Problemas de Matemática - Indução, Somatórias e Progressões

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer Semestre 2001
MAT 110 - E ∗ GUIA I
1. Inducción
Probar por inducción:
(1) 2 + 5 + 8 + · · ·+ (3n− 1) = 1
2
n(3n + 1)
(2) 1 + 2 + 4 + · · ·+ 2n−1 = 2n − 1
(3)
1
1 · 3
+
1
3 · 5
+
1
5 · 7
+ · · ·+ 1
(2n− 1)(2n + 1)
=
n
2n + 1
(4) a + ar + ar2 + · · ·+ arn−1 = a(1− r
n)
1− r
(r 6= 1)
(5) 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 = [n(n + 1)
2
]2
(6)
1
4
− 1
42
+
1
43
− · · ·+ (−1)(n+1) 1
4n
=
1
5
[1− 1
(−4)n
]
(7) La suma de los ángulos interiores de un poĺıgono convexo de n lados es (n− 2) ·
180◦.
(8) Los números de la forma:
(a) 32n − 1 son divisibles por 8
(b) 22n+1 − 9n2 + 3n− 2 son divisibles por 54
(9) Se define a0 = 1, a1 = 1 y an+1 = an−1 + an para cada natural n.
Demuestre que para todo natural n:
(an+1)2 − anan+2 = (−1)n+1
(10) Al intentar demostrar las siguientes proposiciones por inducción el método fallaŕıa
en una de sus partes. Señale dónde se produciŕıa la falla y por qué:
(a) ∀n ∈ N : 4 + 8 + 12 + · · ·+ 4n = 3n2 − n + 2
(b) ∀n ∈ N : 2 + 4 + 6 + · · ·+ 2n = n2 + n + 2
1
2
(c) ∀n ∈ N la fórmula p(n) = n2 − n + 41 proporciona sólo números primos.
Observación: El śımbolo ∀n ∈ N significa Para todo número natural.
(11) Pruebe que:
(a) 6 divide a 5n3 + 7n
(b) 16 divide a 834n − 2 · 972n + 1
(12) Pruebe que: a− b es un factor an − bn
(13) Pruebe las siguientes propiedades de los números de Fibonacci definidos por:
a1 = 1, a2 = 1, an+1 = an + an−1
(a) an+1 · an−1 − a2n = (−1)n
(b) an+m = an · an+1 + am−1 · an
(c) an y an+1 son primos relativos.
(14) Si n > 2 pruebe que:
3
2
− 1
n
+
1
n2
<
1
12
+
1
22
+ · · ·+ 1
n2
< 2− 1
n
(15) Conjeture fórmulas para las siguientes expresiones y pruébelas por inducción:
(a) (1− x)(1 + x)(1 + x2)(1 + x22) · · · (1 + x2n)
(b) (1− 1
2
)(1− 1
3
)(1− 1
4
) · · · (1− 1
n + 1
)
(c) 12 − 22 + 32 − · · ·+ (−1)n−1n2
(d) n2 − (n− 1)2 + (n− 2)2 − · · ·+ (−1)n−1
(16) Sean a1, a2, a3 . . . definido por a1 = 1, a2 = 1
an+1 = an−1 + an (n ≥ 2)
Demostrar que ∀n ∈ N, an < (
1 +
√
5
2
)n
(17) Se define u1 = 0 y un+1 = (1 + x)un − nx
Pruebe que un =
1
x
[1 + nx− (1 + x)n]
(18) Pruebe que:
n(n + 1)(n + 2) . . . (n + p− 1) es divisible por p
3
(19) Pruebe que
8
3 · 5
− 12
5 · 7
+
16
7 · 9
− · · · hasta completar n términos es igual a
1
3
+ (−1)n−1 1
2n + 3
2. Sumatorias
(20) Escriba usando el śımbolo
∑
:
a) 1 + q + q2 + · · ·+ qn b) 1− 2 + 3− 4 + 5− . . . (n términos)
c) 4 + 18 + 48 + 100 + 18 d) 1 + 9 + 125 + 2401 + . . . (2n términos)
e) 1 + 8 + 27 + 64(n− 1 términos) f) 3 + 9 + 27 + 71 + . . . (10 términos)
(21) Calcular:
a) 12 + 32 + 52 + · · ·+ 992 b) 213 + 223 + · · ·+ 503
c) 22 + 42 + 62 + · · ·+ (4n)2 d) 1 · 11 + 2 · 12 + 3 · 13 + · · ·+(n términos)
(22) Pruebe las siguientes igualdades:
a)
n∑
k=1
1
4k2 − 1
=
n
2n + 1
b)
n∑
k=1
(k2 + 1)k! = n(n + 1)!
c)
n∑
k=1
k · 2k
(k + 2)!
