(qD) = 40qD+1000.
1. Obtenga la demanda de Poca-Cosa y desarrolle su maximización de beneficios.
Respuesta
La demanda residual corresponde a:
QD = Q−QF = (200− P )− (P − 40) = 240− 2P
Por lo tanto, el problema de maximización de Poca-Cosa es el siguiente (nota: dado que existe sólo
una firma dominante, qD y QD pueden ser usados indistintamente):
max
qD
πD =
(
120− qD
2
)
qD − 40qD − 1000
∂πD
∂qD
= 120− qD − 40 = 0
⇒ qD = 80
⇒ P = 120− 40 = 80
⇒ πD = 80 · 80− 40 · 80− 1000 = 2200
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2. Obtenga la cantidad producida por las firmas de la franja competitiva, calcule sus beneficios y verifique
que el mercado se clarea.
Respuesta
QF = 80− 40 = 40
⇒qF =
40
10
= 4
⇒πF = 80 · 4− 5 · 42 − 40 · 4 = 80
Comprobamos que el mercado se clarea:
Q = QD +QF = 80 + 40 = 120
⇒ P = 200− 120 = 80
Que es el mismo resultado que encontramos en la pregunta anterior.
14 Fusiones en competencia a la Bertrand
Considere un mercado con tres oferentes, las firmas 1, 2 y 3. Los costos marginales de las empresas son:
c1 = c2 = 0 y c3 = 2. Las firmas compiten en precios y ofrecen un producto homogéneo. La función de
demanda de este mercado es Q = 20− P .
1. Encuentre los precios de equilibrio de este mercado y la cantidad producida por cada empresa.
Respuesta
Considerando que las firmas compiten à la Bertrand, se sabe que elprecio de equilibrio estará dado por el
costo marginal de la segunda empresa más eficiente. Dado que en este caso las dos firmas más eficientes
(la 1 y la 2) tienen el mismo costo marginal, el precio de equilibrio corresponderá a P = c1 = c2 = 0.
Este precio implica que la firma 3 queda fuera del mercado, pues sus costos marginales son mayores al
precio de mercado (c3 > P ). La cantidad total producida será Q = 20 − 0 = 20, con q1 = q2 = 10,
debido a que son firmas simétricas. Los beneficios son π1 = π2 = 0.
2. Si las firmas 1 y 3 se fusionan, ¿cuál es el nuevo equilibrio? ¿Cuál es el efecto en bienestar de esta
fusión? Ind́ıquelo en un gráfico oferta-demanda. ¿Tendrán interés en fusionarse estas firmas? Comente.
Respuesta
Teniendo en consideración que la competencia es en precios, y debido a que la firma fusionada sigue
compitiendo contra la firma 2, el resultado será igual al anterior, es decir, el precio de equilibrio será 0,
la cantidad total será 20 (con q13 = q2 = 10) y los beneficios de las firmas serán π13 = π2 = 0.
En términos de bienestar, el excedente sigue llevándoselo por completo el consumidor, como se aprecia
en el área ensombrecida del siguiente gráfico (la ĺınea verde corresponde al precio, P = c1 = c2 = 0, y
la verde a la demanda de mercado):
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Figure 6: Función de Reacción
Por otro lado, y como se puede ver en sus costos, esta fusión favorece a la firma menos eficiente, ya
que de esta forma participa en el mercado. Para la firma 1 la fusión es irrelevante, ya que no aumenta
sus beneficios.
3. Si las firmas 1 y 2 se fusionan, ¿cuál es el nuevo equilibrio? ¿Cuál es el efecto en bienestar de esta
fusión? Ind́ıquelo en un gráfico oferta-demanda. ¿Tendrán interés en fusionarse estas firmas? Comente.
Respuesta
La fusión entre las firmas más eficientes traerá un nuevo equilibrio, ya que la competencia ahora es
versus la firma 3. El resultado de esto será la determinación de un precio de equilibrio P = c3?� ≈ 2.
En cuanto al bienestar, y como se aprecia en el siguiente gráfico, esta fusión disminuye el excedente
del consumidor y aumenta el del productor (área anaranjada; la ĺınea verde representa el nuevo precio:
P = c3?� ≈ 2):
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Figure 7: Función de Reacción
Con este precio de equilibrio, la firma fusionada acapara todo el mercado, dejando fuera de juego a
la firma 3, y produciendo una cantidad igual a q12 = 18. Aśı, los beneficios de la firma fusionada
ascienden a 36 (2 · 18− 0 = 36), por lo que las firmas 1 y 2 tendrán interés en fusionarse.
15 Fusiones en competencia a la Cournot
Una industria está constituida por N = 3 firmas con idénticas estructuras de costos. La demanda de mercado
está definida por P = 150−Q y la competencia es en cantidades.
1. Demuestre que una fusión entre dos de las firmas nunca será favorable para ellas si el costo marginal
es constante y si las firmas resultantes siguen compitiendo à la Cournot.
Respuesta
En este caso, cada firma enfrenta el siguiente problema de maximización:
max
qi
πi = (150− qi − qj − qk − c)qi
De lo anterior se desprende una función de reacción por cada firma, de la siguiente forma:
qi =
150− qj − qk − c
2
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Reemplazando sucesivamente una función de reacción en otra, llegamos al siguiente equilibrio:
q1 = q2 = q3 =
150− c
4
⇒Q = q1 + q2 + q3 =
450− 3c
4
⇒P = 150 + 3c
4
⇒π1 = π2 = π3 =
(
150 + 3c
4
− c
)(
150− c
4
)
=
(150− c)2
16
En el caso en que dos de las firmas se fusionan, el problema de maximización que cada una de los dos
firmas resultantes resuelven es el siguiente:
max
qi
πi = (150− qi − qj − c)qi
Ahora las dos funciones de reacción resultantes tendrán siguiente forma:
qi =
150− qj − c
2
Con esto, el equilibrio es el siguiente:
q12 = q3 =
150− c
3
⇒Q = q12 + q3 =
300− 2c
3
⇒P = 150 + 2c
3
⇒π12 = π3 =
(
150 + 2c
3
− c
)(
150− c
3
)
=
(150− c)2
9
Nótese que se cumple la siguiente condición:
π12 < π1 + π2
(150− c)2
9
<
(150− c)2
16
+
(150− c)2
16
(150− c)2
9
<
(150− c)2
8
Por lo tanto, queda demostrado que una fusión entre dos de las firmas nunca será favorable para ellas
dada esta estructura de costos y la competencia en cantidades.
