Razonamiento Matemático 4

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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) 
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta 
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión 
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, 
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna 
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de 
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su 
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de 
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o 
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su 
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección 
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación 
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales 
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos 
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída 
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la 
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier 
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia 
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de 
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. 
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de 
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su 
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda 
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia 
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y 
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a 
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente 
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y 
principios de las Naciones Unidas. 
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a 
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin 
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y 
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá 
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho 
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de 
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1.	 Toda	persona	tiene	derecho	a	la	libertad	de	reunión	y	de	asociación	pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, 
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las 
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta 
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de 
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto 
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida 
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los 
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al 
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a 
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el 
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por 
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y 
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme 
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por 
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa 
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una 
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas 
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así 
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el 
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; 
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, 
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de 
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. 
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho 
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, 
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La 
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional 
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual 
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana 
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades 
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre 
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el 
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento 
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que 
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de 
la	comunidad,	a	gozar	de	las	artes	y	a	participar	en	el	progreso	científico	y	
en	los	beneficios	que	de	él	resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y 
materiales	que	le	correspondan	por	razón	de	las	producciones	científicas,	
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional 
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan 
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona 
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único 
fin	de	asegurar	el	reconocimiento	y	el	respeto	de	los	derechos	y	libertades	
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden 
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en 
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada	en	esta	Declaración	podrá	 interpretarse	en	el	sentido	de	que	confiere	
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y 
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los 
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
4
secundaria
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Razonamiento matemÁtico
Matemática
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® matemátIca delta 4, secundaria
 razonamiento matemático
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 mauro enrIque matto muzante
© derechos de edición, arte y diagramación
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capÍtulo I
delItos contra los derecHos de autor 
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menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa, 
el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, 
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una 
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier 
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y 
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios 
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el 
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con 
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total 
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución 
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma 
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o 
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, 
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior 
importe cada uno.
Conoce tu libro
En esta sección 
se encuentra la 
teoría del tema 
a desarrollar.
Tema
15
MateMática DELTA 4
 - RazonaMiento Mate
Mático
2
Análisis psicotécn
ico
En este tema se 
plantearán ejercici
os que sirven pa
ra desarrollar el p
roceso 
del pensamiento ló
gico y aptitudes q
ue se requieren p
ara enfrentar situa
ciones 
problemáticas. 
Para un mejor ente
ndimiento lo dividire
mos en: Series de 
figuras, Término ex
cluido, 
Analogías gráficas, 
Aptitud espacial.
Series de figuras
Permite evaluar la in
teligencia general y, 
más concretamente
, la capacidad de abs
tracción, 
que es la base de to
do el proceso menta
l.
Ponen en evidencia
 la capacidad para 
deducir los principio
s lógicos en base a
 unas 
figuras que siguen u
n orden lógico, es de
cir, que forman una 
verdadera serie, ya 
que van 
modificándose en de
terminado sentido.
El objetivo es descu
brir la relación que e
xiste entre todas las
 figuras de la serie p
ara así 
deducir la que contin
úa.
Las series de figura
s forman parte de la
s pruebas no-verbal
es, puesto que no c
ontienen 
palabras. Por eso m
ismo, se les denomi
na «libres de cultura
», ya que, para resp
onder a 
sus preguntas no se
 requiere saber leer 
ni escribir.
Ejemplo:
Señala la figura que
 continúa la serie grá
fica.
1 2
3 4
Término excluido
En este tipo de ejerc
icios el alumno debe
 descubrir la caracte
rística en común que
 tienen 
todos los elementos
 de la serie a excep
ción de uno de ellos
, el cual deberá ser 
excluido 
de la serie.
Ejemplo:
El cuadrado celeste
 gira dentro del cuad
rado blanco en sent
ido contrario a las ag
ujas del 
reloj. Deducimos en
tonces que la figura
 que continúa la ser
ie es la 2.
Si observamos bien
, notaremos que atr
ás del triángulo ver
de está un círculo v
erde, y 
atrás del triángulo b
lanco hay un círculo
 blanco; la figura D n
o cumple esta regla
, ese es 
el término excluído.
A B
C D
E
Los test psicotécnic
os 
son un ejemplo de 
las nuevas técnicas
 
de selección a 
las que recurren 
responsables de 
recursos humanos.
Los test psicotécnic
os 
evalúan las 
capacidades 
y aptitudes 
intelectuales del 
postulante en relaci
ón 
con el puesto que s
e 
oferta. En general, 
el seleccionador 
pretende conocer e
l 
grado de memoria, 
atención, destreza 
lingüística, numéric
a 
y administrativa, 
percepción, la 
habilidad para 
razonar y además 
características del 
postulante.
Para resolver los 
problemas de 
secuencias gráficas
, 
lo mejor que puede
s 
hacer es trabajar 
los elementos de la
 
figura por separado
.
Considera el giro en
 
sentido horario ( ) 
y 
el antihorario ( )
Según el movimient
o 
de las manecillas de
 
un reloj. 
Recu e rda
24
 Rpta. El primer término es 100.
 Se reparte caramelos a un grupo de niños en 
cantidades que forman una progresión aritmética. 
Al séptimo niño le tocó la mitad de lo que le tocó 
al último y a este el quíntuplo de lo que le tocó al 
primero, ¿cuántos niños son? Resolución:
 Halla la suma de los términos de an. 
 Resolución:
1
 Se define la sucesión cuyo término enésimo {an} 
cumple: an = an + 1 – an – 1 Además: a7 = a9 = 8 Calcula el valor de: a3 + a4 + a5 Resolución:
2
 La suma del sexto y duodécimo término de una 
progresión aritmética es 1800 y la relación del 
cuarto y duodécimo término es como 2 es 6. Halla 
el valor del primer término. Resolución:
3
4
 Calcula el valor de la razón de la sucesión 
geométrica.
 (3x – 3) ; (2x – 2) ;(x + 2) ; (x – 2) ; … Resolución: 
5
 Encuentra el valor de x en la sucesión. 45; 22; 7; 0; 0; 5; 12; x Resolución:
6
 Rpta. Son 17 niños.
an = an + 1 – an + 1
a8 = a9 – a7
 0 = 8 – 8
a7 = a8 + a6
 8 = 0 – (–8)
a6 = a7 – a5
–8 = 8 – 16
t1 t4
2k
t6
3k
1800 = 9k
 k = 200
 t1 = 100
t12k
2
45 ; 22 ; 7 ; 0 ; 0 ; 5 ; 12 ; x –23 –15 –7 0 5 7 5 8 8 7 5 2 –2 0 –1 –2 –3 –4
a5 = a6 – a4
16 = –8 – (–24)
 a4 = a5 – a3
–24 = 16 – 40
a3 + a4 + a5
40 + (–24) + 16 = 32
 Rpta. La suma es 2n2 + 3.
 Rpta. El valor de a3 + a4 + a5 es 32.
Rpta. El valor de x es 17.
Rpta. La razón vale .
2
3
5
6
10
11
17
18
; ; ;
1°
2k
6r
3k
10r
5k
7°
5k
n°
10k
r = 
T2
T1
r = 2(x – 1)
3(x – 1)
r = 23
2
3
x = 17
6r
3k
x
5k
=
x = 10r
7º + 10 = 17
1 2 ; 5 ; 10 ; 171 3 5 7
2 2 2
2 2 2
2 3 ; 6 ; 11 ; 18
1 3 5 7
A = 1 B = 0 C = 1
A = 1 B = 0 C = 2
∴ an = 
n2 + 1
n2 + 2
Tn = n2 + 1
Tn = n2 + 2
Ejercicios resueltos
; ... ; an
Para una mejor 
organización, 
se ha enumerado 
cada tema.
Enunciado
del problema
Título del tema 
Comentarios 
que refuerzan 
el desarrollo 
del tema.
Algoritmo de resolución
Folio 
Ejemplos desarrollados, 
en los que se explica 
didácticamente los 
pasos a ejecutar para 
hallar la respuesta.
Contenido teórico
Ejercicios resueltos
Conoce tu libro
Aquí encontrarás 
ejercicios planteados, 
los cuales resolverás en 
los espacios señalados 
siguiendo las indicaciones 
del docente.
65
MateMática DELTA 4 -
 RazonaMiento MateMá
tico
Ejercicios de aplicac
ión
 En una urna se
 tiene (5a + 4) ficha
s negras y 
 (4a + 1) fichas
 blancas. Determina
 el menor 
número de fichas que
 debe extraerse al az
ar para 
tener la certeza de (3
a + 2) blancas.
5
 Dentro de una ur
na depositamos 12 es
feras rojas, 
15 blancas, 20 negr
as, 36 azules y 52 
verdes, 
¿cuántas esferas ha
y que sacar como m
ínimo 
para estar seguro de
 haber extraído 12 de
 uno de 
los colores?
1
 En un juego d
e tiro al blanco, ¿c
uánta es la 
diferencia entre lo má
ximo y mínimo que se
 puede 
obtener con 3 tiros si c
ada zona permite un m
áximo 
de 2 tiros, si los dispa
ros deben dar en el ta
blero?
6
10 9 8 7 5 1
 César tiene en 
una urna 12 fichas 
numeradas 
del 1 al 12, ¿cuál es
 el mínimo número d
e fichas 
que ha de extraer pa
ra tener la certeza de
 haber 
obtenido 3 fichas num
eradas consecutivas?
2
3. En una bolsa ha
y 9 bolas blancas, 8 
bolas rojas, 
12 bolas azules, ¿c
uántas bolas como 
mínimo 
se deben extraer al a
zar para tener la cert
eza de 
haber obtenido 3 bola
s del mismo color?
3
 ¿Cuántas person
as se necesitan como
 mínimo en 
una habitación para 
tener la certeza que
 hayan 
tres personas nacida
s en el mismo mes?
4
 En la figura se
 muestran 8 moned
as pegadas 
de 2 soles colocadas
 sobre una mesa. ¿C
uál es 
el máximo número d
e monedas de 2 sol
es que 
pueden ser colocada
s alrededor de ellas?