= 1− 2
n+1
(n + 2)!
d)
n∑
k=1
k =
n(n + 1)
2
e)
n∑
k=1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
f)
n∑
k=1
k3 =
[
n(n + 1)
2
]2
(23) Calcular:
a)
n∑
i=1
i(i + 3) b)
n∑
i=1
i(i2 − 1) c)
p∑
i=1
(i + 1)3
d)
n∑
i=1
(n− i)(i− 1) e)
n∑
k=1
(3k2 − k) f)
n∑
k=1
(3n2 − n)
g)
n∑
k=1
k3 +
3
2
k h)
n∑
k=1
k2(2k + 3) i)
n∑
k=1
4k(k2 + 1)− (6k2 + 1)
j)
n∑
k=1
k2(2k + 3) k)
50∑
k=1
(−1)kk2 l)
43∑
k=2
k(k − 2)
4
m)
n∑
k=1
k(10 + k) n)
n∑
k=1
1
(2k − 1)(2k + 1)
(24) Calcule:
a)
n∑
i=1
20∑
j=1
2j−i b)
100∑
i=1
25∑
j=1
(i2 · j)
c)
n∑
k=2
m∑
i=1
(2a) d)
10∑
j=1
n∑
k=1
2(j · k + j)
e)
n∑
j=1
j∑
i=1
ai+j f)
100∑
j=0
3∑
k=0
jk
(25) Calcular:
a)
n∑
k=1
1
k(k + 1)
b)
n∑
k=1
1
4k2 − 1
c)
n∑
k=1
1
(2k − 2)(2k + 10)
d)
n∑
k=1
4
k(k + 1)(k + 2)
e)
n∑
i=1
1
(2i− 1)(2i + 1)(2i + 3)
f)
n∑
i=1
1
(3i− 2)(3i + 1)
g)
n∑
k=1
k2 + k − 1
(1 + k)2(k + 2)2
h)
n∑
i=1
2i + 1
i2(i + 1)2
i)
n∑
k=2
k2
k2 − 1
j)
n∑
k=1
k3 + k2 + 1
k(k + 1)
(26) Aplicando
n∑
k=1
a ambos lados de la identidad: (k + 1)2 − k2 = 2k + 1
Calcular:
n∑
k=1
k
(27) Aplicando la misma técnica del ejercicio anterior a la identidad (k+1)3−k3 = 3k2+3k+1;
calcular:
n∑
k=1
k2.
(28) Demostrar que:
2n∑
k=1
(−1)k k2 =
n∑
k=1
(4k − 1)
5
3. Teorema del Binomio y Progresiones
(29) Determine el término de orden n y la suma de los 30 primeros términos de la progresión
aritmética 3, 4 +
1
2
, 6, . . .
(30) En una progresión aritmética el primer término es 4 y el de orden n, 34. Si la suma de
sus n primeros términos es 247, determine n y la diferencia d.
(31) ¿Cuántos términos de la progresión aritmética 3, 7, 11 . . . se necesita sumar para que su
suma sea 1.275?
(32) Si una persona ahorra $100 el primer d́ıa, $200 el segundo d́ıa, $300 el tercer d́ıa, y aśı
sucesivamente. Determine cuánto dinero ahorrará después de 365 d́ıas.
(33) Si en una progresión geométrica u1 = 4, un = 30 +
3
8
y sn = 83 +
1
8
. Determine n y la
razón r.
(34) Un terreno rectangular de 750m. de ancho tiene un peŕımetro de 3.900m. y produce
una utilidad de $62.500, por hectárea, el primer año de cultivo. En cada año de los
siguientes, rindió los
4
5
de la utilidad anterior. ¿Cuánto ha sido la utilidad después de
cinco años?
(35) Determine una progresión aritmética tal que la suma de sus n primeros términos sea
2n2 + 3n.
(36) Si los términos de lugares p, q, r de una P.G. son a, b y c respectivamente, demuestre que:
aq−r · br−p · cp−q = 1
(37) Si el término de orden m de una P.H. es igual a n y el término de orden n es igual a m,
entonces demostrar que el término de orden m + n es
mn
m + n
.