2. Ahora asuma que la función de costos es C(q) = 18q + q2. Suponga que las firmas 1 y 2 se fusionan
y siguen compitiendo en cantidades contra la firma 3. ¿Tendrán incentivos a fusionarse, en términos
de beneficios? ¿Beneficiaŕıa a los consumidores esta fusión? (Pista: analice detenidamente si la firma
fusionada produciŕıa utilizando ambas plantas a la vez o sólo una de ellas)
Respuesta
Antes de la fusión, cada firma enfrenta el siguiente problema de maximización:
max
qi
πi = (150− qi − qj − qk)qi − 18qi − q2i
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Las tres funciones de reacción derivadas tienen la siguiente forma:
qi =
132− qj − qk
4
Reemplazando sucesivamente una función de reacción en otra, llegamos al siguiente equilibrio:
q1 = q2 = q3 = 22
⇒Q = q1 + q2 + q3 = 66
⇒P = 150− 66 = 84
⇒π1 = π2 = π3 = 84 · 22− 18 · 22− 222 = 968
Una vez que las firmas 1 y 2 se fusionan, debemos analizar si la producción se realizará en ambas plantas
o en una sola de ellas. No es dif́ıcil comprobar que para producir una cantidad total q12 = q1 + q2 la
firma fusionada distribuye su producción según el siguiente equilibrio:
CMg1(q1) = CMg2(q2)
18 + 2q1 = 18 + 2q2
q1 = q2 =
q12
2
Por lo tanto, la función de costos de la firma fusionada es la siguiente:
C12(q12) = C1
(q12
2
)
+ C2
(q12
2
)
= 18 · q12
2
+
q212
4
+ 18 · q12
2
+
q212
4
= 18q12 +
q212
2
Nótese que se cumple que:
C12(q12) = 18q12 +
q212
2
< C(q12) = 18q12 + q
2
12
Por lo que la firma fusionada presenta una ventaja en su estructura de costos versus la firma 3. En este
escenario, los problemas de maximización enfrentados por las dos firmas resultantes no son equivalentes.
La firma fusionada maximiza:
max
q12
π12 = (150− q12 − q3)q12 − 18q12 −
q212
2
La firma 3 maximiza:
max
q3
π3 = (150− q12 − q3)q3 − 18q3 − q23
Las funciones de reacción son, en este caso:
q12 =
132− q3
3
q3 =
132− q12
4
Reemplazando una función en la otra, obtenemos el equilibrio cuando hay fusión:
q12 = 36
q3 = 24
⇒Q = q12 + q3 = 36 + 24 = 60
⇒P = 150− 60 = 90
⇒π12 = 90 · 36− 18 · 36−
362
2
= 1944
⇒π3 = 90 · 24− 18 · 24− 242 = 1152
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Por lo tanto, en este caso tenemos que:
968 + 968 = 1936 < 1944
De modo que ahora a las firmas śı tienen incentivos a coludirse. En cuanto a los consumidores, resulta
evidente que están en una peor situación: el precio de mercado aumentó y disminuyó la disponibilidad
del bien.
16 Colusión y frecuencia en las operaciones
Suponga que 2 firmas compiten en precios y que las firmas enfrentan una demanda de mercado dada por:
p = a− 2q
Ademas las firmas ofrecen un producto homogeneo, y los costos marginales de cada firma son cmg1 = cmg2 =
5c
1. ¿Cuáles son los beneficios de competir, coludirse y desviarse?
Respuesta
• Primero los beneficios de competir: Sabes que si las firmas compiten en precio fijaran un precio
igual a sus costos marginales, entonces:
P = 5c
Y con esto los beneficios de cada firma serán:
πn1 = 0
πn2 = 0
• Los beneficios de coludirse serán iguales a la mitad de los beneficios monopolicos entonces:
πD1 = π
D
2 =
πm
2
Y los beneficios monopólicos son:
πm = (p− 5c)q
πm = (a− 2q − 5c)q
∂pim
∂q
= 0
⇒ qm = a− 5c
4
⇒ pm = a+ 5c
2
⇒ πm = (a− 5c)
2
8
y con esto los beneficios de Coludirseserán
πC1 = π
C
2 =
(a− 5c)2
16
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• Finalmente los beneficios de desviarse estaran dados por cobrar un precio pm − � con lo que los
beneficios de la firma de desviarse serán:
π = (pm − �− 5c)q(p− �)
como � ≈ 0
πD = (pm − c)qm
πD =
(a− 5c)2
8
2. ¿cuál debe ser el valor de δ para que exista colusión entre las 2 firmas?
Respuesta
Sabemos que:
(a) Beneficios de cooperar con la colusión:
πc + δπc + δ2πc + δ3πc + .....+ δ∞πc
=
πc
1− δ
(1)
(b) Beneficios de desviarse de la colusión:
πd + δπn + δ2πn + δ3πn + .....+ δ∞πn
= πd +
δπn
1− δ
(2)
entonces para que exista colusión (1) > (2):
πc
1− δ
> πd +
δπn
1− δ
reemplazando πn = 0 y πd = 2πc
obtenemos que:
δ >
1
2
3. Suponga ahora, que las firmas tardan 3 periodos en aplicar el castigo, ¿cuál debe ser el valor de δ para
que exista colusión entre las 2 firmas?
Respuesta
Sabemos que:
(a) Beneficios de cooperar con la colusión:
πc + δπc + δ2πc + δ3πc + .....+ δ∞πc
=
πc
1− δ
(1)
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(b) Beneficios de desviarse de la colusión:
πD + δπD + δ2πD + δ3πD + δ4πn.....+ δ∞πn
=
πD(1− δ4)
1− δ
+
δ4πn
1− δ
(2)
entonces para que exista colusión (1) > (2) y reemplazando πn = 0 y πd = 2πc obtenemos:
δ4 = 1− 1
2
entonces el para que exista colusión el δ debe ser:
δ >
1
20.25
4. Suponga ahora, que las firmas tardan 4 periodos en aplicar el castigo, ¿cuál debe ser el valor de δ
para que exista colusión entre las 2 firmas?, ¿ es más o menos exigente?, ¿cómo puede interpretar sus
resultados?
