Enunciado Examen 2-2017

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1 
 
 
 
 
Examen 
Optimización 
 
Profesores: Cristián García-Campo & Matías Rojas 
 
Ponga nombre a todas las hojas y no separe las hojas del cuadernillo. Si está sin nombre tendrá NOTA 1,0. 
No tendrán derecho a recorrección pruebas hechas con lápiz mina, ni siquiera si el puntaje está mal contado. 
 
 
Problema 1 (20 puntos) 
Hoyo´n-1 es un pequeño fabricante de equipos y accesorios 
para golf. Su principal distribuidor cree que existe un mercado 
tanto para la bolsa de golf de precio medio, conocida como 
modelo estándar, como para una bolsa de golf de precio alto, 
conocida como modelo Deluxe. 
 
El distribuidor tiene tanta confianza en el mercado que si 
Hoyo´n-1 puede fabricar las bolsas a un precio competitivo, el 
distribuidor está de acuerdo en adquirir toda la producción. 
 
Un análisis de los requerimientos de fabricación dio como 
resultado la tabla siguiente, que muestra las necesidades de 
tiempo de producción por unidad para las cuatro operaciones 
de manufactura requeridas y la disponibilidad de mano de 
obra. 
 
 
Adicionalmente el departamento de marketing estima que 
cada bolsa Deluxe vendida genera una utilidad de $9 mientras 
que una unidad vendida del modelo estándar genera $10 de 
utilidad. 
a) (2 puntos) Construya un modelo de programación lineal 
que permita a Hoyo´n-1 maximizar sus utilidades por 
venta de bolsas de golf. 
 
b) (3 puntos) Grafique el dominio del problema en un plano 
cartesiano. Utilice las bolsas Estándar como eje X. 
 
c) (1 punto) ¿Cuantas restricciones pueden estar activas 
simultáneamente en una solución óptima no degenerada? 
 
d) (2 puntos) Grafique algunas curvas de nivel y estime la 
solución óptima utilizando el método gráfico. 
 
e) (3 puntos) Compruebe su solución de la parte d) 
identificando los candidatos a óptimos y evaluándolos en 
la función objetivo. ¿Cuántas bolsas de cada tipo debe 
producir la empresa y cuanto es la utilidad máxima 
esperada? Redondee su respuesta a números enteros. 
[HINT: Son 5 candidatos, contando el (0,0)] 
 
f) (3 puntos) Si pudiese contratar una hora adicional de 
mano de obra para cualquiera de las cuatro operaciones de 
manufactura, ¿cuál eligiria? ¿Cuánto sería 
aproximadamente la utilidad adicional? 
 
g) (4 puntos) Suponga que, para ahorrar costos, la empresa 
desea reducir la disponibilidad de horas de costura. 
Cuantas horas podría reducir sin afectar la solución 
óptima encontrada en e). 
 
h) (2 puntos) Suponga ahora que la estimación de utilidad 
unitaria para las bolsas Deluxe estaba errada y se debe 
corregir desde $9 a $18. ¿Cambiaría el óptimo del 
problema? ¿Cuántas bolsas de cada tipo debe producir la 
empresa y cuanto es la utilidad máxima esperada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segundo Semestre 2017 
 
Tiempo: 2 horas 45 min 
60 puntos 
Universidad de los Andes 
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales 
Ingeniería Comercial 
2 
 
Problema 2 (20 puntos) 
Problema 2.1 (7 puntos) 
La empresa de juguetes Happy Toys 
acaba de lanzar un nuevo producto 
para esta Navidad, se trata de del robot 
de juguete Happybot, dicho robot puede 
estar en dos estados de ánimo: feliz y 
triste. Cuando está feliz existe una 
probabilidad de 0,8 de que siga estando 
feliz (y un 0,2 de que se ponga triste) en 
la hora siguiente. Si está triste en 
cambio existe un 0,4 de probabilidad de 
que siga triste (y un 0,6 de que se ponga 
feliz) en la siguiente hora. 
a) (1 puntos) Dibuje el grafo de la 
cadena de Markov que modela esta situación señalando 
claramente las probabilidades de cada arco. 
 
b) (2 punto) Escriba la matriz de transición 𝑃 y calcule 𝑃2. 
 
c) (2 puntos) Si a las 10:00 hrs el robot se encuentra feliz, 
señale la probabilidad de que se encuentre también en feliz 
a las 13:00. 
 
d) (2 puntos) En el largo plazo, ¿qué porcentaje del tiempo el 
robot estará feliz y que porcentaje del tiempo estará triste? 
 
