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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Primer Semestre de 2004 MAT1503 ∗ GUIA N◦1 I. Demuestre por inducción que: 1. 2 + 5 + 8 + · · ·+ (3n− 1) = 1 2 n(3n + 1) 2. 1 + 2 + 4 + · · ·+ 2n−1 = 2n − 1 3. 1 1·3 + 1 3·5 + 1 5·7 + · · ·+ 1(2n−1)(2n+1) = n2n+1 4. a + ar + ar2 + · · ·+ arn−1 = a(1−rn) 1−r (r 6= 1) 5. 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 = [n(n+1) 2 ]2 6. 1 4 − 1 42 + 1 43 − · · ·+ (−1)n 1 4n = 1 5 [1− 1 (−4)n ] 7. La suma de los ángulos interiores de un poĺıgono convexo de n lados es (n− 2) · 180◦. 8. Los números de la forma: (a) 32n − 1 son divisibles por 8 (b) 22n+1 − 9n2 + 3n− 2 son divisibles por 54 9. Se define a0 = 1, a1 = 1 y an+1 = an−1 + an para cada natural n. Demuestre que para todo natural n: (an+1) 2 − anan+2 = (−1)n+1 10. Al intentar demostrar las siguientes proposiciones por inducción el método fallaŕıa en una de sus partes. Señale dónde se produciŕıa la falla y por qué: (a) ∀n ∈ N : 4 + 8 + 12 + · · ·+ 4n = 3n2 − n + 2 (b) ∀n ∈ N : 2 + 4 + 6 + · · ·+ 2n = n2 + n + 2 (c) ∀n ∈ N la fórmula p(n) = n2 − n + 41 proporciona sólo números primos. 11. Pruebe que: (a) 6 divide a 5n3 + 7n (b) 16 divide a 834n − 2 · 972n + 1 1 12. Pruebe que: a− b es un factor an − bn 13. Pruebe las siguientes propiedades de los números de Fibonacci definidos por: a1 = 1, a2 = 1, an+1 = an + an−1 (a) an+1 · an−1 = a2n = (−1)n (b) an+m = an · an+1 + am−1 · an (c) an y an+1 son primos relativos. 14. Si n > 2 pruebe que: 3 2 − 1 n + 1 n2 < 1 12 + 1 22 + · · ·+ 1 n2 < 2− 1 n 15. Sea a1 = 1, a2 = 1, an+1 = an−1 + an para cada n ∈ N . Encuentre a2, a3 y a7. Demuestre que para todo n ∈ N tiene: (an+1) 2 − an an+2 = (−1)n 16. Conjeture fórmulas para las siguietnes expresiones y pruébelas por in- ducción: (a) (1− x)(1 + x)(1 + x2)(1 + x22) · · · (1 + x2n) (b) (1− 1 2 )(1− 1 3 )(1− 1 4 ) · · · (1− 1 n+1 ) (c) 12 − 22 + 32 − · · ·+ (−1)n−1n2 (d) n2 − (n− 1)2 + (n− 2)2 − · · ·+ (−1)n−1 17. Sean a1, a2, a3 . . . definido por a1 = 1, a2 = 1 an+1 = an−1 + an (n ≥ 2) Demostrar que ∀n ∈ N, an < (1+ √ 5 2 )n 18. Se define u1 = 0 y un+1 = (1 + x)un − nx Pruebe que un = 1 x [1 + nx− (1 + x)n] 19. Pruebe que: n(n + 1)(n + 2) . . . (n + p− 1) es divisible por p. 20. Pruebe que 8 3 · 5− 12 5 · 7 + 16 7 · 9−· · · hasta completar n términos es igual a 1 3 + (−1)n−1 1 2n+3 21. a) n∑ k=1 1 4k2 − 1 = n 2n + 1 b) n∑ k=1 (k2 + 1)k! = n(n + 1)! c) n∑ k=1 k · 2k (k + 2)! = 1− 2 n+1 (n + 2)! d) n∑ k=1 k = n(n + 1) 2 e) n∑ k=1 k2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 f) n∑ k=1 k3 = [ n(n + 1) 2 ]2 2 II. Sumatorias 1. Escriba usando el śımbolo ∑ : a) 1 + q + q2 + · · ·+ qn b) 1− 2 + 3− 4 + 5− . . . (n términos) c) 4 + 18 + 48 + 100 + 180 d) 1 + 9 + 125 + 2401 + . . . (2n términos) e) 1 + 8 + 27 + 64(n− 1 términos) f) 3 + 9 + 27 + 71 + . . .