Devore-Cap3

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Probabilidades: Devore Capı́tulo 3
Variables Aleatorias Discretas
Material docente en preparación
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Universidad de los Andes
May 31, 2021
c©Todo el contenido bajo protección de derecho de autor.
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Capı́tulo 3
Contenido
Introducción
3.1 Variables Aleatorias
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias
discretas
3.3 Valores esperados
3.4 Distribución de probabilidad binomial
3.5 Distribuciones hipergeométricas y binomiales negativas
3.6 Distribución Poisson
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Capı́tulo 3
3.1 Variables aleatorias (vvaa)
Repaso: Funciones y Gráficos; Rectas, Parábolas y Sistemas;
Funciones Exponenciales y Logarı́tmicas
Fuente: Texto de Haeussler & Paul.
Definición: Variable aleatoria (va)
Una variable aleatoria es una función X ,
X : S → R
s → X (s)
Esta y próxima láminas repasan tres definiciones importantes:
1) Rango (o recorrido) de X
2) Imagen directa de A ⊂ S
3) Imagen inversa de B ⊂ X (S) ⊂ R
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Capı́tulo 3
3.1 Variables aleatorias (vvaa)
1) Rango (o recorrido) de X : Rec(X ) = {X (s), s ∈ S}
Notación: Rec(X ) = X (S)
2) Imagen directa de A ⊂ S: X (A) = {X (s), s ∈ A}
3) Imagen inversa de B ⊂ R : X−1(B) = {s ∈ S,X (s) ∈ B}
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Capı́tulo 3
3.1 Variables aleatorias (vvaa)
Ejemplo 3.1: Acceso a un servidor (va Bernoulli)
Un/una alumn intenta ingresar a Canvas
S = {a,n}
a = alumno puede acceder (puerto disponible)
n = alumno no puede acceder (puerto no disponible)
X = variable aleatoria (va) que representa acceso:
X (a) = 1 = representa ”acceso”
X (n) = 0 = representa ”no acceso”
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Capı́tulo 3
3.1 Variables aleatorias (vvaa)
Ejemplo 3.2: Números de teléfono aleatorios (va Bernoulli)
Usted usa una función R para generar un número
pseudo-aleatorio (llámelo s) con ocho dı́gitos.
Algunos valores s corresponden a un número de teléfono.
Si corresponde, entonces el número está en un directorio
(guı́a de teléfonos).
Para s ∈ S, defina la va X del siguiente modo:
X (s) =
{
1 si s está en el directorio
0 si s no está en el directorio
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Capı́tulo 3
3.1 Variables aleatorias (vvaa)
Definición: Variable aleatoria Bernoulli
Una va X se dice Bernoulli si y solo si X (S) = {0,1}, es
decir, si y solo si el conjunto de valores de X es {0,1}.
Ejemplo 3.3 (bombas en uso en estaciones de servicio)
Basado en el Ejemplo 2.4
Ejemplo 3.4 (X = número de baterı́as examinadas)
Ejemplo 3.5 (Y = altura sobre el nivel del mar en un lugar
seleccionado)
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Capı́tulo 3
3.1 Variables aleatorias (vvaa)
Dos tipos de vvaa:
Variable aleatoria discreta
X se dice discreta si y solo si X (S) es enumerable
Variable aleatoria continua
X se dice continua si y solo si X (S) es
o bien un intervalo,
o una unión de intervalos, y
no hay puntos en X (S) con acumulación positiva de
probabilidad.
Es decir, para todo c ∈ X (S) se tiene P(X = c) = 0
Hay un tercer tipo de va (ni discreta ni continua)
(el texto no la cubre)
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Capı́tulo 3
3.1 Variables aleatorias (vvaa)
Ejemplo 3.6 (Número de matrimonios sujetos a
examen de sangre)
Usted elige al azar parejas de casados. A cada persona
de la pareja se le administra una prueba de sangre hasta
que se encuentra una para con el mismo factor Rh. Sea,
X = número de pruebas de sangre que usted administra.
D = X (S) = ”rango de X ” = {2,4,6,8, . . .}
Puesto que D = X (S) es enumerable, X es una va
discreta.
Devore: Ejercicios 1-10, pp 89 - 90
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Capı́tulo 3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas
Introducción: distribución de probabilidad entre los valores
de una va discreta
I Sea X una va discreta. Para una explicación más concreta,
suponga que X (S) = {x1, . . . , xn} (finito)
I El efecto de X es redistribuir la probabilidad (masa) de S
en los valores x1, . . . , xn
X distribuye la masa de S en los valores x0 = 0, x1 = 1, . . . , x6 = 6.
Definición infomal: función frecuencia
pX (x) = p(x) = masa acumulada en x .
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Capı́tulo 3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas
Ejemplo 3.7 (p. 91) Estación de servicio con seis bombas
Sea X = número de bombas en uso en una hora dada del dı́a
Suponga que la distribución de probabilidad de X es:
x 0 1 2 3 4 5 6
p(x) 0.05 0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.10
X (S) = {0,1,2,3,4,5,6} (finito)
S queda particionado en seis conjuntos:
S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6, tales que,
X (S0) = {0},X (S1) = {1}, . . . ,X (S6) = {6}.