7
2
2
2
2
2
2
2
2
 Se compran ca
misas cuyo precio u
nitario varía 
desde S/ 12 hasta S/
 21 y se vende cada u
na a un 
precio que varía desd
e S/ 18 hasta S/ 25. ¿
Cuál es 
la máxima ganancia 
que se puede obtene
r por la 
venta de 3 camisas? 
8
 Rpta. 
 Rpta. 
 Rpta. 
 Rpta. 
 Rpta. 
 Rpta. 
 Rpta. 
 Rpta. 
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución: Resolu
ción:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
84
Se lanzan tres dados legales al piso, ¿de cuántas 
maneras diferentes se pueden obtener resultados 
distintos en los tres dados? 
¿De cuántas maneras 3 fresadoras, 4 tornos, 
4 taladros y 2 cepillos pueden ordenarse en fila en 
un taller, de modo que el mismo tipo de máquina 
queden juntas?
Una alumna tiene 4 blusas, 3 pantalones, 2 faldas 
y 6 pares de zapatos. ¿De cuántas maneras 
diferentes se podrá vestir de manera que no 
puede utilizar falda y pantalón juntos? 
Un club tiene 20 miembros de los cuales 12 
son mujeres. ¿Cuántas juntas directivas de 3 
miembros: presidente, vicepresidente y secretario 
pueden formarse, si el presidente debe ser una 
mujer y el vicepresidente un hombre? 
¿Por cuántas rutas diferentes se puede ir de A a B?
La Municipalidad de Lima ha ordenado que las 
mototaxis sean amarillas y tengan las placas 
con 6 caracteres (3 letras seguidas de 3 dígitos). 
¿Cuántas placas diferentes se podrán formar? 
Hay 5 candidatos para presidente de un club, 6 para 
vicepresidente y 3 para secretario. ¿De cuántas 
maneras se pueden ocupar estos tres cargos?
¿De cuántas maneras se puede llenar una 
estantería, en la que caben 4 botellas, si se 
dispone de 6 botellas distintas?
El servicio de inteligencia de cierto país, desea 
enviar mensajes a sus agentes secretos. Solo 
quiere utilizar las siguientes letras: V, A, M, P, 
I, R, O. ¿Cuántas palabras claves de cinco 
letras pueden formarse, si ninguna letra puede 
repetirse?
A un certamen de belleza se presentaron 8 
candidatas; Richard desea escoger a 3 de ellas 
para que representen a las ciudades de Lima, 
Arequipa y Piura. ¿De cuántas maneras diferentes 
las podrá escoger?
De todos los números de 4 cifras que se pueden 
formar con los dígitos 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 
¿cuántos son impares?
De un grupo de 8 alumnos se desea escoger una 
comisión integrada por un presidente, un tesorero, 
un secretario. ¿De cuántas maneras diferentes 
podré escogerlos?
1
8
9
10
11
12
2
3
4
5
6
7
Practica y demuestra
A 120 B 180 C 140D 130 E 117
A 120 B 60 C 144D 72 E 288
A 148 B 320 C 330D 336 E 480
A 336 B 340 C 240D 180 E 120
A 1428 B 1716 C 1628D 1718 E 1728
A 108 B 64 C 128D 72 E 90
A 12 B 14 C 15D 20 E 24
A 186 000 B 165 888 C 3840D 100 000 E 200 000
A 2520 B 1550 C 1850D 1100 E 1200
A 24 B 120 C 360D 240 E 720
A 7560 B 4500 C 2520D 1260 E 3600
A 203 × 103 
B 273 × 103C 27 × 26 × 25 D 26 × 103E 26 × 25 × 24
A
B C
Enunciado 
del problema
Espacio para resolver 
el problema
En este espacio se ha 
planteado algunos 
problemas, los mismos 
que tendrás que resolver 
considerando el proceso 
seguido anteriormente.
Ejercicios de aplicación
Practica y demuestra
Nombre de 
la sección
Nombre de 
la sección
Índice
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
n.o de tema
resuelve 
problemas de 
cantidad
resuelve 
problemas de 
regularidad, 
equivalencia 
y cambio
resuelve 
problemas de 
movimiento, 
forma y 
localización
resuelve 
problemas 
de gestión 
de datos e 
incertidumbre
razonamiento lógico 6
- Problemas sobre parentesco y cerillos
- Problemas sobre distribuciones numéricas
sucesiones 21
- sucesión aritmética y geométrica
- sucesión de segundo grado
razonamiento inductivo 44
- Definición
- Casos particulares
operaciones matemáticas 51
- Definición. Operador matemático
- Operadores matemáticos arbitrarios. Propiedades
análisis psicotécnico 15
- Series de figuras y término excluido
- Analogías gráficas y aptitud espacial
sumatorias 37
- Definición
- Propiedades
series 28
- serie aritmética y geométrica
- series especial, notables y de orden superior
móviles 68
- Conceptos previos
- Fórmula general y auxiliares
análisis combinatorio I 79
- Principio aditivo y multiplicativo
- Permutación lineal
máximos y mínimos 60
- Problemas sobre certeza
- Intervalos de pesos
ecuaciones diofánticas 73
- Definición
- Criterios de solución: multiplicidad y cifras terminales
análisis combinatorio II 85
- Permutación circular y con elementos repetidos
- Combinación
porcentajes 91
- Definición. Porcentaje de una cantidad
- Aplicaciones comerciales.
competencias contenido pedagógico
6
Tema
Razonamiento lógico
1
a) Cuando lo que se necesita es hallar la relación parental existente de dos o más 
personas, los cuales se resuelven de manera regresiva, es decir, desde el final 
hasta el principio.
Ejemplo:
¿Cuál es la relación parentalque tengo con el esposo de la madre de la hija de la 
suegra de mi esposa? 
Resolución:
El esposo de la madre de la hija de la suegra de mi esposa
 Hija de Mi madre
 Madre de Mi hermana 
 Esposo de Mi madre
 Mi padre
Por lo tanto, esta persona es mi padre.
b) Cuando se da una lista de personas con el papel que cumplen dentro de una familia 
y lo que se tiene que hallar es el mínimo número de personas que puede haber 
para que se cumpla con la presencia de todos los elementos de la lista, los cuales 
se resuelven utilizando un diagrama tipo árbol genealógico.
Ejemplo:
En una reunión se puede apreciar que hay un abuelo, una abuela, dos padres, dos 
madres, tres hijas, un hijo, un yerno, dos hermanas, un hermano, dos nietas y un 
nieto. ¿Cuántas personas como mínimo habrá en dicha reunión?
Resolución:
De la primera lectura del problema se debe obtener el número de generaciones 
y los elementos, tanto de la primera como de la última generación. En el caso 
del problema planteado son tres generaciones (abuelos y nietos), en la primera 
generación se encuentra un abuelo y una abuela y en la última generación hay 
dos nietas y un nieto.
Problemas sobre parentesco
En este apartado se puede reconocer dos tipos de situaciones, con procedimientos 
diferentes para su resolución. A continuación se muestran ejemplos de estas situaciones.
1.a Generación
2.a Generación
3.a Generación
Recu e rda
Razonar es la 
actividad mental 
que permite lograr 
la estructuración y la 
organización de las 
ideas para llegar a 
una conclusión.
Debes recordar 
que para resolver 
problemas de 
razonamiento lógico 
matemático no 
requieren muchos 
conocimientos de 
matemática, la 
mayor parte de 
los problemas se 
resuelven utilizando 
matemática 
elemental (suma, 
resta, multiplicación, 
división, y nada 
más...), pero eso 
sí, debes aplicar 
mucho ingenio al 
momento de plantear 
la solución.
Estos problemas 
son comunes en 
los exámenes de 
admisión a institutos 
superiores, escuelas 
politécnicas, 
universidades 
y también en 
algunos concursos 
para postular 
a un puesto de 
trabajo (entrevistas 
laborales).
Es importante que 
tomes en cuenta 
lo aprendido en 
los años anteriores 
(lógica) al momento 
de resolver los 
problemas de este 
capítulo.
7MateMática Delta 4 - RazonaMiento MateMático
Ahora, se debe unir a la primera con la última generación buscando que se cumpla con 
la presencia de los demás elementos de la lista.
Problemas sobre cerillos
En este apartado se puede reconocer tres tipos de situaciones, con procedimientos 
diferentes para su resolución. A continuación se muestran ejemplos de estas situaciones.
Por lo tanto, se deben extraer 3 cerillos como mínimo para que no haya triángulos en 
el arreglo.
b) Cuando lo que piden es mover o trasladar una mínima cantidad de cerillos para 
cumplir un objetivo.
Ejemplo 1
Determina el mínimo número de cerillos que se deben mover para que haya una 
igualdad válida en el siguiente arreglo:
Por lo tanto, se debe mover un cerillo como mínimo para tener una igualdad válida.
Abuelo 
Padre
Hija
Madre
Nieta
Hija
Nieta
Hija
Abuela
Madre
Padre
Yerno
Nieto
Hijo
Resolución:
Recu e rda
Algunas definiciones 
a tomar en cuenta en 
los problemas sobre 
parentesco:
 - Tío(a): Hermano de 
uno de los padres 
de una persona.
 - Abuelo(a): Padre o 
madre de uno de 
los padres de una 
persona.
 - Primo(a): Hijo del 
tío de una persona.
 - Sobrino(a): Hijo del 
hermano de una 
persona.
 - Cuñado(a): 
Hermano del 
cónyuge de una 
persona./Cónyuge 
del hermano de 
una persona.
 - Suegro(a): Padre o 
madre del cónyuge 
de una persona.
Recuerda que en 
los problemas sobre 
cerillos (palitos de 
fósforo) se debe 
reconocer si tienes 
que mover, retirar o 
agregar palitos, así 
como, si tienes que 
construir una figura.
a) Cuando lo que piden es extraer una mínima cantidad de cerillos para cumplir un 
objetivo.
Ejemplo:
¿Cuántos cerillos se debe extraer como mínimo en el siguiente arreglo para que ya 
no exista ningún triángulo?