(10 términos) 2. Calcular: a) 12 + 32 + 52 + · · ·+ 992 b) 213 + 223 + · · ·+ 503 c) 22 + 42 + 62 + · · ·+ (4n)2 d) 1 · 11 + 2 · 12 + 3 · 13 + · · ·+(n términos) e) 1 · 2 · 4 + 2 · 3 · 5 + 3 · 4 · 6 + · · · (2n términos) 3. Calcular: a) n∑ i=1 i(i + 3) b) n∑ i=1 i(i2 − 1) c) p∑ i=1 (i + 1)3 d) n∑ i=1 (n− i)(i− 1) e) n∑ k=1 (3k2 − k) f) n∑ k=1 (3n2 − n) g) n∑ k=1 k3 + 3 2 k h) n∑ k=1 k2(2k + 3) i) n∑ k=1 4k(k2 + 1)− (6k2 + 1) j) n∑ k=1 n2(2n + 3) 4. Calcular: a) n∑ k=1 1 k(k + 1) b) n∑ k=1 1 4k2 − 1 c) n∑ k=1 1 (2k − 2)(2k + 10) d) n∑ k=1 4 k(k + 1)(k + 2) e) n∑ i=1 1 (2i− 1)(2i + 1)(2i + 3) f) n∑ i=1 1 (3i− 2)(3i + 1) 3 g) n∑ k=1 k2 + k − 1 (1 + k)2(k + 2)2 h) n∑ i=1 2i + 1 i2(i + 1)2 i) n∑ k=2 k2 k2 − 1 j) n∑ k=1 k3 + k2 + 1 k(k + 1) 5. Calcular: a) 43∑ k=2 k(k − 2) b) 50∑ k=1 (−1)kk2 c) n∑ k=1 k(10 + k) d) n∑ k=1 1 (2k − 1)(2k + 1) 6. Aplicando n∑ k=1 a ambos lados de la identidad: (k + 1)2 − k2 = 2k + 1 Calcular: n∑ k=1 k 7. Aplicando la misma técnica del ejercicio anterior a la identidad (k + 1)3 − k3 = 3k2 + 3k + 1; calcular: n∑ k=1 k2. 8. Demostrar que: 2n∑ k=1 (−1)k k2 = n∑ k=1 (4k − 1) 9. Encuentre una fórmula para: n∑ k=1 k · 2k 10. Determine el término de orden n y la suma de los 30 primeros términos de la progresión aritmética 3, 4 + 1 2 , 6, . . . 11. En una progresión aritmética el primer término es 4 y el orden de n, 34. Si la suma de sus n primeros términos es 247, determine n y la diferencia d. 12. ¿Cuántos términos de la progresión aritmética 3, 7, 11 . . . necesita sumar para que su suma sea 1.275? 13. Si una persona ahorra $100 el primer d́ıa, $200 el segundo d́ıa, $300 el tercer d́ıa, y aśı sucesivamente. Determine cuánto dinero ahorrará después de 365 d́ıas. 4 14. Si en una progresión geométrica u1 = 4, un = 30 + 3 8 y sn = 83 + 1 8 . Determine n y la razón r. 15. Un terreno rectangular de 750m. de ancho tiene un peŕımetro de 3.900m. y produce una utilidad de $62.500, por hectárea, el primer año de cul- tivo. En cada año de los siguientes, rindió los 4 5 de la utilidad anterior. ¿Cuánto ha sido la utilidad después de cinco años? 16. Determine una progresión aritmética tal que la suma de sus n primeros términos sea 2n2 + 3n. 17. Si los términos de lugares p, q, r de una P.G. son a, b y c respectivamente, demuestre que: aq−r · br−p · cp−q = 1 18. Si el término de orden m de una P.H. es igual a n y el término de orden n es igual a m, entonces demostrar que el término de orden m + n es mn m + n . 