Otra forma de escribir esto es:
Si s ∈ Si entonces X (s) = i , i = 0,1, . . . ,6
X asigna (redistribuye) la probabilidad (masa) de Si al entero i :
P(S1) = P(X = 1) = probabilidad (masa) que X acumula en 1.
(continúa . . . )
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Capı́tulo 3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas
Ejemplo 3.7 (p. 91, cont.)
x 0 1 2 3 4 5 6
p(x) 0.05 0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.10
Calcule:
1) P(X ≤ 2)
2) P(X ≥ 3)
3) P(2 ≤ X ≤ 5)
4) P(2 < X < 5)
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Capı́tulo 3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas
Definición: función frecuencia
(o distribución de probabilidad
o función de masa de probabilidad).
Sea X una va discreta con valores x1, x2, . . .
(X (S) = {x1, x2, . . . xn} si X (S) es finito o,
X (S) = {x1, x2, . . .} si X (S) es no finito).
Sea x ∈ X (S) entonces,
p(x) = P(X = x) = P({s ∈ S : X (s) = x}) = P(X−1({x})).
Si x 6∈ X (S), se define p(x) = 0.
Notación: pX (x)
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Capı́tulo 3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas
Ejemplo 3.8 (p. 91)
Distribución de componentes defectuosos en seis lotes.
Un proveedor esta por enviar seis lotes de componentes.
El número de componentes defectuosos en cada lote es:
Lote 1 2 3 4 5 6
No. defectuosos 0 2 0 1 2 0
El proveedor selecciona al azar un lote para enviarlo a un
cliente. Sea X el número de defectuosos en este lote.
Rec(X ) = ?
Obtenga la función frecuencia
(o distribución de probabilidad)
p(x) =?
Interpretación frecuentista
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Capı́tulo 3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas
Ejemplo 3.9 (p. 101, Ed. 9)
Marta tiene que decidir si comprar un notebook o un
computador de escritorio.
¿Qué variable aleatoria representa la decisión de Marta?
En esa semana 20% de clientes que han comprado antes
que ella han preferido notebooks. Escriba la función
frecuencia p(x) de estas compras.
Si Marta se comporta como los clientes que compraron
antes que ella esa semana, escriba la función de
frecuencia de la va que representa la decisión de Marta.
Haga del gráfico de p(x) vs. x .
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Capı́tulo 3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas
Ejemplo 3.10 (pp. 92-93)
Considere un grupo de cinco potenciales donantes de sangre,
a,b, c,d y e,
de los cuales sólo a y b tienen sangre tipo O+.
El banco de sangre determina en orden aleatorio el tipo de
sangre de cada individuo, hasta que identifica un individuo con
tipo O+.
Sea Y = número de exámenes de sangre hasta identificar un
individuo con tipo O+.
Determine la función masa de probabilidad de Y
Haga el gráfico de la función de frecuencia (gráfico de lı́neas)
(Texto sugiere “Histograma de probabilidad” para representar
la función de frecuencia !NO use “Histograma” en este
contexto!)
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Capı́tulo 3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas
Ejemplo 3.11 (p. 94) Número de cursos que un estudiante
inscribe (Estudio individual)
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Capı́tulo 3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas / Parámetros
Parámetro de una distribución de probabilidad
Sea X una va Bernoulli. Entonces, para 0 < α < 1,
la función de frecuencia de X es,
p(x ;α) =

1− α si x = 0
α si x = 1
0 en otro caso (e.o.c.)
Observe: a cada valor de α, 0 < α < 1, corresponde una
función de frecuencia p(x ;α).
Definición (temporal): Familia de distribuciones de probabilidad
Una familia de distribuciones de probabilidad es un conjunto
D de funciones de frecuencia.
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Capı́tulo3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas / Parámetros
Definición (temporal): Parámetro
Sea D un conjunto de funciones de frecuencia y sea A ⊂ R,
tales que,
π : A → D
α → p(x ;α),
es una biyección. Entonces,
α se llama parámetro (de la familia)
A se llama espacio de parámetros (o paramétrico)
D se llama familia paramétrica de distribuciones
π se llama parametrización (de D)
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Capı́tulo 3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas / Parámetros
Ejemplo
p(x ;α) =

1− α si x = 0
α si x = 1
0 en otro caso (e.o.c.)
1 Determine A
2 Determine D
3 Determine la función de frecuencia π(α), para α = 0.7
4 Determine el valor de α que corresponde a p(1;α) = 0.6
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Capı́tulo 3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas / Parámetros
Ejemplo 3.12 (p. 95) Distribución geométrica
Familia de distribuciones geométricas
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Capı́tulo 3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas / FDA
Definición: Función de distribución acumulada, o
función de distribución (o fda, en inglés: cdf )
Sea X una va. La función de distribución acumulada es,
F : R → [0,1]
x → F (x),
donde F (x) = P(X ≤ x)
Notación: Frecuentemente se usa FX (x) en lugar de F (x).