8
Ejemplo 2
El siguiente arreglo tiene forma de un pez, ¿cuántos cerillos se deben trasladar de 
lugar como mínimo para que el pez mire hacia el otro lado?
Resolución:
En este caso es recomendable colocar la figura inicial y la figura final, una al lado 
de la otra, para poder reconocer la estructura máxima que tienen en común y solo 
mover lo mínimo necesario.
Por lo tanto, se debe mover 3 cerillos como mínimo para que el pez mire al otro lado. 
c) Cuando lo que piden es elaborar construcciones con una mínima cantidad de 
cerillos.
 Ejemplo:
¿Cuántos cerillos se necesitan como mínimo para tener una figura en la que haya 
cuatro triángulos iguales?
Resolución:
Por lo tanto, se necesitan seis cerillos como mínimo para tener una figura con cuatro 
triángulos iguales.
Problemas sobre distribuciones numéricas
En este caso existen distintas variantes, es por esto que se desarrollará una de las 
más comunes, que son las distribuciones mágicas, en las cuales se distribuye un 
conjunto de números, de tal manera que parece una misma suma en distintos lugares 
de la distribución.
Ejemplo:
Distribuye los números del 1 al 9 en el siguiente arreglo, de tal manera que la suma de 
cada lado del triángulo sea 19 unidades. Halla el valor de a + b + c.
b
a c
Recu e rda
La Ley de la 
tricotomía es una 
proclamación formal 
de una propiedad 
que para muchos de 
los estudiantes es 
bastante obvia, al 
hacer comparaciones 
entre dos números. 
De acuerdo con 
la propiedad de la 
tricotomía, una de las 
relaciones tiene: 
 x > y, x = y o x < y 
Es decir, un número 
real puede ser 
positivo, negativo 
o cero. Este es el 
principio para la 
resolución de los 
problemas con 
balanzas, ya que el 
principio de estas es 
la comparación de los 
pesos.
Una distribución 
mágica es aquella 
que contiene una 
suma que aparece 
de manera constante. 
A esta se le conoce 
con el nombre de 
constante mágica.
En lógica, una 
contradicción es 
una incompatibilidad 
entre dos o más 
proposiciones. 
Por ejemplo, las 
oraciones «llueve 
y no llueve» y «ni 
llueve ni truena, 
pero llueve y 
truena» expresan 
contradicciones.
9MateMática Delta 4 - RazonaMiento MateMático
Resolución:
Como el problema dice que la suma en cada lado es 19 unidades, entonces S = 19.
3(19) = (1 + 2 + 3 + … + 9) + a + b + c
3(19) = + a + b +c
 57 = 45 + a + b + c
 12 = a + b + c
Por lo tanto, el valor de a + b + c es 12.
De manera general:
Problemas sobre principio de suposición
En este tipo de problemas se plantea casos en los que se debe utilizar la lógica para su 
solución, donde es importante que se reconozcan dos posibles situaciones:
Contradicciones: En las que las afirmaciones tienen valores de verdad opuestos, es 
decir, que si una de ellas es verdadera, la otra será falsa y viceversa.
Ejemplo:
Reafirmaciones: En las que las afirmaciones tienen valores de verdad equivalentes, 
es decir, que si una de ellas es verdadera, la otra también será verdadera y cuando la 
primera es falsa, la segunda también será falsa.
Ejemplo:
Ahora se aplica ese conocimiento en la solución de los problemas.
Ejemplo:
Cuatro hermanos son interrogados porque se desapareció un pedazo de torta del 
refrigerador, a lo que ellos contestaron:
S = a + b + e + d 
S = b + c + h + i (+) 
S = a + c + f + g
3S = (a + b + c + d + e + f + g + h + i) + a + b + c
 Suma de todos los números utilizados
9 × 10
 2
n(S)
n = Cantidad de veces que aparece la misma constante.
= +Suma de todos los números
Suma de los números
que se repiten
Raúl: «Tengo dos hermanos» V F
Miguel: «Raúl no tiene dos hermanos» F V
Juan: «Tengo 15 años» V F
Carlos: «Juan está mintiendo» F V
(≠) = 1V y 1F
= 1V y 1F(≠)
Ricardo: «Tengo tres hermanos» V F
Jorge: «Ricardo tiene tres hermanos» V F
Hugo: «Tengo 24 años» V F
Pedro: «Hugo está diciendo la verdad» V F
(=) = 2V o 2F
= 2Vo 2F(=)
b
S S
S
d h
e i
a f g c
Recu e rda
En lógica 
proposicional, una 
contradicción se 
define como una 
fórmula que resulta 
falsa para cualquier 
interpretación, es 
decir, para cualquier 
asignación de valores 
de verdad que se 
haga a sus fórmulas 
atómicas. Por 
ejemplo, la siguiente 
tabla demuestra una 
contradicción.
Reafirmar es un 
verbo que se refiere 
a la acción de afirmar 
otra vez algo. Afirmar, 
por su parte, consiste 
en ratificar, revalidar 
o confirmar alguna 
cosa. Podría decirse 
que la reafirmación 
es un paso 
posterior, aunque no 
imprescindible, de 
una afirmación.
Recuerda que 
la suma de los n 
primeros números 
naturales se calcula 
con la fórmula:
n(n + 1)
2
La suma de los n 
primeros números 
pares se calcula con 
la fórmula:
n(n + 1)
10
Jean Paul: Yo no me comí la torta.
Jean Pierre: Fue Ítalo.
Ítalo: Jean Pierre miente.
Aldo: Yo me comí la torta.
Si se sabe que solo uno de ellos miente y el resto dice la verdad. ¿Quién se comió la torta 
del refrigerador?
Resolución:
Como la afirmación que dice Aldo (yo me comí la torta) es verdadera, entonces el que se 
comió la torta fue él.
Por lo tanto, Aldo se comió la torta.
Jean Paul: Yo no me comí la torta. V 
Jean Pierre: Fue Ítalo. 
Ítalo: Jean Pierre miente. 
Aldo: Yo me comí la torta. V 
= 1V y 1F
Solo 
uno miente:
1F y 3V
(≠)
Problemas sobre relaciones temporales
En este tipo de problemas lo que se debe hacer es traducir el enunciado en una ecuación, 
donde el día de hoy es lo que se debe hallar (variable) y para esto es necesario tomar en 
cuenta lo siguiente:
Ejemplo:
Si el ayer del pasado mañana de hace 5 días fue jueves. ¿Qué día será el mañana del 
anteayer del pasado mañana?
Resolución:
Hoy: x
Si el ayer del pasado mañana de hace 5 días fue jueves.
x –1 + 2 –5 = jueves
x – 1 + 2 – 5 = jueves
 x – 4 = jueves
 x = jueves + 4
 x = lunes
El mañana del anteayer del pasado mañana.
lunes +1 –2 +2
lunes +1 – 2 + 2 = lunes + 1 = martes 
Por lo tanto, ese día será martes.
Hace 
n días …
Antes de
ayer Ayer Hoy Mañana
Pasado
mañana …
Dentro 
de n 
días
–n –2 –1 x +1 +2 +n
Recu e rda
Un cuadrado mágico 
es una distribución 
numérica de forma 
cuadrada en la que 
se cumple que la 
suma de los números 
ubicados en cada fila, 
columna y diagonal 
principales es la 
misma.
La suma de todos los 
puntos en un dado es 
21 y los números en 
las caras opuestas 
suman 7 puntos. Esto 
quiere decir, que el 
número que se le 
opone al 1 es el 6, al 
2 se le opone el 5 y al 
3 se le opone el 4.
Recuerda la cantidad 
de días que tiene 
cada mes:
Enero: 31
Febrero: 28 o 29
Marzo: 31
Abril: 30
Mayo: 31
Junio: 30
Julio: 31
Agosto: 31
Setiembre: 30
Octubre: 31
Noviembre: 30
Diciembre: 31
Febrero tendrá 29 
días cuando el año 
sea bisiesto.
11MateMática Delta 4 - RazonaMiento MateMático
Ejercicios resueltos
 Aldo dijo: «Yo no lo maté» F 
 Rony dijo: «Aldo miente» V
 Peter dijo: «Rony miente» F
 Carlos dijo: «Rony lo mató» F
= Contradic. 1V y 1F
= Contradic. 1V y 1F
 Coloca los números del 1 al 9, uno por círculo, 
de manera que las sumas de los números de 
cada lado del triángulo sea igual a 20. Da como 
respuesta la suma de los números que van en los 
vértices.
 Un fiscal estaba convencido que tres de las cuatro 
personas: Aldo, Rony, Peter o Carlos eran los 
asesinos de un delincuente. Cada uno de ellos 
hizo una afirmación, pero solo una de las cuatro 
afirmaciones es verdadera:
 Aldo dijo : «Yo no lo maté»
 Rony dijo : «Aldo miente»
 Peter dijo : «Rony miente»
 Carlos dijo : «Rony lo mató»
 ¿Quién no es el asesino?
6
3
 Rpta. Se deben mover 3 fichas.
 Rpta. La suma de los números de los vértices es 15.
1
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Se toma como modelo un cuadrado mágico de 3 × 3:
 Como solo 1 es cierto, entonces Rony debe decir 
la verdad porque sino habrían 2 ciertas.
 Como Carlos dice que Rony lo mató y esa 
afirmación es falsa, entonces Rony es inocente.
 Rpta. Rony no es el asesino.
 ¿Cuántas fichas se deben mover como mínimo 
para lograr que los números de las tres filas 
horizontales, las tres filas verticales y las dos 
diagonales presenten siempre la misma suma, si 
además se sabe que las fichas con los números 1, 
3 y 7 no se pueden mover?
5
7
5
3
6
1
8
2
9
4
2
9
4
7
5
3
6
1
8
b
S S
S
d h
e i
a f g
b
d h
e i
a f g c
c
3(S) = (1 + 2 + 3 + … + 9) + a + b + c
3(S) = + a + b +c
3(S) = 45 + a + b + c
3(20) = 45 + a + b + c
15 = a + b + c
9 × 10
2
 ¿Cuántos cerillos hay que cambiar de posición 
como mínimo, para obtener una figura que tenga 
10 cuadrados?