19. calcular la suma de n términos de: 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + · · · 20. Calcular la suma de: 4 · 7 + 7 · 12 + 10 · 17 + · · ·+ 157 · 262 21. Encuentre la suma de n términos de: a, (a + d)r2, (a + 3d)r3, . . . 22. Sume: (a) 2n términos de: 5 ·+3 · 6 + 4 · 7 + · · · (b) n términos de: n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) + (n + 2)(n + 3) + · · · (c) 2n términos de: 12 + 23 + 32 + 43 + 52 + 63 + · · · (d) 2n términos de: 1− 23 + 33 − 43 + 53 − 63 + · · · (e) (2n− 1) términos de: 1− 23 + 33 − 43 + 53 − 63 + · · · 23. Calcule la suma de los n primeros paréntesis de la expresión: 1 + (3 + 5 + 7) + (9 + 11 + 13 + 15 + 17) + · · · 5 24. Calcule: a) i=n∑ i=1 j=20∑ j=1 2j−i b) i=100∑ i=1 j=25∑ j=1 (i2 · j) c) k=n∑ k=2 i=m∑ i=1 (2a) d) j=10∑ j=1 k=n∑ k=1 2(j · k + j) e) j=n∑ j=1 i=j∑ i=1 ai+j f) j=100∑ j=0 k=3∑ k=0 jk III Binomios 1. Simplifique y calcule: a) 7! 5! b) 12! 14! c) ( 8 5 ) d) ( 8 3 ) e) ( 6 0 ) + ( 6 1 ) + ( 6 2 ) + ( 6 3 ) + ( 6 4 ) f) ( 19 17 ) + ( 19 18 ) 2. Simplifique las expresiones: a) (n + 2)! n! b) n!− (n− 1)! (n− 1)! c) ( 4n 3n )( 3n 2n )( 2n n ) d) ( n + 1 3 ) ( n 2 ) e) ( n + 1 r + 1 ) ( n r ) 3. Calcule el valor del número natural n: a) ( n 2 ) = 55 b) ( n n− 2 ) = 10 c) ( n 3 ) = ( n 5 ) 4. Demuestre que: a) (2n) n! = 2n[1 · · · 3 · · · (2n− 1)] b) ( n k − 1 ) + 2 ( n k ) + ( n k + 1 ) = ( n + 2 k + 1 ) 6 5. Desarrolle: a) (3x + 2y)6 b) (1− x)7 c) ( 3 √ x + 1 x )6 d) ( x2 − 1 x )5 6. Encuentre los coeficientes de los términos indicados en los desarrollos correspondientes: a) x11 en (3x + 2x2)9 b) x9 en ( 2x− 3 x )13 c) x2 en ( 3 √ x− 2 x2 )27 d) x2r en (1− x2)4r 7. Encuentre los términos centrales en los desarrollos de: a) ( 3a− a 3 6 )10 b) ( 4x 5 − 5 2x )15 c) (√ x− a +√a− x)24 8. Encuentre el término independiente de x en el desarrollo de: a) ( 3 2 x2 − 1 3x )9 b) ( x− 1 x2 )3n 9. Calcule el valor numérico del término independiente de x en el desarrollo de: ( 3x65 + 2 ) ( x− 1 x2 )40 10. Calcule el coeficiente de x−2 en el desarrollo es: x2 ( x2 − 2 x2 )28 11. Calcule el coeficiente de x25 en el desarrollo de: ( 1 + 1 x2 + 1 x4 ) ( 1 + x2 )50 12. Si xr se encuentra en el desarrollo de ( x + 1 x )n , halle su coeficiente. 13. Encuentre el coeficiente de xn en el desarrollo de: ( x2 + 1 x )2n 7 14. Determine el coeficiente de 1 x en el desarrollo de : (1 + x)n ( 1 + 1 x)n 15. Encuentre el coeficiente de xn en el desarrollo de: x3 ( 4x2 − 1 2x )2n 16. El segundo, tercer y cuarto término en el desarrollo de (x + y)n son 240, 720 y 1080, respectivamente. Calcule x, y, n. 17. Demuestre que el coeficiente del término central del desarrollo de (1 + x)2n es igual a la suma de los coeficientes de los términos centrales del desarrollo de (1 + x)2n−1 18. Determine el valor de k para que los coeficientes de xk y xk+1 en el desarrollo de (3x + 2)19 sean iguales. 