Problema 2.2 (7 puntos) 
Suponga un vendedor de periódicos el cual puede abastecerse 
a un costo de $201 por unidad para posteriormente vender cada 
diario a $500 por unidad. La demanda que enfrenta el 
vendedor tiene distribución normal con media de 400 unidades 
y desviación estándar de 80 unidades y los diarios no vendidos 
se botan. 
a) (2 puntos) ¿Cuántas unidades deberá el vendedor tener 
como inventario de modo de maximizar su utilidad 
esperada? 
 
b) (3 puntos) Suponga que la empresa de periódicos desea que 
el vendedor tome un inventario de exactamente 430 
unidades de periódicos, muestre matemáticamente un 
mecanismo o incentivo que garantice que el vendedor va a 
tomar dicho stock (sin alterar el costo unitario ni el precio 
de venta) de modo que se maximice su utilidad esperada. 
 
c) (2 puntos) Suponga que el proveedor ofrece recomprar 
todos los diarios no vendidos a un porcentaje del precio de 
venta. Señale cuánto debe ser el mínimo porcentaje para 
que el vendedor de diarios tenga incentivos a solicitar un 
inventario inicial ilimitado. 
 
1 Hint: Recuerde que 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 =
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
 
Problema 2.3 (6 puntos) 
Considere la siguiente red con 𝑛 nodos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponga que la red corresponde a una pequeña parte de un 
pueblo, donde los nodos son los cruces entre caminos y los arcos 
son los caminos que unen dichos cruces; suponga que usted 
conoce el valor exacto de la distancia (en kilómetros) que existe 
entre un cruce y otro, dicho valor es 𝑑𝑖𝑗. Con 𝑖, 𝑗 ∈ {1, … , 𝑛} 
a) (4 puntos) Formule un modelo de optimización que le 
permita encontrar la ruta más corta desde el nodo 1 al 
nodo 𝑛. 
 
b) (2 puntos) Suponga ahora que dado lo complejo de los 
caminos (algunos son de tierra, otros tienen barro, etc.) 
usted en el tramo 𝑖 − 𝑗 puede andar a una velocidad 𝑣𝑖𝑗 
(con 𝑖, 𝑗 ∈ {1, … , 𝑛}). Señale los cambios que habría que 
hacerle al modelo en a) para que se permita encontrar esta 
vez la ruta más que le permite llegar desde el nodo 1 al 
nodo n en el menor tiempo posible.1 
 
 
 
 
 
1 
n 
https://www.google.cl/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjRubTr1sDXAhXBIpAKHUGRADEQjRwIBw&url=https://www.redbubble.com/people/fizzgig/works/6585052-silly-robot?p=sticker&psig=AOvVaw1CHvEB8hmz9AYwvFiK0Gw1&ust=1510838665156486
3 
 
Problema 3 (20 puntos) 
 
IMPORTANTE: El problema 3 es obligatorio para todos los 
alumnos y servirá como pregunta recuperativa para aquellos 
que hayan debidamente justificado la inasistencia a alguna 
evaluación. 
Problema 3.1 (10 puntos) 
La empresa FrigoIn se dedica a la producción y venta de 
refrigeradores industriales, la compañía actualmente tiene 
6.000 unidades en inventario y espera una demanda para los 
próximos 4 trimestres de 8.000, 14.000, 11.000 y 7.000 
respectivamente. 
La planta tiene capacidad para producir como máximo 9.000 
unidades al trimestre a un costo de $300.000 por unidad, ahora 
bien, la compañía puede almacenar en bodega los 
refrigeradores no vendidos, pero producto de los seguros y el 
uso de bodega, enfrenta un costo de $50.000 por unidad 
guardada al trimestre. 
Finalmente, en caso de quedarse sin capacidad la planta puede 
comprar a otro proveedor la cantidad que desee a un costo de 
$420.000 por unidad para satisfacer sus demandas. 
a) (10 puntos) Formule un modelo de optimización que 
permita a la compañía satisfacer la demanda a mínimo 
costo. 
 