 Rpta. Hay que mover 4 palitos.
Resolución:
 Se tienen 81 bolas del mismo color y tamaño, pero 
una de ellas es un poco más pesada que las otras, 
que si tienen el mismo peso. Si se tiene una balanza 
de dos platillos, ¿cuál es el menor número de veces 
que se tiene que usar la balanza para detectar a la 
bola que pesa más?
 Resolución:
 Rpta. Se debe usar 4 veces la balanza.
 Por la ley de triconomía se debe dividir siempre en 
tres grupos.
2
27
3
9
1
27
3
9
1
27
3
9
1
ð 81 bolas
ð 9 bolas
ð 27 bolas
ð 3 bolas
1.º
2.º
3.º
4.º
 El triángulo de la figura está formado con 15 
monedas. ¿Cuál es el número mínimo de 
monedas que tendríamos que mover para que 
dicho triángulo apunte hacia abajo?
4
Resolución:
Inicial Final
 Rpta. Se debe mover 5 monedas.
7
5
6
1
2
9
3 8 4
12
Ejercicios de aplicación
 ¿Cuál es el menor número de palitos de fósforo 
que se deben mover para invertir el sentido de la 
flecha?
1
 En la siguiente cuadrícula coloca los números del 
1 al 12, sin repetir, de modo que la suma en las filas 
sea constante y lo mismo en las columnas. ¿Cuál 
es el mínimo valor de la suma de los números que 
van en las casillas sombreadas?
5
 En una reunión familiar se observa: 2 abuelos, 
 2 abuelas, 3 padres, 3 madres, 2 suegros, 
 2 suegras, 1 yerno, 1 nuera, 3 hijos, 2 hijas, 
 2 hermanos, 1 hermana, 2 nietos y 1 nieta. 
¿Cuántas personas como mínimo están presentes 
en dicha reunión?
6
 Si dentro de tres días ocurrirá que el mañana 
del antes de ayer del antes de ayer del pasado 
mañana de ayer será jueves. ¿Qué día fue el 
pasado mañana del mañana del ayer de hace 
3 días?
3
4 En una caja se tiene 36 bolas de billar del mismo 
tamaño, pero una de ellas tiene mayor peso que 
las otras, que sí tienen el mismo peso. Se desea 
reconocer la más pesada usando una balanza de 
dos platillos o de equilibrio. ¿Cuántas pesadas 
son indispensables como mínimo para determinar 
esa bola?
 En una hilera de diez vasos. Los cinco primeros 
están llenos de vino y los siguientes vacíos. 
¿Cuántos vasos como mínimo se deben mover 
para que los vasos llenos y los vacíos se alternen 
uno a uno?
2
 Rpta. Rpta. 
 Rpta. 
 Rpta. 
 Rpta. 
 Rpta. 
 Resolución: Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
13MateMática Delta 4 - RazonaMiento MateMático
 La figura I muestra 28 fichas circulares. ¿Cuántas 
fichas, como mínimo, deben trasladarse de lugar, 
para tener la misma distribución que la figura II?
8
Figura I Figura II
 En la figura colocar en cada círculo los números 
1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 y 10 sin repetición de manera 
que la suma de tres números unidos por una línea 
recta sea la misma y además lo máximo posible. 
Da como respuesta el valor de dicha suma. 
9
13 Se tiene una torta en forma de un cilindro recto, el 
cual se desea dividir en porciones. Si se efectúan 
4 cortes rectos con el cuchillo, manteniendo la 
torta en la misma posición ¿cuántas porciones 
como máximo se pueden obtener?
 Si el anteayer del mañana de pasado mañana 
será viernes. ¿Qué día fue ayer?
7 ¿Cuántas personas como mínimo se necesitan 
para formar 6 filas de cuatro personas cada una?
10
 ¿Cuál es el mínimo número de personas quese 
necesitan para formar 5 filas y en cada fila 4 personas?
11
 Un viajero llega a la orilla de un río llevando 
consigo un lobo, una oveja y una cesta con 
repollos. El único bote disponible es muy pequeño 
y no puede llevar más que al viajero y uno de sus 
bienes. Desgraciadamente si los deja solos, la 
oveja se comería los repollos o el lobo devoraría a 
la oveja. Si logró transportar todos sus bienes a la 
otra orilla. ¿Cuántas veces como mínimo cruzó el 
río en la canoa?
12
 Rpta. 
 Rpta. 
 Rpta. 
 Rpta. 
 Rpta. 
 Rpta. Rpta. 
 Resolución: Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
14
Practica y demuestra
 En la figura, distribuye los números del 1 al 12 de 
modo que la suma de los números que se hallan 
en cada lado del cuadrado sea 22. Da como 
respuesta la suma de los números que van en los 
vértices (a + b + c + d).
 A 12
 B 22
 C 10
 D 16 
 E 18
 En el siguiente cuadrado se ubican los 16 primeros 
números pares; además, al sumar en forma 
vertical, horizontal o diagonal resulta el mismo 
valor. Halla el valor de a + b + c + d.
 A 39
 B 68 
 C 62
 D 42
 E 48
 En una reunión se encuentran presentes un abuelo, 
una abuela, dos padres, dos madres, dos esposos, 
dos esposas, una tía, una nuera, un nieto, una nieta, 
un cuñado y una cuñada. ¿Cuántas personas como 
mínimo se encuentran presentes en la reunión? 
 A 6 B 7 C 8
 D 9 E 5
 Un juez comprobó que tres de los cuatro: Ariel, 
Jorge, Pedro o David eran los asesinos de Nemesio. 
Cada delincuente hizo una afirmación, pero solo 
una de las cuatro afirmaciones es verdadera:
 Ariel dijo: «Yo no lo maté»
 Jorge dijo: «Ariel miente»
 Pedro dijo: «Jorge miente»
 David dijo: «Jorge lo mató»
 ¿Quién no es el asesino?
 A Ariel B Jorge C Pedro
 D David E Ariel o Jorge
 En una reunión están presentes un bisabuelo, 
3 hijos, 3 padres, 2 nietos y un bisnieto. Cada 
uno lanzó dos dados obteniendo entre todos 17 
puntos. Si todos excepto el bisabuelo obtuvieron 
el mismo valor cada uno y la cantidad de personas 
reunidas es la mínima. ¿Cuál es el máximo valor 
obtenido por el bisabuelo? 
 A 9 B 7 C 11
 D 5 E 10
 Se tienen 127 bolas de billar del mismo color y 
tamaño, pero una de ellas pesa un poco más 
que las demás. Si se dispone de una balanza de 
2 platillos, ¿cuántas pesadas como mínimo se 
deben realizar para determinar con total seguridad 
cuál es la bola más pesada?
 A 2 B 3 C 4
 D 5 E 6
 En un lejano monte, hay dos civilizaciones, los de 
arriba (A) que siempre mienten y los de abajo (a) 
que siempre dicen la verdad. Un explorador llega 
hasta dicho monte y al entrar a una choza donde 
había dos personas de arriba y una de abajo, les 
hizo una pregunta a cada una y contestaron:
 El primero dijo: «Soy de abajo»
 El segundo dijo: «No soy de arriba»
 El tercero dijo: «El segundo dice la verdad»
 ¿A qué civilización pertenecen el primero, el 
segundo y el tercero, respectivamente?
 A a, a, A B A, A, A C A, A, a
 D a, a, a E a, A, A
 Una arañita sube durante el día 5 m y resbala 
durante la noche 3 m. ¿Cuántos días demorará en 
llegar a la cúspide de una torre de 145 m de altura?
1 6
3
8
2
9
7
5
a b
c d
a
d
b
c
 Si el mañana del pasado mañana del ayer de 
mañana de hace 3 días es miércoles. ¿Qué día 
será el ayer del pasado mañana del mañana de 
pasado mañana? 
4
 A lunes B miércoles C sábado
 D domingo E martes
 A 69 B 70 C 71
 D 72 E 73
Tema
15MateMática Delta 4 - RazonaMiento MateMático
2
Análisis psicotécnico
En este tema se plantearán ejercicios que sirven para desarrollar el proceso 
del pensamiento lógico y aptitudes que se requieren para enfrentar situaciones 
problemáticas. 
Para un mejor entendimiento lo dividiremos en: Series de figuras, Término excluido, 
Analogías gráficas, Aptitud espacial.
Series de figuras
Permite evaluar la inteligencia general y, más concretamente, la capacidad de abstracción, 
que es la base de todo el proceso mental.
Ponen en evidencia la capacidad para deducir los principios lógicos en base a unas 
figuras que siguen un orden lógico, es decir, que forman una verdadera serie, ya que van 
modificándose en determinado sentido.
El objetivo es descubrir la relación que existe entre todas las figuras de la serie para así 
deducir la que continúa.
Las series de figuras forman parte de las pruebas no-verbales, puesto que no contienen 
palabras. Por eso mismo, se les denomina «libres de cultura», ya que, para responder a 
sus preguntas no se requiere saber leer ni escribir.
Ejemplo:
Señala la figura que continúa la serie gráfica.
1 2 3 4
Término excluido
En este tipo de ejercicios el alumno debe descubrir la característica en común que tienen 
todos los elementos de la serie a excepción de uno de ellos, el cual deberá ser excluido 
de la serie.
Ejemplo:
El cuadrado celeste gira dentro del cuadrado blanco en sentido contrario a las agujas del 
reloj. Deducimos entonces que la figura que continúa la serie es la 2.
Si observamos bien, notaremos que atrás del triángulo verde está un círculo verde, y 
atrás del triángulo blanco hay un círculo blanco; la figura D no cumple esta regla, ese es 
el término excluído.
A B C D E
Los test psicotécnicos 
son un ejemplo de las 
nuevas técnicas de 
selección a las que 
recurren responsables 
de recursos humanos.
Los test psicotécnicos 
evalúan las 
capacidades y 
aptitudes intelectuales 
del postulante 
en relación con 
el puesto que se 
oferta. En general, 
el seleccionador 
pretende conocer el 
grado de memoria, 
atención, destreza 
lingüística, numérica 
y administrativa, 
percepción, la habilidad 
para razonar y además 
características del 
postulante.
