Pauta Ayudantía 5

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EAF200A - Aplicaciones Matemáticas
Ayudant́ıa #5
23 de octubre de 2020
Pregunta 1: Optimización con restricciones de Igualdad
Considere el siguiente problema de maximización:
f(x, y) = −x2 − y2
s.a : g(x, y) = 4 − xy = 0
1. Use el método de Lagrange para hallar condiciones necesarias para una solución del problema y
halle todos los (x, y) que las verifican. Verifique si las condiciones suficientes para un óptimo se
cumplen en estos puntos.
Método de Lagrange
Paso 1:
Sea g(x, y) = 4 − xy. Las puntos cŕıticos de g son dados por:
g′x = −y = 0
g′y = −x = 0
Obtenemos que un punto cŕıtico de la restricción es (x, y) = (0, 0)
Además, dicho punto cŕıtico no satisface la restricción, ya que: g (0, 0) = 4 − 0 ∗ 0 = 4
Por lo tanto no tenemos puntos que violen la calificación de restricción.
Paso 2:
El lagrangiano es
L = −x2 − y2 − λ(4 − xy)
Paso 3:
Las condiciones primer orden de L son:
∂L
∂x
= −2x + λy = 0 (1)
∂L
∂x
= −2y + λx = 0 (2)
∂L
∂λ
= −(4 − xy) = 0 (3)
Primero, vea que si x = 0, entonces por (1) ó (2), y = 0, pero eso no satisface (3). Lo mismo ocurre
si partimos de y = 0. Es decir, no hay punto cŕıtico del lagrangiano si x ó y son iguales a 0. Como
consecuencia tenemos que x e y deben ser distintos de 0.
1
Combinando (1) y (2) tenemos:
λ =
2x
y
=
2y
x
⇒ x2 = y2 ⇒ y = ±x
Esto implica que
xy =
{
−x2 si y = −x (caso 1)
x2 si y = x (caso 2)
y
x
y
=
{
−1 si y = −x (caso 1)
1 si y = x (caso 2)
Caso 1: Suponga que primero que caso 1 se cumple. Por (3) tenemos x2 = −4, que no tiene
solución real. Luego, no hay puntos criticos en este caso.
Caso 2: Suponga que ahora que caso 2 se cumple. Por (4) tenemos que x2 = 4, que implica x = ±2
y por lo tanto tenemos los siguientes puntos cŕıticos: (x, y, λ) = (2, 2, 2) y (x, y, λ) = (−2, −2, 2).
Luego encontramos dos puntos cŕıticos del lagrangiano:
a) (x, y, λ) = (2, 2, 2)
b) (x, y, λ) = (−2, −2, 2)
Paso 4:
Evaluando la función objetivo en f(x, y) = −x2 − y2 tenemos f(2, 2) = f(−2, −2) = −8. Por lo
tanto, ambos puntos son candidatos a máximo
Condiciones suficientes
Vamos verificar si las condiciones de suficiencia global se cumplen para los dos candidato (2, 2) y
(−2, −2). Como λ = 2 en estos puntos, se define:
L̃(x, y, z) = −x2 − y2 − 2(4 − xy)
Las derivadas de segunda orden son:
L̃xx = −2, L̃yy = −2,
L̃xy = 2, L̃yx = 2
Luego, la hessiana es:
HL̃(x, y) =
(
−2 2
2 −2
)
Los menores principales de orden 1 son:
−2, −2
Los menores principales de orden 2 son 0.
Luego, HL̃(x, y) es negativa semi-definida para todo (x, y), y por lo tanto L̃(x, y) es cóncava. Luego,
las condiciones suficientes se cumplen para (x, y) = (2, 2) y (x, y) = (−2, −2) , por lo tanto, ambos
puntos son máximos globales.