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Capı́tulo 3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas / FDA
Ejemplo introductorio discreto (p. 95)
Considere la función de frecuencia (Ejemplo 3.8),
p(x) =

0.500, x = 0
0.167, x = 1
0.333, x = 2
0, en otro caso (e.o.c)
Haga el gráfico de p
F (0) =?, F (1) =?, F (2) =?
x = 1.5 =⇒ F (x) =?
x = 3.7 =⇒ F (x) =?
Haga el gráfico de F
Nota: P(X < x) ≤ P(X ≤ x) = F (x), para todo x ∈ R.
En este ejemplo, dé un valor de x tal que,
P(X < x) < P(X ≤ x).
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Capı́tulo 3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas / FDA
Especificación de la definición de fda para distribuciones
discretas (p. 95)
Propiedad
La fda F (x) de una variable aleatoria discreta X con función
frecuencia p(x) se puede escribir de la forma
F (x) = P(X ≤ x) =
∑
y :y≤x
p(y) (3.3)
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Capı́tulo 3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas / FDA
Ejemplo 3.13 (p. 96) Cont. Ejemplo 3.10
Y = “número de determinaciones de tipo de sangre”
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Capı́tulo 3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas / FDA
Ejemplo 3.14 (p. 96) Fda de la distribución geométrica
p(x) =
{
(1− p)x−1 × p, x = 1,2, . . .
0, e.o.c.
1 F (x) =?
2 Gráfico de F (x)
3 Calcule pX (3) a partir de la fda
4 Calcule P(2 ≤ X ≤ 4)
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Capı́tulo 3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas / FDA
Ejemplo 3.14 Solución
1 Sea x ≥ 1, un entero. Ası́ p(x) = (1− p)x−1 × p.
Sea q = 1− p.
F (x) =
x∑
i=1
p(i) =
x∑
i=1
(1− p)i−1 × p
= p ×
x−1∑
j=0
qj = p × 1− q
x
1− q
= 1− (1− p)x .
La fórmula anterior es para x entero. Para x ∈ R arbitrario,
F (x) =
{
0, x < 1
1− (1− p)bxc, bxc ≤ x < bxc+ 1 ,
donde bxc = parte entera de x .
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Capı́tulo 3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas / FDA
1 Gráfico de F (flechas/escalones continuan hacia la
derecha acercándose a 1 por abajo)
2 pX (3) = F (3)− F (2) = (1− (1− p)3)− (1− (1− p)2)
= (1−p)2− (1−p)3) = (1−p)2(1− (1−p)) = p× (1−p)2.
3 P(2 ≤ X ≤ 4) = F (4)−F (1) = (1−(1−p)4)−(1−(1−p)1)
= (1− p)− (1− p)4 = (1− p)× (1− (1− p)3).
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Capı́tulo 3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas / FDA
Proposición
Sean a y b dos (números) reales tales que a ≤ b. Entonces,
P(a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a−),
donde, a− = mayor valor posible de X estrictamente
a la izquierda de a.
En particular: si (rango de X ) X (S) = Z (enteros), y si a,b,
son enteros tales que a < b, entonces,
P(a ≤ X ≤ b) = P(X ∈ {a,a + 1, . . . ,b})
= F (b)− F (a− 1).
Con a = b, uno obtiene P(X = a) = F (a)− F (a− 1).
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Capı́tulo 3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas / FDA
Ejemplo 3.15 (p 98) Número de dı́as de ausencia por enfermedad
Dado F (x), calcule P(a ≤ X ≤ b) y P(X = a)
Estudio individual
Su tarea
Resolver: Ejercicios 11-28, pp 98 - 100 (Devore)
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Capı́tulo 3
3.2 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas / FDA
Ejercicio 24 (p. 99)
Una compañı́a de seguros ofrece a sus asegurados varias
opciones de pago de primas.
Para un asegurado seleccionado al azar, sea
X = número de meses entre pagos sucesivos.
La función de distribución acumulativa es la siguiente:
F (x) =

0 x < 1
0.30 1 ≤ x < 3
0.40 3 ≤ x < 4
0.45 4 ≤ x < 6
0.60 6 ≤ x < 12
1.00 x ≥ 12
a. ¿Cuál es la función de masa de probabilidad de X?
b. Use la función de distribución acumulada para calcular
P(3 ≤ X ≤ 6) y P(4 ≤ X ).
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Capı́tulo 3
3.3 Valores esperados de vvaa discretas
Estudie las Secciones: 3.3 Valores Esperados
3.4 Distribución de probabilidad binomial
3.5 Distribuciones hipergeométricas y
binomiales negativas
3.6 Distribución de probabilidad Poisson
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Capı́tulo 3
3.3 Valores esperados de vvaa discretas
Ejemplo introductorio:
Una universidad tiene 15000 estudiantes
Sea X = “número de cursos que un estudiante inscribe”
Función de frecuencia y frecuencia de alumnos que inscriben x
cursos (x = 1, . . . ,7)
x 1 2 3 4 5 6 7
pX (x) 0.01 0.03 0.13 0.25 0.39 0.17 0.02
No inscritos 150 450 1950 3750 5850 2550 300
Promedio de cursos inscritos por alumno:
1× 150 + 2× 450 + 3× 1950 + 4× 3750 + 5× 5850 + 6× 2550 + 7× 300
15000
= 4.57
Esta suma es de la forma:
1×p(1)+2×p(2)+3×p(3)+4×p(4)+5×p(5)+6×p(6)+7×p(7)
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Capı́tulo 3
3.3 Valores esperados de vvaa discretas
Ejemplo introductorio (cont.):
En un estudio con los datos:
x 1 2 3 4 5 6 7
No. inscritos 150 450 1950 3750 5850 2550 300
Uno puede calcular el número promedio de cursos por alumnos
(que arroja 4.57 cursos por alumno).
