Guia de Sumatória de Matemática

Vista previa del material en texto

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
GUIA - SUMATORIA
(1) En cada caso, escriba usando sumatoria:
• 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·+ 109 · 110.
• 1
2
+
2
3
+
3
4
+ · · ·+ 100
101
.
• 5
3
+
10
6
+
15
9
+ · · · (n términos.
• n
n + 1
+
n + 1
n + 2
+
n + 2
n + 3
+ · · ·+ 2n
2n + 1
.
• 1
2 · 4 · 6
+
2
3 · 5 · 7
+
3
4 · 6 · 8
+ · · ·+ 100
101 · 103 · 105
.
• 4
5
+
4 · 7
5 · 8
+
4 · 7 · 10
5 · 8 · 11
+ · · ·+ 4 · 7 · 10 · · · (3n + 1)
5 · 8 · 11 · · · (3n + 2)
.
• 1 + 2
1 + 2
+
3
1 + 2 + 3
+ · · ·+ 16
136
.
• 1 + 4
1 + 2
+
9
1 + 2 + 3
+ · · ·+ 256
136
.
(2) Calcule
•
n∑
i=1
(3i + 2 + i2). •
n∑
i=1
(i + 1)i. •
n∑
i=1
3i(i2 + 1).
•
n∑
i=1
(3i + 2i2 − 7i3). •
n∑
i=1
3(i2 + n − i)i. •
5n∑
i=1
(ni + 1)i.
(3) Conjeture un resultado para
n∑
k=1
(−1)k+1k2
y demuéstrelo por inducción.
(4) Conjeture un resultado para la suma de n términos
1 + (3 + 5 + 7) + (9 + 11 + 13 + 15 + 17) + · · ·
y demuestre su conjetura. (cada expresión entre paréntesis es un término).
(5) Calcule
•
n∑
i=1
1
i(i + 1)
. •
n∑
k=1
k!(k2 + 1). •
n∑
k=1
2kk
(k + 2)!
.
•
n∑
k=1
k + 2
2kk(k + 1)
. •
n∑
k=1
k
(k + 1)!
. •
n∑
k=1
2k − 1
k(k + 1)(k + 2)
.
1
2 GUIA - SUMATORIA
(6) Observando lo siguiente
1 = 1
3 + 5 = 8
7 + 9 + 11 = 27
13 + 15 + 17 + 19 = 64
21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125,
conjeture la forma de la fila n de este arreglo, ocupe sumatoria y demuestre que la
igualdad es verdadera.
(7) Calcule la suma de todos los los números en el siguiente “cuadrado”
1 2 3 · · · n
2 4 6 · · · 2n
3 6 9 · · · 3n
...
...
...
. . .
...
n 2n 3n · · · n2
(8) Calcule la suma con n términos
2
3
+
2 · 4
3 · 5
+
2 · 4 · 6
3 · 5 · 7
+ · · ·+ 2 · 4 · 6 · · · 2n
3 · 5 · 7 · · · (2n + 1)
.
(si llama ak al término general de la suma de arriba, verifique que ak = vk+1 − vk,
donde
vk =
2 · 4 · 6 · · · 2k
1 · 3 · 5 · 7 · · · (2k − 1)
).
(9) Calcule
10∑
j=1
n∑
k=1
2(j · k + j).
100∑
j=1
3∑
k=0
jk.
(10) Demuestre que
∀n ∈ IN ,
2n∑
k=1
(−1)k+1 1
k
=
n∑
k=1
1
n + k
.
PROFESOR HUGO FREYHOFFER I.
E-mail address: hugo@mat.puc.cl