2. Ahora suponga que enfrenta la siguiente restricción: g(x, y) = 4 − xy = c. Considere el valor
óptimo de f como función de c y compare la derivada de esa función con el valor del multiplicador
de Lagrange, ¿algo le llama la atención?. Asuma que 0 ≤ c < 4,
La lagrangiana ahora es:
L = −x2 − y2 − λ(4 − xy − c)
2
Si fuéramos a resolver este problema usando Lagrange, veremos que las condiciones (1) y (2) de
arriba siguen siendo válidas, luego llegamos a los mismos casos de antes
xy =
{
−x2 si y = −x (caso 1)
x2 si y = x (caso 2)
y
x
y
=
{
−1 si y = −x (caso 1)
1 si y = x (caso 2)
El caso 1 sigue siendo inválido y por lo tanto solo nos quedamos con el 2, donde xy = x2. Luego,
de la restricción tenemos que,
4 − x2 = c =⇒ x2 = 4 − c =⇒ x = ±
√
4 − c
y λ = 2 (pueden comprobar que este punto satisface las condiciones suficientes). Como además
x2 = y2 = 4 − c, entonces el valor óptimo de f es
f(x(c), y(c)) = −2(4 − c)
y por lo tanto
d
dc
f(x(c), y(c)) = 2 = λ
Pregunta 2: Optimización con restricciones de igualdad
Sean f , g funciones de dos variables definidas por:
f (x, y) = 2x3 − 3x2
g (x, y) = (3 − x)3 − y2
Considere el siguiente problema de optimización:
máx f(x, y)
s.a. g(x, y) = 0
Asuma que el problema tiene un máximo global (de hecho, tiene solución global, pero usted no necesita
probar que aśı es).
1. Determine el conjunto de puntos factibles (i.e., puntos que satisfacen la restricción) que violan la
CCR. Ayuda: recuerde que un punto viola la CCR si: ∂g(x,y)
∂x
= 0 y ∂g(x,y)
∂y
= 0 en ese punto, y
este punto satisface la restricción (es factible).
Para determinar el conjunto de puntos factibles que violan la CCR, debemos buscar si, posee puntos
cŕıticos que satisfacen la restricción g (x, y) = 0
g (x, y) = (3 − x)3 − y2
CPOs
g′x = 3 (3 − x)2 = 0 → x = 3
g′y = −2y = 0 → y = 0
Obtenemos que un punto cŕıtico de la restricción es (x, y) = (3, 0)
Además, dicho punto cŕıtico satisface la restricción, ya que: g (3, 0) = (3 − 3)3 − 02 = 0
Por lo tanto: El conjunto de puntos factibles que violan la calificación de restricción es:
{(x, y) | (x, y) = (3, 0)}
3
2. Determine los puntos cŕıticos del Lagrangeano.
Ahora buscamos los puntos cŕıticos del Lagrangeano
L = 2x3 − 3x2 + λ
(
− (3 − x)3 + y2
)
CPOs
L′x = 6x2 − 6x − 3λ (3 − x)2 = 0
L′y = 2λy = 0
L′λ = − (3 − x)3 + y2 = 0
De la ecuación b) se tiene dos casos: Caso 1: λ = 0 o Caso 2 : y = 0
Caso 1: λ = 0
Entonces de a) tenemos:
6x2 − 6x = 0 →
{
x = 0 reemplazando en 3. → y = ±3
√
3
x = 1 reemplazando en 3. → y = ±2
√
2
Por lo tanto, los puntos cŕıticos obtenidos son:
(
0, 3
√
3
)
;
(
0, −3
√
3
)
;
(
1, 2
√
2
)
;
(
1, −2
√
2
)
Caso 2: y = 0
Entonces de c) tenemos que: x = 3 Por lo cual se obtiene el punto (3,0) que es el punto que viola
la CCR (obtenido en 1.)