Respuesta
Procediendo de la misma forma que en el item anterior tenemos, que para que exista colusión debe
cumplirse que:
πc
1− δ
>
πD(1− δ5)
1− δ
+
δ5πn
1− δ
reemplazando πn = 0 y πd = 2πc y despejando δ:
δ >
1
20.2
Que resulta ser más alto que lo encontrado en el item anterior, entonces a medida que incrementa
los numeros de periodos que tarda la empresa en aplicar el castigo, es cada vez mas dif́ıcil mantener
la estabilidad colusiva (menos probable que exista colusión). Esto se explica porque es cada vez mas
atractivo para las firmas desviarse, pues reciben por más periodos el beneficio de desviarse y con ello
aumentan sus beneficios de no cooperar.
17 Colusión con N firmas e impuestos
Suponga que la demanda inversa de mercado está dada por p = A−Q y que el costo marginal es constante
e igual a c en donde A > c. Suponga que hay n firmas y que la competencia es a la Cournot.
1. Encuentra e valor cŕıtico del factor de descuento para sostener la colusión si las firmas juegan y utilizan
para el castigo una estrategia gatillo. Asuma que el acuerdo colusivo involucra una repartición igual
del producto y los beneficios del monopolio.
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Respuesta
Consideraremos primero el resultado colusivo, aquel en el que las n firmas actúan como monopolistas.
Los beneficios totales del carel pueden escribirse como:
Π = (A−Q)Q− cQ
∂Π
∂Q
= A− 2Q− c = 0
QM =
A− c
2
Los beneficios totales son:
ΠM = (A− c−QM )QM
= (A− c− (A− c)
2
)
(A− c)
2
=
(A− c)2
4
Ya que las firmas se reparten los beneficios y el producto en partes iguales tendremos:
qmi =
(A− c)
2n
Πmi =
(A− c)2
4n
Ahora consideramos que la firma i se desv́ıa del acuerdo colusivo, asumiendo que las demás lo siguen
cumpliendo. El producto total será:
Q = qi +
∑
j 6=i
qm = qi + (n− 1)qm
La firma que se desv́ıa debe maximizar sus beneficios tal que:
Max πi = [A− (n− 1)qm − qi]qi − cqi
∂πi
∂qi
= A− (n− 1)qm − 2qi − c = 0
=
A− (n− 1)qm − c
2
Reemplazando la cantidad monopólica nos queda:
qd =
A− c− (n− 1)
(
A−c
2n
)
2
qd = (A− c)
1−
(
n−1
2n
)
2
qd =
(A− c)(n+ 1)
4n
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Respuesta
Los beneficios del desv́ıo son:
πd = [A− c− (n− 1)qm − qd]qd
= [A− c− (n− 1)(A− c)
2n
− (A− c)(n+ 1)
4n
]
(A− c)(n+ 1)
4n
= (A− c)2[1− (n− 1)
2n
− (n+ 1)
4n
]
(n+ 1)
4n
]
= (A− c)2[ (n+ 1)
4n
]2
=
(A− c)2(n+ 1)2
16n2
Finalmente calcularemos la cantidad y el beneficio de castigo:
Max πc =
A− c−∑
j 6=i
qj − qi
 qi
∂πc
∂qi
= A− c−
∑
j 6=i
−2qi = 0
Todas las firmas son idénticas por tanto habrá un equilibrio a la Cournot simétrico tal que qi = q
c ∀i =
1, 2, ..., n:
qc =
A− c− (n− 1)qc
2
qc =
A− c
n+ 1
Y los beneficios serán:
πc = [A− c− nqc]qc
= [A− c− n (A− c)
n+ 1
]
(A− c)
n+ 1
=
(A− c)2
(n+ 1)2
Para encontrar el valor cŕıtico del factor de descuento debemos comparar el valor presente del beneficio
de coludir versus el de desviarse:
1
1− δ
· (A− c)
2
4n
≥ (A− c)
2(n+ 1)2
16n2
+
δ
1− δ
· (A− c)
2
(n+ 1)2
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De lo anterior llegamos a que δcrit = π
d−πm
πd−πc
δcrit =
(A−c)2(n+1)2
16n2 −
(A−c)2
4n
(A−c)2(n+1)2
16n2 −
(A−c)2
(n+1)2
=
(n+1)2
16n2 −
4n
16n2
(n+1)2
16n2 −
16n2
16n2(n+1)2
=
(n+ 1)2 − 4n
(n+ 1)2 − 16n2(n+1)2
= (n+ 1)2
(n− 1)2
(n+ 1)4 − 16n2
= (n+ 1)2
(n− 1)2
[(n+ 1)2 − 4n][(n+ 1)2 + 4n]
=
(n+ 1)2
[(n+ 1)2 + 4n]
2. ¿Cómo el factor de descuento mı́nimo depende del número de firmas? Por qué?
Respuesta
Figure 8: Cómo cambia δcrit en función de n
Podemos ver en el gráfico anterior que δcrit es creciente a tasa decreciente a medida que n aumenta.
Esto ocurre porque los incentivos de la firma a desviarse del acuerdo colusivo es más grande cuando n
es mayor. Una simple forma de verlo es notar que los beneficios de la firma en una competencia a la
Cournot y los beneficios colusivos van a cero cuando n→∞, sin embargo, los beneficios asociados al
desv́ıo no.
lim
n→∞
(A− c)2(n+ 1)2
16n2
=
(A− c)2
16
Como consecuencia, δcrit → 1 cuando n→∞.
3. Ahora considerar el caso especial del problema ya señalado cuando hay sólo dos firmas en el mercado,
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i = 1, 2. Sin embargo, suponer que el gobierno impone un impuesto espećıfico τ > 0 sobre el producto
producido por las dos firmas.Esto implica que habrá una diferencia de τ entre el precio pagado por
el consumidor y el precio recibido por el productor. Demostrar que la imposición del impuesto τ no
afecta la sostenibilidad de la colusión, ya que no afecta al factor de descuento cŕıtico.