Considere el siguiente ejemplo que no usa datos
(pero usa una distribución de probabilidad)
Lance un dado con 7 caras. Ud. recibe un premio asociado a
cada cara:
x (cara) 1 2 3 4 5 6 7
pX (x) 0.01 0.03 0.13 0.25 0.39 0.17 0.02
Premio S ($) 1 2 3 4 5 6 7
Este ejemplo motiva la siguiente definición
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Capı́tulo 3
3.3 Valores esperados de vvaa discretas
Definición: valor esperado de una va discreta
Sea X una va discreta con un conjunto de valores posibles D
(es decir X (S) = D) y función de frecuencia p(x). El valor
esperado o valor medio de X , es
E(X ) = µX =
∑
x∈D
{x × p(x)} .
Nota: Si D = {xi : i = 1, . . . ,n}, entonces E(X ) =
∑n
i=1 xi × p(xi).
Si D = {xi : i = 1,2, . . .}, entonces E(X ) =
∑∞
i=1 xi × p(xi).
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Capı́tulo 3
3.3 Valores esperados de vvaa discretas
Ejemplo 3.16 (p. 101) (estudio individual)
Considere la tabla del ejemplo introductorio
(Lance un dado con 7 caras. Ud. recibe un premio asociado a
cada cara)
x (cara) 1 2 3 4 5 6 7
pX (x) 0.01 0.03 0.13 0.25 0.39 0.17 0.02
Premio S ($) 1 2 3 4 5 6 7
Si usted concibe un espacio muestral finito donde un individuo
obtiene puntaje x con probabilidad p(x), entonces el valor
esperado tambien se llama “media poblacional”
Nota: En este ejemplo el valor esperado es µX = 4.57.
Este valor no es uno de los valores de la VA X .
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Capı́tulo 3
3.3 Valores esperados de vvaa discretas
Ejemplo 3.17 (p. 101) Escala Apgar (estudio individual)
Ejemplo 3.18 (p. 101) Valor esperado de una va Bernoulli(p)
Ejemplo 3.19 (p. 101) Valor esperado de una va
Geométrica: Geom(p)
Ejemplo 3.20 (p. 101) (estudio individual)
Una va con valor esperado no finito.
Función frecuencia:
p(x) =
{
k/x2, x = 1,2,3, . . .
0, e.o.c.
La serie:
∑∞
i=1 xp(x) es k
∑∞
i=1(1/x).
Esta serie no converge. Luego,
el valor esperado de X no existe
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Capı́tulo 3
3.3 Valores esperados de vvaa discretas
Valor esperado de una función de una va
En muchas situaciones interesa el valor esperado de h(X ) en
lugar del valor esperado de X .
Ejemplo 3.21:Función de una va; Inventario de Libros
Una librerı́a adquiere diez (10) ejemplares de un libro a $6.00
cada uno, para venderlos a $12.00.
Después de 3 meses, la librerı́a puede devolver los ejemplares
que no vendió por $2.00 c\u.
Si X es el número de ejemplares vendidos, entonces
el ingreso neto es,
h(X ) = 12X + 2(10− X )− (6× 10) = 10X − 40,
con Rec(X ) = {0,1, . . . ,10}
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Capı́tulo 3
3.3 Valores esperados de vvaa discretas
El enfoque inmediato para calcular el valor esperado de h(X )
usa la definición de este valor:
Defina la va Y = h(X ), y luego use la definición de valor
esperado con Y ,
E(Y ) =
∑
y∈Rec(Y )
y × pY (y).
Nota: Rec(Y ) es Y (S) = h(X(S))
Este enfoque es inconveniente porque el cálculo de la función
frecuencia pY (y) es a menudo engorroso
El siguiente ejemplo sugiere una forma generalmente más
expedita para calcular E(h(X ))
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Capı́tulo 3
3.3 Valores esperados de vvaa discretas
Ejemplo 3.22 Sea X el número de cilindros del motor de un
auto que va a ser afinado.
El costo del afinamiento depende de X :
h(X ) = 20 + 3X + 0.5X 2.
Como X es una variable aleatoria, también lo es h(X ).
Denote esta va por Y . Es decir, Y = h(X ).
x 4 6 8
h(x) 40 56 76
p(x) .5 .3 .2
D∗ = Y (S) = {40,56,76}
E(Y ) =
∑
D∗ ypY (y) = . . . =
∑
D h(x)pX (x) = E [h(X )]
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Capı́tulo 3
3.3 Valores esperados de vvaa discretas
Proposición
Sea X va con función frecuencia pX . Sea h(x) una función
definida sobre X (S) y con valores en R. Entonces,
E(h(X )) =
∑
x∈X(S)
h(x)× pX (x).
