Capitulo 15

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Daniela Guzmán A. 
TAMAÑO DE LA MUESTRA Y TEORÍA ESTADÍSTICA 
 
• Una encuesta no debe planearse ni aplicarse sin conocer el tamaño de la muestra. 
• La decisión del tamaño de la muestra está directamente relacionada con el costo de la 
investigación y, por lo tanto, debe ser justificada. 
 
DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA: MÉTODOS AD HOC 
• El tamaño de la muestra puede determinarse ya sea por: (1) técnicas estadísticas o 
(2) mediante algunos métodos ad hoc. 
• Los métodos ad hoc se usan cuando: 
1. Una persona sabe, a partir de la experiencia, que tamaño de muestra adoptar. 
2. Existen algunas restricciones, como puede ser el tipo de presupuesto, que determina 
el tamaño de la muestra. 
• Algunos métodos ad hoc para determinar el tamaño de la muestra son: 
1. Reglas de oro: la muestra debe ser lo suficientemente grande, de manera que cuando 
se divida en grupos, cada uno de ellos tenga un tamaño de muestra mínimo de 100 o 
más. Una comparación entre grupos proporciona una información útil y a menudo es 
la razón motivante del estudio, por lo que, si el análisis involucra una comparación 
entre grupos, el tamaño de la muestra en cada grupo debería ser de 20 a 50. 
▪ Muestreo desproporcionado: se usa cuando uno de los grupos o subgrupos 
de la población representa un porcentaje relativamente pequeño de la 
población. 
2. Restricciones de presupuesto: el investigador debe decidir si el tamaño de la muestra 
dictada por las restricciones de presupuesto permite un estudio que vale la pena que 
se lleve a cabo. 
3. Estudios comparables: encontrar estudios similares y usar sus tamaños de muestra 
como guía. Los estudios deberán ser comparables en términos del número de grupos 
que se divide la muestra con fines de comparación. 
 
Factores que Determinan el Tamaño de la Muestra 
• El tamaño de la muestra depende de 5 factores: 
1. Número de grupos y subgrupos en la muestra. 
2. Valor de la información del estudio: no es necesario realizar una investigación si el 
estudio es de poca importancia. 
3. Exactitud requerida en los resultados. 
4. Costo de la muestra: es necesario hacer un análisis de costo – beneficio. Se puede 
justificar un tamaño mayor de la muestra si los costos de muestreo son bajos. 
5. Grado de variación de la población: si todos los miembros de la población tienen 
opiniones idénticas sobre un tema, es satisfactoria una muestra de uno. A mayor 
grado de variación, mayor muestra. 
 
CARACTERÍSTICAS/PARÁMETROS DE LA POBLACIÓN 
• Media de la población (µ): normalmente se desconoce. Se quiere determinar su valor lo 
más exacto posible, tomando una muestra de la población. 
Daniela Guzmán A. 
• Varianza de la población (𝝈𝟐): medida de dispersión de la población. Se basa en el grado 
en que una respuesta difiere de la respuesta promedio de la población. La diferencia se 
eleva al cuadrado y se promedia entre todas las respuestas. 
• Desviación estándar de la población (𝝈): raíz cuadrada de la varianza. 
 
CARACTERÍSTICAS/ESTADÍSTICAS DE LA MUESTRA 
• El problema es que la media de la población no se conoce, pero debe estimarse a partir de 
la muestra. 
• Así como la población tiene un conjunto de características, también lo tiene la muestra: 
1. Media de la muestra (�̅�): es característica de la muestra. Cambiará solo si se obtiene 
una nueva muestra. Se utiliza para estimar la media desconocida de la población. 
 