Para resolver los 
problemas de 
secuencias gráficas, 
lo mejor que puedes 
hacer es trabajar los 
elementos de la figura 
por separado.
Considera el giro en 
sentido horario ( ) y 
el antihorario ( )
según el movimiento 
de las manecillas de 
un reloj. 
Recu e rda
16
Analogías gráficas
Una analogía es una relación de semejanza entre cosas distintas. El concepto permite 
referirse al razonamiento que se basa en la detección de atributos semejantes en seres 
o cosas diferentes. 
Una analogía, por lo tanto, es una comparación entre objetos, conceptos o experiencias. 
Al establecer una analogía, se indican características particulares y generales y se 
establecen las semejanzas y diferencias entre los elementos contrastados.
Por lo tanto, tenemos que descubrir la relación existente en la primera pareja de figuras, 
tomando como referencia siempre a la primera de ellas y aplicar la misma regla a una 
tercera figura para llegar a la respuesta.
Ejemplo:
En la primera figura, vemos un cuadrado conteniendo un círculo, y en la segunda, la 
inversa de ellos. En la tercera figura notamos un triángulo conteniendo un círculo, la 
siguiente figura será un círculo conteniendo un triángulo, la figura C.
Al armar el cubo, notaremos que el sólido D es el que corresponde al desarrollo mostrado.
A B C D
Aptitud espacial
Las pruebas psicotécnicas de aptitud espacial evalúan la capacidad de concebir, relacionar 
e imaginar figuras en el espacio.
Lo que se debe hacer es armar un sólido que se presenta de manera desarrollada 
(desarmada); esto lo podremos hacer descartando claves o armando físicamente dicho 
sólido.
Otro tipo de problema que se puede presentar es el de conteo de caras de un sólido, en 
el cual se debe determinar el número total de caras del sólido en sus vistas (frontal, lateral 
izquierda, lateral derecha, posterior, superior e inferior).
Ejemplo:
Señala el sólido que corresponde al siguiente desarrollo:
A) B) C) D)
Para visualizar un 
sólido puedes hacerlo 
en tu goma de borrar.
Las vistas de un 
sólido son:
superior
inferior
posterior
frontal
lateral
izquierdo
lateral
derecho
Las preguntas de 
término excluido 
sirven para discernir 
la mejor opción que 
no cumple con las 
características de las 
demás.
Las pruebas 
psicométricascon 
problema de análisis 
psicotécnico sirven 
para estimular su 
cerebro y mejorar 
su IQ (coeficiente 
intelectual).
 Si deseas seguir 
practicando 
puedes encontrar 
varios tipos de 
prueba de este 
tema en internet, 
solo tienes que 
buscarlo por su 
nombre: Pruebas 
psicotécnicas.
Obse rva
17MateMática Delta 4 - RazonaMiento MateMático
Ejercicios resueltos
 Señala la figura que cumple con la analogía.
 Resolución:
 Determina el total de caras del siguiente sólido:
 Resolución:
1
 Encuentra la figura que cumpla el arreglo.
 Resolución:
2
 Señala la figura que no guarda relación con las 
demás.
 Resolución:
3
4
 ¿Cuál cubo corresponde al desarrollo de la figura 
adjunta?
 Resolución:
5
6
 Halla la letra que sigue en la sucesión:
 A , B , D , G , M , ?
 Resolución:
A B C D E
A
A
A
B
B
C
C
C
D
D
E
E
?: :::
A B C D E
 A, B, D, G, M,
 1 2 4 7 13 20
 1 2 3 6 7
 ×2 +1 ×2 +1
Sigue la letra S
En cada fila debe aparecer una vez:
Dos flechas apuntadas a la derecha y una a la 
izquierda.
Se debe considerar seis vistas:
 Número de caras
Lateral derecha 3 +
Lateral izquierda 1
Frontal 1
Posterior 1
Superior 2
Inferior 2
 10
Para estar completamente seguro lo que se 
puede hacer es convertirlo de abstracto en 
concreto con el uso de un borrador común.
En la analogía la figura gira 90° en sentido 
antihorario, por lo tanto:
Se forman dos parejas iguales, A con E y B con D, 
por lo tanto la que no corresponde es C.
en la última fila
–90°
 Rpta. Letra S
 Rpta. 10
 Rpta. C Rpta. D
 Rpta. C Rpta. A
18
Ejercicios de aplicación
 Encuentra la figura que completa de manera 
correcta el siguiente arreglo.
 A B C 
 D E 
 Determina la figura que sigue en la sucesión.
 A B C 
 D E 
3
 Halla la letra que sigue.
 A , C , F , J , Ñ , ...
1
 Encuentra la ficha de dominó que sigue.2
4
 Señala la figura que no tiene relación.5
 ¿Qué números serán visibles en el siguiente cubo, 
de tal manera que cumpla con la estructura de la 
sucesión?
 A B C 
 D E 
6
 A P B H C T
 D E E G
 A 
 B 
 C 
 D 
 E 
 A 4;2 B 6;2 C 5;2
 D 3;5 E 1;6
19MateMática Delta 4 - RazonaMiento MateMático
 Determina la figura que cumple la analogía.
 A B C 
 D E 
 Encuentra el valor de x.
 A 8 B 7 C 6
 D 5 E 4
9
4 2 x
3 2 8
4 3 125 4 5
8 7 8
 Halla el valor de x.
 A 36 B 39 C 40
 D 41 E 55
7
6 ( 38 ) 8
5 ( 32 ) 7
7 ( x ) 6
 ¿Qué cubo corresponde al desarrollo de la figura 
adjunta?
 A B C 
 D E
12
8
: :: : ?
 ¿Cuál es figura que cumple con la analogía?
 A B C 
 D E 
11
: :: : ?
¿Cuántos cubos hay en total en la figura?
A 13 B 14 C 15
 D 16 E 17
10
20
 Encuentra el valor de x.
 Halla la letra que sigue.
A , B , A , C , B , H ,
 A E B I C J
 D F E G
 Determina el cubo que continúa en la sucesión.
 A B C 
 D E 
 Encuentra la cuarta figura que cumple con la analogía.
 (1) (2) (3) (4)
 A B C 
 D E 
 ¿Qué cubo corresponde al desarrollo de la figura?
 A B C 
 D E 
 ¿Qué figura continúa en la secuencia?
 A B C 
 D E 
 ¿Cuál de las opciones A, B, C, D o E encajaría en el 
círculo en blanco para formar una secuencia lógica?
 A B C 
 D E 
 Determina el total de cubos, como mínimo.
 A 20 
 B 22 
 C 23
 D 24
E 26
 ¿Qué figura no tiene relación con las demás?
 A B C 
 D E 
4 ( 16 ) 3
5 ( 15 ) 2
7 ( x ) 8
 Halla el valor de x.
 A 74 B 71 C 66
 D 72 E 58
1
6
7
8
9
10
2
3
4
5
3 2 4
59 19 x
4 5 35 2 6
: :: :
 A 35 B 49 C 63
 D 70 E 42
Practica y demuestra
Tema
21MateMática Delta 4 - RazonaMiento MateMático
Sucesiones
En este capítulo se desarrollará las sucesiones aritméticas, geométricas y de segundo 
grado.
Sucesión aritmética
Una sucesión aritmética es una secuencia numérica que se caracteriza porque sus 
términos presentan una razón aritmética constante.
Ejemplo:
• 5 ; 9 ; 13 ; 17 ; …
• 121 ; 119 ; 117 ; 115 ; …
Término enésimo
Es el término que representa a todos los términos de la progresión, ya que todos ellos 
tendrán la forma de este. Además, en una progresión de n términos el término enésimo 
será el último término. 
Tn = T1 + r(n – 1)
Siendo:
Tn : Término enésimo
T1 : Primer término
r : Razón aritmética constante
n : Posición del término
En el caso del primer ejemplo planteado:
• 5 ; 9 ; 13 ; 17 ; …
 Tn = T1 + r(n – 1)
 Tn = 5 + 4(n – 1)
 Tn = 5 + 4n – 4
 Tn = 4n + 1
Cantidad de términos 
Para calcular la cantidad de términos en una progresión aritmética se pueden utilizar dos 
procesos.
La primera forma de calcular la cantidad de términos en una progresión aritmética es 
igualar el término enésimo de dicha progresión con el último término y luego despejar 
hasta hallar el valor de n.
La segunda forma de calcular la cantidad de términos en una progresión aritmética es 
con una fórmula que se deduce a partir del término enésimo.
+ 1 = n
Tn – T1 
r
+4 +4 +4
+4 +4 +4
–2 –2 –2
Los números 
naturales son todos 
aquellos números 
que se utilizan para 
contar los elementos 
de un conjunto 
como también para 
las operaciones 
elementales del 
cálculo.
 = {0; 1; 2; 3; 4; ...}
Un número entero es 
cualquier elemento 
del conjunto formado 
por los números 
naturales y sus 
opuestos.
 = {... –3; –2; –1; 0; 
 1; 2; ...}
Un número par es un 
número entero que 
se puede escribir de 
la forma 2k, donde k 
es un número entero.
Pares = {...; –4; –2; 0; 
 2; 4; ...} 
Los números enteros 
que no son pares, se 
les llama impares.
Impares = {...; –3; –1; 
 1; 3; ...} 
• –1
• 0 • 1
• 2 • 3
• 4
• –2
• –3
• –4
Recu e rda
3
22
Sucesión geométrica
Una progresión geométrica es una secuencia numérica que se caracteriza porque sus 
términos presentan una razón geométrica constante.
Ejemplo:
• 5 ; 15 ; 45 ; 135 ; …
• 1200 ; 600 ; 300 ; 150 ; …
Término enésimo
Es el término que representa a todos los términos de la progresión, ya que todos ellos 
tendrán la forma de este. Además, en una progresión de n términos el término enésimo 
será el último término. 