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Capı́tulo 3
3.3 Valores esperados de vvaa discretas
Ejemplo 3.21: (Cont.) Función de una va; Inventario de Libros
Cálculo con
Recuerde: h(X ) = 10X − 40, X (S) = {0,1, . . . ,10},
El problema ahora es calcular E(X ) =
∑10
i=0 i × pX (i)
El enunciado no provee la función de frecuencia pX .
Suponga que X es uniforme sobre X (S) :
pX (i) = 1/11, i ∈ X (S).
E(X ) =
∑10
i=0 i × pX (i) =
1
11 ×
10×11
2 = 5.
Cálculo simple de E(X ) con
x <- 0:10 # guardar en x los valores de X
x # hacer que R muestre el contenido de x
p X <- rep(1/11,11) # calcular frecuencias
p X # R muestra el contenido de p X
x * p X
sum(x*p X) # Calculo del valor esperado
sum( 0:10 )/11 # Calculo de E(X) en una linea
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Capı́tulo 3
3.3 Valores esperados de vvaa discretas
Ejemplo 3.21: (Cont.) Función de una va; Inventario de Libros
Cálculo con
Recuerde: h(X ) = 10X − 40, X (S) = {0,1, . . . ,10},
Cálculo simple de E(h(X )) con
h.x <- 10*x - 40 # valores de h(x),
# con x<-0:10
h.x * p X # calculo intermedio
sum( h.x*p X ) # Calculo E(h(X))
Definición de función en R:
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Capı́tulo 3
3.3 Valores esperados de vvaa discretas
Ejemplo 3.21: (Cont.) Función de una va; Inventario de Libros
Cálculo con
Recuerde: h(X ) = 10X − 40, X (S) = {0,1, . . . ,10},
Cálculo simple de E(h(X )) con
h<-function(x)10*x - 40
# definicion de la funcion h(x) en R
h(5) # ejemplo:argumento es un numero
x<-0:10
h(x) # argumento es el arreglo 0:10
h.x <- h(x) # guarde los valores de h(x) in h.x
h.x * p X # ver resultado intermedio
sum( h.x*p X ) # calculo E(h(X))
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Capı́tulo 3
3.3 Valores esperados de vvaa discretas
Cuidado!!
En general, E(h(X )) 6= h(E(X )).
Ejemplo: Sea X una va con pX (0) = 1/2,pX (2) = 1/2.
Luego, E(X ) = 1
Sea Y = h(X ) = X 2. Luego,
Rec(Y ) = {0,4}, y pY (0) = 1/2, pY (4) = 1/2.
E(Y ) = 4× (1/2) = 2. Ası́,
h(E(X )) = h(1) = (1)2 = 1, pero
E(h(X )) = E(Y ) = 2.
Ejemplo 3.23 Venta de Computadores (Estudio individual)
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Capı́tulo 3
3.3 Valores esperados de vvaa discretas
Reglas de Valor Esperado (p. 104)
Proposición
Sea X una variable aleatoria. Sea h(x) = ax + b. Entonces,
E(aX + b) = aE(X ) + b.
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Capı́tulo 3
3.3 Valores esperados de vvaa discretas / Varianza
Definición de varianza (caso discreto) (p. 105)
Sea X una va discreta con función de frecuencia pX y valor
esperado µ = E(X ). Se define la varianza de X como,
Var(X ) = σ2X =
∑
x∈X(S)
(x − µ)2 × pX (x) = E((X − µ)2).
La desviación estándar de X es σX =
√
σ2X .
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Capı́tulo 3
3.3 Valores esperados de vvaa discretas / Varianza
Ejemplo 3.24 (Ej. 3.22. Cont.) Número de cilindros de un auto
(Estudio individual)
x 4 6 8
p(x) .5 .3 .2
E(X ) = 5.4
Var(X ) = σ2X =
∑
x=4,6,8
(x − 5.4)2 × p(x)
= (4− 5.4)2 × 0.5 + (6− 5.4)2 × 0.3 + (8− 5.4)2 × 0.2
= 2.44.
σX =
√
2.44 = 1.562.
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Capı́tulo 3
3.3 Valores esperados de vvaa discretas / Varianza
Fórmula abreviada para la varianza (p. 105)
Var(X ) = E(X 2)− µ2 = E(X 2)− E(X )2.
Ejemplo 3.25 (p. 105) Número de cilindros de un auto
(Estudio individual)
E(X ) = 5.4
E(X 2) =
∑
x=4,6,8
x2 × p(x)
= 42 × 0.5 + 62 × 0.3 + 82 × 0.2
= 31.6
Var(X ) = E(X 2)− E(X )2 = 31.6− 5.42 = 2.44
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Capı́tulo 3
3.3 Valores esperados de vvaa discretas / Varianza
Reglas para la varianza (p. 105)
Var(aX + b) = σ2aX+b = a
2σ2X , y σaX+b = |a|σX .
En particular,
σaX = |a|σX , y σX+b = σX .
Ejemplo 3.26 (p. 106) Ventas de computadoras del ej. 3.23
(Estudio individual)
Ejercicios Sec. 3.3 (29-45) Hacerlos TODOS
Problema 34: averigue el valor de la serie que necesita.