Respuesta
Vamos a definir pc como el precio por unidad pagado por los consumidores y p como el precio por unidad
recibido por los productores. El impuesto implica que pc = p + τ . Además, es el precio percibido por
el consumidor el que es relevante para la función de demanda. Por tanto la demanda toma la forma:
pc = A−Q
En términos de p implica p = A−Q− τ . Por tanto desde el punto de vista de las firmas, el impuesto
espećıfico simplemente aparece como un cambio paralelo de la demanda. Por tanto si simplemente
redefinimos el intercepto de A tal que A(τ) = A−τ podemos realizar el análisis ocupando p = A(τ)−Q.
De la parte (a) llegamos a:
πm =
(A(τ)− c)2
8
πd =
9(A(τ)− c)2
64
πc =
(A(τ)− c)2
9
Notar que τ > 0 reduce los tres beneficios relevantes. Del ejercicio previo:
δcrit =
(A(τ)−c)2(n+1)2
16n2 −
(A(τ)−c)2
4n
(A(τ)−c)2(n+1)2
16n2 −
(A(τ)−c)2
(n+1)2
Y llegamos a:
δcrit =
(n+ 1)2
[(n+ 1)2 + n]
Reemplzando n = 2 tenemos:
δcrit =
9
[17]
≈ 0.53
Por tanto, el impuesto espećıfico no afecta la sostenibilidad de la colusión. La razón es que afecta las
ganancias de corto plazo del desv́ıo (πd − πm) y la posterior pérdida para cada periodo (πd − πc) en
la misma proporción.
18 Colusión con diferenciación
Suponer que hay dos mercados geográficos separados, a y b, y dos firmas, 1 y 2, localizadas respectivamente
en a y en b. Los costos de transportepor unidad (el costo de producción es cero) desde un mercado a
otro son dados por t < 12 . Las firmas producen un bien homogéneo cuya demanda en el páıs k = a, b es
pk = 1 − 2Qks
1. Asumamos que cada firma i = 1, 2 simultáneamente elige las cantidades qia” y qib para ser
vendidas en ambos mercados en cada periodo de un juego repetido infinitamente con factor de descuento δ.
Considerar que el castigo se lleva a cabo mediante la estrategia gatillo. Al comienzo del juego, cada firma
vende sólo en su propio mercado (q2a = q1b = 0).
1Se puede entender como sigue: si hay s
2
consumidores en el mercado k con la misma demanda q = 1 − p, entonces la
demanda total estará dada por q = s
2
(1 − p)
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1. Encontrar la condición para que la colusión sea sostenible y mostrar cómo vaŕıa con t.
Respuesta
Primero vamos a derivar la cantidad producida cuando las firmas sólo venden en su propio mercado
(estrategia colusión). En este caso los beneficios estarán dados por π = (1− 2qs )q; cada una se llevará
toda la demanda de su propio mercado ya que serán monopolio. La CPO queda:
∂π
∂q
= 1− 4q
s
= 0
⇒ s
4
= q1a = q2b
q2a = q1b = 0
Los beneficios seŕıan:
πmi =
s
8
Ahora calcularemos el beneficio bajo el escenario de desv́ıa. El desv́ıo óptimo de la firma 1, por ejemplo,
consiste en producir la cantidad monopólica en el mercado a, pero además elegir una cantidad positiva
qd1b tal que maximice su beneficio de exportar. Aśı tenemos:
Max πd1b =
(
1− t−
2(q + s4 )
s
)
q
∂πd1b
∂q
=
1
2
− t− 4q
s
= 0
⇒ s(1− 2t)
8
= q
Y los beneficios quedarán πd1 =
s
8 +
s(1−2t)2
32 , siendo el primer componente el beneficio asociado a los
beneficios del monopolio doméstico.
Finalmente los beneficios del castigo se calcularán pensando en que as firmas están jugando un Nash
de una vez basado en cantidades, por tanto les convendrá vender en ambos mercados. Sus beneficios
vendrán dados por:
π1 = pa(q1a, q2a)q1a + (pb(q1b, q2b − t)q1b)
π2 = pa(q1a, q2a − t)q2a + (pb(q1b, q2b)q2b)
Recordar que pk = 1− 2(q1k+q2k)s con k = a, b. Luego la firma i maximizará el beneficio para encontrar
qia y qib. Tenemos:
Max π1 =
(
1− 2(q1a + q2a)
s
)
q1a +
(
1− 2(q1b + q2b)
s
− t
)
q1b)
∂π1
∂q1a
= 1− 2q2a
s
− 4q1a
s
= 0
∂π1
∂q1b
= 1− t− 2q2b
s
− 4q1b
s
= 0
⇒ 2
4
− q2a
2
= q1a
⇒ s(1− t)
4
− q2b
2
= q1b
Análogamente para la firma 2 obtendremos:
⇒ 2
4
− q1b
2
= q2b
s(1− t)
4
− q1a
2
= q2a
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Reemplazando una función de reacción en la otra llegaremos a:
q1a = q2b =
s(1 + t)
6
q2a = q1b =
s(1− 2t)
6
Los beneficios de castigo serán:
πc1 = π
c
2 =
s[(1 + t)2 + (1− 2t)2]
18
Finalmente derivamos el valor cŕıtico de δ como:
δcrit =
πd − πm
πd − πc
=
s
8 +
s(1−2t)2
32 −
s
8
s
8 +
s(1−2t)2
32 −
s[(1+t)2+(1−2t)2]
18
=
9s(1− 2t)2
36s+ 9s(1− 2t)2 − 16s[(1 + t)2 + (1− 2t)2]
=
9s(1− 2t)2
36s− 16s[1 + 2t+ t2]− 7s(1− 2t)2
=
9s(1− 2t)2
20s− 32st− 16st2 − 7s(1− 2t)2
=
9s(1− 2t)2
4s(5− 8t− 4t2)− 7s(1− 2t)2
=
9s(1− 2t)2
4s(5 + 2t)(1− 2t)− 7s(1− 2t)2
=
9(1− 2t)
4(5 + 2t)− 7(1− 2t)
=
9− 18t
13 + 22t
Además notar que para esta estructura de mercado ∂δ
crit
∂t < 0, entonces a medida que los costos
de transporte aumentan, la sostenibilidad de la colusión se hace cada vez más fácil. Esto es porque a
mayor costos de transporte, menor serpa la participación de mercado que puede ser obtenida a través
del desv́ıo. En el caso ĺımite t = 12 , el costo de transporte será prohibitivamente alto tal que la firma
no exportará (No habrá incentivos a desviarse).