19. Determine el valor de a para que los coeficientes de x7 y x6 en el desar- rollo de (x + a)5(x− 2a)3 sean iguales. 20. Calcule la suma y el producto de: ( 2 + √ 3 )7 con ( 2− √ 3 )7 21. Determine el valor de a de manera que la suma de los coeficientes de los términos centrales sea igual al término independiente de x en el desarrollo de: ( x− a x2 )9 22. Si (1 + x2)2(1 + x)n = a0 + a1x + a2x 2 + d3x 3 + · · · y a0, a1, a2 están en progresión aritmética, determine los posibles valores del número natural n. 23. Demuestre que: a) ( n 0 ) + ( n 1 ) + ( n 2 ) + ( n 3 ) + · · ·+ ( n n ) = 2n b) ( n 1 ) + 2 ( n 2 ) + 3 ( n 3 ) + · · ·+ n ( n n ) = n · 2n−1 8 24. Demuestre que: a) n+1∑ k=2 ( k 2 ) = ( n + 2 3 ) b) n∑ k=0 ( n k ) = ( 2n n ) c) n∑ k=1 k ( n k ) ( n k− ) = n(n + 1) 2 25. Demuestre que: a) ( n 0 ) + 1 2 ( n 1 ) + 1 3 ( n 2 ) + · · ·+ 1 n + 1 ( n n ) = 1 n + 1 (2n+1 − 1) b) 1 ( n 1 )2 + 2 ( n 2 )2 + 3 ( n 3 )2 + · · ·+ n ( n n )2 = n ( 2n− 1 n ) 26. Calcule la suma de los n primeros términos de: − ( n 0 ) + ( n 1 ) + 3 ( n 2 ) + 5 ( n 3 ) + · · · 27. Demuestre que si n es natural mayor que 1: ( n 1 ) + 3 ( n 3 ) + 5 ( n 5 ) + · · · = 2 ( n 2 ) + 4 ( n 4 ) + · · · = n · 2n−2 28. Demuestre que si n es número natural, entonces (1 + √ 3)2n+1 + (1− √ 3)2n+1 es natural 29. A partir de la identidad (1 + x)m = (1 + x)n = (1 + x)m+n, calcule el valor de: ( m r )( n 0 ) + ( m r − 1 )( n 1 ) + ( m r − 2 )( n 2 ) + · · ·+ ( m 0 )( n r ) 9 30. Determine el coeficiente de xn en el desarrollo de [1 + (n + 1)x][1 + (1 + x)2n−1] y de aqúı demuestre que: ( n 0 )2 + 2 ( n 1 )2 + 3 ( n 2 )2 + · · ·+ (n + 1) ( n n )2 = (n + 2)(2n− 1)! n!(n− 1)! Respuestas 1. a) 42 b) 1/182 c)56 d)56 e) 57 f) 190 2. a) (n + 1)(n + 2) b) n− 1 c) (4n)! : (n!)4 d) (n + 1)/3 e) (n + 1) : (r + 1) 3. a) 11 b) 5 c) 8 5. a) 729x6 + 2916x5y + 4860x4y2 + 4320x3y3 + 2160x2y4 + 576xy5 + 64y6 b) 1− 7x + 21x2 + 35x3 + 35x4 − 21x5 + 7x6 − x7 c) x2 + 6x2/3 + 15x−2/3 + 20x−2 + 15x−10/3 + 6x−14/3 + x−6 d) x10 − 5x7 + 10x6 − 10x + 5x−2 − x−5 6. a) 39 · 24 b) 351 · 212 c) −23400 d) (−1)r (4r)! r!(3r)! 10 7. a) −63 8 a20 b) −1287 · 29x; 32175 · 26x−1 c) 2704156(a− x)12 8. a) 7 18 b) ( 3n n ) (−1)n 9. −1974024 10. (−2)15 ( 28 15 ) 11. 2368660 12. ( n n− r 2 ) 13. ( 2n n ) 14. ( 2n n− 1 ) 15. (−1)n+1 · 2n−3 ( 2n n + 1 ) 16. 2, 3, 5, 18. 11 19. 1 8 20. 10084; 1 21. 3 + √ 33 6 22. 2; 3 26. 2n(n− 1) + 1− 2n 29. ( m + n r ) 30. (n + 2) ( 2n− 1 n ) 11
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