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Capı́tulo 3
3.4 Distribución de probabilidad binomial
Muchos experimentos tienen exacta o aproximadamente las
siguientes caracterı́sticas:
1 El experimento consta de una secuencia de n
experimentos Bernoulli, llamados ensayos, donde n se fija
antes del experimento.
2 Cada ensayo da por resultado uno de los mismos dos
resultados posibles (ensayos dicotómicos), que se
denotan como éxito (E) y falla (F).
3 Los ensayos son independientes: el resultado en cualquier
ensayo particular no influye en el resultado de cualquier
otro ensayo.
4 La probabilidad de éxito es constante de un ensayo a otro;
esta probabilidad se denota por p.
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Capı́tulo 3
3.4 Distribución de probabilidad binomial
Experimento binomial
Un experimento que satisface las condiciones 1-4 se llama
experimento binomial
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Capı́tulo 3
3.4 Distribución de probabilidad binomial
Ejemplo 3.27. Lanzamiento de moneda
(descripción, población no finita,
experimento es binomial).
Ejemplo 3.28. Color de semillas de arvejas
(descripción, población no finita,
experimento es binomial).
Ejemplo 3.29. Restaurantes
(descripción, población finita,
experimento no es binomial)
Ejemplo 3.30. Conductores con licencia
(población finita muy grande,
experimento es aproximadamente binomial)
Regla: Criterio para definir cuándo una población finita de
tamaño N permite usar el modelo binomial: n ≤ 0.05× N.
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Capı́tulo 3
3.4 Distribución de probabilidad binomial
Definición: VA binomial
La variable aleatoria binomial X asociada con un experimento
binomial que consiste en n ensayos se define como
X = número de E (éxitos) entre los n ensayos.
Notación: X ∼ Bin(n,p).
Notación (Devore)
b(x ;n,p) = función de frecuencia de una VA binomial con
parámetros n y p.
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Capı́tulo 3
3.4 Distribución de probabilidad binomial
Teorema
Sea p ∈]0,1[, y n > 0 entero.
b(x ;n,p) =
{ (n
x
)
px(1− p)n−x , x = 0,1, . . . ,n
0, e.o.c.
Parámetros de esta distribución: n y p.
Generalemente n es fijo, y p es el único parámetro.
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Capı́tulo 3
3.4 Distribución de probabilidad binomial
Notación (Devore)
B(x ;n,p) = P(X ≤ x) = función de distribución acumulada
de una VA binomial con parámetros n y p.
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Capı́tulo 3
3.4 Distribución de probabilidad binomial
Ejemplo 3.31. Bebidas de Cola
A cada uno de seis bebedores de refrescos de cola
seleccionados al azar se le sirve un vaso de refresco de cola A
y uno de refresco de cola B.
Los vasos son idénticos excepto por un código en el fondo para
identificar el refresco de cola.
Suponga que no hay una tendencia entre los bebedores de
refresco de cola de preferir un refresco de cola al otro.
Entonces, p = P(un individuo seleccionado prefiere A) = 0.5.
Sea X = número de individuos entre los seis que prefieren A,
X ∼ Bin(6,0.5). Por lo tanto,
P(X = 3) = b(3;6,0.5) =?
P(3≤ X ) =
∑6
x=3 b(x ;6,0.5)) =
∑6
x=3
(6
x
)
(0.5)x(0.5)6−x =?
P(X ≤ 1) =
∑1
x=0 b(x ;6,0.5) =?
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Capı́tulo 3
3.4 Distribución de probabilidad binomial
https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/
stats/html/Binomial.html
dbinom(x, size, prob, log = FALSE)
pbinom(q, size, prob, lower.tail = TRUE,
log.p = FALSE)
qbinom(p, size, prob, lower.tail = TRUE,
log.p = FALSE)
rbinom(n, size, prob)
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Capı́tulo 3
3.4 Distribución de probabilidad binomial
Advertencia: Si en una función usted
usa (argumento = valor), entonces R usa este valor sin ambiguedad.
no usa la forma (argumento = valor), entonces R asignaciona de valores a argumentos en el orden que
ellos aparecen en la definición de la función.
Ejemplo
dbinom(x, size, prob, log = FALSE)
# sintaxis de la definicion
dbinom(x=6, size=10, prob=0.5, log = FALSE)
dbinom(6, 10, 0.5) # asignacion de valores a
# argumentos en orden: x, size, prob
dbinom(x=6, size=10, prob=0.5)
# asignacion segun nombres x, size, prob
dbinom(prob=0.5, size=10, x=6)
# asignacion deseada dbinom(0.5, 10, 6)
# R usa x=0.5, size=10, prob=6
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Capı́tulo 3
3.4 Distribución de probabilidad binomial
Ejemplo 3.31. Bebidas Cola
P(X = 3) = b(x ;n,p) = b(3;6,0.5) =?
> dbinom(x=3, size=6, prob=0.5)
[1] 0.3125
P(X ≤ 1) = B(x = 1;n = 6,p = 0.5) =?
> pbinom(q=1, size=6, prob=0.5)
[1] 0.109375
P(3 ≤ X ) = 1− B(x = 2;n = 6,p = 0.5) =?