3. Encuentre el óptimo global de este problema.
Con este procedimiento hemos encontrado todos los posibles candidatos a óptimo: los puntos cŕıticos
de g que satisfacen la restricción y los que entrega el método de Lagrange. Uno entre ellos debe ser
el máximo global de f , restringida a g = 0. La función de valor en los distintos puntos cŕıticos es
f∗
(
0, 3
√
3
)
= f∗
(
0, −3
√
3
)
= 2∗03 − 3∗02 = 0
f∗
(
1, 2
√
2
)
= f∗
(
2, −2
√
2
)
= 2∗13 − 3∗12 = −1
f∗ (3, 0) = 2∗33 − 3∗32 = 54 − 27 = 27
Luego el valor máximo se alcanzan en (3, 0)
Pregunta 3: Problema de costos de una empresa
Suponga una empresa que se dedica al reparto de encomiendas a domicilio llamada “BLIX”, para
ello, necesita capital f́ısico que va a estar representado por veh́ıculos de transporte (V) que tienen un
costo unitario de $10 para la empresa y Personal (T) que conduce estos veh́ıculos y entrega los repartos
que tienen un costo unitario de $5 para la empresa. Suponga que la función de producción de repartos
de BLIX esta representada de la siguiente forma:
Q = V
1
4 T
1
2
Suponga que la empresa enfrenta costos fijos de $1000 por arriendo de bodegas donde guarda sus veh́ıculos
y las encomiendas. Además, suponga que la empresa, por contrato, ha comprometido una cantidad de
Q = 100 repartos cada peŕıodo.
1. Plantee el problema de minimización de costos que enfrenta la empresa.
La empresa tiene que resolver el siguiente problema de minimización de costos:
mı́n C = 10V + 5T + 1000
s.a. 100 = V
1
4 T
1
2
4
2. Plantee la función lagrangiana y las condiciones de primer orden correspondientes.
La función lagrangiana es:
L(V, T, λ) = 10V + 5T + 1000 − λ(V 14 T 12 − 100)
Para encontrar las CPOs, simplemente debemos derivar con respecto a los factores
∂L
∂V
= 10 − 1
4
λV −
3
4 T
1
2 = 0 (1)
∂L
∂T
= 5 − 1
2
λV
1
4 T −
1
2 = 0 (2)
∂L
∂λ
= V
1
4 T
1
2 − 100 = 0 (3)
3. Encuentre las cantidades de Veh́ıculos (V) y Personal (T) que son candidatos a mı́nimo usando el
método de Lagrange.
Paso 1: Primero perciba que si V = 0 e T = 0 la calificación de restricción no es satisfecha.
Además, como Q = 100 > 0, este punto no satisface el conjunto restricción. Luego, no llevamos
ningún candidato de este paso. En lo que sigue verificamos las condiciones de Lagrange. De (1):
λ = 40V
3
4 T
−1
2
De (2):
λ = 10V
−1
4 T
1
2
Igualando λ, podemos obtener una relación entre V y T.
40V3
4 T
−1
2 = 10V
−1
4 T
1
2
Simplificando:
4V = T
Luego usando (3):
V
1
4 (4V )
1
2 − 100 = 0
Entonces:
V ∗ =
(
100
2
) 4
3
T ∗ = 4
(
100
2
) 4
3
Por último para obtener el costo mı́nimo, solo debemos reemplazar los valores obtenidos en la
función de costos:
C(V ∗, T ∗) = 10V ∗ + 5T ∗ + 1000 = 10
(
100
2
) 4
3
+ 5 × 4
(
100
2
) 4
3
+ 1000 = 30
(
100
2
) 4
3
+ 1000
4. ¿Son las condiciones anteriores necesarias y suficientes para que V* y T* del ı́tem anterior sean los
valores que minimizan el costo de BLIX?
La función de costos es convexa (C = 10V + 5T + 1000) y la función de producción es cóncava
100 = V
1
2 T
1
4 es cóncava (verifique usando la condición de la hessiana). Además como λ > 0,
tenemos que:
L̃(V, T ) = 10V + 5T + 1000
︸ ︷︷ ︸
convexa
+ (−λ)(V 12 T 14 − 100)
︸ ︷︷ ︸
convexa si λ ≥ 0
Sabemos que la suma de dos funciones convexas, es convexa. Por lo tanto en este caso, sabemos
que los puntos encontrados están minimizando el costo, pues λ = 40V
3
4 T
−1
2 ≥ 0
5