19 Colusión con salida de firmas
Suponga un mercado con dos firmas, i = a, b. La función de demanda es igual a Q = 10 − 2p y ambas
tienen costo por unidad producida igual a 1. Además se sabe que la firma a estará en el mercado siempre,
en cambio la firma b podrá salir del mercado con probabilidad β, no pudiendo entrar nunca más. El factor
de descuento estará representado por δ = 11+r
1. Bajo el escenario anteriormente descrito, encuentre una expresión genérica para el valor cŕıtico del
factor de descuento.
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Respuesta
Primero debemos darnos cuenta que a pesar de que sólo una es la firma que tiene probabilidad de salir
del mercado, las dos enfrentarán el mismo valor cŕıtico de descuento.
Plantearemos el valor presente la colusión, V c, como:
V c = Πc + δ[(1− β)V c + βV m]
En donde V m es el valo presente de los beneficios monopólicos, por tanto es igual a V m = Π
m
1−δ . Por
tanto V c queda:
V c = Πc + δ[(1− β)V c + βΠ
m
1− δ
]
V c[1− δ(1− β)] = Πc + δβΠ
m
1− δ
V c =
Πc
1− δ(1− β)
+
δβΠm
(1− δ(1− β))(1− δ)
Por otro lado el valor presente de los beneficios del desv́ıo serán iguales a:
V d = Πd + δ[(1− β)V n + βV m]
Con V n como el valor presente de los beneficios de jugar a la Bertrand, teniendo presente que la firma
b puede salir del mercado. Podemos escribir V n como la suma actual del beneficio de competir a la
Bertrand más el beneficio futuro ponderado por la probabilidad de que una firma no se encuentre en el
mercado:
V n = Πn + δ[(1− β)V n + βV m]
Reemplazando a V m = Π
m
1−δ y despejando V
n tenemos:
V n = Πn + δ[(1− β)V n + β Π
m
1− δ
]
V n(1− δ(1− β)) = Πn + δβ Π
m
1− δ
V n =
Πn
(1− δ(1− β))
+
δβΠm
(1− δ)(1− δ(1− β))
Reemplazando V n y V m en V d obtenemos:
V d = Πd + δ
[
(1− β)Πn
(1− δ(1− β))
+
δβ(1− β)Πm
(1− δ)(1− δ(1− β))
+
βΠm
1− δ
]
V d = Πd + δ
[
(1− β)Πn
(1− δ(1− β))
+
δβ(1− β)Πm
(1− δ)(1− δ(1− β))
+
β(1− δ(1− β))Πm
(1− δ)(1− δ(1− β))
]
V d = Πd + δ
[
(1− β)Πn
(1− δ(1− β))
+
βΠm
(1− δ)(1− δ(1− β))
]
La condición para que la colusión sea sostenible es que el valor presente de ésta sea mayor al valor
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presente del desv́ıo. Por tanto llegamos a:
Πc
1− δ(1− β)
+
δβΠm
(1− δ(1− β))(1− δ)
≥ Πd + δ
[
(1− β)Πn
(1− δ(1− β))
+
βΠm
(1− δ)(1− δ(1− β))
]
Πc
1− δ(1− β)
≥ Πd + δ(1− β)Π
n
1− δ(1− β)
Πc ≥ Πd(1− δ(1− β)) + δ(1− β)Πn
(Πd −Πn)δ(1− β) ≥ (Πd −Πc)
δ ≥ (Π
d −Πc)
(1− β)(Πd −Πn)
2. Si las firmas compiten a la Bertrand, el castigo se lleva a cabo mediante una estrategia gatillo y las
firmas se reparten en partes iguales el mercado, calcule el valor cŕıtico del factor de descuento. De qué
depende? Cómo cambia en función de la probabilidad de salir del mercado?
Respuesta
Ahora calcularemos los beneficio según cada escenario. Sabemos que en una competencia a la Bertrand
los beneficios serán cero, por tanto Πn = 0. Para obtener los beneficios de la colusión calcularemos la
cantidad monopólica:
Max Πm = (10− 2p)(p− 1)
∂Πm
∂p
= 10− 2p− 2p+ 2 = 0
⇒ pm = 3
Reemplazando p = 3 en la función de demanda obtendremos Πm = (3 − 1)(10 − 6) = 8. Por tanto
el beneficio para cada firma será Πc = 4. Finalmente el beneficio de desv́ıo será igual al beneficio
monopólico.
δ ≥ (8− 4)
(1− β)8
δ ≥ 1
(1− β)2
De la última ecuación vemos que δ cŕıtico depende de la probabilidad de que la firma b permanezca en
el mercado. Aśı si aumenta (1 − β), existe un mayor rango numérico de δ para el cual la colusión se
hace sostenible (esto se ve en que ∂δ
crit
∂(1−β) < 0).
3. Ahora suponiendo β = 0.2, calcule el factor de descuento de la parte anterior. De aqúı en adelante
suponga que el mercado se reparte de la siguiente forma: La firma a tendrá una participación de Sa,
y la firma b una participación Sb = 1 − Sa tal que Sa > 12 . Calcular las condiciones de sostenibilidad
de la colusión y compararlas con la parta (b).
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Respuesta
De la parte (b) tenemos queδcrit = 0.625, además sabemos que Πn = 0, Πd = 8 y Πm = Sa · 8 y
Πm = (1− Sa) · 8, para la firma a y b respectivamente. Reemplazando en la fórmula del valor cŕıtico
del factor de descuento tenemos que:
- Para la firma a
δ ≥ (8− Sa · 8)
(1− 0.2)8
δ ≥ Sb
0.8
Vemos que si Sa es menor a 0.2, la estrategia colusiva no es factible para la firma a ya que los beneficios
asociados a ésta serán menores. -Para la firma b
δ ≥ (8− (1− Sa) · 8)
(1− 0.2)8
δ ≥ Sa
0.8
Vemos que si Sb es menor a 0.2, la estrategia colusiva no es factible para la firma b ya que los beneficios
asociados a ésta serán menores.