Tn = T1 × q (n – 1)
Siendo:
Tn : Término enésimo
T1 : Primer término
q : Razón geométrica constante
n : Posición del término
En el caso del primer ejemplo planteado:
• 5 ; 15 ; 45 ; 135 ; …
 Tn = T1 × q(n – 1)
 Tn = 5 × 3(n – 1)
Cantidad de términos 
Para calcular la cantidad de términos en una progresión geométrica se debe igualar el 
término enésimo de dicha progresión con el último término y luego despejar la ecuación 
hasta hallar el valor de n.
Sucesión de segundo grado
Sucesión numérica que se caracteriza porque sus términos presentan una razón 
constante, pero no en el primer nivel como en la sucesión aritmética, sino en el segundo 
nivel de las razones.
Ejemplo:
• 5 ; 11 ; 19 ; 29 ; 41 ; …
 6 8 10 12
 2 2 2
• 7 ; 19 ; 34 ; 52 ; 73 ; …
 12 15 18 21
 3 3 3
× ½ × ½ × ½
× 3 × 3 × 3
× 3 × 3 × 3
El matemático 
alemán Michael Stiel 
(1485 - 1567) en su 
obra ARITHMETICA 
INTEGRA, popularizó 
los signos + y – 
desplazando a los 
signos p (plus) y m 
(minus). Según el 
matemático español 
Rey Pastor 
(1888 - 1962) los 
signos + y – fueron 
utilizados por primera 
vez por el científico 
alemán Widmann 
(1460 - 1498).
Robert Recode 
(1510 - 1558), 
matemático y médico 
inglés, fue el creador 
del símbolo =, porque 
para él no había dos 
cosas más iguales 
que dos líneas rectas 
paralelas.
El matemático 
Francois Viéte 
(1540 - 1603) fue el 
primero en utilizar 
letras para designar 
las incógnitas yconstantes.
René Descartes 
propuso en su trabajo 
la geometría en la 
que se empleó las 
primeras letras del 
alfabeto (a, b, c) 
para las cantidades 
conocidas y las 
últimas (x, y, z), para 
las desconocidas. 
Existe un mito que 
dice que el impresor 
de Descartes le 
pidió usar para la 
incógnita aquella 
letra que menos se 
utilizaba, para dejar 
libres aquellas tan 
necesarias y escasas 
como la a.
¿Sa bía s qu e.. .?
n: cantidad de términos
Tn = último término
23MateMática Delta 4 - RazonaMiento MateMático
 Término enésimo
Es el término que representa a todos los términos de la progresión, ya que todos ellos 
tendrán la forma de este. Además, en una progresión de n términos el término enésimo 
será el último término. 
 
Tn = An2 + Bn + C
Siendo:
Tn : Término enésimo
n : Posición del término
A : Coeficiente cuadrático
B : Coeficiente lineal
C : Término independiente
Para hallar los valores de los coeficientes lo primero que se debe hacer es retroceder una 
columna en los términos de la sucesión y en las razones.
En el caso del primer ejemplo planteado:
C = 1 1 ; 5 ; 11 ; 19 ; 29 ; 41 ; …
A + B = 4 4 6 8 10 12
2A = 2 2 2 2 2
Luego, se halla los valores de A, B y C de las igualdades obtenidas.
• 2A = 2 → A = 1
• A + B = 4 → como se sabe que A = 1, entonces B = 3
• C = 1
Ahora, se debe reemplazar los valores de los coeficientes en la ecuación del término 
enésimo.
 
Tn = An2 + Bn + C
Tn = n2 + 3n + 1
Se puede comprobar que es correcto el proceso reemplazando el valor de n para los 
primeros términos.
Tn = n2 + 3n + 1
T1 = 12 + 3(1) + 1 = 5
T2 = 22 + 3(2) + 1 = 11
T3 = 32 + 3(3) + 1 = 19
T4 = 42 + 3(4) + 1 = 29
T5 = 52 + 3(5) + 1 = 41
Sucesión:
5 ; 11 ; 19 ; 29 ; 41 ; …
La inducción 
es una forma de 
razonamiento 
que consiste en 
establecer una 
ley o conclusión 
general a partir de 
la observación de 
hechos o casos 
particulares. Para 
los miembros del 
círculo de Viena, las 
ciencias empíricas 
están basadas en la 
inducción.
El círculo de Viena 
fue un organismo 
científico y filosófico 
creado con el nombre 
de «Círculo de Viena 
para la concepción 
científica del 
mundo», se ocupaba 
principalmente de la 
lógica de la ciencia, 
considerando la 
filosofía como una 
disciplina encargada 
de distinguir entre 
lo que es ciencia y 
lo que no, y de la 
elaboración de un 
lenguaje común a 
todas las ciencias.
Las ciencias 
empíricas, 
son conjuntos 
sistemáticos de 
conocimientos, 
coherentes y 
racionales, con 
los que se ofrece 
una explicación de 
las causas de los 
fenómenos y de las 
leyes por las que se 
regulan, explicación 
que es contrastable 
con la experiencia.
Utilizan el método 
hipotético - inductivo.
¿Sa bía s qu e.. .?
24
 Rpta. El primer término es 100.
 Se reparte caramelos a un grupo de niños en 
cantidades que forman una progresión aritmética. 
Al séptimo niño le tocó la mitad de lo que le tocó 
al último y a este el quíntuplo de lo que le tocó al 
primero, ¿cuántos niños son?
 Resolución:
 Halla la suma de los términos de an.
 
 Resolución:
1
 Se define la sucesión cuyo término enésimo {an} 
cumple: an = an + 1 – an – 1
 Además: a7 = a9 = 8
 Calcula el valor de: a3 + a4 + a5
 Resolución:
2
 La suma del sexto y duodécimo término de una 
progresión aritmética es 1800 y la relación del 
cuarto y duodécimo término es como 2 es 6. Halla 
el valor del primer término.
 Resolución:
3
4
 Calcula el valor de la razón de la sucesión 
geométrica.
 (3x – 3) ; (2x – 2) ; (x + 2) ; (x – 2) ; …
 Resolución: 
5
 Encuentra el valor de x en la sucesión.
 45; 22; 7; 0; 0; 5; 12; x
 Resolución:
6
 Rpta. Son 17 niños.
an = an + 1 – an – 1
a8 = a9 – a7
 0 = 8 – 8
a7 = a8 – a6
 8 = 0 – (–8)
a6 = a7 – a5
–8 = 8 – 16
t1 t4
2k
t6
3k
1800 = 9k
 k = 200
 t1 = 100
t12
6kk
2
45 ; 22 ; 7 ; 0 ; 0 ; 5 ; 12 ; x
 –23 –15 –7 0 5 7 5 
 8 8 7 5 2 –2
 0 –1 –2 –3 –4
a5 = a6 – a4
16 = –8 – (–24)
 a4 = a5 – a3
–24 = 16 – 40
a3 + a4 + a5
40 + (–24) + 16 = 32
 Rpta. La suma es 2n2 + 3.
 Rpta. El valor de a3 + a4 + a5 es 32.
Rpta. El valor de x es 17.
Rpta. La razón vale .
2
3
5
6
10
11
17
18; ; ;
1°
2k
6r
3k
10r
5k
7°
5k
n°
10k
r = 
T2
T1
r = 
2(x – 1)
3(x – 1)
r = 
2
3
2
3
x = 17
6r
3k
x
5k=
x = 10r
7º + 10º = 17º
1 2 ; 5 ; 10 ; 17
1 3 5 7
2 2 2
2 2 2
2 3 ; 6 ; 11 ; 18
1 3 5 7
A = 1 B = 0 C = 1
A = 1 B = 0 C = 2
∴ an = 
n2 + 1
n2 + 2
Tn = n
2 + 1
Tn = n
2 + 2
Ejercicios resueltos
; ... ; an
25MateMática Delta 4 - RazonaMiento MateMático
 Calcula el valor del término que continúa.
3 ; 4 ; 7 ; 15 ; 34 ; 76 ; ...
3
 Determina el valor del término que continúa en la 
sucesión. 
 64 ; 48 ; 40 ; 36 ; 34 ; ...
1
 Halla el valor del término que continúa en la 
siguiente sucesión.
 x2 + 23y15, 3x5 + 19y13, 5x8 + 15y11; 7x11 + 11y9
2
 Encuentra el valor del número de términos de la 
sucesión. 
 6 ; 15 ; 28 ; 45 ; … ; 1891
4
 Jorge le dice a Víctor: «Si ordeno los números 3; 
7 y 1 en forma ascendente, y a cada uno le sumo 
una misma cantidad, obtengo una progresión 
geométrica». Determina la suma de las cifras del 
cuarto término de dicha progresión.
5
 En una P.A. sus dos términos centrales suman 
73 unidades, además el último término excede al 
primer término en 57 unidades. Halla la suma de 
las cifras del último término.
6
 Rpta. Rpta. 
 Rpta. 
 Rpta. 
 Rpta. 
 Rpta. 
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
Ejercicios de aplicación
26
 Calcula el número de términos que tiene 
una progresión aritmética, si se sabe que el 
primer término y la razón son la semisuma y la 
semidiferencia de los números a y b (donde a > b), 
 respectivamente. Además, el último término de 
dicha progresión es (4a – 3b).
La suma de los 8 términos centrales de una 
progresión aritmética creciente de 16 términos es 
188 y el producto de sus términos extremos es 46. 
¿Cuál es el tercer término de dicha progresión?
7
 En las siguientes sucesiones:
 1 ; 5 ; 13 ; 25 ; 41 ; … 41 ; 81 ; 121 ; 161 ; …
 El término 20 de la primera es igual al último de la 
segunda. Encuentra el valor del término central de 
la segunda sucesión.
8
10
 De la siguiente sucesión: 0; –x; –a; –c; –b; (x – b); 
x; indica el término que continúa, si se sabe que 
a, b y c son números consecutivos crecientes (en 
ese orden) que suman 30; donde además x, b y 
(a + c) forman una progresión geométrica.
9
 Determina el valor del vigésimo término en la 
sucesión 39; 56; 73; 90; ...
11
 En la siguiente sucesión: 4
7
 ; 6
10
 ; 8
13
 ; 10
16
 ; ...
 Halla el término enésimo.
12
 Rpta. 
 Rpta. 
 Rpta. 