> 1 - pbinom(q=2, size=6, prob=0.5)
[1] 0.65625
Ejemplo. Calcule P(45 < X < 55) para X ∼ Bin(100,0.5)
Forma 1: con la función dbinom()
sum(dbinom(46:54, 100, 0.5))
Forma 2: con la función pbinom()
pbinom(54, 100, 0.5) - pbinom(45, 100, 0.5)
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Capı́tulo 3
3.4 Distribución de probabilidad binomial
Uso de funciones qbinom(), rbinom()
qbinom(p=0.109375, size=6, prob=0.5)
qbinom(p=0.11, size=6, prob=0.5)
Generación de números pseudo-aleatorios con distribución
binomial:
rbinom(n=1, size=6, prob=0.5)
# n = No. de experimentos
Ejemplo 3.32. Prueba de resistencia
Ejemplo 3.33. Servicio durante garantı́a (Estudio individual)
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Capı́tulo 3
3.4 Distribución de probabilidad binomial
Media y Varianza de la distribución Binomial
Sea p ∈]0,1[, y n > 0 entero.
Sea X una va con distribución Bin(n,p). Entonces,
E(X ) = np, y Var(X ) = npq,
donde q = 1− p.
Ejemplo
Gráfico de la función frecuencia Bin(n,p)
plot(x=0:10, dbinom(x=0:10, size=10, prob=.5),
xlab="x", ylab="p(x)" )
title(main="Funcion frecuencia Bin(n,p)")
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Capı́tulo 3
3.4 Distribución de probabilidad binomial
Ejemplo
Gráfico de la FDA Bin(n,p)
plot(x=0:10,y=pbinom(q=0:10,size=10,prob=.5),
xlab="x", ylab="F(x)")
title(main="FDA Bin(n,p)")
Ejemplo
Generación de números pseudo-aleatorioas Bin(n,p)
rbinom(n=1,size=10,prob=.5)
rbinom(n=20,size=10,prob=.8)
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Capı́tulo 3
3.4 Distribución de probabilidad binomial
Ejemplo 3.34 Número de compras con tarjeta de crédito.
(Estudio individual)
Ejercicios: Sec. 3.4 (46-67) (pp. 113-115). Hacerlos TODOS
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Capı́tulo 3
3.5 Distribuciones hipergeométricas y binomiales negativas
Distribución hipergeométrica
Las suposiciones que conducen a la distribución
hipergeométrica son las siguientes:
1 La población o conjunto de donde se toma la muestra se
compone de N individuos, objetos o elementos
(población finita).
2 Cada individuo puede ser caracterizado como éxito (E) o
fracaso (F) y hay M éxitos en la población.
3 Se selecciona una muestra de n individuos sin reemplazo
de tal modo que cada subconjunto de tamaño n es
igualmente probable de ser seleccionado.
Variable aleatoria de interés:
X = número de éxitos en la muestra.
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Capı́tulo 3
3.5 Distribuciones hipergeométricas y binomiales negativas
Esquema del experimento hipergeométrico
La distribución de probabilidad de X depende de los
parámetros n,M y N. La probabilidad de interés es,
P(X = x) = h(x ;n,M,N).
Ejemplo 3.35 (Estudio individual)
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Capı́tulo 3
3.5 Distribuciones hipergeométricas y binomiales negativas
Distribución Hipergeométrica
Sea X el número de éxitos (E) en una muestra aleatoria de
tamaño n, extraı́da de la población con M éxitos y (N −M)
fracasos.
La distribución de probabilidad de X se llama hipergeométrica,
y tiene función de frecuencia,
P(X = x) = h(x ;n,M,N) =
(M
x
)
×
(N−M
n−x
)(N
n
) ,
con x entero tal que max(0,n − N + M) ≤ x ≤ min(n,M).
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Capı́tulo 3
3.5 Distribuciones hipergeométricas y binomiales negativas
Distribución Hipergeométrica: notaciones Devore y R
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Capı́tulo 3
3.5 Distribuciones hipergeométricas y binomiales negativas
Ejemplo 3.36: Doble muestreo
Investigadores sospechan que un cierto animal está en peligro
de extinción en una cierta región.
Los investigadores capturan, marcan y luego liberan cinco
individuos (animales) para que se mezclen con la población.
Después de mezclarse, se selecciona una muestra aleatoria de
10 de estos animales.
Sea X el número de animales marcados en la segunda
muestra.
Si hay 25 animales en la región de estudio, calcule la
probabilidad de los eventos:
a) X = 2 y b) X ≤ 2
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Capı́tulo 3
3.5 Distribuciones hipergeométricas y binomiales negativas
https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/
stats/html/Hypergeometric.html
dhyper(x, m, n, k, log = FALSE)
phyper(q, m, n, k, lower.tail = TRUE,
log.p = FALSE)
qhyper(p, m, n, k, lower.tail = TRUE,
log.p = FALSE)
rhyper(nn, m, n, k)
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Capı́tulo 3
3.5 Distribuciones hipergeométricas y binomiales negativas
x, q
vector of quantiles representing the number of
white balls drawn without replacement from an urn
which contains both black and white balls.
m
the number of white balls in the urn.
n
the number of black balls in the urn.
k
the number of balls drawn from the urn.
continua...