Dado las condiciones que encontramos y lo que nos señalan en el enunciado, concluimos que una
participación 0.5 < Sa < 0.8 (o 0.2 < Sb < 0.5) hace que al menos sea probable una colusión
sostenible (la decisión de colusión dependerá del verdadero factor de descuento que tiene cada firma).
20 Colusión con Asimetŕıa de Poder de Negociación
Suponga que la demanda es P = 120–Q y el costo marginal de cada empresa es 10 y estas eligen basados en
Cournot. Las empresas eligen producción simultáneamente y para siempre
1. ¿Cuál es el valor cŕıtico para el factor de descuento para que la estrategia de gatillo pueda forzar el
equilibrio colusivo si ambas empresas se reparten en partes iguales la producción monopólica?
Respuesta
∞∑
t=0
δtπc ≥ πd +
∞∑
t=1
δtπn
δ ≥ π
d − πc
πd − πn
δ ≥ 1691, 25− 1512, 5
1691, 25− 1344, 4
= 0, 52
2. ¿Cuál seŕıa el valor cŕıtico si ahora compiten a lo Bertrand y se reparten las ganancias monopólicas en
partes iguales?
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Respuesta
∞∑
t=0
δtπc ≥ πd +
∞∑
t=1
δtπn
δ ≥ π
d − πc
πd − πn
δ ≥ 3025− 1512, 5
3025− 0
= 0, 5
(c) ¿Qué pasaŕıa ahora si se reparten el mercado 70% y 30%? Analice solo el caso de competencia a la
Bertrand. ¿Qué concluye con respecto a la simetŕıa de las firmas?
Respuesta
Ahora tendremos que
πc1 = 0, 7π
m
πc2 = 0, 3π
m
πn1 = 0
πn2 = 0
πd1 = π
m
πd1 = π
m
Reemplazando en la condición encontrada en la parte b,
δ1 ≥
πm − 0, 7πm
πm
δ1 ≥ 0, 3
δ2 ≥
πm − 0, 3πm
πm
δ2 ≥ 0, 7
Aqúı se deben satisfacer estas dos condiciones, si por ejemplo, = 0, 6 en la parte b es posible coludirse
pero aqúı no lo es.
Por lo tanto, la simetŕıa hace la colusión más factible.
21 Colusión con N firmas
Hay N firmas en el mercado con costo marginal idéntico y constante. El producto es homogéneo. Asuma
que la firma juega un superjuego del tipo Bertrand en la primera fase.
1. ¿Por qué el regresar al equilibrio de Bertrand es el castigo severo más créıble?
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Respuesta
Primero, se aclarará que un superjuego tipo Bertrand es un juego bertrand que se repite muchas veces.
En el equilibrio de Nash de un juego Bertrand las firmas tienen ganancia cero. Por lo que al salirse del
acuerdo colusivo, la firma se asegura de que tendrá al menos beneficios cero (y no negativos), por lo
tanto la amenaza de jugar Bertrand es créıble.
2. Encuentre el valor cŕıtico del factor de descuento que hace sostenible la colusión de las firmas (asuma
que la firma se desv́ıa el primer periodo y luego recibe el castigo los siguientes periodos y para siempre).
Respuesta
Para que la colusión sea sostenible debe ocurrir que el valor presente de coludirse sea mayor que el valor
presente de desviarse un periodo y luego recibir el castigo de jugar Bertrand por siempre. Entonces
tenemos lo siguiente:
∞∑
t=0
δtπci ≥ πdi +
∞∑
t=1
δtπbi
δ ≥ π
d
i − πci
πdi − πbi
δ ≥ π
d
i − πci
πdi
= δ
3. Muestre que en el caso simétrico, la condición para que la estrategia de castigo gatillo apoye la maxi-
mización conjunta de beneficios es N(1− δ) ≤ 1
Respuesta
De la parte (a) tenemos que δ ≥ 1− π
c
i
πdi
, sumando la condición para las N firmas nos queda
Nδ ≥ N −
N∑
i=1
πci
πdi
N∑
i=1
πci
πdi︸ ︷︷ ︸
=1
≥ N(1− δ)
1 ≥ N(1− δ)
4. ¿La posibilidad de colusión depende de las ganancias colusivas?
Respuesta
Compararemos el caso de colusión en Cournot y Bertrand. En el caso Bertrand, los beneficios de hacer
trampa cambian uno a uno con las ganancias de la colusión, a diferencia del caso de Cournot donde
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las ganancias de hacer trampa caen más rápido que las ganancias colusorias cuando se reduce el grado
de colusión.
5. ¿Para qué valores del factor de descuento se volveŕıa al juego Bertrand para que la colusión sea sostenible
por dos peŕıodos (en un monopolio que se reparte las ganancias equitativamente)?
Respuesta
Ahora queremos que durante dos peŕıodos exista colusión y que en el tercero se desv́ıe una de las firmas
y jueguen a lo Bertrand para siempre. Entonces tenemos lo siguiente:
∞∑
t=0
δtπci ≥ πdi + δπbi + δ2πbi +
∞∑
t=3
δtπci
πci
1− δ
≥ πdi + πci
∞∑
t=0
δt+3
πci
1− δ
≥ πdi +
πci δ
3
1− δ
πci (1− δ3) ≥ (1− δ)πdi
(1− δ3) ≥ (1− δ)π
d
i
πci
πci
πdi
1
1− δ
≥ 1
(1− δ3)
N∑
i=1
πci
πdi︸ ︷︷ ︸
=1
1
1− δ
≥ N
(1− δ3)
(1− δ3) ≥ N(1− δ)
22 Estabilidad del acuerdo colusivo
Suponga un mercado donde existen sólo dos firmas, la a y la b. Las firmas son homogéneas en costos (iguales
a c), y enfrentan una demanda de mercado igual a P = A − Q. Además usted sabe que compiten en
cantidades.