�̅� =
1
𝑛
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
2. Varianza de la muestra (𝒔𝟐): puede usarse para estimar la varianza de la población. 𝑠2 
será pequeña si las respuestas de la muestra son similares, y grande si están dispersas. 
Bajo muestreo aleatorio simple la varianza es: 
 
𝑠2 =
1
𝑛 − 1
∑ 𝑥𝑖(𝑥𝑖 − �̅�)
2
𝑛
𝑖=1
 
 
3. Desviación estándar de la muestra (s): raíz cuadrada de la varianza de la muestra. 
 
CONFIABILIDAD DE LA MUESTRA 
• �̅� variará de muestra en muestra. 
• Mayor será �̅� a medida que 𝜎2 sea mayor. 
• Si no hay variación en la población, no habrá variación en �̅�. 
• A medida que aumente el tamaño de la muestra (n), la variación en �̅� disminuirá. 
• Error estándar: variación en �̅�. 
𝜎�̅� =
𝜎
√𝑛
 
• El error estándar de �̅� depende de n. 
• Se acostumbra suponer que la variación de �̅� tiene una distribución normal: 
 
 
 
 
 
 
Indica que �̅� generalmente estará 
cercana a la media de la población 
µ, y que es igualmente probable 
que sea más grande o más chica 
que µ. 
Daniela Guzmán A. 
 
 
ESTIMACIÓN DEL INTERVALO 
• Error muestral (e): diferencia entre media de la muestra y media de la población. También 
se conoce como exactitud o error de precisión. 
• El tamaño del intervalo depende del grado de confianza que quiere el investigador para el 
intervalo que contiene la verdadera media de la población. 
• Estimación del intervalo de µ: �̅� ± error muestral. 
• La estimación del intervalo que contiene la media verdadera de la población seria: 
 
�̅� ± 𝑧𝜎�̅� = �̅� ± 𝑧
𝜎𝑥
√𝑛
 
 
• Si no se conoce la desviación estándar de la población, es necesario estimarla con la 
desviación estándar de la muestra (s), por lo que: 
 
�̅� ± 𝑧
𝑠
√𝑛
 
 
• El tamaño de estimación del intervalo depende de: 
1. Nivel de confianza: a menor nivel de confianza, menor intervalo. 
2. Desviación estándar de la población: a menor variación en la población, menor 
intervalo. 
3. Tamaño de la muestra: a mayor n, menor error muestral, por lo que menor intervalo. 
 
PREGUNTA DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA 
• Para determinar el tamaño de la muestra, el analista deberá especificar: 
1. El tamaño que se desea en el error de muestreo: a mayor error muestral, menor n. 
2. El nivel de confianza: a menor nivel de confianza, menor n. 
3. Varianza esperada. 
• El tamaño de la muestra se puede calcular: 
 
𝑛 =
𝑧2𝜎2
𝑒2
 
 
• El cálculo del tamaño de la muestra es independiente al tamaño de la población. 
 
 
La probabilidad de que �̅� se 
encuentre a 2 desviaciones 
estándar (s) de la media de la 
población (µ) es de un 95%. 
Daniela Guzmán A. 
 
Determinación de la Desviación Estándar de la Población 
• En la mayoría de las situaciones practicas no se conoce la desviación estándar de la 
población, y debe estimarse a través de los siguientes enfoques: 
1. Usar la desviación estándar de una muestra obtenida a partir de una encuesta 
comparable previa o de una encuesta piloto. 
2. Estimar la desviación estándar de la población de manera subjetiva. 
3. Tomar la situación del “peor de los casos”. 
 
