Pauta Ayudantía 6 (4)

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EAF200A - Aplicaciones Matemáticas
Ayudant́ıa #6
8 de mayo de 2020
Pregunta 1: Optimización con restricciones de Igualdad
Considere el siguiente problema de maximización:
f(x, y, z) = 4z − x2 − y2 − z2
s.a : g(x, y, z) = z − xy = 0
1. Use el método de Lagrange para hallar condiciones necesarias para una solución del problema y
halle todos los (x, y, z) que las verifican. Verifique si las condiciones suficientes para un óptimo se
cumplen en estos puntos.
Método de Lagrange
Paso 1:
Sea g(x, y, z) = z − xy. Las puntos cŕıticos de g son dados por:
−y = 0
−x = 0
1 = 0
Luego, g no tiene puntos cŕıticos y no llevamos ningún candidato del paso 1 (la calificación de
restricción es siempre satisfecha).
Paso 2:
El lagrangiano es
L = 4z − x2 − y2 − z2 − λ(z − xy)
Paso 3:
Las condiciones primer orden de L son:
∂L
∂x
= −2x+ λy = 0 (1)
∂L
∂x
= −2y + λx = 0 (2)
∂L
∂z
= 4− 2z − λ = 0 (3)
∂L
∂λ
= −(z − xy) = 0 (4)
Primero, vea que si x = 0, tenemos y = 0 (ecuación 2), z = 0 (ecuación 4) y λ = 4 (ecuación 3).
Luego, (x, y, z, λ) = (0, 0, 0, 4) es un punto cŕıtico del lagrangiano. En lo que sigue, suponemos que
x 6= 0 para encontrar otros puntos cŕıticos.
1
Combinando (1) y (2) tenemos:
λ = 2x
y
= 2y
x
⇒ x2 = y2 ⇒ y = ±x
Esto implica que
xy =
{
−x2 si y = −x (caso 1)
x2 si y = x (caso 2)
y x
y
=
{
−1 si y = −x (caso 1)
1 si y = x (caso 2)
Vea que combinando (3) y (1):
4− 2z = 2x
y
⇒ z = 2− x
y
(5)
Caso 1: Suponga que primero que caso 1 se cumple. Entonces, por (5) z = 3. Por (3) tenemos
λ = −2. Por (4) tenemos x2 = −3, que no tiene solución real. Luego, no hay puntos criticos en este
caso.
Caso 2: Suponga que ahora que caso 2 se cumple. En esto caso, dado (5), tenemos z = 1. Por
(3) tenemos λ = 2. Por (4) tenemos que x2 = 1, que implica x = ±1 y por lo tanto tenemos los
siguientes puntos cŕıticos: (x, y, z, λ) = (1, 1, 1, 2) y (x, y, z, λ) = (−1,−1, 1, 2).
Luego encontramos tres puntos cŕıticos del lagrangiano:
a) (x, y, z, λ) = (0, 0, 0, 4)
b) (x, y, z, λ) = (1, 1, 1, 2)
c) (x, y, z, λ) = (−1,−1, 1, 2)
Paso 4:
Evaluando la función objetivo en f(x, y, z) = 4z−x2−y2− z2 tenemos f(0, 0, 0) = 0 < f(1, 1, 1) =
f(−1,−1, 1) = 1. Luego, solamente (x, y, z) = (1, 1, 1) y (x, y, z) = (−1,−1, 1) quedan como
candidatos a máximo
Condiciones suficientes
Vamos verificar si las condiciones de suficiencia global se cumplen para los candidatos (1, 1, 1) y
(−1,−1, 1) que tenemos. Como λ = 2 en estos puntos defina:
L̃(x, y, z) = 4z − x2 − y2 − z2 − 2(z − xy)
Las derivadas de segunda orden son:
L̃xx = −2, L̃yy = −2, L̃zz = −2
L̃xy = 2, L̃xz = 0, L̃yz = 0
Luego, la hessiana es:
HL̃(x, y, z) =
 −2 2 02 −2 0
0 0 −2

El menor principal de orden 3 es:∣∣∣∣∣∣
−2 2 0
2 −2 0
0 0 −2
∣∣∣∣∣∣ = −2
∣∣∣∣ −2 00 −2
∣∣∣∣− 2 ∣∣∣∣ 2 00 −2
∣∣∣∣ = −8 + 8 = 0
Los menores principales de orden 2 son:∣∣∣∣ −2 22 −2
∣∣∣∣ = 4− 4 = 0, ∣∣∣∣ −2 00 −2
∣∣∣∣ = 4− 0 = 4, ∣∣∣∣ −2 00 −2
∣∣∣∣ = 4− 0 = 0
2
Los menores principales de orden 1 son:
−2, −2, ,−2
Luego, HL̃(x, y, z) es negativa semi-definida para todo (x, y, z), y por lo tanto L̃(x, y, z) es cóncava.