1. Encuentre las cantidades, los precios y los beneficios de equilibrio de cada una de las firmas.
Respuesta
Ya sabemos que las funciones de reacción de las firmas serán:
qb(qa) =
A− qa − C
2
qa(qb) =
A− qb − C
2
Reemplazando una función de reacción en la otra obtenemos las cantidades de equilibrio:
qnb =
A− C
3
qna =
A− C
3
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Sumando ambas tenemos la cantidad total de mercado:
Q =
2A− 2C
3
Con ello, el precio es:
P =
A+ 2C
3
Finalmente, calculamos los beneficios de Nash de cada firma:
πa
n = πb
n =
(A− C)2
9
2. ¿A cuánto ascenderán los beneficios de cada firma si éstas deciden coludirse y repartirse equitativamente
los beneficios monopólicos?
Respuesta
Las empresas maximizan su utilidad como si fueran un monopolio. De esta forma tendremos:
πm = (P − C)Q = (A−Q− C)Q
Optimizando encontramos que:
Qm =
A− C
2
⇒ Pm = A+ C
2
Con ello, los beneficios serán:
πm =
(A− C)2
4
Por lo tanto, los beneficios de coludirse para cada firma serán:
πCa = π
C
b =
(A− C)2
8
3. Suponga que la firmas deciden coludirse por 1 peŕıodo. Además, la firma a juega primero la cantidad
colusiva. ¿Cuál sera la jugada óptima de la firma b?
Respuesta
Sabemos entonces que la firma a juega:
qa =
Qm
2
=
A− C
4
Por su parte, la empresa b realizará su mejor jugada posible. Dada la cantidad que jugó a, la respuesta
óptima de b la obtenemos de su función de reacción:
q∗b =
A− qa − C
2
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Entonces, la cantidad que producirá la firma que se desv́ıa será:
qDb =
3A− 3C
8
Con ello, la cantidad y el precio de mercado serán:
Q =
5A− 5C
8
⇒ P = 3A+ 5C
8
Con lo que los beneficios de la firma que se desv́ıa serán:
πDb =
(A− C)2
64
9
Y los de la firma traicionada serán:
πTa =
(A− C)2
32
3
Donde resulta claro que:
πDb > π
C
b > π
N
b
4. Suponga ahora que la colusión puede extenderse por infinitos periodos, y que δ = 0.5. ¿Existirá
colusión?
Respuesta
Debemos comparar:
πD +
δπn
1− δ
≶
πC
1− δ
Reemplazando obtenemos:
0.252 > 0.25
Por lo que no existiŕıa colusión.
23 Colusión aplicación
En el parlamento de cierto páıs hipotético se discute una reforma tributaŕıa impulsada por el ejecutivo. Ésta
será implementada en el periodo t = 0, y uno de sus componentes consiste en un impuesto porcentual de %t
sobre los beneficiosde cada firma.
Dado que la reforma no es vista con buenos ojos por parte la clase empresarial y gracias al lobby que ésta
ejerce, los parlamentarios que discuten el proyecto de ley imponen la siguiente condición para su aprobación:
La reforma estará en marcha blanca hasta el peŕıodo t = 4, y si la recaudación es muy baja, se eliminará el
alza de impuestos a las empresas.
Por otro lado, gracias a un lobbista en el parlamento, los dos grupos de empresas que participan en el páıs (a
y b) se enteran de que si cada uno reporta beneficios iguales a πF (con πF < πN ), la recaudación tributaria
será tan baja que la reforma se revocará tras la marcha blanca.
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1. ¿Cuáles serán los beneficios de las firmas si éstas compiten entre śı y pagan el impuesto de %t perpet-
uamente?
Respuesta
Para este caso tendremos que los beneficios de competir y pagar perpetuamente el impuesto estarán
dados por:
πNC = (1− t)πn + δ(1− t)πn + δ2(1− t)πn + ... =
∞∑
i=0
δi(1− t)πn
Lo que se reduce a:
πNC =
(1− t)πn
(1− δ)
2. Suponga que las firmas analizan la posibilidad de coludirse para que la reforma sea revocada. Una
vez que consiguen su objetivo, seguiŕıan compitiendo normalmente. ¿Cuáles seŕıan los beneficios de
coludirse?
Respuesta
Ahora los beneficios seŕıan:
πC = (1− t)πF + δ(1− t)πF + ...+ δ4(1− t)πF + δ5πn + ... =
4∑
i=0
δi(1− t)πF +
∞∑
i=5
δiπn
Lo que se reduce a:
πC = (1− t)πF
[
1
1− δ
− δ
5
1− δ
]
+
δ5πn
1− δ
= (1− t)πF
[
1
1− δ
− δ
5
1− δ
]
+
δ5πn
1− δ
= (1− t)πF
[
1− δ5
1− δ
]
+
δ5πn
1− δ
3. ¿Para qué nivel de πF la colusión seŕıa estable?
Respuesta
Basta con:
πC > πNC
Reemplazando:
(1− t)πF
[
1− δ5
1− δ
]
+
δ5πn
1− δ
>
(1− t)πn
1− δ
Despejando πF obtenemos:
πF >
[
(1− t)πn
(1− δ)
− π
nδ5
(1− δ)
] [
(1− δ)
(1− t)(1− δ5)
]
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24 Colusión en bertrand
Suponga que dos laboratorios, Chile y Recalcine, compiten en el mercado del Nitroxin. Ambos tienen costos
de producción cero. La demanda de mercado es ?Q = 1?2p? en cada periodo y se reparte bajo los supuestos
usuales de Bertrand (compiten en precios). Las firmas tienen un horizonte de planeación infinito, con una
tasa de descuento ?δ = r1+r .