PROPORCIONES 
• Para estimar proporciones, el procedimiento es usar la proporción de la muestra para 
estimar la proporción desconocida de la población (π). 
• Debido a que esta estimación de basa en una muestra, tiene una varianza de población: 
 
𝜎𝑝
2 =
𝜋(1 − 𝜋)
𝑛
 
• Entonces, el tamaño de la muestra es: 
 
𝑛 =
𝑧2𝜋(1 − 𝜋)
𝑒2
 
 
• El peor de los casos ocurre cuando la proporción de la población es 0,5, por lo tanto: 
 
𝑛 =
𝑧20,52
𝑒2
 
 
COEFICIENTE DE VARIACIÓN 
• El error muestral se puede definir en términos relativos y no absolutos  el investigador 
puede requerir que la estimación de la muestra este entre más o menos G puntos 
porcentuales del valor de la población, por lo que: D = Gµ, entonces n: 
 
𝑛 =
𝜎2𝑧2
𝑒2
→ 𝑛 =
𝜎2𝑧2
𝐷2
→ 𝑛 =
𝑐2𝑧2
𝐺2
 
 
• Coeficiente de variación (c): 𝑐 = (𝜎/𝜇). 
 
Muchas Preguntas 
• La mayoría de los cuestionarios tiene más de una pregunta, y no vale la pena hacer todo 
este proceso para cada una de las preguntas, por lo que se eligen algunas de las preguntas 
más representativas y determinar el tamaño de la muestra para ellas. Las más cruciales, 
con las varianzas esperadas más altas deben estar incluidas. 
 
MUESTREO ESTRATIFICADO 
• Muestreo estratificado: población se divide en subgrupos o estratos y se toma una 
muestra de cada uno de ellos. 
Daniela Guzmán A. 
• Este vale la pena cuando: 
1. La desviación estándar dela población difiere por estratos. 
2. El costo de las entrevistas difiere por estratos. 
• La asignación optima del presupuesto del muestreo para varios estratos es (solución de 
Neyman): 
𝑛𝑖 =
𝜋𝑖𝜎𝑖
√𝑐𝑖
∑
𝜋𝑖𝜎𝑖
√𝑐𝑖
𝑛 
 
Dónde: (n) es el tamaño total de la muestra, (𝝅𝒊) es proporción de la población en el 
estrato i, (𝝈𝒊) es la desviación estándar de la población en el estrato i, (𝒄𝒊) es el costo de 
una entrevista en el estrato i, (∑i) es la suma de todos los estratos y (ni) es el tamaño de la 
muestra para el estrato i. 
• El siguiente ejemplo muestra como asignar el tamaño de la muestra a los diversos 
estratos: 
 
 
 
 
 
 
• Hay diferentes enfoques para determinar el tamaño de la muestra: 
1. Suponer que existe un límite en el presupuesto, por lo que el tamaño de la muestra se 
ajustará hacia arriba hasta llegar al límite en el presupuesto, el que se calcula: 
 
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑢𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = ∑ 𝑐𝑖𝑛𝑖
𝑖
 
 
2. Determinar el error muestral y decidir si es excesivo. En caso afirmativo, el tamaño de 
la muestra se aumenta, y el error muestral se calcula: 
 
𝑒 = 𝑧𝜎𝑥 
 
Y se basa en el error estándar de �̅�, que se calcula: 
 
𝜎𝑥 = √(∑
𝜋𝑖𝜎𝑖
𝑛𝑖𝑖
) 
 
 
 
Daniela Guzmán A. 
• La estimación de la media de la población bajo el muestreo estratificado es un promedio 
ponderado de las medias de las muestras encontradas de cada estrato: 
 
𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = ∑ 𝜋𝑖�̅�𝑖
𝑖
 
 
Donde �̅�𝑖 es la media de la muestra para el estrato i. 
 
DISEÑO DE ETAPAS MÚLTIPLES 
• Si se emplea otro diseño de muestreo la lógica utilizada para generar el tamaño de la 
muestra optimo aun será válido; sin embargo, la formula puede volverse más complicada. 
 
MUESTREO SECUENCIAL 
• Muestreo secuencial: tomar una muestra pequeña, observar los resultados y luego decidir 
si se necesita más información, a partir de una muestra más grande. 
• Este es útil debido a que le recuerda al investigador que la meta de investigación de 
mercado es proporcionar información para la toma de decisiones, por lo que la calidad de 
la información debe evaluarse en contexto de esta última.