 Rpta.
 Rpta. 
 Rpta. 
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
27MateMática Delta 4 - RazonaMiento MateMático
 A 10 B 11 C 12
 D 9 E 13
 A 45 B 80 C 85
 D 90 E 100
 A 0 B 1 C 2
 D 3 E 4
 A –11 B –9 C –3
 D –12 E –8
Practica y demuestra
 De las sucesiones: 4 ; 11 ; 18 ; 25 ; ... ; an
 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; ... ; bn
 Si se sabe que tienen igual cantidad de términos y 
que al sumar el último término de la primera con el 
último término de la segunda sucesión resulta 803. 
¿Cuántos términos tiene cada sucesión?
 En una progresión geométrica de razón q se tiene 
que: 
 Encuentra el valor de .
 A 48 B 24 C 16
 D 30 E 32
Determina el valor del vigésimo término de la 
siguiente sucesión.
A B C 
 D E 
 En una progresión geométrica el término de sexto 
lugar es 486 y el primer término es 2. Encuentra el 
valor de la razón de la progresión.
4
 En la siguiente sucesión:1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 17 ; 26 ; ...
 Determina la suma de cifras del término 31.
 En una sucesión lineal el tercer término es 6 y el 
octavo término es 16. Halla el valor del término de 
lugar 22.
 Calcula el valor del segundo término negativo de 
la siguiente sucesión.
213 ; 207 ; 201 ; 195 ; ...
 En la siguiente progresión aritmética:
√x ; 8 ; y + 1 ; 12
 Encuentra el valor de 2x + 3y.
 En la sucesión: 328 ; 322 ; 316 ; 310 ; ...
 Determina el valor del cuarto término negativo y 
del lugar que ocupa.
 A –20 y 59° B –15 y 16°
 C –30 y 60° D –23 y 35°
 E –21 y 34°
9
 Fabiola se propone leer una novela, el primer día lee 
3 páginas; el segundo, 8 páginas; el tercer día, 15 
páginas; el cuarto, 24 páginas, y así sucesivamente, 
hasta que cierto día se da cuenta que el número de 
páginas que ha leído ese día es 14 veces el número 
de días que ha estado leyendo. Halla el valor del 
número de páginas leídas dicho día.
1
2
3
5
6
7
8
10
1
4
4
7
9
12
16
19; ; ;
200
201
300
302
355
357
386
387
400
403
t10
t7
t8
t5
t12
t9
× × = 512
t5
t2
t14
t12
t15
t14
t20
t16
+ + +E =
 A 42 B 44 C 40
 D 36 E 50
 A 98 B 99 C 210
 D 577 E 321
 A 168 B 126 C 204
 D 128 E 192
28
Tema
Series
4
Recuerda que existe 
un método distinto 
para calcular el 
valor de una serie 
según sea aritmética, 
geométrica finita o 
geométrica infinita, 
por lo cual se debe 
reconocer a qué tipo 
pertenece la serie.
Para calcular el 
valor de una serie 
aritmética se necesita 
saber el valor del 
primer, el último y la 
cantidad de términos 
o el valor del término 
central y de la 
cantidad de términos.
S = (T1 + Tn )/2 = Tc × n
Una secuencia o 
cadena «finita», 
tiene un primer 
y último término 
bien definidos; en 
cambio en una serie 
infinita, cada uno de 
los términos suele 
obtenerse a partir 
de una determinada 
regla o fórmula, o por 
algún algoritmo.
Al tener infinitos 
términos, esta noción 
suele expresarse 
como serie infinita, 
pero a diferencia 
de las sumas 
finitas, las series 
infinitas requieren 
de herramientas del 
análisis matemático 
para ser debidamente 
comprendidas y 
manipuladas.
Serie
Una serie es la adición indicada de los términos de una sucesión numérica.
De acuerdo a esto, si tenemos la sucesión:
 Sucesión → 4; 9; 14; 19; ...; 79 
Esta es la serie asociada a dicha sucesión:
 Serie → 4 + 9 + 14 + 19 + … + 79
El valor de la serie es el resultado de la adición de todos los números que pertenecen 
a la misma.
 4 + 9 + 14 + 19 + … + 79 = 664 → valor de la serie
Serie aritmética
Una serie aritmética es la suma indicada de los términos de una progresión aritmética, 
es decir, de aquellos términos que presentan una razón aritmética constante.
Para calcular el valor de la suma de los términos de una progresión aritmética se puede 
utilizar una fórmula que se deduce de una situación muy sencilla.
Calcula el valor de la siguiente serie:
 S = 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18
En primer lugar, se debe colocar la misma serie pero de manera invertida, es decir, con 
los términos ubicados de manera decreciente, para luego sumar ambas series.
 S = 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18
 S = 18 + 16 + 14 + 12 + 10 + 8
 2S = 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26
Ahora se procede a despejar el valor de la serie.
 2S = 26 × (6)
 S = 26 × (6)
2
Donde:
• 26 : Proviene de la suma del primer y el último término de la serie.
• 6 : Representa la cantidad de términos de la serie.
Por lo tanto, se deduce que la fórmula que se utiliza para calcular la suma de los 
términos de una progresión aritmética es:
Donde:
T1: primer término
Tn: término enésimo
n : cantidad de términos
S =
(T1 + Tn)n
2
(+)
29MateMática Delta 4 - RazonaMiento MateMático
Serie geométrica
Una serie geométrica es la suma indicada de los términos de una progresión geométrica, 
es decir, de aquellos términos que presentan una razón geométrica constante.
En el caso de la suma de los términos de una progresión geométrica se debe hacer 
una diferenciación según la cantidad de términos que presente la misma, tomando en 
cuenta que puede ser finita o infinita.
Serie geométrica finita
Es aquella que tiene una cantidad de términos limitada y cuya razón puede tomar 
cualquier valor.
Ejemplo:
 S = 7 + 28 + 112 + 448 + … (20 términos)
Para calcular el valor de una serie geométrica finita se puede utilizar una fórmula que 
se deduce de una manera muy sencilla.
Calcula el valor de la siguiente serie:
 S = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 256 + 512
En primer lugar, se debe multiplicar a la serie por el valor de la razón, para luego restar 
ambas series.
 ×2 ×2 ×2 ×2
 S = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 256 + 512
 2S = 2 + 4 + 8 + 16 + … + 512 + 1024
 S = 1024 – 1
 S = 1023
De manera general:
 S = T1 + T1 q + T1 q2 + T1 q3 + … + T1 qn – 2 + T1 qn – 1 
 Sq = T1 q + T1 q2 + T1 q3 + … + T1 qn – 2 + T1 qn – 1 + T1 qn
 S(q – 1) = T1 qn – T1
 S(q – 1) = T1(qn – 1)
Serie geométrica infinita
Es aquella que presenta una cantidad de términos ilimitada, cuya razón tiene la forma 
de una fracción propia (ǀqǀ < 1).
Ejemplo:
 S = 81 + 27 + 9 + 3 + … 
Para calcular el valor de una serie geométrica finita se puede utilizar una fórmula que 
se deduce de una manera muy sencilla.
(–)
(–)
S =
T1(qn – 1)
q – 1
Donde:
T1: primer término
q : razón geométrica
n : cantidad de términos
Para poder calcular 
el valor de una serie 
geométrica infinita el 
valor absoluto de la 
razón debe ser menor 
que 1.
El primer caso que 
registra el uso de 
una suma infinita 
de términos de 
una sucesión, se 
remonta hasta la 
antigua Grecia, con 
Arquímedes, quien 
probablemente usó 
este tipo de ideas 
para determinar 
el área encerrada 
bajo el arco de una 
parábola. 
Otras ideas 
relacionadas con 
el uso de series y 
sucesiones para 
la representación 
de determinadas 
funciones se 
concibieron en India 
durante el siglo XIV, 
época en que se 
destaca el trabajo de 
Madhava.
Una serie resulta 
convergente si la 
sucesión de sumas 
parciales tiene un 
límite en el espacio 
considerado. De otro 
modo, constituiría 
lo que se denomina 
serie divergente.
30
Calcula el valor de la siguiente serie:
 S = 4 + 2 + 1 + 12 + … 
En primer lugar, multiplicamos a la serie por el valor de la razón, para luego restar 
ambas series.
 ×1/2 ×1/2 ×1/2
 S = 4 + 2 + 1 + 1
2
 + … 
 1
2
 S = 2 + 1 + 1
2
 + 14 + …
 12 S = 4
 S = 8
De manera general:
 S = T1 + T1 q + T1 q2 + T1 q3 + … 
 Sq = T1 q + T1 q2 + T1 q3 + … + 
 S(1 – q) = T1 
S = 
T1 
1 – q
Serie especial
Esta serie se caracteriza porque es la suma de fracciones donde en los denominadores 
aparecen los productos de números que tienen una razón aritmética constante.
Ejemplo:
S = 11 × 2 + 
1
2 × 3 + 
1
3 × 4 + 
1
4 × 5 + ... + 
1
30 × 31 
En este caso los números que aparecen en los denominadores son consecutivos, por 
lo tanto la razón aritmética vale 1.
Lo que se debe hacer en estos casos es partir a cada una de las fracciones de la 
siguiente manera:
1
1 × 2
 = 1
1
 – 1
2
 1
2 × 3
 = 1
2
 – 1
3
 1
3 × 4
 = 1
3
 – 1
4
 1
4 × 5
 = 1
4
 – 1
5
Ahora se debe reemplazar y la mayoría de las fracciones se eliminarán:
S = 1
1
 – 1
2
 + 1
2
 – 1
3
 + 1
3
 – 1
4
 + 1
4
 – 1
5
 + ... 1
30
 – 1
31
S = 1
1
 – 1
31
 = 30
31
Se debe recordar que para partir la fracción, en el numerador debe aparecer la diferencia 
de los números que aparecen en el denominador.
M = 15 × 7
Como la diferencia de los números en el denominador es 2 se debe multiplicar por 2 al 
numerador y al denominador.
2M = 1
5
 – 1
7
 
Luego se debe seguir el proceso como en el caso anterior.