Problema 3.2 (10 puntos) 
Suponga que cuenta con $10.000 Pesos Chilenos (CLP) y puede 
realizar operaciones de cambio internacional para convertirlos 
en otras monedas como dólares, euros, yenes etc. Suponga que 
usted conoce las tasas de cambio 𝑐𝑖𝑗 que permiten convertir una 
cantidad de moneda 𝑖 = {1 … 𝑚} en otra cantidad de moneda 
𝑗 = {1 … 𝑚}. 
 
Para convertir una moneda i en otra moneda j bastamultiplicar la cantidad de moneda 𝑥𝑖𝑗 por la tasa de cambio 𝑐𝑖𝑗 
. Note que 𝑐𝑖𝑗 ≠ 𝑐𝑗𝑖 porque, por ejemplo, para convertir de 
dólares a pesos 𝑐𝑢𝑠𝑑 𝑐𝑙𝑝 = 630 pero para convertir de pesos a 
dólares 𝑐𝑐𝑙𝑝 𝑢𝑠𝑑 = 0,0015873. 
 
a) (10 puntos) Construya un modelo de optimización que le 
permita identificar si existe alguna oportunidad de 
arbitraje. Esto quiere decir por medio de cambios sucesivos 
de monedas, se obtenga más dinero que con el que se 
comenzó la operación. Usted puede cambiar desde 
cualquier moneda a otra cualesquiera tantas veces como 
quiera pero debe comenzar y terminar con su dinero 
convertido en CLP. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z
0,
00
-0
,0
1
-0
,0
2
-0
,0
3
-0
,0
4
-0
,0
5
-0
,0
6
-0
,0
7
-0
,0
8
-0
,0
9
Z
0,
00
0,
01
0,
02
0,
03
0,
04
0,
05
0,
06
0,
07
0,
08
0,
09
-4
,0
0
0,
00
00
3
0,
00
00
3
0,
00
00
3
0,
00
00
3
0,
00
00
3
0,
00
00
3
0,
00
00
2
0,
00
00
2
0,
00
00
2
0,
00
00
2
0,
00
0,
50
00
0
0,
50
39
9
0,
50
79
8
0,
51
19
7
0,
51
59
5
0,
51
99
4
0,
52
39
2
0,
52
79
0
0,
53
18
8
0,
53
58
6
-3
,9
0
0,
00
00
5
0,
00
00
5
0,
00
00
4
0,
00
00
4
0,
00
00
4
0,
00
00
4
0,
00
00
4
0,
00
00
4
0,
00
00
3
0,
00
00
3
0,
10
0,
53
98
3
0,
54
38
0
0,
54
77
6
0,
55
17
2
0,
55
56
7
0,
55
96
2
0,
56
35
6
0,
56
74
9
0,
57
14
2
0,
57
53
5
-3
,8
0
0,
00
00
7
0,
00
00
7
0,
00
00
7
0,
00
00
6
0,
00
00
6
0,
00
00
6
0,
00
00
6
0,
00
00
5
0,
00
00
5
0,
00
00
5
0,
20
0,
57
92
6
0,
58
31
7
0,
58
70
6
0,
59
09
5
0,
59
48
3
0,
59
87
1
0,
60
25
7
0,
60
64
2
0,
61
02
6
0,
61
40
9
-3
,7
0
0,
00
01
1
0,
00
01
0
0,
00
01
0
0,
00
01
0
0,
00
00
9
0,
00
00
9
0,
00
00
8
0,
00
00
8
0,
00
00
8
0,
00
00
8
0,
30
0,
61
79
1
0,
62
17
2
0,
62
55
2
0,
62
93
0
0,
63
30
7
0,
63
68
3
0,
64
05
8
0,
64
43
1
0,
64
80
3
0,
65
17
3
-3
,6
0
0,
00
01
6
0,
00
01
5
0,
00
01
5
0,
00
01
4
0,
00
01