(38) Calcular la suma de n términos de: 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + · · ·
(39) Calcular la suma de: 4 · 7 + 7 · 12 + 10 · 17 + · · ·+ 157 · 262
(40) Encuentre la suma de n términos de:
a, (a + d)r2, (a + 3d)r3, . . .
(41) Sume:
(a) 2n términos de: 5 ·+3 · 6 + 4 · 7 + · · ·
(b) n términos de: n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) + (n + 2)(n + 3) + · · ·
(c) 2n términos de: 12 + 23 + 32 + 43 + 52 + 63 + · · ·
(d) 2n términos de: 1− 23 + 33 − 43 + 53 − 63 + · · ·
(e) (2n− 1) términos de: 1− 23 + 33 − 43 + 53 − 63 + · · ·
6
(42) Calcule la suma de los n primeros paréntesis de la expresión:
1 + (3 + 5 + 7) + (9 + 11 + 13 + 15 + 17) + · · ·
(43) En el desarrollo de (x + 1)8, encontrar:
(a) el número de términos;
(b) el término en x4;
(c) la potencia de x en el 7◦ término;
(d) el coeficiente de x5.
(44) Encontrar el coeficiente de x3 en cada uno de los siguientes desarrollos:
a) (x− 10)6 , b) (2x− 1
2
)8 , c) (x− y)10 , d) (x− 1
x
)7
(45) Encontrar el término de lugar r + 1 en cada uno de los siguientes desarrollos:
a) (x + y)n , b) (a− 2b)n , c) (x + 1
x
)n
(46) Desarrollar según potencias crecientes de x:
a) (1 + x)n + (1− x)n , b) (1 + x)n − (1− x)n
(47) Use el desarrollo del binomio para calcular (1, 0025)10 con seis decimales correctos.
(48) ¿Cuál es el coeficiente de xn en el desarrollo de (1 +
1
4
x)2n?
(49) Simplifique el siguiente desarrollo: (a + b)3 − 3b(a + b)2 + 3b2(a + b)− b3.
(50) Simplifique: (
√
2 + 1)5 − (
√
2− 1)5
(51) Encuentre: a) la suma; b) el producto, de (2 +
√
3)7 y (2 −
√
3)7. Demuestre que la
parte racional de (2 +
√
3)7 es 10, 083.
(52) Simplifique:(
n
0
)
xn(x−1)n +
(
n
1
)
xn+1(x−1)n−1(x+1)+ · · ·+
(
n
k
)
xn−k(x−1)n−k(x+1)k + · · ·+(
n
n
)
(x + 1)n.
(53) ¿En qué razón están los términos de lugar r + 1 y r en el desarrollo de :
a) (1 +
x
2
)n , b) (x− 3
x
)n , c) (2x + 3y)2r?
(54) Encontrar el valor de r si el coeficiente de x2 y el de xr+1 en el desarrollo de (3x + 2)19
son iguales.
(55) Si x = 0, 2, probar que el término de lugar 11 en el desarrollo de (1 + x)14 es
1
10
del
término de lugar 10.
(56) Demuestre que:
a)
(
n
k + 1
)
=
(
n
k
)
n− k
k + 1
b)
(
r
m
)(
m
k
)
=
(
r
k
)(
r − k
m− k
)
c)
(
n
6
)
>
(
n
5
)
si n > 11
7
(57) Simplifique:
a)
(
n + 1
3
)
(
n
2
) b)
(
n + 1
k + 1
)
(
n
k
)
c)
(
n
k
)
+ 2
(
n
k − 1
)
+
(
n
k − 2
)
d)
n!
(n−r)!
(r < n)
e)
n!− (n− 1)!
(n− 1)!
(58) Demuestre que:
(2n)!
n
= 2n{1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)}
(59) Determine los números a, b, c, d de modo que:
k3 = a
(
k
3
)
+ b
(
k
2
)
+ c
(
k
1
)
+ d
y usando el desarrollo binomial, calcule:
n∑
k=1
k3
(60) Demuestre por inducción que:
n∑
k=0
(
r + k
k
)
=
(
r + n + 1
n
)
, (r ∈ N)
(61) A partir de la identidad:
(1 + x)m(1 + x)n = (1 + x)m+n , demuestre:
p∑
k=0
(
m
k
) (
n
p− k
)
=
(
m + n
p
)