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Capı́tulo 3
3.5 Distribuciones hipergeométricas y binomiales negativas
p
probability, it must be between 0 and 1.
nn
number of observations. If length(nn) > 1,
the length is taken to be the number required.
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Capı́tulo 3
3.5 Distribuciones hipergeométricas y binomiales negativas
Ejemplo 3.36: Doble muestreo (cont.)
n = 10 = tamaño de la muestra
M = 5 = número de animales marcados
N = 25 = número de animales
P(X = x) = h(x ;n,M,N) = (
M
x )×(
N−M
n−x )
(Nn)
,
a) P(X = 2) = h(x = 2;n = 10,M = 5,N = 25) =
b) P(X ≤ 2) =
∑2
x=0 h(x ;n = 10,M = 5,N = 25) =
Sol: a)
dhyper(x=2, m=5, n=25-5, k=10, log = FALSE)
[1] 0.3853755
Sol: b)
phyper(q=2, m=5, n=25-5, k=10, log = FALSE)
[1] 0.6988142
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Capı́tulo 3
3.5 Distribuciones hipergeométricas y binomiales negativas
Ejemplo 3.36: Doble muestreo (cont.)
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Capı́tulo 3
3.5 Distribuciones hipergeométricas y binomiales negativas
Proposición
Sea X una variable aleatoria hipergeométrica con función de
frecuencia h(x ;n,M,N). Entonces,
E(X ) = n × M
N
Var(X ) =
N − n
N − 1
× n × M
N
×
(
1− M
N
)
.
Si p = M/N = fracción de E en la población de N artı́culos,
entonces,
E(X ) = n × p
Var(X ) =
N − n
N − 1
× n × p × (1− p).
N−n
N−1 = factor de corrección por población finita.
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Capı́tulo 3
3.5 Distribuciones hipergeométricas y binomiales negativas
Distribución binomial negativa (BN)
La distribución BN modela experimentos que satisfacen las
siguientes condiciones.
1 El experimento consiste en una secuencia de ensayos
independientes.
2 Cada ensayo puede dar por resultado un éxito (E) o un
fracaso (F).
3 La probabilidad de éxito es constante de un ensayo a otro,
por lo tanto P(E en el ensayo i) = p, i = 1,2,3, . . . .
4 El experimento continúa hasta observar r éxitos, donde r
es un entero positivo pre-especificado.
Variable aleatoria de interés:
X = número de fracasos que preceden al éxito r
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Capı́tulo 3
3.5 Distribuciones hipergeométricas y binomiales negativas
Esquema del experimento binomial negativo
Nota: la definición de la va de interés puede cambiar.
Se usa también:
Y = número de ensayos hasta que se observa el éxito r
X (S) = {0,1,2, . . .}Y (S) = ?
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Capı́tulo 3
3.5 Distribuciones hipergeométricas y binomiales negativas
Esquema del experimento binomial negativo
La función de frecuencia de X es (P(E) = p,0 < p < 1),
P(X =x ; r ,p) = nb(x ; r ,p)
=P(r − 1 E’s en los primeros x + r − 1 ensayos )× P(E)
=
(
x + r − 1
r − 1
)
pr−1(1− p)x × p =
(
x + r − 1
r
)
pr (1− p)x ,
x = 0,1,2, . . . .
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Capı́tulo 3
3.5 Distribuciones hipergeométricas y binomiales negativas
http://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/
stats/html/NegBinomial.html
dnbinom(x, size, prob, mu, log = FALSE)
pnbinom(q, size, prob, mu, lower.tail = TRUE,
log.p = FALSE)
qnbinom(p, size, prob, mu, lower.tail = TRUE,
log.p = FALSE)
rnbinom(n, size, prob, mu)
Nota: argumentos x y size correponden a x y r en el texto de
Devore.
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Capı́tulo 3
3.5 Distribuciones hipergeométricas y binomiales negativas
size
target for number of successful trials,
or dispersion parameter (the shape parameter
of the gamma mixing distribution).
Must be strictly positive, need not be integer.
prob
probability of success in each trial.
0 < prob <= 1.
mu
alternative parametrization via mean: see Details.
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Capı́tulo 3
3.5 Distribuciones hipergeométricas y binomiales negativas
Ejemplo 3.38: Estudio individual (p. 119)
El caso especial r = 1: distribución geométrica.
Función frecuencia:
nb(x ; r = 1,p) = (1− p)x × p, x = 0,1,2, . . .
Nota: en una secuencia de ensayos Bernoulli con p = P(E),
X = número de Fs antes del primer E
E(X ) =?
Y = número de ensayos hasta observar el primer E.
Y = X + 1
E(Y ) =? = E(X ) + 1.
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Capı́tulo 3
3.5 Distribuciones hipergeométricas y binomiales negativas
Proposición
Si X es una variable aleatoria binomial negativa con función
frecuencia nb(x ; r ,p), entonces
E(X ) =
r(1− p)
p
, Var(X ) =
r(1− p)
p2
Ejercicios Sec. 3.5 (68-78) (pp. 120-121). Hacerlos TODOS
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