4
0,
00
01
3
0,
00
01
3
0,
00
01
2
0,
00
01
2
0,
00
01
1
0,
40
0,
65
54
2
0,
65
91
0
0,
66
27
6
0,
66
64
0
0,
67
00
3
0,
67
36
4
0,
67
72
4
0,
68
08
2
0,
68
43
9
0,
68
79
3
-3
,5
0
0,
00
02
3
0,
00
02
2
0,
00
02
2
0,
00
02
1
0,
00
02
0
0,
00
01
9
0,
00
01
9
0,
00
01
8
0,
00
01
7
0,
00
01
7
0,
50
0,
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14
6
0,
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49
7
0,
69
84
7
0,
70
19
4
0,
70
54
0
0,
70
88
4
0,
71
22
6
0,
71
56
6
0,
71
90
4
0,
72
24
0
-3
,4
0
0,
00
03
4
0,
00
03
2
0,
00
03
1
0,
00
03
0
0,
00
02
9
0,
00
02
8
0,
00
02
7
0,
00
02
6
0,
00
02
5
0,
00
02
4
0,
60
0,
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57
5
0,
72
90
7
0,
73
23
7
0,
73
56
5
0,
73
89
1
0,
74
21
5
0,
74
53
7
0,
74
85
7
0,
75
17
5
0,
75
49
0
-3
,3
0
0,
00
04
8
0,
00
04
7
0,
00
04
5
0,
00
04
3
0,
00
04
2
0,
00
04
0
0,
00
03
9
0,
00
03
8
0,
00
03
6
0,
00
03
5
0,
70
0,
75
80
4
0,
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11
5
0,
76
42
4
0,
76
73
0
0,
77
03
5
0,
77
33
7
0,
77
63
7
0,
77
93
5
0,
78
23
0
0,
78
52
4
-3
,2
0
0,
00
06
9
0,
00
06
6
0,
00
06
4
0,
00
06
2
0,
00
06
0
0,
00
05
8
0,
00
05
6
0,
00
05
4
0,
00
05
2
0,
00
05
0
0,
80
0,
78
81
4
0,
79
10
3
0,
79
38
9
0,
79
67
3
0,
79
95
5
0,
80
23
4
0,
80
51
1
0,
80
78
5
0,
81
05
7
0,
81
32
7
-3
,1
0
0,
00
09
7
0,
00
09
4
0,
00
09
0
0,
00
08
7
0,
00
08
4
0,
00
08
2
0,
00
07
9
0,
00
07
6
0,
00
07
4
0,
00
07
1
0,
90
0,
81
59
4
0,
81
85
9
0,
82
12
1
0,
82
38
1
0,
82
63
9
0,
82
89
4
0,
83
14
7
0,
83
39
8
0,
83
64
6
0,
83
89
1
-3
,0
0
0,
00
13
5
0,
00
13
1
0,
00
12
6
0,
00
12
2
0,
00
11
8
0,
00
11
4
0,
00
11
1
0,
00
10
7
0,
00
10
4
0,
00
10
0
1,
00
0,
84
13
4
0,
84
37
5
0,
84
61
4
0,
84
84
9
0,
85
08
3
0,
85
31
4
0,
85
54
3
0,
85
76
9
0,
85
99
3
0,
86
21
4
-2
,9
0
0,
00
18
7
0,
00
18
1
0,
00
17
5
0,
00
16
9
0,
00
16
4
0,
00
15
9
0,
00
15
4
0,
00
14
9
0,
00
14
4
0,
00
13
9
1,
10
0,
86
43
3
0,
86
65
0
0,
86
86
4
0,
87
07
6
0,
87
28
6
0,
87
49
3
0,
87
69
8
0,
87
90
0
0,
88
10
0
0,
88
29
8
-2
,8
0
0,
00
25
6
0,
00
24
8
0,
00
24
0
0,
00
23
3
0,
00
22
6
0,
00
21
9
0,
00
21
2
0,
00
20
5
0,
00
19
9
0,
00
19
3
1,
20
0,
88
49
3
0,
88
68
6
0,
88
87
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