Guía 11 (Derivadas)

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer semestre 2014.
MAT 210E ∗ GUIA N◦11
Derivadas I.
1. Usando la definición, calcule la derivada de las siguientes funciones, en los puntos
indicados:
a) f(x) = 3x2 + 2 , en x = 2 b) g(x) =
√
x− 6 , en x = 15
c) h(x) = sen(x) , en x =
π
2
d) j(x) =
x− 2
x
, en x = 4
e) k(x) =

x2 sen
(
1
x
)
, si x 6= 0
0 , si x = 0
, en x = 0
f) l(x) = cos(3x) , en x =
π
3
g) r(x) = x+
1
x
, en x = 2
2. Usando álgebra de derivadas, calcule la derivada en el punto indicado:
a) f(x) = 4x5 + 2x3 − 6x , en x = 3
b) g(x) =
x+ 6
x− 2
, en x = 1
c) h(x) =
t
x2 − 4
, en x = 4
d) g(x) =
(√
x− 1√
x
)3
, en x = 4
3. Si f(10) = −1
2
, g(10) = 6 , f ′(10) =
1
3
, g ′(10) = 8 . Determine :
a) (5 f + g) ′(10) b)(6 f · g − 9 g) ′(10)
c)
(
f
g
) ′
(10) d)
(
1
g
− g
f
) ′
(10)
4. Estudie la continuidad y la derivabilidad de :
f(x) =

xn sen
(
1
x
)
, x 6= 0
0 , x = 0
para n ∈ N
5. Estudie la continuidad de f(x) y de f ′(x) si
f(x) =

x2 + x− 1 , x < 1
x3 , x ≥ 1
6. Determine los valores de m y b de modo que la función:
f(x) =

sen(x) , x < π
mx+ b , x ≥ π
sea cont́ınua y derivable en x = π
7. Determine f ′(a) , si f(x) = (x− a)ϕ(x) y la función ϕ(x) es cont́ınua en x = a.
8. Para f(x) = 3x2− 5x determine f ′(2) y use este resultado para encontrar la ecuación
de la recta tangente a la parábola y = 3x2 − 5x en el punto (2, 2).
9. Decida si la recta tangente a la curva f(x) = x3 − 3x2 − 9x en el punto (−1, 5) es
paralela a la recta y = 2.
10. Encuentre el punto, donde la tangente al gráfico de f(x) = (x + 2)3(x − 1)2 en el
punto (2, 8) intersecta al eje vertical.
11. Halle la ecuación de la recta normal a la curva f(x) =
x2 + 1
x3 + 1
en el punto de abscisa 0.
12. Dada la curva y = x3.
a) ¿En qué puntos de ésta curva la tangente corta al eje X en (1, 0)?
b) ¿En qué punto de ésta curva la tangente es paralela a la recta 12x− y = 16?