Luego, las condiciones suficientes se cumplen para todos candidatos que tenemos y (x, y, z) =
(1, 1, 1) e (x, y, z) = (−1,−1, 1) son puntos de máximo global.
2. Ahora suponga que enfrenta la siguiente restricción: g(x, y, z) = z − xy = c. Compruebe que la
derivada de la función de valor con respecto a c es igual al multiplicador de Lagrange.
La lagrangiana ahora es:
L = 4z − x2 − y2 − z2 − λ(z − xy − c)
Para simplificar, suponga que c es suficientemente cerca de cero (no necesariamente tenemos que
hacer este supuesto, pero esto garantiza que los pasos para resolver el problema son los mismos que
en el ı́tem anterior). Repitiendo los mismo pasos que en ı́tem anterior (hágalo), uno puede concluir
que hay un punto de máximo que será un punto cŕıtico de la lagrangiana (de nuevo, la calificación
de restricción será siempre satisfecha, y además los puntos cŕıticos de la lagrangiana van satisfacer
las condiciones suficientes para máximo global). Por lo tanto, como el máximo es punto critico de
la lagrangiana, puedes usar el Teorema de la Envolvente. Sea f∗(c) la función valor para un dado
c. Usando el Teorema de la Envolvente tenemos que:
df∗
dc
= ∂L
∂c
= λ
Otra manera de contestar esta pregunta es resolver el problema para un dado c, reemplazar la
solución (x, y, z) = (x∗(c), y∗(c), z∗(c)) en f(x, y, z) = 4z − x2 − y2 − z2 y sacar la derivada con
respecto a c (pero es mucho más fácil usar el Teorema de la Envolvente).
Pregunta 2: Problema de costos de una empresa
Suponga una empresa que se dedica al reparto de encomiendas a domicilio llamada “BLIX”, para
ello, necesita capital f́ısico que va a estar representado por veh́ıculos de transporte (V) que tienen un
costo unitario de $10 para la empresa y Personal (T) que conduce estos veh́ıculos y entrega los repartos
que tienen un costo unitario de $5 para la empresa. Suponga que la función de producción de repartos
de BLIX esta representada de la siguiente forma:
Q = V 14T 12
Además suponga que la empresa enfrenta costos fijos de $1000 por arriendo de bodegas donde guarda
sus veh́ıculos y las encomiendas.
1. Plantee el problema de minimización de costos que enfrenta la empresa.
La empresa tiene que resolver el siguiente problema de minimización de costos:
mı́n C = 10V + 5T + 1000
s.a. Q = V 14T 12
2. Plantee la función lagrangiana y las condiciones de primer orden correspondientes.
La función lagrangiana es:
L(V, T, λ) = 10V + 5T + 1000− λ(V 14T 12 −Q)
Para encontrar las CPOs, simplemente debemos derivar con respecto a los factores
∂L
∂V
= 10− 14λV
− 34T
1
2 = 0 (1)
∂L
∂T
= 5− 12λV
1
4T−
1
2 = 0 (2)
∂L
∂λ
= V 14T 12 −Q = 0 (3)
3
3. Encuentre las cantidades de Veh́ıculos (V) y Personal (T) que son candidatos a mı́nimo usando el
método de Lagrange.
Paso 1: Primero perciba que si V = 0 e L = 0 la calificación de restricción no es satisfecha. Todav́ıa,
como impĺıcitamente suponemos Q > 0, este punto no satisface el conjunto restricción. Luego, no
llevamos ningún candidato de este paso. En lo que sigue verificamos las condiciones de Lagrange.
De (1):
λ = 40V 34T
−1
2
De (2):
λ = 10V
−1
4 T
1
2
Igualando λ, podemos obtener una relación entre V y T.
40V 34T
−1
2 = 10V
−1
4 T
1
2
Simplificando:
4V = T
Luego usando (3):
V
1
4 (4V ) 12 −Q = 0
Entonces:
V ∗ =
(
Q
2
) 4
3
T ∗ = 4
(
Q
2
) 4
3
Por último para obtener el costo mı́nimo, solo debemos reemplazar los valores obtenidos en la
función de costos:
C(V ∗, T ∗) = 10V ∗ + 5T ∗ + 1000 = 10
(
Q
2
) 4
3
+ 5× 4
(
Q
2
) 4
3
+ 1000 = 30
(
Q
2
) 4
3
+ 1000
4. ¿Son las condiciones anteriores necesarias y suficientes para que V* y L* del ı́tem anterior sean los
valores que minimizan el costo de BLIX?