(–)
Johann Carl Friedrich 
Gauss (1777-1855), 
matemático alemán 
llamado a menudo 
«El príncipe de 
los matemáticos»y sin duda uno de 
los más grandes 
matemáticos de 
todos los tiempos, fue 
al parecer también 
un niño prodigio. A 
la edad de 9 años, 
Gauss fue admitido 
en la clase de 
aritmética y durante 
una de las clases 
su maestra decidió 
plantearles a los 
alumnos un problema 
largo y tedioso 
para mantenerlos 
ocupados por un 
buen tiempo.
Para calcular el 
valor de la razón de 
una serie aritmética 
se debe restar dos 
términos de lugares 
consecutivos, el de 
mayor orden menos 
el de menor orden.
Para calcular el valor 
de la razón de una 
serie geométrica 
se debe dividir dos 
términos de lugares 
consecutivos, el de 
mayor orden entre el 
de menor orden.
Recuerda que una 
forma de calcular la 
cantidad de términos 
de cualquier sucesión 
es igualar el término 
enésimo con el último 
término y despejar el 
valor de la variable n.
(–)
31MateMática Delta 4 - RazonaMiento MateMático
Series notables
Una serie notable es aquella que tiene un nombre específico y una fórmula determinada 
para calcular su valor.
A continuación se presentan algunas series notables:
Suma de los n primeros números enteros positivos 
Suma de los n primeros números pares enteros positivos 
Suma de los n primeros números impares enteros positivos 
Suma de los n primeros números enteros positivos elevados al cuadrado 
Suma de los n primeros números enteros positivos elevados al cubo
Suma de los n primeros números binarios
Suma de los n primeros números ternarios
Series de orden superior
Es aquella en la que sus términos forman una sucesión de orden superior, es decir, de 
segundo o tercer grado.
Ejemplo:
S = 5 + 12 + 23 + 38 + 57 + … (20 términos)
Para calcular el valor de una serie de orden superior, primero se debe hallar el término 
enésimo de la sucesión que forman los términos.
1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + ... + n × (n + 1) = n(n + 1)(n + 2)
3
1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + ... + n × (n + 1) × (n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
4
En toda serie notable 
donde n representa la 
posición del término, 
se debe empezar con 
n = 1, es decir, para 
aplicar la fórmula de la 
suma de los primeros 
enteros positivos, esta 
debe empezar en 1; 
para aplicar la suma de 
los n primeros números 
pares enteros positivos, 
esta debe empezar en 
2; y así sucesivamente.
Si no se da el caso 
anterior lo que se debe 
hacer es aplicar un 
pequeño artificio que 
consiste en agregar los 
términos que faltan y 
luego quitárselos.
S = 8 + 9 + 10 + 11 +
 … + 30
S = 1 + 2 + 3 +…+ 7 + 8 
 + 9 +…+ 30 – (1 + 2
 + 3 +…+ 7)
S = 30 × 312 – 
7 × 8
2
Los números naturales 
(pares e impares), 
se encuentran en 
progresión aritmética, 
por lo tanto también 
se pueden calcular 
utilizando la fórmula de 
la suma de términos de 
dicha progresión.
1 + 2 + 3 + 4 + … + n
2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n
1 + 3 + 5 + 7 + … + 2n – 1 
Si quieres comprobar 
de dónde proviene 
la fórmula de la 
suma de cuadrados 
o de cubos, puedes 
buscar en la web 
sobre la Propiedad 
telescópica de las 
series, y eso te dará 
una idea de su origen.
13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 = n(n + 1)
2
 
2
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n(n + 1)
2
2 + 4 + 6 + 8 + ... + (2n) = n(n + 1)
1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n2
12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 = n(n + 1)(2n +1)
6
32
Una sumatoria es la 
forma abreviada de 
colocar una serie, 
y se caracteriza 
por el uso del 
operador matemático 
sumatoria (∑), 
el cual está 
representado por la 
letra griega sigma. 
Por ejemplo, la 
forma de representar 
la suma de los n 
primeros números 
enteros positivos con 
sumatorias, sería la 
siguiente:
No te olvides de 
listas de números 
importantes, como 
los naturales, pares, 
impares, cuadrados 
perfectos, cubos 
perfectos, entre 
otras, que se han 
desarrollado en 
capítulos anteriores.
El término enésimo 
de la sucesión que 
forman los números 
triangulares es igual 
a la de la suma de los 
n primeros números 
enteros positivos.
El término enésimo 
de la sucesión que 
forman los números 
rectangulares es igual 
a la de la suma de los 
n primeros números 
pares enteros 
positivos.
Σ
n
i =
i = 1
n(n + 1)
2
Observa la solución.
C = 2 5 + 12 + 23 + 38 + 57 + … (20 términos)
A + B = 3 7 11 15 19
2A = 4 4 4 4
2A = 4 A + B = 3 C = 2
 A = 2 B = 1 C = 2
 Tn = An2 + Bn + C
 Tn = 2n2 + n + 2
Una vez hallado el término enésimo, podemos tener cada uno de los términos de 
manera disgregada de la siguiente manera:
Tn = 2n2 + n + 2
T1 = 2(1)2 + 1 + 2
T2 = 2(2)2 + 2 + 2
T3 = 2(3)2 + 3 + 2
T20 = 2(20)2 + 20 + 2
Ahora aplicaremos las fórmulas de las series notables: 
S = 2(12 + 22 + 32 + … + 202) + (1 + 2 + 3 + … + 20) + (2 + 2 + 2 + … + 2)
S = 2 20(21)(41)6 + 
20(21)
2 + 2(20)
S = 2(2870) + 210 + 40
S = 5990
De manera análoga se podrá trabajar cuando aparezca una suma donde los términos 
estén formados por el producto de dos o más números.
Ejemplo:
R = 1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 5 + 4 × 6 + … + 16 × 18
R = 1(1 + 2) + 2(2 + 2) + 3(3 + 2) + 4(4 + 2) + … + 16(16 + 2)
R = 12 + 1(2) + 22 + 2(2) + 32 + 3(2) + 42 + 4(2) + … + 162 + 16(2) 
R = (12 + 22 + 32 + … + 162) + 2(1 + 2 + 3 + 4 + … + 16)
R = 16(17)(33)6 + 2 
16(17)
2
R = 1496 + 2(136)
R = 1768
33MateMática Delta 4 - RazonaMiento MateMático
Ejercicios resueltos
 Rpta. 59
64
 Calcula el valor de la serie.
 S = 117 + 143 + 169 + 195 + … + 507
 Resolución:
117 + 143 + 169 + 195 + … + 507
 26 26 26
tn = 26n + 91 = 507
n = 16
S = 117 + 5072 16 = 4992
 Calcula: 
 3
7 × 14
 – 5
14 × 21
 + 7
21 × 28
 – 9
28 × 35
 + ... + 23
77 × 84
 Resolución:
1
 Determina el valor de la suma de los números de 
la expresión:
 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 20
 4 + 6 + 8 + ... + 20
 6 + 8 + ... + 20
 8 + ... + 20
 ......
 20 
 Resolución:
2
 Halla:
 
 Resolución:
3
4
 Encuentra el valor de S.
 S = 13 + 
2
32 + 
3
33 + 
4
34 + ...
 Resolución: 
5
 Si Sn = (2n + 9)n representa la suma de los n 
primeros términos de una sucesión. Determina el 
valor de la suma de los términos comprendidos 
entre los términos de lugar 14 y 31.
 Resolución:
6
 Rpta. 4992
 Rpta. 13
588
 Rpta. 770
Rpta. 1552 
Rpta. 3
4
8 + 9 + 4 + 3 + 2 + 1 + ... ∞
8 + 6 + 92 + 
27
8 + ... ∞
E =
1 × 2 + 2 × 4 + 3 × 6 + ... + 10 × 20
tn = n(2n) = 2n2
tn = 2n2
 2(12 + 22 + 32 + ... + 102)
 2 10 × 11 × 216 = 770
8 + 4 + 2 + ... + 9 + 3 + 1 + ... ∞
8 + 6 + 92 + 
27
8 + ... ∞
E =
E = E =⇒
8
1 – 1
2
8
1 – 3
4
9
1 – 1
3
+
59
64
1
49
 3
1 × 2
 – 5
2 × 3
 + 73 × 4
 – 9
4 × 5 
 + ... + 2311 × 12
 
1
49
 1
1
 + 112
 = 149 
13
12
 = 13588
 S = 13 + 
2
32 + 
3
33 + 
4
34 + ...
 3S = 1 + 23 + 
3
32 + 
4
33 + ...
 2S = 1 + 13 + 
1
32 + 
1
33 + ...
 S = 12 
1
1 – 1
3
 = 34 
Sn = (2n + 9)n
 t1 + t2 + ... + t14 t15 ... t20 t31
S30 – S14
(2(30) + 9)30 – (2(14) + 9)14
 2070 – 518
 1552
(–)
1
49
 1
1
 + 12
 – 1
2
 + 13
 + 13 + 
1
4
 – 1
4
 + 15
 +...+ 1
11
 + 112
 
34
Ejercicios de aplicación
 Los números: x, x + 4, x + 16, ... son los tres 
primeros términos consecutivos de una progresión 
geométrica. Encuentra el valor de la suma de sus 
 10 primeros términos.
 Resolución:
 Calcula el valor de la serie.
 2 + 6 + 18 + 54 + ... + 13 122
Resolución:
 Ricardo compra el día de hoy 19 cajas de 
manzanas y ordena que cada día que transcurra 
se compre una caja más que el día anterior. 
¿Cuántas cajas compró en total, si el penúltimo 
día se compraron 43 cajas?
Resolución:
 Halla el valor de n.
 (3n + 2) + (3n + 4) + (3n + 6) + ... + (5n) = 81n
Resolución:
 El segundo término de una P.A. es 7 y el séptimo 
término es 22. Determina el valor de la suma de 
los 10 primeros términos de la sucesión. 
Resolución:
4 Calcula el valor de E. 
 E = 0,1 + 0,3 + 0,5 + 0,7 + .... + 2,9
Resolución:
1
5
6
2
3
Rpta.
Rpta.