1. Determine las condiciones sobre la tasa de interés que permiten la colusión.
Respuesta
Como las firmas compien a la Bertrand, en este caso obtienen beneficios cero. Bajo acuerdo colusivo
cada una obtendŕıa π
m
2 . Vemos que las utilidades monopólicas se calculan de la forma t́ıpica:
Maxp p(1− 2p)
∂π
∂p
= 0 ⇒ 1− 2p− 2p = 0⇒ pm = 1
4
πm =
1
4
(
1− 1
2
)
⇒ πm = 1
8
Ahora, si una firma se desviara del acuerdo colusivo, es decir, bajara en un ε > 0 el precio de venta,
se estaŕıa llevando todas las ganacias del monopolio (pago igual a πm) y la otra firma se quedaŕıa con
utilidades nulas.
Luego, la condición para que se sostenga la colusión será:
1
16
1
1− δ
≥ 1
8
+ 0
δ ≥ 1
2
1
1 + r
≥ 1
2
⇒ r ≤ 1
2. Suponga ahora que Recalcine no puede observar si Laboratorio Chile faltó al acuerdo colusivo. Sin
embargo, a un costo de c = 132 por periodo, puede contratar a un auditor para que determine si
Laboratorio Chile se desvió del acuerdo. Determine las condiciones sobre la tasa de interés que permiten
la colusión.
Respuesta
Para Laboratorio Chile el problema se mantiene igual, entonces tenemos que δ ≥ 12 . Por otro lado,
ahora Recalcine tiene un costo extra por agregar una variante al problema. Luego la condición para el
caso de Recalcine será:
∞∑
t=0
δt
(
1
16
− 1
32
)
≥ 1
8
+ 0
1
32
1
1− δ
≥ 1
8
δ ≥ 3
4
⇒ r ≤ 1
3
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3. Demuestre matemáticamente que si Laboratorio Chile y Recalcine fuesen iguales (en el sentido de los
costos) la colusión es más probable en un equma de competencia a la Bertrand que en un esquema a
la Cournot. Luego explique la intuición detrás de este análisis.
Respuesta
Primero analizaremos el caso a la Bertrand. De la parte anterior sabemos que el beneficio colusivo está
dado por π
m
2 , el beneficio de desv́ıo está dado por el beneficio monopólico π
m y el beneficio del castigo
está dado por 0. Entonces para mantener la colusión se debe cumplir que:
1
16
1
1− δ
≥ 1
8
+ 0
δ ≥ 1
2
1
1 + r
≥ 1
2
⇒ r ≤ 1
Ahora analizaremos para Cournot. En Cournot el beneficio colusivo estará dado por .π
m
2 , el beneficio
del desv́ıo por 14
1
8 y el beneficio de castigo estará dado por
1
6
1
3 . Entonces para mantener la colusión se
debe cumplir que:
1
16
1
1− δ
≥ 9
128
+
δ
1− δ
1
18
1
8
≥ (1− δ) 9
64
+
δ
9
72 ≥ 81− 81δ + 64δ
1
1 + r
≥ 9
17
⇒ δ > 0.529
Por lo tanto, dado que el factor de descuento para Betrand es menor que el de Cournot, la colusión
es más sostenible en Bertrand que en Cournot. Esto se debe a que Bertrand genera un castigo muy
grande frente a Cournot.
25 Colusión y restricciones de capacidad
Suponga que, en la Pequeña Italia, el mercado del aceite de oliva tiene dos firmas, una controlada por la
Familia Corleone y otra controlada por la Familia Barzini, que enfrentan una demanda dada por Q = 100−P .
Adicionalmente, suponga que usted es contratado como consejero de la Familia Corleone (que le hizo una
oferta que no pudo rechazar), quienes amablemente le piden que los ayude a manejar el negocio.
1. Se le solicita que le diga al Capo cuánto aceite debe producir y a qué precio lo debe vender para el
negocio del aceite de oliva sea lo más rentable posible. Tenga en cuenta que ambas firmas tienen costos
marginales equivalentes a 10.
Respuesta
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Para ella debemos determinar la comptenecia a la Cournot:
πci = (100− qi − qj)qi − 10qi
∂πci
∂qi
= 100− 2qi − qj − 10 = 0
q∗i =
90− qj
2
q∗j =
90− qi
2
Reemplazando una función de reacción en la otra nos queda:
qi =
90− 90−qi2
2
4qi = 180− 90 + qi
q∗i = q
∗
j = 30
Entonces el precio y los beneficios corresponden a:
p∗ = 100− 60 = 40
πi = πj = 30(40− 10) = 900
2. Suponga ahora que ambas Familias están viendo la posibilidad de coludirse en este mercado, para lo
cual se le pide a usted que diga cuál debe ser el precio y la cantidad que se debe lanzar al mercado con
tal de cumplir este objetivo.
Respuesta
La colusión se determina de la siguiente forma:
πM = (100−Q)Q− 10Q
∂πMi
∂QM
= 100− 2Q− 10 = 0
Entonces obtenemos:
QM = 45
PM = 55
qi = qj = 22.5
πi = πj = 22.5(55− 10) = 1012.5
3. Luego de la colusión, Don Corleone se le acerca y le pregunta si seŕıa rentable desviarse del acuerdo
pactado. Para esto, considere δ = 0.5 y que la Familia Barzini respondeŕıa a la traición con una
competencia a la Cournot para siempre (estrategia del gatillo).
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Respuesta
El desv́ıo es de la siguiente forma:
πD = (100− 22.5− qi)qi − 10qi
∂πD
∂qi
= 100− 22.5− 2qi − 10 = 0
Entonces tenemos que:
qi = 33.75
P ∗ = 100− 22.5− 33− 75 = 43.75
πDi = 33.75(43.75− 10) = 1139
πDj = 22.5(43.75− 10) = 759
Ahora para evaluar si le conviene coludirse debe cumplirse que:
1012.5
1
1− δ
≥ 1139 + 900 δ
1− δ
Reemplazando δ = 0.5 llegamos a:
1012.5 ≥ 1139 · 0.5 + 0.5 · 900
443 ≥ 450
La última desigualdad no se cumple, por tanto śı es rentable el desv́ıo
4. Una vez que la Familia Corleone decide salir del pacto colusivo comienza una fuerte guerra entre las
familias, lo que conlleva a que se destruyan gran parte de los almacenes que teńıan. Esto genera que
ahora ambos negocios, enfrenten una restricción de capacidad de K = 20. En esta situación calcule el
nuevo equilbrio oligopólico considerando competencia a la Cournot.