La función de costos es convexa (C = 10V + 5T + 1000) y la función de producción es cóncava
Q = V 12T 14 es cóncava (verifique usando la condición de la hessiana). Además como λ > 0, tenemos
que:
L̃(V, T ) = 10V + 5T + 1000︸ ︷︷ ︸
convexa
+ (−λ)(V 12T 14 −Q)︸ ︷︷ ︸
convexa si λ ≥ 0
Sabemos que la suma de dos funciones convexas, es convexa. Por lo tanto en este caso, sabemos
que los puntos encontrados están minimizando el costo, pues λ = 40V 34T −12 ≥ 0
Pregunta 3: Fábrica de mesas y sillas
Una empresa tiene un total de L trabajadores los cuáles se dividen en la producción de mesas y sillas.
La cantidad total de trabajadores está fija. El orden de los lugares de trabajo en la fábrica implica que
un trabajador solo puede participar en la fabricación de uno de estos productos. Entonces si llamamos
l1 a la cantidad de trabajadores que dedicados a producir mesas y l2 a los que producen silla, se debe
cumplir que l1 + l2 = L. Sabemos además que el precio de mercado de las mesas es pm y el de las sillas
es ps.
Suponga que la función de producción de mesas está dada por M = f(l1) con f ′ > 0 y f ′′ < 0,
mientras que la producción de sillas está dada por lafunción de producción S = g(l2) con g′ > 0 y
g′′ < 0.
4
1. Relacione los precios con la asignación óptima de empleados.
Tenemos lo siguiente:
M = f(l1) f ′ > 0, f ′′ < 0
S = g(l2) g′ > 0, g′′ < 0
Restricción:
l1 + l2 = L
(F́ıjense que la calificación de restricción siempre es satisfecha, luego las CPO de Lagrange tienen
que ser satisfechas si un máximo existe). Entonces la función objetivo es:
V = pmM + psS = pmf(l1) + psg(l2)
El problema a resolver, sera:
máx V s.a : l1 + l2 = L
El lagrangeano por lo tanto es:
L = pmf(l1) + psg(l2)− λ(l1 + l2 − L)
Las CPOs son:
∂L
∂l1
= pmf ′(l1)− λ = 0
∂L
∂l2
= psg′(l2)− λ = 0
∂L
∂λ
= L− l1 − l2 = 0
Igualamos los λ de las ecuaciones y obtenemos:
pmf
′(l1) = psg′(l2)
Esta ecuación implica que se iguala el valor del producto marginal de l1 con el valor del producto
marginal de de l2. Esto es que los valores producto marginal de las sillas y mesas son iguales en la
asignación óptima. Esto quiere decir que no se pueden reasignar trabajadores sin reducir el valor
de la producción.
También, se puede ver de la siguiente forma:
pm
ps
= g
′(l2)
f ′(l1)
En donde, el ratio de precios es igual al ratio de productos marginales (condición de tangencia).
2. Comprueba si las condiciones de Lagrange son suficientes para un óptimo global.
En primer lugar, tenemos que la restricción es lineal , es decir, es cóncava y convexa. En segundo
lugar, veamos la hessiana de la función objetivo:
H =
(
pmf
′′ 0
0 psg′′
)
Menores principales dominantes son:
pmf
′′ < 0
pmpsf
′′g′′ > 0
Tenemos que la matriz es definida negativa en todo su dominio, luego la función es estrictamente
cóncava, y por lo tanto estamos en presencia de un máximo global.
3. ¿Cómo interpretamos λ (multiplicador de Lagrange de la restricción) en este caso?
Tenemos que queremos ver como cambia la función de valor, cuando cambia marginalmente la
restricción de trabajadores.
λ : ∂f
∗
∂L
λ es el valor marginal de poder contratar un trabajador adicional.
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4. ¿Cambia su solución si en vez de maximizar el valor de la producción hubiésemos buscado maximizar
las utilidades de la firma? Explique.
Si la empresa maximizara utilidades tendŕıamos que:
máx pmf(l1) + psg(l2)︸ ︷︷ ︸
valor de producción
− wL︸︷︷︸
costos de producción
−λ(L− l1 − l2)
La solución no cambia si se paga el mismo salario a todos los trabajadores.
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